Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава I. УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБЛЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 17
1.1 Дифференциальные уравнения Хилла и Матье 17
1.2 Условия устойчивости и колеблемости решений дифференциального уравнения второго порядка 20
1.3 Метод расчета устойчивости решений дифференциального уравнения второго порядка 26
1.4 Постановка задачи об оптимальной стабилизации. Достаточные условия оптимальности управления. Вспомогательная задача 31
Глава II. ОТЫСКАНИЕ ЗОН УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 37
2Л Определение зоны устойчивости управляемого движения 37
2.2. Расчет зон устойчивости и неустойчивости для уравнения Матье 45
Глава III. СТАБИЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНОГО ДВИЖЕНИЯ, МОДЕЛИРУЕМОГО ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРИОДИЧЕСКИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ 65
3.1. Построение стабилизирующего управления 65
3.2. Построение оптимального управления для линейной неоднородной управляемой системы второго порядка с периодической матрицей 79
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 103
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 104
ПРИЛОЖЕНИЕ
Введение к работе
Известно, что математическое моделирование применяется в научных исследованиях и при решении прикладных задач в различных областях науки и техники. Эта методология основана на изучении свойств и характеристик объектов различной природы посредством исследования их естественных или искусственных аналогов (моделей).
В процессе проведения компьютерного эксперимента удается выявить степень влияния воздействий на исследуемый объект, т.е. удается проводить исследование математической модели при параметрических и постоянно действующих возмущениях, зависимости решения от того или иного параметра. Это позволяет целенаправленно использовать теорию управления для получения необходимых свойств математической модели. Наличие или отсутствие тех или иных качественных свойств математической модели свидетельствует о возможности или невозможности создания модели, обладающей требуемыми свойствами. Так, например, если построенная модель удовлетворяет определенным критериям качества, но не будет устойчивой, то она и не будет «работоспособной».
Представляет значительный интерес исследование управляемых математических моделей, описываемых линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с периодическими коэффициентами, так как многие динамические процессы моделируются указанными дифференциальными уравнениями. Во многих случаях законы механики, управляющие теми или иными процессами, могут быть выражены в форме дифференциальных уравнений второго порядка, а расчет этих процессов сводится к их решению. В частности, исследование динамических процессов источников света, а также изучение механизмов и узлов машин и агрегатов легкой и химической промышленности приводят к задаче исследования устойчивости и неустойчивости, колеблемости и неколеблемости решений уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом х + p(t)x = 0.
Исследование систем, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка, поставило исследователей перед необходимостью создания математического обеспечения ПЭВМ, которое позволило бы эффективно решать вопросы прочности и устойчивости. Вследствие отсутствия точных методов решения указанных уравнений исключительно важная роль принадлежит качественной теории данных уравнений.
Развитию качественных методов исследования поведения решений указанных уравнений посвящены научные работы выдающихся ученых математиков, механиков и инженеров (А.Пуанкаре [146], [147], А.М.Ляпунов [78] - [85], А.А. Андронов [6], [87], Н.Е.Жуковский [28] и др.)
Их исследования продолжаются и развиваются (в особенности вопросы колеблемости и устойчивости). Фундаментальный вклад в развитие теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами внесли М.Г.Крейн [68] - [73], НЛ.Еругин [26] - [27], В.А.Якубович [109] -[113], В.М.Старжинский [109], И.Г.Малкин [86], К.Г.Валеев [17] - [18], Н.В.Адамов [1] - [3], А.Ф.Зубова [30] - [34], Н.В.Азбелев и его ученики [4], И.В.Каменев [41] - [61], И.Т.Кигурадзе [62] - [63], К.Р.Коваленко [64], М.Г.Крейн [64], И.М. Гельфанд [21], В.Б.Лидский [21], В.А.Кондратьев [66], М.Бартушек [7], Л.М.Беркович [8] - [9], В.В.Болотин [10], А.И.Булгаков [11] - [12], А.И.Булгаков и Б.А.Сергеев [13], Б.Ф.Былов и Э.А.Тихонова [14] -[16], Ю.И.Домшлак [23], И.И.Ендовицкий [24] - [25], Д.В.Изюмова [36] -[40], Я.Курцвейль [75], Коддингтон Э.А. и Н.Левинсон [65], Я.Г.Пановко и И.И.Губанова [89], Ч.А.Скаляхо [90] - [96], Т.А. Чантурия [106], Л.Чезари [107]. Много интересных результатов содержится и в работах [115] - [153].
Следует отметить, что в современном мире информационных технологий важным фактором любой теории (в том числе и теории устойчивости) является возможность автоматизации исследования устойчивости.
Следует отметить, что актуальной проблемой является развитие методов математического моделирования стабилизирующих управлений и решения задачи оптимальной стабилизации программного движения (переходного процесса) уравнений Хилла и Матье.
Задачи математического моделирования стабилизирующих управлений программного движения на уровне существования и единственности линейных периодических систем затрагивались в работах В.И.Зубова [29], Е.Я.Смирнова и С.С.Войтенко [19], Е.Л.Тонкова [97] - [98], В.Н.Лаптинского [76] - [77], В.М.Морозова [88].На базе развитой качественной теории поведения решений уравнений Хилла и Матье и с учетом специфики названных уравнений, является важным развитие теории оптимальной стабилизации применительно к названным уравнениям и разработка практических способов решения задачи оптимальной стабилизации.
