Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Состояние и проблемы развития методов статистического контроля технологического процесса 15
1.1. Статистический контроль технологического процесса как проблема вероятностной диагностики 15
1.2. Контрольные карты Шухарта 19
1.2.1.Карты средних значений 20
1.2.2.Карты характеристик рассеивания 24
1.2.3.Анализ чувствительности карт 27
1.3. Контрольные карты для обнаружения малых смещений . 33
1.3.1.Карты кумулятивных сумм 33
1.3.2.Карты экспоненциально взвешенных скользящих средних 41
1.4. Многомерные контрольные карты 42
1.4.1 .Карта Хотеллинга 42
1.4.2.Карты многомерных кумулятивных сумм 50
1.4.3.Карта многомерных экспоненциально взвешенных скользящих средних 53
1.5. Выводы 54
Глава 2. Многомерный статистический контроль технологического процесса с использованием карты Хотеллинга 57
2.1. Сравнительный анализ контрольных карт Шухарта и Хотеллинга 57
2.1.1. Использование карт Шухарта при многомерном контроле 57
2.1.2. Карты Шухарта на главных компонентах 60
2.1.3. Анализ чувствительности контрольных карт 66
2.2. Интерпретация карты Хотеллинга 74
2.2.1. Частный критерий Хотеллинга 74
2.2.2. Неслучайные структуры 75
2.3. Воспроизводимость многомерного процесса 82
2.4. Контрольная карта Хотеллинга с предупреждающей границей 88
2.4.1. Постановка вопроса 88
2.4.2. Определение положения границ карты 90
2.4.3. Сравнительный анализ карт 95
2.5. Многомерный контроль в условиях нарушения нормальности распределения показателей 96
2.5.1. Постановка вопроса 96
2.5.2. Распределения Джонсона 100
2.5.3. Оценка параметров 103
2.6. Карта Хотеллинга для технологического рассеивания 106
2.6.1. Характеристики многомерного рассеивания 106
2.6.2. Многомерные карты стандартных отклонений 109
2.7. Выводы 112
Глава 3. Методы обнаружения малых смещений при многомерном контроле технологического процесса 114
3.1. Алгоритмы многомерных кумулятивных сумм 114
3.1.1. Основные зависимости 114
3.1.2. Методы анализа чувствительности 116
3.1.3 .Статистические испытания для оценки параметров 120
3.2. Алгоритм многомерных экспоненциально взвешенных скользящих средних 123
3.2.1 .Оценка параметров 123
3.2.2. Использование предупреждающей границы 129
3.2.3. Методика построения контрольной карты 131
3.3.Сравнительный анализ .чувствительности различных типов контрольных карт 134
3.4. Обнаружение малых изменений рассеивания процесса . 137
3.5. Выводы 141
Глава 4. Контроль технологического процесса по регрессионным остаткам 143
4.1. Постановка задачи 143
4.2. Построение регрессионных моделей 147
4.2.1 .Методология регрессионного моделирования 147
4.2.2.Независимые регрессии 155
4.2.3.Псевдонезависимые регрессии 165
4.2.4.Регрессии на откликах - главных компонентах 169
4.3. Выбор оптимальных моделей 171
4.3.1.Внутренние меры качества модели 171
4.3.2.Внешние критерии 173
4.3.3.Сравнительный анализ моделей 177
4.3.4.Статистические испытания моделей 193
4.4. Оценка параметров регрессионных остатков 194
4.5. Контрольные карты регрессионных остатков 199
4.6. Выводы 198
Глава 5. Программное обеспечение многомерного статистического контроля технологического процесса 201
5.1. Методика многомерного контроля технологического процесса 201
5.1.1. Предварительный анализ процесса 201
5.1.2. Мониторинг процесса 203
5.1.3. Диагностика нарушений процесса 205
5.1.4. Принятие решения по результатам контроля 206
5.2. Использование универсальных статистических пакетов 212
5.3. Программный комплекс многомерного статистического контроля 220
5.3.1.Программа многомерного статистического контроля всей совокупности показателей 221
5.3.2.Программа контроля подмножества показателей качества по регрессионным остаткам 227
5.3.3.Программа нормализации данных 230
5.3.4.Программа поддержки принятия решения по управлению технологическим процессом 232
5.4. Примеры практических расчетов 236
5.5. Выводы 242
Заключение 244
Список использованных источников 248
Приложения 278
- Контрольные карты для обнаружения малых смещений .
- Контрольная карта Хотеллинга с предупреждающей границей
- Алгоритм многомерных экспоненциально взвешенных скользящих средних
- Использование универсальных статистических пакетов
Введение к работе
Актуальность работы •
Одна из важнейших задач любого предприятия -обеспечение высокого качества выпускаемой продукции. Система качества предприятия ориентирована на обеспечение такого уровня качества продукции, который необходим потребителю. Наличие сертифицированной системы качества обосновывает способность предприятия стабильно выпускать продукцию соответствующего качества и является доказательством конкурентоспособности предприятия.
Важнейшее требование к системам качества — активное использование необходимых статистических методов для принятия обоснованных решений на всех этапах жизненного цикла продукции: при исследовании рынка, проектировании, материально-техническом снабжении, подготовке производства и производстве, испытаниях, упаковке и хранении, реализации, монтаже, эксплуатации, сервисном обслуживании, утилизации.
Наиболее широкое применение статистические методы находят на этапе производства и контроля готовой продукции. В частности, процедуры обеспечения стабильности технологических процессов в системах качества по моделям стандартов ИСО серии 9000 регламентированы стандартами и рекомендациями.
Статистические методы анализа точности, стабильности и управления технологическими процессами активно применяются в машиностроении и приборостроении, в химической и пищевой промышленности, в электронике и радиотехнике, - везде, где имеет место серийный выпуск продукции. Методы, регламентированные нормативными документами, предусматривают контроль технологического процесса, как правило, лишь по одному (наиболее важному) показателю качества выпускаемого изделия.
Между тем качество изделия обычно характеризуется несколькими показателями; эти показатели могут быть коррелированны между собой. В последнем случае независимый контроль по отдельным показателям может привести к значительным погрешностям вследствие различия доверительных областей и невозможности определения совместного уровня значимости.
В результате возникают ошибки, связанные как с пропуском нарушения в технологическом процессе, ведущего к выпуску бракованной продукции, так и с необоснованной остановкой процесса для регулировки.
До сравнительно недавнего времени использование статистических методов на производстве было ориентировано на расчеты вручную, и о применении методов многомерного контроля вопрос не стоял, несмотря на то, что многие проблемы многомерного статистического анализа были успешно решены еще к середине прошлого века.
Использование современной компьютерной техники и соответствующего программного обеспечения позволяет обеспечить надежный контроль технологического процесса с учетом множества коррелированных между собой показателей качества непосредственно в производственных условиях.
Актуальность проблемы подтверждается появлением в 80-90-х годах прошлого столетия ряда работ по анализу применимости математических моделей статистического контроля для одного показателя качества при многопараметрических процессах, а также обобщению некоторых моделей на многомерный случай. Однако до последнего времени эти работы носили разрозненный характер и не позволяли обеспечить на производстве надежный статистический контроль при различных, часто достаточно сложных ситуациях, возникающих при проведении технологического процесса с коррелированными показателями качества выпускаемого изделия.
Актуальности проблемы подтверждается и тем, что диссертационная работа выполнялась в рамках научно-технической программы «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники» (подпрограмма «Качество», проект 210.02.01.002) и «Научной программы Ульяновской области по приоритетным направлениям фундаментальных и прикладных исследований» (Ульяновское региональное отделение АН Татарстана, сектор математики, механики и машиноведения; тема 26/3-26).
Цель работы
- разработка методологии многомерного статистического контроля технологического процесса для повышения качества изготавливаемых изделий.
Для достижения поставленной цели решаются задачи:
разработка математических моделей и методов контроля среднего уровня множества коррелированных показателей технологического процесса и их рассеивания, обеспечивающих высокую чувствительность к возможным нарушениям процесса;
проведение расчетов и испытаний для оценивания эффективности разработанных статистических инструментов многомерного контроля;
разработка методов многомерного контроля процесса при нарушении нормальности распределения показателей качества, разработка методов контроля подмножеств отдельно управляемых показателей качества технологического процесса;
разработка алгоритмов и программная реализация предложенных методов, обеспечивающая практическое использование многомерного статистического контроля на производстве.
Методы исследования
Для решения поставленных задач использовались методы теории вероятностей, математической статистики, статистического моделирования, теории цепей Маркова, методы оптимизации, нечеткой логики.
Научная новизна основных результатов работы:
1. Для многомерного контроля технологического процесса впервые предложена модель карты Хотеллинга с предупреждающей границей, обеспечивающая существенное повышение чувствительности контроля к нарушениям процесса: процесс считается статистически неуправляемым как при выходе значений статистики Хотеллинга за контрольную границу, так и при попадании подряд нескольких значений между контрольной и предупреждающей границами. Положение контрольных границ и расчет чувствительности карты к нарушениям процесса определяется на основе теории цепей Маркова.
2. На основе проведенных статистических испытаний получены регрессионные модели для оценивания параметров контрольных карт многомерных кумулятивных сумм и экспоненциально взвешенных скользящих средних (положения контрольных границ и параметра экспоненциального сглаживания).
3. Предложен подход, обеспечивающий оптимальный выбор статистических инструментов для контроля в зависимости от параметра нецентральности, характеризующего допустимую степень отклонения фактических показателей процесса от номинальных. При этом минимизируется средняя длина серий -количество мгновенных выборок от момента нарушения процесса до момента обнаружения этого нарушения.
4. Разработаны методы контроля технологического рассеивания многопараметрического процесса с использованием контрольных карт стандартных отклонений на базе статистики Хотеллинга, а также алгоритмов многомерных кумулятивных сумм и экспоненциально взвешенных скользящих средних.
5. Предложен новый метод контроля подмножества показателей качества с помощью контрольных карт на регрессионных остатках. В условиях отлаженного технологического процесса строятся регрессионные зависимости между показателями, входящими в это подмножество, и всеми остальными, и оцениваются характеристики регрессионных остатков. Технологический процесс считается управляемым, если статистические свойства регрессионных остатков в условиях отлаженного процесса незначимо отличаются от свойств этих остатков при оперативном контроле, что проверяется с использованием соответствующих многомерных контрольных карт.
6. Для использования предложенных методов контроля процесса в условиях нарушения нормальности распределения контролируемых показателей разработан усовершенствованный
7. метод оценивания параметров нормализующего преобразования Джонсона с использованием бутстреп-выборок. Впервые предложен метод оценки воспроизводимости многопараметрического процесса, а также методика диагностики неслучайных структур на контрольных картах с учетом мнений экспертов об уровне воспроизводимости и степени опасности этих структур для конкретного технологического процесса на основе аппарата нечеткой логики.
8. Разработана методология многомерного статистического контроля технологического процесса с коррелированными показателями качества и соответствующее программное обеспечение.
Практическая значимость работы состоит в том, что предложенная методология обеспечивает возможность применения многомерного статистического контроля технологических процессов с коррелированными показателями качества на производстве с использованием разработанного программного обеспечения. Это показано на реальных примерах статистического контроля показателей качества при механической обработке и контроле качества очистки смазочно-охлаждающей жидкости.
При этом повышается точность контроля по сравнению с независимым статистическим контролем отдельных показателей, а значит уменьшается доля бракованной продукции, снижается риск необоснованных регулировок технологического процесса.
Разработанная методика контроля процесса по регрессионным остаткам позволяет исключить необоснованные регулировки процесса по всей совокупности показателей качества в тех ситуациях, когда управляющее воздействие необходимо только для некоторого подмножества показателей.
Реализация и внедрение результатов работы.
Результаты работы внедрены при многомерном статистическом контроле показателей качества механической обработки изделий на Ульяновском автомобильном заводе и в научно-промышленной компании «Волга-Экопром», при разработке технологии статистического контроля параметров гнутых профилей в ФГУП «Ульяновский научно-исследовательский институт авиационной технологии и организации производства», при анализе параметров и физико-химических показателей производства на кондитерской фабрике «Волжанка».
Разработанная методика контроля подмножества показателей технологического процесса по регрессионным остаткам использована НПК «Волга-Экопром» при обосновании внедрения систем очистки смазочно-охлаждающей жидкости на Череповецком металлургическом комбинате «Северсталь» (системы обеспечивают очистку смазочно-охлаждающей жидкости по трем из девяти контролируемых показателей: контроль проводится по всем девяти показателям, диагностика нарушений осуществляется как с использованием карт Хотеллинга по всей совокупности, так и с помощью карт на регрессионных остатках по трем показателям, связанным с применением системы очистки).
Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс Ульяновского государственного технического университета в дисциплинах «Надежность и контроль качества», читаемой студентам специальности «Прикладная математика», и «Статистические методы управления качеством», читаемой слушателям Центра дополнительного профессионального образования по специализации «Менеджер по качеству».
Апробация работы. Теоретические положения и практические результаты работы докладывались и обсуждались на ежегодных научно-технических конференциях Ульяновского государственного технического университета (политехнического института) в 1993 - 2003 г.г., а также на международных и всероссийских конференциях, симпозиумах, семинарах: «Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии» (Ульяновск, УлГТУ, 1995г.), «Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения» (Санкт-Петербург, СПбГТУ, 1995 и 2001г.г.), «Проблемы теоретической кибернетики» (Ульяновск, УлГУ, 1996г.), «Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве» (Нижний Новгород, НГТУ, 2000г.), «Надежность и качество» (Пенза, ПТУ, 2001), «Информационные сети, системы и технологии» (Минск, БГЭУ, 2002), «Системный анализ в проектировании и управлении» (Санкт-Петербург, СПбГТУ, 2001-2002г.г.), «Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных и лазерных технологий» (Сочи, 2001-2003 г.г.), «Современные информационные и электронные технологии» (Одесса, 2002), «Системы проектирования, технологической подготовки производства и управления этапами жизненного цикла промышленного продукта» (Москва, Институт проблем управления РАН, 2002-2003 г.г.), «Вычислительная и прикладная математика» (Киев, 2002), «Моделирование интеллектуальных процессов проектирования, производства и управления» (Минск, Объединенный институт проблем информатики НАН Беларуси, 2002), «Идентификация систем и задачи управления» (Москва, ИПУ РАН, 2003 г.), «Математические методы в технике и технологиях» (Санкт-Петербург, 2003) и др.
Публикация результатов работы. Результаты исследований по теме диссертации изложены в 97 опубликованных работах, в том числе в статьях в журналах «Автоматизация и современные технологии», «Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика», «Проектирование и технология электронных средств», «Известия вузов. Машиностроение», «Информационные технологии в проектировании и производстве», «Методы менеджмента качества» и других, а также в монографии: В.Н.Клячкин. Многомерный статистический контроль технологического процесса. М.: Финансы и статистика, 2003. 192 с.
Контрольные карты для обнаружения малых смещений .
Пусть, как и ранее, контролируется среднее значение показателя качества X, имеющего нормальное распределение со средним значением и. и стандартным отклонением а. Предположим, что требуется выявить наличие малого смещения (сдвига) процесса на некоторую величину А = 5а. Одним из эффективных инструментов для контроля процесса в этой ситуации является карта кумулятивных (накопленных) сумм. В качестве контролируемой статистики используется сумма отклонений среднего значения от целевого среднего ц.0 [ 163,164]: где т - количество мгновенных выборок. При этом учитывается не только результат текущих наблюдений, но и все данные от начала контроля («история» процесса). Если среднее значение Xt совпадает с Цо происходит случайное блуждание вокруг оси t. При наличии, начиная с некоторой точки to, смещения Х[ = цо + А математическое ожидание кумулятивной суммы (1.27) М[С,] = ЕЛ = A(t0); І = t,..., t0 - при этом значения Ct будут колебаться относительно прямой А(ґ-ґо) и все более удаляться от оси t; на рис.5 tg(9=A. При наличии даже небольшого постоянного сдвига среднего значения процесса контрольная карта представляет (в среднем) растущую последовательность точек: смещения накапливаются.
При смещении в противоположном направлении (на - А) получим убывающую в среднем последовательность. И в том, и в другом случае важен наклон средней линии этой последовательности. В связи с этим один из способов интерпретации карты кумулятивных сумм — использование V-маски (схема Барнарда [164]). На карту накладывается шаблон в виде повернутой буквы V: от последней из нанесенных на карту точек откладывается величина d (рис.6), угол раствора маски 20. Если точка на карте оказывается вне раствора маски, процесс считается статистически неуправляемым: наклон слишком велик. При этом, если точка оказалась ниже нижней линии маски, имеет место смещение на - А, выше верхней — на +А. По существу линии V-маски представляют собой верхнюю и нижнюю границы контрольной карты накопленных сумм.
Процесс стабилен, если изменение накопленной суммы между двумя соседними мгновенными выборками не слишком велико: Для расчета параметров маски (величин d и О) используются методы последовательного анализа [23]. Проверяется нулевая гипотеза Н0: и. = и.0 при альтернативе Нь и. = Цо ± А. Отношение правдоподобия L ( х и0 ) - функция правдоподобия в случае справедливости нулевой гипотезы, Д х, Цо ) - соответствующая плотность распределения. Нулевая гипотеза принимается, если нулевая гипотеза отклоняется: принимается альтернативная гипотеза Hi (здесь аир- вероятности ошибок первого и второго рода; используется двухсторонний критерий, поэтому уровень значимости равен а/2). При А LQ В контроль продолжается. Для нормального распределения с учетом Х N(u., a In)
Контрольная карта Хотеллинга с предупреждающей границей
Карта Хотеллинга достаточно эффективна для обнаружения значительных смещений среднего уровня процессов, однако небольшие смещения часто ею игнорируются. Заметим, что это же характерно и для карты Шухарта в одномерном случае.
Модифицируем карту таким образом, чтобы повысить ее чувствительность и обеспечить диагностику малых смещений. В обычной карте Хотеллинга область возможных значений контролируемой статистики разбита на два подмножества: при область А, в которой процесс статистически управляем, и область С, в которой происходит нарушение процесса.
В модифицированной карте Хотеллинга (рис.22) введем дополнительно предупреждающую границу UWL; область возможных значений контролируемой статистики разбивается при этом на три непересекающихся подмножества: при область А, в которой процесс статистически управляем, при область W, в которой процесс находится в «переходном» состоянии (в зависимости от того, как определяется положение предупреждающей границы, нахождение нескольких точек в этой области может свидетельствовать о нарушении процесса), и область С, в которой происходит нарушение процесса.
Предупреждающие границы различного типа используются и для карт Шухарта в одномерной ситуации, например «двухсигмовые» границы, разделение области значений статистики на три подмножества при анализе неслучайных структур, карты арифметических средних с предупреждающими границами [40].
Определим положение предупреждающей границы UWL таким образом, чтобы попадание двух точек подряд в область W свидетельствовало о наличии заранее заданного опасного смещения среднего уровня технологического процесса. Если смещения нет, средняя длина серий ДО) должна соответствовать заданному уровню значимости и быть достаточно большой величиной. При наличии смещения заданного уровня средняя длина серий L определяет скорость реагирования карты на нарушение процесса и должна быть по-возможности достаточно малой. При этом сигнал о необходимости регулировки процесса должен подаваться в одном из двух случаев: попадание контролируемой статистики в область С, или последовательное попадание двух точек подряд в область W.
Рассмотрим процесс контроля как цепь Маркова [5,69,205] с тремя состояниями: в состоянии Sj контрольная точка находится в области А; в состоянии S2 - контролируемая точка попала в область W, а предшествующая ей находилась в области А, в состоянии s3 происходит нарушение процесса: или контролируемая точка попала в область С, или две точки подряд оказались в зоне W.
Пусть рА - вероятность попадания статистики Хотеллинга в область A, pw - вероятность ее попадания в область W, тогда вероятность попадания в область С равна 1 - рА - pw Через р обозначим вектор вероятностей состояний размерности 3x1.
Переходная матрица Р строится с учетом того обстоятельства, что состояние s3 — поглощающее: из него возможен переход в любое состояние, включая И Si. Из состояния S2 возможен только переход В Si И S3. Граф состояний с соответствующими вероятностями показан на рис.23. Ненулевые элементы переходной матрицы Рц = Ргі — рл Pi2=pw; Різ = = і -PA-PW\ Р2з = і-рл; Рзз = і
Алгоритм многомерных экспоненциально взвешенных скользящих средних
В практических ситуациях, как уже отмечалось, контролируемые показатели часто имеют распределение, отличное от нормального: например, эксцентриситет и биение имеют распределение Релея, погрешности формы детали (овальность, конусность) и погрешности взаимно расположенных поверхностей и осей имеют распределение «модуля разности» (модуль разности двух случайных величин, каждая из которых имеет нормальное распределение), и т.п.
При проведении статистического контроля процесса по одному показателю в стандарте рекомендуется малыми отклонениями от нормальности пренебрегать, так как в соответствии с центральной предельной теоремой выборочные средние имеют распределение, близкое к нормальному, при объеме выборки в 4-5 измерений. Эти рекомендации могут быть использованы и при многомерном контроле технологического процесса.
Если же и такой объем мгновенной выборки в силу условий производства не может быть обеспечен, а индивидуальные наблюдения не следуют нормальному закону, то единственный практически полезный подход при нарушении нормальности -преобразование (нормализация) данных таким образом, чтобы преобразованный набор данных имел хотя бы приблизительно нормальное распределение. Такие нормализующие преобразования, как уже отмечалось, достаточно часто используются в статистике. Примерами могут служить логнормальное распределение (нормализующим преобразованием является логарифмирование, преобразованная случайная величина имеет нормальное распределение) или z-преобразование Фишера для коэффициента корреляции.
Более общие варианты нормализующих преобразований основаны на системах распределений Джонсона или Пирсона [207]. В системе Пирсона различные семейства аппроксимирующих распределений получаются как решения дифференциального уравнения где Дх) - плотность распределения случайной величины, а .. ат, -коэффициенты, определяющие тип распределения. Поскольку системы распределений Пирсона и Джонсона дают близкие результаты [207], а практические расчеты в системе Джонсона существенно проще, ниже рассматривается только эта система.
Пусть контролируемый показатель X - случайная величина, для которой подбирается нормализующее преобразование. В зависимости от коэффициентов асимметрии и эксцесса (рис.25) для выбирается один из видов распределения Джонсона.
При построении рис.25 использованы данные Пирсона и Джонсона, приведенные Г. Ханом и С. Шапиро [207], в частности, параметрические уравнения линии, соответствующей логнормальному распределению: (Отметим, что в расчете используется квадрат коэффициента асимметрии).
В зависимости от соотношения между асимметрией и эксцессом выбирается один из трех вариантов распределения Джонсона: SL (соответствующий логнормальному распределению), SB или SU. При определенных соотношениях подбор распределения невозможен: это критическая область.
Условия применимости того или иного варианта распределения Джонсона нетрудно сформулировать и в виде приближенных неравенств. Из рис. 25 следует, что при е 1.93а используется -распределение, при е— \.9Ъа - SL, при а2 - 2 е 1.93а2 - SB, при е а2 -2 - подбор распределения невозможен (критическая область).
В общем виде нормализующее преобразование, основанное где X нормализуемая случайная величина, Z - случайная величина, имеющая нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, g — некоторая функция, зависящая от выбранного вида распределения Джонсона, С\ и с2 - параметры формы распределения, сз - параметр, характеризующий центр распределения, а с4 - параметр масштаба.
Использование универсальных статистических пакетов
Обобщение алгоритма экспоненциально взвешенных скользящих средних на многомерный случай, как отмечалось ранее, предложено Ц.Лоури и др. [239]. Вначале определяется вектор где Z0 — 0, Цо — вектор целевых средних, X, — вектор средних значений в t-й мгновенной выборке,кМЕ - параметр сглаживания. Далее вычисляется статистика, аналогичная обобщенной статистике Хотеллинга где Ez - ковариационная матрица величин Z, Процесс статистически управляем, если рассчитанное значение многомерной экспоненциально взвешенной скользящей средней (MEWMA) МЕе меньше критического значения МЕ . Параметры контрольной карты экспоненциально взвешенных скользящих средних к ME (параметр сглаживания) и MEkp (критическое значение, определяющее положение контрольной границы) в работе [239] предлагается определять для каждого конкретного технологического процесса по результатам статистических испытаний.
Проведенные нами исследования показывают, что результаты испытаний могут быть обобщены и представлены для соответствующих параметров в виде регрессионных зависимостей. Основной характеристикой эффективности контрольных карт, как уже отмечалось, является средняя длина серий -количество мгновенных выборок L от момента нарушения технологического процесса до момента обнаружения этого нарушения. Эта характеристика зависит от смещения уровня процесса и ковариационной матрицы через параметр нецентральности где [І - Цо - вектор смещения уровня процесса относительно целевого значения jno, на который надо настроить контрольную карту (в одномерном случае этот параметр совпадает с введенным ранее относительным смещением). Действительно, при Цо = О Убедимся, что, как и в алгоритме многомерных кумулятивных сумм, замена вектора Xt на вектор MX, (где М -матрица размерности р р) не изменит значения ME,, то есть докажем, что Имеем: Это обстоятельство позволяет использовать при статистических испытаниях многомерные нормально распределенные данные с нулевым вектором Цо = О и единичной ковариационной матрицей Е = Е. Для проведения испытаний было разработано специальное программное обеспечение: в качестве файлов данных вводились модельные выборки с заданным количеством контролируемых показателей. При расчете контрольной границы карты (параметр МЕкр) варьировалась средняя длина серий Ь0 при отсутствии смещения процесса (параметр нецентральности, равный в данном случае A, = [ZM.2/]1/2, j = 1, ...,р, принимался нулевым). Величина! характеризует вероятность ложной тревоги: допускается ложная тревога в одном случае из L$ выборок. Принимаемые в испытаниях значения, как и при испытаниях для карт многомерных кумулятивных сумм, соответствовали L0 = 100, 200 и 500. Количество контролируемых показателей р варьировалось от 2 до 10, параметр сглаживания изменялся в пределах кМЕ = ктт ... ктах; ктш = 0,05; ктах = 0,40. Максимальное значение MEt из L0 выборок рассматривалось как ложная тревога.
Обработка опытных данных проводилась в пакете Statistica. Наиболее точной для описания результатов испытаний оказалась мультипликативная регрессионная модель вида где коэффициенты ро = 2,370; р, = 0,166; р2 = 0,589; р3 = 0,235. При этом коэффициент детерминации R? = 0,994; средняя ошибка предсказания не более 1,6%. Оптимальное значение параметра сглаживания кМЕ определялось из условия минимума средней длины серий L для заданных условий контроля. Испытания проводились для тех же значений р и LQ при изменении параметра нецентральности X от 0,5 до 3: при X 3 обычно достаточно эффективна карта Хотеллинга. Анализ опытных зависимостей L = f (кМЕ) для различных значений характеристик контроля показал, что логарифм средней длины серий достаточно точно аппроксимируется кривой второго порядка: Тогда оптимальное значение параметра сглаживания если найденное значение попадает в заданный интервал; в противном случае кМЕ = кт1П; минимум функции (3.20) в этом случае оказывается левее ктт. Коэффициенты а, Ь, с в (3.20) получены пошаговой регрессией на базе полиномов третьей степени (в приведенных ниже эмпирических зависимостях сохранены только значимые слагаемые): Обращает на себя внимание то обстоятельство, что оптимальное значение кМЕ зависит только от величины смещения (параметра нецентральности) А,: зависимости коэффициентов с и Ъ от количества контролируемых показателей р и значения Lo незначимы. На рис.26 показаны кривые, построенные по зависимостям (3.20) - (3.24) при двух показателях качества (р = 2) для LQ = 200.
Слабо выраженный экстремум имеет место на всех трех кривых. На рис.27 в полулогарифмических координатах представлены кривые средней длины серий для контрольных карт экспоненциально взвешенных скользящих средних (сплошные линии), рассчитанные по формулам (3.20) - (3.24) при контроле двух и пяти показателей, в зависимости от параметра нецентральности. Для сравнения приведены аналогичные зависимости для карты Хотеллинга (штриховые линии), рассчитанные по формуле (2.17) Чувствительность контрольной карты экспоненциально взвешенных скользящих средних, как и карты Хотеллинга, может быть повышена путем введения предупреждающей границы. В модифицированной карте введем дополнительно предупреждающую границу MEW. Область возможных значений контролируемой статистики разбивается при этом на три непересекающихся подмножества
