Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. О моделировании турбулентных течений 8
п.1. Подход, основанный на системе уравнений Навье-Стокса 8
п.2. Осреднение по Рейнольдсу 10
п.3. Осреднение по Фавру 11
п.4. Подход, основанный на балансных соотношениях турбулентного потока 14
ГЛАВА II. Математическая модель установившегося турбулентного неизотермического течения вязкого сжимаемого неидеального газа в круглой цилиндрической трубе 16
п.1. Физические особенности задачи и допустимые упрощения 17
п.2. Баланс массы, импульса и внутренней энергии турбулентного потока в цилиндрической трубе 19
п.3. Замыкающие уравнения 27
п.4. Математическая модель (модель I) 34
ГЛАВА III. Анализ системы уравнений модели I и процедура решения 36
п.1. Метод решения системы уравнений модели I 37
п.2. Расчет профиля скорости турбулентного потока сжимаемого газа в трубе 40
п.3. Расчет константы Сі 44
п.4. Осреднение уравнения баланса импульса 47
п.5. Осреднение уравнения баланса внутренней энергии 50
п.6. Постановка задачи расчета плотности, давления и температуры турбулентного потока сжимаемого неидеального газа в трубе (модель II) 54
ГЛАВА IV. Численное и аналитическое решения системы уравнений модели II и ее вариантов .... 55
п. 1. Приведение к безразмерному виду и преобразование общей системы уравнений модели II 55
п.2. Метод Рунге-Кутта для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка 59
п.3. Алгоритм численного решения преобразованной системы уравнений 62
п.4. Аналитическое решение системы уравнений модели III 66
Заключение .77
Список литературы 81
Приложение 88
- Подход, основанный на балансных соотношениях турбулентного потока
- Баланс массы, импульса и внутренней энергии турбулентного потока в цилиндрической трубе
- Расчет профиля скорости турбулентного потока сжимаемого газа в трубе
- Метод Рунге-Кутта для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка
Введение к работе
Расчет течения газа по трубопроводу, протянутому от газоконденсатного месторождения на шельфе Баренцева моря на материк, основан на классической задаче гидроаэромеханики —- задаче о течении жидкости в трубах [4, 11, 20, 21]. Простейшие оценки (Глава II, п.1.) показывают, что при планируемых значениях давления на входе в трубопровод (« 15 МПа) реализуется режим развитого турбулентного течения. Как известно [1, 4, 11, 20, 21], всеобъемлющая теория турбулентности отсутствует. Большинство инженерных расчетов основано на так называемых полуэмпирических теориях турбулентности. Задача о турбулентном течении жидкости (газа) в цилиндрических трубах имеет многочисленные приложения, ей посвящено огромное количество работ, библиография содержится, например, в книгах [5, 13, 24, 25].
К особенностям турбулентного течения в трубах относятся:
Структура турбулентного течения существенно изменяется поперек трубы.
Значительная доля изменения скорости происходит в узком пристеночном слое, состоящем из вязкого ламинарного подслоя и логарифмического турбулентного слоя.
Турбулентное ядро занимает основную часть поперечного сечения (~ 85% при числах Рейнольдса Re > 105). Изменение скорости в турбулентном ядре мало.
Такая картина турбулентного течения в трубах потверждает-ся многочисленными экпериментальными исследованиями, например [10, 13, 24, 27].
Первые попытки расчета турбулентных течений в трубах основаны на введении коэффициентов турбулентного переноса, таких как: длина пути смешения, коэффициент турбулентной вязкости и т.п. Эти теории называют феноменологическими или полуэмпирическими теориями турбулентности, т.к. они сочетают в себе эвристические соображения и эмпирические данные для расчета турбулентных течений [8, 9, 10, 13, 18, 26]. Полуэмпирические теории (Прандтля, Кармана и др.) дают правильные результаты для конкретных практических задач и поэтому являются основой многих современных расчетов турбулентных течений в трубах. Известно [13, 18, 32], что в теоретическом плане ранние полуэмпирические теории турбулентности не безупречны. Это стимулировало дальнейшие исследования [12, 16, 17, 25, 26]. В частности, в диссертации используется одна из полуэмпирических моделей турбулентности Новожилова - Павловского [12], полученная как обобщение одной из первых полуэмпирических моделей турбулентности, предложенной Карманом [9]. Большая практическая ценность модели Новожилова - Павловского заключается в том, что выбор эмпирических констант, входящих в эту модель, основан на обработке обширного экспериментального материала по течению жидкостей и газов [10, 13, 17, 19, 30, 36]. Это позволяет надеяться на достаточную точность интегральных характеристик течения, полученных на основе этой модели.
Дополнительные трудности возникают при моделировании сжимаемых жидкостей (в рассматриваемой задаче это неидеальная газовая смесь). Неизотермичность процессов и необходимость учета сжимаемости требуют исследования термодинамики турбулентного потока, что, очевидно, существенно более сложная задача, чем мо- делирование изотермического течения несжимаемой жидкости. Исследования в этом направлении представлены в работах [2, 3, 11, 19, 24, 32, 36, 40, 44, 45, 50].
Диссертационная работа является частью исследования проблем транспортировки природного газа по донным трубопроводам, начатого в 90-х годах прошлого века на кафедре физической механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета [44, 45, 46].
В диссертации исследуется ряд возможных моделей течения газа по донным трубопроводам большой протяженности. Рассмотрены достаточно общие модели течения (модели I, II), позволяющие учесть неизотермичность, сжимаемость, рельеф трассы, неидеальность газа. Предложен алгоритм численного решения уравнений модели II, который реализован в виде комплекса программ {Приложение). Для упрощенной модели (модели III) найден интеграл системы уравнений и получено точное аналитическое решение уравнений модели [Глава IV, п.4-).
Результаты исследований моделей неизотермического установившегося турбулентного течения сжимаемого газа, проведенные в настоящей диссертации, представляют теоретический интерес. Они позволяют сравнить два подхода к моделированию турбулентных течений в цилиндрических трубах — подход Прандтля-Никурадзе, рассмотренный для подобных задач в работах [44, 45], и подход Новожилова-Павловского. Несомненный теоретический интерес представляет найденное аналитическое решение упрощенного варианта модели (модели III), которая описывает в осредненной по сечению трубы форме неизотермическое установившееся турбулентное тече- ние идеального сжимаемого газа в горизонтальной трубе. Сравнение расчетов по моделям II и III позволило оценить роль учета неидеальности газа, которая, как оказалось, весьма существенна.
Возможность использования исследованных моделей и соответствующего комплекса программ в инженерной практике несколько ограничена принятым допущением о гидравлической гладкости внутренних стенок трубопровода. Тем не менее в блазиусовском диапазоне чисел Рейнольдса полученные решения и программы расчета давления, плотности, температуры и скорости потока имеют большое прикладное значение.
Подход, основанный на балансных соотношениях турбулентного потока
Расчет течения газа по трубопроводу, протянутому от газоконденсатного месторождения на шельфе Баренцева моря на материк, основан на классической задаче гидроаэромеханики —- задаче о течении жидкости в трубах [4, 11, 20, 21]. Простейшие оценки (Глава II, п.1.) показывают, что при планируемых значениях давления на входе в трубопровод (« 15 МПа) реализуется режим развитого турбулентного течения. Как известно [1, 4, 11, 20, 21], всеобъемлющая теория турбулентности отсутствует. Большинство инженерных расчетов основано на так называемых полуэмпирических теориях турбулентности. Задача о турбулентном течении жидкости (газа) в цилиндрических трубах имеет многочисленные приложения, ей посвящено огромное количество работ, библиография содержится, например, в книгах [5, 13, 24, 25].
К особенностям турбулентного течения в трубах относятся: Структура турбулентного течения существенно изменяется поперек трубы. Значительная доля изменения скорости происходит в узком пристеночном слое, состоящем из вязкого ламинарного подслоя и логарифмического турбулентного слоя. Турбулентное ядро занимает основную часть поперечного сечения ( 85% при числах Рейнольдса Re 105). Изменение скорости в турбулентном ядре мало. Такая картина турбулентного течения в трубах потверждает-ся многочисленными экпериментальными исследованиями, например [10, 13, 24, 27]. Первые попытки расчета турбулентных течений в трубах основаны на введении коэффициентов турбулентного переноса, таких как: длина пути смешения, коэффициент турбулентной вязкости и т.п. Эти теории называют феноменологическими или полуэмпирическими теориями турбулентности, т.к. они сочетают в себе эвристические соображения и эмпирические данные для расчета турбулентных течений [8, 9, 10, 13, 18, 26]. Полуэмпирические теории (Прандтля, Кармана и др.) дают правильные результаты для конкретных практических задач и поэтому являются основой многих современных расчетов турбулентных течений в трубах. Известно [13, 18, 32], что в теоретическом плане ранние полуэмпирические теории турбулентности не безупречны. Это стимулировало дальнейшие исследования [12, 16, 17, 25, 26]. В частности, в диссертации используется одна из полуэмпирических моделей турбулентности Новожилова - Павловского [12], полученная как обобщение одной из первых полуэмпирических моделей турбулентности, предложенной Карманом [9]. Большая практическая ценность модели Новожилова - Павловского заключается в том, что выбор эмпирических констант, входящих в эту модель, основан на обработке обширного экспериментального материала по течению жидкостей и газов [10, 13, 17, 19, 30, 36]. Это позволяет надеяться на достаточную точность интегральных характеристик течения, полученных на основе этой модели.
Дополнительные трудности возникают при моделировании сжимаемых жидкостей (в рассматриваемой задаче это неидеальная газовая смесь). Неизотермичность процессов и необходимость учета сжимаемости требуют исследования термодинамики турбулентного потока, что, очевидно, существенно более сложная задача, чем мо делирование изотермического течения несжимаемой жидкости. Исследования в этом направлении представлены в работах [2, 3, 11, 19, 24, 32, 36, 40, 44, 45, 50].
Диссертационная работа является частью исследования проблем транспортировки природного газа по донным трубопроводам, начатого в 90-х годах прошлого века на кафедре физической механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета [44, 45, 46].
В диссертации исследуется ряд возможных моделей течения газа по донным трубопроводам большой протяженности. Рассмотрены достаточно общие модели течения (модели I, II), позволяющие учесть неизотермичность, сжимаемость, рельеф трассы, неидеальность газа. Предложен алгоритм численного решения уравнений модели II, который реализован в виде комплекса программ {Приложение). Для упрощенной модели (модели III) найден интеграл системы уравнений и получено точное аналитическое решение уравнений модели [Глава IV, п.4-).
Результаты исследований моделей неизотермического установившегося турбулентного течения сжимаемого газа, проведенные в настоящей диссертации, представляют теоретический интерес. Они позволяют сравнить два подхода к моделированию турбулентных течений в цилиндрических трубах — подход Прандтля-Никурадзе, рассмотренный для подобных задач в работах [44, 45], и подход Новожилова-Павловского. Несомненный теоретический интерес представляет найденное аналитическое решение упрощенного варианта модели (модели III), которая описывает в осредненной по сечению трубы форме неизотермическое установившееся турбулентное тече ние идеального сжимаемого газа в горизонтальной трубе. Сравнение расчетов по моделям II и III позволило оценить роль учета неидеальности газа, которая, как оказалось, весьма существенна.
Возможность использования исследованных моделей и соответствующего комплекса программ в инженерной практике несколько ограничена принятым допущением о гидравлической гладкости внутренних стенок трубопровода. Тем не менее в блазиусовском диапазоне чисел Рейнольдса полученные решения и программы расчета давления, плотности, температуры и скорости потока имеют большое прикладное значение.
Баланс массы, импульса и внутренней энергии турбулентного потока в цилиндрической трубе
В этой главе рассмотрим общую постановку задачи об установившемся турбулентном неизотермическом течении вязкого сжимаемого неидеального газа в круглой цилиндрической трубе постоянного сечения большой протяженности с учетом рельефа донной поверхности и краевых условий и условий на входе.
В первой части Главы //приводятся физические, геометрические и некоторые инженерно-технические особенности транпортировки газа по морским трубопроводам. Во второй части общие балансные соотношения движения газовой смеси упрощаются в соответствии со всеми перечисленными выше особенностями задачи. Получаем систему уравнений, приближенно учитывающую изменения характеристик газового потока в радиальном направлении, которая служит достаточно точной моделью расчета величин, осредненных по сечению трубопровода. Также в этой главе рассматриваем уравнение состояния реальной газовой смеси; находим выражение внутренней энергии через температуру, плотность и состав газа; определяем соотношение для касательной составляющей тензора турбулентных напряжений; выбираем соответствующие граничные условия для скорости.
При транспортировке углеводородного сырья по донным трубопроводам, как показано в работе [46], характерны следующие условия: постоянный расход газа Q « 900 кг/сек; протяженность трассы L и 500 км; наличие уклонов и подъемов (допустимый максимум ±2.5 на донной поверхности вдоль трассы); перепад абсолютных отметок глубины от 300-500 метров до уровня поверхности моря; достаточно большие давления на входе (в качестве р0 взято давление 10 МПа и 98.7 атм); жесткие требования к тепловым режимам течения; газовая смесь подается подогретой на входе (в качестве Т0 взята температура 40С «313 ); Перечисленные особенности приводят, как показано в работе [46], к следующим выводам, которые должны учитываться при построении математической модели вязкого неизотермического турбулентного течения газа. Вывод 1. Необходим учет неидеальности газа, так как давление в значительной части течения превышает 20 атмосфер (до этой отметки справедливо использование модели идеального газа), а температура с небольшими отклонениями изменяется в диапазоне [Г , Т0] , где Т — температура замерзания морской (соленой) воды, а Т0 — температура газа на входе в трубопровод. Динамическая вязкость газа р связана с температурой Т по формуле Сат-тэрлэнда [49]. В данном диапазоне температур вязкость изменяется на 2 — 3% , поэтому можно считать, что в данной задаче параметр /j, = const . Вывод 2. При заданных расходах Q , радиусе трубопровода R и характерной вязкости газа // характерное число Рейнольдса, равное Re = —т= , изменяется в диапазоне 10 -і- 109 , то есть имеет место режим развитой турбулентности [47]. Вывод 3. Для расчета влияния рельефа дна вдоль всей трассы необходим учет силы тяжести. Вывод 4. Ограничиваемся рассмотрением установившегося течения газа при неизменных во времени условий на входе в трубопровод и вдоль трассы. Вывод 5. Можно ввести локальную цилиндрическую систему координат (г, 9, z) за счет того, что радиус кривизны трассы на пять и более порядков превосходит радиус трубопровода, поэтому можно считать трассу локально горизонтальной. Круглое сечение трубы на протяжении всей трассы имеет постоянный диаметр. Вывод 6. Условия на боковой поверхности практически не зависят от угла в , следовательно, допустимо считать, что задача аксиально симметричная. z = 0 равна р0 « 70 кг/м , начальная скорость газового потока равна V = —Ыу— 10 м/с . Это приводит к довольно большим числам Рейнольдса (см. Вывод2) и к достаточно малым числам Маха Мд = Кг (где А — скорость звука) порядка Ю-6 -f- 10 9 . Так как основной вклад в нормальные напряжения в турбулентном потоке вносит термодинамическое давление р , то в силу относительной малости сил инерции возможен ряд упрощений. Вывод 8. Внутренние стенки трубы считаем идеально гладкими (гидравлически гладкими), то есть пренебрегаем шероховатостью. На самом деле учет шероховатости существенен, но он выходит за рамки настоящей работы. п.2. Баланс массы, импульса и внутренней энергии турбулентного потока в цилиндрической трубе Режим развитого турбулентного течения описывается в терминах средних величин давления, плотности, внутренней энергии, температуры и скорости. Эти средние величины связаны между собой уравнением баланса массы (уравнением неразрывности), уравнением баланса импульса (уравнением количества движения), уравнением баланса внутренней энергии. Предполагаем термодинамические соотношения, связывающие средние давление, плотность, внутреннюю и свободную энергии и температуру, такими же как и в равновесном состоянии. Далее для упрощения, называя вышеперечисленные характеристики потока, будем иметь в виду именно их средние значения.
Система балансных уравнений должна быть дополнена уравнением состояния среды, калорическим уравнением и определяющими соотношениями, которые задают связь тензора напряжений о с деформационными характеристиками потока и вектора плотности потока тепла q с температурой. При этом выбор определяющих соотношений неоднозначен. Известно, что для турбулентных течений в трубах существует ряд алгебраических и дифференциальных определяющих соотношений. В настоящей работе в качестве определяющего соотношения выбрана модель Новожилова-Павловского.
Расчет профиля скорости турбулентного потока сжимаемого газа в трубе
В диссертации исследована математическая модель установившегося неизотермического турбулентного течения сжимаемого неидеального газа в гидравлически гладкой цилиндрической трубе с учетом теплообмена с окружающей средой и с учетом влияния силы тяжести. В отличии от известных математических моделей таких течений [45], основанных на полуэмпирической модели Прандтля-Никурадзе, в диссертации использована полуэмпирическая модель Новожилова-Павловского (обобщенная модель Кармана). Эта модель, предложенная авторами для несжимаемых жидкостей, обобщается в диссертации на сжимаемый газ. В вычислительном плане по-луэмпириеская модель Новожилова-Павловского существенно сложнее, чем модель Прандтля-Никурадзе, т.к. в ней путь перемешивания выражается через первую и вторую производные от z -ой компоненты скорости потока, тогда как в модели Прандтля-Никурадзе путь перемешивания пропорционален расстоянию до стенки. Несмотря на эти трудности в диссертации решена задача расчета профиля скорости турбулентного потока сжимаемого газа. Найденное решение является обобщением результатов Новожилова-Павловского на сжимаемые среды при малых числах Маха. В решение входят интегралы от бета-функций, численный расчет которых оформлен в виде программ (Приложение). Методом, предложенным Б. В. Филипповым [44], проведено осреднение нелинейных уравнений модели по сечению трубопровода и построен алгоритм численного решения модели II, позволяющей рассчитать давление, плотность, температуру и скорость рассматриваемого турбулентного потока. Этот алгоритм реализован в виде комплекса программ (Приложение). Модель II охватывает часть допустимого диапазона изменения входных параметров и служит хорошим приближением для ряда режимов эксплуатации газовых трубопроводов.
Анализ численных расчетов по модели II позволил сделать следующие выводы: отличие трассы от горизонтальной более всего сказывается на начальном участке трубопровода, а именно, наличие значительного уклона в начале трассы приводит к существенным изменениям характеристик потока, в то время, как наличие аналогичного уклона в конце трассы практически не оказывает влияния на характеристики потока (Приложение); существенен учет неидеальности газовой смеси; переход от уравнения состояния неидеальной газовой смеси Редлиха-Квонга к уравнению состояния идеального газа приводит к искажению профиля температуры вдоль трассы на несколько градусов (в одном и том же сечении); большое влияние на основные характеристики потока оказывает условие теплообмена с окружающей средой; Наряду с общей моделью II рассмотрен упрощенный вариант — модель III, котрая получена при трех предположениях: газ идеальный, теплообмен отсутствует, трасса горизонтальна. Несмотря на эти упрощения, модель III описывает достаточно сложное течение, а именно установившееся дозвуковое турбулентное течение неизотермического сжимаемого газа. В диссертации доказано, что в таком течении для осредненных по сечению характеристик поток имеет место интеграл движения типа интеграла Бернулли, а именно осредненная по сечению полная энтальпия (h) — (срТ + U2/2j сохраняется. В диссертации найдено точное решение (Глава IV, п.4-) системы дифференциальных уравнений модели III. Основные результаты и выводы При исследовании задачи трасшюртировки газа по трубопроводам большой протяженности получены следующие результаты, выносимые на защиту. 1. Исследована математическая модель установившегося неизотермического турбулентного течения сжимаемого неидеального газа в цилиндрической трубе постоянного сечения при больших числах Рейнольдса и малых числах Маха, основанная на полуэмпирической модели Новожилова-Павловского, обобщенной на сжимаемые среды (модель I). 2. Решена задача расчета профиля скорости турбулентного потока в условиях модели I для гидравлически гладких труб; решение оформлено в виде программы. 3. Получена система уравнений, связывающая осредненные по сечению трубопровода давление, плотность и температуру потока (модель II); модель II включает учет неидеальности газа, рельефа трассы и условий теплообмена турбулентного потока с окружающей средой. 4. Алгоритм численного решения системы дифференциальных уравнений модели II оформлен в виде комплекса программ; анализ результатов расчета различных вариантов транспортировки газа позволил сделать важные для приложений выводы. 5. Найдено точное аналитическое решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, моделирующих поведение осре-денных давления, плотности и температуры установившегося турбулентного потока при трех упрощающих предположениях: труба теплоизолирована, газ идеальный, трасса горизонтальна.
Метод Рунге-Кутта для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка
Первые попытки расчета турбулентных течений в трубах основаны на введении коэффициентов турбулентного переноса, таких как: длина пути смешения, коэффициент турбулентной вязкости и т.п. Эти теории называют феноменологическими или полуэмпирическими теориями турбулентности, т.к. они сочетают в себе эвристические соображения и эмпирические данные для расчета турбулентных течений [8, 9, 10, 13, 18, 26]. Полуэмпирические теории (Прандтля, Кармана и др.) дают правильные результаты для конкретных практических задач и поэтому являются основой многих современных расчетов турбулентных течений в трубах. Известно [13, 18, 32], что в теоретическом плане ранние полуэмпирические теории турбулентности не безупречны. Это стимулировало дальнейшие исследования [12, 16, 17, 25, 26]. В частности, в диссертации используется одна из полуэмпирических моделей турбулентности Новожилова - Павловского [12], полученная как обобщение одной из первых полуэмпирических моделей турбулентности, предложенной Карманом [9]. Большая практическая ценность модели Новожилова - Павловского заключается в том, что выбор эмпирических констант, входящих в эту модель, основан на обработке обширного экспериментального материала по течению жидкостей и газов [10, 13, 17, 19, 30, 36]. Это позволяет надеяться на достаточную точность интегральных характеристик течения, полученных на основе этой модели.
Дополнительные трудности возникают при моделировании сжимаемых жидкостей (в рассматриваемой задаче это неидеальная газовая смесь). Неизотермичность процессов и необходимость учета сжимаемости требуют исследования термодинамики турбулентного потока, что, очевидно, существенно более сложная задача, чем мо делирование изотермического течения несжимаемой жидкости. Исследования в этом направлении представлены в работах [2, 3, 11, 19, 24, 32, 36, 40, 44, 45, 50].
Диссертационная работа является частью исследования проблем транспортировки природного газа по донным трубопроводам, начатого в 90-х годах прошлого века на кафедре физической механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета [44, 45, 46].
В диссертации исследуется ряд возможных моделей течения газа по донным трубопроводам большой протяженности. Рассмотрены достаточно общие модели течения (модели I, II), позволяющие учесть неизотермичность, сжимаемость, рельеф трассы, неидеальность газа. Предложен алгоритм численного решения уравнений модели II, который реализован в виде комплекса программ {Приложение). Для упрощенной модели (модели III) найден интеграл системы уравнений и получено точное аналитическое решение уравнений модели [Глава IV, п.4-).
Результаты исследований моделей неизотермического установившегося турбулентного течения сжимаемого газа, проведенные в настоящей диссертации, представляют теоретический интерес. Они позволяют сравнить два подхода к моделированию турбулентных течений в цилиндрических трубах — подход Прандтля-Никурадзе, рассмотренный для подобных задач в работах [44, 45], и подход Новожилова-Павловского. Несомненный теоретический интерес представляет найденное аналитическое решение упрощенного варианта модели (модели III), которая описывает в осредненной по сечению трубы форме неизотермическое установившееся турбулентное течение идеального сжимаемого газа в горизонтальной трубе. Сравнение расчетов по моделям II и III позволило оценить роль учета неидеальности газа, которая, как оказалось, весьма существенна.
Возможность использования исследованных моделей и соответствующего комплекса программ в инженерной практике несколько ограничена принятым допущением о гидравлической гладкости внутренних стенок трубопровода. Тем не менее в блазиусовском диапазоне чисел Рейнольдса полученные решения и программы расчета давления, плотности, температуры и скорости потока имеют большое прикладное значение.
Турбулентные течения охватывают движение жидкостей и вязких газов в широком диапазоне масштабов длины и времени, при этом они обладают достаточно сложной структурой, которая и обуславливает нерегулярный и случайный характер изменения полей скорости, давления, температуры и других газодинамических величин. Обычно подходы к описанию турбулентных течений базируются на нестационарных, трехмерных уравнениях динамики вязкого газа (система уравнений Навье-Стокса): уравнение неразрывности уравнение движения р М- = pf + div т, d s уравнение баланса внутр. энергии Р Ж = а VF — div q, уравнение состояния р = р(р,Т), калорическое уравнение є = є(р,Т)} закон теплопроводности q = —Л VT, реологическое уравнение для о. В данной системе приняты следующие обозначения: / — плотность массы, V — вектор массовой плотности импульса (скорость), р — термодинамическое давление, Т — температура среды, / — вектор плотности массовых сил (если массовой силой является сила тяжести, то / = ?), є — массовая плотность внутренней энергии, тт — оператор материальной производной в среде, движущейся со скоростью V, V — оператор Гамильтона, а — тензор напряжений, VVS — симметричная часть дифференциала скорости, равная тензору скоростей деформации, q — вектор потока тепла, Л — коэффициент теплопроводности [50].
