Содержание к диссертации
Введение
1. Формулировка задачи и вывод основных уравнений 15
1.1. Плоские волны в упругой среде 15
1.2. Модель композиционного материала 20
2. Уединенные волны и условия их устойчивости 24
2.1. Солитонные решения 24
2.1.1. Сохраняющиеся величины и симметрии 24
2.1.2.У единенные волны при наличии анизотропии 26
2.1.3.У единенные волны в изотропном материале 26
2.2. Устойчивость уединенных волн 27
2.2.1.Спектральные свойства оператора Ті 27
2.2.2.Спектр в анизотропном случае 28
2.2.3.Спектр в изотропном случае 31
2.2.4.Свойства билинейной формы < Ну, у > для медленного семейства в анизотропной среде и в изотропной среде 32
2.2.5.Анализ устойчивости 36
3. Неустойчивость и взаимодействие уединенных волн 41
3.1. Взрывная и обменная неустойчивости 43
3.2. Взаимодействие уединенных волн 52
3.3. Обсуждение 64
3.4. Приложение. Разностная схема 67
4. Уединенные волны в модели предварительно деформированного композита 69
4.1. Формулировка задачи 69
4.2. Линейные резонансы 70
4.3. Солитонные решения 74
4.4. Обобщенные уединенные волны 79
4.5. Численное моделирование образования и распада уединенных волн 84
Выводы 87
Приложение 88
Список литературы 105
- Модель композиционного материала
- Сохраняющиеся величины и симметрии
- Взаимодействие уединенных волн
- Численное моделирование образования и распада уединенных волн
Введение к работе
В последнее время в теории упругости и приложениях имеется устойчивый интерес к так называемым композиционным материалам (см.напр. [7]; [8]; [11]; [20]). Как следует из их названия, эти материалы состоят из различных перемешивающихся на макроуровне веществ. Для изучения крупномасштабных процессов, с характерным масштабом, сильно превосходящим размер неоднородностей используется метод осреднений основных уравнений модели. Известно, что свойства композита, описываемого осредненными уравнениями, и свойства, составляющих его компонент существенно различаются. В частности, типичен случай возникновения дисперсии, несмотря на то, что в каждом из упругих материалов, составляющих композит, дисперсии нет. Таким образом, композит, состоящий из упругих материалов с нелинейным уравнением состояния, представляет собой диспергирующую среду, в которой могут распространяться волны, являющиеся результатом взаимодействия нелинейных и дисперсионных эффектов, в том числе уединенные волны.
Уединенные волны относятся к общему классу непериодических бегущих волн постоянной формы, основной характеристикой которых является убывание или выход на периодическую асимптотику на пространственной бесконечности. В диспергирующих средах уединенные волны появляются вследствие баланса эффектов нелинейности и дисперсний.
Согласно понятиям современной теории нелинейных волн, классические уединенные волны - локализованные по пространству решения нелинейных уравнений, описывают волновые процессы в средах с обратимостью и дисперсией. Они привлекают значительный интерес в качестве объектов как математического, так и физического исследований. Присутствие решений типа уединенных волн - солитонов - у сложных нелинейных уравнений стимулировало развитие разнообразных методов мощного математического формализма, в том числе знаменитого метода обратной задачи теории рассеяния - нелинейного аналога Фурье-анализа (см. [13]). Солитоны представляют собой пример уединенных волн, взаимодействие которых происходит без изменения формы, и в этом смысле подобно взаимодействию частиц (название "солитой" в английской этимологии происходит от комбинации прилагательного solitary - уединенный - и названия элементарной частицы - фотон, электрон и т. п.). Однако, принятое в настоящее время понятие уединенной волны, относится к более общему классу непериодических бегущих волн, основной характеристикой которых является убывание или выход
на периодическую асимптотику на пространственной бесконечности. В последнем случае такая волна называется обобщенно-уединенной.
В физически линейной теории упругости существование классических уединенных волн характерно для стержней или пластин, где нелинейные эффекты при распространении волн обусловлены геометрическими причинами, связанными с наличием существенных смещений при малых деформациях, а эффекты дисперсии - изгибными свойствами рассматриваемых объектов. В физически нелинейной теории упругости, где закон Гука модифицируется добавлением в зависимость напряжений от деформаций нелинейных членов, уравнения, описывающие распространение волн в сплошной среде, являются чисто гиперболическими, и диспергирующие члены отсутствуют. Композит является примером среды, где наряду с нелинейными свойствами, которые "остались" от нелинейности упругой матрицы, возникает дисперсия, которая обусловлена наличием неоднородности на макроуровне. В связи с изложенным представляется актуальным исследование распространения разных типов локализованных волн напряжений и деформаций в композитах и, в частности, влияние разных типов стационарных локализованных структур (классических и обобщенно-уединенных волн) на физические особенности нестационарных волновых процессов, связанных с распадом или распространением локализованных возмущений. Вопрос о эволюции последних имеет фундаментальный характер в любой физической системе.
В диссертации изучаются плоские волновые движения в неоднородной нелинейной упругой среде (композите), когда перемещения, деформации и скорости частиц зависят от одной пространственной переменной и времени. Будут рассматриваться несжимаемые упругие среды, когда деформации сжатия являются постоянными, как нулевыми, так и ненулевыми.
Несмотря на то, что движения нелинейного упругого тела описываются гиперболической системой уравнений [19], наличие внутренней неоднородной структуры материала на макроуровне приводит к дисперсии волн [1, 2].
Как известно [2], дисперсионные члены при осреднении могут быть добавлены двумя способами в уравнения вида
СУ V (J ( Яу \ о
Cv = -,(и,й,y3)w + С\ С\ = ^ \А„(я,й,й)^-j , yj = -f
Здесь р и A{j = Afj периодические функции с периодом единица, є « 1, что означает, что период неоднородности среды много меньше характерной длины изучаемых волн. В случае, когда Ац = Aij(y), у = х\/є, и волна распространяется в направлении х\, дисперсионные члены младшего порядка, возникающие при осреднении, имеют вид (если v — двумерный вектор) v х Ь, где b — постоянный псевдовектор и штрих обозначает производную по пространственной переменной. В случае, когда направление распространения волны ортогонально направлению периодичности среды, добавочные дисперсионные члены в низшем порядке по є имеют вид Mv , где М. —симметричная, вообще говоря, недиаго-
нальная матрица. В диссертации будет предполагаться, что отсутствует волновая анизотропия и Л4 = diag{m, m}. Кроме того, относительно упругой среды примем, что нелинейность, анизотропия и дисперсия малы и представляются членами одного порядка. Тогда система основных уравнений может быть записана в виде (1.10) [9].
Дисперсионное слагаемое с т > 0 появляется в уравнениях движения (второй паре уравнений в (1.10)), например в случаях, когда однородная упругая легкодеформируемая среда содержит однородно распределенные стержни, имеющие достаточную жесткость на изгиб и расположенные параллельно оси х.
В типичной для плоскопараллельных движений ситуации классические уединенные волны возникают как бифуркации из нулевого волнового числа спектра линейных волн. Это означает, что существует такая ветвь дисперсионного соотношения, проходящая через 0, что ее график и график всех остальных ветвей лежат по одну сторону от касательной к графику этой ветви в нуле. Если же такой ветви не существует, то в случае общего положения классическая уединенная волна отсутствует. При этом в ряде случаев возможно образование нового объекта -обобщенно-уединенной волны - бегущей волны, подобной классической уединенной волне, но имеющей периодическую асимптотику на бесконечности.
Классические уединенные волны в низшем приближении по малому параметру - амплитуде волны - имеют форму солитонов уравне-
ния Кортевега-де Вриза, которые являются динамически устойчивыми. В связи с этим факт устойчивости классических уединенных волн в случае общего положения представляется вполне естественным. Таким образом, следует ожидать, что локализованные возмущения одной полярности с рассматриваемыми классическими уединенными волнами ("горб" или "яма") будут распадаться на эти волны. С другой стороны, процессы распада локализованных возмущений, сопровождающиеся излучением периодических или почти периодических волн, оказываюся тесно связанными с наличием в рассматриваемой обратимой системе соответственно обобщенно-уединенных волн.
В [15, 16] сформулированы достаточные условия существования уединенных волн трех упомянутых типов для плоскопараллельных движений в диспергирующих средах. Экспоненциально малая оценка для амплитуды периодической составляющей обобщенно-уединенных капиллярно-гравитационных волн дана в работе [61]. Условие отсутствия периодической составляющей у обобщенно-уединенной волны в общем случае сформулировано [53]. Однако проверка этого условия представляет конструктивные трудности в каждом конкретном случае.
В главе 4 настоящей работы будут рассмотрены вопросы существования уединенных волн и замещения их обобщенно уединенными волнами для разных диапазонах скоростей бегущей волны для композита, находящегося в предварительно деформированном состоянии [6], [21]. Здесь имеет место ситуация, типичная для моделей гидромеханики, где
волновые решения полной системы уравнений типа классических уединенных волн отсутствуют для определенных областей изменения физических параметров: в моделях идеальной тяжелой несжимаемой жидкости конечной глубины с поверхностным натяжением [24], [37], [48,49], [58], [60]; под упругой пластиной, моделирующей ледовый покров, [17], [41,42], [45]; непрерывно стратифицированной идеально-несжимаемой жидкости конечной глубины [22]; двухслойной идеально-несжимаемой жидкости с конечными глубинами слоев [25], [33], [35], [55], [62]; холодной квазинейтральной бесстолкновительной плазмы, помещенной в однородное магнитное поле [14, [15], [26], [44].
Система уравнений в частных производных в композите, рассматриваемом в главе 4 является обратимой, т. е. инвариантной относительно отражения времени и динамической координаты. Обратимость - естественное свойство задач, где направление распространения волн неогра-ничено и не имеет предпочтительной ориентации и фиксированного начала координат. Основные этапы исследования рассматриваемых задач сводятся к следующим.
1. Определение критического значения параметра бифуркации, т. е. значения физического параметра задачи v = vq, при малом возмущении v — v — vq которого, наряду с нулевым решением, система имеет нетривиальное решение.
2. Запись системы уравнений, описывающих бегущие волны, в виде
конечномерной или бесконечномерной динамической системы:
w = .Aw + .F(i/,w), A = A(v0), (0.1)
где w - неизвестная вектор-функция, A(v) - матрица или линейный оператор, действующий в некотором гильбертовом пространстве (в случае бесконечномерной динамической системы), а Т{у, w) - нелинейная вектор-функция своих аргументов. Точка над функцией обозначает производную по неограниченной пространственной координате, которая играет роль динамической переменной.
Определение движения собственных значений линейного оператора A(v) в окрестности мнимой оси при изменении спектрального параметра v = v — vq. Бифуркации возникают при пересечении собственными значениями A(v) мнимой оси. В силу обратимости системы уравнений собственные значения A(v) выходят на мнимую ось парами при изменении параметра v и являются симметричными относительно мнимой и вещественной осей. В рассмотрениях главы 4 используются следующие типы бифуркаций: бифуркация, отвечающая простому резонансу или бифуркация из нулевого волнового числа, бифуркация, отвечающая резонансу длинной и короткой волн (см. напр. [18]).
Понижение порядка динамической системы. Формально понижение порядка осуществляется при помощи разбиения неизвестных функций на сумму двух слагаемых. Одно из этих слагаемых представляет собой линейную комбинацию присоединенных и собственных векторов,
соответствующих центральному спектру (мнимым собственным значениям) , а другое является малой следующего порядка по амплитуде волн и представляет собой определяемую функцию от первого слагаемого. Уравнения на коэффициенты упомянутой линейной комбинации являются системой пониженного порядка. В случае бесконечномерной динамической системы указанное понижение порядка возможно лишь при выполнении дополнительных условий, которым должен удовлетворять оператор Л [50], [54], [63].
5. Исследование системы обыкновенных уравнений, полученных после
понижения порядка. Проводится асимптотическими методами, в част-
ности, приближением уравнений пониженного порядка квазинормалъ-
ными формами этих уравнений. Уравнения в квазинормальной форме,
отвечающие двум перечисленным типам бифуркаций, являются интег
рируемыми [49].
6. Доказательство грубости решений типа уединенной волны
асимптотических уравнений, т.е. доказательство того факта, что реше
ния полной системы, приближаемые решениями асимптотических урав
нений, являются также уединенными волнами соответствующих типов.
Эти доказательства, как правило, сводятся к использованию теоремы о
неявной функции в различных формах. Для бифуркаций, изображенных
на рис. 1, такие доказательства известны для всех типов бегущих волн,
кроме случая решений типа классических уединенных волн, которыми
обладает система уравнений в квазинормальной форме для резонанса
длинных и коротких волн: в случае общего положения эти уединенные волны соответствуют решениям типа обобщенно-уединенных волн полной системы (см., например, [49]). Теорема о понижении размерности динамической системы (о центральном многообразии), а также вывод типов систем уравнений в квазинормальной форме, используемых в данной диссертации для нахождения волновых решений, приводится в приложении.
Вопрос о возможности наблюдении классических уединенных волн на практике, естественно, связан с динамической устойчивостью этих волн. В главах 2, 3 рассматриваются вопросы устойчивости и неустойчивости классических уединенных волн в композите без предварительных деформаций, когда обобщенные уединенные волны отсутствуют. В главе 2 доказываются достаточные условия устойчивости классических уединенных волн и устанавливаются диапазоны устойчивости -интервалы изменения скорости, где имеет место устойчивость.
Литература, относящаяся к исследованию устойчивости солитонов современными методами в разных задачах нелинейной физики достаточно обширна. Не претендуя на сколько-нибудь полный обзор по этому вопросу, ограничимся здесь упоминанием ряда работ в этой области. Анализ орбитальной устойчивости, основанный на геометрическом подходе к исследованию гамильтоновых систем, впервые развит в работах [30], [32], где рассматривается нелинейная устойчивость солитонов уравнения Кортевега-де Вриза и альтернативного уравнения Бенджамена-
Боны-Махони. Применение аналогичных методов к исследованию соли-тонных решений некоторых других модельных уравнений может быть найдено в работах [31], (уравнение Бенджамена-Оно), [59] (нелинейное уравнение Клейна-Гордона и нелинейное уравнение Шредингера), [23] (т.н. уравнение для умеренных длин волн), [33] (обобщенное уравнение Буссинеска), [38], [46] (уравнение Кавахары), [34] (семейство обобщенных уравнений Кортевега-де Вриза), [29] (устойчивость петлевых солитонов в нерастяжимых стержнях), [57] (асимптотическая устойчивость солитонов уравнений Кортевега-де Вриза). Обсуждение общих вопросов устойчивости и неустойчивости солитонов в гидромеханике и плазме приводится в обзорах [52], [56].
В главе 3 рассматриваются вопросы неустойчивости и примыкающие к ним вопросы взаимодействия устойчивых уединенных волн в композите без предварительных деформаций [28]. Эти вопросы решаются при помощи численного счета с использованием консервативной конечно-разностной неявной схемы. Взаимодействие определенного класса уединенных волн в рассматриваемой модели композита оказывается аналогичным взаимодействию солитонов в интегрируемых системах, приводящее к образованию бризеров.
Формулировка задачи и вывод основных уравнений приводятся в главе 1.
Модель композиционного материала
Предположим, что упругая среда, рассмотренная в предыдущем параграфе, формирует матрицу композиционного материала. Пусть матрица содержит однородно распределенные несжимаемые упругие тонкие невесомые стержни, имеющие достаточную жесткость на изгиб, и расположенные параллельно оси х, вдоль которой распространяется волна. При этом энергия всей системы изменяется на величину энергии изгиба системы стержней в силу того обстоятельства, что при ориентации стержней вдоль направления распространения волны, рассматриваемые сдвиговые деформации в матрице вызывают изгибные колебания таких стержней.
Таким образом, для быстрого семейства имеется дополнительное по сравнению с медленным семейством, неустойчивое направление х .- На личие этого неустойчивого направления, по-видимому, приводит к неустойчивости быстрого семейства солитонов. Более подробно вопрос о неустойчивости обсуждается в разделе " Обсуждение результатов".
Исследуя (2.11) аналогично анизотропному случаю получим, что первая задача на собственные значения имеет простое отрицательное собственное значение, простое нулевое собственное значение с собственной функцией xi = fyiti и положительный спектр, отделенный от нуля. Вторая задача в (2.11) дает простое нулевое собственное значение с собственной функцией Х2 = и\ и положительный спектр, отделенный от нуля. Резюмируя, получим, что в изотропном случае спектр оператора % состоит из: —простого отрицательного собственного значения; — двукратного нулевого собственного значения с собственными функциями д фу и Лфу; —положительной части спектра, отделенной от нуля. Кг Наличие дополнительного, по сравнению с анизотропным случаем, собственного значения обусловлено возникновением дополнительной вращательной симметрии.
В дальнейшем анализе ключевую роль будет играть положительность величины d(y) = dQ((f v)/dV, которая имеет вид = (2 - ) , для медленного семейства солитонов в анизотропном случае и для солитонов в изотропном случае. Таким образом d(V) 0 при V2 ii\/2 для анизотропного и при V2 ц/2 для изотропного случаев. Далее для краткости будем называть области параметра У, где d(V) 0 диапазоном устойчивости. Как следует из спектральных свойств оператора %, билинейная форма "Ну, у не является неотрицательно определенной во всем пространстве X, потому что отрицательный спектр оператора 7І не является пустым. Тем не менее для d(V) 0 эта билинейная форма является неотрицательно определенной на линейном подпространстве L = {у Є X, Q (фу),У — 0}, касательном к многообразию Q(w) = С}(фу) в точке w = фу.
Определим солитонные орбиты — семейства решений, зависящих от параметров группы симметрии. В анизотропном случае орбитой солитона фу будем называть однопараметрическое семейство всех сдвигов Т(з)фу. Аналогично, в изотропном случае солитонная орбита определяется, как двухпараметрическое семейство T(s)G((f)(f)v- Малое возмущение солитона может привести к возникновению солитона с другой скоростью, а в изотропном случае солитону, возникшему в результате возмущения может отвечать и другой угол р. Поэтому, совершенно ясно, что физической устойчивостью солитонов будет являться орбитальная устойчивость, где один из элементов орбиты переходит в элемент той же орбиты. Иными словами: солитон называется устойчивым, если для любого Єї 0 существует 5\ О такое, что если w(0) — фу\\ 5\, то SUpmf\\w(t) -Т(з)фу\\ 1 для медленного солитонного семейства (2.3) в анизотропном случае и sup inf in? w(t) - T(s)G( p) f v\\ Cl для солитонного семейства (2.4) в изотропном случае. Здесь w(t) обозначает непрерывное по времени решение уравнений основных уравнений (1.10) на произвольном отрезке t Є [0,Т) с начальным значением w(0). Заметим, что для групп сдвигов T(s) и поворотов G((p) существуют оптимальные сдвиги s(w) и повороты (w), которые минимизируют расстояния от солитонных орбит до вектор-функций w.
Сохраняющиеся величины и симметрии
Рассмотрим уединенные волны из медленного семейства в анизотропном случае. Соответствующее уравнение для щ в (1.10) при отсутствии компоненты «2 ИМеет ВИД д2и\ д2щ t кд2(и\) t тд4щ _п Линеаризуем далее (3.1) на фоне медленной уединенной волны (2.3) и пренебрежем слагаемым со старшей пространственной производной; 6и обозначает возмущение компоненты и\\ дЧи-(„ K1tc2\d26u o tflr,, К d(uf) Э5и _____ (Д1 _ 3-Wl )_ _ З-- - 6--------- (3.2) В силу того обстоятельства, что система уравнений (1.10) согласована только за счет нелинейных членов, задача о линейной устойчивости для полной системы (1.10) распадается на два независимых уравнения, где (3.2) - одно из этих уравнений. Тип уравнения (3.2) определяется знаком коэффициента при 5ихх. Из (3.2) и (2.3) получаем, что это уравнение » 42 является гиперболическим для всех X И V Є /ft h = {0 V rfTuV2 1} (3.3) и эллиптическим внутри некоторого интервала на оси х, расположен ного вне Д. Из (3.3) следует, что Д принадлежит диапазону устойчи вости. На "ранних стадиях эллиптичности", когда V все еще принад лежит диапазону устойчивости, интервалы оси х, где уравнение (3.2) эллиптично, еще достаточно малы, и неустойчивость, возникающая в результате некорректности задачи Копій для (3.2), подавляется диспер сионным членом с четвертой пространственной производной. Если V покидает диапазон устойчивости, можно ожидать, что интервал оси х эллиптичности (3.2) оказывается достаточно большим, чтобы влиять на эволюцию данных Коши, имеющих форму уединенной волны. Эта эволюция может привести к неограниченному росту (взрывной неустойчивости) уединенной волны.
Уравнение (3.1) может быть сведено к модифицированному уравнению Кортевега-де Вриза (мКдВ), описывающему длинные волны малой амплитуды, распространяющиеся в одном направлении (направо), т.е. волны, медленно зависящие от времени в системе отсчета, движущейся со скоростью со = у/Щ, (см. [12]). Для рассматриваемого случая это уравнение имеет вид дт ро д род = е(х — cot), т = еН, и = и(, г), и = — (3.4) где є достаточно мало.
Вычисления проводились для всех возможных комбинаций: быстрая или медленная волны, изотропный или анизотропный случай, наличие или отсутствие вращения в плоскости волнового фронта (т. е. присутствует или нет компонента и полученная в результате применения ортогонального преобразования к (2.4)), лежит ли скорость внутри или вне диапазона устойчивости. Численные исследования полностью подтверждают теоретические результаты об устойчивости уединенных волн внутри диапазонов устойчивости. Взрывная неустойчивость наблюдалась вне диапазона устойчивости для медленного семейства, а также при V2 г/2 для быстрого семейства.
На рисунках представлены формы компонент уединенных волн щ и і±і в изотропном случае, когда вращение начальных данных вида (2.4) вокруг оси х в плоскости волнового фронта присутвует. На рис. 3.1 показано распространение устойчивой уединенной волны в изотропном случае. Рис. 3.2. описывает эволюцию изотропной уединенной волны в неустойчивом случае. Качественная форма волн аналогична для всех вычислений в изотропном и анизотропном случаях.
Итак, теперь начальные данные для щ не равны нулю: щ = еи где є - малый параметр, характеризующий амплитуду начального возмущения. Заметим, что рассматриваемая неустойчивость (далее называемая обменной неустойчивостью) оказывается связанной с медленными процессами, в результате чего не имеет смысла рассматривать интервал V2 /іг/2, где имеет место конкурирующая взрывная неустойчивость. Обменная неустойчивость имеет форму периодического обмена между компонентами щ и щ.
Результаты вычислений оказываются следующими. При V близком к //І2, возмущения практически не влияют на уединенную волну. Когда величина параметра скорости V уменьшается (и, следовательно, амплитуда уединенной волны увеличивается) возникает периодическая ортогональная компонента щ в случае, когда длина резонансной периодической волны сравнима с длиной уединенной волны. На рис. 3.3 показан результат обменной неустойчивости в этом случае. Во время процесса эволюции компонента иі в главном сохраняет форму уединенной волны, в то время как компонента щ эволюционирует в модулированную периодическую волну.
В области, занятой уединенной волной U2, волна щ демонстрирует нестационарное поведение. В этой области форма компоненты щ аналогична форме уединенной волны огибающей. Более того, эта уединенная волна осциллирует либо в фазе, либо в противофазе с осцилляциями максимума и . Этот процесс тем медленнее, чем меньше начальное возмущение (слабая неустойчивость). На рис. 3.4 показана зависимость от времени минимального и максимального значений щ и г 2 для начальных данных ич в форме быстрой уединенной волны (2.3) с ортогональным возмущением щ для V2 г/2. Для меньших значений параметра скорости V процесс развивается другим образом. На рис. 3.5 показана зависимость от времени минимального и максимального значений и\ и «2 для начальных данных ич — vfy, взятых в форме быстрой уединенной волны (2.3) с малым ортогональным возмущением щ также и для V2 /іг/2. В этом случае возбуждается периодическая компонента щ конечной амплитуды, даже если начальное возмущение как угодно мало. Произвольно малые начальные возмущения эволюционируют в периодическую волну щ конечной амплитуды, а также наблюдается уменьшение амплитуды и% на конечную величину в течение достаточно малого времени (сильная неустойчивость).
Взаимодействие уединенных волн
В настоящем параграфе рассмотрим взаимодействие двух устойчивых уединенных волн, т. е. волн из медленного анизотропного или изотропного семейств, когда скорость содержится внутри диапазонов устойчивости V2 fii/2 и V2 /І/2, соответственно. Сначала произведем локальный анализ взаимодействия при помощи асимптотической процедуры [10]. Локальный анализ представляет собой исследование тенденции взаимодействия, иными словами, притягиваются или отталкиваются уединенные волны. Глобальный анализ, представляющий собой исследование самого процесса взаимодействия, предпринят здесь при помощи численного интегрирования динамических уравнений.
В рамках локального анализа сделаем следующие предположения. Будем рассматривать уединенные волны, распространяющиеся с близкими скоростями, т.е. 1 — P2I С 1, где V\ и V i - скорости уединенных волн, пронумерованных индексами 1 и 2. Далее, предположим, что начальное расстояние между уединенными волнами достаточно велико, так что их вершины находятся настолько далеко друг от друга, что взаимодействие является достаточно малым и может быть рассмотрено как возмущение движения двух невзаимодействующих волн. Тем не менее, влиянием этого взаимодействия на движение волн не пренебре-гается и, следовательно, амплитуды (скорости) волн медленно зависят от времени, т.е. V{ = Vi(r), і = 1,2, г = et. Параметр IC 1 является малой безразмерной величиной, характеризующей взаимодействие (так называемая "мера взаимодействия") и имеет порядок относительной величины поля в хвосте уединенной волны 2 (1) в окрестности вершины уединенной волны 1 (2).
Дополнительный член О (є2) дает "меру" зависимости от і (&) решения в окрестности уединенной волны 2 (1) также как и возможного рассеяния энергии в результате взаимодействия, которые полагаются имеющими второй порядок малости по є, когда волны разнесены далеко. Рассмотрим окрестность уединенной волны 1.
Напомним, что рассматриваются только устойчивые уединенные волны, имеющие скорость, лежащую внутри диапазона устойчивости V2 fi/2. Следовательно, знак функции V(s) совпадает со знаком и. Выше приведенный анализ может быть повторен в окрестности уединенной волны 2. Уравнение для изменения Vi со временем имеет ту же форму, как и уравнение (3.13) за исключением знака минус, который стоит перед V. Более того, в рамках предположений о рассматриваемом взаимодействии V\ « V2 и следовательно, величина V в выражении для V в рассматриваемом порядке малости является одной и той же для обеих уединенных волн. Эту величину можно считать постоянной, которая равна средней скорости волн, когда они не взаимодействуют. Далее, используя (3.7), окончательно получим
Уравнение (3.14) описывает движение материальной точки в поле потенциальной энергии V. Как видно из рис. 6Ь, в случае, когда взаимодействующие волны одной полярности [у = 1), они имеют тенденцию отталкиваться. В случае разных полярностей (у = —1) уединенные волны имеют тенденцию к притяжению, что отвечает движению материальной точки, описываемому (3.14), в потенциальной яме (рис. 6а). При помощи выражения для потенциальной энергии V(s) можно оценить расстояния, на которых имеет место взаимодействие. Из (3.14) и (3.13) можно видеть, что наиболее сильное взаимодействие имеет место, когда только одна компонента деформаций является ненулевой. Этот случай отвечает ip = 7г/2. Когда имеются две ортогональные взаимодействующие уединенные волны ( /? = 0), взаимодействие в данном порядке отсутствует. В общем случае присутствие ортогональной компоненты щ = cos i во второй взаимодействующей уединенной волне (см. (3.8)) не влияет на взаимодействие в рассматриваемом порядке.
Потенциальная энергия V при взаимодействии двух устойчивых уединенных волн из медленного анизотропного семейства очевидным образом получается при помощи замены fi на ц\ и приравнивания ср = 7г/2 в (3.13), в силу того обстоятельства, что анизотропные уединенные волны имеют только одну компоненту щ = и\ (см. (2.3)).
Локальное притяжение уединенных волн при v — — 1 позволяет предположить, что эти волны могут формировать связанные состояния в результате взаимодействия. Это предположение подтверждается численными расчетами. Для численных расчетов использовалась численная схема типа крест с центральными разностями (см. приложение). Было обнаружено, что в случае волн разной полярности имеет место притяжение, которое обладает различным характером в зависимости от значений угла вращения ср. При (р = 7г/2 уединенные волны (имеющие только одну компоненту щ) с приблизительно равными амплитудами формируют связанное состояние, где волны с разной полярностью взаимодействуют, колеблясь вокруг единого центра. На рис. 3.7 показана эволюция амплитуд обеих уединенных волн во время взаимодействия.
Абсолютные значения амплитуд уединенных волн понижения уровня и возвышения в зависимости от времени за время нескольких периодов взаимодействия. Жирная линия - амплитуда уединенной волны возвышения, тонкая линия - амплитуда волны понижения уровня; ср = , V = 0.875 шения. Из рис. 3.7 видно, что период колебаний остается постоянным и взаимодействие для этого значения (р периодично по времени. После взаимодействия волны обмениваются своими начальными взаимными положениями (половина периода) и затем притяжение возникает уже в противоположном направлении.
Из последних двух рисунков видно, что амплитуда одной из взаимо действующих волн значительно увеличивается во время сильно нелинейной части взаимодействия, когда уединенные волны перекрываются. Это, в свою очередь, приводит к уменьшению скорости волны. При этом скорости волн, изначально достаточно медленных, могут выйти за рамки диапазона устойчивости, в результате чего изначально устойчивые уединенные волны должны будут подвергнуться коллапсу в процессе взаимодействия. Описанное явления наблюдалось в численном эксперименте.
Взаимодействие уединенных волн с (р тг/2 отличается от описанного выше. Компонента и второй уединенной волны теперь отлична от нуля и она оказывает влияние на взаимодействие следующим образом.
Также формируется связанное состояние. Для малой разности 7г/2 — ср, например, происходит излучение из взаимодействующей конфигурации. Излучаемые длинные волны уносят энергию и, как следствие, период колебаний в связанном состоянии уменьшается, достигая предельного значения, когда излучение прекращается.
В предельном случае (р = 0 взаимодействующие уединенные волны представляют собой взаимно ортогональные компоненты щ ж U2- Как следует из (3.13), в этом случае асимптотическая теория предсказывает отсутствие взаимодействия для уединенных волн, расположенных достаточно далеко Тем не менее, когда носители волн значительно перекрываются, они взаимодействуют. На рис. 9 изображено взаимодействие двух волн при ср = 0. Эти две волны равной амплитуды, изначально располагались достаточно близко, взаимодействовали без потери энергии, а затем в соответствии с предсказаниями асимптотической теории, они более не взаимодействовали и расходились. На рис. 3.10 изображены графики зависимости амплитуд взаимодействующих ортогональных уединенных волн от времени.
Численное моделирование образования и распада уединенных волн
С целью исследования устойчивости уединенных волн были проведены расчеты эволюции решений уравнений (4.1) с начальными данными типа уединенной волны вида (4.7), где ао определяется по формуле (4.11) (медленные волны) или (4.20) (быстрые волны). Применялась консервативная центрированная трехслойная схема типа крест, хорошо зарекомендовавшая себя в расчетах такого характера [4], [5], [26], [27]. Распад возмущения с начальными данными типа уединенной волны вида (4.7), где ао определяется по формуле (4.20) для быстрой волны умеренной амплитуды; а) компонента щ, б) компонента водам должна существовать уединенная волна. В расчете со временем действительно образуется такое решение (см. рис. 4.2). В случае быстрых волн, теория предсказывает отсутствие в общем случае уединенной волны. При расчете происходит медленный распад начального горба с возникновением излучаемых волн. (рис. 4.3)
Коротковолновое излучение наиболее заметно на графике щ Волновое число излучаемой периодической волны совпадает со значением в точке пересечения медленной ветви дисперсионной кривой и прямой, соответствующей фазовой скорости уединенной волны ш= Vk. Излучаемая волна находится в резонансе с уединенной волной. Волны слева от уединенной волны связаны с начальным этапом процесса, со временем они перестают излучаться. Наличие коротковолнового излучения наблюдалась ранее и для случая щ\ =0, йог =0, когда точное солитонное решение существует, но неустойчиво [4].
В диссертации получены следующие результаты. Изучены типы неустойчивости классических уединенных волн в модели композита без предварительных деформаций. Показано, что в ряде случаев на нелинейной стадии развития неустойчивости уединенные волны подвержены коллапсу, что соответствует сильной концентрации напряжений в малых объемах композита; в композите без предварительных деформаций установлено существование периодических по времени устойчивых волновых структур -бризеров, которые описывают локализованное распределение деформаций и напряжений; при наличии предварительных деформаций в композите установлено существование двух семейств уединенных волн, ответвляющихся из состояния покоя - медленного и быстрого. Медленное семейство образовано классическими уединенными волнами, а быстрое - обобщенно-уединенными волнами, которые являются продуктом нелинейного резонанса классической уединенной волны и периодической волны; описана эволюция локализованных возмущений для волн быстрого и медленного семейства. Бифуркация резонанса длинной и короткой волн. Эта бифуркация соответствует линейному резонансу длинной волны и волны с конечным волновым числом, т.е. возможности распространения этих волн с одинаковыми фазовыми скоростями. В этом случае центральный спектр оператора Л состоит из двукратного нулевого собственного значения и пары простых сопряженных мнимых собственных значений db g, q 0. Движение собственных значений через ноль происходит аналогичным предыдущему случаю образом, пара мнимых собственных значений всегда остается на мнимой оси. Другая пара приходит с действительной оси и, пройдя через ноль при v = VQ {у — 0), расходится по мнимой оси. Обобщенные уединенные волны, будучи продуктом нелинейного резонанса классической уединенной и периодической волн, могут возникнуть при тех v = VQ + и, при которых на мнимой оси лежит лишь пара собственных значений (рис. б).
Примечание. В приложениях, рассматриваемых в данной работе, амплитуда Со классических и обобщенно-уединенных волн является величиной алгебраического порядка малости по и. Амплитуды же Ci периодической составляющей обобщенно-уединенной волны представляют собой экспоненциально малые величины.
Теоретически, функция h может быть явно определена до произвольного алгебраического порядка по своим аргументам [51]. Однако для нахождения решений приведенного уравнения (П2) более удобным является использование теории нормальных форм для аппроксимации конечномерных динамических систем уравнений [39], [47].
В каноническом базисе в конечномерном пространстве XQ (отождествляемым с Ф71) wo представляется вектором в комплексном пространстве Ф71, где т равно числу мнимых собственных значений Л. В силу свойства обратимости число т всегда четное. Конечномерный оператор Ло в каноническом базисе представляется т х т-матрицей.
Приведенное уравнение, как и любая конечномерная динамическая система со свободными параметрами (или без них), может быть приближена единственным образом "наиболее простой" системой уравнений, при условии, что решения этой системы остаются малыми. Строгий результат формулируется следующим образом.
