Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 6
1. Состояние проблемы (6). 2. Цель работы (11). 3. Научная новизна (11). 4. Практическая значимость (13). 5. Апробация работы (13). 6. Публикации (14). 7. Структура и объём работы (14).
ГЛАВА 1. УПРОЩЕННЫЕ НАВЬЕ-СТОКСОВЫ (УНС) МОДЕЛИ ВЯЗ
КИХ ТЕЧЕНИЙ 15
1. Введение -. 15
2. Способы построения УНС моделей 17
1. Выбор системы координат (17). 2. Выбор зависимых переменных (19).
3. Уравнения Навье-Стокса (НС) (20). 4. Малые параметры и оценка членов
уравнений НС (21). 5. Подходы к упрощению уравнений НС (26).
3. Модели вязких внутренних течений 28
1. Приближение узкого канала (УК) (28). 2. Модифицированные модели УК (29). 3. Параболизованные модели (30).
4. Модели вязких внешних течений 34
1. Приближение тонкого вязкого ударного слоя (35). 2. Модели вязкого ударного слоя (37). 3. Модель параболизованного вязкого ударного слоя (39).
4. Параболизованные уравнения НС (40). 5. Модель искривленной пристеноч
ной струи (41).
5. Численные методы расчета стационарных внутренних вязких течений... 43 1. Методы установления (43). 2. Безитерационно-маршевые методы (44). 3. Итерационно-маршевые методы (45).
6. Проблемы расчета смешанных внутренних вязких течений маршевыми
методами 45
1. Сравнительные характеристики численных методов (47). 2. Неэллиптические модели течений через сопло Лаваля (47). 3. Эллиптико-гиперболические модели внутренних вязких течений (51).
7. Заключение 53
ГЛАВА 2. МОДЕЛИ ГЛАДКОГО КАНАЛА (ГК) 55
1 Адаптированная система криволинейных координат 55
1. Каналы с прямолинейной осью (55) 2. Каналы с изогнутой средней линией
(58).
2. Полная система уравнений НС в адаптированной системе координат 63
3. Асимптотическая точность упрощенных моделей гладкого канала 65
1. Невязкая область течения (65). 2. Вязкий пограничный слой (66). 3. Иерархия
упрощенных уравнений ГК (68).
4. Параболические модели 69
1. Модифицированная модель УК (69). 2. Параболическая модель ГК (70).
3. Граничные условия (72).
5. Эллиптико-гиперболические модели 73
1. Эллиптико-гиперболическая модель ГК (I) (73). 2. Эллиптико-гиперболи-
ческая модель ГК (II) (74). 3. Граничные условия (76).
6. Гиперболическая модель 76
1. Система уравнений (77). 2. Граничные условия (81).
7. Квазиодномерная модель 82
1. Способ осреднения (82). 2. Модель без учета кривизны линий тока (83).
3. Модель с учётом кривизны линий тока (84).
8. Иерархия моделей ГК 85
ГЛАВА 3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УДАРНОГО СЛОЯ 86
1. Модель гиперболического ударного слоя (ГУС) 86
2. Модель гиперболического вязкого ударного слоя (ГВУС) 93
3. Заключение 98
ГЛАВА 4. АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ ВЯЗКИХ ВНУТРЕННИХ И ВНЕШНИХ
ТЕЧЕНИЙ 100
1. Неэллиптические модели 100
2. Эллиптико-гиперболические модели 104
3. Выводы 105
ГЛАВА 5. МАРШЕВЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ТРАНСЗВУКОВОЙ ОСОБЕННО
СТЬЮ 106
1. Маршевый конечно-разностный метод 106
1. Линеаризация системы уравнений в частных производных (106). 2. Сведение
системы уравнений в частных производных к системе ОДУ (107). 3. Разностный
метод решения системы ОДУ (108).
2. Полностью неявная схема 111
1. Описание схемы (111). 2. Пример расчетов течения в сопле Лаваля (113). 3.
Выбор разностной сетки (114). 4. Ветвление решений разностных уравнений
(115). 3. Определение критического значения расхода газа через сопло Лаваля... 116
4. Сеточная сходимость и точность схемы 118
5. Схема с экстраполяцией продольного градиента давления 120
6. Сравнение результатов расчетов с точным решением уравнений газовой
динамики 124
7. Аналогия между постановками задач расчета смешанных течений в сопле
Лаваля и ударном слое около затупленного тела 127
ГЛАВА 6. МЕТОД МИНИМАЛЬНОЙ ДЛИНЫ ДЛЯ ТЕЧЕНИЙ С
ТРАНСЗВУКОВОЙ БИФУРКАЦИЕЙ 130
1. Проблема 130
2. Модели смешанных течений 131
1. Вязкое течение в сопле Лаваля (131). 2. Вязкое течение в ударном слое (133).
3. Бифуркация решений в трансзвуковой области течения 134
4. Принцип минимальной длины 134
5. Сравнение результатов расчетов с точным решением уравнений газовой
динамики 136
6. Заключение 138
ГЛАВА 7. АНАЛИЗ ТРАНСЗВУКОВОЙ БИФУРКАЦИИ ЧИСЛЕННЫХ
РЕШЕНИЙ. ТЕЧЕНИЕ В СОПЛЕ ЛАВАЛЯ 139
1. Одномерная теория сопла Лаваля 139
1. Трансзвуковая особенность системы уравнений. (139). 2. Метод численного анализа бифуркации решений (140). 3. Типы поведения численных решений (141).
2. Двумерная гиперболическая модель вязкого течения в сопле 150
1. Трансзвуковая особенность системы уравнений. (150). 2. Метод численного
*
анализа бифуркации решений (152). 3. Типы поведения численных решений
(153). 3. Регуляризация численного решения прямой задачи сопла в окрестности
трансзвуковой особенности 164
4. Обсуждение результатов расчетов 167
5. Заключение 169
ГЛАВА 8. МАРШЕВЫЙ АЛГОРИТМ С ИТЕРАЦИЯМИ ПО ПОЛЮ НА
ПРАВЛЕНИЙ ЛИНИЙ ТОКА ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ 170
1 Постановка прямой задачи сопла Лаваля 172
2. Глобальные итерации 174
3. Сходимость итераций 175
ГЛАВА 9. ИТЕРАЦИОННО-МАРШЕВЫЙ МЕТОД НА ОСНОВЕ СПЕЦИАЛЬНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ ПРОДОЛЬНОГО ГРАДИЕНТА
ДАВЛЕНИЯ 177
1 Расщепление продольного градиента давления 177
2. Глобальные итерации 179
3. Расчет течений в соплах Лаваля 181
4. Расчет течений в ударном слое около затупленного тела 184
1. Невязкий ударный слой (184). 2. Вязкий ударный слой (184).
5. Акустический механизм передачи информации о структуре потока 188
ГЛАВА 10. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ МОДЕЛЕЙ ГК 190
1 Сравнение расчетов по моделям ГК с экспериментальными данными 190
1. Интегральные характеристики течений в соплах (190). 2. Локальные характеристики течений в соплах(192).
2. Сравнение расчетов уравнений ГК и полных уравнений НС 196
1. Плоское симметричное сопло Лаваля (196). 2. Цилиндр, сопряженный с коническим соплом (199). 3. Плоское косинусоидальное сопло (206).
3. Сравнение численных решений прямой задачи сопла для различных мо
делей ГК 212
1. Интегральные характеристики течений в соплах (213). 2. Локальные характеристики течений в соплах (215).
ГЛАВА 11. ТОЧНОСТЬ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ УДАРНОГО
СЛОЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧЕ СВЕРХЗВУКОВОГО ОБ
ТЕКАНИЯ 220
1. Модель ГУС 220
2. Модель ГВУС 222
3. Задача о возможном снижении сопротивления тел 224
4. Выводы 226
ГЛАВА 12. ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ГК К РАСЧЕТУ ВЯЗКИХ ТЕЧЕ
НИЙ ХИМИЧЕСКИ РЕАГИРУЮЩИХ ГАЗОВ . 227
1. Модели ГК для турбулентного течения химически реагирующей газовой
смеси 227
1. Эллиптико-гиперболическая модель (227). 2. Гиперболическая модель (230). 3. Параболическая модель (234).
2. Модель турбулентности 235
3. Физико-химические свойства газовой смеси 236
1. Термодинамические свойства (236). 2. Модель химической кинетики (237). 3. Коэффициенты молекулярного переноса (237).
4. Расчет турбулентных течений в соплах 239
1. Влияние степени химической неравновесности на характеристики течения (242). 2. Влияние состава продуктов сгорания на характеристики сопла (249). 3. Точность гиперболической модели и сходимость глобальных итераций (254).
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 258
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 259
СПИСОК АВТОРСКИХ РАБОТ 273
Введение к работе
1. Состояние проблемы. Наиболее общей математической моделью течений в режиме сплошной среды является полная система уравнений Навье-Стокса (НС). Эта система уравнений позволяет исследовать структуру сложных течений с характерными зонами сильного вязко-невязкого взаимодействия, отрывами, рециркуляцией и пр. Уравнения НС получают либо феноменологическими методами, либо методами кинетической теории газов, решая кинетическое уравнение Больцмана с двумя членами разложения функции распределения в ряд по малому параметру - характерному числу Кнудсена. Для стационарных течений с умеренными и большими числами Рейнольдса уравнения НС представляют собой систему квазилинейных уравнений второго порядка эллиптического типа в дозвуковых и гиперболического типа в сверхзвуковых областях течений.
Для численного решения стационарных полных уравнений НС обычно используются итерационные методы. К ним относятся методы установления по времени, методы глобальных итераций. Первые из этих методов в настоящее время являются наиболее распространенными.
В методах, основанных на принципе установления по физическому или некоторому фиктивному времени, стационарное решение находится как предельное решение нестационарной задачи. На расчеты простого газодинамического стационарного течения методом установления с помощью известных неявных схем затрачивается несколько сотен временных итераций: см., например, [Cline, 1976], [Борисов, Ковеня, 1976], [Кузнецова, Павлов, 1979], [Асланов и др., 1981], [Белоцерковский и др., 1982], [Савельев, Толстых, 1987], [Стрелец, Шур, 1988], [Егоров и др., 1990], [Shuen et al., 1992], [Савельев, 1998], [Киселев, Стернин, 1999]. При больших числах Рейнольдса Re и большой протяженности области интегрирования потребности в ресурсах ЭВМ при численном решении уравнений НС значительно возрастают. Несмотря на прогресс в области вычислительной техники, расчеты течений на основе полных уравнений НС являются достаточно трудоемкими, особенно для течений химически реагирующих многокомпонентных газов. Например, трехмерные вязкие течения через сопло с 11 компонентами рассчитываются на компьютере типа CRAY сутками. Поэтому для проведения серийных расчетов прикладных задач, особенно в случае расчета внутренних вязких течений с учетом реальных физико-химических процессов, методы установления по физическому или некоторому эффективному времени из-за трудоемкости мало пригодны и не перспективны [Лапин и др., 1985], [Лапин, Стрелец, 1989]. Ситуация аналогична при численных расчетах задач внешнего обтекания [Гершбейн и др., 1985], [Тирский, Утюжников, 1993].
Методы глобальных итераций первоначально были разработаны для решения упрощенных уравнений НС [Anderson et al., 1984], [Васильевский и др., 1987], [Быркин, Толстых, 1988], [Каратаев, Котеров, 1990], [Марков, 1992], [Ковалев и др., 1994], [Головачев, 1996], [Tannehill et al, 1997]. В последнее десятилетие эти методы были успешно развиты для решения полных уравнений НС [Bentson, Vradis, 1987], [TenPas, Pletcher, 1987], [TenPas, Pletcher, 1991], [Vradis et al, 1992], [TenPas, Hancock, 1992], [Srinivasan, Rubin, 1992], [Архангельская, Скурин, 1994], [Скурин, 1998]. Методы глобальных итераций существенно экономичнее методов установления по используемой памяти ЭВМ и быстродействию. Однако они также требуют значительных затрат процессорного времени.
В то же время, в случае безотрывных вязких течений необходимость использования полных уравнений НС возникает только при малых числах Рейнольдса [Anderson et al., 1984], [Tannehill et al., 1997]. Во многих практически важных случаях, описание поля течения с достаточной точностью возможно в рамках упрощенных математических моделей, требующих существенно меньших вычислительных затрат. Например, большой класс течений с сильным вязко-невязким взаимодействием при умеренных и больших Re может быть адекватно описан такими моделями в системах координат, адаптированных к границам области течения [Tannehill et al., 1997]. В частности, слабо отрывные течения и течения с умеренной протяженностью возвратно-циркуляционных течений с приемлемой точностью могут моделироваться в рамках упрощенных навье-стоксовых моделей [Degani, Steger, 1983], [Liu, Pletcher, 1986], [Napolitano, 1987], [Na-politano, Cinnella, 1989], [Choi, Kang, 1991]. Поэтому для успешного численного моделирования вязких течений газов важна разработка адекватных упрощенных газодинамических моделей и эффективных численных методов решения соответствующих математических задач на ЭВМ.
Как правило, движения в сложных технических устройствах - трехмерные. Однако на начальной стадии моделирования процессов в таких устройствах целесообразно использовать двумерные и даже одномерные модели, полученные на основе упрощений механического и физического характера. Наличие иерархии упрощенных газодинамических моделей позволяет наиболее рационально провести оценку важности различных механических и физико-химических процессов на практически важные характеристики течения, оценить взаимовлияние процессов. Это особенно важно при проектировании различных аппаратов и устройств в технике, решении задач, связанных с оптимизацией режимов работы этих устройств.
Упрощенные модели НС строятся для класса течений, у которых имеется возможность выделить основное направление течения [Лапин, Стрелец, 1989], [Ковеня и др., 1990], [Толстых, 1990], [Головачев, 1996]. В дальнейшем будем называть его продольным направлением. Вдоль этого направления можно пренебречь молекулярно-диффузионной составляющей переноса массы, импульса и энергии. К такому классу течений относятся течения с умеренными и большими Re. В значительной степени этот класс течений определяется геометрией: для большинства внутренних течений поток ограничен стенкой, и геометрия стенок определяет выделенное направление. Примером являются высокоскоростные вязкие течения в соплах ракетных двигателей, в каналах и трубопроводах химических производств, и т.п.
При упрощении ("параболизации") уравнений Навье-Стокса основным малым параметром является величина S = Re"2. Упрощенные уравнения в разных моделях содержат члены различного порядка малости относительно параметра 5. Однако их отличительной особенностью является отсутствие во всех случаях вторых производных от неизвестных функций вдоль маршевой координаты, отсчитываемой в продольном (преимущественном) направлении движения газа. Вследствие этого появляется возможность нахождения решений стационарных задач маршевыми методами, эволюционными по продольной координате, что особенно важно при расчете течений многокомпонентных реагирующих газов.
Всюду далее под упрощенными навье-стоксовыми (УНС) моделями будут пониматься модели, основанные на упрощенных композитных уравнениях НС [Davis, Rubin, 1980], [Тирский, Утюжников, 1993], которые описывают всю область течения. Модель пограничного слоя (ПС), основанная на двух системах уравнений - уравнениях Эйлера и Прандтля, в диссертации рассматриваться не будет. Для расчета течений смесей газов со значительным вязко-невязким взаимодействием и большим количеством физико-химических процессов эта модель не эффективна.
Таким образом, УНС модели течений в отличие от полной модели НС не учитывают диффузионный механизм передачи информации вверх по потоку, который несуществен для потоков с умеренными и большими Re. Однако УНС модели позволяют описать остальные механизмы передачи информации против потока: акустический механизм, реализуемый посредством продольного градиента давления, и конвективный механизм, связанный с возвратными течениями. Для безотрывных течений конвективный механизм отсутствует, а в случае умеренных и больших Re акустический механизм доминирует над диффузионным. Как показали расчеты вязких течений в каналах с обширными областями рециркуляции [TenPas, Pletcher, 1991], [Srinivasan, Rubin, 1992] акустический механизм является доминирующим механизмом передачи информации против потока и в этом случае. Из сказанного следует, что УНС модели течений позволяют адекватно описывать большой и практически важный класс течений при умеренных и больших Re, включая течения с отрывом и рециркуляцией [Degani, Ste-ger, 1983], [Liu, Pletcher, 1986], [Napolitano, 1987], [Napolitano, Cinnella, 1989], [Choi, Kang, 1991].
По способу учета передачи информации о структуре течения против потока и математическому типу определяющих дифференциальных уравнений существующие УНС модели для стационарных вязких течений можно разделить на неэллиптические (полностью параболизованные) модели [Fletcher, 1988], [Tannehill et al., 1997] и частично параболизованные модели [Tannehill et al., 1997]. Первый класс УНС моделей описывается параболическими, гиперболическими или гиперболо-параболическими, т.е. неэллиптическими системами уравнений. Далее эти модели будем называть неэллиптическими. Второй класс моделей описывается системой дифференциальных уравнений смешанного типа: эллиптического в дозвуковых областях, гиперболического в сверхзвуковых областях и параболического в трансзвуковых областях течения. Далее эти модели будем называть эллиптико-гиперболическими.
С помощью неэллиптических моделей адекватно можно описать либо сверхзвуковые течения, либо дозвуковые течения с малым искривлением линий тока и с приемлемой точностью - дозвуковые течения с умеренным искривлением. В указанных течениях передача информации вверх по потоку либо не существенна, либо осуществляется главным образом посредством интегральных характеристик течения. Типичным примером существенно дозвукового течения, которое может быть описано с помощью неэллиптической модели, служит течение Гагена-Пуазейля несжимаемой жидкости в цилиндрических трубах [Седов, 1973]. Рассматриваемое течение описывается параболической системой уравнений узкого канала (УК) [Лапин, Стрелец, 1989]. В этом течении информация о давлении в выходном сечении трубы мгновенно передается вверх по потоку с помощью интегральной характеристики - массового расхода жидкости через трубу.
Эллиптико-гиперболические модели позволяют адекватно описать вязкие течения с обширными дозвуковыми зонами и большим искривлением линий тока. Как уже сказано, эти модели пригодны не только для описания безотрывных течений при больших и умеренных числах Рейнольдса, но и для описания течений с отрывом потока от твердых стенок и наличием областей возвратных течений.
Неэллиптические модели являются наиболее эффективными с вычислительной точки зрения, поскольку могут быть реализованы с помощью безитерационных (одно-проходовых) маршевых процедур [Anderson et al., 1984], [Fletcher, 1988], [Tannehill et al., 1997].
Для интегрирования более сложных эллиптико-гиперболических моделей необходимо использовать итерационно-маршевые методы, часто называемые в литературе методами глобальных итераций [Тирский, Утюжников, 1993]. На текущей глобальной итерации фиксируются эллиптические члены уравнений, ответственные за передачу информации вверх по потоку, и осуществляется маршевый проход всей расчетной области вниз по течению. Затем эти эллиптические члены уточняются, и итерационный процесс продолжается до достижения условий сходимости. Привлекательность метода глобальных итераций во многом связана с его алгоритмической простотой. В обычном методе глобальных итераций информация о структуре течения передается против потока через дозвуковые области на один разностный интервал за каждую глобальную итерацию [TenPas, Pletcher, 1991], [Tannehill et al., 1997], [Kaushik , Rubin, 1998].
Как было подчеркнуто выше, основным механизмом передачи возмущений вверх по потоку является акустический механизм, связанный с продольным градиентом давления. Вследствие этого общая скорость сходимости итерационного процесса лимитируется скоростью сходимости глобальных итераций по эллиптической части продольного градиента давления [TenPas, Pletcher, 1991], [Yamaleev, Ballmann, 2000]. Поэтому в последнее десятилетие усилия ученых по совершенствованию метода глобальных итераций были направлены на поиск методик ускорения акустической передачи информации вверх по потоку в процессе глобальных итераций. Для ускорения сходимости глобальных итераций были предложены две основные методики. Первая основана на уточнении поля давления после каждой простой глобальной итерации путем решения специального уравнения для давления (или его поправки) [Barnett, Davis, 1986], [Каратаев, Котеров, 1990], [TenPas, Pletcher, 1991], [Yamaleev, Ballmann, 2000]. В двух последних цитируемых работах это уравнение - упрощенное (параболизованное) уравнение Пуассона для поправки к давлению, которая находится в результате интегрирования уравнения вверх по потоку. В основе второй методики лежит многосеточный метод [Himansu, Rubin, 1988]. Однако обе методики существенно усложняют алгоритм глобальных итераций.
Точность описания вязких течений существенно зависит от выбора системы координат, в которой проводится упрощение полных уравнений НС [Черный, 1982]. От этого выбора также зависит и сложность численной реализации.
Для задач внешнего сверхзвукового обтекания затупленных тел удачной системой координат для построения упрощенных моделей является система естественных ортогональных координат, связанная с контуром обтекаемого тела. В этой системе координат была получена иерархия упрощенных газодинамических моделей, обзор которых дан в [Гершбейн и др., 1985], [Тирский, Утюжников, 1993], [Головачев, 1996], [Тир-ский, 1997]. Наиболее широко используемыми газодинамическими моделями для задач сверхзвукового обтекания затупленных тел являются: модели тонкого вязкого ударного слоя (ТВУС) [Cheng, 1963], полного вязкого ударного слоя (ПВУС) [Davis, Flugge-Lotz, 1964], [Davis, 1970], вязкого ударного слоя (ВУС) [Головачев, Попов, 1972], модели параболизованных уравнений НС [Толстых, 1966]. Модель ТВУС принадлежит к классу неэллиптических моделей, остальные вышеперечисленные модели - к классу эллиптико-гиперболических моделей. Данная иерархия моделей позволила оценить влияние геометрических и газодинамических параметров на структуру потока и основные характеристики обтекания [Тирский, Утюжников, 1989], [Щербак, 1990]. Наиболее эффективной с точки зрения вычислительных затрат является модель ТВУС, которая основана на параболической системе уравнений. Эта модель успешно использовалась для расчета теплообмена и сопротивления затупленных тел с учетом разнообразных физико-химических процессов, протекающих в ударном слое [Гершбейн и др. 1985], [Ковалев, Крупнов, 1989], [Тирский и др., 1990], [Гусев и др., 1996], [Егоров, Никольский, 1996].
Однако модель ТВУС имеет довольно ограниченную область применимости, связанную с предположением о тонкости ударного слоя. Тем самым эта модель не пригодна для расчета течения далеко вниз по потоку при обтекании длинных затупленных тел или при не больших числах Маха [Тирский, Утюжников, 1993]. В работе [Бородин, Пейгин, 1993] была сделана попытка улучшить модель ТВУС, при этом сохранив её вычислительные достоинства, связанные с неэллиптическим характером модели. Однако новая модель, названная авторами моделью параболизованного вязкого ударного слоя, так же как и модель ТВУС не пригодна для расчета сверхзвукового обтекания длинных затупленных тел. В случае обтекания сферы эта модель позволила довести расчеты лишь до 80 по центральному углу 0, отсчитываемому от оси симметрии течения. Рассчитанные на её основе значения давления вдоль поверхности сферы уже при 9 > 45 отличаются от значений, рассчитанных по модели полного вязкого ударного слоя или по полным уравнениям НС, больше, чем на 15%. Поэтому модель [Бородин, Пей-гин, 1993] не позволяет с приемлемой точностью оценить сопротивление летящих со сверхзвуковой скоростью затупленных тел.
Для внутренних вязких течений иерархия моделей, подобная иерархии для задачи сверхзвукового обтекания, построена лишь для простейших систем координат (декартовой или цилиндрической). Это модели узкого канала (УК) [Williams, 1963], модели вязкого слоя (ВС) [Войнович, Фурсенко, 1983, 1984], модели параболизованных уравнений НС [Kreskovsky, Shamroth, 1978], [Мучная, 1981, 1982]. Наиболее экономичной является модель УК [Williams, 1963], которая подобно модели ТВУС основана на параболической системе уравнений. Однако, если для описания внутренних течений используются декартовы или цилиндрические координаты, то это накладывает ограничение на применимость упрощенных моделей. В частности, модель УК, выведенная в декартовой или цилиндрической системе координат, применима для углов наклона стенок канала к оси, не превышающих 10 [Егоров и др., 1991]. В обобщенных криволинейных координатах, адаптированных к геометрии канала, такой иерархии не построено. Имеется ряд упрощенных моделей, выведенных в различных криволинейных ортогональных [Anderson, 1980], [Каратаев, Котеров, 1990] и не ортогональных [Быркин, Толстых, 1988], [Толстых, 1990] системах координат. Анализ областей применимости этих моделей в литературе отсутствует. Обзор и оценка точности существующих упрощенных моделей внутренних вязких течений, а также близкий к ним класс моделей внешних вязких течений приведен в Главе 1 диссертации.
Очень важен для технических приложений класс смешанных (с переходом через звуковую скорость) течений газа. Примерами являются течение газа в сопле Лаваля [Пирумов, Росляков, 1978, 1990] и течение в ударном слое около обтекаемого сверхзвуковым потоком затупленного тела [Головачев, 1996]. Системы стационарных уравнений Эйлера и упрощенных уравнений Навье-Стокса, описывающие рассматриваемый класс течений, при переходе от дозвуковых к сверхзвуковым областям течения меняют свой математический тип от эллиптического к гиперболическому. При этом переходе, т.е. вблизи звуковой поверхности эволюционная матрица коэффициентов при продольных градиентах газодинамических переменных становится плохо обусловленной. В этом нетрудно убедиться на примере системы уравнений одномерной теории сопла Лаваля [Пирумов, Росляков, 1978], [Лойцянский, 1978]. Аналитическому исследованию трансзвуковой особенности в смешанных течениях идеального (невязкого) газа посвящены, например, монографии [Рыжов, 1965], [Коул, Кук, 1989], [Ларькин, 1991], [Шифрин, 2001].
Наличие трансзвуковой особенности в системах определяющих уравнений приводит к таким существенным трудностям при решении, например, прямой задачи сопла Лаваля, как нахождение неизвестного критического расхода и "прохождение" трансзвуковой особенности при численном интегрировании уравнений маршевыми методами [Лапин и др., 1985], [Лапин, Стрелец, 1989]. Аналогичные проблемы возникают при решении задачи сверхзвукового обтекания затупленных тел [Белоцерковский и др., 1967]. Алгоритм определения величины критического расхода при решении прямой задачи сопла Лаваля в рамках неэллиптической модели УК был предложен в работе [Rae, 1971]. Он основан на методе стрельбы, реализуемом путем многократных маршевых проходов от входного к минимальному сечению сопла при различных значениях расхода, и анализа картины ветвления интегральных кривых в трансзвуковой области течения, в сочетании с методом дихотомии. После того, как найдено значение критического расхода и рассчитана дозвуковая часть течения, необходимо численно пройти трансзвуковую область, где, как сказано выше, система уравнений имеет особенность. Для этого было предложено несколько вариантов искусственных приемов, заключающихся в применении различных способов экстраполяции давления из дозвуковой области в сверхзвуковую [Rae, 1971], [Ветлутцкий, Мучная, 1977], [Левин и др., 1980]. Однако эти приемы осложняют алгоритм и приводят к существенному ухудшению точности расчета в трансзвуковой области течения, т.е. в окрестности минимального сечения сопла [Лапин и др., 1985].
Использование метода установления для решения прямой задачи сопла Лаваля [Иванов, Крайко, 1969], [Киреев и др., 1970], [Иванов и др., 1972], [Манина и др., 1983] устраняет вышеуказанные трудности, связанные с применением маршевых методов расчета. В то же время затраты ресурсов ЭВМ резко возрастают.
2. Цель работы. При разработке упрощенных моделей вязких течений для инже нерных приложений следует иметь в виду, что конструкторы стремятся к созданию ка налов, в которых крупномасштабные вихревые структуры отсутствуют, чтобы исклю чить значительное возрастание сопротивления. Хорошо известно, что при высокоско ростных течениях в каналах с изломом контура возникают ударные волны, а в каналах с точками разрыва кривизны контура возникают локальные зоны торможения. Все это приводит к потерям импульса и другим нежелательным эффектам. Поэтому при конст руировании предпочтение отдается гладким каналам с непрерывной кривизной конту ра.
Целью работы является: построение и апробация эффективных газодинамических моделей применительно к расчету стационарных внутренних и внешних смешанных вязких течений в областях с гладкими твердыми стенками в широком диапазоне чисел Маха и Рейнольдса; создание уникальных по затратам ресурсов ЭВМ эволюционных по пространству алгоритмов для реализации построенных моделей; применение разработанных моделей и алгоритмов для исследования ламинарных и турбулентных смешанных течений химически реагирующих газов, важных для технических приложений, в широком диапазоне определяющих параметров.
3. Научная новизна. Построена криволинейная ортогональная система координат, обладающая следующими свойствами. Она является геометрически адаптированной и может быть найдена до решения основной задачи расчета поля течения. Её продольные координатные линии близки к линиям тока, а преобразование к декартовой или цилин дрической системе координат может быть выражено в конечной форме (в виде квадра туры). Метрические коэффициенты (параметры Ламе, кривизны координатных линий) криволинейной системы координат выражаются явными формулами, в которые естест венным образом входят геометрические характеристики канала.
С использованием этой системы координат построена иерархия упрощенных моделей для вязких стационарных течений в каналах с гладкими стенками при умеренных и больших Re. Иерархия включает параболические, гиперболическую и эллипти-ко-гиперболические модели гладкого канала (ГК). Хорошая точность моделей ГК подтверждена путем сравнения расчетов по этим моделям с экспериментальными данными и результатами расчетов по полным уравнениям Навье-Стокса.
Предложены новые газодинамические модели - гиперболические приближения уравнений Эйлера и Навье-Стокса - описывающие смешанное течение в ударном слое около затупленного гладкого тела, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа. Эти модели допускают прямое применение маршевых методов для интегрирования их определяющих уравнений. В сверхзвуковых областях течения уравнения указанных моделей совпадают соответственно с уравнениями Эйлера и уравнениями полного вязкого ударного слоя. В отличие от существующих неэллиптических моделей предложенные модели позволяют с хорошей точностью оценить тепловое и силовое взаимодействие потока с обтекаемыми затупленными телами, включая длинные тела. Адекватность моделей подтверждена хорошими совпадениями с экспериментальными данными, с расчетами уравнений Эйлера, уравнений полного вязкого ударного слоя и уравнений Навье Стокса.
Разработан двухстадийный маршевый метод высокого порядка точности для расчета внутренних и внешних смешанных вязких течений в рамках неэллиптических моделей вязких течений. Построена экономичная конечно-разностная схема для решения систем дифференциальных уравнений, эволюционных по продольной координате, имеющих смешанные вторые производные и второй порядок по поперечной координате. Она является модификацией известной схемы Петухова, предназначенной для решения дифференциального уравнения, параболического по продольной координате и имеющего третий порядок точности по поперечной координате. На квазиравномерных сетках построенная схема имеет первый или второй порядок точности в продольном направлении и четвертый порядок точности в поперечном направлении. Предложен способ регуляризации эволюционной матрицы коэффициентов в трансзвуковых областях течения, который обеспечивает сохранение точности численного решения в этих областях.
Предложен ускоренный алгоритм определения критических параметров внутренних и внешних смешанных течений, основанный на принципе минимума длины интегральных кривых, соответствующих различным значениям определяющего параметра. Алгоритм показал хорошие результаты при расчетах смешанных вязких течений в сопле Лаваля и ударном слое около обтекаемого сверхзвуковым потоком затупленного тела в рамках гиперболических приближений системы уравнений НС.
Для расчета внутренних смешанных течений в рамках эллиптико-гиперболической модели ГК разработан эффективный маршевый метод, основанный на итерациях по полю направлений линий тока. Метод позволил решить прямую задачу для сопла Лаваля с большой продольной кривизной горла. Для получения решения с инженерной точностью (0.1%) требуется 3-4 итерации.
Разработаны ускоренные итерационно-маршевые алгоритмы высокого порядка точности для интегрирования уравнений эллиптико-гиперболических моделей вязких течений. В качестве таких моделей взяты эллиптико-гиперболическая модель гладкого канала для внутренних вязких течений и модель полного вязкого ударного слоя. Предложенные алгоритмы основаны на новом расщеплении продольного градиента давления на гиперболическую и эллиптическую составляющую. В отличие от существующих расщеплений продольного градиента давления, в данном расщеплении вклад эллиптической составляющей минимизирован. Это позволило сократить число глобальных итераций по эллиптической составляющей градиента давления до одной - двух итераций для получения решения с инженерной точностью. Значительным преимуществом алгоритма, разработанного для решения уравнений полного вязкого ударного слоя, от существующих алгоритмов является отсутствие итераций по форме ударной волны. В предложенном алгоритме форма ударной волны находится совместно с другими искомыми газодинамическими переменными при маршевом интегрировании системы уравнений. Это обеспечивает устойчивое интегрирование уравнений, например, в случае обтекания сферы, до больших значений центрального угла, когда другие алгоритмы теряют свою работоспособность. В отличие от существующих маршевых алгоритмов с глобальными итерациями по эллиптической составляющей продольного градиента давления, разработанные алгоритмы для внутренних и внешних течений имеют высокую скорость сходимости и на подробных разностных сетках по маршевой координате.
С помощью предложенной модели гиперболического вязкого ударного слоя проведены расчеты ламинарного смешанного течения в ударном слое около затупленных тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком в широком диапазоне чисел Маха и Рей-нольдса. Рассчитано турбулизованное смешанное течение реагирующей смеси Н2/О2 в сопле Лаваля с большой продольной кривизной горла при различном соотношении топлива и окислителя. Для этого использована эллиптико-гиперболическая модель ГК. Проведенные расчеты подтвердили эффективность разработанных моделей и алгоритмов.
4. Практическая значимость. На основе разработанных моделей вязких течений можно проводить серийные расчеты, связанные с задачами оптимизации работы аппа ратов химических производств, трубопроводов, камер сгорания, сопловых блоков дви гателей и других технических устройств.
Высокая экономичность разработанных численных методов интегрирования уравнений моделей ГК и ПВУС позволяет на их основе проводить широкое численное моделирование вязких внутренних и внешних течений реагирующих газовых смесей с учетом детальной химической кинетики.
Решена актуальная задача, связанная с выбором оптимального соотношения горючего РІ2 и окислителя Ог, которое обеспечивает максимальную удельную тягу сопла перспективного ракетного двигателя, работающего на данном топливе. Рассмотрена задача о возможном уменьшении сопротивления летящего со сверхзвуковой скоростью затупленного тела путем поддержания температуры его поверхности на заданном уровне.
5. Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 1-ой Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Моск ва, 1995), на ХШ-ой Международной школе по механике сплошных сред (Санкт- Петербург, 1996), на VII-ой Международной конференции по методам аэрофизических исследований (Новосибирск, 1996), на Ш-ей Международной школе-семинаре по не равновесным процессам и их приложениям (Минск, 1996), на 1-ом Международном со вещании по численному анализу и приложениям (Болгария, Руссе, 1996), на Междуна родной конференции "DNS and LES of Complex Flows Numerical and Modelling Aspects" (Нидерланды, Twente, 1997), на П-ой Международной школе-семинаре по современ ным проблемам горения и их приложениям (Минск, 1997), на Международном симпо зиуме "Авиация 2000. Перспективы" (Жуковский, 1997), на VIII-ой Международной конференции по методам аэрофизических исследований (Новосибирск, 1998), на П-ой Международной конференции "Конечно-разностные методы: теория и приложения" (Минск, 1998), на П-ом совещании Американского общества аэронавтики и астронав тики по теоретической механике жидкости (США, Альбукерк, 1998), на Х-ой между народной конференции по вычислительной механике и современным прикладным про граммным системам (Переславль-Залесский, 1999), на Юбилейной научной конферен ции, посвященной 40-летию Института механики МГУ (Москва, 1999), на Ш-ей Меж дународной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Истра- Москва, 2000), на VIII-ом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной меха- нике (Пермь, 2001), на IV-ой Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Санкт-Петербург, 2002), на объединенном семинаре ИММ РАН.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 36 статей и трудов конференций, приведенные в списке авторских работ.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двенадцати глав, одиннадцать из которых посвящены изложению оригинальных результатов автора, и заключения; она содержит 275 страниц, включая 16 таблиц и 146 рисунков. Главы состоят из параграфов и пунктов.
В работе приняты следующие правила нумерации.
Параграфы в пределах главы нумеруются одной десятичной цифрой, а при ссылках на другую главу - двумя цифрами: первая - глава, вторая - параграф ( 1.2 и т.п.). Пункты нумеруются тремя цифрами: первая - глава, вторая - параграф, третья - пункт.
Ссылки на цитируемую литературу имеют вид: [Фамилия первого автора, Фамилия второго автора, год издания]. Если число авторов публикации больше двух, то ссылка имеет вид: [Фамилия первого автора и др., год издания]. Ссылки на публикации автора диссертации имеют вид: [Al], [А2-А4] и т.п. Здесь цифра означает номер публикации в списке авторских работ.
Формулы, рисунки и таблицы нумеруются двумя цифрами: первая - глава, вторая - номер формулы, рисунка или таблицы (формула (3.4), рис. 2.3, табл. 3.1 и т.п.). Номера формул приводятся в круглых скобках, номер ставится справа от формулы.
