Введение к работе
1. Актуальность проблемы. Проблема оценки параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) прямоугольных пластин при изгибе поперечной нагрузкой возникает в различных областях техники, в том числе в судостроении и гидротехническом строительстве. Особую значимость она приобретает при создании уникальных по своей сложности и размерам сооружений. Стремление избежать возможных техногенных катастроф предъявляет повышенные требования к математическому моделированию поведения отдельных элементов и конструкции в целом, к созданию новых численных и численно-аналитических методов расчетов их на прочность и долговечность, к созданию комплексов программ для их реализации. Многие приближенные теории и методы решения краевых задач требуют уточнения, анализа достоверности полученных результатов. Создание новых численно-аналитических методов позволяет выявить особенности поведения элементов конструкций в опасных точках, где возможны концентрации напряжений. Особый интерес для исследования представляют пластины, у которых либо все грани защемлены, либо защемлены три, две или одна, а остальные свободны, для которых не получены точные решения в замкнутом виде. В виде пластин, жестко защемленных по одному краю (консольных пластин), выполняются отдельные элементы в конструкциях судов, гидротурбин, самолетов, а также режущий инструмент ряда технологических операций в машиностроении. Консольная пластина (плита) переменной толщины принимается в качестве начальной математической модели для монолитных крыльев самолетов и судов на подводных крыльях и на воздушной подушке, для лопаток гидротурбин и лопастей судовых винтов, зубьев зубчатых передач, стен шлюзовых камер и т.п. Силовой набор корпуса судна, плоских затворов ГЭС и других гидросооружений разделяет обшивку на прямоугольные (чаще квадратные) элементы, которые можно считать пластинами, защемленными по всем четырем граням под действием гидростатической нагрузки. Большой интерес представляют пластины (панели), подкрепленные ребрами жесткости (ребристые ортотропные пластины). Это, прежде всего, судовые переборки с частым расположением ребер по обе стороны обшивки, способные выдержать давление воды как с одной, так и с другой стороны, днищевые перекрытия судов типа двойного дна и т.д. Расчетной математической моделью судовой обшивки из синтетических материалов можно также считать ортотроп-ную пластину. Расчетной моделью плоских стенок различных резервуаров, подпорных стен, палубных и строительных перекрытий с одной свободной кромкой является прямоугольная пластина, три края которой защемлены, а четвертый свободен. Плиты с двумя защемленными и двумя свободными краями используются для перекрытий мостового типа.
Современный этап развития судостроения характеризуется появлением судов новых конструктивных типов, использованием при их строительстве новых конструкционных материалов, новых более прогрессивных технологических процессов изготовления отдельных элементов, стремлением к снижению материалоемкости. По этой причине существовавшие ранее приближенные ме-
тоды оценки прочности корпуса судна и его элементов оказываются часто недостаточно точными. Становится необходимым использование для анализа НДС судовых и гидротехнических конструкций новых современных методов математического моделирования, ориентированных на широкое применение компьютерных вычислений.
Математические модели поведения пластин конечных размеров с защем-ленно-свободными краями при изгибе приводят к весьма сложным краевым задачам математической физики, не имеющим точного решения в замкнутой форме. Особенно сложна задача изгиба консольной пластины, так как граничные условия на свободных кромках содержат частные производные второго и третьего порядков. Этим объясняется сравнительно малое количество публикаций по расчету консольных пластин. Причем, часть из них либо вовсе не содержит численных результатов, либо трудно судить об их близости к точному решению задачи. Весьма сложной проблемой является расчет анизотропных пластин и, в частности, подкрепленных ребрами жесткости. Классическая теория тонких пластин (модель Кирхгоффа) не учитывает влияния деформации поперечного сдвига на изгиб, что может заметно сказываться на НДС вблизи контура пластины (особенно в окрестности точек, где происходит резкая смена граничных условий) и точек приложения сосредоточенных сил. Уточненная теория пластин (модель Рейсснера), применяемая для пластин (плит) конечной толщины еще более усложняет указанные задачи, так как приводит к двум (вместо одного) дифференциальным уравнения изгиба и еще более сложным граничным условиям. Серьезных работ по уточненной теории указанных видов пластин, доведенных до численных результатов,- не много.
Отметим, что многие исследователи отдают предпочтение методу конечных элементов (МКЭ), считая его универсальным и надежным методом математического компьютерного моделирования. Однако он эффективен для нахождения приближенных решений краевых задач. Желая получить более точное решение исследователи дробят сетку конечных элементов, что приводит к «запиранию» вычислительного процесса, когда матрица системы линейных уравнений становится плохо обусловленной, и малейшие погрешности вычисления коэффициентов матрицы (компьютерное округление) приводят к обратному результату - ухудшению точности решения краевой задачи. Обусловленность системы ухудшается при отклонении формы элементов от правильных многоугольников, а также при применении МКЭ к дифференциальным уравнениям более высоких порядков. Поэтому по-прежнему актуальны аналитические методы исследования (в сочетании с численными), когда полученное решение можно проверить подстановкой во все условия задачи. Именно такие методы используются в данной работе.
Заметим также, что использование МКЭ предполагает его проверку на «эталонных» задачах, т.е. тех, для которых получено точное аналитическое решение или, как в данном случае, сколь угодно близкое к точному.
2.Цель работы и задачи исследования. Целью настоящей работы является развитие методов математического моделирования поведения плоских элементов конструкций и повышение точности их расчетов.
Задачи исследования:
1) построение численно-аналитического итерационного метода суперпозиции
исправляющих функций, который позволяет получить решение для прямо
угольных пластин Кирхгоффа и Рейсснера с защемлено-свободными краями
(гладких и ребристых) с любой точностью;
-
доказательство сходимости итерационных решений к точным решениям;
-
получение достоверных численных результатов об изгибе указанных пластин по обеим теориям;
-
представление численных результатов в табличной и графической форме в качестве справочного материала при проведении проектными организациями типовых инженерных расчетов плоских элементов металлоконструкций;
-
сравнение результатов, полученных по классической и уточненной теориям, и анализ области применимости этих теорий;
-
теоретическое и численное исследование на этой основе возможностей предложенной модификации вариационного метода Канторовича и метода однородных решений применительно к расчету НДС консольных пластин постоянной и переменной толщины;
-
использование метода суперпозиции исправляющих функций для моделирования изгиба защемленных гладких и ребристых анизотропных пластин.
-
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются упругие плоские элементы судовых и гидротехнических конструкций и, в частности, прямоугольные пластины (плиты) с защемлено-свободными краями под действием поперечной нагрузки. Предмет исследования - методы математического моделирования поведения указанных элементов, обеспечивающие необходимую точность расчетов.
-
Математический аппарат исследования. В данной работе использовались: аппарат дифференциального и интегрального исчисления функции одной и нескольких переменных; теория числовых рядов и рядов Фурье; теория бесконечных систем алгебраических уравнений; методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных; теория пределов.
-
Научная новизна. В настоящей работе предложен итерационный метод суперпозиции исправляющих функций, позволяющий получить с помощью достаточно простого алгоритма решение с любой точностью для широкого круга задач теории пластин. Он может быть использован как метод математического моделирования и для решения других задач математической физики. Этим методом исследовались прямоугольные консольные пластины под действием равномерной нагрузки в рамках классической теории (Кирхгоффа) и уточненной теории (Рейсснера) Подобные задачи решены также для защемленной по всему контуру пластины (изотропной и ортотропной). Дано обобщение метода на случай произвольной поперечной нагрузки. Предложенным методом суперпозиции исправляющих функций решены задачи изгиба пластин Кирхгоффа с тремя защемленными и одной свободной кромками, а также с двумя защемленными и двумя свободными кромками. Доказана сходимость итерационного процесса к точному решению для всех указанных задач. Предложено видоиз-
менение вариационного метода Канторовича, основанное на точном выполнении граничных условий на защемленной и противоположной ей свободной кромках консольной пластины Кирхгоффа. Получены численные результаты расчетов напряженно-деформированного состояния указанных пластин.
6. Основные новые результаты, полученные в работе и выносимые
на защиту.
-
итерационный метод математического моделирования для решения широкого класса задач изгиба прямоугольных пластин с защемлено-свободными краями, - метод суперпозиции исправляющих функций,- позволяющий получить решение с любой точностью для произвольной поперечной нагрузки;
-
приложения указанного метода для исследования изотропных и ортотропных пластин как в рамках классической теории (модель Кирхгоффа), так и в рамках уточненной теории (модель Рейсснера), учитывающей влияние деформации поперечного сдвига;
-
алгоритм численной реализации метода;
-
доказательство сходимости итерационного процесса к точному решению для каждой из указанных задач;
-
численные результаты расчетов НДС пластин под действием равномерной и гидростатической нагрузки, представленные в виде таблиц и графиков;
-
обобщение метода на случай произвольной поперечной нагрузки на примере консольной пластины Кирхгоффа;
-
модификация вариационного метода Канторовича для расчета консольной пластины Кирхгоффа с постоянной и линейно изменяющейся толщиной;
9) исследование практической применимости метода однородных решений для
более высоких приближений при изгибе консольной пластины постоянной
толщины;
10) аналитическое и численное доказательство того, что в точках перехода от
защемленного края к свободному изгибающие моменты бесконечны в рамках
моделей Кирхгоффа и Рейсснера (концентрация напряжений).
-
Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы нашли практическое применение во ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева, в СПКТБ «Ленгидросталь», в Центре технологии судостроения и судоремонта (ЦТСС) для расчетов НДС элементов гидротехнических и судовых конструкций; в СПГУВК они используются при подготовке специалистов по направлению «Прикладная математика и информатика».
-
Апробация работы. Основные положения работы представлялись на научных семинарах кафедры математики и кафедры прикладной математики СПГУВК; на Всероссийской НМК СПГУВК 1994 г.; на XI С.Петербургской международной конференции «Региональная информатика» СПОИСУ 2008 г.; на международной научно-практической конференции «Водные пути России: Стр-во, эксплуатация, управление», СПГУВК, 2009 г.
-
Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в научно-технических изданиях. Всего опубликовано 26 работ, из них 8 статей в журналах, рекомендованных ВАК для докторантов; одна монография;
одно изобретение; 3 статьи в материалах всероссийских и международных конференций; 4 статьи в ведущих изданиях СССР; 9 работ в других изданиях.
10. Структура и объем работы. Диссертация представлена в форме рукописи, состоящей из введения, 8 глав и заключения. Объем рукописи- 300 стр., в том числе 79 рисунков, 66 таблиц и список использованных источников из 145 наименований.
