Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модель Полтеровича-Хенкина и ее модификации 23
1.1. Описание исходной модели. Асимптотика решений 23
1.2. Модель экономического роста 25
1.3. Модель экономического роста с транзакционными издержками ... 28
1.4. Моделирование многоукладной технологической структуры 33
Глава 2. Исследование аттрактора цепочки Ленгмюра-Вольтерра 39
2.1. Исследование неподвижных точек цепочки Ленгмюра-Вольтерра. Формула Ю. Мозера 39
2.2. Некоторые сведения из теории рациональных аппроксимаций 42
2.3. Аттрактор цепочки Ленгмюра-Вольтерра 55
Глава 3. Численное исследование модифицированной модели 72
3.1. Характерные этапы эволюции технологической кривой 72
3.2. Режим формирования технологических укладов (режим цепочки Ленгмюра-Вольтерра) 75
3.3. Режим взаимодействия имитации и инновации 84
3.4. Режим диффузиии 88
Литература 92
- Модель экономического роста с транзакционными издержками
- Моделирование многоукладной технологической структуры
- Некоторые сведения из теории рациональных аппроксимаций
- Режим формирования технологических укладов (режим цепочки Ленгмюра-Вольтерра)
Введение к работе
Одним из центральных вопросов идеологических дискуссий последних десятилетий была проблема оценки влияния государственной политики на темпы научно-технического прогресса. Существуют полярные точки зрения. С одной стороны, либеральные экономисты, например Ф.А. Хайек, утверждают, что государственное вмешательство в экономические процессы нарушает таинство функционирования рынка и замедляет научно-технический прогресс, полагая, что только рынок может определить наиболее перспективные направления экономического развития. Это предположение используется как аргумент в критике социалистических доктрин. Его сторонники утверждают, что административное регулирование снижает экономические стимулы для распространения новых технологий. Такая проблема действительно существовала в советской экономике, и попытки стимулировать распространение новых технологий за счет внеэкономических стимулов, таких как социалистическое соревнование, оказались малоэффективными.
С другой стороны, кейнсианская школа считает, что медленные процессы с характерными временами порядка десятилетий, к которым относятся процессы смены технологических укладов, плохо регулируются рыночными механизмами и что государственный спрос на инвестиции может способствовать научно-техническому прогрессу. Зависимость между внедрением научных открытий и большими циклами экономической конъюнктуры была обнаружена в работе Н.Д.Кондратьева "Большие циклы экономической конъюнктуры" (см. [9]). Крупные государственные программы, такие как программа высадки человека на Луну "Аполлон" или программа СОИ, оказывали косвенное влияние на научно-технический прогресс. Предполагают, что программа "Аполлон" способствовала разработке и широкому внедрению компьютерных технологий, а программа военных приготовлений в рамках проекта СОИ включала в себя элемент государственной политики США в области развития гражданских промышленных технологий [7]. Административные методы регулирования экономики позволяют легче перераспределять ресурсы, чем это допускают рыночные механизмы. Так в СССР в 30-ые годы была осуществлена государственная программа индустриализации, которая позволила за счет ресурсов, накопленных в сельском хозяйстве, за короткий период времени создать военно-промышленный комплекс.
Разные точки зрения на эффективность государственного регулирования обусловлены разными представлениями о научно-техническом прогрессе. Сторонники либеральных экономических взглядов предполагают, что научно-технический прогресс - это распространение небольших нововведений и новых технологий на микроуровне. Динамика этого процесса определяется внутренними причинами и не требует крупных централизованных денежных вложений. Сторонники кейнсианских и социалистических взглядов склонны рассматривать научно-технический прогресс как крупные структурные сдвиги в технологическом укладе, обусловленные внедрением научных открытий. Такие сдвиги не являются спонтанными и происходят, как правило, при реализации крупных государственных программ. Попытки для реальных экономических систем установить с помощью эмпирических наблюдений какие представления о научно-техническом прогрессе оказываются более адекватными не приводят к однозначным результатам. Дело в том, что не вполне ясно как измерять научно-технический прогресс. Косвенные способы измерения могут приводить к ложным выводам. Например, в СССР в 70-ые годы официальная пропаганда говорила о высоких темпах научно-технического прогресса. Основанием для такого утверждения являлась регистрируемая статистическими службами динамика процесса замещения труда капиталом. Однако в реальности такая динамика была следствием увеличения выпуска некачественной продукции, что, в свою очередь, увеличивало коэффициент приростной фондоемкости (подробнее см. [16]). Поэтому в сложившейся ситуации темп замещения труда капиталом отнюдь не являлся мерой темпа научно-технического прогресса.
Тема диссертации является актуальной, поскольку из приведенного выше примера следует, что для адекватного понимания процессов технологического развития необходимо переходить от общих идеологических дискуссий, происходящих на концептуальном уровне, к систематическим исследованиям на языке математических моделей.
В диссертации развивается подход к описанию технологического развития, который использует и формализует концепцию Дж. Шумпетера о разделении механизма технологической эволюции на микроуровне на два взаимодействующих эндогенных процесса: инновационный, т.е. создание новых технологий, и имитационный, т.е. их заимствование. Этот подход был положен в основу ряда работ конца XX века таких авторов, как К. Иван, В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин, В.З. Беленький, С.Я. Глазьев и И.А. Каримов. Во всех этих работах распространение новой технологии описывается на основе функции распределения ее носителей (хозяйствующих субъектов или производственных мощностей) по уровням эффективности технологии. Понятие "уровня эффективности технологии" является первичным в указанных работах, уровни рассматриваются дискретными, п = 0,1,... Чем больше номер уровня, тем технология более эффективна, и фирма стремится перейти на более высокий уровень технологии. Соответствие технологии тому или иному уровню определяется экспертно. Уровень технологической эффективности может быть определен разными способами. Например, К. Иваи в [31] в качестве меры эффективности остановился на затратах на единицу добавленной стоимости, В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин в своей модели экономического роста [18] в качестве меры эффективности технологии рассматривают прибыль на единицу мощности. В работе Гельмана Л.М., Левина М.И., Полтеровича В. М., Спи-вака В.А. приведены результаты компьютерного анализа эволюции кривой распределения предприятий черной металлургии СССР по уровням рентабельности в период с 1976 по 1988 год [5]. Анализ был проведен с учетом взаимодействия процессов создания и заимствования технологий и амортизации фондов. Этот подход позволил объяснить качественные особенности эволюции черной металлургии СССР в рассматриваемый период.
Обозначим через Fn(t) долю предприятий, находящихся в момент времени t > 0 на уровнях с номерами не выше п. Тогда последовательность Т = {Fn} как функция времени описывает эволюцию кривой распределения предприятий по уровням эффективности. Необходимо также определить закон, по которым происходят переходы между уровнями.
В своей исходной модели [17] В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин использовали следующие гипотезы:
За единицу времени предприятия могут переходить только на следующий более высокий уровень. Разрешаются только переходы п —> п + 1. Тогда убывание Fn(i) происходит за счет перехода предприятий n-ого уровня, доля которых составляет Fn — Fn-i, на (п + 1)-ый уровень.
Следуя концепции Шумпетера, интенсивность переходов складывается из двух элементов: инновационной составляющей a(Fn-i — Fn) и имитационной составляющей /3(1 — Fn)(Fn-i — Fn). Константы а > 0 и (3 > 0 характеризуют интенсивности соответственно инновационного и имитационного процессов и считаются одинаковыми для всех уровней. Существенным является предположение о том, что интенсивность имитации на п-ом уровне пропорциональна доле предприятий, которые уже внедрили технологию n-ого уровня. Эта доля в веденных обозначениях равна (1 — Fn).
Таким образом, исходная модель Полтеровича-Хенкина представляет собой бесконечную систему дифференциальных уравнений -^ = -{а + /3(1 - Fn))(Fn - F„_i), п = 0,1,.... (0.1)
Граничные и начальные условия модели: Fo(i) = 0 при всех t > 0; W - ' (0.2)
0<^_і(0)<^(0)<1, Kk
В следующей работе [18] В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин предложили интерпретацию переменных модели (0.1) в терминах модели экономического роста. В качестве меры эффективности технологии n-oiv уровня принимается прибыль, получаемая на единицу мощности Ап. Обозначим через Мп объем производственных мощностей на п-ыл ури;че, тогда функция распределения мощностей по уровням эффективности определяется по формуле Fn= (t^/it^X »--=0,1.2,... (0.3)
Предполага-.л :.: что :іся щчібі-.і. і'- рлсходу- ;,;м па іи.^пшрепие мощностей. При этом прибыль, по ,;.";<'.' г.1пг: н;і .-:-:. \ уровне, рі'і'їд*. льется на два потока капитальных вложений: доля срп этой прибыли идет на создание мощностей следующего (n + 1)-го уровня, а остальная часть (1 — (рп) тратится на расширение производства уровня п. Уравнение экономического роста в этих предположениях записывается следующим образом -~ = (1 - уп)\пМп + n_!An_iMn_i. (0.4)
С учетом дополнительных ограничений на последовательность {Лп}^, которые соответствуют представлениями о распространении новых технологий в "зрелой" отрасли, В.М. Полтерович и Г.М. Хен-кин доказали, что функция распределения мощностей по уровням эффективности, определяемая по решениям задачи (0.4) согласно формуле (0.3), асимптотически притягивается к волновому решению уравнения (0.1). Этот результат получен для случая линейной функции (>n=<^(Fn)=ao+A)(l—Fn), где ао > 0 и / > 0 как и раньше являются параметрами инновации и имитации соответственно. Таким образом, стабильность формы кривой распределения получает более глубокое обоснование.
В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин получили аналогичный результат об асимптотическом поведении решений модели роста для более общего случая нелинейной функции (p(Fn). В этом случае функция распределения мощностей по уровням эффективности притягивается к волновому решению обобщенного уравнения - = -tp(Fn)(Fn-Fn-1). (0.5)
Пусть функция tp удовлетворяет следующим условиям:
А1. (p(Fn) > 0 и ограничена на отрезке [0,1], 1/<р интегрируема; A2. if> не возрастает, t/?(0) > <^(1), v7 является Липшицевой на [0,1]. В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин доказали [26] , что при таких условиях 1. решение обобщенной задачи Коши (0.5) с начальными данными более общего, чем (0.2) вида
0 2. решение стационарного уравнения dFс— = ip(F){F(x) - F(x - 1)), х Є (-оо, +оо), (0.7) существует тогда и только тогда, когда /І с = Причем, если F(x) - решение стационарного уравнения, то для любого d функция F{x — d) - тоже решение; 3. решение обобщенной задачи (0.5), (0.6) асимптотически сходится к некоторому решению стационарного уравнения (0.7). В.З. Беленький провел исчерпывающее исследование условий существования и единственности решения стационарного уравнения (0.7). Эта задача сведена им к задаче восстановления монотонной функции по ее диаграмме роста [2]. Применение теоремы, доказанной для общей задачи, к уравнению (0.7) позволяет установить необходимые и достаточные условия существования и единственности. Условие А2 заменяется более общим условием: 1 j dy г dy . s z{ 4>(y) І Ч>(У) 7.J m(n) J codi)' В работе [3] В.З. Беленький анализирует модель Полтеровича-Хенкина в ее обобщенной форме (0.5) и предлагает свою оригинальную модификацию. Беленький предположил, что скорость перехода с уровня эффективности п на п + 1 зависит от относительной доли лидирующей группы на уровне п, т.е. от отношения 1 - F Гп = 1 - F„_l числа предприятий, ушедших вперед, к числу предприятий, находящихся не ниже данного уровня п. Несмотря на то, что новая модель получилась более сложной, заменой переменных ее удалось свести к уравнению Полтеровича-Хенкина (0.5) и применить результат об асимптотической сходимости к волновому решению. Однако, в отличие от модели Полтеровича-Хенкина, скорость волны распределения в модели Беленького зависит от начального распределения. В работе [27] В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин исследуют задачу (0.5) для случая немонотонной функции ip(Fn) специального вида, а именно ip{F) = і 0 < к < 1, [2(П F>k, где (рі,ір2 - монотонно убыающие функции. Функция такого вида позволяет получить в асимптотике две бегущие волны, которые перемещаются в сторону увеличения эффективности с различными скоростями, причем волна с большей скоростью убегает от волны с меньшей скоростью. Скорости волн определяются по следующим формулам из решения стационарной задачи (0.7) для функций Г dy г dy б ч>М I Ыу) В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин доказали, что если обе функции Щ-,^2 удовлетворяют условиям А1 и А2 на отрезках [0, к] и [к, 1] соответственно и с\ < С2, то имеет место описанная выше асимптотика с двумя бегущими волнами. В работе [29] В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин приводят результаты для случая неубывающей функции 0, п < tp(0)t, K(t) = 1, n>(p(l)t. Форма асимптотического распределения зависит только от функции ip. Так как ip(Fn) - неубывающая функция, то более передовые фирмы имееют большую скорость перехода, и все участки кривой распределения перемещаются в сторону увеличения эффективности независимо друг от друга. Кроме того, высказывается гипотеза о поведении решений в случае немонотонной функции (р самого общего вида. Основываясь на уже полученных результатах, В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин полагают, что в общем случае асимптотика решений будет состоять из комбинации волновых и диффузионных участков. С точки зрения математического моделирования научно- технического прогресса волновые участки технологической кривой можно интерпретировать как независимые технологические уклады. Тогда обобщенная модель Полтеровича-Хенкина может быть использована для описания такого явления, наблюдаемого в некоторых экономических системах, как многоукладность. Речь идет о явлении, когда, например, в рамках одной и той же отрасли могут независимо сосуществовать технологические уклады на разных уровнях эффективности, при этом разрыв между передовыми и отстающими укладами сохраняется и даже увеличивается. В отличие от исходной линейной модели, в обобщенной модели Полтеровича-Хенкина отсутствует явное разделение Дж. Шумпете-ра на инновационную и имитационную составляющие. Постулируется только, что функция переходов (р общего вида отражает результат некоторого нелинейного взаимодействия между этими двумя компонетами. Такое обобщение не позволяет анализировать как внешнее воздействие, например со стороны государства, может влиять на инновационную и имитационную активность на микроуровне. Целью диссертации является развитие математического аппарата для объяснения многоукладное технологической структуры в рамках концепции Дж. Шумпетера и анализ влияния транзакци-онных издержек на скорость распространения новых технологий. Диссертация состоит из трех глав. В главе 1 исследуется вопрос о влиянии транзакционных издержек на скорость распространения новых технологий и обсуждается вопрос о моделировании многоукладности технологической струк- туры отрасли. В качестве базовой модели рассматривается эволюционная модель взаимодействия процессов создания и заимствования технологий Полтеровича-Хенкина (0.1), (0.2). Для ответа на вопрос о транзакционных издержках была рассмотрена модификация модели экономического роста Полтеровича-Хенкина (0.4). Вводится дополнительная переменная Q(t), которая обозначает денежные средства, полученные от отрасли на осуществление государственных программ к моменту времени t. Предполагается, что взимаемая с отрасли доля прибыли в момент времени t пропорциональна величине П(Лл-М(і\'1 v№ -^(^) есть суммарная мощность всей отрасли. Результаты исследования асимптотического поведения модифицированной модели с транзакционными издержками сформулированы в виде теоремы. Содержательно теорема означает, что транзак-ционные издержки снижают скорость распространения новых технологий. С течением времени эта скорость приближается к величине Wb(i+0B_q*, + q)), которая меньше, чем скорость распространения технологий, полученная Полтеровичем и Хенкиным в их исходной модели. Более того, если налоги, взимаемые с предприятий отрасли, превышают некоторое пороговое значение - размер инновационной константы а, то научно-технический прогресс на микроуровне останавливается совсем. Далее в главе 1 обсуждается проблема моделирования многоукладности технологической структуры отрасли. Как уже обсуждалось выше, для объяснения многоукладности В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин используют обобщение своей эволюционной модели (см. [26], [27], [29]), в которой отсутствует явное деление процесса распространения новых технологий на инновационную и имитационную составляющие. В данной работе исследуется другая модификация, в которой исходное разделение технологической эволюции на инновации и имитацию сохраняется, но модифицируется модельное описание имитационного процесса. Предполагается, что предприятия могут имитировать не любую более передовую технологию, а лишь технологии соседнего более высокого уровня эффективности. Тогда в введенных выше обозначениях имитационную составляющую можно записать в виде /3(Fn+i — Fn)(Fn_i — Fn) и система (0.1) перепишется соответственно: -^ = -(a + /3(Fn+1 - Fn))(Fn - Fn_i). (0.8) Численные решения модифицированной модели имеют качественно иное поведение, чем решения исходной модели. В отличие от модели Полтеровича-Хенкина, форма кривой, которая возникает при чис- ленном решении новой задачи Коши на временах jb <С t <С ^ существенно зависит от начальных данных. Если в модели Полтеровича-Хенкина предприятия концентрируются около одного максимума, то в модифицированной модели на этих временах плотность распределения имеет несколько локальных максимумов, т.е. предприятия группируются в несколько технологических укладов. Для объяснения этих различий сравнивается асимптотическое поведение решений исходной и новой задач Коши при а = 0, т.е. когда технологии распространяются только за счет имитации. В случае модели Полтеровича-Хенкина единственной устойчивой неподвижной точкой вырожденной системы является точка (0,..., 0,1,1,...), следовательно процесс имитации технологий трансформирует кривую распределения модели (0.1) в единичную "ступеньку" независимо от начального распределения, т.е., последовательно копируя более передовые технологии, все предприятия постепенно собираются на самом высоком уровне эффективности. Замена переменных для случая а = 0 приводит к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений N-oro порядка С\ = CiC2 сп = cn(cn+i - Cn_i), п = 2,..., N - 1, cn = -сдгсдг_1 (0.9) Cn(0) = 7n >0, n = l,...,N. Бесконечная цепочка уравнений cn=cn(cn+i — cn_i), —oo В предыдущей модели число предприятий считалось постоянным, а различия в их производительности игнорировались. Однако, в [18] авторами была описана простейшая модель, учитывающая одновременно качественное совершенствование производственных мощностей в процессах имитации и инновации и количественный рост. Кроме того, было конкретизировано понятие меры эффективности технологии уровня. Пусть Мп объем производственных мощностей, которые дают прибыль Лп с каждой единицы мощности в единицу времени. Обозначим через Ъп фондоемкость создания единицы мощности на тг-ом уровне эффективности. Показатель Л„ = -т-11 принимается в каче-стве меры эффективности технологии уровня п, Лп+і Лп. Функция распределения мощностей по уровням эффективности определяется по следующим формулам Предполагается, что вся прибыль расходуется на расширение мощностей. При этом прибыль ЛПМП, получаемая на гг-ом уровне, разделяется на два потока капитальных вложений: доля tpn этой прибыли идет на создание мощностей следующего (п + 1)-го уровня, а другая часть объемом (1 — ipn)AnMn тратится на расширение производства уровня п. Будем считать, что последовательность {6П}Г не возрастает и что фондоемкость создания единицы мощности на п-ом уровне предприятием с (п— 1)-ого уровня равна 6n_i. С учетом этих предположений составляется уравнение экономического роста с граничными и начальными условиями вида В соответствии с гипотезой Шумпетера и с описанием имитационной составляющей в модели Полтеровича-Хенкина (1.12) ipn = p(Fn) = «о + А)(1 — Fn), где а0 0 и / 0 являются соответственно параметрами инновации и имитации. Если An = Л,n = 1,2,..., то систему (1.16) можно записать в виде (1.12) с а=\сУо, (3=\(3$. Если же числа Хп различны, то оказывается, что система (1.16) является возмущением системы (1.12). При дополнительных предположениях1 В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин доказали следующий результат:Теорема 2. (Полтерович-Хенкин, [18]) Пусть выполнены условия (а),(Ь) и последовательность Т = {Fn} определяется по решениям задачи (1.16), (1.17) по формуле (1.1Б). Тогда найдется константа d такая, что где F - функция, указанная в теореме 1 для a = Ac/, Р = Xf3 Отсюда следует, что функция распределения мощностей по уровням эффективности, определяемая по решениям задачи (1.16), (1.17) согласно формуле (1.15), асимптотически притягивается к волновому решению (1.14) уравнения вида (1.12) с а = Аао, Р — АД). Таким образом, стабильность формы кривой распределения получает более глубокое обоснование. Обсудим теперь вопрос о том, как транзакционные издержки влияют на скорость распространения новых технологий. Хотя природа этих издержек может быть различной2, с точки зрения предприятия они означают утрату определенной доли прибыли. В связи с вопросами, сформулированными во введении, хотелось бы проанализировать как вмешательство государства в процессы на микроуровне может повлиять на развитие научно-технического прогресса на макроуровне. Для этого учтем, что осуществление государством крупных проектов научно-технического развития ложится налоговым бременем на "зрелые"отрасли. Чем больше масштабы проектов и чем больше средств уже израсходовано на их осуществление, тем выше транзакционные издержки таких отраслей. Известны экономической системы, в рамках которых в одной и той же отрасли могут независимо сосуществовать технологические уклады на разных уровнях эффективности так, что достижения более передового уклада практически не передаются менее эффективным3. Для объяснения этого явления требуется модифицировать исходную модель. В [18] В.М.Полтерович и Г.М.Хенкин предложили обобщение модели, в которой динамика распределения предприятий по уровням эффективности описывалась с помощью уравнения Здесь 4 {Fn) - функция, описывающая интенсивность перехода на следующий уровень эффективности. В [26] доказано, что если 0(Fn) монотонно убывающая функция, то справедлива теорема об асимптотике решений, аналогичная случаю линейной функции 0(-Fn) = а + (3(1 — Fn). Если же функция 4)(Fn) не является монотонно убывающей функцией, то высказывается гипотеза, что асимптотика решений будет иметь несколько технологических укладов (подробнее см. в [26], [27], [29], [28]). В данной работе исследуется другая модификация, в которой сохраняется явное разделении механизма технологических сдвигов на инновацию и имитацию по Дж. Шумпетеру, но модифицируется модельное описание имитационного процесса. Естественно предположить, что предприятия могут имитировать не любую более передовую технологию, а лишь технологии соседнего более высокого уровня эффективности. Тогда во введенных выше обозначениях имитационную составляющую можно записать в виде f3{Fn+\ — Fn)(Fn-i — Fn), а система, описывающая эволюцию распределения предприятий по эффективности, выписывается следующим образом Начальные и граничные условия такие же, (1.13). При /5 = 0 получаем линейную систему решение которой выписывается в явном виде и представляет собой смещающийся в сторону роста эффективности диффузионный фронт. Численные решения модифицированной модели имеют качественно иное поведение, чем решения исходной модели. В отличие от модели Полтеровича-Хенкина, форма кривой, которая устанавливается при численном решении новой задачи Коши (1.24), (1.13), существенно зависит от начальных данных. На рис. 1.1 показано отличие формы распределения в плотностях fn = Fn — Fn_i в модели Полтеровича-Хенкина и модифицированной модели в один и тот же момент времени t = 500 для одинаковых начальных данных и параметров а и (3. Из рисунка видно, что в модели Полтеровича-Хенкина предприятия концентрируются около одного максимума, тогда как в модифицированной модели плотность распределения имеет несколько локальных максимумов, т.е. предприятия отрасли группируются в несколько технологических укладов. Для объяснения этих различий необходимо проанализировать асимптотическое поведение модифицированной и исходной моделей при а = 0, т.е. когда технологии распространяются только за счет имитации. При а = 0 уравнение модели Полтеровича-Хенкина имеет вид и, учитывая начальные условия (1.13), получаем конечную систему N-oro порядка Все остальные переменные, начиная с -F/v+ъ тождественно равны единице. Эта система имеет неподвижные точки Однако устойчивой является только точка (0,..., 0). Действительно, линеаризуем систему (1.26) в этой точке Получили линейную систему (1.25), решение которой выписано выше, и из него следует асимптотическая устойчивость линеаризованной системы в точке (0,..., 0). По теореме о линеаризации эта точка является асимптотически устойчивой и для системы (1.26). Все остальные неподвижные точки не являются устойчивыми. Действительно, решения уравнения (1.24) в любой момент времени образуют распределение4, поэтому все правые части системы (1.26) неположительны. Следовательно, все Fn(t) не возрастают, поэтому ни одно из них не может стремиться к единице. Таким образом, в модели Полтеровича-Хенкина процесс имитации сходится к единичной "ступеньке". Положим а = 0 в модифицированном уравнении (1.24). Снова с учетом начальных условий (1.13) имеем систему N-oro порядка. Замена переменных т = (3t, cn(t) — F/v+i_n(i) — F/v_n() приводит к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений которую принято называть конечной цепочкой Ленгмюра. Цепочка Ленгмюра первоначально возникла при описании явлений в физике плазмы. В [8] показано, что она является дискретным аналогом уравнения КдФ. В [21] цепочка Ленгмюра называется моделью Вольтерра, при этом она интерпретируется как иерархическая экосистема хищников - жертв. Рассмотрим конечную неотрицательную борелевскую меру /J,(dx), суммируемую на всей действительной оси. Каждой мере fi(dx) сопоставим марковскую функцию Обозначим через Sy, множество точек роста меры [і и положим /І(ОО)=0. Тогда марковская функция такой меры определена и ана-литична в области C\Sy. Разложим марковскую функцию в ряд Лорана в бесконечно удаленной точке где sn — J xn/i(dx)— степенные моменты меры fi(dx). Заметим, что при любом фиксированном t О правая часть формулы (2.28) для точного решения цепочки Ленгмюра представляет собой марковскую функцию единичной дискретной меры с конечным числом точек роста JV-H где ти = 1, rfiQ 0,..., rfiN 0 . Поэтому в дальнейшем в этом разделе будем рассматривать только единичные меры, /i(R) = 1, т.е. so = / n(dx) = 1. Отдельно будем оговаривать случай дискретных мер с конечным числом точек роста. По мере /і можно из линейно независимой системы 1, 2, z2,... процессом ортогонализации Гильберта-Шмидта построить последовательность ортонормированных относительно меры \i многочленов {Qn(z)} таких, что и коэффициент при старшей степени многочленов Qn положителен. Такая система ортонормированных многочленов определяется однозначно. В случае меры с конечным числом точек роста J мы имеем конечномерное пространство полиномов с J-мерным базисом 1, г,..., zJ l. Тогда в результате процесса ортогонализации Грамма-Шмидта мы получим ровно J ортонормированных многочленов, все остальные будут совпадать с их линейными комбинациями почти всюду по мере [і.] Поэтому, если в предложениях 4, 5, 6 число точек роста меры //() конечно и равно J, то будем рассматривать только многочлены степени не выше J — 1 и считать, что степень п рассматриваемых многочленов меняется от 0 до J — 1. Формулировки и схемы доказательств предложений 4, 5, 6 следуют утверждениям 5.2, 5.1, 5.3 из [15], соответственно. Поэтому для каждого из указанных предложений мы приводим точную ссылку на источник. Отличие, однако, заключается в том, что мы дополнительно учитываем случай мер с конечным числом точек роста, который имеет свои особенности по сравнению с мерами с бесконечным спектром, рассмотренными в [15]. Кроме того, мы явно не используем понятие и свойства позитивной последовательности. Предложение 4. ([15], стр. 64) Коэффициенты ортонормиро-ванных многочленов MODICHO выразить через степенные моменты меры fi. Справедливы соотношения - определители Гаикелл. Доказательство. Заметим, что если мера [і имеет бесконечное число точек роста, то Нп 0, п = 1, 2 Если же число точек роста меры \х конечно и равно J, то Нп 0, п = 1,..., J, и Нп = 0 для всех остальных п. Действительно, возьмем любой многочлен (п — 1)-ой степени Е сцхг и рассмотрим следующую неотрицательную квадратичную форму Если мера /І имеет бесконечное число точек роста, то эта квадратичная форма является строго положительно определенной, и, следовательно, по критерию Сильвестра определитель матрицы этой формы - в данном случае это n-ый определитель Ганкеля - тоже является положительным. Если же число точек роста меры [І конечно и равно J, то для всех п J квадратичная форма является вырожденной по мере /І, т.е. найдется такой многочлен п-ой степени, на котором эта квадратичная форма обращается в ноль. Поэтому по критерию Сильвестра определители Ганкеля порядка не выше J положительны, а все последующие равны нулю. Зафиксируем четыре произвольных набора ненулевых начальных данных с единичной нормировкой и обозначим эти наборы через (і), изображены кривые, которые соответствуют выбранным начальным распределениям, и для каждого из четырех начальных распределений показаны результаты вычислений модели (3.59) при двух различных а в одинаковые моменты времени t — 50 и t = 500. Решения для а = 0.001 изображены сплошной линией, для а = 0.0001 - пунктирной линией. На всех графиках по оси абсцисс отложены дискретные уровни эффективности технологии п = 0,1,...,. Из этих графиков видно, что для обоих значений а количество укладов равно 2 для начального распределения (і), 3 для (іі), 4 для (Ні), 5 для (iv), где укладу соответствует участок графика плотности распределения, эволюция которого зависит от процесса имитации. В соответствии с теоремой 5 предельное количество укладов для цепочки Ленгмюра-Вольтерра (а = 0) равно числу различных по абсолютному значению ненулевых собственных значений матрицы Якоби, составленной по начальным данным. Квадраты различных по модулю собственных значений матриц Якоби, составленных по нашим начальным распределениям, соответственно равны АІ = (0.3781,0.9258) Аа = (0.1680,0.5767,0.7995) Ащ = (0.0635,0.3768,0.5830,0.7170) AIV = (0,0.1637,0.3162,0.4472,0.5477,0.6109). Таким образом, для цепочки Ленгмюра-Вольтерра предельное число укладов равно 2 для набора начальных данных (і), 3 для набора (іі), 4 для (ііі), 5 для (iv), т.е. количество укладов, наблюдаемых в численных решениях нашей модели, и вычисленное для цепочки Ленгмюра-Вольтерра, в точности совпадают. Однако, наличие в модели (3.59) инновационной активности даже с малой интенсивностью, 0 а С/3, приводит к размыванию технологической кривой в целом и формы каждого из укладов. Количество технологий, образующих отдельный уклад, увеличивается, в отличие от ровно одной технологии на уклад в случае а = 0. Расстояние между различными укладами также увеличивается, образуя разрыв между укладами в несколько технологий, в отличие от всего одной технологии между укладами в случае а = 0. На рис. 3.3 на примере начального распределения (iv) и а = 0.001 показано как изменяется количество технологий внутри каждого из укладов. Из рисунка видно, что быстрее всего размывается самый отсталый уклад, а наиболее устойчивым является лидирующий уклад. Графики на рис. 3.4, 3.5 позволяют сравнить, как со временем эволюционирует распределение предприятий по укладам в модели (3.59) в случае а 0 и а = 0 (цепочка Ленгмюра-Вольтерра). На рис. 3.4,(а) сравнивается эволюция на примере начального распределения (іі) с 3 укладами при а = 0 и а = 0.001, на рис. 3.4,(6) при а = 0 и а — 0.0001 для того же начального распределения. Рис.3.5 показывает эволюцию распределения предприятий по укладам на примере другого начального распределения (iv) с 5 укладами. Здесь в качестве ненулевого а выбрано а = 0.001. На всех этих графиках по оси абсцисс отложено время. Из рисунков 3.4, 3.5 следует, что размеры укладов при а — 0 очень быстро притягиваются к своим предельным значениям, что согласуется с экспоненциальной оценкой скорости сходимости к аттрактору, полученной в главе 2 для цепочки Ленгмюра-Вольтерра. На рассматриваемых временах порядка (3 а размеры укладов, полученные при а 0, также притягиваются к соответствующим предельным значениям из формулы для аттрактора цепочки Ленгмюра-Вольтерра. При этом моменты установления укладов для случая а = 0 и для малых а 0 в модели (3.59) совпадают. Таким образом, до этого момента размеры укладов в модели при а 0 и а = 0 изменяются одинаково, т.е. независимо от а. Однако, в отличие от случая а = 0, при а 0 в модели (3.59) для некоторых начальных данных (см. рис. 3.5) наблюдаются колебания в эволюциии распределения предприятий по укладам. При этом колебания происходят вокруг соответствующих предельных значений из цепочки Ленгмюра-Вольтерра за счет "перетоков" предприятий между соседними укладами. Детальная иллюстрация этого эффекта представлена на рис. 3.5 на временах t Є [ЗО, 180]. Динамика распределения доли предприятий, использующих "медианную"8 технологию каждого из укладов, также показывает регулярные колебания (см. рис. 3.6).Модель экономического роста с транзакционными издержками
Моделирование многоукладной технологической структуры
Некоторые сведения из теории рациональных аппроксимаций
Режим формирования технологических укладов (режим цепочки Ленгмюра-Вольтерра)
Похожие диссертации на Моделирование распространения новых технологий
