Содержание к диссертации
Введение
I. Методы получения эффективных характеристик композитов 13
1.1. Методы экспериментального определения модулей 15
1.2. Уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами. Понятие об эффективных характеристиках 18
1.2.1. Моделирование напряженно-деформированного состояния 21
1.2.2. Моделирование стационарного теплового поля и фильтрации жидкости 26
1.3. Теоретические оценки 29
1.4. Численные методы определения оценок 32
Многомасштабный анализ на основе вейвлет-преобразования Хаара и метода конечных элементов 41
2.1. Вейвлеты и их свойства 42
2.2. Многомасштабная декомпозиция функций 43
2.3. Численное вейвлет-осреднение 51
2.3.1. Вейвлет-осреднение на основе метода конечных разностей 53
2.3.2. Вейвлет-осреднение на основе метода конечных элементов 55
2.4. Двумерное вейвлет-преобразование 57
2.5. Получение осредненных характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования 61
III. Вейвлет-осреднение в некоторых задачах теории упруго сти, теплопроводности и фильтрации 67
3.1. Дифференциальная и конечно-элементная постановка . 67
3.2. Одномерное вейвлет-осреднение 69
3.3. Двумерное вейвлет-осреднение 77
3.3.1. Осреднение в задачах фильтрации 77
3.3.2. Осреднение в стационарной задаче теплопроводности 81
3.3.3. Осреднение в задачах теории упругости 85
IV. Вычислительные особенности и программная реализация в многомасштабном анализе 93
4.1. Структура матриц 93
4.2. Способы повышения вычислительной эффективности схемы вейвлет-преобразования 97
4.3. Объектно-ориентированная модель вейвлет-преобразования 105
Заключение 112
Список литературы
- Уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами. Понятие об эффективных характеристиках
- Моделирование стационарного теплового поля и фильтрации жидкости
- Вейвлет-осреднение на основе метода конечных разностей
- Осреднение в стационарной задаче теплопроводности
Введение к работе
Актуальность проблемы. Промышленные композитные материалы состоят из большого числа микроструктурных компонент с разными характеристиками, сочетание которых определяет свойства материала в целом. Процессы, происходящие в композиционных материалах, описываются дифференциальными уравнениями с быстро осциллирующими коэффициентами. Численное решение этих задач требует значительных вычислительных затрат, поскольку предполагает использование расчетной сетки очень малого шага. Это привело к появлению новой области математических исследований, целью которой является построение таких методов осреднения дифференциальных операторов с частными производными, что решения получаемых уравнений с осредненными коэффициентами близки к решениям исходных уравнений и адекватно описывают поведение композита. Осредненные (эффективные) характеристики композиционных материалов определяются экспериментально или численно, а также существует ряд аналитических оценок.
При испытании опытных образцов возникает ряд трудностей, связанных с выбором размеров и форм образцов, исключением влияния краевых зон закрепления образца и внутренних дефектов, созданием необходимого для расчетов напряженного состояния или тепловых полей. Кроме того, методы испытаний и обработки результатов различны для разных типов композиционных материалов — единый подход здесь едва ли возможен. Отмеченные недостатки затрудняют получение характеристик композита на основе эксперимента, а приведенные в литературе результаты экспериментов в ряде случаев существенно различаются.
Существующие аналитические оценки характеристик композитов (например, оценки Хашина-Штрикмана [1,2] и оценки Фойгта-Рейсса [3] для упругих констант, тепловых и фильтрационных свойств), как правило, дают достаточно широкий диапазон возможных значений свойств материала и используются только для грубой оценки.
В настоящее время разработаны методы получения эффективных характеристик материалов с периодической структурой в задачах линейной упругости, теплопроводности, диффузии и др. — это методика асимптотического осреднения, описанная в работах Н.С. Бахвалова, Г.П. Пана-сенко [4], Б.Е. Победри [5], Э. Санчес-Паленсии [6] и А. Бенсусана [7]. Однако, в данном случае необходимо решение задач в классе функций периодических на ячейке, что осложняет реализацию данного метода. Лишь в случае определенной симметрии исследуемого образца периодические граничные условия можно заменить непериодическими краевыми условиями.
Недостаточность классических методов осреднения побуждает развивать новые математические подходы. Основу одного из подходов составило использование вейвлетов — класса базисных функций, которые применяются в цифровой обработки сигналов, при сжатии информации, распознавании образов и др.
Одно из главных преимуществ вейвлет-преобразования заключается в возможности получать представление величин на интересующем уровне масштаба. С помощью вейвлет-преобразования можно получить осредненное представление функции (грубый масштаб - «низкое разрешение») и выделить ее локальные свойства (мелкий масштаб - «высокое разрешение»). Данное свойство преобразования позволяет ввести многомасштабный анализ исследуемой функции или анализ с переменным разрешением. Свойства вейвлетов позволяют предположить, что вейвлет-преобразование будет полезным и при осреднении решений уравнений в частных производных.
Цель работы. Разработка метода осреднения эллиптических дифференциальных уравнений на основе вейвлет-преобразования и метода конечных элементов для прогнозирования эффективных свойств и анализа осредненных решений уравнений для композитов с известной структурой и свойствами составляющих компонент.
Методы исследований. Используется математический аппарат статической теории упругости, стационарной теории теплопроводности и теории фильтрации, теория дискретного вейвлет-преобразования, теория метода конечных элементов, методы линейной алгебры, феноменологические модели механики композитов.
Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность полученных в работе результатов и выводов подтверждается сравнением с известными данными экспериментальных и теоретических исследований других авторов, тестированием численных алгоритмов и программного комплекса на решениях модельных задач.
Научная новизна. 1. Разработана методика численного осреднения линейных эллиптических краевых задач второго порядка с быстро осциллирующими коэффициентами для вычисления эффективных характеристик с помощью одномерного и двумерного вейвлет-преобразования Хаара и метода конечных элементов в областях периодической и непериодической структуры;
2. Предложены способы повышения эффективности вейвлет-преобразования за счет усечения матриц с выбором порогового значения и программной реализации вейвлет-осреднения с использованием сжатого формата хранения матриц без нулевых элементов;
3. Численным моделированием получены осредненные значения модуля Юнга, коэффициента Пуассона, коэффициентов теплопроводности и проницаемости в одномерном и двумерном случаях для композитов со случайной структурой, материалов с включениями разной формы (квадратные, круглые и ромбические включения), разной объемной долей (объемная доля включений составляла от 7% до 50%), различного взаимного расположения включений (симметричное и несимметричное), когда свойства составляющих компонент композита различаются на порядки.
Теоретическая и практическая ценность. Разработанная методи ка вейвлет-осреднения и вычисления осредненных характеристик может быть использована для оценки эффективных характеристик существующих композитных материалов, а также для прогнозирования упругих, тепловых и фильтрационных свойств при создании новых материалов. Получаемые осредненные решения дифференциальных уравнений могут использоваться в качестве приближений к точному решению, когда необходимо знать глобальное поведение решений (например, такое приближение на грубых сетках используется в многосеточных методах решения дифференциальных уравнений и при построении предобусловливателей для решения систем алгебраических уравнений).
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы обсуждались на следующих научных конференциях: Всероссийской молодежной школе-конференции «Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач», 27 июня - 1 июля 2003, Казань; Конференции молодых ученых ФТИ УрО РАН «КоМУ-2004», 8-Ю декабря 2004, Ижевск; VI International Congress on Math. Modeling, 20-26 сентября 2004, Нижний Новгород; Международной конференции по избранным вопросам современной математики, 4-8 апреля 2005, Калининград; 14 Зимней школы по механике сплошных сред, 28 февраля - 3 марта 2005, Пермь; 14-й Всероссийской школы-конференции молодых ученых, 4 октября - 7 октября 2005, Пермь; III научно-практической конференции «Проблемы механики и материаловедения», 14-15 июня 2006, Ижевск; Научной конференции «Теория управления и математическое моделирование», 3-8 июля 2006, Ижевск; Всероссийской молодежной школе-конференции «Численные методы решения задач математической физики», 26 июня - 1 июля 2006, Казань; IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, 22-28 августа 2006, Нижний Новгород; 15 Зимней школе по механике сплошных сред, 26 февраля - 3 марта 2007, Пермь.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 печатных работ. Из них в рецензируемых журналах 4 работы, в журналах, рекомендованных ВАК, 1 работа.
Благодарности. Диссертационная работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №№07-01-96069, 06-07-89015, 02-07-90265) и УрО РАН.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, 15 параграфов (нумерация параграфов по главам), заключения, списка литературы и содержит 56 рисунков, 13 таблиц. Объем работы 124 страницы. Библиографический список включает 91 наименование.
Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы, приведены основные положения, выносимые на защиту, изложено краткое содержание работы по главам.
Первая глава содержит обзор основных методов получения эффективных характеристик композитов. Выделено три группы методов. Описываются известные верхние и нижние аналитические оценки для упругих и тепловых эффективных модулей. Это оценки Фойгта-Рейсса, получаемые на основе закона сохранения энергии, и более точные оценки Хашина-Штрикмана. Рассмотрены преимущества и недостатки экспериментального определения модулей. Проведен анализ численных методов получения оценок, среди которых наиболее проработанным является асимптотический метод осреднения, предложенный Н.С. Бахваловым, Г.П. Панасенко [4] и Б.Е. Победрей [5]. Рассмотрены методы давлений и ренормализации получения осредненных фильтрационных свойств, а также многосеточный метод осреднения дифференциальных уравнений. Описаны уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами, сформулированы постановки задач статической теории упругости, стационарной теории теплопроводности и фильтрации, а также введено понятие эффективных оценок.
Вторая глава посвящена многомасштабному анализу на основе вейв-лет-преобразования Хаара и метода конечных элементов. Вводится понятие масштабирующих функций фп,к(%) и вейвлетов фп {х), описаны их свойства. Рассматривается процедура одномерного и двумерного вейвлет-преобразований, понятие многомасштабного анализа и численное вейвлет-осреднение систем, получаемых в методе конечных элементов. Предлагается методика по определению эффективных характеристик с помощью вейвлет-преобразования. В качестве вейвлет-базиса выбирается базис Хаара, поскольку он обладает свойствами ортогональности и симметрии.
В третьей главе показаны результаты расчетов по предложенному методу вейвлет-осреднения для некоторых задач теории упругости, теплопроводности и фильтрации. Рассмотрены случаи одномерного и двумерного вейвлет-осреднения решений дифференциальных уравнений, а также получения эффективных модулей упругости и теплопроводности. Проведено сравнение полученных оценок с другими методами осреднения и аналитическими оценками.
В четвертой главе описаны вычислительные особенности, присущие вейвлет-преобразованию. Описаны структуры и портреты матриц, участвующих в процедуре численного осреднения, предложены способы для более эффективной работы с ними, указаны особенности программной реализации.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами. Понятие об эффективных характеристиках
Если рассматривать материалы в некотором малом масштабе, то можно считать что они неоднородны. В масштабах атомов и молекул большинство материалов обладают большой степенью разупорядоченности и изменчивости. Поэтому для преодоления трудностей описания материала вводится гипотеза континуума [2], которая предполагает статистическое осреднение. Состояние и структура материала идеализируются таким образом, что свойства среды считаются одинаковыми во всех ее точках. Неоднородность свойств проявляется в двух видах: непрерывное изме-\ нение свойств от точки к точки или скачкообразное изменение свойств при прохождении через поверхности раздела. В данной работе описаны примеры осреднения для обоих видов неоднородности. По этому признаку композиционные материалы классифицируются на несколько типов
К первому типу относятся материалы с кристаллической зернистой структурой. Каждое зерно анизотропно и различные зерна имеют различную ориентацию своих плоскостей или осей симметрии. Это единственный однофазный тип композита. Следующий тип среды сочетает в себе две или несколько фаз, каждая из которых непрерывна и отсутствует точное геометрическое описание поверхностей раздела (одна фаза непрерывно проникает в другую). Описание такой среды возможно с использованием статистических критериев. Оставшиеся типы сред являются вариантами одного общего случая, когда среда образована непрерывной фазой, называемой матрицей, с включениями сферической, цилиндрической или пластинчатой формы.
В случае когда в гетерогенной среде различные фазы остаются отчетливо выраженными считаем, что эти фазы однородны и изотропны. Предполагается также, что существует масштаб длины, в пределах которого свойства можно осреднить некоторым осмысленным образом. Для этого необходимо знать характерный размер неоднородности. Например, в волокнистой системе — это значение расстояния между волокнами. Масштаб длины осреднения должен быть значительно больше характерного размера неоднородности, но должен быть мал по сравнению с характерным размером тела.
При расчетах пользуются гипотезами двух типов — гипотезой об эквивалентной или статистической гомогенности, когда материал можно считать однородным для некоторого масштаба длины осреднения. В противоположность предположению об эквивалентной гомогенности можно проводить для каждой фазы расчеты, удовлетворяющие условиям непрерывности векторов напряжений и перемещений при расчетах нагружения (температур и теплового потока при расчетах теплообменных процессов).
Поведение композиционного материала обычно описывается дифференциальными уравнениями в частных производных с быстро осциллирующими коэффициентами. В настоящей работе используется эллипти ческое дифференциальное уравнения вида - (Аг](х)- ) /{х), x=(xhx2,xz)eDcR\ (1.2) где Aij{x) = Aji{x) (1.3) и коэффициенты уравнения являются кусочно-постоянными функциями Aij{x) A v\ хєП \ А(т\ х Є ІЇт\ где &v — область включений, 0, —область матрицы, и = (141,142,143) — вектор неизвестных. Также предполагается, что существуют константы с о, о.\ 0 такие, что почти для всех х Є D ao\i\j Aij(x)X{Xj aiXiXj, где ЛІ Є R". На границах сред Г& выполнены условия сопряжения ди N г 9z/ = 0. Здесь символ [и]гк означает разность между предельными значениями и{х) на Г/t при подходе с различных сторон от Г в точке х, = з
В частном случае таким уравнением описываются напряженно-деформированное состояние упругой среды и стационарное поле температур [17], а также такие уравнения используются при описании процессов в механике дисперсных материалов, фильтрации, при моделировании потоков в резервуарах, изготовленных из неоднородных материалов. Так как коэффициенты уравнения быстро осциллируют, то чтобы учесть микроструктуру композита при численном решении (методом конечных разностей или методом конечных элементов) приходится вводить расчетную сетку очень малого шага. Чтобы избежать этого стараются получить уравнения, коэффициенты которых не являются быстро осциллирующими, а их решения близки к решениям исходных уравнений (при соответствующих граничных условиях). Эти новые уравнения будут называться осредненными уравнениями, а их коэффициенты — эффективными коэффициентами композитного материала [4,5].
Моделирование стационарного теплового поля и фильтрации жидкости
В отличии от упругих свойств, для задания тепловых и фильтрационных свойств изотропного материала достаточно одной константы — ко эффициента теплопроводности и коэффициента проницаемости, соответственно. Процессы теплопроводности и фильтрации, описанные в данной работе, задаются одним и тем же уравнением. Будем считать, что коэффициенты теплопроводности (соответственно проницаемости) материала и включений постоянны и равны соответственно К и К .
Задача теплопроводности. Краевая стационарная задача теплопроводности также записывается с помощью уравнения (1.2) [23], где в роли коэффициентов Aij и неизвестных и(х) выступают соответственно тен и температура: зор теплопроводности К / Кхх О О N О KWI О УУ ZZ V о о к. / -VT{K{x)Vu) + Q = О, (1.7) где Q — заданная плотность тепловых источников. Граничные условия задачи имеют вид и(х) = Т0, хе Ги, K(x)- + h(u-e) = 0, где q — заданная плотность теплового потока, Вт/м2; п — вектор внешней нормали; h — коэффициенты теплоотдачи, Вт/(м2оС); 0 — температура внешней среды, С.
Задача фильтрации. Рассмотрим задачу фильтрации жидкости в насыщенной пористой среде [24-26]. В случае упругодеформируемого пласта и слабосжимаемой однородной жидкости связь между вектором скорости фильтрации v в данной точке пористой среды и давлением р, которое вызывает фильтрационное движение, описывается уравнением, являющимся следствием закона Дарси v — —Kgradp и уравнения неразрывности Vv = 0: -V(tf(s)Vp) = 0, хє[0,1]п, (1.8) где К{х) Є Ш.пхп — тензор проницаемости, зависящий от геометрических свойств пористой среды и вязкости жидкости (далее для простоты предполагаем, что вязкость равна единице). Уравнение (1.8) полностью совпадает с классическим уравнением теплопроводности (1.7), а коэффициент К(х) имеет всего лишь другую физическую интерпретацию. В дальнейшем коэффициенты теплопроводности и проницаемости будут обозначаться одинаковым образом через К. Кроме тепловых и фильтрационных процессов уравнением Лапласа описываются электрические поля, поля электрической и магнитной индукции.
Несмотря на различную физическую природу упругих, тепловых и фильтрационных свойств, подходы к их определению являются во многом общими, поскольку уравнения для описания данных процессов фор мально совпадают. Так известные аналитические оценки Фойгта-Рейсса и Хашина-Штрикмана получены для всех перечисленных свойств композитов. Многие численные методы получения оценок также универсальны.
На практике чаще используются не точные теоретические значения эффективных модулей, а верхние и нижние оценки этих модулей. Известен ряд аналитических оценок [2], опирающихся на знание структуры и объемной доли составляющих компонент. Большинство из этих оценок основаны на различных вариационных принципах [27]. Для вывода таких оценок можно использовать, например, теоремы о минимуме энергий.
Опишем оценки, справедливые для упругих характеристик композитов. Рассмотрим случай макроскопически однородной среды, содержащей N фаз, и используем две гипотезы для определения эффективных оценок объемного модуля К и модуля сдвига /І — гипотезу об однородном напряжении или однородной деформации.
Вейвлет-осреднение на основе метода конечных разностей
Основные результаты по применению вейвлет-преобразования к МКР приведены в [53-55]. Проведем дискретизацию дифференциального уравнения (2.13) методом конечных разностей на равномерной сетке с шагом h = 2 i с помощью трехточечного шаблона. Обозначим через diag(a) диагональную матрицу, содержащую значения а(х) в узлах сетки, а через А_, Д+ — левую и правую разности соответственно. Получаемое дискретное уравнение имеет вид Lj+iu = -j- A+diag(a)A-U = F. (2.14)
Применим к (2.14) слева ортогональное одномерное вейвлет-преобра-зование Хаара Wj, матрица которого размера 2; х 2; имеет вид /110 0 0 0 о о \ w = 1-10 о ... 0 0 1-10 \ Получим h? Wjk+diag(a)b-Wj WjU =
Индексы end указывают на компоненты, соответствующие пространствам Vj-i. и Wj-i. Компонента ис является проекцией решения и системы (2.14) на пространство Vj-\. Исключая ud с помощью дополнения Шура, получим уравнение для ис (этот вектор имеет вдвое меньше координат, чем исходный) LJue = Tj, (2-15) где Lj = Dj — CjA lBj — дополнение Шура. Разрешив эту систему, получаем искомое осредненное решение ис. Осредненный оператор Lj имеет структуру, подобную структуре исходного оператора. Для оператора уравнения (2.14), осредненный оператор Lj записывается в разностном виде T = W HA- (2Л6)
Матрица Н описывает осредненные свойства материала и имеет диагональное преобладание, а элементы матрицы убывают по мере удаления от главной диагонали. Однако Н уже не является диагональной, что делает затруднительной интерпретацию элементов матрицы в качестве коэффициентов некоторого осредненного материала. Кроме того, из-за потери диагональности Н на следующем шаге осреднения сохранение разностного вида оператора (2.16) не происходит.
При необходимости дальнейшего осреднения, к системе (2.15) можно опять применить вейвлет-преобразование. Таким образом, рекурсивно используя вейвлет-преобразование несколько раз, находим грубое представление вектора и на нужном масштабе. Причем на самом грубом масштабе получается система.из одного уравнения. Система (2.15) считается осред-ненной системой для (2.14).
В работе [56] данный подход был применен к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений, эквивалентной одномерной эллиптической задаче. Как оказалось в этом случае, результаты с учетом некоторых изменений совпали с результатами классического осреднения, таким образом существует связь между многомасштабной стратегией и классическим подходом осреднения. В работе [57] методика многомасштабного анализа также применяется к одномерной эллиптической задаче, но способом, отличным от [56]. Тем не менее, в [57] были получены результаты, аналогичные классической теории осреднения. В обеих работах использовался базис Хаара. Двумерный (и трехмерный) случай дифференциальных уравнений в частных производных более сложен и прямой аналогии между вейвлет-осреднением и классическим осреднением получено не было.
Несмотря на перспективность применения данного метода, результаты по вычислению дискретных осредненных операторов, с которыми можно было бы провести сравнение, до сих пор не представлены. Поскольку матрица коэффициентов не диагональна, явное представление осреднен-ного тензора получить не удается. Операция осреднения является алгебраической процедурой, основанной на явной иерархии масштабов, и выполняется над матрицами на конечном числе пространств [55], так что алгебраически исключаются переменные, соответствующие мелкому масштабу. Результатом операции осреднения является осредненный вектор неизвестных.
В настоящей работе для проведения осреднения был выбран метод конечных элементов, так как он позволяет решать задачи со сложной геометрией и получать при этом более точное решение.
Осреднение в стационарной задаче теплопроводности
Задача 9. Рассмотрим пластину (рис. 3.12), состоящую из двух материалов — матрицы с коэффициентом теплопроводности Ют = 1 и девятью включениями квадратной формы с константой K v = 0.1. Сравним распределение температур на разных шагах осреднения. Для расчета Рис. 3.12. Девять включений Рис. 3.13. Конечно-элементное решение проводилось вейвлет-осреднение задачи (1.7) с граничными условиями ВТ I ЯТI Г1=0-18С, Кг—\ =? = -40BT/M2, \ =0.
На рис. 3.13 показано конечно-элементное решение на сетке с пх = 64, пу = 64. На рис. 3.14 и 3.15 показано распределение температуры после двух и четырех шагов осреднения. После четырех шагов, когда сетка становится достаточно грубой, решение сглаживается и описывает поведение температуры в среднем.
Задача 10. В работе [80] с помощью асимптотического метода исследовалась зависимость эффективного коэффициента теплопроводности К от формы сечения волокна (рис. 3.16) при постоянной площади включения (концентрации волокна), равной с " = 0.25, и коэффициентах теплопроводности включения и матрицы ІГ = 10, К ш = 1. Процесс распространения тепла описывается уравнением (1.7) с граничными условиями вида дТ\ = q = -40 Вт/м . дх і Т\т=0 = 18С, К{т)
Вейвлет-осреднение проводилось для МКЭ с равномерной расчетной сеткой пх — 64, пу = 64. Сравнение результатов различных методов приведено в табл. 3.3. В столбцах два и три приведены результаты асимптотического осреднения, полученные разными авторами в работах [80] и [63]. Причиной расхождения результатов может быть различие в используемых при расчетах конечно-элементных сетках, поскольку условия, при которых проводились исследования в [80] точно не указаны. В пятом столбце таблицы указаны результаты еще одного метода осреднения «BlackBox Multigrid», описанного в [34] и использующего многосеточный подход. Результаты вейвлет-осреднения практически совпадают с результатами асимптотического осреднения и имеют меньшее отличие от асимптотического метода по сравнению с методом «BlackBox Multigrid».
Следует отметить, что теоретические оценки будут давать одинаковый результат в независимости от формы включения. Оценки Хашина-Штрикмана для трансверсально изотропного материала имеют следующие значения: нижняя граница Jj — 1.514, верхняя — K f = 2.394. Полученные с помощью вейвлетов значения К близки к нижней границе,
и удовлетворяют диапазону [К 3, К я\, также как и метод асимптотического приближения. Нижняя и верхняя оценки Фойгта-Рейсса (гармоническое и арифметическое среднее) равны соответственно К( = 1.29 и К(т = 3.25.
Задача 11. В работе [81] исследовался эффективный коэффициент теплопроводности силикатного одиннадцати пустотного кирпича (ГОСТ 530-95, размеры 250 х 120x65 мм), там же проводилось сравнение с экспериментальными данными. Цилиндрические полости кирпича заменялись на эквивалентные (в смысле равенства объемных долей) прямоугольные параллелепипеды, в основании которых лежит квадрат со стороной 14 мм (рис. 3.17). Доля пустот составляет с та 7%.
Коэффициент теплопроводности остова принимается равным, как у силикатного полнотелого кирпича ГОСТ 379-79 К = 0.7 Вт/(м К). Опытные данные, приведенные в [81], показывают, что эффективный коэффициент К = 0.64 Вт/(м К). Оценки Хашина-Штрикмана для сравнения составляют: нижняя граница К = 0.516, верхняя — K s = 0.624. Сопоставляя оценки получим, что опытные результаты не попадают в диапазон значений, определяемый оценками Хашина-Штрикмана. Нижняя оценка Фойгта-Рейсса равна #/г = 0.429, верхняя -К[г = 0.656.
Для расчета коэффициента проводилось вейвлет-осреднение задачи 1.7) с граничными условиями дТ Т,=о = 18С, КІ - = q = 40 Вт/м2, 2=0.25 ОТ ду = 0. у=0,у=0.12
Число узлов расчетной сетки составило Nn = 16384 (пх = 128 узлов по горизонтали, пу = 128 узлов по вертикали, шаг постоянный). Вычисленный по методу вейвлет-осреднения эффективный коэффициент теплопроводности оказался равным К 0.62 Вт/(м К). Расхождение расчетных и опытных данных составило 3.6%. При этом полученный с помощью вейвлет-осреднения коэффициент теплопроводности удовлетворяет и оценкам Фойгта-Рейсса и оценкам Хашина-Штрикмана.
Результаты исследования осреднения в задачах теплопроводности представлены также в [63,82].
Задача 12.Рассмотрим пластину (рис. 3.18), состоящую из двух материалов — матрицы с модулем Юнга Е = 1 и коэффициентом Пуассона z/m) = 0.3 и более мягким включением квадратной формы с константами ЕМ = 0.5, z» = 0.3. Исследуем как меняются осредненные модуль Юнга и коэффициент Пуассона при различных объемных долях включения. Вычислим значения коэффициентов на основе формул одноосного напряженного состояния, описанных в п. 2.5. Расчеты проводились для плоско-напряжен ного деформированного состояния. Расчетная сетка МКЭ состоит из Nn = 4096 узлов (пу — 64 узла по вертикали и пх = 64 узла по горизонтали). Результаты вейвлет-осреднения после j — 6 шагов (область стягивается в точку) представлены в табл. 3.4. В той же таблице показаны результаты асимптотического осреднения. Различия для значений модуля Юнга при объемной доле dv = 0.1 имеют порядок 5%, тогда как при dv = 0.5 отклонение близко к 15%. Такое поведение объясняется тем, что при большой объемной доле напряженное состояние 15 пластине уже больше нельзя считать близким к одноосному.
Компоненты поля перемещений на разных шагах осреднения представлены на рис. 3.21-3.30 для объемной доли включения 20 %. Показана четверть расчетной области, лежащая в первом квадранте. Для сравнения на рис. 3.31-3.32 показаны поля перемещений, полученные с осредненны-ми асимптотическим методом модулем Юнга и коэффициентом Пуассона. Отметим, что результаты асимптотического метода, вычисленного на нескольких сетках (135 х 135, 195 х 195 и 235 х 235), отличаются друг
