Введение к работе
Актуальность темы. Процессы, происходящие в недрах звезд, планет и спутников, на сегодняшний день являются плохо изученными как теоретически, так практически, и численно.
При теоретическом исследовании основные трудности связаны с высокой математической сложностью моделей. Космические размеры и огромные градиенты физических параметров приводят к появлению достаточно тонких в космических масштабах структур, поведение и взаимодействие которых полностью определяют характер протекающих процессов. К сожалению, на сегодняшний день теоретически удалось разрешить достаточно узкий круг задач при существенных физических допущениях при их постановке.
С практической точки зрения остаются неизвестными состав и свойства веществ исследуемых систем. Взять непосредственно образцы с помощью современных технических средств не представляется возможным. В тоже время нельзя и экспериментально смоделировать те физические условия, которые имеют место в глубинных недрах. Имеющиеся на сегодняшний день оценки получены экстраполяцией экспериментальных данных для «чистых» веществ, а также по косвенным наблюдениям происходящих явлений (распространение сейсмических волн, прецессия и др.). При этом используются различные математические модели, которые чаще всего опираются на недостоверно известные сведения, и как следствие, результаты различных авторов сильно отличаются друг от друга.
Развитие численных методов, а также мощности вычислительных систем позволяют надеяться на то, что в ближайшем будущем удастся детально смоделировать происходящие в недрах планет процессы. Однако, применяемые в данной области физики методы математического моделирования очень требовательны к ресурсам вычислительных систем, и, даже с учетом роста производительности последних, эти подходы в ближайшее обозримое будущее не позволят смоделировать процессы при параметрах близких к реальным физическим параметрам веществ.
Достаточно большое количество коммерческих программных комплексов предназначенных для математического моделирования задач гидравлики, газовой динамики, прочности, теплопереноса еще до сих пор не способны решать многие специализированные исследовательские задачи. В связи с этим для их решения существует необходимость в разработке собственных программных кодов. К сожалению, набор программного инструментария для относительно быстрого создания собственных программных кодов весьма ограничен и часто требует от исследователя практически профессиональных навыков программирования, что сильно ограничивает круг людей, которые могли бы решать такие задачи.
В связи с этим работа, посвященная развитию методов математического моделирования в геофизике, на основе подходов, хорошо зарекомендовавших себя в других отраслях науки и техники, и созданию простого в использовании и интуитивно понятного программного инструментария для ре-
шения задач математического моделирования, несомненно, является актуальной.
В работе рассматриваются два связанных между собой явления, рассмотренных на примере нашей планеты, - эффективный перенос тепла от границы жидкое ядро-мантия к поверхности Земли и гидродинамическое течение, возникающее в жидком ядре при слегка дифференциальном вращении мантии и твердого внутреннего ядра.
Цели и задачи исследования. Цель работы состоит в создании математических моделей, методов и алгоритмов решения более эффективных, чем традиционно используемые в геофизике для математического моделирования процессов теплопереноса в мантии и гидродинамического течения в ядре Земли, а также создании программных средств для их реализации.
В соответствии с поставленной целью определены следующие задачи исследования:
Разработать простой метод определения теплового состояния планет, имеющих слоистую структуру, и построить самосогласованную тепловую модель мантии Земли, опираясь только на достаточно уверенно определяемые величины.
Рассмотреть простейшую модель течения в жидком ядре Земли и получить ее численное решение методом, использующим адаптацию расчетной сетки к возникающим тонким гидродинамическим пограничным и сдвиговым слоям.
Разработать библиотеку программных кодов для реализации методов и алгоритмов вычислительной математики и визуализации результатов численных расчетов.
Методы исследования. Для решения поставленных в диссертации задач использовались методы математического моделирования, дифференциальной геометрии, теория гармонических отображений, теория подобия и размерностей, методы вычислительной математики и объектно-ориентированного программирования.
Основные результаты работы. На защиту выносятся следующие результаты, отличающиеся научной новизной:
Самосогласованная тепловая модель мантии Земли, опирающаяся только на достоверно известные данные, и ее метод построения для космических объектов слоистой структуры, основанный на разложении решения уравнения теплопереноса в ряд Тейлора по временной переменной.
Математическая модель течения в жидком ядре Земли, использующая метод контрольных объемов с адаптацией расчетной сетки под градиент компонент вектора скорости.
Программная библиотека методов и алгоритмов вычислительной математики и программный комплекс трехмерной визуализации и обработки численных результатов расчетов.
Научная новизна.
1. Впервые построена простая самосогласованная тепловая модель мантии Земли, опирающаяся только на достоверно известные данные - вели-
чину теплового потока с поверхности и значения температуры в реперных точках, соответствующих фазовым переходам веществ. Рассмотрена зависимость теплового состояния мантии Земли от некоторых неуверенно определяемых величин, таких как эффективная теплопроводность внешней оболочки (земная кора и океаны), температуры на границе ядро-мантия. Построенная модель позволяет независимо оценить среднее содержание радиоактивных источников в земной коре. Пользуясь полученными результатами можно легко оценить распределения температуры и теплового потока в недрах Земли, а также их эволюцию в зависимости от уточняемых величин (температура на границе ядро-мантия, количество радиоактивных источников и т.п.). Разработанный метод построения тепловой модели планеты является оригинальным (независимым от других) методом определения температуры и теплового потока и может быть использован как один из критериев для проверки корректности других методов.
Построена численная модель осесимметричного течения в жидком ядре, основанной на конечно-разностной дискретизации с использованием подвижной адаптивной расчетной сетки, и на персональном компьютере получены решения системы уравнений Навье-Стокса с характерным числом Экмана вплоть до значений 10~8 (такие же результаты были достигнуты другими авторами с использованием длительного счета на суперкомпьютерах). Показано, что применение данного подхода для моделирования более сложного течения в недрах Земли и других космических объектах с учетом магнитного поля предпочтительнее, чем методов, использующих разложение решения по сферическим гармоникам.
Для достижения полученных результатов на языке программирования C++ разработана кроссплатформенная библиотека программных кодов, позволяющая:
единообразно работать с расчетными сетками, имеющими различную структуру, а также сопоставлять им данные любого типа, которые могут быть связаны с любой структурной единицей (узлы, ребра, грани, ячейки и т.п.) расчетной сетки;
единообразно работать с векторами и матрицами различного вида (полноразмерными, разреженными, ленточными и т.п.), с полным сохранением их привычной математической интерпретации и семантики языка программирования C++;
- осуществлять визуализацию расчетных данных с использованием
кроссплатформенной библиотеки трехмерной графики OpenGL.
Практическая значимость. Численные результаты, полученные в ходе работы, показали эффективность разработанных моделей по сравнению с имеющимися подходами в геофизике.
Разработанная простая и самосогласованная тепловая модель мантии может быть применена для определения теплового состояния других космических объектов, состоящих из сферических оболочек.
Моделирование течения в жидком ядре Земли с использованием подвижных адаптивных расчетных сеток уже сегодня позволяет получить досто-
верные результаты для параметров близких к реальным параметрам в ее недрах, при этом требуют несравнимо меньших затрат вычислительных ресурсов.
Разработанная программная библиотека внедрена в промышленную эксплуатацию и нашла свое применение при решении наукоемких задач в ряде программных комплексов, успешно используемых в промышленных, научных и учебных целях.
Полученные в численных экспериментах результаты углубляют понимание происходящих в недрах планет процессов, и механизмы формирования и взаимодействия тончайших гидродинамических структур.
Достоверность полученных результатов подтверждается их соответствием общепринятым представлениям, сравнением их с другими подобными работами, проверкой программной реализации на ряде тестовых задач, а так же с теоретическими результатами, имеющими место в асимптотическом пределе, для задачи о течении между двумя слегка дифференциально вращающимися коаксиальными сферами.
Внедрение научных результатов. Полученные в диссертационной работе результаты, используются в программных комплексах «TurbBlade2D», «TurbBlade2.5D» для построение расчетных сеток, которые применяются на ОАО «НПО «Сатурн» в процессе проектирования лопаток турбомашин, в программных средствах для решения сопряженных задач, а также в программном комплексе трехмерной визуализации и обработки результатов численных расчетов «VisuaBDpro», применяемом на ОАО «НПО «Сатурн» и кафедре общей и технической физике Рыбинской государственной авиационной технологической академии имени П.А. Соловьева, что подтверждается соответствующими актами внедрения.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научно-технической конференции «Аэрокосмические технологии и образование на рубеже веков» (РГАТА, г.Рыбинск, 2002), на семинаре отдела «Постоянного магнитного поля Земли» (г.Троицк, ИЗМИР АН, 2002), на международной ассамблее EGU-EGS-EEE (г.Ницца, 2003), международной конференции «PROBLEMS OF GEOCOSMOS» (СпГУ, г.Санкт-Петербург, 2004, 2006), на международном семинаре «Построение расчетных сеток: теория и приложения» (ВЦ им. А.А. Дородницина РАН, г. Москва, 2002), на всероссийской конференции «Прикладная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления» (ВЦ им. А.А. Дородницина РАН, г. Москва, 2004), на Всероссийской конференции «Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления» (ВЦ им. А.А. Дородницина РАН, г. Москва, 2006) на 8-ом симпозиуме SEDI (Калифорния, США, 2002), на международных конференциях «Палеомагнетизм и магнетизм горных пород» (геофизическая обсерватория «Борок», 2001 - 2003), на международной конференции «Супервычисления» (г.Саров, ВНИИЭФ, 2004), на семинарах профессора Д.Д. Соколова (г.Москва, ВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова, 2003 - 2004), на объединенном семинаре кафед-
ры прикладной математики и Средневолжского математического общества под руководством Е.В. Воскресенского (г. Саранск, 2007).
По материалам работы в 2002 году автор получил диплом лауреата областного конкурса на лучшую научно-исследовательскую работу. Работа выполнялась в рамках ряда проектов: грант Министерства высшего образования АОЗ-2.13-375, грант РФФИ 02-05-64888, грантов ИНТАС 99-0348 и 03-51-5807.
Публикации. Основные материалы диссертационной работы достаточно полно опубликованы в доступных литературных источниках. По результатам проведенных исследований опубликовано 9 работ, в том числе одна статья в издании, рекомендованном ВАК, и одна программа, имеющая свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ, которая приравнивается к публикациям в журналах, рекомендованных ВАК.
Объем и структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложений. Объем диссертации составляет 159 страниц машинописного текста и 5 приложений, список использованных источников содержит 106 наименований.
