Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Линейный анализ стабильности поля 27
1.1 Обоснование приближения одножидкостной МГД 27
1.2 Приближение тонкой магнитной трубки 34
1.3 Дисперсионное уравнение, линейные колебания 38
1.3.1 Линеаризация системы и получение волновых уравнений 38
1.3.2 Анализ волновых уравнений и основные моды колебаний 42
Глава 2 Трубка конечного радиуса 50
2.1 Уравнение малых колебаний 50
2.2 Медленные волны, распространяющиеся вдоль однородной трубки 53
2.2.1 Интервал I 55
2.2.2 Интервал II 58
2.2.3 Интервал III 61
2.2.4 Интервал IV 62
2.3 Распространение волн вдоль неоднородной трубки 62
Глава 3 Численное моделирование эволюции трубки 68
3.1 Параметры обезразмеривания системы уравнений 68
3.2 Разностная система уравнений 69
3.2.1 Уравнения движения 69
3.2.2 Уравнения состояния 70
3.3 Определение зависимости ре(г), ре(г), д(г) 74
3.4 Тестирование схемы 74
3.4.1 Определение частот малых колебаний тонкой трубки 75
3.4.2 Вращающееся кольцо в однородной внешней среде . 76
3.5 Численное моделирование подъёма трубки 77
3.5.1 Медленные волны 78
3.5.2 Изгибные волны 80
3.6 О применимости модели 81
Глава 4 Двумерное моделирование солнечной атмосферы 83
4.1 Используемое приближние 83
4.2 Описание системы уравнений 85
4.3 Разностная схема 87
4.4 Аппроксимация вязких потоков 90
4.5 Лучистый теплообмен и теплопроводность 91
4.6 Интерполяция объёмных сил 94
4.7 Тестирование схемы 97
4.7.1 Распад разрыва 98
4.7.2 Гидростатика 99
4.7.3 Стоячая звуковая волна 99
4.7.4 Стоячая гравитационно-акустическая волна 100
4.8 Прогрев хромосферы опрокидывающимися акустическими волнами 104
Результаты работы и выводы 109
Литература 117
- Дисперсионное уравнение, линейные колебания
- Медленные волны, распространяющиеся вдоль однородной трубки
- Определение частот малых колебаний тонкой трубки
- Лучистый теплообмен и теплопроводность
Введение к работе
Задачи физики активного Солнца принципиально важны как для фундаментальной науки, поскольку плазма Солнца находится в диапазоне параметров, недостижимых в земных лабораторных условиях, так и для широкого круга прикладных исследований физики околоземного космического пространства, из которых наиболее актуальной является задача прогнозирования вспышечных событий и проявлений солнечной активности, непосредственно влияющих на состояние околоземной среды и магнитосферы. Это влияние может проявляться в изменении проходимости радиоволн, повышенном облучении с сопутствующим радиационным повреждением околоземных космических аппаратов, магнитных бурях, изменённом фоне в приполярных областях — практическое значение правильного прогноза солнечной активности несомненно [110, 120, 122].
По гипотезе Гарольда Зирина [112] все явления солнечной активности непосредственно связаны с наличием магнитного поля в глубинах и атмосфере Солнца. В специальной литературе начиная с I960 года физические свойства замагниченной плазмы исследовались теоретически в различных модельных постановках, близких к ряду задач физики активного Солнца. Использование упрощаюших предположений позволило аналитически исследовать такие вопросы, как дисперсионные свойства и устойчивость распределённого магнитного поля, характерные параметры волн, распространяющихся вдоль магнитных конфигураций, физика бессиловых магнитных конфигураций, прогрев нижней хромосферы и многие другие [121, 16]. Конфигурация солнечного магнитного поля и другие параметры задачи, как правило, аппроксимировались кусочно-постоянными или модельными аналитическими функциями. С учётом сложного нелинейного характера физических процессов, протекающих в разреженной высокотемпературной солнечной плазме в присутствии сильных магнитных полей единственным современным методом, соответствующим уровню сложности исследуемых задач, является метод численного моделирования исследуемых явлений [107, 134, 132, 133].
Настоящая диссертационная работа посвящена изучению физических процессов, формирующих структуру солнечной атмосферы. Это одна из
ВВЕДЕНИЕ наиболее важных задач физики активного Солнца, полностью сохранив- УЬ шая свою актуальность [135, 119]. Изучение данной проблемы методами численного моделирования вплоть до настоящего времени проводилось в рамках одномерных нестационарных постановок исследуемых задач [129, 96, 97, 3, 5]. Тем не менее в рамках столь жёсткого ограничения различными авторами были получены важные и принципиальные ре зультаты по исследуемой проблеме. Предварительно исследовано влия ние стохастических пульсаций конвективных течений на формирование волнового потока акустических волн на фотосферном уровне и нижних слоях солнечной атмосферы [21, 26, 31], изучен переход звуковых волн в слабые ударные волны при распространении в стратифицированных слоях солнечной атмосферы [91, 98, 94, 92, 93, 95]. Обоснован альтерна тивный источник потока акустических волн, прогревающих солнечную /Л атмосферу — всплывающие магнитные поля [129] (для этого проведено *" предварительное исследование устойчивости изолированной магнитной трубки в конвективной зоне Солнца и определён физический механизм потери устойчивости магнитных полей [124, 125, 126, 5]). В одномерной постановке задачи получено много других результатов исследования нестационарных физических процессов, протекающих в недрах и атмосфере активного Солнца [120, 121].
Последовательное совершенствование математических моделей изу чаемых явлений требует учёта влияния многомерности исследуемых за дач. В ряде случаев многомерность является принципиально важной для выделения физических процессов и явлений, которые просто не могут протекать в рамках одномерной модели [60, 4, 6, 44]. Настоящая дис сертационная работа продолжает цикл исследований, начатых в работе fe* [129, и ссылки в работе] и посвящена исследованию влияния многомерно- сти задачи на устойчивость магнитного поля в конвективной зоне Солнца и прогрев хромосферы Солнца. Это две центральные задачи физики формирования аномального поля температур солнечной атмосферы, по отношению к которым многие другие могут быть рассмотрены как вспомогательные: проблема зарождения и устойчивости активных областей солнечной атмосферы, проблема зарождения и формирования структуры солнечного ветра на различных стадиях цикла солнечной активности и многие другие [120, 121]. Данное обстоятельство определяет актуальность проводимого исследования.
С 1970 года разрешающая способность наблюдательных инструмен- ± тов позволила установить, что структура магнитного поля Солнца не г- описывается распределенным вмороженным в плазму векторным полем
ВВЕДЕНИЕ с непрерывно и плавно меняющимися параметрами. Магнитные обра- ^ зования в атмосфере Солнца представляют собой множество сгруппиро- ванных магнитных трубок большой интенсивности (напряжённость поля трубки составляет величину порядка 1-3 кГс), расположенных в практически незамагниченной (Н ^ 4 Гс) плазме [50, 89]. Диаметр таких трубок составляет величину порядка 150 - 300 км (для сравнения скажем, что размер конвективной гранулы, самого мелкомасштабного элемента спокойной солнечной атмосферы, варьируется в пределах от 700 до 1500 км). Ряд наблюдательных данных, таких как динамика формирования активной области или дрейф магнитных структур относительно окружающей атмосферы позволяют сделать вывод о том, что наблюдаемые магнитные конфигурации являются лишь надфотосферной частью большей структуры, основная часть которой находится в конвективной зоне и, (v возможно, в зоне лучистого переноса. ^ Задача адекватного исследования эволюции магнитного поля в кон- вективной зоне и атмосфере Солнца затруднена наличием больших перепадов газодинамических параметров в зависимости от высоты (плотность, давление и температура в пределах конвективной зоны изменяются на несколько порядков [20]), качественным изменением физического характера теплопереноса между конвективной зоной и атмосферой, сильной нелинейностью задачи и отсутствием достаточно проработанной модели конвективной зоны с хорошим количественным описанием дифференциального вращения и конвективного теплопереноса, учитывающего сжимаемость среды. В связи с этим для описания структуры магнитных полей в конвективной зоне Солнца было разработано множество моделей [121], наиболее интенсивно используемой из которых является сформули- \щ\ рованное в 1970-х годах приближение тонкой магнитной трубки в неза- магниченной плазме [27, 130, 104, 72] для описания магнитного поля (и теория длин перемешивания для описания конвекции [121, 20]). В этом приближении поперечный размер трубки предполагается много меньшим характерного пространственного масштаба изменения параметров окружающей плазмы, что позволяет эффективно свести задачу к одномерной, заменив параметры плазмы на их средние значения в поперечном сечении трубки. Малость радиуса трубки и незначительность её влияния на окружающую среду позволяет перейти от самосогласованного описания подъёма магнитного поля к модели, в которой параметры внешней среды определяются независимо и не зависят от магнитной трубки. При этом поле скоростей и вызванное движением трубки возмущение давления во
Д*} внешней среде могут быть учтены решением модельной задачи обтека-
ВВЕДЕНИЕ ния бесконечного цилиндра: интеграл возмущённого давления внешней среды по поверхности трубки сводится к хорошо известному слагаемому в уравнении движения — присоединённой массе [117].
Большинство опубликованных работ по данному направлению можно отнести к нескольким большим разделам: физика тонкой магнитной трубки как составного элемента более крупномасштабной магнитной структуры, теория солнечного Динамо и собственно обоснование и развитие модельного приближения тонкой магнитной трубки для изучения магнитного поля в плазме.
Физика отдельной изолированной магнитной трубки посвящена изучению базовых свойств трубки как составного элемента более сложных магнитных структур. Она включает в себя исследование дисперсионных свойств магнитной трубки [109]; перенос энергии в присутствии магнитного поля [130, 63]; исследование стационарной вертикальной магнитной трубки, её равновесния и устойчивости в атмосфере и короне Солнца [45, 121]; генерация волн в трубке окружающей средой [63, ссылки в работе], восстановление параметров магнитного поля в атмосфере Солнца по частотным характеристикам наблюдаемых волн и другие подобные задачи.
Работы, посвященные обоснованию и развитию приближения тонкой магнитной трубки включают в себя вопросы генерации магнитного поля в форме трубок [12], формулировку систем дифференциальных уравнений различной степени точности (учёт дополнительных эффектов, таких как перекрученность поля [71], неидеальность плазмы [77]; разложение в ряд параметров плазмы на оси трубки и получение систем более высокого порядка малости [52]), анализ наблюдательных данных и восстановление структуры солнечного магнитного поля решением обратных задач [50].
Теория солнечного Динамо посвящена вопросам генерации магнитного поля и природе циклической солнечной активности. К этому разделу можно отнести исследование влияния конвекции на свободную магнитную трубку (усиление слабого магнитного поля конвективными течениями и зависимость предельно достижимой напряжённости поля от параметров течения [41]; положения равновесия магнитной трубки в конвективном поле скоростей и эволюция трубки в грануляционной и супергрануляционной ячейке [77, 90]); хранение и усиление магнитного поля до потери устойчивости; перенос магнитного поля от зоны Динамо в атмосферу Солнца; устойчивость магнитного поля в зоне действия Динамо (эти работы рассмотрены более подробно ниже, где и приведены библиографические ссылки).
ВВЕДЕНИЕ
Проведённое разделение несколько условно и отражает, скорее, круг вопросов, решение которых необходимо для воссоздания полной картины солнечного цикла активности, переноса энергии от места генерации в атмосферу, эволюции магнитных структур в атмосфере Солнца и передачи энергии в околосолнечное пространство. В отдельных случаях были сделаны попытки перейти от описания изолированной трубки к более сложным системам — ансамблю трубок в условиях, близких к атмосферным [75], влиянию кильватерного следа всплывающей трубки на конвективную зону и всплывание последующих трубок [68] и т.д..
Первая и третья главы настоящей диссертационной работы посвящены изучению устойчивости равновесных положений магнитного поля в конвективной зоне Солнца. Поворотной точкой в этой области физики Солнца являются оценки времени удержания магнитного поля в конвективной зоне, сделанные Паркером в 1975 году [69]. Оцененное время удержания составило величину от 0.02 года до 2-х лет, заметно меньшую периода солнечной активности1. Полученный результат проверялся в схожих постановках рядом авторов [120, 121, 59], и основным выводом была невозможность удержания магнитного поля в стационарном состоянии в конвективной зоне Солнца в течение характерного времени солнечного цикла (следует отметить, что все перечисленные авторы использовали довольно сильные ограничения при получении своих оценок; оценивалось фактически не время удержания магнитного поля в конвективной зоне, а характерная скорость его подъёма). Малость времени удержания магнитного поля в конвективной зоне Солнца поставила под вопрос адекватность модели конвективного Динамо Бэбкока-Лейтона (ссылки на работы по теории распределённого Динамо можно найти в работах [69, 48]) и начинает исследоваться альтернативная модель локализованного Динамо, расположенного под конвективной зоной в узком слое проникающей конвекции [19, 42, 44].
Линейная и нелинейная устойчивость магнитного поля в зоне проникающей конвекции и конвективной зоне исследованы как с использованием приближения тонкой магнитной трубки [100, 62, 5, 4, 127, 124, 125, 126], так и численным решением системы уравнений магнитогазо-динамики [47]. Исследование устойчивости распределённого магнитного поля является более сложным, поскольку начальное распределение поля должно обосновываться отдельно. Как правило, инкремент неустойчивости и частоты колебаний в этом случае зависят и от параметров среды, 1 Период солнечной активности составляет 11 лет без учёта смены полярности; полный цикл солнечной активности равен 22 годам [135].
ВВЕДЕНИЕ и от их градиентов [86, ссылки в работе]. '& Использование приближения тонкой магнитной трубки позволяет ре- шить эту задачу более простыми методами. В качестве начального положения трубки обычно выбирают тор, с осью, лежащей на оси звезды [4, 86, 62, 79, 40, 101, 39] и радиусом, отвечающим дну конвективной зоны или зоне проникающей конвекции. Без учёта вращения звезды дисперсионное уравнение, описывающее распространяющиеся вдоль такой трубки волны малой амплитуды, расщепляется на биквадратное уравнение, решения которого отвечают изгибной и медленной волнам [4], и на уравнение первого порядка, описывающего неустойчивость соскальзывания трубки к полюсу [86]. В отсутствие гравитации изгибная волна переходит в альфвеновскую, а медленная в варикозную моду колебаний трубки [4, 130]. ґ Во всех работах, указанных выше, зависимость параметров внешней среды от радиуса выражена безразмерным градиентом энтропии по высоте 8 [86]2: 5 = d\nTe 7-1 din ре 7 где Те и ре — температура и давление внешней среды, зависящие от радиуса (обычно это монотонно убывающие функции радиуса). Инкременты выражены функциями 6 и ft — отношения давления магнитного поля к плазменному внутри трубки:
Следует заметить, что пространство параметров трубки на самом деле является трёхмерным, где третьим параметром является начальный радиус тора. Влияние начальной геометрии трубки проявляется в изменении условия начального условия равновесия (роль начальной кривизны отмечена в [86] и исследована в [4]) и, при учёте вращения, через действие силы Кориолиса. Если пренебречь начальной кривизной трубки и перейти к плоской конвективной зоне [60], то наличие магнитного поля стабилизирует конвективную неустойчивость подъёма трубки как целого, но для волн с конечной длиной волны медленная волна всегда является неустойчивой (область неустойчивости определяется как А ^ Ас-(/о, /эе,5,ре), для более коротковолновых возмущений сила 2В англоязычных работах данное выражение носит название коэффициента суперадиабатично-сти (superadiabaticity).
ВВЕДЕНИЕ натяжения достаточно велика и стабилизирует конвективную неустойчивость). Инкремент неустойчивости медленной волны превышает инкремент неустойчивости изгибной волны для любого волнового вектора [4, 86]. В зоне проникающей конвекции, где неустойчивость вертикального подъёма трубки может быть стабилизирована за счёт конвективно-стабильного распределения параметров по высоте, неустойчивость медленной волны является определяющей. Именно она отвечает за образование арочной структуры всплывающего магнитного потока [4, 60]. Для распределённого магнитного поля в гравитационном поле эта неустойчивость соответствует неустойчивости Паркера [67].
Учёт вращения приводит к усложнению дисперсионного уравнения, которое становится общим алгебраическим уравнением четвёртой степени [62, 79, 40, 101]. Градиент скорости вращения играет не менее важную роль, чем градиент давления. Условия, когда он может стабилизировать трубку, описаны в [101]. В работе [79] исследована нелинейная устойчивость трубки и показано, что находящаяся в зоне проникающей конвекции трубка в состоянии теплового равновесия смещается по широте и может прийти в новое устойчивое состояние механического равновесия, где силы натяжения поля, Архимеда и Кориолиса уравновешивают друг друга, при этом трубка в новом положении вращается быстрее окружающей среды.
Во всех этих работах авторы ограничивались определением инкремента неустойчивости как функции ^(5, Р) [101, 86], или рассматривали трубку в небольшой области около дна конвективной зоны, используя различные модели данного диапазона глубин [62, 79, 40, 39,13]. При этом результаты в значительной мере определяются используемой моделью конвективной зоны и должны пересматриваться с совершенствованием моделей внутреннего строения Солнца. Подробнее вопросы о различных моделях зоны проникающей конвекции, хранении магнитного поля в ней и инжекции магнитного потока в конвективную зону рассмотрены в работах [100, 62] и в библиографии обзора [44]. В настоящее время в связи с достигнутым прогрессом в изучении области тахоклина и восстановления профилей дифференциального вращения с ббльшей точностью процесс инжекции магнитного поля из зоны проникающей конвекции в конвективную зоны и механизм генерации магнитного поля в этой области пересматриваются заново (см. обзор [44]).
Процесс подъёма магнитного поля от дна конвективной зоны в солнечную атмосферу исследован наиболее подробно. (Полная библиография включает в себя больше 100 статей, отражая доработку использу-
ВВЕДЕНИЕ емых численных методов, поэтому полученные результаты проще представить, следуя обзорам [44, 78, 87] и работам, ставшими классическими [14, 44, 60, 13, 30, 35, 61, 36, 55, и другие]).
Первым направлением исследований является формирование трубкой, всплывающей от дна конвективной зоны, арочной структуры. Во всех работах магнитная трубка первоначально предполагается расположенной горизонтально у дна конвективной зоны или в зоне проникающей конвекции. Начальными условиями служат или условия механического равновесия, или теплового равновесия с окружающей средой (выбор одного из этих начальных условий слабо изменяет результат, что отдельно показано, например, в работе [14]). Для исследования отдельно выбранной моды добавляется малое возмущение [4, 127]. Так как в линейном анализе устойчивости трубки показано, что медленная мода является наиболее неустойчивой, возмущение обычно представляет собой малую синусоидальную добавку к одному из параметров трубки (чаще всего это возмущение энтропии). На нелинейной стадии развития неустойчивости медленной волны форма трубки отличается от синусоидальной и представляет собой широкую арку с основаниями, опускающимися ко дну конвективной зоны [4, 127, 60]. Под действием силы гравитации создаётся поток вещества к основанию трубки, что приводит к дополнительному погружению базы арки в область проникающей конвекции и закреплению там трубки даже в случае первоначального расположения целиком в пределах конвективной зоны [4, 44, 60, 13]. При подъёме трубки напряжённость магнитного поля убывает с высотой. Считается, что для воспроизводимости регулярых свойств активных областей на уровне фотосферы необходимо, чтобы в течение подъёма напряжённость магнитного поля превышала величину Beq ~ у'Pext^lonv Это приводит к ограничению снизу на начальное магнитное поле ~ 105 Гс, что на порядок больше равновесного значения напряженности Beq = 104 Гс у дна конвективной зоны [13, ссылки в ней].
Второй большой изученной областью исследований является определение влияния силы Кориолиса на структуру поднимающегося магнитного потока. Это направление привлекло наибольшее количество внимания, так как исследуемые закономерности в расположении места всплытия трубки на поверхности позволяют непосредственное сравнение с данными наблюдений и тем самым дают возможность определения параметров магнитного поля под поверхностью Солнца (вплоть до основания конвективной зоны или зоны проникающей конвекции).
Дифференциальное вращение Солнца и сила Кориолиса оказывают
ВВЕДЕНИЕ непосредственное влияние на характерные параметры солнечных пятен, такие как широта, напряжённость магнитного поля, угол наклона биполярной активной области к экватору и другие. Учёт действия силы Ко-риолиса приводит к правильному описанию зависимости угла наклона пары пятен от широты [30]; разницы между напряжённостями полей [35] и их направлением в ведущем и ведомом пятне [61]; даёт ограничение на диапазон широт, в котором расположены пятна [36] и обеспечивает стабилизацию неустойчивости соскальзывания [14]. Также с использованием модели тонкой магнитной трубки получены скейлинги разброса угла наклона пары пятен к экватору в зависимости от магнитного потока (т.е. поперечного размера трубки) [55]. Прямое численное решение трёхмерных уравнений магнитогазодинамики для описания эволюции магнитной трубки (без использования приближения тонкой магнитной трубки) показывает, что учёт силы Кориолиса приводит к дополнительной стабилизации верхней части арки всплывающего магнитного потока [1] относительно разрушающего действия внешних конвективных течений. Тем не менее модель внутреннего строения Солнца, приводящая совместные профили дифференциального вращения и распределения праметров внутри Солнца, ещё не создана [44, 20], поэтому все работы, рассматривающие влияние силы Кориолиса на подъём трубки, используют очень сильные допущения при описании дифференциального вращения Солнца.
Третьей областью исследования естественно считать работы по созданию и физическому обоснованию более детальной модели магнитной трубки. Пределы применимости модели тонкой магнитной трубки при исследовании переноса магнитного поля в основном связаны с малой устойчивостью трубки с магнитным полем, направленным только вдоль оси трубки, к внешним течениям плазмы (перестановочная, или желоб-ковая неустойчивость) и увеличением размера трубки в верхней части конвективной зоны до масштабов, сравнимых со шкалой высот (в зоне температурного минимума).
Воздействие внешних течений на трубку заметно ослабляется с ростом азимутальной компоненты магнитного поля. Подобные трубки с закрученным магнитным полем исследованы решением уравнений МГД в двух [37, 32] и трёх [1, 38, 29] измерениях. Двумерное моделирование показало, что трубки, имеющие только осевую компоненту магнитного поля, распадаются в процессе всплытия на два вихря, вращающихся в противоположные стороны [32] и была оценена степень закрученности, необходимой для сохранения структуры трубки при подъёме. Наблюда-
ВВЕДЕНИЕ емая степень закрученности оказалась заметно меньше рассчитанного в данной работе порога (этот результат получил название парадокса Лонг-копа (Longcope)).
Увеличение вычислительной мощности современных компьютеров позволило исследовать влияние внешней среды на подъём магнитного поля решением полной системы уравнений МГД в Зх измерениях с использованием неупругого (unelastic) приближения [1, 38]. В этих работах подтверждён основной результат двумерных исследований: с ростом закрученности трубка становится более устойчивой по отношению к воздействию внешней среды. Показано, что в ранних двумерных исследованиях минимальная требуемая степень закрученности сильно переоценена. Полученные пороговые значения подтверждаются наблюдательными данными и являются заметно меньшими, чем полученные моделированием в двумерной постановке (см. библиографию в работе [2]). Точное решение трёхмерных уравнений МГД, описывающих магнитную трубку конечного радиуса, показывает достаточность наличия непродольной компоненты магнитного поля, меньшей на порядок напряжённости поля вдоль оси, для сохранения структуры магнитного поля во всплывающем магнитном потоке [29]. Следует отметить, что если закрученность поля превышает определённый предел, трубка становится неустойчивой относительно скручивания вокруг оси (kink instability). Эта неустойчивость приводит к образованию пары пятен, близко расположенных друг к другу и с углом наклона к экватору, выпадающим из закона Джоу (Joy) — так называемые <5-пятна [1, 38].
Описанная совокупность работ имеет отдельные недостатки, мотивирующие дополнительное исследование, представленное в настоящей диссертационной работе.
Линейный анализ устойчивости магнитного поля проведён либо для плоской конвективной зоны без учёта сферической геометрии задачи [60], либо используется одномерная постановка задачи, исключающая из рассмотрения неустойчивости медленной волны [124, 125, 126, 59]. Часто исследуются только окрестности зоны проникающей конвекции [39].
В ряде работ использована полученная в работе [85] система дифференциальных уравнений для тонкой магнитной трубки, некорректно описывающая действие силы Архимеда (опущена составляющая силы Архимеда вдоль трубки, что слабо влияет на инкременты неустойчивости горизонтальной трубки, но искажает описание арок,
ВВЕДЕНИЕ формируемых магнитной трубкой на нелинейной стадии развития неустойчивостей) [35, 17].
Как правило в расчётах используются устаревшие модели солнечной конвективной зоны 1977х годов [84]. Запуск космических наблюдательных аппаратов SOHO-MDI, Yohkoh, SkyLab и создание проекта GONG3 дали толчок к пересмотру моделей внутреннего строения Солнца, включая уточнение границ конвективной зоны, профилей дифференциального вращения Солнца и дальнейшему усовершенствованию моделей внутреннего строения Солнца [44, 20].
Ряд работ, выполненных в одномерном приближении и охватывающих всю конвективную зону, показал наличие областей, где магнитное поле по разному действует на конвективную неустойчивость плазмы и может приводить к стабилизации всплывающего магнитного потока в новом положении устойчивого равновесия (зона Динамо и релаксациионная зона [124, 125, 126, 5]). Необходим анализ устойчивости в этих зонах с учётом высших мод колебаний, не обладающих аксиальной симметрией и неодномерных по постановке задачи [4, 127].
Несмотря на принимаемые с конца 1990х годов попытки перейти к прямому описанию магнитного потока без использования приближения тонкой магнитной трубки, ограничения при непосредственном решении системы уравнений МГД слишком велики и полное решение самосогласованной задачи описания эволюции магниного поля в конвективной зоне в полном диапазоне глубин является делом ближайшего десятиления [29]. Большую сложность представляет правильное описание конвективной зоны с числами Рейнольдса порядка 1011, поскольку вязкая диссипация реализуется на расстояниях порядка 1 см, что на 10 порядков меньше размера конвективной зоны. Это вынуждает аналитически достраивать спектры турбулентности до масштабов, меньших шага сетки, и уже по ним определять мощность вязкой диссипации энергии по потокам в различных спектральных интервалах [15, 22]. Наличие магнитного поля ещё больше усложняет картину явления. Тем не менее ряд результатов, полученных с использованием данных моделей, является принципиальным 3Global Oscillation Network Group — объединение ряда крупных обсерваторий и наблюдательных центров для совместного изучения Солнца. Основными направлениями исследования являются анализ данных, полученных с помощью космических аппаратов в высоком разрешении, гелио-сейсмология, улучшение модели внутреннего строения Солнца и др.. Работа группы координируется через сеть InterNet, полученные результаты публикуются в электронном виде и доступны для использования.
ВВЕДЕНИЕ в уточнении границ применимости приближения тонкой магнитной трубки и снял ряд противоречий между наблюдательными данными и результатами двумерного МГД моделирования [29, и ссылки в работе].
В работе [130] было показано, что приближённое решение дисперсионного уравнения, отвечающее медленной волне в трубке, отсутствует в случае неоднородности параметров, превышающей (kR)2. В длинноволновом пределе это малая величина. Так как неустойчивость медленной волны является определяющей в формировании петель магнитного потока [4], обоснование существования медленных волн в неоднородной трубке должно быть проведено с учётом данного замечания [109].
Всплывание магнитных полей из нижних слоев конвективной зоны и зоны проникающей конвекции обуславливает явления аномального прогрева солнечной атмосферы и формирования крупномасштабной структуры солнечного ветра [129].
Обзор текущего состояния исследований задачи аномального прогрева солнечной атмосферы следует начать со следующего замечания. Практически все наблюдательные данные, получаемые наземными службами и с борта космических аппаратов, заключаются в регистрации изображения Солнца в различных спектральных диапазонах. Различные линии излучения соответствуют разным температурам и плотностям плазмы, в которой возбуждаются соответствующие уровни различных химических элементов. Регистрируемые данные являются интегральными по высоте, поэтому все детальные расчётные распределения газодинамических параметров восстанавливаются с использованием дополнительных предположений, таких как гидростатическое равновесие, стационарность, химический состав атмосферы Солнца и других. С использованием этих предположений определяются профили температуры, давления, плотности, коэффициента ионизации и т.д. по высоте [102, 7]. Такие модели получили название полуэмпирических, поскольку существенно опираются на экспериментальные данные и только констатируют как опытный факт наличие минимума температуры на высоте 550 км от уровня фотосферы без физического обоснования конкретного механизма аномального прогрева солнечной атмосферы [121]. Подобные модели испытывают ряд сложностей при совмещении картин в разных спектральных линиях [102], которые разрешают введением дополнительных элементов, таких как стационарное магнитное поле [82].
ВВЕДЕНИЕ
Из спектральных измерений известно, что температура вещества солнечной короны составляет величину порядка 2 106К, что значительно выше температуры видимой поверхности Солнца. Это указывает на наличие источников тепла в хромосфере и короне, поскольку атмосфера Солнца является оптически тонкой средой и при отсутствии дополнительных источников тепла температура должна убывать с ростом высоты. Указание физического механизма нагрева составляет проблему температурного минимума солнечной атмосферы [121].
В настоящее время общепринятой является гипотеза, предложенная Бирманом и Шварцшильдом [80, 9] — прогрев осуществляется потоком акустических волн, которые при распространении в сильно стратифицированной атмосфере опрокидываются и образуют цуг ударных волн, нагревающих плазму хромосферы. Этот механизм хорошо подтверждается рядом наблюдательных данных [21, 28]: профили спектральных линий показывают наличие нетепловых скоростей, растущих с высотой от нескольких км/с в нижней хромосфере до 25-30 км/с в переходной области; волновые колебания наблюдаются в фотосфере и на всех уровнях хромосферы; наблюдения Дойбнера [28] показали, что вблизи области температурного минимума имеется поток энергии до 105 - 106 Вт/м2, переносимый волнами с периодами 10-300 секунд. Даже небольшой доли этой энергии (~ 4 103 Вт/м2) достаточно для компенсации излучения хромосферы [105].
Проверка гипотезы прогрева акустическими волнами затруднена как из-за математических трудностей, так и из-за сложности восстановления параметров атмосферы по наблюдательным данным. Математическое моделирование процесса прогрева должно учитывать нелинейность системы гидродинамических уравнений, описывающих опрокидывающиеся акустические волны, правильно отображать процессы лучистого переноса, играющие большую роль при формировании профиля температуры. Адекватное описание процессов лучистого переноса особенно затруднено в области температурного минимума, где неприменимо ни диффузионное приближение (лучистая теплопроводность), ни приближение оптически тонкого слоя (объёмные потери) [102, 111].
Для описания прогрева ударными волнами различными авторами были использованы следующие приближения:
ВВЕДЕНИЕ
В некоторых работах неоднородная атмосфера заменяется серией однородных слоев. При описании распространения ударной волны отражённые от границ раздела слоев ударные волны считаются пренебрежимо малыми. Так же не учитывается влияние диссипации на величину скачка уплотнения [103].
При распространении ударной волны её энергия считается постоянной и с помощью соотношений Гюгонио, предположений о профиле волны, известной зависимости плотности фона от высоты находится зависимость амплитуды ударной волны от высоты. В случае малых градиентов вводится добавка, описывающая диссипацию ударной волны. Данное приближение получило название геометрической акустики [46]. Как показали результаты поздних работ, предположение о постоянстве энергии ударной волны выполняется только в пределах высот, малых по сравнению со шкалой высот [3, 128, 96], поэтому метод не получил дальнейшего развития.
Описание прогрева атмосферы слабыми ударными волнами. Теория создана Бринкли и Кирквудом, развита Шацманом [76], Остерброком [65] и Ульмшнайдером [92, 93]. В данной работе зависимость параметров ударных волн от высоты сводится к функции от скачка величин на фронте F(z) = — -(р2- рх) v2 т/т0, то где параметры с индексом 1 отвечают газу перед фронтом ударной волны, параметры с индексом 2 — газу за фронтом; то — период следования волн, т — длительность импульса, р — давление газа, v - скорость газа, z — высота над уровнем фотосферы. Функция F(z) не зависит от времени, поэтому теория описывает "статический"прогрев. Функция F(z) переписывается через скачок уплотнения в приближении слабых ударных волн [92, 93], в каком либо приближении находится скорость диссипации ударных волн и подставляется в уравнение баланса между потерями энергии ударными волнами и излучением. Решение уравнения баланса совместно с остальными уравнениями позволяет определить стационарные профили давления и температуры.
Выделим основные недостатки предложенных методов. Они не учитывают теплопроводность плазмы и дополнительное турбулентное давление волн /то2, нагрев исследуется как статический процесс. Это занижает размеры переходной области вблизи температурного минимума [121, 3].
ВВЕДЕНИЕ
В последующих работах система уравнений газовой динамики решается с помощью прямого численного моделирования, описывая процесс нагрева как динамический, но без учёта процессов теплопроводности [96, 51]. В этих работах определены высоты опрокидывания акустических волн и из этих результатов впервые теоретически определены границы области температурного минимума. В расчётах источник звуковых волн располагался в верхних слоях конвективной зоны, которая по некоторым моделям [49] генерирует волны с периодами от 10 до 200 секунд с максимумом интенсивности на 30-секундных волнах.
Позднее задача прогрева солнечной хромосферы была решена с использованием консервативной одномерной схемы в лагранжевых переменных и учётом теплопроводности [3]. В отличие от работ [96, и другие статьи серии] для адекватного описания ударных волн была использована искуственная вязкость вместо отдельного выделения разрывов и использования метода характеристик для решения системы уравнений. В этой работе были получены высоты опрокидывания и скорость роста температуры по высоте, удовлетворительно согласующиеся с наблюдательными данными. Показано, что при распространении в нижних слоях хромосферы амплитуда акустических волн практически постоянна, поэтому источник акустических волн может находиться не только на фо-тосферном уровне. Сделан вывод о принципиальной нестационарности прогреваемой атмосферы, требующий учёта при дальнейшем совершенствовании полуэмпирических моделей солнечной атмосферы.
Все перечисленные модели имеют один существенный недостаток — одномерная постановка задачи. По наблюдательным данным, солнечная атмосфера является в значительной степени нестационарным и неоднородным объектом. Основными источниками возмущений являются конвективные течения (наблюдаемые как грануляция), вспышечные процессы и магнитные поля (солнечные пятна, вспышки, корональные петли), а также выбросы вещества в атмосферу (протуберанцы, корональные транзиенты, спикулы) [121]. Следовательно, плазма солнечной фотосферы имеет множество характерных горизонтальных пространственных масштабов, начиная от размера гранулы (~ 700 км) до супергрануляционной конвективной ячейки (~ 32000 км) [121]. Протекающие явления в значительной степени неоднородны и для их адекватного описания необходимо решать задачу как минимум в двумерной постановке, что является обоснованием исследования, представленного в главе 4 диссертационной работы [128, 6].
Исследования прогрева атмосферы в неодномерной постановке на-
ВВЕДЕНИЕ чаты в конце 2000 года. В работе [10] рассмотрен отклик изотермической стратифицированной среды на точечное возмущение в акустическом приближении и показано, что энергия возмущения распространяется в основном в узком конусе с осью, коллинеарной вектору ускорения свободного падения. В работе [58] приведена структура стационарной атмосферы для неоднородной по горизонтали функции прогрева (сам вид функции нагрева физически не обосновывается, это просто заданная стационарная функция двух координат). Детальные расчёты неодномерного аномального прогрева солнечной атмосферы вплоть до настоящего времени фактически не проводились.
Совокупность сформулированных выше замечаний позволяет сформулировать
Цель работы.
Линейный анализ устойчивости тонкой магнитной трубки в пределах конвективной зоны с учётом сферической геометрии задачи в двумерной постановке и с использованием уточнённой модели внутреннего строения Солнца.
Исследование методами численного моделирования нелинейной стадии подъёма трубки от дна конвективной зоны. Изучение процесса насыщения неустойчивостей изгибной и медленной волн в различных режимах.
Исследование дисперсионного уравнения, описывающего медленные волны для трубки конечного радиуса. Обобщение решения на случай радиальной неоднородности параметров плазмы трубки. Обоснование возможности распространения медленных волн вдоль трубки с радиальной неоднородностью параметров, превышающей k2R2.
Моделирование прогрева хромосферы Солнца в двумерной постановке задачи для неодноро, тного источника акустических волн и определение степени неоднородности поля температур солнечной атмосферы в зависимости от высоты.
Структура и объём диссертации.
Во введении проведён обзор опубликованных работ и представлено состояние изучаемой проблемы к настоящему времени. Обоснована актуальность проводимого исследования. Сформулированы цели и задачи диссертационной работы, результаты, выносимые на защиту. Описана структура диссертации.
В главе 1 обосновывается приближение идеальной магнитогазодина-мики для описания эволюции магнитного поля в пределах конвективной зоны Солнца. Получена система уравнений магнитогазодинамики в
ВВЕДЕНИЕ приближении тонкой магнитной трубки и выполнен линейный анализ устойчивости тонкой магнитной трубки в пределах конвективной зоны Солнца.
В 1.1 приведено распределение параметров плазмы солнечной конвективной зоны по радиусу по данным модели внутреннего строения Солнца из работы [20]. Расчитаны характерные пространственные и временные масштабы кинетических, диссипативных и гидродинамических процессов. На основе результатов расчёта обосновано приближение идеальной магнитогазодинамики и выписана система используемых дифференциальных уравнений.
В 1.2 полная система уравнений идеальной магнитогазодинамики сводится к системе уравнений, описывающих тонкую магнитную трубку в конвективной зоне Солнца, используя в качестве малого параметра поперечный размер трубки по сравнению с характерными масштабами конвективной зоны Солнца.
В 1.3 проведён линейный анализ устойчивости тонкой магнитной трубки на различных глубинах конвективной зоны Солнца; получено дисперсионное уравнение для волн малой амплитуды. Найдены решения дисперсионного уравнения в виде бегущих волн, определены условия устойчивости и инкременты развития неустойчивостей изгибной и медленной мод колебаний магнитной трубки.
В главе 2 обосновано существование медленных волн в магнитной трубке конечного радиуса с сильной радиальной неоднородностью параметров плазмы. Получено и исследовано дисперсионное уравнение, изучена структура решения. Исследовано влияние конечности радиуса на спектр волн в случае однородной трубки. Результаты обобщены на случай произвольной радиальной неоднородности параметров плазмы.
В 2.1 получена система уравнений малых колебаний для трубки конечного радиуса, (вывод аналогичен приведённому в работе [130]).
В 2.2 получено дисперсионное уравнение для волн, бегущих вдоль трубки конечного радиуса с однородным распределением параметров плазмы внутри трубки. Графическим методом проведён анализ спектра решений, изучен вопрос существования и количества решений дисперсионного уравнения.
В 2.3 результаты, полученные в разделе 2.2, обобщены на случай произвольной радиальной неоднородности параметров плазмы в магнитной трубке. Описаны два алгоритма поиска нетривиальных решений уравнений для малых колебаний. В качестве иллюстрации исследован случай модельной неоднорости для трубки с переходной областью ши-
ВВЕДЕНИЕ риной OAR.
В главе 3 описан алгоритм численного решения нелинейной системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику тонкой магнитной трубки в массовых лагранжевых переменных. Представлены результаты тестов для разработанного пакета программ. Численно исследованы нелинейные стадии развития и насыщения неустойчивости колебаний магнитной трубки в различных режимах.
В 3.1 проведено обезразмеривание системы уравнений тонкой магнитной трубки, выписанной в 1.2.
В 3.2 безразмерная система уравнений выписана в виде конечных разностей и описано расщепление данной системы уравнений на группу уравнений движения (решаемую по схеме с перешагиванием, см. 3.2.1) и группу уравнений состояния (образующих неявную систему разностных уравнений, решаемую методом Ньютона, см. 3.2.2).
В 3.3 обосновывается метод интерполяции параметров модели [20], свободный от нефизической стабилизации малых возмущений параметров трубки и сохраняющий монотонность изменения параметров трубки с высотой.
В 3.3 описаны результаты тестирования полученной схемы на примере двух модельных задач — задачи о малых колебаниях трубки, расположенной в стратифицированной изотермической среде (3.4.1) и задачи о вращающемся в невесомости кольце (3.4.2).
В 3.5 приведены результаты исследования нелинейной стадии развития неустойчивостей трубки и особенности их насыщения в различных режимах. Расчёты проводились в двух постановках. В первой трубка задавалась покоящейся и все неустойчивые моды имели одинаковую амплитуду, определяемую численным шумом с амплитудой порядка ошибок округления. Этот вариант позволяет изучить одновременное развитие двух неустойчивостей и их роль в эволюции трубки. Во второй постановке задавалось малое возмущение, являющееся точным решением дисперсионного уравнения, отвечающим медленной волне. Данная постановка позволяет проследить, как происходит заякоривание нижней части трубки и формирование арочной структуры магнитного поля в солнечной атмосфере.
В 3.6 скорости течения вещества вдоль трубки сравниваются с пороговыми скоростями развития неустойчивостей, описанных в работе [131]. Исследуются другие возможности выхода за пределы используемых приближений математической модели.
В главе 4 исследуется прогрев плазмы солнечной атмосферы акусти-
ВВЕДЕНИЕ ческими волнами в двумерной постановке задачи. Обосновывается математическая постановка задачи в приближении одножидкостной газовой динамики. Описан метод численного решения, приведены результаты тестов и численного моделирования процесса аномального прогрева.
В 4.1 приведены значения физических параметров стационарной солнечной атмосферы, описаны физические свойства фотосферы, хромосферы и короны, обоснован выбор используемой математической модели.
В 4.2 выписана двумерная система уравнений газовой динамики в консервативном виде с учётом вязкости, теплопроводности, гравитации и объёмных лучистых потерь. Выписаны характерные параметры задачи и проведено обезразмеривание системы.
В 4.3, 4.4 и 4.5 выписана разностная схема решения системы уравнений, описаны аппроксимация вязких и теплопроводностных потоков, особенности, вызванные наличием объёмных сил, имеющих постоянную составляющую.
В 4.6 исследуется вопрос о невязке стационарных решений, полученных методом установления. Получена и протестирована адаптированная процедура интерполяции параметров в полуцелые узлы сетки.
В 4.7 приведены результаты тестовых расчётов. Тесты позволяют проверить качество расчёта распространения ударных волн (задача об ударной трубе, см. 4.7.1), качество интерполяции объёмных сил (задача гидростатического равновесия, см. 4.7.2), качество описания слабых акустических волн, распространяющихся по однородному и стратифицированному фону при включённой и отключенной слабой диссипации (4.7.3, 4.7.4).
В 4.8 приведены результаты численного моделирования прогрева солнечной хромосферы и нижней короны одномерным и двумерным источниками акустических волн, расположенном на фотосферном уровне Солнца. Исследовано влияние неоднородности источника акустических волн на установившееся поле температур солнечной атмосферы.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, выделены недостатки проведённых расчётов. Определены направления дальнейших исследований.
Научная новизна работы заключается в следующем: 1. В работе впервые проведён в двумерной постановке линейный анализ устойчивости тонкой магнитной трубки, учитывающий старшие гармоники для изгибной и медленной мод колебаний, в пределах полного диапазона глубин конвективной зоны Солнца. Получено аналитическое
ВВЕДЕНИЕ решение уравнения малых колебаний в виде бегущих волн, определены условия устойчивости и инкременты развития неустойчивостей изгибной и медленной мод колебаний в различных режимах.
Обосновано существование медленных волн в трубке конечного радиуса с сильной радиальной неоднородностью распределения параметров плазмы. Получено дисперсионное уравнение, изучена структура его решения, исследовано влияние конечности радиуса на спектр гармоник для однородной магнитной трубки. Графическим методом исследован спектр решений, изучен вопрос существования и количества решений дисперсионного уравнения для однородной трубки конечного радиуса. Метод поиска решений обобщен на случай произвольной радиальной неоднородности параметров плазмы. Описаны два численных алгоритма поиска нетривиальных решений для данного случая.
Разработан алгоритм численного решения системы уравнений, описывающей тонкую магнитную трубку в конвективной зоне Солнца. Разработанный пакет программ позволяет изучать как устойчивые линейные колебания, так и нелинейные стадии развития и насыщения неустойчивостей изгибной и медленной мод колебаний в широком диапазоне глубин конвективной зоны Солнца. Произведён расчёт конкретных режимов развития неустойчивости медленной моды с образованием арочной структуры магнитного поля в солнечной атмосфере и затоплением нижней части магнитной конфигурации в области устойчивости медленной волны под нижней границей конвективной зоны.
Разработан алгоритм с улучшенными вычислительными характеристиками описания основных диссипативных физических процессов, формирующих явление аномального прогрева солнечной атмосферы. Произведён расчёт конкретных режимов прогрева атмосферы неоднородным источником акустических волн, расположенным на фотосферном уровне Солнца. Подтвержден эффект аномального роста температуры по высоте, исследована структура неоднородного температурного поля в нижних слоях солнечной атмосферы.
Достоверность результатов.
Разработанные схемы и используемые в работе пакеты программ прошли полное тестирование на модельных задачах, близких по физической природе к изучаемым явлениям и допускающих аналитическое решение. Вычислительная часть диссертационной работы отдельно опубликована в центральном реферируемом журнале и доложена на ряде конференций. Используемые в работе схемы аппроксимируют системы уравнений, записанные в консервативном виде, что обеспечивает разностное выпол-
ВВЕДЕНИЕ нение соответствующих законов сохранения. В диссертационной работе () представлены результаты проведённых тестов.
Полученные результаты исследования непротиворечивы, дополняют друг друга и соответствуют имеющимся наблюдательным данным по изучаемым явлениям.
Результаты проведённого исследования докладывались на различных (в том числе и на международных) конференциях и конгрессах отдельно по организации и проведению расчётов (обоснование расчётной части работы) и отдельно по анализу полученных астрофизических результатов. Результаты работы достаточно полно опубликованы в рецензируемых центральных научных журналах соответствующего профиля.
Научная и практическая ценность.
В работе впервые представлены результаты полного линейного ана-
У5) лиза устойчивости магнитной трубки в пределах всего диапазона глубин конвективной зоны для изгибной и медленной мод колебаний, учитывающий кроме нулевой старшие гармоники. Определены области устойчивости равновесных положений и, независимо, режимы развития неустой-чивостей для обоих типов колебаний магнитной трубки в широком диапазоне частот. Эти результаты являются определяющими для теоретического анализа нестационарных магнитогазодинамических процессов, формирующих феномен активного Солнца, определения физических условий и механизма функционирования солнечного Динамо, многих других задач.
В работе установлен тип неустойчивости колебаний магнитной трубки, фактически определяющий процесс зарождения и развития активных областей в солнечной атмосфере: неустойчивость медленной волны ^ для старших гармоник колебаний магнитной трубки. Определены физи- ческие условия развития неустойчивости данного типа на различных глубинах внутренних слоев Солнца. Для конкретных режимов расчётным путем исследованы основные этапы формирования активных областей солнечной атмосферы: образование крупномасштабной арочной структуры в пределах солнечной атмосферы; растекание газа вдоль силовых магнитных линий (формирование эвершедовских течений), затопление части трубки в области устойчивости под нижнией границей конвективной зоны потоком вещества, стекающим вдоль трубки, что обеспечивает фиксацию сформированной магнитной структуры в течение длительного времени. Эти результаты являются основой дальнейшего изучения Cm) процессов зарождения и эволюции локальных активных областей в солнечной атмосфере.
ВВЕДЕНИЕ
В работе обосновано существование медленных волн в магнитной трубке конечного радиуса с неоднородным радиальным распределением параметров. Графическим методом изучен спектр реализуемых колебаний и показано, что количество решений (разрешённых мод) дисперсионного уравнения фактически бесконечно. Представлены два простых численных алгоритма поиска нетривиальных решений дисперсионного уравнения для произвольного распределения параметров плазмы по радиусу магнитной трубки. Разработанные методы анализа дисперсионного уравнения могут быть использованы для теоретического анализа наблюдательных данных по акустическим колебаниям, генерируемых в активных областях солнечной атмосферы.
В работе представлен алгоритм решения системы уравнений, описывающих аномальный нагрев солнечной атмосферы акустическими волнами в двумерной нестационарной постановке задачи. Алгоритм позволяет учесть основные диссипативные физические процессы, формирующие явление аномального прогрева, и обладает улучшенными вычислительными свойствами, понижающими величину невязки для случая стационарных решений. Это особенно важно для численных расчётов, проводимых методом установления. Отметим, что исследования по реализации эффекта аномального прогрева солнечной атмосферы для случая неоднородного источника акстических волн являются принципиальными для физического обоснования данного явления, поскольку на Солнце реализуется только этот случай генерации акустических колебаний. Результаты численного расчёта для простейшего случая двумерного синусоидального источника волн, представленные в работе, подтвеждают наличие эффекта аномального прогрева и служат начальной позицией для дальнейшего изучения влияния пространственной неоднородности источника акустических волн на результирующее распределение газодинамических параметров солнечной атмосферы.
Автор защищяет следующие результаты:
Расчёт распределения критических значений напряжённости магнитного поля, разделяющих устойчивые равновесные положения магнитной трубки от неустойчивых для изгибной и медленной мод колебаний с учётом старших гармоник для полного диапазона глубин конвективной зоны и зоны проникающей конвекции, описанных моделью [20]. Аналитическое решение дисперсионного уравнение для бегущей волны, расчёт инкрементов развития неустойчивостей изгибной и медленной мод колебаний в различных режимах.
Обоснование существования бесконечного числа решений диспер-
ВВЕДЕНИЕ сионного уравнения для медленных волн в магнитной трубке конечного радиуса с радиальной неоднородностью распределения параметров плазмы при с8е ^ csi\ разработка двух численных алгоритмов поиска нетривиальных решений дисперсионного уравнения для случая произвольного неоднородного распределения физических параметров плазмы по радиусу трубки.
Физический механизм зарождения и стабилизации локальных активных областей солнечной атмосферы, основанный на развитии и насыщении неустойчивости старших гармоник медленной моды колебаний магнитной трубки в различных режимах.
Расчёт распределения термодинамических параметров аномально прогретой солнечной атмосферы в диапазоне высот от фотосферного уровня до нижних слоев короны Солнца для неоднородного источника акустических волн на фотосферном уровне. Результаты расчёта подтверждают наличие эффекта аномального прогрева и обосновывают корректность двухтемпературного описания пространственной неоднородности параметров солнечной атмосферы [43, 56, 54].
Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались на научных семинарах в институте Теплофизики СО РАН, на межвузовской научной конференции аспирантов «Актуальные проблемы современной науки и пути их решения» (ноябрь, 2001 г., Красноярский государственный торгово-экономический институт), на сибирской школе-семинаре, посвященной 40-летию института Гидродинамики (декабрь, 1997 г., институт Гидродинамики СО РАН), на всероссийской конференции по физике солнечно-земных связей (сентябрь, 2001 г., институт Солнечно-Земной Физики СО РАН, г. Иркутск), на Ш-ем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) (июнь, 1998 г., г. Новосибирск), на IV-ом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000) (июнь, 2000 г., г. Новосибирск), на международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред", (май-июнь 1996 г., институт Вычислительных Технологий СО РАН), на международной конференции "Солнечная активность и её земные проявления", посвященной памяти Г.В. Ку-клина (сентябрь, 2000 г., институт Солнечно-Земной Физики СО РАН, г. Иркутск), на международной конференции «Устойчивость гомогенных и гетерогенных жидкостей» (апрель, 2001 г., институт Теоретической и Прикладной Механики СО РАН), на международной конференции «International Conference on the Methods of Aerophysical Research»
ВВЕДЕНИЕ (ICMAR-2002, июль, 2002 г., институт Теоретической и Прикладной Механики СО РАН), на всероссийской конференции, посвященной 90-летию со дня рождения чл.-корр. АН СССР В.Е. Степанова "Магнитные поля и трёхмерная структура солнечной атмосферы"(24-30 августа 2003 г., институт Солнечно-Земной Физики СО РАН, г.Иркутстк).
По теме диссертации опубликовано 11 работ в центральной печати.
Дисперсионное уравнение, линейные колебания
Безразмерный параметр ц является отношением амплитуды возмущения продольной компоненты скорости к поперечной (эти компоненты уже не являются независимыми из-за наличия недиагональных членов в системе уравнений (1.29)).
Подстановка (1.30) в систему уравнений (1.29) и исключение ц дают дисперсионное уравнение:
Его корни отвечают изгибным и медленным волнам, модифицированных присутствием гравитации, т.к. к возвращающей силе натяжения магнитного поля добавилась сила Архимеда. Отрицательное значение квадрата частоты колебаний соответствующей волны отвечает её неустойчивости. Заметим, что в конвективной зоне Солнца подкоренное выражение в (1.31) всегда положительно, поэтому случаи комплексных со\ не рассматриваются. Из вещественности квадрата частоты следует, что любая из волн или устойчива и колеблется без затухания (со2 0), или чисто неустойчива (и2 0), так как колебания с затухающей или нарастающей амплитудой могут соответствовать только комплексным значениям со2.
Используя данные [20] для определения параметров внешней среды и их производных, можно определить зависимость о;(го,Яо) при заданном к. При выборе к учтён характерный масштаб возмущения в солнечной конвективной зоне. Для оценки отметим, что размер гигантской конвективной ячейки [121] имеет порядок Л 3-Ю10 см, что отвечает модам возмущения т 10. Так как рост гп отвечает уменьшению длины волны (росту к) и усилению стабилизирующего действия силы натяжения магнитного поля, наиболее важны для анализа на устойчивость моды с небольшими волновыми числами.
Решение (о;2 = а;2) соответствует изгибной волне, в которой смещение практически перпендикулярно трубке (т) С 1). Так как ш\ о;2., неустойчивость этой моды автоматически означает неустойчивость медленной волны для того же волнового вектора. Поскольку только эта волна имеет осесимметричную моду колебаний, максимум инкремента неустойчивости по всем волновым векторам всё равно может попасть и на неё.
На рис. 1.4 приведены зависимости u)2(j3,r) для мод 0, 1, 2 изгибных колебаний трубки. Величина /3 = Н2/(8тгре) обозначает отношение давления магнитного поля к полному давлению в трубке. Из этих графиков можно сделать вывод, что магнитное поле стабилизирует изгибные волны с го 0 за счёт силы натяжения поля (с ростом к стабилизирующая роль силы натяжения магнитного поля растёт).
Нулевая мода изгибной волны описывает колебания радиуса кольца. В отсутствие магнитного поля эта мода конвективно неустойчива в пределах конвективной зоны — при Н = О частота колебаний изгибных волн переходит в частоту Брента-Вяйсяля, а условие а;2(г, Я = 0) О — в условие конвективной неустойчивости газа. Присутствие магнитного поля изменяет эффективный показатель адиабаты плазмы в трубке, добавляет силу натяжения магнитного поля и изменяет начальные условия равновесия (1.15). Из рис. 1.4а следует, что наличие магнитного поля увеличивает инкремент неустойчивости в нижней части конвективной зоны и стабилизирует конвективную неустойчивость в верхней части конвективной зоны.
Второе решение ш2 = ш2_ отвечает медленной волне, в которой вещество смещается в основном вдоль трубки, а давление плазмы изменяется в противофазе к напряжённости магнитного поля. Для неосесимметрич-ных колебаний именно медленная волна первой становится неустойчивой с инкрементом 7 = \J—u2_ (о;2. 0).
На рис. 1.5, 1.6 приведены зависимости и 2((3,г) для мод 1, 2, 5, 10, 15 медленных волн. Из них следует, что наиболее неустойчивыми являются моды с m 2. С уменьшением длины волны неустойчивость начинает стабилизироваться. В главе 3 будет показано, как эта неустойчивость приводит к формированию арочной структуры всплывающего
Если пренебречь газодинамическим давлением, то из законов сохранения потока магнитного поля и массы в трубке получаем Н2/8пр2г2 = const. Для малых колебаний изменением радиуса кольца можно пренебречь, из чего следует Pm/p2 = const. Таким образом, эффективный показатель адиабаты для холодной замагниченной плазмы при изменении площади сечения трубки равен 2.
магнитного потока, рассмотрен её физический механизм и особенности нелинейного режима насыщения.
В работе [130] получено приближённое дисперсионное уравнение для медленной волны, распространяющейся вдоль магнитной трубки конечного радиуса, расположенной в среде без гравитации и с параметрами плазмы внутри трубки, зависящими от радиуса. Было показано, что решение, отвечающее медленной волне, отсутствует при неоднородности, превышающей достаточно малый порог. Так как неустойчивость медленной волны является одной из основных, определяющих эволюцию трубки, в следующей главе получено точное дисперсионное уравнение для магнитной трубки конечного радиуса, расположенной в однородной среде и обосновано существование медленной волны даже в случае сильной (в терминах работы [130]) неоднородности.
Медленные волны, распространяющиеся вдоль однородной трубки
В случае зависимости начальных параметров трубки от радиуса функ ция Бесселя Ji( fcr) уже не является решением уравнения (2.13) при г R, в то время как решение вне трубки не изменяется. Тем не менее, качественно описать поведение решения внутри трубки несложно. В тех областях, где qf(r,uj) О, решение представляет собой осциллирующую функцию от радиуса, в то время как в областях с qf(r,uj) О решение будет линейной комбинацией растущего и убывающего решений, отвечающих нераспространяющимся волнам. В точках, где параметры трубки терпят разрыв, решения сшиваются по формулам (2.17). На оси трубки накладывается условие vr(0) = 0. Аналитически получить решение уравнения для произвольных функций р(г), Н(г) практически невозможно, исключая представление решения в виде квадратур. Использование различных приближений может привести к потере решений — например, в работе [130] показано, что приближённое решение уравнения (2.11), отвечающее медленной волне, исчезает при относительном изменении параметров в трубке, превышающем малую величину 0{(kR)2).
Поэтому исследование целесообразно провести, используя численные методы и полученные в предыдущем пункте результаты. Используются два метода поиска нетривиальных решений уравнения (2.11), удовлетворяющих граничным условиям ограниченности в нуле и отсутствия приходящей волны на бесконечности. В обоих случаях решение уравнения малых колебаний внутри трубки находится решением задачи Коши для дифференциального уравнения (2.11): Полученное таким образом решение удовлетворяет условию ограниченности в нуле и для произвольных значений &, и амплитуда решения внутри трубки сохраняется с точностью до порядка. В случае однородной трубки это решение переходит в функцию Бесселя (2.16). Задачу Коши можно решать любым из существующих численных методов [133]. Решение строится до первой точки разрыва. Далее, используя (2.17), находятся значения г г, v r на другой стороне разрыва, которые снова используются для постановки задачи Коши. Таким образом получены значения vr(R — 0,а;, к), drvr(R — 0,ш, к) на границе трубки. Найденные значения vr{R—0,о7, к), drvr(R — 0,u, к) используются как входные данные для алгоритма поиска решений дисперсионного уравнения. Первый метод поиска заключается в наложении условий сшивки (2.17) с точным решением вне трубки (2.15) и аналогичен использованному в предыдущем разделе. Он приводит к системе уравнений на и(к), С (к) (к по прежнему фиксировано и играет роль параметра задачи): Значения частоты ш, при которых vr(R — 0,ш) = 0, или отвечают вертикальным асимптотам функции L(u ) (если drvr(R — 0, а;) 0), или являются точными решениями дисперсионного уравнения (если drvr(R — 0,CJ) = 0). Проводя исследование полученной функции L(CJ): получаем интервалы, в которых лежат решения дисперсионного уравнения.
Сами решения находятся численно с требуемой точностью, после чего исследуется пространственная структура решения. Второй метод заключается в использовании полученных значений vr(R — 0, о;, к) и drvr(R — 0, а;, к) вместе с условиями сшивки (2.17) для разложения решения вне трубки по функциям Ганкеля: где а(ы, к), /3(u;, fc) являются коэффициентами при уходящей и приходящей волнах. Решения ш(к) уравнения /3(u;, fc) = О являются решениями дисперсионного уравнения (2.22). Физическая природа полученных решений легко определяется из вида vr(r). Решения, отвечающие поверхностной волне, характеризуются отсутствием нулей vr(r) при г 0, отрицательными значениями q2(r,w) и, возможно, положительной второй производной функции vr(r). Решения, отвечающие медленным волнам, характеризуются наличием нулей
Определение частот малых колебаний тонкой трубки
Из работы [131] следует, что при скорости течения вещества вдоль трубки больше критической могут развится грубая неустойчивость и неустойчивость волн с отрицательной энергией. Пороговые скорости для возникновения этих неустойчивостей равны:
Для небольших (неустойчивых) мод колебаний та 5, j3 0.1 скорости течения вдоль трубки в процессе развития неустойчивостей не превышают пороговые по крайней мере до тех пор, пока верхняя часть трубки не всплывёт до г 6.8 1010 см и выше, поэтому данные неустойчивости не проявляют себя в конвективной зоне Солнца. В дальнейшем скорость движения становится сравнима со скоростью звука и используемая модель уже не применима по нескольким причинам — движение внешней среды перестаёт быть потенциальным, данные модели [20] плохо описывают область солнечной атмосферы и радиус трубки становится сравним со шкалой высот. Как результат можно сказать, что неустойчивость медленной волны играет определяющую роль в удержании магнитных полей в подфото-сферной области при г Є [5.9 1010см, 6.96 1010см], где нулевая мода из-гибных колебаний стабилизируется присутствием магнитного поля. Из-за наличия этой неустойчивости время удержания может быть существенно меньше времени, определяемого с использованием одномерных моделей [73, 100, 5]. Эта неустойчивость уменьшает время удержания магнитных полей под нижней границей конвективной зоны (г 5.0 1010 см) , приводит к образованию арочной структуры магнитного поля и заякори-ванию части магнитного потока под дном конвективной зоны даже если первоначально всё магнитное поле было целиком свободно расположено в конвективной зоне Солнца.
Исследование физических механизмов, ответственных за развитие неу-стойчивостей, актуально при анализе наблюдательных данных. Это касается таких явлений в активных областях на Солнце, как формирование эвершедовских течений [112], или, например, оценки характерных значений физических параметров активной области — температуры пятен, их размеров, времени жизни и т.д. [135]. Поскольку область генерации магнитных полей на Солнце располагают у дна конвективной зоны и ниже этого уровня [35], данное исследование особенностей переноса магнитных полей от основания конвективной зоны в атмосферу Солнца актуально для понимания закономерностей, лежащих в основе циклической активности Солнца. Эта глава посвящена численному моделированию прогрева солнечной атмосферы неоднородным источником акустических волн. Так как плазма солнечной атмосферы отличается по физическим свойствам от плазмы конвективной зоны, необходимо обосновать применимость используемого в дальнейшем приближения одножидкостной гидродинамики для описания течений плазмы в солнечной атмосфере. Солнечная атмосфера состоит в основном из водородно-гелиевой плазмы, химический состав которой приведён в таблице 4.1. Основным элементом является водород, примеси оказывают влияние только на процессы лучистого энергообмена [118]. мосфере.
Диапазон изменения остальных физических параметров солнечной атмосферы с ростом высоты также велик. Это отображено в таблице 4.2, где приведены характерные значения параметров плазмы атмосферы в зависимости от высоты. По физическим свойствам атмосфера Солнца делится на три области. Основанием атмосферы является фотосфера, нижней границей которой служит видимая поверхность Солнца с температурой 6600К , а верхней — зона температурного минимума, где температура падает до 4140К [102]. Выше идёт хромосфера, в которой температура возрастает до значений порядка 105К. Вся область выше хромосферы названа короной. Все эти области сильно отличаются по своим физическим характеристикам. Об щими качествами являются очень маленькая оптическая плотность среды, делающая пригодным описание лучистого переноса в рамках оптически тонкой среды (объёмные потери энергии). Фотосфера является наиболее плотной и холодной частью атмосферы, состоящей практически из неионизованной плазмы. Теплопроводность и вязкость в ней пренебрежимо малы (см. таблицу 4.2). Плазма хромосферы уже заметно горячее и коэффициент ионизации достаточен для того, что бы увеличить коэффициент теплопроводности до величины, достаточной для влияния на профиль температуры в верхней части хромосферы, где плотность плазмы очень мала. Излучение из хромосферы идёт в основном в ультрафиолетовом диапазоне, в отличие от излучения в видимом диапазоне, ф приходящего от фотосферы. Во всём диапазоне высот, представленном в таблице 4.2, длина пробега частиц Л много меньше характерного пространственного масштаба Л; кинетические времена так же микроскопически малы, поэтому применимо приближение газовой динамики.
Вязкостью в фотосфере и хромосфере можно полностью пренебречь, а теплопроводность следует учитывать только в областях с достаточно разреженной плазмой. Тот факт, что коэффициент теплопроводности не зависит от плотно сти, в то время как энергосодержание в единице объёма ей пропорцио нально, увеличивает роль теплопроводности с уменьшением плотности плазмы для любой произвольной температуры. В короне теплопровод ноть играет доминирующую роль. Используемая численная схема пред назначена для исследования подкорональной части атмосферы Солнца () из-за явного описания теплопроводности, вводящего ограничение сверху на шаг по времени.
Лучистый теплообмен и теплопроводность
Большинство опубликованных работ по данному направлению можно отнести к нескольким большим разделам: физика тонкой магнитной трубки как составного элемента более крупномасштабной магнитной структуры, теория солнечного Динамо и собственно обоснование и развитие модельного приближения тонкой магнитной трубки для изучения магнитного поля в плазме.
Физика отдельной изолированной магнитной трубки посвящена изучению базовых свойств трубки как составного элемента более сложных магнитных структур. Она включает в себя исследование дисперсионных свойств магнитной трубки [109]; перенос энергии в присутствии магнитного поля [130, 63]; исследование стационарной вертикальной магнитной трубки, её равновесния и устойчивости в атмосфере и короне Солнца [45, 121]; генерация волн в трубке окружающей средой [63, ссылки в работе], восстановление параметров магнитного поля в атмосфере Солнца по частотным характеристикам наблюдаемых волн и другие подобные задачи.
Работы, посвященные обоснованию и развитию приближения тонкой магнитной трубки включают в себя вопросы генерации магнитного поля в форме трубок [12], формулировку систем дифференциальных уравнений различной степени точности (учёт дополнительных эффектов, таких как перекрученность поля [71], неидеальность плазмы [77]; разложение в ряд параметров плазмы на оси трубки и получение систем более высокого порядка малости [52]), анализ наблюдательных данных и восстановление структуры солнечного магнитного поля решением обратных задач [50].
Теория солнечного Динамо посвящена вопросам генерации магнитного поля и природе циклической солнечной активности. К этому разделу можно отнести исследование влияния конвекции на свободную магнитную трубку (усиление слабого магнитного поля конвективными течениями и зависимость предельно достижимой напряжённости поля от параметров течения [41]; положения равновесия магнитной трубки в конвективном поле скоростей и эволюция трубки в грануляционной и супергрануляционной ячейке [77, 90]); хранение и усиление магнитного поля до потери устойчивости; перенос магнитного поля от зоны Динамо в атмосферу Солнца; устойчивость магнитного поля в зоне действия Динамо (эти работы рассмотрены более подробно ниже, где и приведены библиографические ссылки).
Проведённое разделение несколько условно и отражает, скорее, круг вопросов, решение которых необходимо для воссоздания полной картины солнечного цикла активности, переноса энергии от места генерации в атмосферу, эволюции магнитных структур в атмосфере Солнца и передачи энергии в околосолнечное пространство. В отдельных случаях были сделаны попытки перейти от описания изолированной трубки к более сложным системам — ансамблю трубок в условиях, близких к атмосферным [75], влиянию кильватерного следа всплывающей трубки на конвективную зону и всплывание последующих трубок [68] и т.д..
Первая и третья главы настоящей диссертационной работы посвящены изучению устойчивости равновесных положений магнитного поля в конвективной зоне Солнца. Поворотной точкой в этой области физики Солнца являются оценки времени удержания магнитного поля в конвективной зоне, сделанные Паркером в 1975 году [69]. Оцененное время удержания составило величину от 0.02 года до 2-х лет, заметно меньшую периода солнечной активности1. Полученный результат проверялся в схожих постановках рядом авторов [120, 121, 59], и основным выводом была невозможность удержания магнитного поля в стационарном состоянии в конвективной зоне Солнца в течение характерного времени солнечного цикла (следует отметить, что все перечисленные авторы использовали довольно сильные ограничения при получении своих оценок; оценивалось фактически не время удержания магнитного поля в конвективной зоне, а характерная скорость его подъёма). Малость времени удержания магнитного поля в конвективной зоне Солнца поставила под вопрос адекватность модели конвективного Динамо Бэбкока-Лейтона (ссылки на работы по теории распределённого Динамо можно найти в работах [69, 48]) и начинает исследоваться альтернативная модель локализованного Динамо, расположенного под конвективной зоной в узком слое проникающей конвекции [19, 42, 44]. Линейная и нелинейная устойчивость магнитного поля в зоне проникающей конвекции и конвективной зоне исследованы как с использованием приближения тонкой магнитной трубки [100, 62, 5, 4, 127, 124, 125, 126], так и численным решением системы уравнений магнитогазо-динамики [47]. Исследование устойчивости распределённого магнитного поля является более сложным, поскольку начальное распределение поля должно обосновываться отдельно. Как правило, инкремент неустойчивости и частоты колебаний в этом случае зависят и от параметров среды, и от их градиентов [86, ссылки в работе].
Использование приближения тонкой магнитной трубки позволяет ре шить эту задачу более простыми методами. В качестве начального положения трубки обычно выбирают тор, с осью, лежащей на оси звезды [4, 86, 62, 79, 40, 101, 39] и радиусом, отвечающим дну конвективной зоны или зоне проникающей конвекции. Без учёта вращения звезды дисперсионное уравнение, описывающее распространяющиеся вдоль такой трубки волны малой амплитуды, расщепляется на биквадратное уравнение, решения которого отвечают изгибной и медленной волнам [4], и на уравнение первого порядка, описывающего неустойчивость соскальзывания трубки к полюсу [86]. В отсутствие гравитации изгибная волна переходит в альфвеновскую, а медленная в варикозную моду колебаний Следует заметить, что пространство параметров трубки на самом деле является трёхмерным, где третьим параметром является начальный радиус тора. Влияние начальной геометрии трубки проявляется в изменении условия начального условия равновесия (роль начальной кривизны отмечена в [86] и исследована в [4]) и, при учёте вращения, через действие силы Кориолиса. Если пренебречь начальной кривизной трубки и перейти к плоской конвективной зоне [60], то наличие магнитного поля стабилизирует конвективную неустойчивость подъёма трубки как целого, но для волн с конечной длиной волны медленная волна всегда является неустойчивой (область неустойчивости определяется как А Ас-(/о, /эе,5,ре), для более коротковолновых возмущений сила
