Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Квазистационарная модель электрических полей и токов в атмо-сфереиионосфере Земли 19
1.1. Основные уравнения 19
1.2. Проводимость 20
1.3. Двумерная модель ионосферного проводника 23
1.4. Запись уравнений в декартовых координатах 25
Глава 2. Численный метод решения уравнения электропроводности со скалярной проводимостью 27
2.1. Введение 27
2.2. Формулировка задачи 30
2.3. Энергетический метод. 34
2.4. Вариационно - разностная схема. 35
2.5. Построение сетки. 39
2.6. Многосеточный метод. 48
2.7. Сетка с кубическими ячейками . 49
2.8. Разностная схема. 53
2.9. Дискретная модель. 56
2.10. Сходимость к точным решениям. 58
2.11. Точные решения для сферически симметричной атмосферы 59
2.12. Фактическая сходимость к точным решениям. 62
2.13. Параллельные вычисления 70
2.14. Рекомендации по организации расчета атмосферного электрического поля 74
2.15. Выводы 77
Глава 3. Проникновение электрического поля из ионосферы до поверхности Земли 79
3.1. Введение. 79
3.2. Направление распространения поля 80
3.3. Влияние наклона магнитного поля 83
3.4. Результаты моделирования 84
3.5. Сопоставление результатов моделирования и измерений 86
3.6. Влияние приземных неоднородностей проводимости 88
3.7. Выводы 91
Глава 4. Проникновение электрического поля от поверхности Земли в ионосферу 93
4.1. Предвестники сейсмической активности и их обнаружение со спутников. Обзор литературы. 93
4.1.1. Модели предсказания сейсмической активности 93
4.1.2. Известные модели проникновения квазистационарного электрического поля от поверхности Земли в ионосферу 95
4.2. Однослойная модель атмосферы 99
4.2.1. Нижнее граничное условие 102
4.2.2. Переход к ограниченной области юз
4.2.3. Верхнее граничное условие 104
4.2.4. Решение краевой задачи 105
4.2.5. Полученные результаты 107
4.3. Двухслойная модель атмосферы Ill
4.3.1. Биполярный источник Ill
4.3.2. Проводимость 113
4.3.3. Условия сшивки 114
4.3.4. Переход к ограниченной области 115
4.3.5. Решение краевой задачи 116
4.3.6. Результаты моделирования 117
4.4. Возможность использования двумерной модели ионосферного проводника 121
4.5. Анализ погрешностей моделирования атмосферного электрического поля, возникающих при использовании упрощенных моделей ионосферного проводника 129
4.6. Выводы 135
Заключение
Литература
- Двумерная модель ионосферного проводника
- Сетка с кубическими ячейками
- Сопоставление результатов моделирования и измерений
- Известные модели проникновения квазистационарного электрического поля от поверхности Земли в ионосферу
Введение к работе
Актуальность исследований.
Математическому моделированию крупномасштабных электрических полей в атмосфере Земли посвящены многочисленные работы. Наряду с анализом полей, создаваемых грозовыми облаками, интенсивно исследуются процессы, в которых атмосфера является связующим звеном между ионосферой и литосферой. Прикладная направленность моделирования этих процессов обусловлена желанием использовать космические средства для обнаружения предвестников землетрясений. Имеются экспериментальные данные об изменениях электрического поля в приземной атмосфере накануне землетрясений. Поскольку покрыть Землю достаточно плотной сетью наземных датчиков проблематично, возник вопрос, можно ли судить об этих полях на основе спутниковых измерений. Возмущения ионосферы накануне землетрясений тоже наблюдаются, и одним из простейших механизмов литосферно-ионосферной связи является проникновение электрического поля в ионосферу через атмосферный проводник. Для математического моделирования этого явления необходимо рассчитывать электрические поля в атмосфере. Интересен и обратный эффект -проникновение ионосферных электрических полей через атмосферу до земли. В частности, такие поля необходимо учитывать при объяснении наблюдаемых в приземном слое атмосферы вариаций электрического поля.
При моделировании квазистационарных процессов в проводящей среде необходимо решать различные краевые задачи для уравнения электропроводности, которое является дифференциальным уравнением второго порядка эллиптического типа. Трудности решения связаны с трехмерностью задачи, с наличием коэффициентов, изменяющихся в миллионы раз, и с тем, что размеры области в разных направлениях различаются в сотни раз. Это приводит к актуальной задаче создания эффективных вычислительных алгоритмов и комплексов программ для моделирования атмосферных электрических полей.
Целью диссертационной работы является моделирование крупномасштабных квазистационарных электрических полей, возникающих в атмосфере Земли за счет генераторов, расположенных в ионосфере и в литосфере, и в особенности, анализ возможности спутнико-
4 вых измерений электрических полей, проникающих в ионосферу через атмосферу из литосферы.
Для достижения поставленной цели выделены следующие задачи:
формулирование краевых задач для уравнения электропроводности на основе физических законов, описывающих распределение электрического поля в атмосфере,
построение многосеточного алгоритма численного решения трехмерных краевых задач для уравнения электропроводности, которое является дифференциальным уравнением второго порядка эллиптического типа,
создание научно-исследовательского комплекса программ для реализации построенного алгоритма на многопроцессорных компьютерах,
построение моделей глобальных распределений электрических полей в атмосфере Земли, обусловленных проникновением электрического поля из ионосферы при различных геомагнитных условиях,
создание математической модели электрического поля, проникающего в ионосферу из приземного слоя атмосферы.
анализ погрешностей моделирования атмосферного электрического поля, возникающих при использовании упрощенных моделей ионосферного проводника,
В качестве метода исследования используется вычислительный эксперимент, включающий в себя следующие этапы: математическая формулировка задачи, построение численного алгоритма решения, программная реализация алгоритма, проведение расчетов, анализ полученных результатов.
Положения, выносимые на защиту:
-
Создана математическая модель крупномасштабных электрических полей, возникающих в атмосфере Земли за счет генераторов, расположенных в магнитосфере, и изучено влияние приземных неод-нородностей проводимости на атмосферное электрическое поле.
-
Создана математическая модель ионосферного электрического поля, проникающего от поверхности Земли по атмосферному проводнику.
-
Реализован многосеточный вариационно-разностный алгоритм решения трехмерных краевых задач для уравнения электропроводности на блочно-структурированных сетках в виде научно-исследовательского комплекса программ для многопроцессорных компьютеров.
Данные положения соответствуют трём пунктам паспорта специальности 05.13.18 — "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"по физико-математическим наукам:
1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.
4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.
7. Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели.
Личный вклад автора.
Автором лично создан научно-исследовательский комплекс программ для выполнения параллельных вычислений, выполнены все вычислительные эксперименты, описанные в диссертации, проанализирована сходимость многосеточных итераций и сходимость решений при мельчении сетки.
Автор построил математические модели крупномасштабных электрических полей, существующих в атмосфере Земли.
Автор принимал участие в анализе статей других авторов, в написании совместных с научным руководителем статей и докладов для выступления на конференциях.
Научная новизна работы определяется тем, что:
при создании алгоритма численного для численного решения задачи использованы такие современные подходы и методы, как сведение трехмерной задачи электропроводности к минимизации функционала энергии, многосеточный метод, блочно-структурированные сетки, параллельные вычисления на многопроцессорных компьютерах, что позволило эффективно вести расчеты атмосферных электрических полей,
в модели атмосферного электрического поля ионосферный проводник включен в единую задачу электропроводности атмосферы и ионосферы, что впервые позволило проанализировать погрешности известных и созданных диссертантом упрощенных моделей проникновения электрического поля от поверхности Земли в ионосферу,
для расчета электрических полей и токов в ионосфере использованы детальные распределения компонент тензора проводимости, отражающие современные представления о пространственно-временных распределениях параметров ионосферной среды.
Достоверность полученных результатов работы подтверждена использованием общепринятых подходов к математическому моделированию квазистационарных электрических полей; проверкой и обоснованием точности использованных численных методов; сравнением полученных результатов с известными в научной литературе теоретическими и экспериментальными результатами других авторов; хорошим совпадением результатов приближенных вычислений с известными результатами для ряда тестовых задач.
Теоретическая и практическая значимость
Разработан эффективный инструмент математического моделирования, позволяющий решать глобальные задачи электропроводности атмосферы.
Предложено проводить не единый расчет, а серию расчетов в небольших подобластях, что существенно уменьшает время расчетов за счет исключения обращений к внешней памяти компьютера.
Показано, что проникающее из ионосферы крупномасштабное электрическое поле вблизи поверхности Земли можно строить как решение одномерной по высоте задачи, но, чтобы получить поля и токи в верхней атмосфере, необходимо решать трехмерную задачу.
Получены глобальные распределения вертикальной компоненты электрического поля вблизи земли, обусловленные проникновением электрического поля из ионосферы при различных геомагнитных условиях. Их можно использовать при обработке результатов измерений электрических полей в приземной атмосфере.
Проанализировано влияние неоднородностей атмосферной проводимости на приземное электрическое поле, в том числе для запыленных или содержащих радон областей малых размеров, когда одномерная модель электропроводности становится неадекватной.
Проведен анализ погрешностей моделирования атмосферного электрического поля, возникающих при использовании упрощенных моделей ионосферного проводника, позволивший объяснить противоречивые результаты различных моделей, используемых при объяснении ионосферных возмущений, рассматриваемых как предвестники землетрясений.
Показано, что проникновение квазистационарного электрического поля в ионосферу от литосферных источников по атмосферному проводнику недостаточно, чтобы было возможно его измерение существующими методами со спутников. Поэтому для объяснения имеющихся экспериментальных данных о значительных возмущениях элек-
7 трического поля накануне землетрясений, одновременно наблюдаемых и у земли, и в ионосфере, и для обоснования возможности создания спутниковых систем мониторинга предвестников землетрясений необходимо рассматривать альтернативные физические механизмы литосферно-ионосферных связей.
Представление работы
Основные результаты работы обсуждались на следующих конференциях: VII Всероссиийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Красноярск, 2006; VIII Всероссиийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, 2007; International Symposium International Heliophysical Year 2007: New insights into solar-terrestrial physics. Zvenigorod, 2007; Конференция молодых ученых КНЦ СО РАН. Красноярск, 2008; Всероссийская конференция "Математика в приложениях приуроченная к 80-летию академика С.К. Го д у н о в а . Новосибирск, 2009; 8-th International Conference on Problems of Geocosmos, St.-Petersburg, 2010; Всероссийская конференция "Солнечно-земная физика". Иркутск, 2010; Семинар-совещание "Межгеосферные взаимодействия". Москва, 2011.
В полном объеме диссертация была доложена на семинаре отдела Вычислительной математики Института вычислительного моделирования СО РАН.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 9 статей, из них 3 статьи – в журналах, рекомендуемых ВАК для защиты кандидатских диссертаций, 2 трудов конференций.
Структура и объем работы.
Двумерная модель ионосферного проводника
В верхней атмосфере и в ионосфере проводимость характеризуется гиротроп-ным тензором а, поскольку геомагнитное поле задает выделенное направле ние, являющееся осью вращения заряженных частиц. В большей части наших исследованиях предполагается вертикальность геомагнитного поля. Мы также полагаем проводимость зависящей только от высоты, что справедливо при горизонтальных размерах рассматриваемых областей порядка сотен километров, что намного меньше характерных горизонтальных масштабов, на которых существенно изменяются параметры среды в атмосфере и ионосфе ре.
Закон Ома, который связывает электрическое поле Е и плотность тока j, удобно записать, представив вектор Е в виде суммы продольной компоненты Ец, параллельной вектору магнитного поля, и нормальной компоненты E_L. Аналогичное представление используем и для
Для вычисления значений этих компонент тензора проводимости а в ионосфере выше 90 км мы используем модель, основанную на эмпирических моделях пространственно-временных распределений ионосферных параметров IRI, MSISE, IGRF, представленную в работе [55]. В этой модели проводи мость рассчитывается до высоты 2000 км, однако мы используем распреде ления только до верхней границы F-слоя на высоте z =500 км, поскольку выше лежащие слои добавляют менее 1 % к значениям интересующих нас параметров.
В большей части атмосферы Земли, ниже 60 км, тензор проводимости изотропен, так что H = 0, P = , и поэтому проводимость можно описы вать скалярным параметром , P = = . Его высотное распределение мы задаем в соответствии с эмпирической моделью [111].
В области высот от 60 до 90 км для P (z), (z) мы используем интерполяционные формулы, позволяющие гладко сшить эти модели. Поскольку проводимость Холла равна нулю ниже 60 км, в области интерполяции мы используем выражение типичное для плазмы с одним преобладающим видом носителей заряда. Параметр Холла, равный отношению H/P, в нижней ионосфере примерно ра вен отношению гирочастоты электронов к частоте столкновений электронов с нейтральными молекулами .Он принимает значения порядка 10 на высоте 90 км, и быстро убывает с уменьшением высоты. В нашей аппроксимации он обращается в нуль ниже 60 км, что соответствует изотропии тензора проводимости.
Типичные для средних широт высотные распределения компонент тензора проводимости, построенные нами на основе перечисленных выше эмпирических моделей, показаны на Рис. 1.1. Приведены дневные и ночные профили. Штриховыми линиями показаны эффективные педерсеновские проводимости, которые позволяют учесть изменение плотности тока из-за ускорения ионосферной проводящей среды под действием силы Ампера в течение часа. Детальное объяснение дано в работе [55]. Отметим только, что за длительное время среда может приобрести скорость дрейфа в скрещенных электрическом и магнитном полях, и тогда напряженность электрического поля в системе покоя среды станет нулевой, и следовательно токи проводимости тоже станут нулевыми. Традиционным является упрощенный учет этого явления, состоящий в исключении проводимости ионосферного F- слоя [31].
Высотные распределения компонент тензора проводимости, построенные нами для средних широт. Ночные – слева, дневные – справа
В конкретные моменты времени проводимость может существенно отличаться от используемых нами усредненных значений. Детальные зависимости проводимости от наличия в приземном слое воздуха радона и аэрозолей полученные в результате измерений, приведены в работе [75]. Например, де сятикратное увеличение концентрации радона приводит к росту проводимости втрое, а десятикратное увеличение концентрации аэрозольных частиц с радиусом 0.25 мкм уменьшает проводимость вчетверо. Следует отметить существование более сложных физических явлений в приземном слое атмосферы, которые не описываются в рамках используемой простейшей физической модели. По-видимому, важнейшими из них яв ляются электродный эффект, заключающийся в дисбалансе положительных и отрицательных ионов вблизи поверхности Земли [83], а также формиро вание мелкомасштабных нестационарных электрических структур в этой области [24, 49]. Мы также не рассматриваем сторонние токи, которые могут существовать за счет различия средних скоростей ионов разных знаков, обусловленного не электрическим полем, а, например, диффузией, как в модели [119].
Двумерная модель ионосферного проводника Отделим основную часть ионосферы от нижней ионосферы некоторой поверхностью и в основной части ионосферы будем использовать приближение = . Как видно на Рис. 1.1, выше 100 км на несколько порядков превосходит остальные компоненты тензора проводимости.Э то приближение не справедливо в нижней ионосфере, и минимально возможная высота этой условной границы, при которой еще не вносится заметная погрешность, выбирается с помощью тестовых расчетов.
Математический аппарат, необходимый для перехода к двумерной модели в приближении бесконечной продольной проводимости, изложен в работе [5], и более простая версия для потенциального магнитного поля – в [55]. Опишем лишь основные приемы такого перехода.
Сетка с кубическими ячейками
К вариационно-разностным схемам обычно приводит аппроксимация интегральных законов сохранения или, как в нашем случае, функционала энергии. В рамках этой теории обосновывается сходимость решений дискретных задач к решениям дифференциальных уравнений при мельчении сеток в некоторых интегральных нормах. В нашем случае это энергетическая норма, которая эквивалентна норме пространства W2 ( ), как это будет показано в разделе 2.10.
Есть иной подход, базирующийся на аппроксимации производных конечными разностями [2]. В его рамках обычно обосновывается более сильная, поточечная сходимость, которая получается как следствие аппроксимации и устойчивости.
В рассматриваемом частном случае при подстановке рядов Тейлора вида (2.59-2.61) в уравнение (2.57) все члены с нечетными степенями h и без множителя h взаимно сокращаются. После традиционного деления на /г3 получаем /Oil) = —nr, (2.63) ox1 oyz ozl hr где остаточный член содержит некоторую комбинацию четвертых производных функции V(x,y,z), вычисленных в некоторых точках куба \х\ h, \у\ /г, \z\ h. В предположении ограниченности всех четвертых произ водных эта величина порядка 1, как это записано в (2.63).
В разностных схемах обычно правая часть вычисляется просто как правая часть дифференциального уравнения в данном узле сетки, то есть —qnmi = q(x,y,z), (2.64) h6 и тогда погрешность ее аппроксимации нулевая
В построенной нами вариационно-разностной схеме (2.38) qnmi получается перераспределением qi из вспомогательных узлов по формулам (2.37). В рассматриваемом частном случае, когда ячейки сетки являются кубами, центры ячеек (точка 15 на рис. 2.5) и граней (точка 9 на рис. 2.5) определяются соображениями симметрии как центры куба и квадрата, коэффициенты интерполяции aik в (2.31) равны 1/8 и 1/4. Поэтому в силу (2.37) qi из центра ячейки поровну перераспределяется в qnmi восьми вершин ячейки, а из центра грани - поровну в четыре вершины данного квадрата. Для того, чтобы вычислить сами , в силу (2.18) надо провести интегрирование (2.28).
Для численной реализации этого интегрирования есть много подходов. Например, предварительно заменив функцию q(x, у} z) функцией, постоянной в каждом тетраэдре сетки, получаем последнее выражение (2.28). Вычисление правых частей нашей вариационно-разностной схемы является гро моздкой процедурой, если буквально следовать теории. На практике мы в некоторых случаях используем простейшее приближение (2.64). Поскольку в задачах электропроводности q(x,y,z) есть минус дивергенция сторонних токов, естественно приближенно вычислять ток между соседними ячейками сетки, например, через полуцелую грань п + 1/2, т,/, и вносить этот ток с плюсом в qn-i:mi и с минусом в qnmi. При этом точно выполняется закон сохранения заряда, проинтегрированный по всей области. В случае задачи Неймана это свойство является необходимым условием разрешимости задачи. Отметим, что в описанных в диссертации моделях сторонние токи не рассматриваются, и поэтому q(x, у, z) = 0, хотя в следующем разделе мы опишем процедуру вычисления qnmi при наличии сторонних токов.
Значения Vnmi в граничных узлах мы задаем точно нулевыми и поэто му погрешность аппроксимации в смысле теории разностных схем [2] равна нулю.
Таким образом, в частном случае, когда проводимость постоянна, q(x,y,z) = 0, и сетка составлена из одинаковых кубических ячеек, построенная вариационно-разностная схема (2.38) принимает вид 2.57) с нулевой правой частью и является разностной схемой второго порядка аппроксимации для задачи электропроводности (1.17, 2.1, 2.3).
Еще одно важное свойство получившейся разностной схемы - устойчивость, то есть оценка сверху maxV ,TO/ через maxgnm///i3, установлена нера венством (2.46). Из доказанных аппроксимации и устойчивости следует сходимость сеточных значений к точному решению в узлах сетки [2].
Отметим, что сходимость в смысле теории вариационно-разностных схем будет для общего случая обоснована в разделе 2.10. Эта сходимость не поточечная, а в энергетической норме, которая эквивалентна норме пространства W2 {&) Тем не менее, во многих тестовых расчетах, представленных в Приложении С, видна именно более сильная поточечная квадратичная сходимость, которую мы доказали лишь в простейшем частном случае.
Сопоставление результатов моделирования и измерений
На Рис. 4.2 сплошной линией показано высотное распределение верти кальной компоненты электрического поля на линии х = ат = а/л/5. Напом ним, что при х = ат вертикальная компонента напряженности приземного поля максимальна. Как и в однослойной модели этот график почти не отличается от графика функции (4.14), соответствующей не изменяющейся с высотой плотности вертикального электрического тока.
Вид Ez(x, z) как функции от х на горизонтальных прямых почти не зависит от высоты, что можно увидеть на Рис. 4.6 а. Распределение Ez(x, z) возле земли и на верхней границе атмосферы отображены в таких масштабах, что эти линии были бы идентичны, если бы равенство (4.14) выполнялось точно. Для этой цели жирная линия представляет вертикальную компоненту электрического поля у земли Ez(x, 0), умноженную на a(0)/a(zup). Максимальные значения равны 100 В/м и 50 мкВ/м, соответственно.
На Рис. 4.2 приведены для сравнения графики распределения проводимо сти (тонкие линии) и Ez (жирные линии) в атмосфере. Как отмечалось ранее, пунктиром показана проводимость, использованная в однослойной модели (4.1), сплошной линией - проводимость (4.18, 4.19). Аналогично представлены распределения вертикальной компоненты электрического поля. Как видно по рисунку, вертикальная компонента электрического поля примерно обратно пропорциональна проводимости в обоих моделях.
Рисунки 4.2 и 4.6 а показывают, что вертикальная компонента плотности тока почти не изменяется с высотой. Область \х\ а не нулевого jz на земле несколько растягивается по горизонтали в ионосфере. В полученном решении выходящие c поверхности Земли токи почти вертикально текут сквозь атмосферу в ионосферу, и полный ток на ширине Ау = 1м почти не зависит от z. Здесь мы рассматриваем 2а как достаточно большой параметр, чтобы включить всю область токов, но малый по сравнению с 6, чтобы исключить влияние добавочных периодических источников тока на земле. Берем одну половину области, -2а х 0, чтобы ток был одного знака. Этот ток может быть рассчитан с использованием закона Ома, значе ния проводимости о"о у Земли и Ez(x,0) (4.17): при выбранных в разделах 4.3.1., 4.3.2. значениях параметров Е0 = 100 В/м, а = 200 км и о"о = 9 10 15 См/м. Этот ток Jz идет от земли через атмосферу в ионосферу. Далее по ионосфере он течет в область х 0 и там через атмосферу возвращается к земле. В силу (1.14) этот ток в ионосфере обеспечивается полем мкВ/м для ночного значения P = 0.1. Другие значения P только уменьшают Ex.
Как видно по Рис. 4.2, приземной слой атмосферы, учтенный в двуслойной модели проводимости атмосферы, оказывает большое влияние на проникновение электрического поля от земли. Так, c подъемом на 3 км от поверхности Земли поле Ez уменьшается практически на два порядка. Поэтому ионосферное поле Ex в двуслойной модели атмосферной проводимости получилось на порядок меньше, чем в однослойной модели, рассмотренной в предыдущем параграфе. Следует отметить, что зная результат двуслойной модели, в од нослойной модели можно было бы подобрать параметры так, чтобы Ex было того же масштаба, однако это было бы превышением точности,п озволяемой столь грубой аппроксимацией.
Описанные простые свойства пространственного распределения электрического поля в значительной мере определяются большим горизонтальным масштабом a h2. Если область генератора электрического поля около ана лизируемого землетрясения становится меньше, тогда ионосферные электрические поля в нашей модели пропорционально уменьшаются согласно оценкам (4.28, 4.29). Как показано в работе [48], в аналогичной модели при a = 100 км около трети тока, выходящего из земли, не достигает ионосферы и замыкается в атмосфере. Это означает, что при меньших горизонтальных масштабах электрическое поле в ионосфере будет еще меньше, чем дает оценка (4.29).
Максимальное возмущение вертикального электрического поля накануне сильных землетрясений может достигать 1000 В/м [123] и десятки В/м накануне слабых [84]. В среднем значения возмущения равны 100-300 В/м [41]. Поэтому мы выбрали E0 = 100 В/м в качестве характерного значения. При экстремальном значении E0 = 1000 В/м в силу линейности модели получается в десять раз большие поля в ионосфере, однако и они малы по сравнению с обычно существующими полями другого происхождения .
Поэтому 10 мкВ/м, соответствующее E = 1000 В/м и = 0.1 См, мо 121 жет считаться верхним пределом возможного проникновения электрического поля в ионосферу. Электрическое поле такой величины существующими средствами не может наблюдаться в ионосфере, так как там практически всегда присутствуют поля более 1 мВ/м.
Возможность использования двумерной модели ионосферного проводника В рассмотренных выше моделях атмосферного электрического поля использовалась двумерная модель ионосферного проводника, точнее говоря, одно мерная, поскольку одно направление, y, полностью исключено из этих моде лей. Чтобы обосновать корректность такого упрощения, построим здесь более общую модель, с детальным рассмотрением полей и токов в ионосферном проводнике. Такая модель также позволит нам проанализировать в следующем параграфе погрешности других известных моделей.
Ограничимся рассмотрением конечного по высоте слоя ионосферы z z. Например, область выше z = 500 км вносит вклад менее 1% в суще ственные для рассматриваемой задачи интегральные параметры проводимости. На высоте z может быть задана вертикальная компонента плотности тока, что с учетом закона Ома (1.7) может быть записано в виде условия (4.10) с заданной правой частью
Известные модели проникновения квазистационарного электрического поля от поверхности Земли в ионосферу
Исследуемая область задается следующими основными параметрами: kparm, krectm, ksegm и kpointm — количество шестигранников, четы рехугольников, сегментов и точек соответственно. Причем количество точек не превышает суммарного количества вершин шестигранников, так как точка может принадлежать не одному шестиграннику. Например у одного шестигранника: 6 граней, 12 сегментов и 8 вершин. А в области, состоящей из 2-х шестигранников с одной общей гранью: 11 четырехугольников, 20 сегментов и 12 вершин .
В массивах npar, nrect, nseg и npoint хранится описание всех элементов области, включающее в себя номера под-элементов: например, описание сег мента включает номера2- х под-элементов – точек, являющихся началом и концом этого сегмента. Часть значений в эти массивы записывает пользователь, а остальные насчитываются автоматически.
В дополнительных массивах npointseg и nsegrect описывается обратные зависимости, например, вершинами скольких и каких сегментов является данная точка.
Внутри программы есть и другие массивы, например, ntoprectrect и nedgepar. Они используются для задания соответствия номеров вершин или сторон четырехугольников номерам вершин и ребер той грани шестигранника, которой соответствует этот четырехугольник. Например, вершина 3 четы -рехугольника, соответствующего грани 2 шестигранника, соответствует вершине 7 этого же шестигранника, если грань и четырехугольник прилегают по типу 1. Все дополнительные массивы насчитываются в программе. Они используются в том числе и для определения ошибок при задании элементов области. B.5. Нумерация узлов сетки Строящаяся в каждом шестиграннике сетка, характеризуется следующими параметрами: nm, mm, lm – означающими количество узлов сетки на трех ребрах, выходящих из одной вершины, имеющей номер 4 на рис. B.4.
Удобно определить аналогичные общие параметры сразу для всех шестигранников, имея в виду, что через них вычисляются параметры отдельного шестигранника.
При использовании многосеточного метода количество используемых сеток задается параметром ksm. Первая сетка, самая подробная ,каждая сле дующая имеет вдвое меньше ячеек по каждому направлению. Чтобы это было возможно, необходимо, чтобы параметры основной самой мелкой сетки: nm, mm, lm – были равны или кратны числу :2ksm + 1 (например: 3 2ksm + 1).
Процедуры построения сетки эту специфику nm, mm, lm не используют. Существенно только совпадение таких параметров на общих граничных объектах. B.6. Сеточные функции
Сеточной функцией называется функция, значения которой определены во всех узлах сетки. Она может задаваться заранее, как например, x-координаты узлов, или быть неизвестной, как например, узловые значе 177 ния потенциала. В обоих случаях имеется в виду совокупность значений в узлах сетки.
Каждая сеточная функция хранится в отдельном одномерном массиве со специальной структурой, показанной на рис. B.6.
Сначала хранится сеточная функция, определенная на первой, самой мел кой сетке. Значения на каждом элементе области хранятся цельно и последовательно, а именно: сначала записаны значения во всех узлах первого шестигранника, затем второго, и т.д., после kparm-шестигранника находятся дан ные первого четырехугольника, затем второго и т.д. Некоторая информация дублируется. Например, значения в узлах четырехугольника совпадают со значениями на грани соответствующего шестигранника, или2 -х шестигранников, если четырехугольник лежит внутри области.
Поскольку каждый элемент области содержит определенное число узлов сетки, то создаются массивы индекса (быстрого поиска): numpar, numrect, numseg и numpoint. Эти массивы содержат информацию о смещении каж дого элемента области относительно начала массива и информацию о количестве узлов сетки в элементе: например, nm, mm, lm и istartд ля шестигранника.
1. Разделить область на шестигранники таким образом, чтобы каждое ребро и грань были ненулевой длинны и площади соответственно. При разбиении области также необходимо учитывать, что тип границы задается для целой грани. Вычислить количество полученных шестигранников, четырехугольников, сегментов и точек, сохранить их в переменных kparm, krectm, ksegm и kpointm соответственно.
2. Для каждого шестигранника заполнить в массиве npar соответствие его граней четырехугольникам в общей нумерации и тип их прилегания.
3. Для каждого четырехугольника заполнить в массиве nrect поля о типе границы для всего этого четырехугольника и поля нумерации ребер: какие сегменты в общей нумерации соответствуют ребрам этого четы рехугольника, и совпадают ли их направления.
4. Для каждого сегмента заполнить в массиве nseg тип границы этого сегмента и соответствие его вершин точкам в общей нумерации.
5. Для каждой точки заполнить тип границы в массиве npoint.
6. Вызвать процедуру controln для проверки введенных данных и заполнения всех остальных полей массивов npar, nrect, nseg, npoint и данных о соответствии элементов сетки их подэлементам.
7. Задать количество ячеек сетки в каждом направлении nm, mm и lm у каждого шестигранника. Так как шестигранники соприкасаются друг с другом, то необходимо задавать одинаковое количество и расположение ячеек на соприкасающихся гранях. Также нужно вычислить количество узлов в каждом шестиграннике. Заполнить полученными данными массив numpar.
