Содержание к диссертации
Введение
1 Сингулярные задачи дифференциальных и интегральных уравнений и методы их решений 11
1.1 Регулярные задачи и основные методы их решения 11
1.2 Жесткие задачи дифференциальных уравнений 22
1.3 Сингулярные задачи на [0, со) 25
1.4 Дифференциально-алгебраические системы уравнений . 26
1.4.1 Линейные задачи 26
1.4.2 Нелинейные задачи 29
1.5 Численное обращение преобразования Лапласа 34
2 Метод нормальных сплайнов. Теоретические аспекты 37
2.1 Пространства Соболева И^2]П[а, Ь] 39
2.2 Общая схема метода 50
2.2.1 Задача о нормальном сплайне. Теоремы сходимости . 50
2.2.2 Структура нормального сплайна 54
2.3 Каноническое представление линейных непрерывных функционалов в Н1[а,Ь) 57
2.3.1 Воспроизводящее ядро оператора канонического преобразования 57
2.3.2 Воспроизводящие ядра пространств Я'[0,1] 62
2.3.3 Воспроизводящие ядра пространств Н1 [0, оо) 63
2.3.4 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка на полубесконечном промежутке 67
2.3.5 Интегральные функционалы преобразования Лапласа 69
3 Метод нормальных сплайнов. Алгоритмические аспекты 72
3.1 Компактная схема канонического преобразования интегральных функционалов 72
3.2 Построение неравномерных адаптивных сеток 76
3.3 Последовательный сплайн в задачах Коши 86
3.4 Нелинейные вырожденные дифференциальные уравнения . 88
4 Интегральные уравнения первого рода с погрепіностью в правой части 90
4.1 Схема метода для регуляризирующей задачи 91
4.2 Аппроксимация производных таблично заданной функции . 93
4.3 Обращение преобразования Лапласа 95
5 Вычислительный эксперимент 98
5.1 Жесткие линейные задачи 99
5.2 Линейные уравнения второго порядка 106
5.3 Тестовая задача HIRES 110
5.4 Нелинейные ДАС 114
5.5 Обращение преобразования Лапласа некоторых тестовых функций 119
5.6 Аппроксимация производных некоторых физических характеристик 120
Литература 137
- Жесткие задачи дифференциальных уравнений
- Задача о нормальном сплайне. Теоремы сходимости
- Построение неравномерных адаптивных сеток
- Аппроксимация производных таблично заданной функции
Введение к работе
Дифференциальные и интегральные уравнения являются основой математического моделирования процессов в различных областях техники и естествознания. К настоящему времени существует глубокая качественная теория таких уравнений [41, 55] и богатый арсенал численных методов приближенного решения начальных и краевых задач для регулярных уравнений [6, 60, 69]. К таковым относятся дифференциальные уравнения в нормальной форме Коши, интегральные и интегро-дифференциальные уравнения второго рода.
Усложнение проблем, охватываемых математическим моделированием в последние десятилетия, привело к усложнению используемого математического аппарата. В различных областях появились модели процессов, представляемых различными классами нерегулярных уравнений, для которых существующие методы решения оказались неэффективными или неприменимыми. Это механические системы с голономными связями, электрические цепи и др. [70, 73].
В данной работе в основном рассматриваются системы линейных интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ) вида
г
A{i)x'(t) + B{t)x{t) + J K(t, s)x(s)ds = f(t), (1)
где x,f,g Є Rn, A(t), B{t\ K(t,s) - квадратные n x n матрицы, верхний предел может быть бесконечным (Т = оо), а также квазилинейные
дифференциальные уравнения
A(t)x'(t) = f(Xlt). (2)
Отметим, что уравнение (1) включает в себя при A(t) = B(t) = 0 интегральные уравнения первого рода.
Известно, что сложность дифференциальных и интегральных уравнений определяется свойствами их "главных частей". В общем случае это матрица A(t), и если в (1) A(i) отсутствует (A(t) = 0), то главной частью является матрица B(t). Случай невырожденной (в алгебраическом смысле) главной части является регулярным. Здесь существует обратная матрица Л_1(і) (или В-1^)) и соответствующее дифференциальное или интегро-диффереЕщиалыюе уравнение сводится к нормальной форме Ко-ши (разрешенной относительно производных %'(t)), и если A(t) = 0, то (1) является интегральным уравнением второго рода.
Уравнения (1) и (2) с вырожденной главной частью или уравнения с Т = со называются сингулярными. Под вырожденными задачами понимаются системы с произвольным вырождением матрицы A(t) на всем промежутке интегрирования. В случае, когда матрица A(t) имеет нулевые строки, система (2) представляется в виде подсистемы дифференциальных уравнений и подсистемы конечных связей, называемых обычно алгебраическими уравнениями. Такие системы называют дифференциально-алгебраическими (ДАС).
Вырожденность в прикладных задачах может возникать при описании какого-то сложного явления. При использовании множества данных одни условия могут оказаться следствиями других. Однако, в сложных моделях иногда не удается выявить эти следствия, что ведет к вырождению задачи. Иногда при решении задач вырожденность вводят сознательно. Описывая параметры какой-либо системы, исследователи пользуются, как правило, экспериментальными данными. Избыточность этих данных используется для устранения погрешностей измерений, а наличие избыточности приво-
дит к функциональной зависимости и вырождению.
Отдельный класс задач составляют жесткие системы уравнений [57, 70]. Характерным для всех жестких систем является поведение, при котором часть компонент изменяется медленно, а другая часть претерпевает либо быстрые начальные изменения, либо значительные изменения на некотором участке наблюдения (пограничном слое).
Другой достаточно сложной задачей является задача решения интегрального уравнения первого рода
[ K{t,s)x{s)ds = f{t)
в условиях приближенно заданной правой части /. Данная задача является некорректно поставленной [67] и классические методы для ее решения, как правило, неприменимы. В этом случае задача требует регуляризации. К этому классу относится, в частности, задача обращения преобразования Лапласа
F(p)= Ie-ptx{t)dt
о в условиях приближенного задания изображения F(p).
Существует множество методов численного решения линейных интегральных и дифференциальных уравнений. Однако, большинство методов предназначены для решения регулярных (корректно поставленных задач) [6, 19, 60, 69].
Современное состояние проблемы численного решения сингулярных дифференциальных и интегральных уравнений достаточно полно отражено в монографии Э.Хайрера и Г.Ваннера [70], в докторских диссертациях М.В.Булатова [16], Г.Ю.Куликова [50], В.Ф.Чистякова[72], защищенных в 2002 году, а также в работах [12, 13, 15, 34, 36, 57, 73, 70, 76]. Увеличившиеся в последнее время количество работ [5, 14, 15, 49, 58], посвященных данной проблеме, говорит об ее актуальности.
Сложность решения сингулярных дифференциальных уравнений определяется принципиальной возможностью их сведения к нормальной форме Коши путем дифференцирования и конечных преобразований. Наименьшее число таких дифференцирований называется "индексом дифференцирования" (differentiation index) системы. В наиболее сложных случаях система может не иметь конечного индекса, т.е. не сводиться к нормальной форме. Простейший пример - уравнение tx'(t)-{-x(t) — f(i) на промежутке, содержащем t — 0. Действительно, при любом количестве к дифференцирований этого уравнения будет оставаться терм tx^(t).
В зарубежной и отечественной литературе представлены в основном адаптированные классические разностные и эквивалентные им коллокаци-онные методы решения ДАС невысоких индексов (до 3-х) [70]. Большинство подходов к структурированным задачам высоких индексов основано на понижении индекса системы путем её дифференцирования и конечных преобразований. При этом в литературе общие методы определения и понижения индекса известны лишь для линейных ДАС (Ю.Е. Бояринцев и его школа: В. Чистяков, М. Булатов и др.). Они основаны на сложной алгебраической технике и ранговых критериях, которые трудно проверять в условиях приближенных данных. Также отметим метод продолжения решения по параметру (В. Шалашилин, Е. Кузнецов и др.) [73], который в сложных случаях также ограничен трудно проверяемыми алгебраическими условиями.
Для неструктурированных нелинейных систем высоких индексов в зарубежной литературе (S.Campbell) [74] предлагается переходить к продолженным системам и применять к ним метод наименьших квадратов для разрешения относительно производных искомых функций. Применение этого метода в сложных случаях затруднительно из-за отсутствия универсальных способов определения индекса и численной неустойчивости операции дифференцирования.
Для сингулярных задач с переменным вырождением главной части, несводимых к нормальной форме, упомянутые численные методы, как правило, не применимы. Соответствующие задачи являются существенно некорректными и требуют неклассической (тихоновской) регуляризации, т.е. переформулировки исходной задачи на основе дополнительной информации о решении и, возможно, о погрешности исходных данных.
В работах Горбунова В.К. [24, 25, 26] в середине 80-х годов был построен
вариационный метод нормальной сплайн-коллокации (нормальных сплай-
Vі нов, далее НС) для линейных интегральных уравнений первого рода, а
также для начальных и краевых задач линейных обыкновенных интегро-
дифференциальных уравнений.
Новизна этого вариационного метода в том, что он направлен на подав
ление невязки решаемой системы и, в отличие от традициошшх разност
ных и проекционных методов, он применим в универсальной схеме к систе
мам ОДУ и ИДУ с произвольным вырождением главной части. Также он не
накладывает специальных условий на выбор коллокациоиных узлов, кроме
' их сгущения. Другим преимуществом метода НС является то, что он легко
адаптируется для решения регуляризующих задач в случае некорректности исходной задачи (неединственности и/или неустойчивости решения). В этом случае задача должна быть регуляризована, т.е. доопределена до корректной аппроксимирующей задачи на основе дополнительной информации об искомом решении.
Метод НС относится к численным методам проекционного класса. Он за-
ff ключается в выборе подходящего гильбертово-соболевского пространства
И^]П[а, Ь], переходе от функциональных уравнений к конечной коллокаци-ошюй системе и минимизации нормы на множестве решений конечной системы. Элемент минимальной нормы называется нормальным сплайном. В отличие от традиционных проекционных методов, в частности, известного метода сплайн-коллокации [35], в методе НС координатная система не
,г
вводится априорно, а строится автоматически. Она определяется нормой выбранного пространства, а также коэффициентами уравнения.
Выбор подходящего пространства означает, что значения координатных
компонент решения в точках коллокационной сетки можно считать в дан
ном пространстве линейными непрерывными функционалами. Эти функ
ционалы в соответствии с теоремой Ф. Рисса [68] могут быть приведены к
каноническому виду. Такое преобразование выполняется с помощью вос
производящего ядра интегрального преобразования функций в соответ-
ф ствующем функциональном пространстве [4]. Таким образом, ключевой
проблемой метода является, построение универсального для выбранного пространства воспроизводящего ядра.
В работах [24, 25, 26, 27] были рассмотрены задачи ИУ и ИДУ в пространствах W^a^h) и W%{a,b), в частности, на неограниченных промежутках [0, со) и (—со, со). Далее метод НС развивался под руководством В.К. Горбунова В.В. Петрищевым. Им был получен общий вид воспроизводящего ядра пространств функций на конечном промежутке W^jo, 6],
позволяющий решать задачи в пространствах с произвольным показателем дифференцирования I [31], а также ряд алгоритмов, ускоряющих процесс решения методом НС для некоторых классов задач, в частности, им была предложена компактная схема численной реализации канонического преобразования интегрального функционала в пространстве IV^ifa, b] для интегральных уравнений [56].
Диссертация посвящена дальнейшему развитию метода НС. В первой
(г главе изложено современное состояние относительно численных методов
решения рассматриваемых классов задач.
Вторая, третья, четвертая и пятая главы посвящены изложению метода НС и содержат, наряду с полученными ранее В.К. Горбуновым и В.В. Петрищевым, следующие новые результаты.
Получено воспроизводящее ядро для пространства И^О, со), что по-
зволяет решать краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка па полубесконечном интервале методом НС без редукции промежутка интегрирования.
Получены канонические образы интегральных функционалов, позволяющие применять метод НС для решения задачи обращения преобразования Лапласа, в том числе в случае приближенно заданного изображения.
Для линейных интегро-дифференциальных уравнений предлагается развитие компактной схемы численной реализации канонического преобразования интегральных функционалов для пространства W^ifa, Ь].
Получены формулы дифференцирования квадратичной нормы невязки по узлам сетки и достаточные условия их применимости.
Кроме того, предложена схема последовательного построения сплайна на малых промежутках с малым числом узлов и схема метода НС для нелинейных задач на основе линеаризации Ныотона-Канторовича,
Все полученные теоретические и алгоритмические результаты реализованы в разработанном комплексе программ для решения:
линейных интегро-дифференциальных уравнений (NSLinearlDE);
нелинейных дифференциальных уравнений (NSNonLinearDE);
дифференциальных уравнений второго порядка, в том числе на полубесконечном промежутке (NSLinearDE2);
задачи численного обращения преобразования Лапласа с приближенно
заданным образом (NSInvLapIace);
задач восстановления 1-й и 2-й производных приближенно заданной
функции (NSDerivatives).
*
Выносимые на защиту результаты опубликованы в работах [32, 62, 63, 78, 81].
*
%
*
*
Жесткие задачи дифференциальных уравнений
Развитие вычислительной техники дало возможногїстроить модели сложных процессов, учитывающих большое количество параметров и различных данных. Учет большого числа параметров при построении динамических моделей часто приводит к необходимости использования для полного описания процессов функций двух видов: убывающих быстро и медленно. Большую часть времени протекания процесса доступны для наблюдения только функции второго типа, которые убывают медленно. Однако в любой момент наблюдения сохраняется возможность возникновения быстрозату-хающего процесса, описываемого функциями первого типа. Такое явление называется жесткостью, а системы, моделирующие процессы такого типа, называются жесткими.
Несмотря на большое количество публикаций по данной проблеме [6, 60, 57, 73, 70], до сих пор пет общепринятого определения жесткости. Так, в [60] используют следующее определение. Задача (1-1) называется жесткой на некотором интервале I С [iot l, если Для Є действительные части всех собственных значений матрицы Якоби J df/dx, в которую подставлено решение х = %(t), отрицательны и отношение максимальной по модулю действительной части к минимальной значительно больше единицы.
В [57] придерживаются следующего определения. Система (1.1) называется жесткой на отрезке [о, ], принадлежащем интервалу существования се решения} вели при любом начальном приближении (to,Xo) и на любом отрезке [io to + Т] С [а, 6] найдутся такие числа г, L, ЛГ, удовлетворяющие неравенствам где р I — I - максимальный модуль собственных чисел матрицы Якоби, - принятая норма матрицы, что справедливы неравенства
Здесь важным моментом является тот факт, что, если систему рассматривать на промежутке, включающем только пограничный слой, то на этом промежутке ее нельзя считать жесткой, так как никакого различия в характере поведения решения не наблюдается.
При решении жестких задач классические численные методы, как правило, неприменимы. Это связано с тем, что малый шаг интегрирования в пограничном слое не может быть увеличен вне его, хотя производные становятся существенно меньше. В самом деле, как показано в [57, 60, 73], для того, чтобы обеспечить абсолютную устойчивость численного решения задачи Коши для (1.1) необходимо использовать такой шаг интегрирования h, при котором каждое из комплексных значений НІ = /гЛ , (г = 1,.. .,п), где Aj - собственное значение матрицы Якоби df/dx, лежало бы внутри области абсолютной устойчивости. Таким образом, для методов с ограниченной областью устойчивости длина шага ограничивается порядком величины наименьшей временной постоянной системы. Так как интервал ин тегрирования может во много раз ее превосходить, то необходимое число шагов интегрирования может оказаться чрезвычайно большим.
К жестким задачам также относятся задачи с малым параметром при старшей производной, называемые сингулярно возмущенными задачами. Как правило, классические методы непригодны для решения большинства таких задач. Например, рассмотрим задачу
В этом случае наиболее очевидной классической разностной схемой для численного решения этой задачи является схема Эйлера
Однако, решая ее явно, получаем х\ = 1 — р, где р — h/є, в качестве приближения для x(h) = ехр(—р). Но, полагая, например, р = 1,получаем, что нет сходимости, равномерной по є.
В [34] предлагается решать задачи вида (1.20) путем ввода в аппроксимирующую разностную схему подгоночных коэффициентов, которые обеспечивают равномерную точность аппроксимации на равномерной сетке. Например, для решения задачи (1.20) предлагается использовать следующую разностную схему ехр(-ра(іі))]_1. Параметр щ{р) называется параметром подгонки. Этот параметр может зависеть от номера точки сетки, но при некоторых условиях возможен и постоянный параметр подгонки.
Основываясь на этом методе, строились линейные одношаговые методы, которые обладают преимуществом равномерной сходимости по є. Данный метод может быть обобщен для некоторых нелинейных задач и для систем уравнений первого порядка. Однако методы, предложенные для систем, реализовать довольно трудно. В [57, 70] приводится обзор других методов решения жестких систем.
Задача о нормальном сплайне. Теоремы сходимости
В работах [24, 25, 26, 27] был разработан вариационный метод нормальных сплайнов для начальных и краевых задач линейных обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений общего класса, в частности, с произвольно вырожденной главной частью и на бесконечных промежутках. При этом решение считается элементом гильбертово-соболевского пространства Win, гДе п " размерность системы уравнений и I - индекс производной в норме.
Метод НС относится к классу методов коллокации, но в отличие от традиционных схем, когда решение представляется в виде линейной комбинации некоторой априорно заданной системы координатных функций [40] или сплайна [35], здесь ставится задача минимизации нормы пространства Wj п на множестве решений коллокациошюй системы (с краевыми условиями). Решение такой задачи названо нормальным сплайном (НС),
Введение термина НС имеет следующее объяснение. Сплайны как кусочно-заданные многочлены были введены в 1946 г. И. Шёнбергом. В 1957 г. Дж. Холидеем было открыто их "внутренне свойство", согласно которому интеграл второй производной такого сплайна имеет в классе всех дважды непрерывно дифференцируемых интерполянт наименьшее значение [2]. Позже это свойство было положено в основу построения теории "обобщенных сплайновмв работах М.Аттьи и др. [18, 51, 54]. Эта теория ориентирована на решение конечных систем линейных функциональных уравнений в гильбертовых пространствах. Обобщенным сплайном называется функция, минимизирующая па афинном многообразии решений системы некоторый квадратичный функционал. В известных реализациях и теоретических исследованиях по классическим и обобщенным сплайнам минимизируемый функционал является полунормой с нетривиальным нуль-пространством .
Метод НС может считаться частным случаем метода обобщенных сплайнов с выбором нормы в качестве функционала, минимизируемого на решениях коллокационной системы. При этом существенно упростилась теория соответствующей вариационной задачи и ее алгоритмизация. Метод НС оказался применимым к уравнениям с произвольным вырождением главной части, а также к интегральным уравнениям первого рода.
Теоретической основой метода НС являются элементы функционального анализа: понятие о соболевских пространствах [64], их свойства и теорема Ф.Рисса о каноническом представлении (в виде скалярного произведения) линейных непрерывных функционалов в гильбертовых пространствах [68]. Они позволили раскрыть метод НС как проекционный метод нового типа, где координатная система функций порождается самим уравнением и топологией пространства решений в результате конструктивного решения проблемы канонического представления точечных и интегральных функционалов.
В [25, 26, 27] приведены результаты реализации метода НС в пространствах Wln с показателем дифференцирования / = 1 и 2 для интегральных уравнений первого рода (задачи численного дифференцирования) и для жестких систем второго порядка. Первые результаты, демонстрирующие эффективность метода НС в вырожденных задачах, были представлены в [30]. В [31] метод реализован для систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка, неразрешенных относительно производных, в пространствах с произвольным показателем дифференцирования и приведены примеры решения задач с вырожденными матрицами при производных. В [44] метод НС распространен на двумерные задачи вычислительной томографии и в [79] - на задачи интерполяции функций многих переменных.
Данная глава посвящена изложению теории и вычислительной схемы метода НС, а также новых результатов, повышающих его эффективность и область применимости. 2.1.1 В 30-е—50-е годы XX века С.Л. Соболевым и другими математиками была разработана теория пространств скалярных функций многих переменных, дифференцируемых в обобщенном смысле [64]. В настоящее время эта теория вместе с теорией обобщенных функций [21] является основным аппаратом теории дифференциальных уравнений в частных производных и математической физики. Этот аппарат вошел в вычислительную математику для получения теоретических результатов о свойствах методов аппроксимации функций и приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений, в особенности методов сплайнов [2, 18, 20, 51, 54, 65, 68].
Метод НС [24, 25, 26], излагаемый и развиваемый в данной главе, требует использования основных фактов теории Соболевских пространств уже на этапе построения алгоритма решения соответствующей вычислительной задачи. Мы рассматриваем задачи для систем обыкновенных дифференциальных и/или интегральных уравнений, соответственно, будем использовать пространство векторных вещественных функций одной независимой переменной.
Пространства Соболева относятся к классу банаховых пространств, т.е. нормированных и полных. Для метода НС достаточно ограничиться частным гильбертовым случаем, когда норма пространства согласована с некоторым скалярным произведением. Изложим основные понятия и факты соответственно редуцированной теории гильбертово-соболевских пространств функций (скалярных и векторных) одной переменной, следуя книгам [53, 68].
Построение неравномерных адаптивных сеток
Мы получили рекуррентные соотношения (3.1) для вычисления r (si+i); (3.2),(3.5) - для rl(si+l); (3.3),(3.6) - для rj(si+i); (3.4),(3.7) - для r4k{si+1).
Таким образом, по этим формулам мы можем вычислить hk(si) для каждого к и для всех і за два прохода: при прямом проходе высчитываются г\ и г\, при обратном г и г[ При вычислении элементов матрицы Грама следует при прямом проходе алгоритма сохранять значения функции ядра в массиве, чтобы не высчитывать их при обратном проходе. Таким образом, количество вычислений функции ядра при вычислениях (2.51) по такому алгоритму равно (Т+ 1).
Эту схему легко применить для случая п 1, рассчитывая покомпонентно все повторные интегралы вида (2.51) по указанной выше схеме.
Алгоритм метода НС определяет семейство линейных непрерывных операторов Nm в W{n[Qt1] : X J fflJ Оператор Nm можно считать псевдообратным для системы (2.29).
Как уже отмечалось, последовательность нормальных сплайнов хт сходится к точному решению х в норме (2.21) при любом / W\" . Из сходимости метода НС следует, что последовательность операторов Nm точечно сходится в W\ „[0,1]. В силу принципа равномерной ограниченности (теорема Банаха-Штейнгауза [68]) при этом нормы iVm ограничены в совокупности и точечный предел TVo операторов Nm также ограничен. Этот предел суть обратный оператор (в случае неединственности - псевдообратный) задачи (2.22), (2.23). Обозначим константу С, ограничивающую нормы Nm и ЛЬ.
Введем невязку уравнения (2.22) на функции хт: Оценка (3.9) открывает путь для построения оптимальных неравномерных сеток, что, очень важно при решении жестких систем. Сходимость в норме влечет равномерную сходимость, следовательно, в процессе реализации метода для повышения точности следует переходить к новым сеткам, минимизируя величину MU-l),n
В узлах коллокации выполняются равенства cp(tk) = 0. В силу этого минимизации нормы невязки можно добиваться простым и достаточно надежным эвристическим способом, добавляя узлы в области наибольших промежуточных (между узлами) значений p(t). Подробный алгоритм пошагового сгущения сеток представлен в [27]. Сетку полученную по этому алгоритму будем называть сгущающейся с двумя параметрами: начальное количество узлов и количество узлов добавляемых на каждом шаге.
Другая стратегия оптимизации сеток с фиксированным числом узлов основана на минимизации величины MI(z-i)« рассматриваемой как функция узлов при ограничениях (2.24). Обозначим
Индекс нормы 1 — 1 здесь означает, что нормальный сплайн хт Є Wj„[0,1]. Введем следующее
В случае, когда система (2.22),(2.23) регулярна, гладкость функции фі-\ определяется индексом производной 1 в норме и свойствами воспроизводящего ядра G(s,t) [4], [31]. Последнее имеет непрерывные производные порядка до 21 — 2. Это обеспечивает дифференцируемость функции фі-і по tk при I 3. Покажем это, вычислив соответствующие производные. Рассмотрим случай / = 3 и формально продифференцируем функцию
Аппроксимация производных таблично заданной функции
Пусть в узлах некоторого разбиения отрезка (4.5) заданы приближенно значения fi достаточно гладкой функции /(), с известной оценкой погрешности Требуется восстановить функцию f(t) и ее производные f (t) и f"{t).
Традиционный путь решения такой задачи - сглаживание таблицы /І классическими полиномиальными сплайнами и дифференцирование результата [20, 65]. Другой подход основан на рассмотрении прямой постановки задач дифференцирования относительно х = / и х = /" [27, 67], основанные на тождествах
При этом задача аппроксимации первой и второй производной ставится в виде соответствующего интегрального уравнения на сетке {ij} ti Таким образом, для применения метода НС при решении поставленных задач достаточно найти канонические образы интегральных функционалов в (4.11), (4.12). Такие образы найдены в [27] при / = 1 и I = 2. В случае 1 = 1 они имеют вид для (4.11) и для (4.12)
Рассмотрим метод НС для решения задачи численного обращения преобразования Лапласа (1.28) скалярной функции x(t), записанной в виде (1.34),(1.35), при точно заданном изображении и в условиях приближенно заданного изображения F{p) FR(a,to) -f гР[(сг,ы) с поточечной оценкой погрешности где 5R(CT,U;) 5I((T,!JU) - известные функции.
Будем считать задачу обращения (1.28) с точно заданным изображением F(p) разрешимой в гильбертово-соболевском пространстве Н1[0, со) с нормой (2.57), т.е. x(t) Hl[0, со). Если x(t) Є С [0, со), то, как уже говорилось в пункте 2.3.5, возьмем а а и рассмотрим задачу обращения (1.28) преобразования Лапласа функции y(t) = e atx{t) (y{t) Є # [0, со)), для которой изображением является функция F(p + а).
Пусть и о"1 0 и —со ш со. Напомним, что в этом случае система интегральных уравнений (1.34),(1.35) имеет аналитическое решение (1.31). Как было показано выше, устойчивая аппроксимация решения системы
В этом случае построение нормального сплайна хт сводится к решению системы линейных уравнений относительно множителей Лаграижа, определяющих представление этого сплайна по системе базисных функций
Отметим, что метод НС позволяет задавать коллокационные узлы и на нескольких прямых, соответствующих различным {сгі,..., сгп}. В этом случае коллокационная система будет состоять из п подсистем вида (4.19).
В этой главе приводятся результаты численного решения тестовых и прикладных задач методом нормальных сплайнов. В частности, решены задачи с переменным вырождением коэффициента при старшей производной, задачи не имеющие конечного индекса дифференцирования, к которым неприменимы другие известные численные методы, кроме метода параметризации [23, 52, 80], а также задачи аппроксимации производных и обращения преобразования Лапласа при приближенно заданной правой части. Для задач с неединственным решением приведены аппроксимации различных решений.
Результаты решения жестких и дифференциально-алгебраических систем уравнений показывают применимость метода НС в универсальной форме к различным классам сингулярных задач.
При приведении результатов решения задач в таблицах будут использоваться следующие обозначения: РавпС - нормальный сплайн на равномерной сетке, СгущС(т, N) - нормальный сплайн на сгущающейся сетке при параметрах: начальных узлов т, добавляемых узлов N, КвазС - нормальный сплайн на квазиоптималыюй сетке, ОптС - нормальный сплайн на оптимальной сетке, ilocjiC(N) - последовательно построенный сплайн при N узлах на каждом подынтервале.
Точное решение этой задачи xG(t) — g(t) + 10е Лі. Это решение является жестким при больших к. В [34] приведены результаты решения специализированным методом экспоненциальной подгонки для к — 200, и в [73] задача решалась методом продолжения решения по параметру для к = 1000. При этом решение строилось с точностью Ю-5 на отрезке t Є [0,1]. Здесь мы решим эту задачу в обоих случаях, а также в еще более жестком при к = 10000. Но сначала решим эту задачу при А: = 10 с построением неравномерных адаптивных сеток.
В таблице 5.1 приведены различные сетки при построении сплайна в пространстве W[0,1] и числе узлов m = 17. Погрешность вычислялась как максимальное отклонение полученного решения от точного на сетке с шагом 0.001.
В таблице 5.2 приведены значения модуля невязки в средних узлах Si = (ti + tj)/2 на полученных сетках. Точности, аналогичной точности полученной на оптимальной сетке, на равномерной сетке удалось достичь при т—100 (Погрешность 3.1бб79е-04). Однако в задачах большой размерности и при достаточно большом количестве узлов, а также при наличии интегрального члена, вычисление производных квадрата нормы невязки и построение оптимальных сеток (квазиоптимальной и оптимальной) становится значительно более трудоемким. Поэтому более эффективным для задач Коши является метод последовательного построения сплайна.
