Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Построение математической модели движения структурно-неоднородной жидкости с учетом характерного масштаба представительного объема
1.1. Классическая модель движения сплошной среды как предельный случай модели, учитывающей размеры представительных элементов реального материала 22
1.2. Определение кинематических характеристик течения материала с учетом его микроструктуры 24
1.3. Построение замкнутой системы уравнений движения жидкости с учетом микроструктуры 31
1.4. Формулировка граничных условий 34
Основные выводы по первой главе 35
Глава II. Исследование моделей одномерных стационарных течений линейной вязкой несжимаемой жидкости с учетом наполнителя
2.1. Течение между параллельными пластинами 36
2.2. Течение в плоском канале 41
2.3. Течение в цилиндрической трубе 46
2.4. Течения между коаксиальными цилиндрами
2.4.1. Продольное течение между коаксиальными цилиндрами 51
2.4.2. Вращательное течение между коаксиальными цилиндрами 56
Основные выводы по второй главе 61
Глава III. Моделирование нестационарного движения структурно-неоднородной жидкости в упруго-деформируемой трубе
3.1. Математическая модель нестационарного движения вязкой структурно-неоднородной жидкости в упруго-деформируемой трубе 64
3.2. Безразмерный вид уравнений совместного движения жидкости и стенки трубы 67
3.3. Исследование задачи о нестационарном движении структурно- неоднородной вязкой жидкости в упруго-деформируемой трубе методом малого параметра
3.3.1. Нулевое приближение задачи в скоростях для течения жидкости 70
3.3.2. Нулевое приближение задачи в скоростях для течения жидкости с учетом наполнителя 70
3.3.3. Нулевое приближение задачи в перемещениях для движения стенки трубы 72
3.3.4. Первое приближение совместной задачи движения жидкости и стенки трубы 73
Основные выводы по третьей главе 74
Глава IV. Экспериментальные данные о реологии и течении вязких жидкостей с твердыми частицами
4.1. Разработка реологической модели нефтяного геля по имеющимся экспериментальным данным 76
4.2. Основные физические свойства геля, необходимые для учета при движении по трубам 76
4.3. Оценка экспериментальных характеристик, приведенных для описания реальных углеводородных гелей 78
4.4. Обоснование выбора реологической модели углеводородных гелей 84
4.5. Определение реологических постоянных углеводородных гелей с наполнителем по экспериментальным данным 85
4.6. Расчет продольного течения нелинейно-вязкого материала в круглой трубе под действием перепада давления 88
4.7. Разработка методики расчета продольного течения нефтяных гелей и сравнение с экспериментальными данными
4.7.1. Расчет расхода геля в зависимости от градиента давления 93
4.7.2. Оценка области применения теоретической модели к расчету реальных течений гелей в АПС-6 94
4.7.3. Влияние радиуса трубы на расход геля 95
Основные выводы по четвертой главе 97
Основные выводы и результаты диссертации 98
Литература
- Определение кинематических характеристик течения материала с учетом его микроструктуры
- Течения между коаксиальными цилиндрами
- Безразмерный вид уравнений совместного движения жидкости и стенки трубы
- Основные физические свойства геля, необходимые для учета при движении по трубам
Введение к работе
В науке и технике сегодняшних дней широкое применение находят твердые, жидкие и пластические материалы с внутренней микроструктурой. К таким материалам относят как материалы с достаточно мелкой микроструктурой h по сравнению с характерным линейным размером L области изучаемого течения (магнитные жидкости, жидкие кристаллы, кровь и т.д.) так и материалы с малым Л, но конечным отношением (h/L \) характерного размера h микроструктуры к характерному размеру L области течения. Из всех жидких материалов с микроструктурой можно выделить важный класс широко распространенных материалов - "суспензий" - жидкостей с недеформируемым наполнителем, "микроморфных" жидкостей, входящих в обширный класс структурно-неоднородных материалов. В качестве реальных прототипов таких материалов можно привести вязкие жидкости с наполнителем в виде твердых частиц различного характерного размера / «L. В рамках данной диссертации рассматриваются именно такие структурно-неоднородные материалы. Моделирование и исследование течения материалов с микроструктурой в рамках механики сплошных сред имеет давнюю историю. Расчет эффективных физических параметров (коэффициентов вязкости, сжимаемости и др.) жидкостей с наполнителями, суспензий имеет важное значение для расчета параметров течения. Пожалуй, впервые вопрос о теоретической модели и расчете коэффициента // эффективной вязкости жидкости с твердыми наполнителями был поставлен и решен А. Эйнштейном в 1906 г. для случая малой относительной плотности наполнения твердыми сферическими частицами линейно вязкой жидкости [84-85]. Подход использования модельных гидродинамических течений и понятия присоединенных масс для описания поведения двухкомпонентных сред был применен Я. Френкелем при расчете прохождения звуковых волн. С механической точки зрения концентрация частиц в суспензии существенно влияет на поведение отдельных частиц и среды в целом. Так при малых концентрациях твердых частиц их поведение - скорость перемещения и угловая скорость вращения мало отличаются от течения жидкости и совпадают со скоростью жид кости v и ее угловой скоростью вращения 6 =(rotv)/2. При увеличении концентрации частиц следует учитывать отличие скорости перемещения частиц и их угловые скорости вращения от соответствующих параметров течения жидкости.
В монографии [44], посвященной проблемам тепломассопереноса в микроструктурных жидкостях приведен великолепный и полный обзор работ по моделям и задачам сред с микроструктурой, содержащий более трехсот наименований. Основы ориентированного континуума были заложены Коссера и Эриксеном [82,88]. Статистический подход [83,90] позволил построить локальные законы сохранения массы, импульса и момента импульса. Более широкое распространение получил континуальный подход, в соответствии с которым реальная жидкость или материал с микроструктурой моделируется континуумом (сплошной средой), наделенным кинематическими характеристиками - перемещением и вращением (скоростью перемещения и независимой скоростью микровращения) [86]. Общая теория микроморфных жидкостей представляет собой сложную математическую модель и ее использование связано с большими математическими трудностями. Наиболее доступной в плане решения задач прикладного характера является теория микрополярных жидкостей развитая в работах [1,87]. Сходные теории ассиметричной гидромеханики, использующие для описания движения жидкости механику направляющих элементов - "директоров", была предложена в [75]. Впоследствии теория простых деформируемых ориентированных жидкостей была модифицирована для описания реологического поведения суспензий и в [76,91]. В [38] сделано предположение о равенстве нулю работы моментных напряжений на микровращениях, но совершении работы моментными напряжениями на вращении общего поля скоростей отличного от нуля. Различные теории жидких материалов с микроструктурой, построенные независимо друг от друга разными способами имеют общее, а именно: введение, наряду с полем скоростей, нового поля микровращений p (rotv)/2. Отметим, что наибольшие достижения теории микрополярных жидкостей связаны с приложением к течению жидких кристаллов и, в общем, к течению взаимопроникающих электромагнитных структурных континуумов [65-68].
В последние годы теория структурно-неоднородной и в частности микрополярной жидкости находит широкое применение для описания движения крови в сосудах различного сечения [93,97] и движения биологической жидкости (смазки) в суставах человека. Типичные размеры микроканалов имеют порядок 1 мкм или менее с длиной канала порядка 100 мкм. В статье [93] представлен литературный обзор результатов расчетов течений микрополярных газов и жидкостей при структурных течениях в таких каналах, которые получены прямыми методами Монте-Карло и методами молекулярной динамики. Проведено сравнение результатов расчета этими методами и аналитическим решением для течения Пуазейля микрополярной жидкости в капилляре.
Учет микроструктуры жидкостей с недеформируемым наполнителем привел к весьма интересному факту снижения вязкости суспензий и увеличения расхода суспензий через сечение, отмеченному в [104 и 107]. В [107] получено реологическое определяющее соотношение, связывающее тензоры напряжений и градиентов скоростей течения / для разбавленных суспензий жестких осесимметричных удлиненных частиц в жидкости с деформируемой микроструктурой. Предполагалось, что взвешенные частицы имеют нулевую плавучесть и такие размеры, что растворитель взаимодействует с ними как с гидродинамическими телами. Взвешенные частицы достаточно малы по размерам, так что можно пренебречь их вращательными инерциями. Реологическая модель растворителя не отличалась от модели биполярной жидкости Блейштейна-Грина, а взвешенные частицы - трехосные гантели. Исследовалось влияние деформируемости дисперсионной среды на реологические свойства суспензий при простом сдвиговом течении. Установлено, что рост у приводил к снижению вязкости суспензий и повышению модулей, связанных с первыми и вторыми разностями нормальных напряжений.
В последние десятилетия вопрос осреднения параметров многокомпонентных материалов: грунтов, горных пород и т.д. с учетом собственного вра щения частиц и наличия моментных напряжений глубоко исследован в работах Шемякина Е.И. [72,73], Николаевского В.Н. [50], Ревуженко В.Ф. [55], Вервейко Н.Д. [13,14]. Отметим, что в монографии [55] приведено более 300 ссылок на публикации. Широкое применение теория структурно-неоднородных и микрополярных сред находит в механике горных пород, зернистых и сыпучих материалов. Академик Е.И. Шемякин установил общую иерархию структурирования материи в окружающем мире [72]. Поэтому на определенном уровне математического моделирования в механике возникает необходимость учета не только поля перемещений, но и поля микровращений [55]. В работах [47,80,92,99,108] используются методы конечных элементов (МКЭ) для исследования течения и деформирования сред с учетом их микроструктуры и различного рода микроконтактных взаимодействий частиц. Для учета приобретенной анизотропии таких материалов конструируются модели из микроплоскостных элементов [100]. В [78,81,89] решаются задачи с учетом различного рода упаковок из частиц разного диаметра, при этом различаются связи между напряжениями и деформациями в случаях растяжения или сжатия. Особого внимания заслуживают исследования [79,106] в которых в микрополярной теории Коссера разделяются уровни взаимодействия в гранулированной среде на макроуровень и микроуровень с учетом на микроуровне градиентов тензоров напряжений и деформаций макроуровня. Авторы [79] развивают этот подход для описания поведения гранулированных материалов, рассматривая их как совокупность сферических частиц разных размеров. Локальный масштаб относится к среднему диаметру частиц, макромашстаб - к размеру статистически представительного объема, в котором рассматриваются обычные переменные, характерные для сплошной среды. Устанавливаются соотношения между локальными и обычными глобальными переменными, в частности - тензорами напряжений и деформаций. Приводятся примеры численного моделирования двухосных испытаний методом дискретных элементов.
Наряду с исследованием материалов с микроструктурой, имеющей характерный размер А 0,1-1лш и выше, в последнее время возрос интерес к не однородным материалам, у которых величина параметра И на порядки меньше. В [11] указано, что усовершенствование структуры материалов на различных масштабных уровнях, которые осуществляются с помощью микро- и на-нотехнологии, предоставляет широкие возможности для повышения показателей физико-механических и прочностных характеристик материалов и параметров конструкций. Поэтому актуальна задача о построении моделей и соотношений механики сред с учетом иерархии их структуры для исследования взаимодействия между разномасштабными составляющими компонентами материалов. Попытки расширить область приложений теории упругости и учесть влияние неоднородного строения тел на их состояние в рамках классических концепций механики сплошных сред привели к созданию моментных, несимметричных, микрополярных и других теорий. Работа [11] посвящена созданию теории неоднородных сред с учетом нецентрального взаимодействия и созданию на ее основе уточненных методов исследования напряженного состояния элементов конструкций с учетом тонкой структуры материалов, а также решению задач о теоретическом синтезе, прогнозировании физико-механических характеристик и оптимизации строения и состава материалов, о распространении в них коротких волн, о построении теории разрушения тел с учетом их неоднородного строения, включая микротрещины, а также обобщению ее на родственные задачи.
К классическим работам по теории нелокальных сред следует отнести работы И.А. Кунина, собранные в монографии [36]. В его книге систематически излагается теория упругих сред с микроструктурой, учитывающая внутренние степени свободы, эффекты нелокальности, дискретности, пространственной и временной дисперсии. Исследуются существенные отличия нелокальной теории упругости от классической и связь между ними. Большое внимание уделено колебаниям и распространению волн в линейных и нелинейных диспергирующих средах. Рассматриваются локальные дефекты и дислокации в средах с микроструктурой. В монографии приведены ссылки на более чем 170 публикаций.
В целом ряде работ [94,101,102,109,110] последнего времени исследуются вопросы пространственной периодичности микроструктуры, что имеет непосредственное отношение к армированным материалам.
Влияние микроструктуры на распространение волн как гармонических, так и сильного и слабого разрывов обсуждается в [3-7] где авторы использовали микрополярные модели механики сплошных сред с учетом моментных напряжений и собственного вращения микрочастиц. В работе [3] рассматриваются некоторые свойства упругих монохроматических волн, распространяющихся в неограниченной среде Коссера в произвольном направлении. Полученная связанная система линейных однородных уравнений для векторов смещений и поворота приводит к характеристическому уравнению относительно фазовых скоростей возможных упругих волн. Анализ условий существования показал, что возможны три группы волн: а) чисто продольные волны; б) дисперсионные волны кручения; в) две различные поперечные волны, которые в отличие от классического упругого случая имеют также дисперсионный характер. Установлено, что для каждой группы волн существуют критические частоты, на которых наблюдаются изменения характера упругой волны. Так, на частоте, полностью определяемой упругими параметрами несимметричной части, «продольная» волна может носить смешанный характер, когда оказываются отличными от нуля одновременно компоненты вектора смещений и микровращения. Особые критические частоты наблюдаются для волн кручения и «поперечных» волн.
В [53] в рамках нелокальной механики исследованы переходные процессы при динамическом нагружении. Показано, что в среде постоянной плотности ее напряженное состояние характеризуется касательным напряжением сдвига, первой и второй разностями нормальных напряжений и их переходом к равновесным значениям в результате колебательного процесса с затухающей амплитудой. При этом термодинамические переменные состояния (тензор давления, внутренняя энергия) зависят от скорости сдвига и времени. Установлено, что для микроструктурных сред приближения локально-равновесной тер модинамики возможны в том случае, если их времена релаксации на порядок меньше характерного времени задачи.
В [54] проведен учет микроповоротов и связанных с этим моментных взаимодействий частиц, что приводит к появлению в такой среде волны микровращений, дисперсия которой аналогична дисперсии спиновой волны в маг-нитоупругой среде. В низкочастотном приближении волна микровращений исчезает, а в уравнении для поперечной волны появляется слагаемое с квадратичной нелинейностью. Эта нелинейность связана с блочной структурой среды и возникает из-за нарушения симметрии моментных взаимодействий блоков при поперечных смещениях и поворотах. Последнее позволяет объяснить наблюдающийся в реальных твердых телах эффект генерации второй сдвиговой гармоники, тогда как классическая нелинейная теория упругости запрещает существование подобных явлений.
В [96,77] дается новый метод континуализации, в котором жесткость высокого порядка сопровождается соответствующей инерцией. Результирующие модели считают динамически согласующимися. Введен новый параметр, учитывающий нелокальное взаимодействие между переменными дискретной модели и континуальной. Когда этот параметр принимает определенное значение, то в статике и динамике происходят физически реальные процессы. На основе принципа Гамильтона подчеркиваются аномалии динамического поведения и краевых условий. Рассмотрены модели второго и четвертого порядков. В [41] приводится расчет перехода энергии с макроуровня на микроуровень и обратно в условиях длинно-коротковолнового резонанса в гранулированных материалах.
В монографии [29] дается систематическое изложение современной теории распространения и взаимодействия упругих волн в твердых телах с микроструктурой. Выводятся математические модели твердых тел, учитывающие микроструктуру, геометрическую и физическую нелинейности, поврежден-ность, взаимодействие деформационных и магнитных полей. Изучаются различные волновые эффекты, характерные для тел с микроструктурой.
Работа [105] посвящена сравнению двухмерных упругих дискретных решеток с изотропной моделью континуума, предложенной Коссера. Это сделано с помощью анализа характеристик распространяющихся двухмерных плоских гармонических волн. Исследовались также дисперсионные соотношения, следующие из моделей решетки и континуума, для того, чтобы определить, какой длине волны поле деформаций в модели континуума соответствует дискретной микроструктуре. Показано, что длинноволновое приближение решеточной модели, когда длина волны в 6 раз превышает расстояние между микроячейками, приводит к точным соотношениям между макроскопическими параметрами континуума и микроскопическими параметрами решетки. Для более коротких волн наблюдалось значительное отклонение в параметрах моделей, связанное с возрастанием негомогенности и анизотропных эффектов, вызванных дискретной природой микроструктур.
В ряде работ последнего времени поднят вопрос о характере масштабного эффекта в средах с периодической и почти периодической микроструктурой [101]. Предлагается учитывать масштабный эффект, отражающий влияние соотношения между величиной рассматриваемого объема материала и размером единичной ячейки, в отличие от традиционных методов усреднения и гомогенизации, разработанных для прогнозирования макроскопических характеристик неоднородной среды, обычно игнорирующих связь между микроструктурой и размерами образцов. Рассмотрено поведение нелинейно упругой плоской решетчатой модели при любых макроскопических деформациях. Проанализированы масштабные эффекты, возникающие благодаря неоднордностям в поле макроскопических деформаций на всем протяжении образца или при наличии микроструктурных несовершенств, которые могут быть геометрическими или физическими по своей природе. Для всех рассмотренных случаев предложены различные аналитические аппроксимации с целью прогнозирования влияния масштабного фактора на макроскопические характеристики сред с почти периодической микроструктурой.
В [79] описывается многомасштабный подход, применяемый для описания напряженно-деформированного состояния гранулированных материалов рассматриваемых как совокупность сфер разного диаметра. Важным классическим методом моделирования суспензий вязкой жидкости является прием предположения нелинейности вязкой жидкости, так называемая "степенная модель" нелинейно вязкой жидкости T=jiyn, где п может отличаться от 1 (дилатантные жидкости (и 1) и псевдопластики (и і)) [104].
В идейном плане настоящая работа обращается к представлению о первичности математического представления экспериментальных зависимостей в конечно-разностной форме и переходе от сеточных функций, привязанных к центрам масс представительных, конечных элементов - к функциям непрерывного аргумента с учетом малых микроструктурных характерных размеров h порядка выше первого.
В [98] приводятся подходы механики континуума, основанные на концепции представительного объемного элемента, который достаточно определен только в двух ситуациях: один кристалл в периодической микроструктуре и статистически представительный объем, имеющий очень большой (математически бесконечный) набор микроструктурных элементов (зерен). Современные материалы часто требуют исследования объемов, свойства же конечных объемов материала имеют статистический разброс, а величина, характеризующая свойства, зависит от размера и граничных условий, так что необходима гомогенизации свойств материала. Заслуживающий внимания факт, состоящий в корреляции микроструктурных моделей и моделей второго порядка, отмечен в [95]. В этой работе рассматривается предложенная Жерменом модель материала с микроструктурой, в которой наряду с общепринятыми мерами напряженного и деформированного состояния содержатся напряжения (тензоры второго и третьего рангов) и мера деформации (тензор второго ранга), отвечающие за изменения микроструктуры. В случае, когда в качестве меры микродеформаций используется второй градиент места, приходим к модели для материалов второго порядка.
Известно, что при оценке погрешности решения какой-либо модельной задачи по отношению к измеряемым, наблюдаемым явлениям всю погрешность г можно представить в виде суммы погрешности самой модели гм, погрешности метода решения математической задачи г и его численной реализации гч, г=гя+гнр+гч. Как правило, при исследовании модельных задач забывают о погрешности самой модели, а увеличение точности математического решения не увеличивает точности самого модельного представления. Поэтому важным остается момент идентификации математической модели с реальным объектом или явлением, а также вопрос измерения кинематических и силовых параметров явления особенно в случае исследования двухкомпонентных, двухфазных материалов, т.е. суспензий или микроморфных жидкостей. Так само понятие "скорости" течения суспензии, и ее измерение требуют разработки методов локального ее измерения или осреднения с целью использования методов механики сплошных сред. Очевидно, что в одной точке геометрического эйлерового пространства могут находиться разные частицы двухком-понентной среды и встает вопрос либо о равенстве скоростей разных фракций, либо об их отличии. Особенно противоречивым остается вопрос об определении кинематических характеристик течения - деформации и скорости деформации для суспензий. С точки зрения механики сплошных сред вопрос решен давно - это малые деформации и скорости деформации сколь угодно малого материального элемента дг, вычисляемые по формулам Коши: ди. диЛ —- + — [dUj ди,) , а для случая больших деформаций они представимы в форме Альманси и др. При исследовании суспензий формальное применение механики сплошных сред сразу дает погрешность математической модели в виде величины 1-го или более высокого порядка по й, т.к. в уравнениях движения и в соотношениях Коши величины такого порядка малости отброшены, а использование мер конечных деформаций не устраняет противоречия двухкомпо-нентный материал - "сплошная среда". Поэтому представляет интерес учета в кинематике и уравнениях движения характерных размеров микроструктуры до более высоких порядков, чем Л1.
Определение кинематических характеристик течения материала с учетом его микроструктуры
В механике сплошных сред построены основные уравнения, описывающие движение сплошной среды. Рассмотрим эти базовые уравнения для модели линейной вязкой (вязкопластической), в общем случае, сжимаемой жидкости [62].
1) Реологические уравнения, определяющие связь между компонентами тен зора напряжений и компонентами тензора скоростей деформаций: ру=-Р8и+Л8»ек18«+2мял8меи, /,7 = 1,2,3, (1.1) где pv,gv - контравариантные компоненты тензора напряжений и фундаментального метрического тензора; еи - ковариантные компоненты тензора скоростей деформаций; р - давление; л,ц - постоянные коэффициенты вязкости жидкости.
2) Соотношения Коши, выражающие компоненты тензора скоростей дефор маций через ковариантные производные от компонент вектора скорости: и=(1/2)( +У,у;), ,/ = 1,2,3, (1.2) где v,vk =dvk/dx -уаГу ; Г - символы Кристоффеля.
3) Уравнения движения в напряжениях: v, +/ (/ - -v vyl-o, / = 1Лз, (1.3) \ at ) где Vjp» =dp J/dxJ +рТ +р,аГ , Vkv =dv /dxk +vT ak; р - плотность; / компоненты вектора плотности массовых сил; t - время.
4) Уравнение неразрывности: +v i-+/,vy=o. (1.4) dt дхк и к v 5) Уравнение состояния, определяющее давление в виде некоторой функции плотности: Р=/(РУ (1.5)
В уравнениях (1.1)-(1.5) неизвестными являются - pv,ey,v ,vt,p,p.C учетом соотношений vk =gkav между ковариантными и контравариантными компонентами вектора скорости система уравнений (1.1)-(1.5) становится замкнутой. Решение данной молельной дифференциальной задачи в соответствии с поставленными начальными и граничными условиями позволяет определить основные характеристики исследуемого течения.
В каждой точке области движения уравнения (1.1)-(1.5) выражают законы, сформулированные с учетом элементов длины, площади и объема, характерный линейный размер которых полагается бесконечно малым. Введение таких бесконечно малых отрезков, площадей и объемов делается возможным за счет модели сплошной среды, заменяющей реальное структурное строение жидкости. Будем считать, что наличие микроструктуры предполагает существование некоторого конечного характерного линейного размера 2Л, при котором указанные элементы наиболее полно отражают поведение жидкости, т.е. являются ее представительными элементами. Положим h постоянной для данной жидкости величиной, малой по сравнению с характерным размером L области течения h«L. В предельном случае при стремлении h к нулю, приходим к классическому представлению движения сплошной среды.
Построим математическую модель движения жидкости, аналогичную модели (1.1)-(1.5), но учитывающую микроструктурный параметр h. Для этого, вводя в данной точке кинематические характеристики жидкости, будем рассматривать состояние ее конечных представительных элементов в этой точке, имеющих линейный размер 2 Л.
Выберем в качестве системы отсчета наблюдателя декартову прямоугольную систему координат х1гх2,х3 и рассмотрим в точке м(х15х2,х3) области течения в некоторый момент времени / линейный представительный элемент АВ жидкости (рис. 1).
В Рис. 1. Перемещение материального отрезка АВ за время At Длину и направление элемента АВ определим следующим образом: 7в = Д = 2А, (1.6) AB = 2hn, (1.7) где И - параметр микроструктуры (см. п. 1.1); п - единичный вектор, задающий направление элемента АВ. Вводя направляющие косинусы п{,п2,п3 вектора п, найдем координаты точек А{а1,аг,аі) и s(6,,62,fe3): a, =xt -hnn bt =xt +hnt, / = 1,2,3. (1-8)
Введем в точке м в момент t меру скорости деформации представительного элемента, имеющего длину 2 Л и направление п. Оценим скорость X относительного изменения длины элемента АВ:
Течения между коаксиальными цилиндрами
Рассмотрим модельное движение жидкости в трубе с круглым поперечным сечением радиуса R=const. Для описания данного движения с учетом микроструктуры ЖИДКОСТИ Введем ЦИЛИНДрИЧеСКуЮ СИСТему КООрДИНаТ Or pz, и воспользуемся соответствующими уравнениями (1.55)-(1.59). г = const
Течение в цилиндрической трубе
По аналогии с течением в плоском канале зададим в направлении оси Oz трубы градиент давления: (2.58) др Ар dz L - const О , Полагая, что движение жидкости в этом случае представляет собой продольный сдвиг цилиндрических слоев г = const (рис. 8), будем иметь: vr-v,-o, v.«v,(r). (2.59)
Для однородной несжимаемой жидкости вместо уравнения (1.59) запишем условие р=р0 =const. С учетом (2.59) уравнение неразрывности (1.58) выполняется автоматически, а выражения для скоростей деформаций (1.56) имеют вид: 1 dvz h1 d3vs ґп m є =е =е =е =е =0, є = - + f-. (2.60) " а гр т " 2 dr 12 dr3
Подставляя скорости деформаций (2.60) в реологические соотношения (1.55), найдем: (dv h1 d3v,\ /л/січ
В уравнениях импульсов (1.57) пренебрежем слагаемыми, отвечающими за действие внешних массовых сил (fr =/,,=/=0), а также используем условие стационарности движения (dvr/dt = dvg,/dt = dvJdt = o) и условие (2.59), получим: дРгг , 1 дРг р дРп Ргг-Р = 0, dr г dq dz дРгу 1 1 dPw , а Л ,2 =о dr г д(р dz г др« , 1 5Л , 5/ „ , = 0. (2.62) 5r г д$р dz Подстановка в (2.62) напряжений (2.61) дает следующие уравнения движения в скоростях: =0, =о, =-+І=-Д. (2.63) dr dtp dr г L Первые два равенства (2.63) показывают, что давление р меняется только по координате z, т.е. вдоль трубы. Интегрируя третье из уравнений (2.63), найдем: ff"f. (2.64) где с=о в силу ограниченности касательного напряжения рп на оси трубы (г = о). Заменяя левую часть (2.64) выражением (2.61), получим дифференциальное уравнение для скорости: v;+( 76k=- , (2.65) где v\=dvzjdr. Общее решение однородного уравнения: ,.+&/( ) . .=о, (2.66) аналогично решению (2.39) для случая плоского канала, и имеет вид: vo о. (r) = cl+c2 cos(V6 r/h) + с3 sin (л/б r/h), (2.67) где с,,с2,с3 - постоянные интегрирования. Частное решение неоднородного уравнения (2.65) возьмем в виде: v„„(r)=-- r2. (2.68) ч.н. Складывая выражения (2.67) и (2.68), найдем общее решение для скорости: v2(r) = —г2 +с} +с2 cos(V6г/h)+c3sin\ /6r/h). (2.69)
Определим постоянные интегрирования с,,с2 и с3 из граничных условий: v.L=o, (2.70) v;U-( /3)v,t=,=o, (2.71) v:L=o, (2.72) где (2.70),(2.71) - условия прилипания и качения на стенке трубы соответственно, а равенство (2.72) имеет место в предположении осесимметричности движения. Из (2.72) найдем, что с3 =о. Из (2.70),(2.71) найдем: Ар R + с, = ЛцЬ [\ + U2/3 d/h) g(j6R/h)]y Aph2 с, =- 12 fiL [cos(V6 R/h)+\j2/3d/h)sin(yf6R/hl Таким образом, выражение для скорости течения в цилиндрической трубе с учетом микроструктуры жидкости имеет вид: v» cos(j6R/h)-cos(j6r/h) (2.74)
Сравнивая (2.74) с соответствующим выражением для скорости течения в плоском канале (2.46) отметим, что в случае цилиндрической трубы микроструктура аналогичным образом влияет на скорость жидкости, а в безразмерном виде профили скоростей v,(y) и v;(r) совпадают: ».W=i а»( /бД,)-пи(УбгД) (2.75) где r=r/R, Fe[o,.i]; v!=vJ pR ! jA ii); k,=h/R, k2 =djl h. Следовательно, выводы, сделанные в конце п. 2.2 относительно влияния микроструктуры на скорость жидкости в плоском канале справедливы и для течения в цилиндрической трубе.
Влияние микроструктуры на скорость жидкости в цилиндрической трубе
На рис. 9 показан профиль скорости vz(r) с выделенными в сечении трубы кольцевыми зонами увеличения и уменьшения скорости за счет микроструктуры жидкости. На практике данному результату можно сопоставить, например, подобную картину течения крови в капилляре, что обусловлено наличием эритроцитов и других микрочастиц в плазме. Интегрируя выражение для скорости (2.74) по сечению трубы, вычислим секундный расход жидкости Q с учетом влияния микроструктуры, будем иметь: к? (2.76) 1 + 1 + 2 к {4б/кА 50 Q = 2x]rv,(r)dr = Q0 о где Q0=xApR4/S/iL - секундный расход жидкости в сечении трубы без учета микроструктуры. Если кг - о, то формальное относительное увеличение расхода жидкости за счет микроструктуры составляет гкЦъ: Q = Q0[l + 2k?/3]. (2.77)
Исследуем, наконец, позволяет ли построенная с учетом микроструктуры модель движения жидкости получить аналитическое решение в задачах о продольном и вращательном течении в кольцевом зазоре между коаксиальными цилиндрами.
Безразмерный вид уравнений совместного движения жидкости и стенки трубы
Приведем уравнения (3.1)-(3.6) вместе с граничными условиями (3.7)-(3.10) к безразмерному виду. В качестве характерных длин выберем радиус трубы R0 и длину распространения переднего фронта L. Обозначим через v; величину начального продольного возмущения скорости жидкости, а через v r -характерную скорость поперечного движения. При этом будем полагать, что характерная поперечная скорость v"r определяется как v;=(fl0/i)2v;, что соответствует условию, согласно которому характерное время поперечного и продольного возмущений связаны между собой соотношением: Tr =(L/R0)T;, т.е. время распространения поперечных возмущений в L/Ra раз больше времени распространения продольных возмущений. За характерное время гг продольное возмущение, изменяя скорость жидкости со временем, пробежит расстояние по z от нуля до L. За характерное время т »т поперечное возмущение многократно пробежит расстояние от одной стенки до другой и, тем самым, поперечное движение установится. Таким образом, выбор характерных размерных величин соответствует выделению, в основном, продольного нестационарного движения из двумерного нестационарного. Представим выражения для безразмерных величин: r=r/R0, z = z/L, f = (cjL)t, vz=vjvl, vr=(l//?0)2vr/v;, p = (RllLnv )Pi p = (Ry0/LMv;)p, (3.11) где c0 - скорость звука в жидкости. В соответствии с выбранными характерными параметрами приведем уравнения движения жидкости и уравнение неразрывности к безразмерному виду: , (3.12) J dv, p\a dt + Sa2v. dr ,- dv .-7 "\ + a v dz 1Z+I dz 3ft+4 U+ + + i + dr dz7 drdz r dz r dr d4v (3.13) (3.14) +1 f d v. дҐ + 4S дґ + 3S5 4- + 35 -2S3 drdz3 dr3dz r dz3 r dr3 L + Sa- — (prvr)+a — (pvz) = 0, dt r dr dz + S3 6 dv. r2 drdz r3 dz ГДЄ a = v z/c0, P = {h[Rj, S = R,/L. (3.15) (3.16)
Приведем также к безразмерному виду уравнения нестационарного движения стенки трубы, выбрав в качестве характерных величин следующие: Л0 -характерный радиус; L - характерная длина; и г - характерное радиальное смещение; (H/R0)U - характерное продольное смещение; Ца - характерное время, где a = (4+2//,)//?, . Уравнения в перемещениях для стенки трубы примут вид: dt2 d2u. + b2} d2U, d2U. 1 дй. й. „, Ь2 d2u. „, d2u. = S 5у JL-ZS. + S2 + а1 ) dr dz dr2 r dr г2 a2 dz 2 Я =2 1 du, d% } . „, d2u, . b2 (1 du. d2u. r+T rzl+ r-zzt+yr dr dr2 dt2 1 г a dz2 \ a J r dz drdz TJXQY = HlRu,b = JPl . Ha внутренней поверхности стенки трубы при г = l + eur(i,zj) имеют ме сто кинематические условия совпадения скоростей: (3.17) - _ dur _ du, Sav=e—=-, av=oye—і dt dt а также условия, состоящие в равенстве нормальных и касательных напряжений, выраженные через перемещения со стороны стенки трубы и через скорости со стороны жидкости: где в =U /R0 , B=/UV Z/(U,M /?0). Граничные условия на свободной поверхности стенки трубы при г = 1 + у + є Я г (1 + Y, z, t) имеют следующий безразмерный вид: Л (бїк+3г +ЕЛ + 2 =о, (3.20) м дг dz г + =о. (3.21) dz or
Решение совместной системы уравнений движения жидкости и стенки трубы в общем случае затруднительно, поскольку они связаны в систему граничными условиями. Поставим целью исследовать возможные волновые решения данной системы в частных производных методом малого параметра, полагая а,б,є,/з - малыми величинами и представляя решение в виде ряда по многим малым параметрам с учетом главного члена /0 и величин первого порядка в разложении в ряд
Основные физические свойства геля, необходимые для учета при движении по трубам
Гель, предназначенный для гидроразрыва нефтяных пластов, представляет собой композит из ряда жидких и твердых, инертных или химически реагирующих компонентов. После их перемешивания при температуре 38С, образуется студнеобразная масса, плотность которой на 15-20 % меньше плотности воды.
Тот факт, что гель сохраняет определенную форму, позволяет сделать вывод о некоторой прочности материала, что предполагает наличие в его реологической модели небольшого предела прочности (предела пластичности). Следующими важными физическими характеристиками геля являются: текучесть; малая сжимаемость; сопротивление движению, порождаемое его внутренним трением (вязкостью).
Свойство вязкости присуще практически всем реальным жидкостям при их формоизменении и для простейшего случая сдвигового течения введено Ньютоном. Количественно коэффициент вязкости определяется как коэффициент пропорциональности силы сопротивления движению величине скорости деформации сдвига: т=мг, (4.1) где г - касательное напряжение ([т]=н/м2); у - скорость деформации сдвига (Щ=\1сек)\ fi - динамический коэффициент ВЯЗКОСТИ ([//]=н -сек/мг =\0Ъпуаз). Для простейших жидкостей, таких как вода, глицерин и др. вязкость, порождающая сопротивление скорости сдвига, объясняется перескоком молекул из одного состояния в другое поперек слоя течения. Так что коэффициент вязкости есть статистическая характеристика за время большее, чем характерное время установления равновесного состояния. В [10] приведены теоретические оценки коэффициента вязкости, который пропорционален величине in (/)// для простых однофазных жидкостей.
Для многокомпонентных жидкостей с добавками высокополимерных компонентов или твердых частиц природа вязкого трения гораздо сложнее. Так в случае высокополимерных растворов вязкость объясняют наличием длинных одномерных запзгганных или скрученных цепочек, которые за счет внешней по отношению к ним среды создают сопротивление их разрыву, распутыванию, расцеплению с аналогичными цепочками. В случае многофазных жидкостей с твердыми частицами сопротивление скорости сдвига объясняется течением жидкости в областях сложной формы между частицами [10,84,85], где скорость деформации отличается от средней по объему скорости деформа ции. Следует учитывать также факт перемещения твердых частиц из областей с одним полем скоростей в соседние области, что создает перенос количества движения.
Из приведенных соображений и фактов следует иная причина вязкого сопротивления в сложных материалах, чем в однофазных жидкостях. В этой связи для описания свойства внутреннего трения в многокомпонентной среде вводится понятие структурной вязкости как сопротивление скорости сдвига при нарушении структуры материала. При рассмотрении гидродинамических свойств таких сложных композиционных материалов следует обратить внимание на факт конечности характерного представительного элемента. Это внесет вклад в определение скорости деформации и, в последующем, в поле скоростей течения и в расход материала в круглой трубе. В качестве основных физических параметров геля, необходимых при расчете его течения в трубопроводе примем: р - плотность геля; к0 - предел прочности геля; ц - коэффициент структурной вязкости, 2 и - характерный размер представительного элемента "гель с наполнителем".
В таблице 1 приведены реологические параметры шести образцов углеводородных гелей, измеренные при температуре 38С и 95С. Все эти образцы обладают одинаковой плотностью р=Ъ2Ъкг1мг, т. е. Они легче воды и их плотность приближается к плотности нефти. Измеренный в ротационном вискозиметре коэффициент вязкости известен для трех случаев скорости деформирования ; =40,170,511 (сек 1) и является эффективной структурной вязкостью, определяемой в соответствии с линейным законом Ньютона для каждого отдельного эксперимента.
