Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ литературы по теме диссертации 14
1.1. Экспериментальные данные параметров плазменных пылевых структур и параметров плазмы 14
1.2. Аналитические модели описания пылевой плазмы 19
1.3. Обзор работ по математическому моделированию пылевой плазмы 23
1.4. Работы по математическому обоснованию метода крупных частиц и его применению к пылевой плазме 25
1.5. Основные силы, действующие на пылевую частицу и установление межчастичного расстояния 28
1.6. Выводы по литературному обзору и постановка задач 31
Глава 2. Одномерное моделирование процессов в сферической ячейке Зейтца-Вигнера методом молекулярной динамики 33
2.1. Исходные предпосылки 33
2.2. Структура алгоритма моделирования 35
2.3. Приведение к безразмерным параметрам 39
2.4. Определение зарядов ионов и их распределение в начальном состоянии 43
2.5. Моделирование максвелловского распределения ионов по скоростям и разыгрывание длины пробега ионов 46
2.6. Решение уравнение Пуассона для потенциала 49
2.7. Взвешивание и раздача заряда и полей 54
2.8. Моделирование движения зарядов с учетом ухода на пылевую частицу и рождение новых зарядов вследствие ионизации 58
2.9. Выводы 62
Глава 3. Результаты одномерного моделирования и их анализ 63
3.1. Исходные параметры моделирования 63
3.2. Итоговые значения расчетных параметров 64
3.3. Анализ результатов. Сравнение с другими работами 74
3.4. Аналитические аппроксимации 79
3.5. Критерий установления межчастичного расстояния 81
3.6. Выводы 83
Глава 4. Математическая модель зарядки пылевой частицы для нитевидных плазменных кристаллов, двумерный случай в цилиндрической системе координат 85
4.1. Постановка задачи 85
4.2. Исходные уравнения и интегральные параметры процесса 87
4.3. Взвешивание и раздача заряда и полей в цилиндрических координатах. Анализ погрешности типов взвешивания при различных радиальных изменениях концентраций (цилиндрический случай) 90
4.4. Максвелловское распределение. Цилиндрические координаты 95
4.5. Решение двумерного уравнения Пуассона 97
4.6. Результаты моделирования и выводы 101
Заключение
- Аналитические модели описания пылевой плазмы
- Приведение к безразмерным параметрам
- Итоговые значения расчетных параметров
- Взвешивание и раздача заряда и полей в цилиндрических координатах. Анализ погрешности типов взвешивания при различных радиальных изменениях концентраций (цилиндрический случай)
Введение к работе
Актуальность работы: Исследования поведения частиц нано- и микроразмеров в плазме и их влияния на свойства плазмы активно проводятся с середины 90-х годов, когда был экспериментально открыт «пылевой кристалл» - упорядоченная кристаллическая структура пылевых частиц в плазме (рис. 1). Важность этих исследований обусловлена необходимостью понять закономерности образования плазменных кристаллов, а также тем, что плазменные кристаллические образования имеют ряд интересных свойств и эффектов, перспективных для практического применения.
Рис. 1. Изображение горизонтальной плоскости гексагональной структуры
плазменно-пылееого кристалла, полученное в одном из первых экспериментов
[81]. Диаметр пылинок 7 мкм.
Пылевые плазменные образования широко распространены в космосе: в планетных кольцах, хвостах планет, е межпланетных и межзвездных облаках, вблизи искусственных спутников земли и космических аппаратов. Пылевая плазма образуется в термоядерных установках с магнитным удержанием, и создание возможности ее кристаллизации в диверторах с последующей откачкой может существенно улучшить работу этих установок. Наибольшие перспективы имеет создание пылевых кристаллов с заданными свойствами в плазменных нанотехнологиях микроэлектроники. Так при плазменном травлении и осаждении элементов микроэлектроники происходит образование неупорядоченных структур
частиц микронных и субмикронных размеров, выпадение которых приводит к дефектам полученных устройств. С другой стороны, при контролируемом и управляемом процессе создания пылевых структур можно получать наноматериалы с новыми свойствами, в том числе пористые и композитные [64]. Возникают интересные задачи в микробиологии, медицине, экологии. Список возможного применения пылевой плазмы непрерывно расширяется.
Плазменные кристаллы подобны пространственным структурам в жидкости или твердом теле. Здесь могут происходить фазовые переходы типа плавления и испарения. Экспериментальные исследования ведутся во многих лабораториях мира, в том числе в условиях микрогравитации на международной космической станции. Если частицы пылевой плазмы достаточно велики, то плазменный кристалл можно наблюдать невооруженным глазом. Уникальные свойства плазменных кристаллов (простота получения, наблюдения и контроля за параметрами, а также малые времена релаксации к равновесию и отклика на внешние возмущения) делают их прекрасным объектом при исследовании как свойств сильно неидеальной плазмы, так и фундаментальных свойств кристаллов.
Наиболее значимым процессом в образовании кристаллической структуры является процесс зарядки пылевой частицы в плазме и установление распределения потенциала вокруг нее. Эти процессы являются фундаментальными для образования внутренней структуры и установления межчастичного расстояния. Несмотря на целый ряд теоретических работ, посвященных общим свойствам пылевой плазмы и коллективным явлениям в ней (пылевой звук, волны, возмущения различного типа), закономерности создания самой структуры и установления межчастичного расстояния не выяснены. Наличие в пылевой плазме большого числа взаимовлияющих и конкурирующих процессов делает ее трудной для аналитического изучения. Поэтому большую роль в изучении пылевой плазмы играет математическое моделирование и численные эксперименты. Таких работ весьма мало, они проведены для отдельных, конкретных размеров частиц, параметров плазмы и заданного межчастичного расстояния и не позволяют
установить закономерности создания пылевой структуры. Кроме того, в большинстве работ не учитывается образование ионов в межчастичной области, а ионный поток задается извне.
Таким образом, построение более адекватных математических моделей для процессов, происходящих вблизи пылевой частицы и проведение численного эксперимента для большого числа комбинаций параметров частиц и плазмы для выявления закономерностей структурного упорядочения пылевых частиц и установления межчастичного расстояния является актуальным.
Цель работы заключается в разработке математических моделей процессов, происходящих в плазме в присутствии пылевой частицы, в проведении численного эксперимента для большого числа параметров частиц и плазмы с целью выявления закономерностей заряда пылевых частиц и установления межчастичного расстояния.
Научная новизна работы состоит в том, что впервые:
Разработаны математические модели процессов, протекающих в плазме в присутствии пылевой частицы, учитывающие в комплексе: уход заряженных частиц плазмы на пылевую частицу в самосогласованном электрическом поле, их рождение за счет ионизации в окрестности частицы со случайными положениями и скоростями, соответствующими максвелловскому распределению с температурой атомов, столкновение их с атомами газа со случайной длиной пробега, соответствующей Пуассоновскому распределению, обмен частиц между ячейками соседних пылевых частиц в сферической одномерной и цилиндрической двумерной геометрии, соответствующим объемным и линейным структурам.
Разработаны алгоритмы этапов моделирования вышеописанных процессов, обеспечивающие высокую точность и устойчивость, а также уменьшение времени счета.
3. Проведен численный эксперимент для большого набора безразмерных, относительных параметров: размеров пылевых частиц, межчастичного расстояния, средней длины пробега и температуры ионов. В зависимостях заряда и потенциала пылевой частицы от межчастичного расстояния найдены максимумы, положение которых соответствует практически устанавливающемуся межчастичному расстоянию. Для распределения потенциала получены аппроксимирующие аналитические выражения.
Практическая значимость работы
Созданы эффективные алгоритмы расчета параметров объемной и линейной пылевых структур в плазме.
Получена важная информация о состоянии пылевой структуры в плазме при различных условиях, способствующая развитию представлений о механизмах формирования плазменных кристаллов.
Полученный критерий установления межчастичного расстояния позволяет определить условия образования пылевой структуры в плазме и ее параметры.
Внедрение в учебный процесс
Основные положения, выносимые на защиту:
Одномерная и двумерная математические модели расчета параметров объемных и линейных пылевых структур в плазме.
Алгоритмы хаотического старта, перебора зарядов и взвешивания при раздаче зарядов и полей, разыгрывания длины пробега ионов, учета ионизации, схемы интегрирования уравнения движения ионов и уравнения Пуассона для потенциала, перенормирование зарядов на каждом временном шаге.
Полученные зависимости заряда, потенциала и потенциальной энергии пылевой частицы от межчастичного расстояния и критерий его установления.
Аналитические аппроксимации распределения потенциала по радиусу,
заряда и потенциальной энергии пылевой частицы.
Апробация работы: Основные результаты диссертационной работы были доложены на:
Заочной электронной конференции «Фундаментальные исследования»,
проводимой Российской академией естествознания (РАЕ), 20-25 февраля
2005 г.
VI международной научно-технической конференции «Компьютерное моделирование 2005» 28 июня - 2 июля 2005 г., Санкт-Петербург, Россия.
Второй международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» 7-9 февраля 2006 г., Санкт-Петербург, Россия.
IV конференции «Фундаментальные и прикладные исследования. Образование, экономика и право», Римини, Италия, 9-16 сентября 2006 г.
VII заочной конференции «Успехи современного естествознания», проводимой Российской академией естествознания (РАЕ), 5-7 сентября 2006 г.
Заочной электронной конференции «Математическое моделирование», проводимой Российской академией естествознания (РАЕ), 15-20 сентября
2006 г.
Всероссийской (с международным участием) конференции «Физика
низкотемпературной плазмы-2007» 24-28 июня 2007 г., Петрозаводск,
Россия.
и опубликованы в виде статей и материалов конференций:
1. Сысун А.В., Шелестов А.С. Моделирование процессов зарядки наночастиц в плазме и установления межчастичного расстояния // «Математическое моделирование» 2008, т. 20, №8. С. 41-47.
Сысун А.В., Сысун В.И., Хахаев А.Д., Шелестов А.С. Зависимость потенциала и заряда пылевой частицы от межчастичного расстояния и его установление в плазме низкого давления // «Физика плазмы» 2008, т. 34, №6. С. 548-555.
Сысун А.В. Моделирование потенциала пылевой частицы в плазме методом молекулярной динамики // «Фундаментальные исследования», М.: Академия естествознания, 2005, №3. С. 33-34.
Сысун А.В. Устойчивые схемы моделирования решения уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиями для потенциала и его градиента // Материалы VI Международной научно-технической конференции «Компьютерное моделирование 2005», Санкт-Петербург, 2005. С. 187-188.
Сысун А.В., Шелестов А.С. Двумерная модель заряда пылевой частицы в плазме низкого давления // «Высокие технологии, фундаментальные и прикладные исследования, образование», Санкт-Петербург, 2006, т. 5. С. 310-313.
Сысун А.В., Шелестов А.С. Критерий установления межчастичного расстояния в пылевой плазме // «Современные наукоёмкие технологии», М.: Академия естествознания, 2006, №8. С. 80-83.
Сысун А.В., Тихомиров А.А., Олещук О.В. Переходные слои между плазмой и анодом // Успехи современного естествознания, М.: Академия естествознания, 2006, №11. С. 31.
Сысун А.В., Шелестов А.С. Моделирование процесса зарядки пылевой частицы в плазме низкого давления методом молекулярной динамики // «Фундаментальные исследования», М.: Академия естествознания, 2006, №12. С. 74-77.
Sysun A.V., Shelestov AS. Criterion of intergrain distance establishing in dusty plasma // «European Journal of Natural History», 2006, №5. Pp. 86-88.
Сысун A.B., Сысун В.И., Шелестов А.С, Хахаев А.Д. Установление межчастичного расстояния в пылевой плазме низкого давления // Материалы Всероссийской (с международным участием) конференции
«Физика низкотемпературной плазмы», Петрозаводск, изд-во ПетрГУ 2007, т.2. С. 244-248.
И.Сысун А.В., Шелестов А.С. Зависимость потенциала и заряда пылевой частицы от межчастичного расстояния в плазме низкого давления // Материалы Всероссийской (с международным участием) конференции «Физика низкотемпературной плазмы», Петрозаводск, изд-во ПетрГУ 2007, т.2. С. 248-252.
ll.Sysun A.V., Sysun V.I., Khakhaev A.D., Shelestov A.S. Charge and Potential of a Dust Grain Versus the Intergrain Distance and Establishment of the Latter in a Low-Pressure Plasma // Plasma Physics Reports 2008, vol. 34, №6. Pp. 501-507.
Аналитические модели описания пылевой плазмы
В работах [12,18,19] сформулированы общие принципы математического моделирования пылевой плазмы в целом, включая движение ионов, электронов и самих пылевых частиц, времена релаксации которых отличаются на несколько порядков величины. Предлагается разделение временных и пространственных масштабов для каждой составляющей пылевой плазмы. Однако эта задача весьма сложна, требует огромного машинного времени и пока не решена. Кроме того, такая модель дает установившееся состояние какого-то частного случая, но не определяет причин его установления и полезна для проверки других более простых, но целенаправленных моделей. Работ по конкретным расчетам пылевой плазмы мало и, кроме того, они имеют существенные недостатки. Это чаще всего не учет ионизационных образований ионов в межчастичной области, не учет межчастичного расстояния, нет перевода расчетных параметров для общности в безразмерный вид. Расчет обычно ведется для отдельных конкретных параметров плазмы и частиц с заданным межчастичным расстоянием, что не позволяет установить закономерности построений пылевой структуры и наиболее важный из критериев - критерий установления межчастичного расстояния. Так в работе [61] PIC-MC моделированием в ячейке, которая принималась цилиндрической с диаметром и длиной равным межчастичному расстоянию, определялся потенциал и заряд пылевой частицы в аргоне с давлением 0,1 Торр. При заданном радиусе частицы а межчастичное расстояние h было фиксированным и не варьировалось. При о=0,3 мкм принималось /?=20 мкм, при о=5 мкм - /7=200 мкм, при о=50 мкм -/7=1000 мкм. И, хотя изменялась концентрация плазмы и, соответственно, дебаевская длина, фиксация межчастичного расстояния не позволила обнаружить его влияние на заряд и потенциал частицы и, тем более, определить критерий его установления.
В работе [16] методом молекулярной динамики определялся заряд и потенциал пылевой частицы в плазме неона {Те = 2,5 эВ и 5 эВ, Ть = 0,025 эВ, пе = 2 108 см 3, р=270 Па). Радиус пылевой частицы варьировался в диапазоне о=1- -20 мкм. Радиус расчетной сферической ячейки был фиксирован и выбирался достаточно большим, чтобы тепловой хаотический поток ионов извне на ячейку существенно превышал уход ионов на пылевую частицу. Ионизация в объеме ячейки не учитывалась, поэтому такое приближение более подходит для одиночной пылевой частицы в плазме.
В работе [8] также методом молекулярной динамики определялся потенциал и заряд пылевой частицы, а также ионный ток на частицу в плазме аргона {Те = 0,5 эВ и 1 эВ, Tt = 0,026 эВ, пе = 7,5 108 см"3, р=0,5, 1, 3, 10 Торр). Радиус пылевой частицы принимался о=0,3 и 1,3 мкм. Радиус расчетной ячейки также фиксировался. На границе ячейки принималось нулевое значение потенциала и его градиента и отражение ионов с теми же скоростями. Поглощенные пылевой частицей ионы возвращались в ячейку случайным распределением по объему со случайными скоростями, что сохраняло полный нулевой заряд ячейки. Общее число ионов в ячейке - 75000.
Максимум ионного тока соответствовал отношению длины пробега ионов к радиусу частицы Ліп/а = 20 — 40. Предложена эмпирическая формула для ионного тока: При низких давлениях (Яіп » 1) она переходит в формулу теории ограниченных орбит, применение которой, как указывалось выше, является весьма ограниченным. В работе [52] проводилось двумерное по пространству (цилиндрическая счетная ячейка 50 X 80) моделирование заряда и потенциала пылевой частицы при TL = Те. Как и в работе [8] радиус счетной ячейки фиксировался (г0 = 8а), ионизация в объеме ячейки и столкновения ионов не учитывались. Поток ионов задавался извне ячейки. Таким образом, были выполнены условия применимости теории ограниченных орбит и результаты моделирования были близки к результатам этой теории.
Основы метода крупных частиц (молекулярной динамики) изложены в работах [4,53,39].
Суть метода заключается в объединении большого числа элементарных частиц плазмы в «крупные» частицы с тем же суммарным зарядом и массой. Решая уравнения движения, можно проследить динамические траектории всех макрочастиц в фазовом пространстве, параллельно пересчитывая с помощью уравнения Пуассона электрическое поле либо непосредственно рассчитывая силы взаимодействия зарядов. Физическим основанием, позволяющим заменить реальную систему частиц модельной системой макрочастиц, является неизменность уравнений движения из-за сохранения отношения q/m, а, следовательно, и скоростей частиц, а также инвариантность относительно такой замены пространственно-временных параметров плазмы, таких как плазменная частота: -) , ало; и дебаевский радиус экранирования (1.2). Недостатком перехода к модельной плазме являлось увеличение шумов, по сравнению с реальной плазмой, т.к. —1/2 относительный уровень флуктуации пропорционален Np , где Np - число частиц. Для уменьшения флуктуации необходимо увеличивать количество макрочастиц.
Возможны три типа моделей частиц: частица-частица (РР), частица-сетка (РМ) и частица-частица-частица-сетка (Р3М). В модели РР используется формулировка закона силы дальнодействия. Здесь учитываются только внешние заданные поля. Взаимодействие частиц описывается суммированием кулоновских сил от всех остальных частиц на каждую частицу. Для определения этих сил на один временной шаг требуется порядка 10Np арифметических операций. Учитывая, что обычно требуется 104-г10б временных шагов, модель РР целесообразна при Np 103.
В модели частица-сетка взаимодействие частицы со всеми остальными частицами осуществляется через самосогласованное электрическое поле. Для нахождения поля при каждом временном шаге решается уравнение Пуассона на сетке, общее число узлов N которой существенно меньше числа частиц. Число арифметических операций для определения сил на один временной шаг равно 20Np + ION3. Число узлов определяется пространственным разрешением и обычно выбирается так, чтобы обе составляющие в сумме примерно были равны. В работе [14] РМ методом проводилось моделирование плазмы тлеющего разряда при условиях близким к существованию пылевого кристалла, но без пылевой составляющей. Сделан вывод, что РМ метод хорошо описывает процессы в плазме газового разряда, однако предъявляет высокие требования к вычислительным ресурсам.
Приведение к безразмерным параметрам
Проверка на уход ионов на пылевую частицу и отражение на внешней границе. При координате иона гк а ион убирается, при гк г0 изменяется знак радиальной скорости vr. Шаг 8. Проверка путей, прошедших каждым ионом на прохождение его длины пробега 1[. Если да, то скорость иона надо снова разыгрывать по Максвеллу. Шаг 9.Раздача заряда, т.е. определение концентрации ионов в узлах по реальным координатам и зарядам ионов. Здесь заряды всех ионов распределены по узлам сетки. Шаг 10. Рождение новых ионов. При достижении добавочной за счет ионизации концентрации ионов в узлах до заданной величины, добавочную концентрацию обнуляем, но в узел вводим новый ион с соответствующим зарядом. Разыгрываем начальную скорость новых ионов в соответствие с распределением Максвелла и индивидуальную длину пробега. Шаг 11. Возвращаемся к шагу 2 до достижения установления стационарного состояния, после чего вычисление необходимых данных, подготовка к выводу и вывод. Время установления стационарного состояния определяется уходом большинства первоначальных ионов на пылевую частицу и характеризовалось отсутствием изменения потенциала пылевой частицы на уровне флуктуации.
Кроме распределения потенциала и концентрации ионов в узлах, также вычислялись следующие обобщенные параметры, необходимые для анализа полученных результатов: Полный заряд электронов Qe (2.4). Полный заряд ионов: -z Як (2.12) Заряд пылевой частицы: д(р (2.13) В стационарном состоянии должно выполнятся условие полной квазинейтральности: Qt = -Qa - Qe-Электронный ток на пылевую частицу /е (2.5). Ионный ток на пылевую частицу: (2.14) (2.15) h = ЪкЧк At Здесь подсчитывается сумма ионных зарядов, поглощенных пылевой частицей за время At. Энергия заряженной пылевой частицы в электрическом поле плазмы: (2.16) "ь = «( -4 ;} Здесь из общего потенциала (ра вычитается собственный потенциал заряда пылевой частицы Уравнение Пуассона в безразмерном виде: д2 р 2д р , ч , гоплл j + -j = exV(cp) -п , (2.7.1) а уравнение для движения макрочастиц: dv r д(р v lsm2e0-r l . плллл "аГ- 97 + 5 с } V r0 = V о cos 0О , -g]7=vr Уравнения (2.7.1) и (2.11.1) имеют только один параметр v 0/ который определяется отношением ионной и электронной температур Tt/Te. Остальные исходные независимые параметры: a,r0,li, нормируются на электронный дебаевский радиус плазмы, определяемый концентрацией и температурой электронов полностью определяющие плазменные условия. Температура ионов определяет только начальное значение скоростей ионов и может быть близкая к нулю, как и часто используемый в литературе для нормировки полный дебаевский радиус, учитывающий температуру ионов и стремившейся к нулю при Tt -» 0: / кТеТгє0 \г/2 (є0кТл1/2
Таким образом, независимыми параметрами, являющимися исходными для моделирования являются: j-; —; -г-; —.
Еще одним параметром, определяющим начальную скорость ионов vQ, является масса иона. Наши расчеты проводились для неона с атомным весом 20, чаще всего используемого для получения пылевого кристалла.
Приведем безразмерный вид других величин, представленных в выводе программы. Заряды пылевой частицы, электронов и ионов нормируем на электрический заряд дебаевской сферы у Є7гЛп0: Уравнение Пуассона в безразмерном виде: д2 р 2д р , ч , гоплл j + -j = exV(cp) -п , (2.7.1) а уравнение для движения макрочастиц: dv r д(р v lsm2e0-r l . плллл "аГ- 97 + 5 с } V r0 = V о cos 0О , -g]7=vr Уравнения (2.7.1) и (2.11.1) имеют только один параметр v 0/ который определяется отношением ионной и электронной температур Tt/Te. Остальные исходные независимые параметры: a,r0,li, нормируются на электронный дебаевский радиус плазмы, определяемый концентрацией и температурой электронов полностью определяющие плазменные условия. Температура ионов определяет только начальное значение скоростей ионов и может быть близкая к нулю, как и часто используемый в литературе для нормировки полный дебаевский радиус, учитывающий температуру ионов и стремившейся к нулю при Tt -» 0: / кТеТгє0 \г/2 (є0кТл1/2
Таким образом, независимыми параметрами, являющимися исходными для моделирования являются: j-; —; -г-; —.
Еще одним параметром, определяющим начальную скорость ионов vQ, является масса иона. Наши расчеты проводились для неона с атомным весом 20, чаще всего используемого для получения пылевого кристалла.
Приведем безразмерный вид других величин, представленных в выводе программы. Заряды пылевой частицы, электронов и ионов нормируем на электрический заряд дебаевской сферы у Є7гЛп0:
Итоговые значения расчетных параметров
Итоговые установившееся значения расчетных параметров: потенциала пылевой частицы (р а; ее заряда Q a; общего заряда электронов и ионов ячейки Q e,Q i; потенциальной энергии пылевой частицы в электрическом поле плазмы w a; ПЛОТНОСТИ ЭЛеКТрИЧеСКОЙ / И МехаНИЧеСКОЙ ОТ ИМПУЛЬСОВ ИОНОВ farag сил на поверхности пылевой частицы приведены в таблицах 1-г8 Приложения 3.
На рис. 7-Ю приведены зависимости потенциала от радиуса ячейки для Tt/Te = 0 и 0,01, и значений а = 0,001; 0,002; 0,005; 0,01; 0,02 при различных длинах пробега ионов. Аналогичные зависимости для заряда пылевых частиц приведены на рис. 11-14, а для их потенциальной энергии на рис. 15-18. Сплошные линии соответствуют Tj/Tg = 0,01, пунктирные Ti/Te = 0.
Результаты показывают на существенную зависимость потенциала, заряда и потенциальной энергии пылевой частицы от межчастичного расстояния, с наличием максимумов для абсолютных значений (минимумы с учетом знака). При этом при малых межэлектродных расстояниях г0 наблюдается быстрый рост 1 РаЫ аЫ а1 с ростом r0, а после достижения максимумов - очень медленный спад. Положение максимумов весьма близкое, особенно для потенциала и заряда пылевой частицы, минимум Wa наступает при несколько меньших, но достаточно близких г0. Как будет показано далее максимум заряда определяет установление значений межчастичного расстояния. В таблице б приведены значения параметров ro Ра Qa /За ,fz ,Wa /а 3 соответствующие максимуму заряда. Значение Qa /3a соответствует потенциалу изолированной пылевой частицы без плазмы, значение Wa /a 3 - соответствует потенциальной энергии на единицу объема пылевой частицы. Видны близкие значения Qa /3a к реальному потенциалу пылевой частицы в плазме сра.
Рассмотрим зависимость потенциала пылевой частицы от межчастичного расстояния. При малых межчастичных расстояниях потенциал частицы сильно спадает с уменьшением межчастичного расстояния. Это можно объяснить сильным увеличением плотности ионного тока из-за образования ионов вследствие ионизации у самой поверхности пылевой частицы и непосредственным уходом на нее. С увеличением межчастичного расстояния ионный ток уменьшается, но после достижения минимума он снова увеличивается, хотя и несильно. Это объясняется снятием другого, уже тормозящего эффекта ионизации - отсутствие дрейфовой скорости, соответствующей потенциалу у рожденного иона. Положение минимума ионного тока (максимума потенциала) удаляется от частицы с ростом ее радиуса, но медленнее, чем радиус частицы, примерно как его корень. На рис. 23 приведены зависимости положений максимума заряда и потенциала пылевой частицы от корня радиуса. Зависимости близки к прямолинейным. Столкновения ионов с атомами —е р сглаживают максимумы и удаляют их. Полученные зависимости потенциала и заряда пылевой частицы от межчастичного расстояния и наличие на них максимума в литературе отсутствуют. а/Ад = 0,0012; 0,0024; 0,006; 0,0024; 0,0012.
Сравнение показывает, что для достаточно больших пылевых частиц результаты [16] близки к нашим, хотя дают несколько большие значения потенциала частицы. Для малых частиц и при больших длинах пробега ионов учет ионизации в объеме существенно снижает потенциал пылевой частицы. Отметим, что при малых радиусах пылевых частиц существенно возрастают вычислительные трудности из-за возрастания флуктуации ионного тока на частицу, что требует существенного увеличения общего числа ионов в расчетной области. В наших расчетах число ионов доходило до значения 2 107.
Сравним результаты моделирования плавающего потенциала, соответствующего максимуму заряда с предельными аналитическими теориями низкого давления: приближение радиального дрейфа (при 7 = 0) и приближение ограниченных орбит (при TL/Te = 0,01). Так как расчеты в приближении радиального дрейфа для неона отсутствовали, нами были проделаны эти расчеты. Решалась система уравнений (1.3),(1.5),(1.6) с граничными условиями при г - оо, р - 0,d(p/dr -» 0 и заданными значениями ионного тока It. Расчет начинался с большего радиуса г/Лд = 100, где принималось пе = щ, и заканчивался на радиусе, где электронный ток по формуле (1.4) становился равным ионному. Этот радиус и принимался за радиус частицы с соответствующим потенциалом. Результаты расчета, соответствующие результатам расчета для водорода и аргона [71], приведены на рис. 26 вместе с результатами моделирования ц а при Tt = 0 и низких давлениях h/Лд = 10. Радиальная теория дает немного меньшие значения сра, которые соответствуют предельным значениям радиуса расчетной ячейки г0 -» оо, когда ионизация в объеме стремится к нулю. Это указывает на достоверность исходных посылок, технологии и результатов моделирования. Здесь же приведены результаты моделирования при Tt/Te = 0,01 вместе с данными работы [16] и ОО приближением.
Взвешивание и раздача заряда и полей в цилиндрических координатах. Анализ погрешности типов взвешивания при различных радиальных изменениях концентраций (цилиндрический случай)
Приведем основные результаты работы и выводы.
1. Проведен анализ экспериментальных данных пылевых структур, который показал что установление между пылевыми частицами межчастичного расстояния, определяется радиусом пылевой частицы и параметрами плазмы. Параметрами, определяющими пылевую структуру, являются: отношение радиуса пылевой частицы к дебаевскому радиусу плазмы а/Лд, отношение ионной и электронной температур плазмы Ti/Te, отношение длины пробега ионов к дебаевской длине li/Ag. Определен диапазон этих параметров в экспериментальных пылевых структурах.
2. Разработаны одномерная и двумерная математические модели, учитывающие: образование ионов вблизи частицы в результате объемной ионизации с начальными скоростями, соответствующими максвелловскому распределению ионов по скоростям; движение ионов в самосогласованном электрическом поле с учетом столкновений с атомами; поглощение ионов на пылевой частице в результате рекомбинации с электронами и отражение ионов на внешней границе расчетной области; расчет самосогласованного электрического поля с передачей зарядов на расчетную сетку и обратной передачей напряженности электрического поля из расчетной сетки на заряды.
3. Разработаны алгоритмы отдельных этапов моделирования, обеспечивающие точность и устойчивость счета и уменьшением машинного времени для возможности увеличения числа комбинаций входных параметров. Введены безразмерные расчетные параметры, что упростило вид математических выражений, уменьшило диапазон численных значений расчетных параметров, выявило определяющие для установления пылевой структуры параметры плазмы, на которые производилась нормировка параметров, что позволяет использовать результаты моделирования для каждого практического эксперимента с конкретными параметрами плазмы и пылевых частиц. Для сокращения машинного времени в счетные циклы введены вспомогательные параметры, нормированные на каждом шаге по координате и времени. Разработан новый алгоритм задания начального состояния с установлением расстояния между зарядами, обратно пропорциональным квадрату радиуса. Алгоритм обеспечил одинаковость зарядов и требует малого машинного времени. При моделировании максвелловского распределения по скоростям предложены аналитические функции, аппроксимирующие интегральные выражения, что существенно уменьшает машинное время. Введено разыгрывание длины пробега ионов до столкновений с атомами с экспоненциальным распределением, соответствующим случайным расположением атомов и ионов при их относительном движении. Отобраны и обоснованы схемы прямого решения уравнения Пуассона II порядка для потенциала в одномерном случае и итерационный метод в двумерном случае. Разработан новый алгоритм перебора зарядов и взвешивание при раздаче зарядов и полей. Отобрана и обоснована схема интегрирования уравнений движения ионов. Введена перенормировка зарядов на каждом временном шаге для учета поглощения зарядов на пылевой частице и рожденных вследствие ионизации. Разработан алгоритм ввода добавочной концентрации в узлах расчетной сетки за счет ионизации с последующим рождением иона для предотвращения скачков потенциала.
Все предложенные алгоритмы предварительно тестировались при заданных аналитических выражениях на устойчивость, точность и обеспечение наименьшего машинного времени.
Проведен численный эксперимент установления заряда и потенциала пылевой частицы в плазме для широкого диапазона исходных параметров я/Я5; Іі/Лд) Tt/Te при различных межчастичных расстояниях. Общее число комбинаций параметров, охватывающих их экспериментальный диапазон, составило более 250 с общим машинным временем счета 10000 часов. Получен массив данных для потенциала, заряда и потенциальной энергии пылевой частицы при различных комбинациях параметров и радиальные зависимости потенциала и концентраций электронов и ионов. Данный массив может быть использован для дальнейшего теоретического рассмотрения закономерностей построения кристаллической пылевой структуры. Обнаружены максимумы значений заряда и потенциала пылевой частицы в зависимостях от межчастичного расстояния, а также близкие к ним минимумы потенциальной энергии частицы.
Предложен критерий установления межчастичного расстояния, соответствующего максимуму плотности растягивающей электростатической силы, или что то же - максимуму заряда пылевой частицы. Плотность механического импульса ионов, поглощаемой пылевой частицей, оказалась на два порядка меньше плотности электростатической силы и не влияет на установление межчастичного расстояния. Получены зависимости межчастичного расстояния, соответствующего установленному критерию, от размеров пылевых частиц и параметров плазмы, которые близки к имеющимся экспериментальным данным.
