Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Математическое моделирование распространения диссипативных солитонов в длинных волоконных лазерах . 15
1.1 Постановка задачи 15
1.2 Математическая модель 21
1.3 Результаты моделирования 31
Глава 2 Численное моделирование устойчивых режимов генерации диссипативных солитонов на основе комплексного нелинейного уравнения Гинзбурга-Ландау 41
2.1 Постановка задачи и математическая модель 41
2.2 Исследование семейства диссипативных солитонов комплексного нелинейного уравнения Гинзбурга-Ландау 45
Глава 3 Математическое моделирование импульсного волоконного лазера с пассивной синхронизацией мод на основе нелинейного вращения поляризации 59
3.1 Постановка задачи 59
3.2 Математическая модель 61
3.3 Результаты моделирования 67
Глава 4 Математическое моделирование распространения дисперсионно управляемых солитонов в волоконных лазерах в рамках нелинейного уравнения Шредингера 76
4.1 Постановка задачи 76
4.2 Лазерная установка и математическая модель 80
4.3 Результаты моделирования 85
Глава 5 Математическое моделирование распространения дисперсионно управляемых солитонов в волоконных лазерах в рамках системы нелинейных дифференциальных уравнений 92
5.1 Постановка задачи 92
5.2 Описание и апробация численного алгоритма 100
Заключение 109
Список литературы 111
- Математическая модель
- Исследование семейства диссипативных солитонов комплексного нелинейного уравнения Гинзбурга-Ландау
- Математическая модель
- Лазерная установка и математическая модель
Введение к работе
Актуальность темы. По сравнению с традиционными лазерами волоконные лазеры обладают рядом преимуществ, к числу которых относятся следующие: высокое качество выходного излучения, высокие стабильность и надежность лазера, эффективность накачки, компактность конструкции и низкая цена. Эти преимущества позволяют волоконным лазерам не только находить свою нишу в ряде применений, но и в некоторых случаях заменять традиционные лазеры. Большое разнообразие существующих волоконных лазеров позволяет использовать их в самых разных областях науки и производства в зависимости от требуемых характеристик генерируемого излучения. Разрабатываемые надежные и обладающие невысокой стоимостью импульсные волоконные лазеры находят широкое применение в области телекоммуникаций, а также используются в качестве медицинских инструментов, для промышленной обработки материалов и во многих других областях. Число приложений в науке и промышленности, где применяются волоконные лазеры, продолжает расти [].
Существует несколько направлений развития современных волоконных лазерных систем. В диссертационном исследовании решается ряд задач, относящихся к разработке лазеров, генерирующих высокоэнергетичные импульсы, а также к разработке фемтосекундных волоконных лазеров.
Поскольку увеличение длины лазерного резонатора с положительной дисперсией приводит к возможности генерации высокоэнергетичных импульсов, интерес представляет исследование диссипативных солитонных волоконных лазеров с длинными резонаторами. Особый интерес представляет исследование основных физических механизмов установления одноимпульсных режимов генерации и распространения импульса в волокне для подобных лазерных конфигураций. Данные исследования сопряжены с рядом проблем, например в таких системах велико влияние различных нелинейных эффектов, что может приводить к неустойчивостям. Исследования, включающие в себя математическое моделирование и направленные на изучение возможности контроля нелинейных эффектов, а также понимание механизмов генерации импульсов в длинных волоконных лазерах, способствуют дальнейшему развитию данного перспективного направления получения импульсов с высокой энергией.
Также за последнее десятилетие объектом активных научных исследований стали волоконные лазеры, генерирующие сверхкороткие
импульсы фемтосекундной длительности. Осуществлять генерацию таких импульсов позволяет техника дисперсионного управления, при использовании которой в волоконном лазере задействованы элементы с противоположной по знаку дисперсией, в результате чего импульс испытывает периодические изменения длительности и мощности во время обхода резонатора. Знак внутрирезонаторной дисперсии в таких системах меняется путем изменения параметров резонатора, что позволяет получать импульсы с необходимыми характеристиками. Решение оптимизационных задач с использованием математического моделирования позволяет разрабатывать конфигурации волоконных лазеров, генерирующих излучение, которое обладает свойствами, необходимыми для конкретного заданного приложения.
Существуют два подхода к математическому описанию волоконных лазеров. Первый подход, точечный, основан на точном сопоставлении каждому из элементов лазера своей математической модели и последовательном учете действия каждого из устройств резонатора. Этот подход, несмотря на свою большую точность, плохо применим к задачам оптимизации, когда среди многих параметров лазерной системы необходимо выбрать один набор, позволяющий получить необходимые характеристики излучения. Поскольку в таком случае необходимо проводить затратные по времени расчеты для каждого из наборов параметров, нахождение оптимальной конфигурации потребует значительных временных и вычислительных затрат. Поэтому также существует и второй подход к моделированию - распределенный, когда в одном уравнении учитываются все основные физические эффекты, оказывающие наиболее значительное влияние на формирование импульса. При реализации распределенного подхода существует возможность перехода к меньшему числу независимых параметров. Исследование особенностей использования распределенных моделей делает возможным решение сложных оптимизационных задач в многомерном пространстве параметров резонатора.
Примером упрощенной математической модели, способной значительно упростить процесс решения трудоемких оптимизационных задач, может служить система обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих «быструю» (т.е внутрирезонаторную) динамику основных характеристик диссипативных солитонов в волоконных лазерах с дисперсионным управлением. Поэтому актуальной является разработка эффективного численного алгоритма для решения данной системы,
который бы позволял использовать произвольные начальные приближения, соответствовал реальному поведению оптического импульса в резонаторе с дисперсионным управлением, а также позволял решать поставленную задачу без значительных вычислительных затрат.
В диссертационной работе рассматриваются рассматриваются вопросы, охватывающие все перечисленные направления исследований. В целом актуальность диссертационной работы обусловлена как кругом решаемых задач, так и широким спектром практических применений волоконных лазерных систем.
Цели работы.
1. Исследование возможности генерации и анализ характеристик
оптического импульса в лазерных резонаторах различных типов методами
математического моделирования.
-
Разработка численного алгоритма для решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику диссипативных солитонов в волоконных лазерах с дисперсионным управлением и насыщением энергии.
-
Анализ свойств экспериментальных волоконных лазерных систем с пассивной синхронизацией мод на основе нелинейного вращения поляризации и насыщающегося поглотителя.
4. Разработка комплексов программ по моделированию волоконных
лазеров с кольцевым и линейным резонаторами.
Научная новизна и значимость работы.
-
Впервые численно получены устойчивые режимы генерации в диссипативном солитонном волоконном лазере с длиной резонатора до 2 км. Найдена зависимость формы получаемых импульсов от длины резонатора.
-
Впервые проведен численный анализ устойчивости семейства аналитических решений модифицированного уравнения Гинзбурга-Ландау и установлено, что их форма и характеристики зависят от единственного параметра.
-
Впервые на основе численного решения векторного уравнения Гинзбурга-Ландау установлен характер зависимости максимально достижимой энергии импульса от длины резонатора и угла поворота пластинок поляризации в волоконном лазере с пассивной синхронизацией мод на основе эффекта нелинейного вращения поляризации.
4. Впервые разработан итерационный численный алгоритм
для нахождения периодических решений системы нелинейных
дифференциальных уравнений, описывающих динамику характеристик одноимпульсных режимов генерации в дисперсионно управляемом волоконном лазере, что позволило провести исследование зависимости решений системы от ее параметров.
Научная и практическая значимость работы.
1. Разработанные комплексы программ позволяют проводить
математическое моделирование распространения оптических импульсов в
волоконных лазерах и могут быть применены для оптимизации волоконных
лазеров различных конфигураций с целью получения лазерных импульсов с
требуемыми характеристиками.
2. Предложенный итерационный численный алгоритм позволяет
повысить производительность вычислений в ходе моделирования волоконных
лазеров с дисперсионным управлением.
Материалы работы были использованы при выполнении государственных контрактов № 11.519.11.6038 от 19 июня 2012 г. и № 11.519.11.4001 от 18 августа 2011 г. (в рамках ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технического комплекса России на 2007-2013 годы»). В настоящее время исследования продолжаются в рамках договора № 14.B25.31.0003 «Физическая платформа нелинейных фотонных технологий и систем».
Достоверность результатов, полученных в работе, основана на верификации результатов исследований путем сравнения их с результатами натурных экспериментов; достоверность теоретических положений основана на их строгом математическом обосновании.
На защиту выносятся:
1. Полученные на основе вычислительных экспериментов зависимости
формы и характеристик диссипативного солитона от длины резонатора
волоконного лазера.
2. Полученная в работе однопараметрическая зависимость формы
аналитического и численного семейств диссипативных солитонных решений
модифицированного уравнения Гинзбурга-Ландау.
3. Определенный на основе вычислительных экспериментов
оптимальный набор параметров, максимизирующий энергию оптического
импульса в волоконном лазере с пассивной синхронизацией мод на основе
эффекта нелинейного вращения поляризации.
4. Методика получения узких дисперсионно управляемых солитонов
с максимально возможной энергией путем изменения длины резонатора и
знака средней дисперсии в тулий-гольмиевых волоконных лазерах.
5. Итерационный численный алгоритм нахождения периодических решений системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих «быструю» динамику характеристик дисперсионно управляемых солитонов.
Представление работы. Основные результаты работы докладывались на объединенном семинаре ИВТ СО РАН, кафедры математического моделирования НГУ и кафедры вычислительных технологий НГТУ «Информационно-вычислительные технологии» под руководством академика Шокина Ю.И. и профессора Ковени В.М. (2013 г.), на научно-методическом семинаре ИВТ СО РАН «Информационно-вычислительные технологии в задачах поддержки принятия решений» под руководством академика Шокина Ю.И., профессора Чубарова Л.Б. и профессора Федорука М.П. (2010–2012 гг.), на конференции LPHYS’11 (20th International Laser Physics Workshop, Sarajevo, Bosnia and Herzegovina, July 11–15, 2011), на III-й Всероссийской конференции по волоконной оптике (ВКВО-2011, г. Пермь, 12–14 октября 2011 г.), на V-м Российском семинаре по волоконным лазерам (г. Новосибирск, 27–30 марта 2012 г.), на IV-й Всероссийской конференции по волоконной оптике (ВКВО-2013, г. Пермь, 16–18 октября 2013 г.).
Было получено два свидетельства о регистрации программ для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности.
Публикации. По теме диссертации было опубликовано 4 статьи в журналах, входящих в перечень Высшей аттестационной комиссии Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве изданий, рекомендуемых для опубликования основных научных результатов диссертации на соискание ученой степени кандидата и доктора наук. Также имеются публикации в трудах конференций.
Личный вклад автора. Проведенное в работе исследование является самостоятельным авторским исследованием. Автором разработан итерационный численный алгоритм нахождения периодических решений системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих «быструю» динамику характеристик дисперсионно управляемых солитонов, проведено численное моделирование диссипативных и дисперсионно управляемых волоконных лазеров различных конфигураций, а также осуществлена программная реализация математических моделей.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 37 рисунков и 3 таблицы,
количество источников в библиографическом списке равно 127. Объем диссертации — 124 страницы.
Математическая модель
Для борьбы с описанными выше ограничениями на характеристики выходного излучения волоконного лазера в резонатор помещают элементы с положительной дисперсией, тем самым применяя технологию дисперсионного управления. В первой попытке длительность импульса была уменьшена путем помещения в резонатор короткого отрезка эрбиевого волокна с нормальной дисперсией и призмы с аномальной дисперсией, компенсирующей положительную дисперсию в линейном резонаторе [8]. Путем использования такой техники были получены импульсы длительностью 84 фс и с энергией равной 10 пДж, однако в продемонстрированном лазере отсутствовала возможность самостарта (формирования импульса из шума). Вскоре после этого Тамура с соавторами впервые представил технику, при которой использовался полностью волоконный кольцевой резонатор, состоящий из чередующихся сегментов волокна с большой положительной и отрицательной дисперсией [9]. Ключевым свойством импульсов при использовании данной техники является то, что знак параметра фазовой модуляции (чирпа) меняется от положительных до отрицательных значений, принимая нулевое значение вблизи середины каждого такого дисперсионного сегмента. Поскольку знак произведения параметра фазовой модуляции и дисперсии также меняется, импульс расширяется и сужается дважды за один обход резонатора и имеет наименьшую длительность в точке, где параметр фазовой модуляции принимает нулевое значение. В отличие от распространения классического солитона в световоде, в данном случае длительность импульса может изменяться на порядок за обход резонатора, что позволяет уменьшить среднюю пиковую мощность в сравнении со средней пиковой мощностью солитона с той же шириной спектра, который имеет ограничения на его изменения. Данное свойство позволяет эффективно генерировать импульсы с большой энергией и широким спектром, что близко к системам с дисперсионным управлением в линиях связи [10]. Несмотря на возможность получать высокие энергии и мощности, такие лазеры также могут быть подвержены солитонным неустойчивостям, таким как разрушение импульса, когда импульс приобретает большие значения параметра фазовой модуляции на волоконном сегменте с аномальной дисперсией. Поскольку порядок параметра фазовой модуляции связан с пиковой мощностью, это накладывает ограничение на пиковую мощность и, следовательно, на энергию импульса.
Ограничения, накладываемые на распространение импульса в области с аномальной дисперсией групповых скоростей, стимулировали развитие нового поколения лазеров с пассивной синхронизацией мод с исключительно нормальной дисперсией. Так, распространение параболических автомодельных импульсов в световоде с положительной дисперсией было продемонстрировано в работах [11,12]. Компенсация дисперсии в резонаторе осуществлялась при помощи объемных оптических элементов, таких как, например, дифракционные решетки. Данные лазеры завоевали популярность, так как позволили добиться генерации импульсов фемтосекундной длительности с энергией порядка 10 нДж. Стоит отметить, что распространение импульса в волокне с положительной дисперсией сопровождается увеличением его длительности и ширины спектра, а также ростом абсолютного значения параметра фазовой модуляции. Поэтому в лазере со всюду положительной дисперсией должны быть задействованы диссипативные процессы для компенсации влияния дисперсии [13, 14]. Таким образом, погоня за большей энергией импульса привела к появлению лазерных резонаторов с большей нормальной дисперсией, а также лазеров, в которых вовсе отсутствуют участки световода с отрицательной дисперсией. Так, Чонг с соавторами предложил использовать спектральный фильтр в лазере со всюду положительной дисперсией с целью генерации так называемых диссипативных солитонов с энергией свыше 20 нДж и пиковой мощностью, превышающей 100 кВт, в стандартном телекоммуникационном волокне, генерирующем излучение на длине волны 1 мкм [15,16].
Таким образом, эволюция диссипативных солитонов в лазерном резонаторе принципиально отличается от эволюции классических солитонов или дисперсионно управляемых импульсов. Длительность таких импульсов увеличивается при распространении, а знак параметра фазовой модуляции не изменяется. Изменение длительности импульса, параметра фазовой модуляции и ширины спектра компенсируются точечно расположенными диссипативными элементами [17], такими как ответвитель или насыщающийся поглотитель.
Согласно приведенному выше обзору, можно заключить, что в зависимости от применения волоконных лазеров существует несколько основных направлений исследования волоконных лазерных систем: получения импульсов с макси 20 мально возможной энергией (с использованием резонаторов с полностью нормальной дисперсией, путем увеличения длины волокна), получение импульсов с наименьшей длительностью (при помощи техники дисперсионного управления). Ниже будут рассмотрены основные аспекты математического моделирования диссипативных солитонных волоконных лазеров с кольцевым резонатором длиной до 2 км.
Длина резонатора является важным параметром волоконной лазерной системы, который определяет характеристики оптических импульсов [18]. В импульсных волоконных лазерах при значительном увеличении длины резонатора появляется возможность достигнуть значительного увеличения энергии импульса [19,20]. В последнее время большое число теоретических исследований и экспериментов было посвящено волоконным лазерам с высокой энергией полученных импульсов с длиной резонатора в несколько километров без использования традиционных техник, таких как модуляция добротности и открытие резонатора (например, см. [19–24]). Волоконные лазеры обеспечивают возможность использования большого количества нелинейных механизмов при получении и формировании излучения [3, 25–33]. При этом нелинейные эффекты делают численное моделирование волоконных лазеров довольно трудной задачей. Численное моделирование волоконных лазерных систем со сверхдлинным резонатором затруднено из-за таких технических сложностей, как большое время вычислений и необходимость использования значительных вычислительных ресурсов. Математическое моделирование лазеров с такими длинными резонаторами также осложнено влиянием нелинейных эффектов, ведущим к неста-бильностям, что требует дополнительного внимания при моделировании. В последнее время численное моделирование было применено для анализа свойств длинных волоконных лазеров с пассивной синхронизацией мод с использованием нелинейного вращения поляризации с длиной резонатора от 100 м [22,23] до 8 км [20].
Исследование семейства диссипативных солитонов комплексного нелинейного уравнения Гинзбурга-Ландау
Нарисуем область определения аналитического решения в плоскости ( , ). Здесь L = -R. А величины , L2 обезразмерены следующим образом: /2 = д/р /7, l = д/р /7. Поскольку существует две ветки аналитического решения, в этой плоскости наблюдается неоднозначность представления точек 1, 2, 3, 4, отмеченных на рисунке 13.
Здесь красная и синяя линии соответствуют аналогичным линиям на рисунке 13.
Поскольку представленное выше аналитическое решение имеет две ветки, уравнение (17) было решено численно с целью проанализировать устойчивость обеих веток решения в областях III и IV. Для численного решения был использован симметричный вариант метода Фурье расщепления по физическим процессам, имеющий второй порядок точности по z и описанный подробно в предыдущей главе. Число узлов по времени — 216 и число узлов по пространству на один обход кольцевого резонатора — 4000. При меньшем числе узлов в области IV в некоторых случаях наблюдалось разрушение решения, в то время как увеличение числа узлов не влияло на установление решения. Решение считалось устойчивым, если относительное изменение энергии є = \ЕІ — ЕІ+І\/ЕІ не превышало 10-8 в течение по крайней мере 200 обходов резонатора, что обычно происходило после не более 1000 обходов в зависимости от использованного набора параметров системы.
В случае моделирования с использованием распределенной модели на основе комплексного нелинейного уравнения Гинзбурга-Ландау (17) на линейном шаге в частотной области решается дифференциальное уравнение вида: В области IV (рисунок 13) отмечены точки с координатами (о у/Рк, а/к), равными: 1. (0.9, 0.04), 2. (0.5, 0.13), 3. (0.75, 0.006) и 4. (1.5, 0.007). Для каждой точки было проведено несколько вычислений с различными начальными данными. В качестве начального распределения брались гауссов импульс, а также аналитическое решение для положительной и отрицательной веток. Кроме того, для выбранных точек (1-4) устойчивость решения была достигнута из «белого шума» с гауссовой огибающей в качестве начального распределения. А именно: в течение первых 10 обходов резонатора добавлялось случайное распределение, ограниченное по времени. После этого решение выходило на стационарный режим самостоятельно. С обычным белым гауссовым шумом в качестве начального распределения образование устойчивого решения происходило приблизительно в одном из 10 случаев, что обусловлено неприменимостью представленной распределенной модели на основе комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау для моделирования с использованием шумовых начальных данных. Стоит упомянуть, что для образования устойчивого состояния, значения начальной энергии и длительности начального распределения не могут различаться более чем на один порядок от характеристик результирующего решения. В противном случае синхронизации мод не происходит и начальное возмущение затухает.
Было установлено, что для каждого набора параметров в области IV существует устойчивое решение в виде положительной ветки аналитического решения. Численное моделирование с использованием каждого из предложенных начальных распределений приводило к этому решению. На рисунке 14 представлен процесс установления энергии импульса для набора параметров из области IV для трех различных начальных распределений (аналитическое решение для положительной ветки, аналитическое решение для отрицательной ветки, гауссов импульс). Рисунок наглядно иллюстрирует процесс установления численного решения к положительной ветке аналитического решения. В противоположность полученному для области IV результату, в области III не было найдено устойчивых решений, даже если аналитическое решение для отрицательной ветки было взято в качестве начального распределения (как было сказано выше, положительного решения в этой области не существует). Все начальные приближения либо разрушались после 300-500 обходов резонатора, либо неограниченно расширялись во временной области, в то время как амплитуда оставалась неизменной. Подобное поведение было описано в [74] для отрицательной ветки для слабочирпованного солитонного решения [73].
Полученные результаты позволяют сделать вывод, что отрицательная ветка неустойчива во всей области существования (области III и IV), в то время как положительная ветка устойчива в своей области существования (область IV).
Также было проведено моделирование для нескольких точек в областях I и III с различными наборами параметров уравнения 17. Было получено, что в области I существуют устойчивые решения для слабого чирпа / 1, в то время как сильночирпованные решения не существуют в этой области. В то же время не было получено никаких устойчивых решений в области III, ни для сильного, ни для слабого чирпа. Таким образом, область IV — единственная область существования и устойчивости для сильночирпованных решений уравнения (17).
Математическая модель
Компенсацию дисперсии лучше проводить с использованием элементов, сохраняющих полностью волоконную конструкцию резонатора. С этой целью техника дисперсионного управления в основном основана на использовании волоконных брэгговских решеток (FBG, fiber Bragg grating), микроструктурированных волокон и участков волокон с противоположной по знаку дисперсией.
В микроструктурированных волокнах светопередающая структура образуется воздушными каналами (например, цилиндрической формы), окружающими сплошную или полую сердцевину волокна [98,99]. Микроструктурированные волокна с полой сердцевиной были впервые использованы для компенсации дисперсии в солитонном лазере, генерирующем излучение на длине волны 1 мкм [100]. В 2009 году такие волокна были исследованы в качестве среды для распространения солитонов [101].
Другой разновидностью волокон являются оптические волокна с фотонными запрещенными зонами (photonic bandgap fibers, PBG), локализация света в сердцевине которых происходит благодаря зеркальному отражению от оболочки, содержащей двумерный массив воздушных отверстий [102]. С помощью таких волокон возможно обеспечить аномальную дисперсию на длинах волн, меньших длины волны с нулевой дисперсией в кварцевом стекле [103].
При помощи таких микроструктурированных волокон можно создавать волоконные резонаторы различной структуры, что позволяет получать волоконные лазеры с необходимыми дисперсионными характеристиками. Однако, излучение в микроструктурированных волокнах подвергается значительному воздействию дисперсий высоких порядков.
Применение отрезков волокон с противоположной по знаку дисперсией. С целью сохранения полностью волоконной конструкции резонатора для компенсации дисперсии также используются участки волокон с противоположной по знаку дисперсией. Например, в работе [21] специальные телекоммуникационные волокна с нормальной дисперсией на длине волны 1550 нм применялись для компенсации дисперсии в сверхдлинном эрби-евом волоконном лазере с синхронизацией мод. Данная технология обеспечила положительную внутрирезонаторную дисперсию, что позволило получить импульсы с энергией порядка 1.7 мкДж.
Волоконные брэгговские решетки. Другим направлением исследований в области дисперсионного управления являются дифракционные решетки. Брэгговские решетки показателя преломления используются в волоконных лазерах в качестве селективных отражателей, образующих лазерный резонатор [104,105]. В общем случае волоконная брэгговская решетка показателя преломления является типом распределенного брэгговского отражателя, помещенного в короткий сегмент оптического волокна, который отражает определенные длинны волн и передает все оставшиеся.
Разработка методики записи внутриволоконных брэгговских отражающих решеток [106] позволила формировать брэгговские зеркала, образующие резонатор непосредственно в волоконных световодах, и реализовать широкий набор полностью волоконных лазерных конфигураций.
Показатель преломления решетки может быть изменен с целью добавления новых свойств, например, чирпа (фазовой модуляции). Длина отраженной волны изменяется с изменением периода брэгговской решетки, тем самым расширяя спектр излучения. Брэгговские решетки, обладающие чирпом, имеют свойство добавлять дисперсию, так как различные длины волн отражаются от решетки с различным запаздыванием. Эти так называемые чирпованные волоконные брэгговские решетки (chirped fiber Bragg grating, CFBG) позволяют добиваться значительной компенсации дисперсии при короткой длине резонатора [107]. Например, в работе [108] чирпованные волоконные брэгговские решетки использовались в качестве компенсаторов нормальной дисперсии в иттербиевом волоконном лазере с длиной волокна, равной 1.5 м. А в работе [109] такие решетки компенсировали аномальную дисперсию в лазере с активным тулий-гольмиевым волокном, что позволило добиться генерации импульсов на длине волны 1987 нм.
Чирпованные волоконные брэгговские решетки обычно накладывают дополнительные ограничения на спектральную ширину импульса, и в случае использования CFBG достижение необходимой ширины спектра требует увеличения чирпа, что ухудшает отражающие свойства брэгговских зеркал.
В описанных в диссертационной работе экспериментальных или теоретических лазерных системах с дисперсионным управлением для компенсации дисперсии использовались чирпованные волоконные брэгговские решетки (в данной главе) и участки волокон с противоположной по знаку дисперсией (глава 5).
В данной главе рассмотрим поведение солитонов в волоконном лазере с дисперсионным управлением на примере тулий-гольмиевого волоконного лазера.
Для многочисленных практических приложений требуется генерация оптических импульсов с высокой энергией на длинах волн, сдвинутых к середине инфракрасной области. Тулий-гольмиевые лазеры обладают широкой полосой усиления в области длин волн между 1.65 и 2.1 мкм и, тем самым, используются для генерации коротких импульсов с широкой спектральной настройкой [29]. Обычно в волоконных лазерах, генерирующих импульсы с большой энергией, участки волокна с аномальной дисперсией имеют небольшую длину либо вообще отсутствуют в резонаторе. Однако данное требование достаточно сложно удовлетворить при увеличении длины волны генерируемого излучения. Это связано с ограниченной доступностью волокон с нормальной дисперсией на требуемых длинах волн. Обычное оптическое волокно, работающее на длине волны 2 мкм, имеет большую аномальную дисперсию, тем самым распространение импульса по нему подвержено солитонным неустойчивостям. Включение в лазерный резонатор волоконного сегмента с отрицательной дисперсией групповых скоростей приводит к ограничению пиковой мощности импульса, поскольку для получения колебательного характера параметра чирпа требуется большая ширина спектра импульса. Такая ширина спектра приводит к расщеплению спектра импульса и разрушению импульса во временной области [28]. Для того чтобы обойти данные нестабильности, в тулий-гольмиевых лазерах применяется техника дисперсионного управления [10,28,72], так нормальная дисперсия обеспечивается за счет волоконной чирпованной брэгговской решетки [109], при этом знак средней дисперсии резонатора меняется при изменении длины пассивного волокна.
Лазерная установка и математическая модель
Эффективность представленного алгоритма заключается в соответствии организации итерационного процесса действительному поведению оптического импульса с ненулевым параметром фазовой модуляции в среде с различными знаками дисперсии. В лазерном резонаторе с дисперсионным управлением происходит периодическое расширение и сжатие солитона, что приводит к колебаниям пиковой мощности сигнала. Такой итерационный алгоритм существенно сокращает время, затраченное на вычисления.
Еще одним достоинством представленного алгоритма является возможность зафиксировать энергию солитона на предварительно установленном уровне, строго соответствующем балансу коэффициентов усиления и потерь системы (64). Например, метод стрельбы не позволяет фиксировать энергию солитонно-го решения на нужном заранее установленном уровне, что приводит к невозможности получить нужное решение.
В общем случае итерационный процесс может не сойтись к периодическому решению системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Это говорит не об отсутствии устойчивости итерационного алгоритма, а об отсутствии импульсной генерации в дисперсионно управляемом лазере с заданным набором параметров. Таким образом, представленный численный алгоритм позволяет не только сократить расчетное время, но и исследовать области устойчивой импульсной генерации диссипативных дисперсионно управляемых оптических солитонов в рамках системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих «быструю» динамику центральной части импульса.
Было проведено сравнение полученных результатов решения системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с результатами моделирования при помощи нелинейного уравнения Шредингера (рисунок 35). Таким образом, видно, что приведенный выше подход к моделированию распространения оптического импульса в резонаторе имеет хорошее согласование с моделированием при помощи точечной модели, несмотря на распределенный учет действия оптических устройств в лазере и применение ряда аналитических приближений. Максимальное рассогласование двух представленных на графике решений наблюдается для пиковой мощности импульса и составляет 10% в середине лазерного резонатора.
Еще одной важной характеристикой решений системы уравнений для консервативного случая является существование и стационарное расположение точки с нулевым параметром фазовой модуляции (C = 0) в середине волоконного сегмента с отрицательной дисперсией. Для рассматриваемой дисперсионной карты параметр фазовой модуляции принимает нулевое значение при z = 0 и z = 1.
Апробация приведенного выше численного алгоритма нахождения периодических решений системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений подтверждает данные факты. Так на рисунке 36 представлена зависимость нормализованной ширины импульса от нормализованной пиковой мощности. Линии уровня соответствуют различным значениям нормированной средней дисперсии импульса D /D. Параметры солитона сняты в центре волокна дисперсионной карты, обладающего отрицательной дисперсией. В этой точке выполнено C = 0, то есть импульсы обладают нулевым параметром фазовой модуляции.
В общем случае коэффициенты диссипативной системы не равны нулю, а периодические решения не всегда имеют точку внутри дисперсионной карты, где параметр фазовой модуляции C = 0, поэтому параметры солитона в общем слу 108 чае считываются в точке лазерного резонатора, где достигается минимальная ширина оптического импульса. Наличие или отсутствие точки с нулевым параметром фазовой модуляции преимущественно определяется знаком средней дисперсии. Так в резонаторах с нормальной средней дисперсией такая точка отсутствует.
В ходе исследования было изучено влияние средней дисперсии D и глубины вариации дисперсии D на энергию диссипативного дисперсионно управляемого солитона в точке минимальной ширины внутри резонатора. Для этого был выбран некоторый набор коэффициентов системы (60)-(63). Рисунок 37 иллюстрирует зависимость энергии импульса от нормированной средней дисперсии. Линии уровня соответствуют различным значениям дисперсионных глубин. Представленный ниже график получен при фиксированных коэффициентах системы: g0 = 3, /о = 0.5, v = 0.3, Єо = 10, є = 0.3. Как видно из рисунка 37, существует нетривиальная граница раздела между областями существования дисперсионно управляемых солитонов с нулевым и ненулевым значениями параметра фазовой модуляции в точке минимальной ширины в резонаторе. На рисунке решениям, для которых выполняется С = 0, соответствуют сплошные линии, решениям с ненулевым параметром фазовой модуляции — пунктирные. В окрестности этой границы существуют солитоны с минимальной энергией при фиксированном значении глубины вариации дисперсии D.
Как видно из графика, в случае диссипативной системы не наблюдается неоднозначности решений системы, что характерно для консервативного случая. Каждому фиксированному значению глубины вариации дисперсии D соответствует свой минимум энергии солитона, а также существует общий верхний предел энергии, часто недостижимый в области существования.
Таким образом, описан и апробирован алгоритм нахождения периодических решений системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих «быструю» динамику диссипативных солитонов, а именно их основных характеристик: ширины, пиковой мощности, параметра фазовой модуляции. Результаты моделирования с использованием данного подхода показали хорошее соответствие с результатами, полученными при использовании нелинейного уравнения Шредингера.
