Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задачи об устойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа . 12
1. Постановка задачи 12
2. Классификация граничных условий 14
3. Задача об изгибных формах пластины-полосы с классическими однородными условиями 20
4. Изгибные формы пластины-полосы с линейной упругой связью на концах 34
5. Изгибные формы пластины-полосы с нелинейным упругим закреплением концов 38
6, Изгибные формы пластины-полосы с учетом аэродинамической нагрузки во втором приближении 44
7. Исследование дивергенции пластины в сверхзвуковом потоке газа методом Галеркина. Точные решения 49
8. Уточненные модели задачи об исследовании устойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа 54
9. Динамическая устойчивость упругого элемента конструкции в сверхзвуковом потоке газа 59
Глава 2. Задачи о статической неустойчивости трубопровода 71
1. Постановка задачи 71
2. Классификация граничных условий 72
3. Задача об изгибных формах трубопровода с классическими однородными условиями ... 77
4. Изгибные формы трубопровода с линейной упругой связью на концах 85
5. Изгибные формы трубопровода с нелинейным упругим закреплением концов 90
6. Исследование дивергенции трубопровода методом Галеркина Точные решения 95
7. Уточненная модель задачи об исследовании дивергенции
трубопровода 101
Глава 3. Численный метод решения задач о дивергенции пластины в сверхзвуковом потоке газа и трубопровода с протекающей жидкостью 107
1. Задача о дивергенции пластины в сверхзвуковом потоке газа с классическими однородными граничными условиями 107
2. Дивергенция пластины в сверхзвуковом потоке газа с упругим закреплением концов 117
3. Задача о статической неустойчивости трубопровода с классическими однородными граничными условиями 122
4. Статическая неустойчивость трубопровода с упругим закреплением концов 130
Заключение 134
Библиографический список
- Изгибные формы пластины-полосы с линейной упругой связью на концах
- Исследование дивергенции пластины в сверхзвуковом потоке газа методом Галеркина. Точные решения
- Задача об изгибных формах трубопровода с классическими однородными условиями
- Дивергенция пластины в сверхзвуковом потоке газа с упругим закреплением концов
Введение к работе
При проектировании и эксплуатации конструкций, приборов, устройств различного назначения, взаимодействующих с потоком газа или жидкости, важной проблемой является обеспечение надежности их функционирования и увеличение сроков службы. Подобные проблемы присущи многим отраслям техники. В частности, такого рода задачи ставятся в авиаракетостроении, тур-бо-компрессоростроении, при проектировании антенных установок, датчиков давления, камер сгорания, реакторов, гидротехнических и высоких наземных сооружений, трубопроводных систем и т.д.
Существенное значение при расчете конструкций, взаимодействующих с потоком газа или жидкости, имеет исследование устойчивости деформируемых элементов, так как воздействие потока может приводить к ее потере. Примерами статической потери аэроупругой устойчивости являются дивергенция (закручивание) крыла самолета, статическое выпучивание пластин и оболочек при обтекании потоком, дивергенция трубопровода, что может привести к разрушению конструкции. В качестве примеров потери динамической устойчивости можно указать: флаттер крыла самолета и панельный флаттер пластин и оболочек, обтекаемых потоком; срывной флаттер лопаток турбин и винтов; колебания проводов, дымовых труб, висячих мостов, трубопроводов и т.д.
Таким образом, при проектировании конструкций и устройств, находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой, необходимо решать задачи, связанные с исследованием устойчивости, требуемой для их функционирования и надежности эксплуатации.
Диссертация посвящена разработке математических моделей упругих элементов конструкций, находящихся во взаимодействии с потоком идеального газа (жидкости), и исследованию на основе построенных моделей статической и динамической устойчивости этих элементов.
В статических задачах вопрос об исследовании устойчивости ставится так: при каких статических изменениях параметров системы (внешних параметров воздействующих на систему извне, и внутренних - присущих самой системе) система может совершать скачкообразный переход из одного состояния равновесия в другое (явление бифуркации). В качестве таких основных параметров в статических задачах аэрогидроу пру гости выступают опять же скорость потока, прочностные характеристики, сжимающие усилия. В случае реализации указанных явлений происходит переход параметров через некоторые критические значения, при этом меняется качественная картина решений. В окрестности точки бифуркации возможны несколько решений, и тем самым, несколько положений равновесия обтекаемого тела.
Характерной особенностью большей части задач аэрогидроупругости, значительно осложняющей их решение, является то, что силовое воздействие потока на обтекаемое деформируемое тело нельзя найти заранее, до решения задачи об определении деформаций тела. Поэтому существенным моментом в теории аэрогидроупругости является учет взаимного (обратного) влияния деформаций тела и поля скоростей и давлений потока (т.е. учет взаимодействия аэрогидродинамических сил, сил упругости, сил инерции и т.д.). Однако в некоторых случаях это удается сделать, используя основные законы теоретической механики и оценивая воздействие газа (жидкости) на тело интегрально (без детального исследования аэрогидродинамического течения).
Успешное решение задач аэрогидроупругости связано с гармоничным взаимодействием различных наук: аэрогидромеханики, механики твердого деформируемого тела, теории оболочек и пластин, вычислительной математики, и требует применения знаний широкого круга областей механики и математики, что вносит дополнительные трудности в исследования соответствующих задач.
Устойчивости упругих тел, взаимодействующих с потоком жидкости или газа посвящено большое количество теоретических и экспериментальных исследований, проведенных в последние десятилетия. Исследования в этом направлении представлены в работах Белоцерковского СМ., Скрипача Б.К., Табачникова В.Г. [13], Галиева Ш.У. [63], Григолюка А.Г, [68], Григолюка Э.Г., Горшкова А.Г. [70], Болотина В.В. [21], Вольмира А.С. [58-61], Григолюка Э.И., Лампера Р.Е., Шандарова Л.Г. [69], Новичкова Ю.Н. [127], Бисплингхоф-фа Р.Л., Эшли X., Халфмана Р.Л. [19], Фына ЯЦ. [160,161], Фершинга Г.[158], Ильюшина А.А., Кийко И.А. [79,80], Алгазина С.Д., Кийко И.А. [2,3], Мовчана А.А. [116-119], Дж. Майлса [113], Пановко Я.Г., Губанова [129], Кийко И.А. [85], Ильгамова М.А. [76,77] и др.
В работах Зефирова В.Н., Колесова В.В., Милославского А.И. [75], Свет-лицкого В.А. [135-137], Челомея СВ. [163,164], Феодосьева В.И. [156], Казакевича М.И. [81,82], Мовчана А.А. [116-119], Нгуена В.Л. [124], Томпсона Дж. М.Т. [154], Милославского А.И. [115] и др. исследуется динамика трубопроводов.
Решение задач о статической неустойчивости конструкций связано с теорией ветвления решения дифференциальных уравнений. Исследования в этом направлении проводились аналитическими и численными методами в работах Абботта Ж.П. [168], Аткинсона К.Е. [169], Бола Е. [170], Крандалла М.Г., Рабиновича П.Х. [175], Демулина М.Ж., Чена М. [176], Холмеса П., Марсдена Ж. [182], Кеенера Ж.П., Келлера Х.Б. [183], Кубичека М., Марека М. [168], Ланг-форда В.Ф. [188], Плаута Р.Х. [195], Редиена Г.В. [196], Зейдела Р. [198], Стак-гольда И. [199], Вебера X. [206,207], Вайнберга М. М., Треногина В.А. [24,25], Логинова Б.В., Треногина В.А., Вельмисова П.А. [189], Сидорова Н.А. [139,140], Сидорова Н.А., Треногина В.А. [141,142], Логинова Б.В. [109], Логинова Б.В., Сидорова Н.А. [111], Логинова Б.В., Кожевниковой О.В. [110], Вельмисова П. А., Логинова Б.В. [51-53], и др.
Рассматриваемые в работе задачи являются нелинейными, что увеличивает сложность их решения.
Отмеченное выше позволяет утверждать об актуальности исследований, проведенных в диссертации.
Целью диссертационной работы является разработка на основе математического моделирования математических методов исследования устойчивости упругих элементов конструкций (в виде пластин), обтекаемых сверхзвуковым потоком газа, и упругих элементов трубопроводов (полых стержней) с учетом воздействия потока жидкости, протекающего внутри них. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:
1. Построение соответствующих нелинейных математических моделей упругих элементов конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа.
2. Разработка методик решения нелинейных краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений, соответствующих построенным моделям с различными граничными условиями, и проведения на их основе исследования устойчивости упругих элементов.
3. Разработка численного метода исследования статической неустойчивости пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа, и трубопровода, по которому протекает жидкость.
4. Разработка методик аналитического исследования динамической устойчивости упругих элементов указанных конструкций.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и девяти приложений.
В первой главе исследуются задачи о дивергенции пластины-полосы в сверхзвуковом потоке с классическими однородными условиями, с линейной упругой связью на концах, с нелинейным упругим закреплением концов, с учетом аэродинамической нагрузки как в первом, так и во втором приближении. Исследуется задача о динамической устойчивости прямоугольной пластины в сверхзвуковом потоке газа.
Во второй главе исследуются задачи о дивергенции трубопровода, по которому протекает жидкость, с классическими однородными условиями, с линейным упругим закреплением концов, с нелинейным упругим закреплением.
В третьей главе исследуется, на основе разработанного численного метода, ветвление решения задачи о бифуркации пластины-полосы в сверхзвуковом потоке газа и трубопровода, по которому протекает жидкость, с классическими граничными условиями и с линейным упругим закреплением концов.
В каждой главе принята своя тройная нумерация формул. Первая цифра номера формулы указывает номер главы, вторая - номер параграфа, третья 9 номер формулы в параграфе.
В диссертации аэрогидродинамическая нагрузка определяется (см. приложение 2) из асимптотических уравнений аэрогидромеханики (задача об устойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа) или из основных законов теоретической механики (задача об устойчивости трубопровода). В главах 1, 2 для решения задачи необходимо получить решения уравнений, описывающих явление, в виде функций от отклонения Л - AQ — (/ -Л,0, ..., Лк Хко)-{Єу,.. єк), где A = (A\,...,Ak) - набор спектральных параметров, a AQ =(AlQi,..,Ak0) - их критические значения, то есть точки бифуркации. При решении задач используется процедура сведения решения функционального уравнения к эквивалентному уравнению в конечномерном пространстве - уравнению разветвления, предложенная Л.М.Ляпуновым и Э.Шмидтом [24], Она основана на введении вспомогательных параметров, таких, что становится возможным применение теоремы о неявных операторах в основном уравнении, то есть становится возможным решение уравнения в виде функции от малых значений спектральных и вспомогательных параметров. При подстановке полученных решений в выражения, определяющие вспомогательные параметры, получаем эквивалентную конечномерную систему для их разыскания (подробнее см. приложение 4). Также приводятся решения некоторых задач на основе метода Галеркина. Исследование динамической устойчивости упругого элемента в главе 1 проводится на основе разработанной методики, связанной с построением положительно определенного функционала, соответствующего интегро-дифференциальному уравнению с частными производными для прогиба пластины. В главе 3 исследование бифуркации пластины-полосы в сверхзвуковом потоке газа и трубопровода проводилось численно с помощью разработанного метода, включающего в себя метод Рунге-Кутта 6-го порядка с контролем погрешности на шаге, метод Ньютона решения нелинейных уравнений и интегрирование с использованием квадратурных формул Ньютона-ЬСотеса.
Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается адекватностью построенных моделей классическим представлениям в механике сплошных сред, строгостью математической постановки задач и математических преобразований при получении аналитических решений, согласованием аналитических результатов с результатами численного эксперимента, а также согласованностью с результатами других авторов. Научная новизна полученных результатов:
1. Построены нелинейные математические модели упругих элементов конструкций (в виде пластин), обтекаемых сверхзвуковым потоком газа, и упругих элементов трубопроводов (полых стержней) с учетом воздействия потока жидкости, протекающего внутри них, для различных типов закрепления этих элементов и с учетом взаимодействия с нелинейным упругим основанием.
2. Разработаны методики решения нелинейных задач аэрогидроупруго-сти с различными типами граничных условий для пластины в сверхзвуковом потоке газа и трубопровода с протекающей в нем жидкостью.
3. Разработан численный метод исследования статической неустойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа и трубопровода.
4. Проведена классификация закреплений упругой пластины в сверхзвуковом потоке газа и трубопровода с точки зрения их устойчивости.
5. Разработана методика аналитического исследования динамической устойчивости упругого элемента конструкции (в виде пластины) с учетом взаимодействия со сверхзвуковым потоком газа.
Практическое значение работы заключается в том, что разработанные математические модели и методы позволяют усовершенствовать теоретическую базу современного проектирования взаимодействующих с потоком жидкости или газа упругих тонкостенных конструкций и соответствующих технических устройств, и тем самым сократить время и средства, затрачиваемые на натурные эксперименты, а в некоторых случаях заменить их аналитическими оценками или проведением компьютерных исследований. Полученные в работе результаты углубляют представление о механических процессах взаимодействия деформируемых тел с газожидкостными средами и имеют практическое значение для развития методов расчета аэроупругих конструкций.
Основные результаты работы докладывались на международных, республиканских и межвузовских конференциях и школах: Украинская конференция "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1997, 2003); научно-практическая конференция "Новые методы, средства и технологии в науке, промышленности и экономике" (Ульяновск, 1997); Воронежская математическая школа "Современные проблемы механики и прикладной математики" (Воронеж, 1998); восьмая, девятая, одиннадцатая, тринадцатая межвузовские конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1998, 1999, 2001, 2003); международная научно-техническая конференция "Рейронные, реляторные и непрерывнологические сети и модели" (Ульяновск, 1998); международная конференция "Численные и аналитические методы расчета конструкций" (Самара, 1998); XXIV, XXVII Summer School "Applications of Mathematics in Engineering" (Bulgaria, Sozopol, 1998, 2001); международная конференция "Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации" (Ульяновск, 1999); IV, VI международные конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 2000, 2004); международные конференции "Континуальные логико-алгебраические исчисления и нейрон нформатика в науке, технике и экономике" (Ульяновск, 2001, 2002, 2003, 2004); Воронежская весенняя математическая школа "Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XIV" (Воронеж, 2003); ежегодные конференции профессорско-преподавательского состава Ульяновского государственного технического университета (1997 - 2004).
Изгибные формы пластины-полосы с линейной упругой связью на концах
Таким образом, учет пропорциональности момента кубу угла поворота и пропорциональности перерезывающей силы кубу прогиба в граничном условии уточняет бифуркационную диаграмму в сторону уменьшения максимального прогиба пластины. При этом одинаковые значения максимального прогиба при нелинейном упругом закреплении достигаются при больших значениях скорости. Диаграммы на рисунках 1.5.1 и 1.5.2 построены при аг = 1 Н/м , # = 1Н/м, = 10м, се0-2, р0=1кг/м3, а = 330м/с, D = I0SHM2. Рассмотрим еще одну модель (толщина h = 5мм, = 7-10шН/м2, // = 0.31 (алюминий), = 1м, а = 330м/с, а0=2, а3 = 1Н/м4, # = 35-105Н/м, р0 = 1.2 кг/м3 (воздух), /5 = 82.73-103 Нм2). Для нее построены бифуркационные диаграммы, представленные на рисунке 1.5.3 и 1,5.4. На рис. 1.5.3 представлена бифуркационная диаграмма, соответствующая нелинейным граничным условиям (1.5.2), а на рис. 1.5.4 - бифуркационная диаграмма, отвечающая однородным граничным условиям из (1.5.3), соответствующим свободному и жестко защемленным концам.
Рассматриваются двухточечные задачи об изгибных формах пластины-полосы в сверхзвуковом потоке газа. Математическая модель включает в себя нелинейное интегро-дифференциальное уравнение с квадратичными и кубиче 45 скими членами (вывод аэродинамической нагрузки см. в приложении 2) Dw{4) + aw - Ow" $w 2dx - P M7 1 M\z + 1) [P\ W . 2 , " W — WW + а1п 2п+1=0,а = р0У2//3, M = V(a, /3 = M2 -1, D EJ (1.6.1) л=0 и граничные условия 2k-l (1.6.2) cQw\b)=Y,ck{w\b)fk-\ d0wm(b)=J]cik(w(b)) k=l =1
В (1.6.1) PQ - давление, соответствующее однородному потоку; - отношение теплоємкостей (z = cp/cv); a w и квадратичные нелинейные члены учитывают аэродинамическое воздействие. Совокупность граничных условий вида (1.6.2), выражающих связь между перерезывающей силой и перемещением или между изгибающим моментом и углом поворота, должна выполняться на каждом из концов закрепления b = 0, b = .
Для поиска малых решений задачи (1.6.1), (1.6.2), ответвляющихся от нулевого, применим методы теории ветвления [23]. Рассмотрим уравнение (1.63) После перехода к безразмерным переменным (x = xt w — w, где і— некоторый характерный размер) уравнение (1.6.3) примет вид
В дальнейшем изложении черточки для упрощения записи будем опускать. В качестве примера изучим решения уравнения (1.6.4) при следующих граничных условиях w (0) = 0, wm(0) = О, W (l) = 0, iv(l) = О. Эти условия соответствуют свободному и жестко защемленному концам. Задачу решаем методом Ляпу і шва-Шмидта, подробно описанным в 3 (пример 1). Полагая e = k-sl ($$ — точка бифуркации), запишем уравнение (1.6.4) в виде системы D І Ґ D (1.6.5) Разыскивая решение первого уравнения системы (1.6.5) в виде ряда w = X wkj%kJ ( = 0 так как (1.6.1), (1.6.2) - задача о точке бифуркации), k+j \ получаем рекуррентную систему для определения wkj: W,0 = (р, B\V}, -(р\ Bw2o = /?2 _ [W" w21 = R\w\ \Ф R nP» w12 wl\ Що=— 2 &- -V -/г, 0/+2/г2 0- V о и Тогда второе уравнение системы (1.6.5) представляет собой уравнение разветвления 1,, + 120 +(130 + 21 + 12 +...) = 0 (1.6-6) с коэффициентами ,, = 5vv,,, =- =-jVVk: о 2 2 20 = /?w20, = &7 Р - R\ P p"w = Ri \ф ydx - #! \qxp"yfdx о о з і о а 6 1 + 2Л2# и 20, =-—\ р"у/сЬс[ р dx—-—\ py/chc D о о D о 1 1 1 - R\ \(piv2Q\}/dx - Л, \w2(p" ц/dx + 2R2 \(p w2uy/dx 0 0 0 L21 = Bw2by/ = -R]wlxqf -Rxw u p - w20,y/ = і і I = -/?! J\v \ p y/dx- /?[ jwu p"y/dx- jw 2Qiydx о oo і ,2 = Bw]2,y/ = -w, ,,y/ = - \w uy/dx Функции (p(x) и ц/(х) определяются выражениями, приведенными в 3 (пример 3). Функция w20, входящая в коэффициент Z-30, находится из краевой задачи с граничными условиями ,(0) = 0,wri(0) = 0,wll(l) = 0,W ]1(l) = 0. Вид функций w20 и w,, не приводится в связи с громоздкостью их представления. Решение уравнения разветвления (1.6.6) может быть получено с помощью диаграммы Ньютона [24]. Из всех возможных вариантов малым решениям будет отвечать убывающий участок диаграммы. Пусть F s i e2+ )4 + ( 20 + 2 2+ FQ(e) + F](e) + F3 )f=0 (1.6.7) Здесь имеем F0() = 0, Fl{s)-Lne + Lus (р,=1), F2() = L20 +L2\ (/?2=0) F3() = i,30 (/)3=0).Для построения диаграммы наносим (см. рис.1.6.1) точки (1,1), (2,0) и (3,0).Непосредственно из диаграммы находим 8Х = 1. Для определения имеем уравнение
Так же находятся следующие приближения, то есть следующие члены ряда (1.6.8). Следовательно, асимптотика разветвляющихся решений во втором приближении будет иметь вид где ск- произвольные постоянные, а вид функций wk(x), являющихся первыми к0 функциями полной на [О,/] системы функций, зависит от способа закрепления пластины. Эти функции должны удовлетворять граничным условиям. В ка 50 честве функций wk{x) можно выбрать, например, собственные функции краевых задач для уравнения \\r-A -X4w = 0. Постоянные ск определяются из системы алгебраических уравнений, получаемой из условия ортогональности невязки уравнения S(w)=0 к системе базисных функций {g; (х)} jS\ Zckwk(x) gi{x)dx = 0,i = \ + k0 (1.7.3) о U=i J где {gj (x)}, i = \ + x , образуют полную на [О, і] систему функций. В частности, можно выбрать g;-( )= w;(x),/ = 1 + o
Дивергенция упругого элемента возможна тогда, когда существует ненулевое решение системы уравнений для ск,к = \+к0. Если уравнение S{w) нелинейное, то система уравнений для ск будет нелинейной. Если исходное уравнение 5( ) = 0 является линейным, то для ск,к = \ + кй получим систему линейных алгебраических уравнений. Условием существования нетривиального (ненулевого) решения этой СЛАУ (что является условием ветвления решения для w{x)) является условие равенства нулю определителя данной СЛАУ. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1.
Исследование дивергенции пластины в сверхзвуковом потоке газа методом Галеркина. Точные решения
Математическая модель содержит нелинейное интегро-дифференциальное уравнение I(W) K(W) + Ха2 +У+1 - JK)2 dx = 0 "=0 0 K(w) = Dww+Nw", D=EJ, N = NQ + mM% 0 = EF (2.1.1) и совокупность граничных условий в точках х = 0, х = п т c0w\b) = Y,ck(wXb))n-\ сі Щ = ЛЧЬ))2к- , 6 = 0, b = (2.1.2) В (2.1.1) D- изгибная жесткость трубопровода; N0 0 - сжимающее (JV0 0 растягивающее) усилие; т - удельная масса жидкости; U - скорость движения жидкости в трубопроводе; а .(_/ = 1-=- со) - коэффициенты, характеризующие жесткость основания; интегральный член учитывает нелинейное воздействие продольного усилия; vv(x) - прогиб трубопровода; Е - модуль упругости; F -площадь поперечного сечения; J - момент инерции сечения (для круглого сечения J = л{К.4вІІеш -Яе4„іт)/4, R - радиус). Все коэффициенты, входящие в уравнение, постоянные. Совокупность граничных условий вида (2.1.2), выражающих связь между перерезывающей силой и перемещением или между изгибающим моментом и углом поворота, должна выполняться на каждом из концов закрепления 6 = 0, Ъ = . В (2.1.2) коэффициенты c d .(i = Q + n,j = 0 + m) - произвольные, часть из них может равняться нулю; в зависимости от значений этих коэффициентов условия могут быть или линейными, или нелинейными. Значения т, г и п в (2.1.2) могут быть равными со. Изгибающий момент М и перерезывающая сила Q в сечении х имеют вид М = EJw\x), Q = EJwm(x) + Nw (x)
Приведем классификацию линейных граничных условий, при которых возможна или невозможна бифуркация решений уравнения (2.1.1) при ах -0, когда уравнение и граничные условия имеют вид Dww + Nw"+j: a2n w2n+l -ew"fcw )2dx = 0 n=\ 0 d0wm(0) + d} w (0) = -d2w(0) c (l) = -CiV(l) d 0w" (\) + d lw,{\) = d 2w{\) где c0 =d0 =cQ =dQ = EJ, dx =c/, =N{ci 0, dt 0, c 0, d] 0, / = 1,2).
Принцип классификации аналогичен классификации условий для пластины (см. глава 1, 2). Запишем все возможные линейные условия в виде таблицы 2.2.1 у.св.
В таблице 2.2.1 и 2.2.2: ж. — жесткая заделка (w = 0, w = 0, рис. 1.2.1), ш. шарнир (w = 0, EJwn = 0, рис. 1.2.2), с.з. - скользящая заделка (w = 0,EJwm + Nw = 0, рис. 1.2.3), с. - свободный конец (7w" = 0, Kfwm + Nw -0, рис. 1.2.4), у.э.1 -упругий элемент (w = 0, EJwm + Nw ±d2wf рис. 1.2.5), у.э.2 - упругий элемент (7v/ = 0, EJwm + Nw = ±d2w, рис. 1.2.6), у.шЛ -упругий шарнир (w = 0, EJw" = ±cxwf, рис. 1.2.7), у.ш.2 -упругий шарнир (EJwm + Nw = 0,EJw" = ±c.v/, рис. 1.2.8), у.св. - упругая связь (EJw" ±c]w\ EJw" + Nw -±d2w, рис. 1.2.9). Знак минус в условиях закрепления принимается в случае, когда упругий шарнир справа и упругий элемент слева, и знак плюс, когда упругий шарнир слева и упругий элемент справа; постоянные сх, с2, du d2 - положительные. В таблице 2.2.1 и 2.2.2 знаком "+" обозначены случаи, при которых возможна бифуркация, а знаком "-" при которых не возможна. Выпишем граничные условия, при которых возможна бифуркация, согласно таблице 2.2.1:
Математическая модель задачи описывается уравнением (2.1.1) и граничными условиями, представленными в таблице 2.3.1. После замены (2.3.1) x = lx, w = iw (2.3.2) где і - некоторый характерный размер, а величины с чертой - безразмерные переменные, уравнение (2.3.1) примет вид
В дальнейшем черточки опускаем для простоты записи. Среди классических однородных условий бифуркация решений уравнения (2.3.3) возможна только в случаях (2.2.1)-(2.2.12). Пример 1. Рассмотрим случай с граничными условиями (2.2.9). Линеаризованная система (2.3.3), (2.2.9) в этом случае примет вид N D .,(4) ww+Awn = Q, Л = (2.3.4) w (0) = 0, wm(0) = 0, w(l) = 0, w (l) = 0 Система (2.3.4) определяет Фредгольмов самосопряженный оператор В, действующий из пространства С4+ог[0;і] в пространство Са[0;1] [155]. Общее решение уравнения из (2.3.4) имеет вид w(x) = f\ + f2x + f3cos(sx)+f4s m(sx) (2.3.5) гДе /\ І2У/ /А " константы, а величина s определяется из соотношения Nf s = D (2,3.6)
Собственные числа X = s2 оператора В находятся из условия равенства нулю определителя системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для fx, f2, f3, f4, получаемой при удовлетворении граничных условий из (2.3.4). Раскрывая определитель, получаем следующее дисперсионное соотношение sin(s) = 0 = s = nx, (п = 1 + я) (2.3.7)
Решение уравнения (2.3.7) определяет точку ветвления Л = s0, то есть значение, при котором оператор В имеет не нулевое подпространство нулей N(B). Критическая скорость, т.е. скорость, при которой наступает ветвление, определяется из уравнения u = Js2D-N0t 2т получаемого из (2.3.7), в котором значение s выбирается равным к. Собственным числам из (2.3.7) отвечает собственная функция р{х). Удовлетворяя условиям из (2.3.4), получим $9(;e) = c(cos(.s;t)-cos(.s)) (2.3.8) Следуя [123], получим сопряженную задачу (2.3.9) и"(0) + Лы (0) = 0, w (0) = 0, w(l) = 0, и (1) = 0 Система (2.3.9) дает определение оператора В : C4+a[0;l]= Ca[0;l], сопряженного к оператору В. Задача (2.3.9) имеет те же собственные числа, определяемые из соотношения (2.3.7) и ту же собственную функцию (2.3.8), то есть q = ц/. Полагая є = Л - s0 (s0 - точка бифуркации), запишем уравнение (2.3.3) в виде системы B(w) = ww +s2y+ w,y z = %z-cw" + wH\(w ) dfe-- я2д+У+ о н = w,y (2.3.10) Разыскивая решение первого уравнения системы (2.3.10) в виде ряда w= yvhJ keJ (w0J =0, так как (2.3.3), (2.2.7) — задача о точке бифуркации), получаем рекуррентную систему для определения wkJ: - 91ъ V 2 аЛЬ з wi0 = p, Bwu=- p", Bwi0=— p"}( p )dx—}— p , Bwl2=-w"it... и 0 L
Тогда второе уравнение системы (2.3.10) представляет собой уравнение разветвления = w,у = w B V = Bwt\j/ = B(w]0 % +;v, j гг + и 2 + w303 + W\2&2 + + w2]42 + ... ),ц/ = Bww,y/ 4+ Bwu,y/ + S%, +...= z, + + Sw, ,, %є+ Bw30,y/ 3 +... = + Ai + Азо3 +o(-) = ,,: +Z303+o(f) = 0 (2.3.11) с коэффициентами i,,= Bw,„ , Z30= 5w30, Асимптотика разветвляющихся решений в первом приближении будет иметь вид W х) = ± --р- -(р(х) + о( І) , где S/g« f--5/g/l(L!-Z,30) (2.3.12) с коэффициентами
Задача об изгибных формах трубопровода с классическими однородными условиями
Математическая модель задачи об изгибных формах трубопровода с протекающей в нем жидкостью включает в себя нелинейное интегро 86 дифференциальное уравнение (2.1.1) и линейные граничные условия , (2.4.1) c0w (l) = -с, w (l) /oWm(l) + /, w (l) = rf (l) В (2.4.1) cQ=d(i=c(i=d(i= EJ, dx=dx =N. Будем рассматривать уравнение (2.3.3) MP2 r f2n+A ОРъ li w(4) + w" + І_а2я+1й - -w J(w )2 = 0 (2.4.2) где W, x - безразмерные (черточки в дальнейшем опускаем). Среди линейных граничных условий (2.4.1) бифуркация возможна при выполнении граничных условий (2.2.13) - (2.2.72). Решение задачи ищется методом Ляпунова-Шмидта. Асимптотика решений имеет вид w( ?{х) ±\ —Є (р{х) + о(4є) где sign = sign(Llj -L30) (2.4.3) с коэффициентами і Ln = Bwu,y/ = - гр",у/ = \ p"t//dx о z30 = Bw30, = — - J + Г J J v = —5 w + и 0 V 0 о о U и
Пример 1. В случае с граничными условиями (2.2.22) дисперсионное соотношение, определяющее точки ветвления, имеет вид cos(s) = 0 = s = -(2n + \) (2.4.4) Собственные функции р(х) и у(х) определяются выражениями р = V2cos(sx), ц/ - j2cos(sx) (2.4.5) Коэффициенты Ln, L30 из (2.4.3) с учетом (2.4.5) принимают вид Lu = -\ p"iffdx = 2s2 [cos1 (sx)dx =s 30 - Рис.2,4.2 Для асимптотических решений (2.4.3) построена бифуркационная диаграмма (см. рис.2.4.1), показывающая зависимость максимального прогиба трубопровода от скорости протекающей в нем жидкости. На рисунке 2.4.2 представлены формы прогиба трубопровода.
Пример 2. При выполнении граничных условий (2,2,21) получаем асимптотику решений уравнения (2.3.3) вида (2.4.3) с коэффициентами і 2 52 L,, = - \(p"y/dx =—s2 jcos(,s;c)(cos(s;e)- cos )) =— ?3t 35аЛб+2я4 ЖЛ fi і 18D L 0 0 где 7 s у/, p = COS(JX)-COS(.S)+—j3sin(.s) . Дисперсионное соотношение, d\ J определяющее точки ветвления, имеет вид sin(-s) = 0 = 3 = П71 Таким образом, асимптотика решений (3.4.3) определяется выражением = 3(35 42/ + (2.4.6) 21.04 21.03 21.12 21.16 21.2 21.24 21.28 2132 2136 21.4
Рис.2.43 Для асимптотических решений (2.4.6) с помощью программы Mathcad 2001 і Professional построена бифуркационная диаграмма (см. рис.2.4.3), показывающая зависимость максимального прогиба трубопровода от скорости протекающей в нем жидкости. На рисунке 2.4.4 представлены формы прогиба трубопровода. 0.1 О.075 0.05 0 025 -OJ025 -0.05 -0.075 -0. w(21.072072) =0 w(21.178579) = 0,032232469 w(21.390002) = 0 055914726 Ч w2(21.043641) = 0 w2 21.135029) =0032246594 w2(21.390002) « 0.057922651 %3 w3(21.095478) =0 w3(21.202103) = 0.032318328 U w3(21390002) - 0.OJ3232OS2 є = 0.01 0.015 1 " 0.0135 — 0.012 — 0.0105 О.О09 ф(х) 0.0075 0.006 0.0045 0.003 — 0.0015 1 — 0 0.5 1 ФСФ- = 0.0555142119 ко- = 0 -.0015 -0.003 -0.0045 -0.006 Ч/(х 0.0075 -0.009 -0.0105 -0.012 -0.0135 -0.015 у(0) = -0.О1020Ш13 Рис.2.4.4 Пример 3. Для граничных условий (2.2.18) аналогично получаем асимптотику решений уравнения (2.3.3) вида (2.4.3) с коэффициентами Lu = - wfydx = s о D a3i6 \ з , ве3 ,2 , „ , a3i6 4 03 3 30 = —-— ypydx + )(р dx \(р y/dx = —-—s D 2 Do о D (p = y/ = -j2s m(sx) (2.4.7) (2.4.8) Дисперсионное соотношение, определяющее точки ветвления имеет вид sin( ) = 0 = s = n7r (2.4.9)
Бифуркационная диаграмма строится аналогично предыдущим случаям. Пример 4. Если граничные условия имеют вид (2.2.33), то получаем асимптотику решений уравнения (2.3.3) вида (2.4.3) с коэффициентами (2.4.7) и собственными функциями р(х) и ц/(х) (2.4.8). Дисперсионное соотношение, определяющее точки ветвления, имеет вид Я cos(s) = s = -(2n + l)
Бифуркационная диаграмма строится аналогично предыдущим случаям. Пример 5. В случае, когда граничные условия имеют вид (2.2.32), получаем асимптотику решений уравнения (2.3.3) вида (2.4.3) с коэффициентами (2.4.7), собственными функциями р(х) и у/(х) (2.4.8) и дисперсионным соотношением вида (2.4.9).
Пример 6. В случае выполнения граничных условий (2.2.20) получаем асимптотику решений уравнения (2.3.3) вида (2.4.3) с коэффициентами (2.4.7) и собственными функциями р(х) и у/(х) (2.4.8). Дисперсионное соотношение, определяющее точки ветвления, имеет вид
С cos( ) + c0 sin( ) - 0 Бифуркационная диаграмма строится аналогично предыдущим случаям. Замечание. Асимптотика решений для других граничных условий (2.2.13) -(2.2.72) находится аналогичным образом и ее построение каких-либо принципиальных трудностей не вызывает.
Изгибные формы трубопровода с нелинейным упругим закреплением концов. Рассмотрим задачу об изгибных формах трубопровода с протекающей по нему жидкостью, описываемую нелинейным интегро-дифференциальным уравнением (2.1.1) и нелинейными граничными условиями из (2.1.2). _(4). т2 _„ . axt _з ее _/ + w +— —w w UwYdx-0 (2.5.1) D D D і w"(0) = Aiv3 (0), w (0) = 0, w(l) = 0, w"(1) = c»VT 3(1), A 0, c. 0 (2.5.2) где TV , - безразмерные (в дальнейшем черточки опускаем). Граничные условия соответствуют упругому элементу на конце х = 0 и упругому шарниру на конце х = 1. Задачу решаем методом Ляпунова-Шмидта. Аналогично задаче о пластине (глава 1 5) имеем дисперсионное соотношение вида cos(s) = 0 = s = —(2и + 1), и = 0,1,2,..., (2.5.3) определяющее точку ветвления Х- s0. Собственные функции р(х) и у(х) определяются выражением p = \j/- V2cos(sx). Полагая є = Л — si (si - точка бифуркации), запишем уравнение (2.5.1) в виде системы w D 0 ZJ (2.5.4) = w, у
Применение методов теории ветвления к системе (2.5.4) затруднительно из-за наличия неоднородных краевых условий. Сделаем замену переменных w(x) = o(x) + (\-xYx4c w \\) + (\-xYx3d w3(0) 2 (2.5.5) Первое уравнение системы (2.5.5) примет вид о{4) + 12x2c W\\) - 96(1 - x)xc w \l) +12(1 - xfc w \l) - I2x2d w3(0) + + 30(1 -x)xd.w\0)- \2(l x)2d,w\0) + sl[u" + x4c w \l)-S(\ -x)x3c w \\) + + 6(l-xYx2c w \\) + (\-xyd w3(0)-3(l-xYx2d w\0) + {l-xYxd.w\0)\+ + u,y z+ -(\ xYx4c w 3(\)+-(\-xYx3d w\0),y z = &-[u +x4ctw \]) 2 6 -8(1- ) /(1) + 6(1- 1 (1) + (1- (0)-3(1-1) , (0) + {\-xYxd.w\0)]+ lv" + x4c w \\)-%(\-xyc w,3(l) + 6(\-xYx2c w \l) + + (1 - x)xW(0) - 3(1 - x)2x2d w3(0) + (1- x)3xd w3(0)] J[y -(l - x)x4c w 3(l) + + 2{l xYx3c wf3(\)--(\ xYx2d w3(0) + (\-xYx2d w3(0) -,2 dx — a3f D y + -(l-x)2/c w 3(l)+ (l-x)3xW(0) 2 пЗ (2.5.6) Для u(x) краевые условия будут однородными ,/(0) = 0, (0) = 0, У{1) = 0, у (1) = 0 (2.5.7) Задача (2,5.6), (2.5.7) не может быть решена точно из-за присутствия w(0) и w (l). Разложим и(х) и w(x) в ряд по степеням Е, и : где w0. = 0, t 0у = 0, так как (2.5.1), (2.5.2) - задача о точке бифуркации. В дальнейшем значения w(0) и w (l), входящие в (2.5.5), заменяется на первое слагаемое из разложения (2.5.8): Для определения Оу получаем рекуррентную систему:
Дивергенция пластины в сверхзвуковом потоке газа с упругим закреплением концов
Пример 1. Математическая модель задачи описывается нелинейным интегро-дифференциальным уравнением (ЗЛ.1) и граничными условиями w"(0) = 0, її (0) = 0, cw(\) = Dwm(\), -cw (\) = Dw"([) (3.2.1) Будем рассматривать уравнение (ЗЛ.1) в виде W (4) 1 + w +——w w \(w) dx 0 D D D і (3.2.2) где w, х - безразмерные. В дальнейшем для упрощения записи черточки опускаем.
Задача (3.2.1), (3.2.2) решалась численно аналогично задаче 1 с помощью той же программы. В качестве параметров Л и v в данном случае используется прогиб и угол поворота на левом конце н 0) = Л, w (0) = v Тогда w(\)-(D/c)\vm(l) и w (\) + (D/c)w"(l) являются функциями Л и v F2ty,v)=w(\ ,v) + (D/c)w\l ,v) (3.2.3) Решаем следующую задачу Коши at . аХ , ЄЄ w 4 + w +——w3 w Uw Ydx = 0 (3.2.4) D D D f w(0) = A, w (0) = w"(0) = 0, ww(0) = 0 Задача Коши (3.2.4) будет соответствовать краевой задаче (3.2.1), (3.2.2), если выполнятся условия (3.1.8). Параметры Л, v будем определять с помощью Ньютоновского процесса, по формулам (3.1.9). Этот итерационный процесс будем продолжать до тех пор, пока не выполнятся условия (3.1.10). Введем обозначения (3.1.11-3.1.13). YQ будет иметь вид Г0=(Я v 0 0)
Тогда задача Коши (3.2.4) примет вид (3.1.14). Задачу Коши (3.1.14) решаем методом Рунге-Кутта шестого порядка с контролем погрешности на шаге по формулам (3.1.15). Сложность задачи Коши заключается в том, что в уравнении присутствует интегральное слагаемое. Интегральное слагаемое будем определять с помощью итерационного процесса, описанного в 1 . На рисунке 3.2.1 представлены бифуркационные диаграммы прогиба пластины при фиксированных коэффициентах изгибной жесткости Z), D2 D3 в зависимости от изменения скорости набегающего потока сверх критических значений Я, = Л1 = si Xl. На рисунке 3.2.1 крайний левый график соответствует \, D,, средний - Л1, D2 у крайний правый - /Ц, Оъ.
График на рисунке 3.2.2 построен при: а3 = 1 Н/м , # = 35-109 Н/м, І — 1м, л0=330м/с, Dt-6729 Нм , с = 1500Н/м. График на рисунке 3.2.3 построен при: Й3 = 1Н/М4, 0 = 35-10 Н/м, = 1м, а0= 330м/с, Д=6730Нм2, с-1500Н/м. График на рисунке 3-2.4 построен при: д3 = 1 Н/м s # = 35-109 Н/м, = 1м, а0= 330м/с, 3=6731Нм2, с = 1500Н/м.
В приложении 6 представлены формы прогиба пластины при некоторых фиксированных значениях , соответствующие соответственно диаграммам на рисунках 3.2.2, 3.2.3, 3.2.4. Приложение 6 имеет структуру приложения 5. Была проведена проверка полученных численных решений с аналитическими с использованием математического пакета Mathcad 2001 і Professional. С помощью этого пакета вычислялись коэффициенты, входящие в асимптотическое решение, полученное аналитически методом Ляпунова-Шмидта. Рассмотрим задачу об изгибных формах трубопровода с протекающей по нему жидкостью. Математическая модель описывается нелинейным интегро-дифференциальным уравнением (2Л. 1) 123 є Dw{4) + Nw" + f{w) - 9w"\(w )2dx = 0 D = EJ, N = N0 + mM2 и совокупностью следующих граничных условий (2.1.2) в точках х = О, х = с \Ь) = g(w (b)l dQw\b) =h(w(b)) ,b = 0,b = При этом функции g, h и f имеют вид, указанный в (2.1.2). =1 А=1 я = 0 Описание параметров, входящих в постановку задачи, приведено в 1 главы 2. Уравнение, описывающее деформацию трубопровода, возьмем в виде (2.3.3) + f!3f_w3 - — w f(w )2 = 0 (3.3.1) D і Пример 1. Рассмотрим граничные условия w (0) = 0, wm(0) = 0, w(l) = 0, w (l) = 0 (3.3.2) где w, - безразмерные. В дальнейшем для упрощения записи черточки опускаем.
Задача (3.3.1), (3.3.2) решалась численно аналогично задаче 1 с помощью той же программы. В качестве параметров Я и v в данном случае выступают прогиб и момент на левом конце: w(Q) = Л, w"(0) = v. Тогда н (1) и w (\) являются функциями Я и v (Я,и) = г(1,Я, ) F2{X,v) = w (\,X,v) (3.3.3) Решаем следующую задачу Коши Nt „ а3Г з ЄЄ "" " -iv ll№ I ид. — и о , (3.3.4) w(0) = A, w (0) = 0, v/(0) = v, w" (0) = 0 D D D Г
Задача Коши (3.3.4) будет соответствовать краевой задаче (3.3.1), (3.3.2), если выполнятся условия (3.1.8). Параметры Я, v будем определять с помощью
Ньютоновского процесса, по формулам (3.1.9). Этот итерационный процесс будем продолжать до тех пор, пока не выполнятся условия (3.1.10). Введем обозначения (3.1.11-3,1.13). Тогда задача Коши (3,3.4) примет вид (3.1.14). Задачу Коши (3.1.14) решаем методом Рунге-Кутта шестого порядка с контролем погрешности на шаге по формулам (3.1.15). Сложность задачи Коши заключается в том, что в уравнении присутствует интегральное слагаемое. Интегральное слагаемое будем определять с помощью итерационного процесса, описанного в 1. / Рис.3.3.1. На рисунке 3.3.1 представлены бифуркационные диаграммы прогиба трубопровода при фиксированных коэффициентах изгибной жесткости DX D2 D3 в зависимости от изменения скорости протекающей жидкости сверх критических значений Л., = Х} SQ /ij. На рисунке 3.3.1 крайний левый график соответствует І,, Д, средний - Aj, D2, крайний правый - /Ц, 3. На рисунках 3.3.2, 3.3.3, 3.3.4 представлены диаграммы, представленные на рисунке 3.3.1, по отдельности соответственно для / , Дз, А,. График на рисунке 3.3.2 построен
при: 1 = 2м, 0 = 35-1О3Н/м, а3 = 1 Н/м\ 2=449Нм2, 0 = 450Нм2, )3=451Нм2, N0 = 1H, т+=10кг/м. График на рисунке 3.3.3 построен при: = 2м, 0 = 35-1О3Н/м, я3=1Н/м4, D2=449HM2, Д =450Нм2, й3=45Шм\ JV0=1H, /И =10КГ/М. График на рисунке 3.3.4 построен при: = 2м,
