Содержание к диссертации
Введение
1 Математические модели движения подводного аппарата для исследования динамики и координации управления 15
1.1 Классификация задач управления движением аппарата и типовые режимы маневрирования 15
1.2 Общие дифференциальные уравнения пространственного движения аппарата 18
1.3 Исходные модели подсистем управления курсом, глубиной и скоростью аппарата 22
1.4 Исходные модели приводных механизмов исполнительных подсистем аппарата 36
1.5 Постановка задач синтеза конструктивных моделей и координации подсистем аппарата 38
1.6 Выводы 44
2 Математические модели нелинейных элементов подсистем управления аппаратом 45
2.1 Классификация типовых и специальных нелинейных элементов подсистем управления аппаратом 45
2.2 Модели элементов с разрывными характеристиками и регуляризация 50
2.3 Модели элементов с кусочно-линейными характеристиками 55
2.4 Модели функциональных элементов с разрывными характеристиками 57
2.5 Модели элементов типа «сервомотор» с ограниченными скоростными характеристиками 59
2.6 Модели нелинейных элементов типа «люфт» 61
2.7 Модели элементов с гистерезисными характеристиками 64
2.8 Модели функциональных элементов подсистем управления 71
2.9 Выводы 77
3 Математические модели координации подводных аппаратов и нелинейное программирование 79
3.1 Модели для синтеза координации подсистем аппарата и нелинейное программирование 79
3.2 Модели и методы нелинейного программирования для оптимальной координации подсистем аппарата 91
3.3 Выводы 100
4 Математические модели и алгоритмы оптимальной координации подводного аппарата 102
4.1 Модели оптимальной координации подсистем аппарата на циркуляции 102
4.2 Модели задач координации подсистем аппарата на основе оптимизации в допустимой области 106
4.3 Формулировка задачи координации и решение методами условной оптимизации 109
4.4 Модели синтеза координации подсистем аппарата методом Лагранжа для преобразованной системы ограничений 115
4.5 Исследование функционала качества координации подсистем аппарата на границах допустимых областей 122
4.6 Модели и структура субоптимальной системы координации двух подсистем: силовой установки и рулевого устройства 128
4.7 Выводы 133
5 Исследование математических моделей замкнутой системы координации подсистем подводного аппарата 135
5.1 Модель динамики подводного аппарата и алгоритмы координированного управления 135
5.2 Результаты исследования координации подсистем аппарата и анализ вычислительных экспериментов 140
5.3 Общая характеристика программного комплекса «МВТУ» для исследования математических моделей 146
5.4 Методика математического моделирования и разработки системы координации подводного аппарата 149
5.5 Выводы 155
Заключение 156
Список литературы 159
Приложение 173
- Общие дифференциальные уравнения пространственного движения аппарата
- Модели элементов с разрывными характеристиками и регуляризация
- Модели и методы нелинейного программирования для оптимальной координации подсистем аппарата
- Формулировка задачи координации и решение методами условной оптимизации
Введение к работе
Проблема автоматизации процессов управления морскими подвижными объектами (МПО) различных классов и назначений, такими как водоизмещающие корабли (суда) и корабли на динамических принципах поддержания, подводные лодки (ПЛ), обитаемые и необитаемые подводные аппараты (ПА), разрабатывается в течение многих десятилетий. Вместе с тем, несмотря на имеющиеся достижения в области создания систем управления движением корабля и комплексной автоматизации управления всеми его функциональными комплексами средств [8, 23, 26, 43, 131], ряд теоретических вопросов управления остаются не исследованными или недостаточно исследованными. Прежде всего, это относится к задачам оптимизации процессов пространственного маневрирования корабля при скоординированном воздействии на все средства функционального комплекса обеспечения маневрирования (ФКТС ОМ), в частности на рулевые устройства (РУ) и силовую установку (СУ) с двигательно-движительным комплексом (ДДК).
Потребность в решении задач оптимального маневрирования возникает в экстремальных ситуациях. Такие экстремальные ситуации возникают при решении задач расхождения судов, предупреждения столкновений, уклонения от угроз различных видов с осуществлением плоских или пространственных маневров с оптимизацией времени их осуществления с одновременной максимизацией кривизны траекторий, экстренного всплытия ПА на безопасную глубину в аварийных ситуациях, например при нарушениях герметичности прочного корпуса и т.п. Однако ряд важнейших свойств и характеристик МПО как многомерных объектов оптимального управления, в том числе их предельные возможности по управляемости и поворотливости, а также характерные свойства и параметры экстремальных траекторий остаются не выявленными. Не выявленными остаются и эффекты, которые могут быть получены при оптимизации
5 координированного управления всей совокупностью технических средств, обеспечивающих движение и маневрирование корабля. Все это не позволяет выработать научно-обоснованные принципы оптимального согласованного управления рулевыми устройствами и силовой установкой, без которых невозможно перейти к корректной постановке проектных задач, связанным с синтезом (выбором) рациональных функциональных и алгоритмических структур комплексной системы управления движением и маневрированием корабля.
В современных системах управления и стабилизации выходных координат объекта (курс, глубина, скорость хода) и потенциально опасных «промежуточных» (крен, дифферент) организованы, как правило, отдельные независимые и автономно действующие функциональные контуры управления (подсистемы) [89]. В многочисленных монографиях и учебных пособиях рассматриваются, как правило, традиционные системы автоматического управления движением судном по курсу так называемые авторулевые [13].
В теоретических работах по управлению движением кораблей преимущественно исследуются в различных постановках задачи оптимальной стабилизации отдельных угловых координат (курса, крена) корабля с воздействием только на гидродинамические органы - рулевые устройства [49, 89, 108], а также задачи оптимального управления, использующие принцип максимума Л.С. Понтрягина [6].
При этом при рассмотрении задач синтеза регуляторов используется аналитическое конструирование регуляторов [89] с использованием традиционных квадратичных критериев в рамках линейных Н2 и Нт теорий.
Известно несколько работ, в которых рассматриваются задачи согласованного управления курсом и креном при осуществлении кораблем глубокого маневра по курсу на большой скорости движения [77]. При этом вопросы об оптимальном управлении силовой установкой в процессе выполнения маневра не рассматриваются. Можно отметить работы,
опубликованные в виде тезисов доклада на конференциях в начале 70-х годов прошлого века [129,130], в которых в прямом виде рассматривается задача координированного управления силовой установкой и рулями при оптимизации маневрирования судна по курсу. Показывается, что постановка задачи оптимального по быстродействию маневра судна по курсу с воздействием на положение руля и на мощность силовой установки при специфических ограничениях на кинематические параметры (крен), а также на мощность гидравлической системы, обеспечивающей перекладку руля, приводит к неоднозначности решения. На длительных по времени участках экстремалей имеется бесконечное множество пар управляющих функций, обеспечивающих минимальное время маневра.
Неоднозначность решений в задачах оптимального по быстродействию управления многосвязными объектами с несколькими управляющими органами ранее была обнаружена и исследована О.И. Ларичевым [80] и Е.Д. Гарбером [29], получив объяснение фактом не выполнения так называемых «условий общности положения» [9,18]. В некоторых работах, в частности, в работах Дорри М.Х., Соловьева М.М. причина не единственности решений объяснялась наличием ограничения на фазовую координату объекта, определяющую в целом длительность маневра, на которую влияют оба управляющие воздействия.
По-видимому, указанные факторы вместе со сложностью математической модели корабля и, в частности, ПА, описывающей его пространственное движение, не позволили получить теоретическое решение задачи координированного управления силовой установкой и рулями при оптимизации «глубоких» маневров корабля при существенном упрощении его математической модели (до модели квазиустановившегося движения).
Современные МПО относятся к классу сложных динамических объектов и обладают рядом специфических свойств и характерных особенностей с точки зрения управления. Математические модели их пространственного движения вместе с моделями силовой установки, технических средств и
7 систем управления представляют собой системы нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка. При комплексной постановке задачи оптимального управления таким подвижным объектом, предусматривающей выработку скоординированных управляющих воздействий на рулевые органы и на силовую установку, решение её «в лоб» с использованием полной (подробной) математической модели динамики практически невозможно. Аналитические трудности требуют существенных упрощений модели, связанных с понижением порядка системы дифференциальных уравнений до перехода к моделям, описывающим квазиустановившиеся процессы и установившиеся состояния. Таким образом, используется редукция к более простым задачам и решениям с последующей проверкой корректности полученных решений на полных математических моделях процессов управления с оценкой отклонений уровней показателей эффективности от их «идеализированных» значений.
Аналогичные трудности аналитического порядка имеют место и в области управления летательными аппаратами (ЛА). Однако в области механики полета и в ракетно-космической области известно огромное количество решенных задач оптимизации. Прежде всего, это работы Р. Годдарта, Г. Оберта, Г. Гамеля, А. Миеле [94], П. Чикала, Дж. Лейтмана [83], Л. Келли, М. Гарбелла, А.А. Космодемьянского, Д.Е. Охоцимского, Т.М. Энеева, И.В. Остославского [103, 104, 105], главным образом A.M. Летова [84], В.Ф. Кротова, И.М. Шароновой [146] и др. В этих работах, подробно описанных в сборниках [103,128,146], ставились и решались следующие задачи оптимизации:
расчет максимальных скоростей полета;
расчет максимальной дальности полета;
расчет максимальной продолжительности полета;
расчет характеристик оптимального виража,
- расчет оптимальных режимов набора высоты по различным
критериям оптимальности, в том числе, за минимальное время, с
8 минимальным расходом топлива, с наиболее крутым подъемом или с кратчайшим участком горизонтального пути (А. Миеле, Л. Келли, М. Гарбель).
Важное прикладное значение здесь имеют, прежде всего, задачи оптимизации траекторий движения объекта и режимов работы рулевых органов и силовой установки, а также задачи выявления предельных значений летных характеристик (маневренность, поворотливость и т.п.), оцениваемых по временным и по траекторным критериям. Решение этих задач удалось получить только при существенных упрощениях математических моделей управляемых процессов, однако их главная ценность заключается в том, что выявленные свойства экстремалей и характеристик траекторий движения позволили сформулировать принципы управления и перейти к проектированию рациональных структур управляющих систем, обеспечивающих близкое к оптимальному управлению ЛА. Аналогов таких работ в области управления пространственными маневрами ПА не существует.
Целью диссертационной работы является разработка математических моделей и методов повышения качества пространственного движения морских подвижных объектов по временным и траекторным критериям оптимальности на основе ко ординированного управления подсистемами — силовой установкой и рулевыми устройствами.
Главной научной задачей диссертационной работы является разработка комплекса конструктивных математических моделей для анализа и синтеза методов и структуры координации подсистем, выявления предельных маневренных возможностей морских подвижных объектов при оптимальной координации силовой установки и рулевых устройств. Исследование с помощью конструктивных моделей характеристик экстремальных траекторий и определение принципов формирования согласованных управляющих воздействий на силовую установку (СУ) и рулевые устройства (РУ) как базы для научно обоснованного проектирования
9
функциональных, алгоритмических и технических структур
координирующей системы управления техническими средствами комплекса маневрирования МПО.
Для достижения поставленных целей в работе поставлены и решены следующие научные и практические задачи:
1. Разработка конструктивных математических моделей для
оптимальной координации процессов пространственного маневрирования
подводного аппарата с воздействиями на рулевые устройства и силовую
установку. Разработка моделей и методов обеспечения безопасности
маневров - выполнения ограничений на допустимые значения потенциально-
опасных координат объекта — крен и дифферент. При этом в качестве
критерия оптимальности принимался максимум скорости выполнения
маневра при использовании максимально допустимых воздействий на
рулевую установку. Этот критерий обеспечивает минимум радиуса
циркуляции при установившемся движении аппарата и минимум времени
осуществления пространственного маневра с одновременным изменением
глубины и курса или максимума кривизны траектории пространственного
маневра по глубине и курсу.
Разработка и исследование математических моделей, структуры, параметров оптимальных траекторий движения ПА на длительных по времени участках маневрирования, анализ взаимодействия различных управляющих воздействий и формирование принципов координированного управления силовой установкой и рулевыми устройствами.
Разработка моделей для определения предельных маневренных возможностей ПА как объекта управления с воздействием на силовую установку и рулевые устройства с количественной оценкой достигаемых результатов. Определение основных закономерностей, связывающих временные и траекторные критерии качества (радиус циркуляции, кривизна траектории) с отклонениями рулей и скоростей хода на установившихся участках движения.
4. Разработка моделей с целью сравнения закономерностей для ПА с
известными закономерностями для летательных аппаратов (ЛА) при
осуществлении правильного виража (с креном) и виража со скольжением (без
крена), полученными И.В. Остославским и И.В. Стражевой [103,104,105].
5. Формирование функциональной и алгоритмической структур
системы координированного управления СУ и РУ как системы с обратными
связями, обеспечивающих квазиоптимальное качество и достижение
предельных маневренных свойств ПА.
Для достижения главных целей и основных задач развиты математические модели вычислительных методов конечномерной оптимизации, обеспечившие возможность решение поставленных задач с учетом выявленных при проведении исследований возможностей, а именно наличие невыпуклых областей допустимых решений. Последний фактор привел к необходимости рассмотрения задач глобальной оптимизации.
Для целей оценки качества предложенных принципов управления и структур системы координированного управления проведены вычислительные эксперименты на полных математических моделях пространственного движения ПА. При этом учтены модели локальных систем управления, характеризующихся наличием звеньев с существенными нелинейностями (ограничение скоростной характеристики сервомоторов и наличие упоров на перемещение, звенья типа «люфт» и «гистерезис» и т.п.). Разработаны и программно реализованы в среде Программного Вычислительного Комплекса «Моделирование в технических устройствах» (ПВК «МВТУ») [64] компьютерные модели комплекса «МПО-СУ-РУ» с визуализацией линейных и угловых перемещений ПА с эффектами «виртуальной реальности».
Для повышения качества вычислительных экспериментов и оценки эффективности принципов координации и организации структур системы координированного управления получены новые научные результаты в части
11 моделирования звеньев с широким набором типовых кусочно-линейных и разрывных нелинейностей, в том числе многозначных.
Объектом исследования являются математические модели морских подвижных объектов, наиболее развитыми из которых являются подводные аппараты.
Предметом исследования является разработка математических моделей для оптимальной координации подсистем управления ПА процессами пространственного маневрирования по временным и траекторным критериям на основе конструктивных математических моделей нелинейного объекта в виде подводного аппарата.
При разработке и исследовании использовались: теория корабля, теория дифференциальных уравнений, теория оптимального управления, методы конечномерной оптимизации, методология моделирования сложных динамических систем, системные методы численного интегрирования «жёстких» систем дифференциальных уравнений и теория нелинейных операторов для моделирования исполнительных механизмов с нелинейностями типа «ограничения скоростной характеристики», «упоры руля», «гистерезис», «люфт» и др.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
1. Математические модели оптимальной координации подсистем
(силовой установки и рулевых устройств) для приближенной оптимизации
процессов глубокого пространственного маневрирования подводного
аппарата. Методы координации на основе приближенных моделей аппарата и
методов нелинейного программирования, согласованных с решаемой задачей
анализа и синтеза.
2. Конструктивные нелинейные математические модели подводного
аппарата для анализа предельных свойств и оптимальной координации
управления с несколькими разнородными управляющими воздействиями, а
также анализ характеристик экстремальных траекторий. Кусочно-линейные
и регуляризованные математические модели устройств с разрывными
12 однозначными и неоднозначными характеристиками.
3. Модели и структуры координированного управления силовой
установкой и рулевыми устройствами для пространственного
маневрирования подводных аппаратов.
4. Варианты вычислительных методов для решения задач
конечномерной оптимизации с выпуклыми и невыпуклыми допустимыми
областями, обеспечивающими синтез координирующих воздействий.
Создание методики математического моделирования систем координации
для подсистем подводного аппарата.
Научная новизна заключается в следующем:
1. Математические модели координации аппарата, сформулированные
на основе решений задач нелинейного программирования, и операторные
модели нелинейных элементов широкого класса. Последнее позволяет
сформировать комплекс конструктивных математических моделей для
исследования динамики подводных аппаратов в режимах пространственного
маневрирования при координированном управлении силовой установкой и
рулевыми устройствами.
2. Вычислительные методы решения задач нелинейного
программирования с выпуклыми и невыпуклыми допустимыми областями на
основе в рамках методов геометрического программирования, методов
преобразования неравенств, задающих допустимые области, методов
Лагранжа и седловой точки.
3. Математические модели с регуляризованными разрывными
характеристиками нелинейных звеньев для однозначных и неоднозначных
нелинейных зависимостей.
Практическая ценность работы. В диссертации на основе разработанных математических моделей изложены научно-обоснованные подходы построения систем координированного управления силовой установкой и рулевыми устройствами подводного аппарата, обеспечивающие повышение качества процессов пространственного маневрирования по
13 временным и траекторным критериям. Результат работы в виде создания в среде ПВК «МВТУ» моделирующего комплекса позволяет обеспечить отработку алгоритмов управления на стадии проектирования и организацию тренировок операторов пультов управления МПО.
Реализация результатов работы. Результаты работы использовались в учебном процессе при подготовке магистров и аспирантов, внедрены на кафедре «Системный анализ и управление» СПбГПУ (подтверждено актом о внедрении).
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на Международных и Всероссийских конференциях — на XIII Всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы «Фундаментальные исследования и инновации в технических университетах» в 2009 г. [69], на Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов в 2009 г., на Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов в 2007 г., на IX Международной научно-практической конференции «Системный анализ в проектировании и управлении» в 2005 г.[70], на XII Международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии и генерация знаний в образовании и науки» в 2005 г.[71], на научно-практическом семинаре в Военно-морской академии (2009 г.) и др.
Личный вклад автора. Основные научные положения, методы, алгоритмы и их программная реализация, содержащиеся в диссертационной работе, получены автором самостоятельно.
Публикации. Основные теоретические и практические результаты диссертации опубликованы в 12 научных работах, среди которых 2 статья в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в перечне ВАК, 10 докладов на Международных и Всероссийских конференциях, 1 учебное пособие.
14 Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 167 наименований, 2 приложений и акта о внедрении.
Общие дифференциальные уравнения пространственного движения аппарата
Уравнения динамики ПА, получаемые на основе закона сохранения движения, обычно записываются в связанной системе координат (ССК). Положение ССК относительно земной определяется для ПА тремя углами (см. рис 1.1): углом дифферента — \/, углом курса - ср и углом крена. Исходные математические модели пространственного движения ПА и летательных аппаратов (ЛА) имеют много общего и исследованы в литературе [6,10,13,47,87-90,106,123,134,142]. На основе этих исследований можно отметить, что общая математическая модель пространственного движения ПА как твёрдого («жесткого») тела с 6 степенями свободы представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений 12 порядка. Все внешние силы и моменты для ПА разделяются на три основные категории: гидродинамические силы и моменты на корпусе, силы веса и водоизмещения и управляющие силы и моменты, создаваемые движителями и другими средствами управления аппарата. Средства управления обеспечивают поступательное движение ПА в заданном направлении при поддержании в определенных пределах его кинематических параметров.
К ним относят силовую установку с главными движителями, которые сообщают ПА линейную скорость перемещения центра масс. Управление направлением движения достигается с помощью гидродинамических рулей. На ПА для управления и стабилизации дифферента, глубины, курса и крена используются кормовые горизонтальные (КГР) и вертикальные (ВР) гидродинамические органы - рули. Полная система дифференциальных уравнений, описывающих пространственное движение аппарата, имеет вид [11,13,24,26,30,39,43,47,87-90]: - уравнения сил: Уравнения перемещения центра масс в земной системе координат имеет вид: Уравнения для расчета углов Эйлера подводного аппарата представляются равенствами: Уравнения (1.1) и (1.2) определяют динамику по линейным и угловым скоростям, а уравнения (1.3) и (1.4) задают связь между кинематическими параметрами ПА в неподвижной и связанной системах координат. В приведенных уравнениях, метацентрическая высота принята равной нулю. Переменные Rx,Ry,R: и М х,Му,М , обозначают проекции сил и моментов, действующих на ПА, на оси ССК. Общие выражения для этих величин обычно представляются в виде: где = д/ х + Vy + Vz - модуль вектора скорости хода; Т — сила тяги винтов; mx,my,mz,Jx,Jy,Jz _ обобщенные массы и моменты инерции; 26» 4» 5 -присоединенные статические моменты; A,B,D - постоянные коэффициенты; Cx,Cy,C,,Cmx,Cmy,Cmz _ основные гидродинамические коэффициенты ПА; Коэффициенты для горизонтальных и вертикальных рулей. В приведенных уравнениях, метацентрическая высота принята равной нулю.
Все угловые величины измеряются в радианах, все линейные в метрах, силы — в ньютонах, моменты в ньютонах на метр. Полная математическая модель пространственного движения гипотетического ПА с численными значениями всех коэффициентов, используемая для проведения вычислительных экспериментов приведена в Приложениях 1 и 2. Уравнения сил и моментов записаны не в стандартной форме Коши для дифференциальных уравнений, т. е. не в уравнениях в пространстве состояний.
Это обусловлено тем, что допущение о форме корпуса в виде эллипсоида вращения, принимаемое для ПА и подводных лодок, не всегда справедливо. Причина заключается в том, что для повышения остойчивости ПА имеют развитое кормовое оперение в виде стабилизаторов, вертикальных и горизонтальных рулей. Поэтому при выводе уравнений из законов об изменении количества движения и момента количества движения, записанных в ССК, приходится учитывать кинетическую энергию и соответствующие «массо-моментные» характеристики дополнительно (вследствие «неэллиптичности») вовлекаемой в движение жидкости (воды). Вследствие отличия формы ПА от эллипсоида вращения существенную роль могут играть не только центральные J И МОМеНТЫ ИНерЦИИ, НО И Центробежные Jjj. Для перехода к уравнениям в форме Коши необходимо исходные уравнения разрешить относительно первых производных Vy и Wz (т.е. решить систему линейных алгебраических уравнений). После выполнения этой процедуры можно получить систему дифференциальных уравнений для сил и моментов в форме Коши, или в пространстве состояний. Полная математическая модель пространственного движения ПА в виде 12 нелинейных дифференциальных уравнений, как отмечается в работах [10, 14, 19, 76], мало пригодна для исследования систем управления ПА.
Анализ модели представляет проблему при использовании современных цифровых вычислительных машин, поскольку численное решение для ограниченного числа случаев не позволяют восстановить общую картину процессов управления движением. Специальные трудности возникают при синтезе систем управления, который требует многократного решения уравнений. Структура и алгоритмы систем управления непосредственно зависят от структуры исходных математических моделей. Управляющими органами, определяющими движение ПА в пространстве, являются горизонтальные — ГР (кормовые) и вертикальные руля - ВР, а также гребной винт — ГВ. В основу математических моделей локальных систем автоматического управления и стабилизации курса, крена, дифферента, глубины и скорости хода положены структуры и алгоритмы, представленные в работе [90].
Модели элементов с разрывными характеристиками и регуляризация
Будут также использоваться модели в виде импульсных функций [72]: иллюстрируемые нарис. 2.16. Модели релейных элементов, ВВХ которых имеют вид «зоны нечувствительности» (рис. 2.17) используется при синтезе моделей с неоднозначными характеристиками (сервомотор, люфт, гистерезис): Для моделирования ВВХ в виде многоступенчатых функций (рис. 2.18) и функция F(x) формируется как линейная комбинация функций fit т.е. как сумма с параметрами ht: позволяющий расширить класс алгебраически описываемых входо-выходных характеристик с учетом регуляризации. Приближенная схема исполнительного элемента — двухполостного сервомотора с золотниковым усилителем представлена на рис. 2.20. Данный НЭИУ имеет неоднозначную характеристику, которая «условно» представлена на рис 2.21. Скачкообразное уменьшение до нуля скорости перемещения штока сервомотора имеет место при выходе исполнительного органа на нижний или верхний «упоры», что иллюстрируется стрелками. Уравнения динамики сервомотора в предикатной форме имеет вид: где y(t) - положение штока сервомотора (положение клапана, руля, исполнительных органов); x(t) - управление (положение золотника); fix) -скоростная характеристика сервомотора в виде кусочно-линейной функции. Математическая модель сервомотора формируется в классе моделей вида dy I dx = Kf(x), где коэффициент К должен быть равным единице, если выполнено логическое равенство: / = [(у у) & (f 0)]v [(у y)8c(f 0)j = 1.
В противном случае К должен быть равно нулю. С помощью аппарата алгебры логики, можно сформировать математическую модель сервомотора в виде [63] На рис. 2.22 приведены результаты вычислительного эксперимента по исследованию адекватности процессов, описываемых предложенной математической модели и в реальном сервомоторе. Таким образом, на основе математических метода и моделей, разработанных в п.2.2, сформулирована математическая модель нелинейного элемента систем локального управления - сервомоторов с учетом логики его функционирования. Модели люфтов в кинематических парах НЭИУ при наличии зазоров описываются «входо-выходными» характеристиками (ВВХ), которые являются неоднозначными функциями входного воздействия и имеют «зоны нечувствительности». Нелинейности данного типа ухудшают динамические качества систем регулирования, способствуя генерации автоколебаний. Математические модели операторов «люфт» изучались во многих работах. Математические модели операторного типа предложены в работах М.А Красносельского, А.В. Покровского и др. в виде интегро-алгебраических (дифференциально-алгебраических) операторов, определенных в классе элементов функциональных пространств [164]. Характеристика нелинейности типа «люфт» приведена на рис. 2.23, где x(t) - перемещение ведущей детали (штока сервомотора); y(t) — перемещение ведомой детали (рычага); Ь ширина зазора.
В данной работе предложена математическая модель динамики элемента типа «люфт», которая имеет вид [63]: Модель может быть записана в алгебраической форме с помощью исходной разрывной функции и регуляризованной «функции знака», имеющей вид sign(x) =\х\/х = х/\х\=х/[\х\ +є], где є - малый параметр регуляризации. С учетом этого математическая модель исследуемого элемента примет следующий вид [63]: На рис. 2.27 и 2.28 представлены результаты вычислительных экспериментов математической модели элемента типа «люфт» при входном воздействии в виде непрерывной «пилообразной» функции времени. На рис. Предложенные модели являются адекватными и отражают работу реального люфта с учетом заданной логики его функционирования. Таким образом, предложены и обоснованы математические модели. «люфта» - нелинейного элемента с неоднозначной характеристикой и «памятью». Модели реализованы с помощью функций «Знак переменной», «Модуль переменной», «Интегрирование» вычислительного комплекса «МВТУ», реализующего алгебраические операции и операции математического анализа, включая интегрирование функций по временному аргументу. Релейные системы с гистерезисом соответствуют ряду НЭИУ ПА, используемых также во многих областях техники.
В атомной энергетики такие системы используются в контурах стабилизации средней температуры теплоносителя в активной зоне ядерного реактора. В системах автоматического управления различными ПА (космическими аппаратами и кораблями, морскими объектами, например, плавучими платформами и кораблями) также содержатся контуры регулирования со специально введенными гистерезисными элементами. «Двухпетлевые» гистерезисные элементы включены в контуры стабилизации подводных объектов по глубине при отсутствии хода, в контуры дифферентовки и другие контуры с релейными воздействиями на насосные агрегаты.
Модели и методы нелинейного программирования для оптимальной координации подсистем аппарата
Пусть сформулированы задачи вычисления отыскания максимума целевой функции в различных допустимых областях, заданных: а) Системой неравенств: g (x1,...,xAr) 0, j = 1,2,...,т; б) Системой равенств: hk(xl,...,xN) = 0, k = 1,2,...,п, n N , в) Системами а) и б). Допустимые области решений а), б) и в) являются односвязными, а целевая функция строго вогнутая или аффинная функция. Методов решения задачи представляются следующим образом: 1. Сведение системы неравенств, описывающей допустимую область решений, к одному неравенству вида G(x1,..,xiV) = 0 на основе методики, описанной в п. 3.1, выполнение которого соответствует принадлежности вектора X = (x{,...,xN) допустимой области. 2. Формулировка функции Лагранжа (с одним множителем) и выполнение вычислительных экспериментов по анализу алгоритмов решения задач координации ПА, подтверждающих работоспособность предлагаемого метода. 3.
Применение алгоритмов вычисления седловых точек модифицированной функции Лагранжа одним из алгоритмов: - градиентной системы дифференциальных уравнений и сведение исходной задачи к задаче Коши для дифференциальных уравнений; - рекуррентных методов поиска седловых точек функции Лагранжа. Модифицированная функция Лагранжа для задачи на максимум имеет вид где Л - единственный множитель Лагранжа, а функция G(x) имеет вид: Функция G(x) принимает нулевые значения, если выполняются все неравенства, и положительна при нарушении хотя бы одного неравенства. На основе результатов Каруша 1939 г., приведенных в магистерской диссертации [159], и к результатов Куна и Таккера [160], опубликованных в 1950 г., необходимо определить седловую точку функции Лагранжа (3.13), т.е. решить минимаксную задачу вида: Тогда вычисление седловой точки (х ,Л ) сводится к решению минимаксной задачи: вычислить пару векторов: Для вычисления седловой точки можно также использовать метод непрерывного градиента, реализующий градиентную систему дифференциальных уравнений. Градиент функции Лагранжа Ь{х,Л) по переменным имеет вид Градиентная система дифференциальных уравнений для определения седловых точек типа (3.18) и (3.19) имеет вид [63,69,127,128,149,161,162]: Дифференциальная схема реализована для вектора х и скалярного множителя Я. Система интегрируется при произвольных начальных условиях ,(0) и /1(0) О, где TX,T2(ER1 - параметры, определяемые по условию устойчивости. Развернутая форма уравнения имеют вид [63,161]: Можно заметить, что заложенный в уравнениях (3.18), (3.19) метод вычисления решения аналогичен методу К. Дж. Эрроу — Л. Гурвица [149] и X. Удзавы [150] в градиентных системах дифференциальных уравнений. Использование классического метода Лагранжа не требует выполнения условия знакоопределенности множителей Лагранжа.
Введенный в этих работах оператор Sg(z) -1, если z 0, Sg(z) = 0, если z 0, эквивалентен с точностью до множителя (1/2), введенному в уравнения (3.19) оператору типа «сигнатуры» [sign(z)-l], который в отличие от Sg(z) не требует представления в предикатной форме. Поэтому для доказательства сходимости решений уравнений (3.19) при м«з к седловой точке можно воспользоваться теоремой X. Удзавы [150]. Если функция L(x, Я) строго вогнута по X 5 выпукла по Я и имеет седловую точку, то решения х,.(/), / = l,...,iV, и Я(і) системы (3.19) с произвольными начальными условиями по xt (0) и произвольным начальным условием /1(0) 0 при / - оо сходятся к седловой точке функции L(x, Я) . В общем случае, когда отсутствует информация относительно характера допустимой области, требуется применять процедуру решения дифференциальных уравнений из различных начальных условий по переменным ,- для вычисления нескольких оптимумов и выбора наибольшего из них. Тогда возможна постановка задачи о приближенном вычислении глобального оптимума на границе допустимой области решений, что может соответствовать оценкам первого приближения глобального оптимума. Далее возможна параметризация допустимой области, позволяющая построить семейство параметризованных по параметру {єк} = {1 — 1/ к} последовательность областей {D(sk)}. Эта последовательность обладает свойством: D{sx) = D, т.е. первый элемент последовательности совпадает с исходной допустимой областью. Остальные элементы последовательности являются вложенными в исходную допустимую область. Поэтому поиск по границам элементов последовательности {D(sk)} позволяет получать более точные оценки функционала. Такая схема может обеспечивать конечный перебор граничных и внутренних точек допустимой области. При этом необходимо конструктивно реализовать параметризацию, что требует уточнения определения допустимой области. В частности, это уточнение может быть конструктивно выполнено, если область определить равенством Тогда семейство «вложенных» параметризованных по параметру єк, n = l,...,s, областей примет вид [63]
Формулировка задачи координации и решение методами условной оптимизации
Синтез координации ПА методами условной оптимизации возможен на основе двух методов. При решении будут также использовано сведение системы неравенств к одному равносильному равенству. 1. Метод необходимых условий. Модифицированная функция Лагранжа имеет вид: Я - множитель Лагранжа, причем А 0. Знак «минус» перед вторым слагаемым в (4.20) отражает «механизм штрафования» при нарушении равенства (4.21). При этом G(V,S) 0. Далее можно перейти к решению задачи, выписав необходимые условия экстремума в виде системы уравнений относительно неизвестных V , 8 и Л Уравнения (4.22) и (4.23) после исключения неизвестного множителя Л сводятся к одному уравнению. Система относительно V и ?меет вид: Сведение системы неравенств к двум равенствам обеспечивает возможность решения методом Лагранжа с меньшим числом переменных. Система уравнений (4.27) является нелинейной системой алгебраических уравнений, содержит разрывные операторы типа «функции знака» и при ее решении возникают проблемы. Однако применение предложенного выше способа регуляризации разрывных функций и операторов позволяет использовать методы вычислительной математики, в частности, итеративные методы решения нелинейных уравнений. 2.
Модели координации аппарата на основе градиентных дифференциальных уравнений. Для решения задачи используются методы дифференциального подъема (спуска), сводящие задачу к задаче Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти методы являются непрерывными аналогами итеративных методов по М-.К. Гавурину [28]. Для вычисления максимума целевой функции C9y=aVS при ограничениях (4.12-4.16) модифицированная функция Лагранжа примет вид: где «минус» перед вторым слагаемым обеспечивает «штрафование», когда решения не принадлежат допустимой области. Система градиентных дифференциальных уравнений, стационарное решение которых (при /- оо) стремится к решению задачи, формируется в два этапа. Предполагается, что искомые переменные V , S я Л являются функциями времени, следовательно, функция L = L(t) - функция времени. На первом этапе дифференциальный градиентный метод (ДГМ) определяется совокупностью дифференциальных уравнений, левые части которых являются производными по времени. Поэтому требуется вычислить производные по времени переменных V , 5 и Я (координат аппарата), т.е. На втором этапе ДГМ необходимо приравнять производные по времени к соответствующим компонентам градиента функции
Лагранжа (вычисленным относительно этих координат). В результате уравнения ДГМ имеют вид [63]: где шаги ті є і?1, / = 1,2,3, а градиент функции Лагранжа имеет вид Множитель /1(0 должен быть положительным: А(0 0. Система дифференциальных уравнений непрерывного градиентного, «подъема» для задачи на максимум имеет вид [63]: Задавая начальные условия V(0), S(0) и Л(0) 0, можно получить решение, которое в асимптотике при выборе rteR , і = 1,2,3, обеспечит максимальное значение функционала J = aVS при выполнении ограничения G(V,S) = 0. Так как область допустимых решений является невыпуклой, то полученное решение может быть точкой локального оптимума. Для вычисления глобального оптимума варьировались начальные условия для дифференциальных уравнений внутри и вне допустимой области решений. На рис. 4.1 приведена область допустимых решений и шесть начальных условий, из которых будет осуществляться решение системы дифференциальных уравнений (4.33). При проведении вычислительных экспериментов был выбран, реализованный в ПВК «МВТУ» эффективный метод численного интегрирования — «Адаптивный 5».
