Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическое моделирование термоупругих процессов в неоднородных анизотропных средах 35
1.1. Исходные соотношения линейной термоупругости неоднородных анизотропных сред 35
1.2. Учет особенностей термоупругих процессов в неоднородных анизотропных средах в рамках различных моделей. Гибридное моделирование 48
1.3. Построение приближенных уравнений термоупругости для слабо неоднородных и анизотропных сред 57
1.4. Основные результаты и выводы 70
Глава 2. Математическое моделирование диагностики слабо неоднородных и анизотропных полуограниченных тел 72
2.1. Математическая модель диагностики для полупространства 73
2.2. Метод стационарных базовых процессов при исследовании модели термоупругой диагностики полуограниченных тел 78
2.3. Определение термомеханических характеристик анизотропного полупространства 95
2.4. Определение термомеханических характеристик изотропного полупространства 111
2.5. Модель термоупругой диагностики для вертикально неоднородного полупространства 118
2.6. Определение термомеханических характеристик вертикально-неоднородного изотропного полупространства 127
2.7. Математическая модель термоупругой диагностики пространства с цилиндрической полостью 132
2.8. Математическая модель термоупругой диагностики пространства со сферической полостью 142
2.9. Термоупругая диагностика без использования температурной информации 147
2.10. Основные результаты и выводы 154
Глава 3. Математическое моделирование диагностики сред, обладающих сложными термомеханическими свойствами 156
3.1. Математическое моделирование диагностики термочувствительных сред 158
3.2. Математическое моделирование диагностики физически нелинейных упругих сред 165
3.3. Математическое моделирование диагностики термовязкоупругих сред 169
3.4. Математическое моделирование диагностики остаточных напряжений 175
3.5. Основные результаты и выводы 180
Глава 4. Математическое моделирование диагностики полу ограниченных составных слоистых тел 182
4.1. Математическая модель диагностики слоистого полупространства 184
4.2. Математическая модель термоупругой диагностики пространства с цилиндрической полостью, окруженной многослойным покрытием 188
4.2. Математическая модель термоупругой диагностики для пространства со сферической полостью, окруженной многослойным покрытием 190
4.4. Использование метода стационарных базовых процессов при исследовании математических моделей термоупругой диагностики слоистых составных тел 192
4.5 Учет последействия при математическом моделировании термоупругой диагностики слоистой среды 198
4.6. Математическое моделирование диагностики остаточных напряжений в слоистой среде 202
4.7. Основные результаты и выводы 215
Глава 5. Математическое моделирование диагностики композитных сред 217
5.1. Эффективные термомеханические характеристики композитных сред 219
5.2. Математическое моделирование диагностики дисперсно упрочненной композитной среды 223
5.3. Математическое моделирование диагностики сред, армированных плоскими дисками 231
5.4. Математическое моделирование диагностики сред, армированных волокнами 240
5.5. Основные результаты и выводы 251
Глава 6. Математическое моделирование диагностики элементов конструкций 252
6.1. Термоупругая диагностика фрагментов ферменных конструкций 253
6.2. Математическое моделирование диагностики пластин 271
6.3. Экспериментальная оценка достоверности полученных теоретических результатов 287
6.4. Основные результаты и выводы 292
Заключение 293
Литература
- Учет особенностей термоупругих процессов в неоднородных анизотропных средах в рамках различных моделей. Гибридное моделирование
- Метод стационарных базовых процессов при исследовании модели термоупругой диагностики полуограниченных тел
- Математическое моделирование диагностики физически нелинейных упругих сред
- Математическая модель термоупругой диагностики для пространства со сферической полостью, окруженной многослойным покрытием
Введение к работе
Получение новых знаний об объекте исследования во многих случаях связано с определением его характеристик, которые недоступны (или затруднительны) для непосредственного измерения. Примером этого является (возникающая в геофизике, биофизике, механике деформируемого твердого тела и других науках и областях практической деятельности [4-6,23,31,65,67,71,74,77,85,98,99,184,185,213,215,238-240,251-256,260-261,272, 274,280,284,288,297]) проблема определения характеристик физических полей и физических характеристик неоднородного материала внутри тела, представляющая, как правило, гораздо большие трудности, чем их определение на поверхности. В этом случае наиболее эффективным (а подчас единственным) методом исследования является математическое моделирование, в рамках которого строятся математические соотношения, связывающие между собой измеряемые и не измеряемые величины. Общность проблемы требует, однако, учета особенностей каждой предметной области. Так, математическое моделирование неразрушающего контроля материалов (которое также входит в рассматриваемый круг задач) связано с использованием моделей и методов механики сплошных сред и теории теплопроводности.
Проблема является актуальной. Практическая необходимость, которая, с одной стороны, ужесточает требования к качеству материалов, применяемых для изготовления особо ответственных изделий в связи с экстремальными условиями их эксплуатации, а, с другой стороны, требует рационального и экономного использования произведенных материалов, обуславливает важность определения физических характеристик материала, выделение зон с дефектами структуры, наличием микротрещин, пор, включений и т.д. Структура материала трансформируется в процессе технологической обработки, например, при использовании прокатки, волочения, облучения, направленной кристаллизации при производстве отливок и т.д. [12,16,29,30,36,50,52,55,74,85,92,112-115,117,155-157,163, 165,228,229]. При этом даже незначительные отклонения режимов технологии могут привести к появлению трудно учитываемых изменений в структуре. Как правило, сложно заранее прогнозировать структурные изменения, вызываемые внешними воздействиями, в частности, некоторыми физическими полями (сильные магнитные поля, большие колебания температур), радиоактивным облучением, воздействием химически активных сред, накоплением усталостных микроповреждений в процессе эксплуатации изделий. Таким образом, диагностика структуры (и обусловленных ею физических свойств) материала может служить не только для выбора и отладки технологий, но и для определения степени износа, а также для изучения влияния условий эксплуатации на сроки службы изделия.
Существующие в настоящее время методы неразрушающего контроля материалов (акустические, ультразвуковые, магнитные, тепловые [23,31,65,77,111,116,208,209,243]), как правило, ориентированы на выбраковку образцов с определенным уровнем содержания включений, пор, микротрещин и других нарушений структуры материала. Такой подход основан на представлении об однородном изотропном материале как идеальном с точки зрения прочностных свойств. Вместе с тем, очевидно, что не все структурные изменения носят отрицательный характер. Кроме того, правильная оценка и учет при проектировании позволяют использовать заготовку даже при наличии негативных отклонений в структуре материала для изготовления менее ответственных деталей.
В последнее время широкое распространение получили структурно неоднородные материалы, дающие новые возможности для оптимального проектирования конструкций при заданных условиях эксплуатации. К числу таких материалов можно отнести композиты, при изготовлении которых существует возможность выбора армирующих элементов, их геометрии и объемного содержания [10,20,97,101,173,181-184,189,235,236,264], а также специальным образом обработанные традиционные материалы [16,50, 55,74,85,92,112,113,117,155-157,163,165]. Неравномерное распределение структурной неоднородности приводит к пространственной неоднородности материала. Кроме того, многие материалы, которые, как правило, имеют неравномерно распределенные структурные дефекты [29,30,157,228,229], но обычно считаются однородными, в настоящее время используются для производства особо ответственных изделий, что не позволяет использовать гипотезу пространственной однородности. Таким образом, в настоящее время актуальной становится проблема неразрушающего контроля пространственно неоднородных анизотропных материалов с целью их последующего наиболее эффективного использования.
Актуальность проблемы определения физических характеристик материала и определенная ограниченность существующих методов неразрушающего контроля изделий служат основанием необходимости дальнейшего развития теоретических основ диагностики.
Методы неразрушающего контроля, которые используются в настоящее время, не в полной мере отвечают специфике конструкций из неоднородных материалов. Так функциональная диагностика, основанная на измерении параметров физических процессов, протекающих в элементах конструкции во время эксплуатации изделия, в данном случае недостаточно информативна, поскольку определению подлежат не отдельные параметры (константы), а распределения характеристик (функции). Традиционная тестовая диагностика, подразумевающая всестороннее экспериментальное исследование образцов элементов конструкций, связана с разборкой и транспортировкой конструкции, в процессе которых могут происходить изменения свойств материалов. Так, например, упрочненный поверхностный слой при его снятии с изделия теряет многие из своих свойств. Это делает наиболее перспективным подход, основанный на широком применении математического моделирования. При отсутствии возможности проведения непосредственных измерений искомых физических характеристик материала в рамках данного подхода измеряются значения характеристик протекающих в теле процессов, а затем (используя математическую модель изделия) вычисляются значения характеристик материала. Возникающие при этом математические обратные задачи отражают существующие в рамках модели обратные связи. Такой подход, сочетая в себе положительные элементы функциональной (отсутствие необходимости разборки) и тестовой (информативность) диагностики предполагает проведение диагностических модельных вычислительных экспериментов. При этом не только используются существующие математические модели неоднородных материалов (сплошные среды, характеристики которых полагаются функциями пространственных координат), но и моделируется проведение тестовых испытаний. В соответствии с приведенной классификацией методов диагностики данный подход может быть назван модельной диагностикой.
Настоящая работа посвящена математическому моделированию распространения термоупругих процессов в неоднородных анизотропных телах с целью определения эффективных термомеханических и (в случае ярко выраженной структуры) структурных характеристик этих тел. Общая методология математического моделирования применительно к исследованию физических процессов в твердых телах разработана в работах О.М. Белоцерковского, А.А.Дородницына, Н.Н.Красовского,
М.А.Лаврентьева, В.П.Маслова, Г.И.Марчука, В.М.Матросова, Н.Н.Моисеева, Л.В.Овсянникова, Ю.И.Осипова, А.А.Самарского, Л.С.Седова, А.Н.Тихонова, Ф.Л.Черноусько, Б.Н.Четверушкина, В.В.Шайдурова, Ю.И.Шокина, Н.Н.Яненко и др.[28,58,84,167-169,196,231-233,246,247]. Основные научные результаты в теории распространения упругих и термоупругих волн в массивных телах получены такими математиками и механиками, как А.С.Алексеев, В.А. Бабешко, В.М.Бабич, А.С.Благовещенский, Л.М.Бреховских, А.О.Ватульян, И.И.Ворович, И.А.Викторов, С.К.Годунов, В.Т.Гринченко, А.Н.Гузь, А.Д.Коваленко, Ю.М.Коляно, А.С.Кравчук, М.М.Лаврентьев, Л.А.Молотков,
Ю.В.Немировский, У.К.Нигул, В.К.Новацкий, Г.И.Петрашень,
Я.С.Подстригач, О.Д.Пряхина, В.Г.Романов, В.М.Сеймов, И.В.Симонов, Л.И.Слепян, В.И.Смирнов, С.Л.Соболев, А.Ф.Улитко, И.Г.Филиппов, Е.И.Шемякин, В.Г.Яхно и др.[5,6,17,42,78-83,86-91,97,107-109,178-180,185,194-200,213-219,265-272].
Для решения поставленной задачи использовались также методы теории обратных задач для уравнений математической физики. Однако специфика исследуемой задачи не позволила непосредственно перенести в данную область уже существующие методы и алгоритмы решения задач. Это связано с тем, что существующие постановки обратных задач для уравнений упругости и термоупругости разрабатывались, как правило, для исследования проблем геофизики. Так, например, в рамках широко используемой для определения распределений звуковых скоростей в среде, а, следовательно, и идентификации горных пород обратной кинематической задачи сейсмики в качестве экспериментальной информации берется время прохождения упругой волны между двумя точками поверхности тела. Первые работы в этом направлении провели немецкие геофизики Г.Герглотц, Е.Вихерт и К. Зоппритц. Близкими в математическом плане являются модели медицинской ультразвуковой томографии (модель эхо-импульсного зондирования с использованием углового сканирования объекта при совмещении излучателя и приемника и при пространственно распределенном приеме акустических сигналов), где определению подлежит изменение в пространстве волнового числа.
Теория обратных задач Штурма-Лиувилля (восстановление коэффициентов дифференциального оператора по его спектру), основоположниками которой являются Б.М.Левитан и М.Г.Крейн, послужила математической основой спектральных моделей определения характеристик сред (исследуемых в работах В.А. Марченко, Л.Г. Штейнберга и др.), предполагающих использование в (качестве экспериментальной информации) значений собственных частот колебаний тел. Однако в реальных экспериментах можно определить только несколько таких частот - несколько констант, которые не позволяют однозначно определить несколько десятков искомых функций.
Модели диагностики, основанные на использовании математического аппарата задач идентификации (исследованные в работах Н.В. Баничука, Ю.М. Коляно, А.С. Кравчука и др.), ориентированы на определение нескольких параметров аналитического представления функций -коэффициентов уравнений путем минимизации невязки этих уравнений. Ограниченность данного подхода связана со сложностями решения задачи многомерной нелинейной (вообще говоря, не выпуклой) оптимизации. Все указанные подходы к решению проблемы исследования неоднородной среды по результатам измерений характеристик физических полей (наряду с присущими каждому из них особенностями) объединяет возможность определения небольшого количества (как правило, не более чем 2-3) искомых характеристик среды, в то время как математические модели могут содержать несколько десятков независимых характеристик. Ограниченность этих подходов связана с жестким заданием типа специальных условий инициирования физических процессов и типа измеряемой информации.
Современная измерительная техника позволяет не только регистрировать наличие сигнала на поверхности тела, но и измерять его амплитуду [68,69,77,111,192,201,205,206,224,250]. В литературе известны обратные задачи с использованием амплитудной информации - так называемые динамические обратные задачи. Для динамических уравнений теории упругости, уравнения акустики, а также для гиперболических систем уравнений более общего вида они исследовались, в частности, в работах российских математиков А.С. Алексеева, А.С. Благовещенского, Е.А. Волковой, В.И. Добринского, СИ. Кабанихина, М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, В.Г.Яхно и др.[17,21,22,37-41,56,57,70,71,107-109,160-162,213-219265-272]. Работы в этом направлении проводились также зарубежными математиками (Т.С. Cheng, S. Не, J.L. Liu, Rakesh, Р.Е. Sacks, W. Symes, C.I. Weng и др.[274,280,283,284,288,297]). Однако данные постановки обратных задач не вполне соответствуют диагностике материала применительно к проблематике неразрушающего контроля качества изделий. Оправданное в рамках математической геофизики использование сосредоточенных воздействий приводит к возникновению волновых процессов с резко выделенными фронтами, что нежелательно при неразрушающем контроле (необратимые деформации, дифракция на неоднородностях и пр.). В настоящей работе рассматриваются термосиловые воздействия, вызывающие в контрольном изделии «плавные» стационарные (например, колебательные или затухающие) процессы. Таким образом, актуальной является разработка методов решения обратных задач термоупругости, состоящих в определении термомеханических характеристик неоднородных анизотропных сред, в рамках математического моделирования неразрушающей диагностики материалов.
В настоящей работе предлагается подход, основанный на построении математических моделей, в которых эти условия заранее не заданы, а получаются в дальнейшем при исследовании возможности однозначного определения различных характеристик исследуемой среды. Единственным заранее принятым ограничением является задание значений температуры и перемещений (получаемых в качестве информации диагностических испытаний) на поверхности исследуемого тела, что соответствует возможностям современной измерительной техники.
Исследование ограничивается также рассмотрением только слабо неоднородных и анизотропных термоупругих сред. Это существенно упрощает задачу и позволяет во многих случаях построить алгоритм нахождения приближенного решения. Однако данное ограничение задачи не приводит к утрате ею актуальности. Принятое предложение справедливо для многих как природных, так и искусственно создаваемых материалов, в частности для металлов, подвергнутых перечисленным выше способам обработки и внешним воздействиям. Необходимо заметить, что слабая неоднородность и анизотропия жесткостных и теплофизических свойств материала не означает, что по своим прочностным свойствам он также будет слабо неоднородным и анизотропным. Так, например, облучение части металлического изделия может привести к изменению модуля Юнга и коэффициента теплопроводности на 5-10%, в то время как предел текучести металла в этой области увеличится в несколько раз [92]. Аналогичная ситуация существует для металлов, подвергнутых обработке давлением, и материалов с микротрещинами.
Математические модели диагностики включают в себя кроме соотношений модели исследуемой сплошной среды еще и соотношения, которые полагаются полученными в результате измерений, проведенных во время испытаний. Предлагаемый в диссертации подход позволяет в рамках моделей линейной термоупругости исследовать задачи нахождения (уточнения) структурных (например, объемные содержания примесей) и эффективных (таких, например, как коэффициенты жесткости, объемного температурного расширения, теплопроводности и др.) термомеханических характеристик неоднородных тел, полагаемых функциями пространственных координат по значениям перемещений и температуры на поверхности тела.
Целью данной работы является разработка методов и алгоритмов решения обратных задач термоупругости по данным на границе области, занимаемой неоднородной и анизотропной средой, в рамках математического моделирования неразрушающей диагностики материалов
На защиту выносгтся разработанные в рамках математического моделирования диагностических испытаний пространственно неоднородных анизотропных материалов: общая концепция математического моделирования термоупругой диагностики; общий подход разработки алгоритмов нахождения термомеханических характеристик среды (алгоритмов решения обратных задач термомеханики); комплекс алгоритмов решения обратных задач для термоупругих тел Математическое моделирование диагностики носит иерархический характер и включает в себя в качестве взаимно связанных составных частей моделирование исследуемого тела, моделирование многокомпонентного состава материала, моделирование физических свойств материала (компонентов), моделирование, используемых для диагностики термомеханических процессов и моделирование условий инициирования этих процессов, а также регистрируемой в процессе диагностических испытаний информации. Основные виды подмоделей, входящих в состав математической модели диагностики, являются классификационными признаками всей модели диагностики. Так, например, использование в качестве модели регистрации информации, полученной в рамках диагностических испытаний, граничных значений характеристик термомеханических процессов без моделирования измерительного оборудования представляет собой значительное упрощение, делающее рассматриваемые модели диагностики в этом смысле минимальными. Это же касается моделирования воздействий, инициирующих в исследуемом теле служащие для диагностики термоупругие процессы. Минимальной моделью этих воздействий является задание граничных значений усилий, нормальной составляющей теплового потока, а также массовых сил и тепловых источников внутри области тела.
Характер моделей, описывающих протекание термоупругих процессов, обуславливает использование в качестве конфигуратора (языковых средств описания) исследуемых моделей диагностики математического аппарата механики сплошных сред. При этом классификационным признаком может служить тип выбранной модели термоупругости. Классификационными признаками моделей диагностики могут служить также тип анизотропии и размерность пространственного распределения неоднородности среды, а также размерность модели и составной тип (например, слоистость с учетом различных условий контакта слоев) исследуемого тела. В качестве классификационных признаков можно использовать также учет или неучет дополнительных физических эффектов (например, термочувствительность, упругая физическая нелинейность, вязкость, наличие остаточных напряжений и др.). Отдельный класс моделей диагностики составляют модели, ориентированные на определение пространственно неравномерно распределенных структурных характеристик исследуемого материала. Так для композитных материалов представляет практический интерес определение неравномерных распределений концентраций армирующих элементов или неравномерные отклонения направлений волокон от заданных направлений. Наличие такого большого числа классификационных признаков приводит к возможности рассмотрения в рамках общей модели диагностики большого числа различных частных случаев. Например, возможным частным случаем является диагностика слоистого материала, состоящего из нескольких слоев различной толщины (причем некоторые слои находятся в условиях полной склейки, а другие могут допускать вязкое проскальзывание); слои являются композитными с различными типами армирования, а некоторые их компоненты являются термочувствительными (термо-вязко-упругими, физически нелинейно упругими). Количество возможных моделей диагностики определяется также набором характеристик материала, которые полагаются известными, и набором характеристик, подлежащих определению. Все это служит основанием подхода, основанного на рассмотрении общих алгоритмов термоупругой диагностики пространственно неоднородных тел.
Для достижения цели работы используется общая методология математического моделирования, модели и математические методы механики деформируемого твердого тела, и в частности, методы решения задач термоупругости. При исследовании задач диагностики композитных сред использованы модели механики композиционных материалов. Для решения задач диагностики слабо неоднородных и анизотропных тел использована теория возмущений, метод малого параметра, а также разработанный в рамках диссертационного исследования метод стационарных базовых процессов (СБП). Для построения численных решений использовались методы вычислительной математики. Исследование постановок задач диагностики основано на теории обратных задач для уравнений математической физики.
Научная новизна. Для математического моделирования диагностических испытаний предложена новая общая концепция математического моделирования диагностики неоднородных анизотропных тел как разработка и исследование модели, в которую в качестве субмоделей входят модели тела (элемента конструкции), среды (материала), используемого для диагностики термомеханического процесса, условий его инициирования и измеряемой в процессе тестовых испытаний информации.
При анализе обратных задач для нестационарных уравнений термоупругости предложен общий подход к построению алгоритмов определения термомеханических характеристик неоднородных тел на основе использования граничных значений параметров (температур и перемещений) специальным образом инициированных термоупругих процессов. При этом разработаны: - алгоритмы решения обратных задач для слабо неоднородных и анизотропных (ортотропных, монотропных, изотропных) термоупругих сред для полуограниченных тел в прямоугольной, цилиндрической (осевая симметрия) и сферической (сферическая симметрия) системах координат в рамках моделей линейной термоупругости (теории температурных напряжений, связанной термоупругости, обобщенной термомеханики); алгоритмы решения обратных задач для термочувствительных, физически нелинейных и термо-вязко-упругих (непрерывно неоднородных и слоистых) полуограниченных тел в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат; алгоритмы решения обратных задач по определению начальных (остаточных) напряжений в полуограниченных телах; алгоритмы решения обратных задач для слоистых сред, состоящих из слабо неоднородных и анизотропных плоских, цилиндрических и шаровых слоев в рамках различных моделей линейной термоупругости; алгоритмы решения обратных задач термоупругости для диагностики композитных (дисперсно-упрочненных и армированных однонаправленными семействами волокон) тел; алгоритмы решения обратных задач для диагностики стержней, фрагментов идеальных ферменных конструкций и пластин.
Для перечисленных задач сформулированы достаточные условия единственности решения.
Теоретическая и практическая значимость работы связана с тем, что математическое моделирование диагностических испытаний дает возможность теоретического исследования перспектив применения неразрушающего контроля неоднородных материалов. Новые постановки задач, в рамках которых наряду с неизвестными характеристиками термоупругих процессов определению (уточнению) подлежат термомеханические характеристики материала, расширяют рамки применимости моделей термоупругости, поскольку позволяют исследовать взаимосвязь между характеристиками процессов и материалов.
Предлагаемые в диссертации подходы и методы решения могут быть использованы при решении обратных задач математической физики. Практическая значимость работы связана с возможностью более точного определения напряженно-деформированного состояния элементов конструкций, изготовленных из слабо неоднородных, анизотропных, термочувствительных, термовязкоупругих и физически нелинейно-упругих материалов, что дает возможность уточнения оценок прочностных и других эксплуатационных параметров конструкций.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на VIII Всесоюзном симпозиуме по распространению упругих и упруго-пластических волн (Новосибирск, 1986), на Всесоюзной школе-семинаре «Математическое моделирование в науке и технике» (Пермь, 1986), на Сибирской школе по условно-корректным задачам математической физики и анализа (Красноярск, 1986), на XVI Дальневосточной математической школе-семинаре (Находка, 1986), на Всесоюзной школе «Вычислительные методы и математическое моделирование» (Шушенское, 1986), на X Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Красноярск, 1987), на Всесоюзной конференции «Физико-химические проблемы материаловедения и новые технологии» (Белгород, 1991), на Международной конференции «Информационные технологии в строительстве» (Белгород, 1996), на Международной конференции «Промышленность строительных материалов и стройиндустрия: энерго- и ресурсосбережение» (Белгород, 1997), на Международной конференции «Качество, безопасность, энерго- и ресурсосбережение в промышленности строительных материалов» (Белгород, 2000), на V Международной научно-технической конференции «Вибрация-2001 (Вибрационные машины и технологии» Курск,2001), на VII академических чтениях РААСН «Современные проблемы строительного материаловедения» (Белгород, 2001), на XVII Межреспубликанской конференции «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности» (Новосибирск, 2001), на Международной научно-технической конференции «Эффективные строительные конструкции: теория и практика» (Пенза, 2002), на Международной научно-технической конференции «Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных проблем» (Таганрог, 2002), на 5-ой и 6-ой Всесоюзных конференциях «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2002 и 2003), на Международной конференции "Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики" (Новочеркасск, 2003), на Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2004), на XXI Международной конференции «Релаксационные явления в твердых телах» (Воронеж, 2004) и др.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 38 работах.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, приложения и списка литературы. В конце каждой главы в отдельном параграфе приведены основные результаты и выводы данной главы. Главы разбиты на параграфы. Нумерация формул, таблиц и рисунков имеет в качестве первого индекса номер главы, в качестве второго индекса - номер параграфа, в качестве третьего индекса - номер формулы (таблицы, рисунка) в данном параграфе. Каждая глава завершается параграфом, в который вынесены основные результаты и выводы этой главы. Объем диссертации составляет 344 страницы машинописного текста. Список литературы содержит 304 наименования.
Во введении обосновывается актуальность темы исследования и приводится краткое содержание работы.
В первой главе дается анализ существующих моделей нестационарной термоупругости, постановок задач и методов их решения. Построены приближенные уравнения термоупругости и предложен подход к построению гибридной термоупругой модели. Сформулированы выводы.
Вторая глава посвящена математическому моделированию диагностических испытаний полуограниченных слабо неоднородных и анизотропных сред. Подробно рассмотрена модель диагностики для полупространства, состоящая в определении плотности, удельной теплоемкости, времени релаксации теплового потока, компонент тензоров жесткости, теплопроводности, объемного температурного расширения (в случае анизотропии общего вида - 36 функций трех пространственных переменных). В первом параграфе приведены модели диагностики для термоупругого полупространства.
Во второй параграф вынесено описание общего подхода к исследованию рассматриваемых в данной работе моделей диагностики, названного автором методом стационарных базовых процессов (СБП).
В третьем и четвертом параграфах метод СБП применяется для определения термомеханических характеристик анизотропного и изотропного полупространства в случае трехмерного распределения неоднородности.
В пятом и шестом параграфах метод СБП применяется для определения термомеханических характеристик ортотропного и изотропного полупространства для случая вертикально-неоднородной среды (зависимости искомых характеристик среды от одной пространственной координаты - «глубины»).
Седьмой и восьмой параграфы второй главы посвящены решению задач термоупругой диагностики полуограниченных тел в цилиндрической (осевая симметрия) и сферической (сферическая симметрия) системах координат. Проведены численные расчеты.
В девятом параграфе рассмотрена модель диагностики, в рамках которой в качестве информации диагностики для определения всех искомых термомеханических (в том числе и теплофизических) характеристик среды используется только информация относительно перемещений на поверхности полупространства. При этом тепловые процессы в исследуемой среде, а затем и ее теплофизические характеристики определяются за счет температурной зависимости полей деформаций и напряжений.
Основные результаты и выводы второй главы вынесены в десятый параграф.
Третья глава посвящена математическому моделированию диагностических испытаний сред, термомеханические свойства которых слабо отличаются от свойств, описываемых в рамках модели линейной термоупругости. В первом параграфе в рамках математического моделирования диагностики термочувствительных сред полагается, что эффективные термомеханические характеристики среды являются функциями не только пространственных переменных, но и относительной температуры. Предполагается, что искомые характеристики исследуемой среды могут быть представлены в виде сходящегося степенного ряда по малому параметру є и относительной температуре с зависящими от пространственных координат коэффициентами, а характеристики, протекающих в ней термоупругих процессов, - аналитичны по малому параметру б. Принятые предположения позволили в соответствии с процедурой метода возмущений перейти от соотношений, описывающих в рамках теории связанной термоупругости распространение термоупругих процессов в слабо неоднородном и анизотропном термочувствительном полупространстве, к последовательности уравнений
Второй параграф третьей главы посвящен математическому моделированию диагностики сред со слабой физической нелинейностью упругих свойств. Рассмотрение случая, когда нелинейные упругие свойства исследуемой слабо неоднородной и анизотропной среды незначительно зависят от объемных деформаций и соотношения, связывающие напряжения и деформации могут быть представлены в виде степенного ряда по малому параметру є позволяет обобщить рассмотренные во второй главе задачи диагностики учетом слабой физической нелинейности упругих свойств среды.
В третьем параграфе третьей главы рассмотрены математические модели диагностики термовязкоупругих сред. Вязкоупругий тип деформирования, характерный в определенном диапазоне нагрузок для некоторых классов полимеров и стекловидных эмалей, в той или иной степени возможен и для многих других материалов. В частности, в ряде случаев (например, при анализе демпфирующих свойств) является необходимым учет внутреннего трения в металлах, описываемого вязкоупругими определяющими соотношениями. При моделировании термовязкоупругих сред отдельно рассмотрены модели, учитывающие эффекты релаксации напряжений и последействия.
Четвертый параграф посвящен математическому моделированию диагностики начальных (остаточных) напряжений. Начальные (остаточные напряжения) возникают на этапе изготовления материалов (при кристаллизации, стеклообразовании, полимеризации), на этапе изготовления и технологической обработки элементов конструкций (при обработке давлением, радиационном облучении, термообработке и т.д.), а также на этапе сборки изделия (при сварке, спайке, склеивании и т.д.) Начальные напряжения играют, как правило, отрицательную роль при эксплуатации конструкций, что делает желательным их устранение (например, отжиг стеклянных и керамических изделий) или, по крайней мере, их учет при оценке качества изделий. Необходимость исследования начальных напряжений возникает при решении задач биомеханики, механики горных пород и в других областях механики деформируемого твердого тела, что делает актуальным развитие неразрушающих методов определения остаточных напряжений.
В четвертой главе ранее рассмотренные модели диагностики и подход к их исследованию распространены на случай слоистой среды.
В рассмотренном в первом параграфе этой главы случае слоистого полупространства с плоскопараллельными границами слоев на контактных плоскостях предполагаются выполненными условия идеального теплового контакта и условия жесткого сцепления (полной склейки) или (на некоторых контактных границах или областях на контактных границах) условия вязкого трения. При этом слои полагаются слабо неоднородными и анизотропным, и, кроме того, могут существенно отличаться друг от друга по своим толщинам и термомеханическим характеристикам. Полагается возможным также использование различных моделей (приближенных соотношений) линейной термоупругости для описания процессов в разных слоях. Модели диагностики, рассматриваемые для случая слоистого полупространства с плоско параллельными слоями, обобщены на случай слабо криволинейных границ слоев. Рассмотрены также модели диагностики для пространства с цилиндрической полостью (каналом), окруженной цилиндрическими слоями (второй параграф) и пространства со сферической полостью, окруженной шаровыми слоями (третий параграф). В четвертый параграф вынесено описание особенностей применения общего подхода (метода СБП) к определению термомеханических характеристик слоистых сред. В пятом и шестом параграфах рассмотрены модели слоистых сред с учетом вязких эффектов и с учетом начальных напряжений.
Пятая глава посвящена математическому моделированию диагностических испытаний композитных сред. В рамках этих моделей определению (уточнению) подлежат структурные характеристики материалов, такие как объемные содержания примесей или направления расположения армирующих волокон.
В первом параграфе данной главы приведены используемые в дальнейшем простейшие соотношения, связывающие эффективные термомеханические характеристики дисперсно упрочненной композитной среды с соответствующими характеристиками и объемными содержаниями компонентов (модель Фойхта и модель Рейса).
Слабая неоднородность дисперсно упрочненного материала может быть связана со слабой неоднородностью матрицы, явившейся следствием неравномерности процесса затвердения (кристаллизации, полимеризации, высыхания и т.д.) связующего при изготовлении композита. При этом нетрудно рассматривать модель диагностики матрицы с учетом слабой термочувствительности, физической нелинейности и термо-вязко-упругости ее свойств по аналогии с соответствующими параграфами четвертой главы. Слабая пространственная неоднородность в эффективном смысле может быть также при слабой неравномерности распределения наполнителей в матрице. Модели диагностики дисперсно-упрочненных сред рассматривается во втором параграфе.
В третьем параграфе рассматриваются модели диагностики композитов с учетом переходной зоны между матрицей и армирующим элементом. При этом рассматриваются дисперсно-армированные композиты, композиты, армированные волокнами, и композиты, армированные плоскими дисками. Особенностью последнего вида армирования является большая (по сравнению с композитом, армированным шарообразными элементами) площадь контактной поверхности «арматура-матрица» при одинаковом объемном содержании наполнителя. Моделирование контактных эффектов может быть проведено введением условного промежуточного «контактного» термоупругого слоя между матрицей и армирующим элементом.
Данные соотношения соответствуют формулам модели Фойхта для случая определения эффективных характеристик среды, содержащей два вида включений с учетом того, что объемное содержание второго включения (контактного слоя) связано с объемным содержанием и геометрическими характеристиками первого включения.
Применение полученных простых по структуре соотношений осложняется тем, что характеристики контактного слоя и его толщина неизвестны. Но это связано не столько с погрешностью модели, сколько с тем, что структура материала и контактные условия в зоне границы между армирующим элементом и матрицей существенно зависят от технологических параметров процесса изготовления композита и, вообще говоря, действительно, неизвестны. Тем самым, рассматриваемая задача выходит за рамки классических задач моделирования свойств композитных материалов, где эффективные характеристики композита определяются на основе данных о матрице и армирующем элементе без учета технологии изготовления. Модель монетно-армированного композита должна быть дополнена соотношениями, позволяющими замкнуть для однозначного определения эффективных характеристик материала. Дополнительные соотношения могут быть в виде гипотез, основанных на экспериментальных данных по испытаниям композитных образцов при различных способах изготовления, или в виде самих значений экспериментальных данных. Последний случай (в наиболее сложной ситуации, когда неравномерность воздействий при изготовлении композита приводят к его макронеоднородности) приводит к необходимости решения задачи диагностики, которая в математическом плане аналогична задаче, рассмотренной во втором параграфе данной главы. Различие заключается в том, что определению подлежат не характеристики матрицы, а характеристики условного контактного слоя. При этом в соответствии с главой 3 может быть учтена слабая термочувствительность, физическая нелинейность и термо-вязко-упругость условного контактного слоя.
При этом желательно, чтобы используемые неразрушающие испытания позволяли не только производить выбраковку некачественных изделий, но и давали бы возможность оценивать тип и характер обнаруженных дефектов и, тем самым, находить применение изготовленному композитному материалу. В данном параграфе рассматривается задача тепловой диагностики материала, армированного однонаправленным семейством волокон, которая будет заключаться в уточнении траекторий волокон. Необходимо отметить, что задача тепловой диагностики может рассматриваться как частный случай задачи термоупругой диагностики, в рамках которого характеристики материала ищутся по значениям температур на границе тела при заданных режимах тепловых воздействий и при отсутствии силовых нагружений.
В четвертом параграфе пятой главы рассмотрена математическая модель тепловой диагностики материала, армированного однонаправленным семейством волокон, которая заключается в уточнении траекторий волокон. В процессе изготовления однонаправленных волокнистых композитов в силу несовершенства технологии возможны нарушения регулярной структуры армирования, в частности истинные положения волокон и их траекторий могут отличаться от планируемых. В этом случае для индивидуального контроля особо ответственных изделий и отладки технологии серийного производства необходимо проведение тестовых испытаний с целью уточнения структуры материала. Эффективные характеристики армированного волокнами композита могут быть пересчитаны через характеристики матрицы и арматуры по модельным формулам, в разной степени учитывающим особенности этого типа армирования. Для расчета эффективных характеристик контрольного композитного материала использована модель, предложенная В.В.
Болотиным, и модель, предложенная Ю.В. Немировским. Обе модели отражают анизотропию композита (направление армирования является особым по сравнению с другими направлениями). В случае, когда в результате погрешности технологии изготовления композита направляющие косинусы траекторий волокон не являются постоянными, эффективные коэффициенты теплопроводности материала в направлениях, совпадающих с осями некоторой фиксированной связанной с телом системы координат, также не являются постоянными и зависят от пространственных переменных.
Моделирование диагностики состоит в определении малых отклонений направляющих косинусов траекторий волокон из двух тестовых испытаний с использованием дополнительной информации в виде значений температуры на поверхности полупространства. В качестве обобщения данной модели рассмотрен случай, когда несовершенство технологии может привести не только к отклонениям траекторий волокон, но и к отклонению от контрольной величины относительного объемного содержания армирующего элемента в композите.
Рассмотрены также случаи, когда термомеханические характеристики в направлении волокон незначительно отличаются от соответствующих характеристик в перпендикулярном направлении, что характерно, например, для текстурированных металлов. В этих случаях предположение о малости отклонений направлений волокон не используется.
Шестая глава посвящена математическому моделированию диагностических испытаний некоторых элементов конструкций. В первом параграфе рассматриваются основные соотношения продольно деформируемых неоднородных прямолинейных стержней. Исследованы модели термоупругой диагностики стержней с учетом термочувствительности, физической нелинейности и термовязкоупругости материала. Здесь же рассматриваются модели диагностики фрагментов идеальных ферм. В качестве примера исследована модель термоупругой диагностики фрагмента идеальной ферменной конструкции, графически представимого в виде бинарного графа типа «дерево». Каждому ребру графа соответствует стержень ферменной конструкции, а вершины графа соответствуют узлам фермы. Стержни могут различаться между собой длинами и толщинами, а также материалами, из которых они изготовлены. Узел фермы, соответствующий корневой вершине графа, находится под действием внешнего термосилового нагружения. Концевые узлы, соответствующие «листьям», полагаются жестко закрепленными. Задача диагностики фрагмента ферменной конструкции состоит в определении эффективных термомеханических характеристик стержней как функций одной локальной (своей для каждого стержня) пространственной (осевой) координаты по дополнительной информации в корневой вершине графа. В этом же параграфе исследована задача тепловой диагностики треугольного фрагмента ферменной конструкции.
Во втором параграфе рассматриваются модели диагностики прямоугольных упругих пластин при использовании колебаний пластин в своей плоскости и изгибных колебаний. Для описания продольных и поперечных колебаний в плоскости неоднородной анизотропной пластины используются уравнения обобщенного плоского напряженного состояния
Модель диагностики колеблющейся в своей плоскости пластины состоит в определении характеристик пластины как функций двух пространственных (в плоскости пластины) переменных по результатам измерений перемещений (в случае использования граничных условий в усилиях) или по результатам измерений усилий (в случае использования граничных условий в смещениях) на одном из торцов пластины. Модель диагностики рассматривается в линеаризованной постановке в рамках предположения о слабой неоднородности и анизотропии материала, из которого сделана пластина, приводит к слабой анизотропии и неоднородности характеристик пластины.
Математические модели диагностики пластин обобщены на случай заглубленной пластины и пластины, лежащей на упругом основании. При этом задача диагностики заглубленной пластины решается из анализа колебаний пластины в своей плоскости с учетом слабого вязкого сопротивления прилегающего к пластине грунта, а задача диагностики пластины лежащей на упругом основании,- из анализа изгибных колебаний пластины с учетом слабой упругой реакции основания.
В третий параграф вынесены результаты экспериментов, служащих для оценки достоверности полученных теоретических результатов. При диагностических испытаниях изгибным деформациям подвергались пластины переменной толщины, что позволяло с одной стороны вычислять значения изгибных жесткостей по известным формулам, а с другой стороны получить значения тех же величин из решения задач диагностики, в рамках которых использовалась экспериментальная информация о прогибах пластины под действием заданных нагружений. Результаты сравнений полученных двумя способами значений характеристик пластин показали их удовлетворительное соответствие.
В Заключении приведены основные выводы результаты работы. В Приложение вынесено описание устройства, используемого для определения перемещений на поверхности тела в рамках экспериментов, служащих для проверки адекватности разрабатываемых и исследуемых моделей диагностики.
Основные результаты представлены также в следующих публикациях по теме диссертации:
Ломазов В.А. Об одной постановке задачи диагностики для термоупругой среды/ В.А. Ломазов, Ю.В. Немировский// Журн. прикладной механики и технической физики.-1984.-№5.-С.131-137.
Ломазов В.А. Распределение стационарных источников тепла, обеспечивающих данное значение объемных деформаций на фиксированной поверхности/ В.А. Ломазов, Ю.В. Немировский // Динамика сплошных сред, Институт гидродинамики СОАН СССР- 1984.-№ 66.- С.83-91.
Ломазов В.А. Математическая модель проблемы диагностики термоупругой среды/ В.А. Ломазов, Ю.В. Немировский// Прикладная математика и механика- 1986.-Т.50.-№ 2-С.284-292.
Ломазов В.А. Диагностика структуры материала термоупругими волнам/ В.А. Ломазов, Ю.В. Немировский// Динамика неоднородных сред и взаимодействие волн с элементами конструкций, - Новосибирск: Институт горного дела СОАН СССР.-1987.-С.37-40.
Ломазов В.А. Задача диагностики упругой слоистой среды/ В.А. Ломазов, Ю.В. Немировский// Известия АН СССР, Механика твердого тела-1987.-№4.-С.82-87.
6. Ломазов В.А. Об одной обратной задаче теплопроводности криволинейно-монотропной среды/ В.А. Ломазов// Условно-корректные задачи математической физики и анализа. Труды межвуз. конф., Красноярск, 1988.- Красноярск: КГУ.- 1988.- С. 124-130.
Ломазов В.А. Диагностика многокомпонентной среды упругими волнами/ В.А. Ломазов, Ю.В.Немировский// Численные методы решения задач упругости и пластичности. Труды Всесоюзн. конф., Новосибирск, 1988.- Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР.- 1988.-С.166-171.
Ломазов В.А. Диагностика термоупругими волнами материалов с мелкодисперсными примесями/ В.А. Ломазов, Ю.В. Немировский//Механика микро неоднородных структур- Свердловск: Институт механики сплошных сред Урал. отд. АН СССР.- 1988.- С.117-126.
9. Ломазов В.А. Задача диагностики упругих полуограниченных тел/ В.А. Ломазов //Прикладная математика и механика- 1989- Т.53- №5- С.766- 772.
10. Ломазов В.А. Математическая модель тепловой диагностики композитного материала, армированного однонаправленным семейством волокон/ В.А. Ломазов //Математическое моделирование- 1990- №7-С.111-116.
Ломазов В.А. Об одной постановке задачи тепловой диагностики "защитного" слоя /В.А. Ломазов// Журн. прикладной механики и технической физики- 1991-№2.-С. 113-118.
Ломазов В.А. Об одной постановке задачи диагностики слабо неоднородных и анизотропных упругих пластин /В.А. Ломазов// Известия АН СССР, Механика твердого тела-1991- №3.-М.111-117.
13. Ломазов В.А. Математическое моделирование диагностических испытаний по определению дефектов элементов конструкций/В.А. Ломазов// Информационно-управляющие системы на ж/д транспорте.-1996- №3,4- С.59.
Ломазов В.А. Об одной постановке задачи определения термочувствительного распределения примеси в материале/В.А. Ломазов, Р.А. Глухов// Промышленность стройматериалов и стройиндустрия, энерго-и ресурсо-сбережение в условиях рыночных отношений. 4.8. Математическое моделирование и информ.технологии- Белгород: БелГТАСМ.- 1997.-С. 129-132.
Ломазов В.А. Термоупругая диагностика пространства со сферической полостью. /В.А. Ломазов// Промышленность строительных материалов и стройиндустрия, энерго- и ресурсосбережение в условиях рыночных отношений. 4.8. Математическое моделирование и информационные технологии- Белгород: БелГТАСМ, 1997- С. 195-199.
16. Lomazov V.A. On a problem of determination of thermal-sencitive distribution of a non uniformity in a material/ V.A. Lomazov, R.A. Gluhov// Math, modeling and information tech. Theses of int. conf. MMIT-97. Russia, Belgorod, 1997.-Belgorod: BelGTASM, 1997.-P.27. Lomazov V.A. Thermoelastic diagnostics of space with a spherical cavity I V.A. Lomazov II Math, modeling and information tech. Theses of int. conf. MMIT-97. Russia, Belgorod, 1997.- Belgorod: BelGTASM, 1997.-P. 36-37.
Ломазов B.A., Золотых В.В. Автоматизированная информационная система «Термоупругая диагностика ферменных конструкций» /В.А. Ломазов, В.В. Золотых//Микроэлектронника и информатика-2000.УП Всерос. межвуз. научно-техн.конф. Тез. докл.- Москва.: МИЭТ, 2000.- М.: МИЭТ, 2000.- С. 200.
Ломазов В.А. Математическая постановка задачи диагностики гибкой неоднородной заглубленной пластины /В.А. Ломазов, А.Г. Смышляев //Качество, безопасность, энерго- и ресурсосбережение в промышленности строительных материалов. Белгород, БелГТАСМ, 2000, Ч.5.- Белгород: БелГТАСМ.- 2000.- С. 133-137.
Ломазов В.А. Об одной постановке задачи термоупругой диагностики неоднородных анизотропных термочувствительных материалов /Ломазов В.А.// Современные проблемы технического, естественнонаучного и гуманитарного знания. Труды II Регион, научно-практ. конф. - Губкин-2001.-С.131-136.
Ломазов В.А. Задача диагностики термоупругими волнами многослойной среды с дисперсно упрочненными слоями/В.А. Ломазов// Современные проблемы строительного материаловедения. Труды VII чтений РААСН, Белгород, 2001.- Белгород: БелГТАСМ.- 2001.- С. 181 -184.
Ломазов В.А. Математическое моделирование термоупругой диагностики многослойных покрытий/В.А. Ломазов, Ю.В. Немировский// Известия ВУЗов, Строительство-2001.-№ 11.-С.7-14.
23. Ломазов В.А. Гибридное численное моделирование термоупругих процессов/В.А. Ломазов//Численные методы решения задач упругости и пластичности. Труды XVII Межреспубликанской конф., Новосибирск,
2001- Новосибирск: Институт теоретической и прикладной механики СО РАН.-2001.-С.130-134.
24. Ломазов В.А. Математическое моделирование диагностики термоупругими волнами многослойных покрытий цилиндрических отверстий /В.А. Ломазов // Труды V Между нар. научно-техн. конференции «Вибрация-2001», Курск-2001-Курск: КГТУ-С.261-265.
Ломазов В.А. Модельная компьютерная диагностика термоупругих фрагментов ферменных конструкций/В.А.Ломазов// Эффективные строительные конструкции: теория и практика. Труды междунар. научно-техн. конф., Пенза, 2002. -Пенза: ПГАСА, 2002.- С. 230-235.
Ломазов В.А. Об одной постановке задачи диагностики вязкоупругой среды/В.А. Ломазов// Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных проблем. Труды междунар. научной конф., часть 3. Таганрог, 2002,- Таганрог: ТРТУ.- 2002.- С.42-45.
27. Ломазов В.А. Математическая модель проблемы диагностики остаточных напряжений в массивных телах/В.А. Ломазов, Ю.В. Немировский/ЛСраевые задачи и математическое моделирование. Сб. трудов V Всерос. научной конф. Новокузнецк, 2002. Т.2.- Новокузнецк: НФИ КемГУ, 2002.-С.40-43.
Ломазов В.А. Задачи диагностики неоднородных термоупругих сред/ В.А. Ломазов.- Орел: ОрелГТУ, 2002.- 168 с.
Ломазов В.А. Учет физической нелинейности при решении задачи диагностики упругой среды/ В.А. Ломазов// Динамика процессов в природе, обществе и технике: информационные аспекты. Труды междунар. научной конф., часть 4. Таганрог, 2003.-Таганрог: ТРТУ,2003.-С.18-21.
Ломазов В.А. Учет термочувствительности в задаче диагностики термоупругих сред/ В.А. Ломазов, Ю.В. Немировский// Прикладная механика и техническая физика-2003 -Т.44-№ 1.-С. 176-184.
31. Ломазов В.А. Математическая модель диагностики слоистой термовязко-упругой среды// Известия ОрелГТУ, сер. Информационные системы, 2003.-вып. 1- С.62-73.
32. Lomazov V.A. Diagnostic problems of thermo elastic composite media/ V.A. Lomazov//BicHHK Національного технічного університету «Харьківский політехнічний інститут». Зборник наукових пр. Тематичний випуск: Інформатика і моделювання - Харьків: НТУ «ХПИ».-2003.-№19.-С. 101-106.
33. Ломазов В.А. Об одной постановке обратной задачи изгиба неоднородных пластин/В.А. Ломазов, //Краевые задачи и математическое моделирование. Сб. трудов VI Всерос. научной конф., Новокузнецк, 2003. Т. 1.-Новокузнецк: НФИ КемГУ, 2003.-С.52-57.
Ломазов В.А. Экспериментальное определение изгибных жесткостей неоднородных в плане пластин/В.А. Ломазов, А.И. Полунин/ЛГеория, методы и средства измерений контроля и диагностики: Материалы IV Междунар. научно-практ. конф. - Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ).- 2003- Ч.2.- С.23-26.
Ломазов В.А. Об одной постановке задачи диагностики остаточных напряжений в слоистых средах /В.А. Ломазов// Механика композиционных материалов и конструкций-2003, Т.9.-№2.-С. 181-190.
Ломазов В.А. Об одной постановке задачи диагностики переходной зоны дисперсно-упрочненного композитного материала /В.А. Ломазов// Математическое моделирование-2004, № 11-с. 120-128.
37. Lomazov V.A. Mathematical modeling of multylayered material with account of viscoelastic effects /V.A.Lomazov, Yu.V.Nemirovskiy//The XXI International Conference on Relaxation phenomena in solids: Abstracts-Voronezh, Voronezh State University-2004.-P.244.
38. Ломазов В.А. Математическое моделирование диагностики переходной зоны композитного материала /В.А.Ломазов// Физико-математическое моделирование систем: Материалы Междунар.семинара-Воронеж: Воронеж, гос. техн. ун-т- С.73-78.
Учет особенностей термоупругих процессов в неоднородных анизотропных средах в рамках различных моделей. Гибридное моделирование
На самом первом этапе исследования нестационарного термоупругого процесса в рамках любой конкретной задачи встает проблема выбора подходящей модели для описания этого процесса. Существование большого числа различных моделей термоупругости объективно отражает сложность рассматриваемого явления. Появление моделей, описывающих все большее число различных термоупругих эффектов, можно было бы только приветствовать, если бы только это приводило к дальнейшему усложнению систем уравнений термоупругости, что вызывает значительные трудности при решении конкретных задач. В связи с этим представляется целесообразным не пытаться использовать всюду наиболее полную (а значит, и наиболее сложную) модель, а выбрать для описания рассматриваемого процесса более простую модель, учитывающую, однако, необходимые эффекты. Выбор модели зависит от цели исследования, требуемой точности измерений при проведении экспериментов и реальной погрешности измерительных приборов, а также от особенностей изучаемых термоупругих процессов, взаимного влияния различного рода термохимических эффектов.
Рассмотрим основные линейные модели, описывающие нестационарные термоупругие процессы в неоднородных анизотропных средах и введем бинарный векторный параметр си=(сс6\,си2,се3), каждая компонента которого может принимать значение либо 0, либо / и отражает учет или неучет отдельных эффектов в рамках различных моделей. Модели термоупругости можно разделить на две подгруппы: модели, рамках в которых скорость распространения тепла полагается бесконечной (cej=0) , модели, учитывающие инерцию теплового потока (cei=l).
Затем уже в каждой группе можно выделить: модели, в рамках которых упругие деформации не зависят от поля температур (а 2=0); модели, учитывающие влияние градиентов температур на процесс распространения волн деформаций (се2=1).
Третья компонента вектора отвечает за учет или неучет термоупругой диссипации: влияние скоростей объемных деформации на изменение температуры тела не учитывается (о? з=0) , термоупругая диссипация учитывается (а j=i).
Выпишем в декартовой прямоугольной системе координат уравнения, описывающие распространение термоупругих волн в неоднородной анизотропной среде
Эти соотношения содержат бинарный вектор си0, и тем самым предполагают гибридное совмещение аналогового и дискретного описания. Полагая в уравнениях (1.2.1)-(1.2.5.) разные значения вектора (е0=((е0і,аі02,аїз), получим различные модели термоупругости.
При а =(а і,се2,сез)=(0,0,0) система соотношений (1.2.1)-(1.2.5) распадается на систему классических уравнений теории теплопроводности (1.2.1), (1.2.2), имеющую параболический тип [73,93], и уравнения динамической теории упругости (1.2.3)-(1.2.5.), образующие систему уравнений гиперболического типа [188]. Данная модель является самой грубой из рассматриваемых моделей, поскольку в ней пренебрегается эффектами, учитываемыми (хотя в различной степени) в рамках остальных моделей.
Полагая в соотношениях (1.2.1)-(1.2.5) а = (1,0,0), получим систему уравнений, которые также распадаются на уравнения динамической теории упругости (1.2.3)-(1.2.5) и уравнения теории теплопроводности (1.2.1), (1.2.2). Но здесь, в принципе Онзагера (1.2.2), учтена инерция теплового потока, что приводит к гиперболичности уравнений теории теплопроводности [15,154] и всей системы уравнений этой модели в целом. Для изотропных тел обобщенный (учитывающий инерцию теплового потока) закон теплопроводности впервые установил А.В.Лыков [153,154] как гипотезу о конечных скоростях распространения тепла и массы для тепло- и влагопереноса в капиллярно-пористых средах. Проанализировав решение обобщенной (с учетом конечности скорости распространения тепла) задачи теплопроводности для полупространства, А.В. Лыков интерпретирует скорость распространения тепла как производную по
Времени от глубины проникновения тепла. МодеЛИ При СС2= сс3 = 0 не являются в полной мере моделями термоупругости, поскольку они описывают тепловые и упругие процессы так, как если бы они протекали совершенно независимо. Фактически это просто объединение в одну систему уравнений упругости и теплопроводности.
Метод стационарных базовых процессов при исследовании модели термоупругой диагностики полуограниченных тел
С математической точки зрения определение термомеханических характеристик среды представляет собой обратную задачу для уравнений термоупругости. Обратные задачи для уравнений акустики и динамической теории упругости, начиная с работ Г. Герглотца, Е. Вихерта и К Зоеппритца (1905-1907 г.) исследовались, в основном, в рамках математических задач геофизики. Обратные динамические задачи сейсмики (где определению подлежали характеристики горных пород) и методы их решения исследовали А.С. Алексеев [5,6], А.С. Благовещенский [17], М.М. Лаврентьев [107-109], В.Г. Романов [41,213-219], В.Г. Яхно [265-272] и др. математики [21,22,37-40,57,58,159-162,193].
Линеаризация исходных нелинейных соотношений является одним из основных подходов к решению обратных задач для уравнений с неизвестными коэффициентами. Линеаризованные обратные задачи для уравнений теории упругости рассматривались, в частности, в работах [21-22,213-219,265-272]. В рамках рассматриваемых в данных работах постановок задач, как правило, предполагались граничные условия вида дельта-функций (сосредоточенные воздействия). Для возникающих при такого рода нагружениях волновых процессов характерны резко выделенные волновые фронты (большие градиенты характеристик процессов), что не в полной мере соответствует исходным предположениям, сделанным при линеаризации уравнений теории упругости. Поэтому в рамках задачи диагностики целесообразно ограничиться рассмотрением достаточно плавных процессов.
Метод стационарных базовых процессов (СБП) состоит в использовании в рамках задачи диагностики специальных видов термосиловых нагружений (в случае полупространства - правых частей уравнений (2.1.1), начальных и граничных условий (2.1.2),(2.1.2)), вызывающих в базовых средах процессы стационарного вида: (f"(x,t) = a0"(t)go"(x), иҐШ = catygffx) (2.2.1)
Ограничение вида базовых термоупругих процессов является желательным, поскольку даже в довольно простой области (полупространство) и в рамках достаточно простой модели термоупругости (теория температурных напряжений для однородного изотропного тела) в случае произвольных правых частей, начальных и граничных условий термоупругие процессы могут иметь очень сложный вид. Рассмотрение более сложных областей и моделей термоупругости, учитывающих взаимодействие полей температур и деформаций, конечность скорости распространения тепла, анизотропию и неоднородность среды, может еще больше усложнить дальнейший анализ полученных термоупругих процессов. Задача диагностики состоит в определении характеристик среды, на основании анализа протекающих в ней термоупругих процессов.
Данное ограничение вида базовых термоупругих процессов является теоретически возможным. Оно не противоречит сделанным ранее предположениям. Для получения термосиловых воздействий (функций {фь Щ Щ фо, Фь f(h fi}")-, вызывающих данные базовые процессы, достаточно подставить соотношения (2.2.1) в уравнения (2.1.1 )-(2.1.3) после замены о - Cv сс0 go - ссо Кgo ,п / =pa-, gi -Cijklgk ,ij-a0 P go,І (i,j,k,l = 1,2,3), Po"(x) = a0"(0)go"(x), m(x)= a?(0)gi"(x), щ(х) = a!u(0)g! (x), (/ o (xi,X2,t) =I ao"(t)go",i(xi,x2,0, t), ф/ (х„х2,0 = {Cm?a?(t)gk,i -f?a0"(t)go"}(xi,X2,0,t)
Однозначная взаимосвязь между характеристиками базовых термоупругих процессов и функциями {% у/0, у/„ фо, фі, fo, fif, моделирующими термосиловые нагружения в процессе диагностических испытаний, означает необходимость специального подбора тестовых воздействий, но это необходимо в любом случае.
Условия термосилового нагружения, используемого для диагностики (понимаемой в рамках настоящей работы как математическая модель неразрушающего контроля качества изделий), не могут быть произвольными. Прежде всего, они должны быть не настолько интенсивными (и по амплитудам и по скоростям), чтобы могли быть нарушены модельные соотношения линейной термоупругости. Кроме того, моделирование термоупругих процессов в материалах, содержащих мелкодисперсные неоднородности, поры, микротрещины и т.д., уравнениями термоупругости с коэффициентами, гладким образом (С7) зависящими от пространственных переменных и температуры, возможно только в случае, если процессы носят достаточно плавный характер (например, не должно быть ярко выраженных волновых фронтов, где расстояние между точками, в которых существенно различны значения перемещений и температур, сравнимо с размерами включений). Не утверждается, что требованиям диагностики, удовлетворяют только рассматриваемые в работе термосиловые нагружения, вызывающие в контрольной (однородной изотропной нетермочувствительной) среде стационарные (в частности, гармонические и экспоненциально затухающие по времени процессы), но такого рода процессы явно подходят. Стационарные термоупругие процессы, могут быть инициированы за счет использования электромагнитных полей, создающих механоэлектрические (пондеромоторные силы) и термоэлектрические (джоулево тепло) эффекты. Обеспечение объемных массовых сил и источников тепла (наряду с измерением температур и перемещений) в рамках необходимой точности, представляет собой сложную техническую проблему, решение которой, хотя и в принципе возможно, требует материальных затрат несоизмеримых с математическим моделированием диагностики. Поэтому представляется целесообразным решение модельных задач в качестве предварительной теоретической проработки возможности определения различных характеристик материала из разного рода тестовых испытаний.
Математическое моделирование диагностики физически нелинейных упругих сред
По определению (например, [188,210,245]) под упругостью понимается независимость работы, затраченной на деформирование тела, от последовательности приложения к нему нагрузок. В частности, после снятия всех нагрузок тело должно прийти в исходное недеформированное состояние (работа, затраченная на деформирование по замкнутому циклу равна нулю). Связь напряжений т и деформаций е в упругом теле может быть нелинейной и в общем случае записана в виде а = Ф(е). Раскладывая функцию Ф в ряд Тейлора в «точке» во (подобно тому, как это делается во многих работах, например в [252-255,259]) получим ст= Ф(е0) + (е0)(е-е0) + - -(е0) (е-ео)2 +... (3.2.1) де 21 де Если предположить, что естественному (недеформированному состоянию) е0=0 соответствует напряженное состояние сто=0 и пренебречь членами ряда (3.2.1), начиная с квадратичного, то можно получить определяющие соотношения в форме линейного закона Гука дФ у= Ее, где Е— —(0), который достаточно прост и в определенном диапазоне нагрузок справедлив для многих материалов. Особенно с большой степенью точности закон Гука выполняется для кристаллов кварца и термически обработанной стали [210]. Учитывая, что напряжения и деформации являются тензорными величинами, соотношения (3.2.1) для анизотропного тела имеют довольно сложный вид однако использование дополнительных предположений позволяет существенно упростить определяющие соотношения (например, за счет ограничения числа членов ряда (3.2.1)).
Будем полагать в дальнейшем, что нелинейные упругие свойства исследуемой среды в слабой степени зависят от объемных деформаций и соотношение, связывающее напряжения и деформации может быть представлено в виде степенного ряда по малому параметру є
Сравним нелинейно-упругий процесс (u,e,a}(x,t) с аналогичным образом инициированным процессом {u,e,o}(x,t), протекающим в контрольной однородной изотропной линейно упругой среде. Упругий npou,ecc{u,e,a}(x,t) описывается соотношениями р%- afa-fi i,j,k = /,2,5 (3.2.3) О-/ = Лё0 ?ив+W, Єд = ГиЛу + и/,і)/2 где плотность //и коэффициенты Ламе Л, //являются постоянными.
Нелинейно-упругий процесс {ute,a}(x,t), протекающий в исследуемой среде описывается уравнениями движения вида соотношений (3.2.3) после замены {и,е,а} {u,e,of и определяющими соотношениями (3.2.2).
Будем предполагать, что влияние физической нелинейности, слабой неоднородности и анизотропии исследуемой среды на количественные характеристики возбужденных в ней процессов также достаточно мало. Таким образом, на поверхности полупространства iii(xhx2,0, t) = ui(xi,x2,0, t) +и/(х1,х2,0, t)=Zi(xi,x2, t)+ єх!(хих2, t), причем \\u(xhx2,0, t)\\cm2 0(\\u!(xi,xb 0, t)\\cM+2.
Полагаем, что характеристики протекающих в исследуемой среде нелинейно упругих процессов аналитичны по малому параметру єг. {и, е, a}(x,t) = X ёп{и, е, o}m(x,t) (3.2.4) та Принятые предположения позволяют в соответствии с процедурой метода возмущений перейти к цепочке уравнений pii!-(Cijk!uk\d,rfi (3.2.5) є[рU-!-(Qjullk, J =є[Суи Uk,l),jJ г [р іц -(C-,jki ик ,i),jj =є [Ciju ик ,i+Cijki uq,q ик ,[),jj ф Jit, 0.. т //"- 0 ,т \ і _ jn if i І m-l,g t 2 ,, 0,, т-2 , Ь IP Щ -{ ijkl "A fUtjJ l ijkl Uk ijkl Uq,q "к її " ...+Сщ (llq,q) Uk ,i),j,J начальных и граничных условий и/"(х,0) = 50т Щ(х), ui"(x,0) = дот Щ(х) (т=0,...,М) (3.2.6) Я% щ,к" + Р(иьГ + Щ,Г) = So,nPi(xh хъ t) (т=0,...,М) (3.2.7) и{п(хъх2, 0, t) = 8lmxi(xhх2, t), (т=1,...,М) (3.2.8) СІЗкГ(хі,х2, 0) = д0т Саы, (i,k,l=h2,3) (т=0,...,М).
Характеристики контрольной среды р,А,р0 будем считать известными, т.е. задача диагностики будет заключаться в уточнении нелинейно упругих свойств исследуемой среды. Соотношения (3.2.5)-(3.2.8) соответствуют проведению одного тестового испытания по динамическому нагружению массивного тела. Однако для однозначного определения большого числа искомых характеристик среды может потребоваться несколько испытаний. Например, в случае анизотропии общего вида тензор четвертого ранга Сщ" содержит 21 независимую компоненту. Частные случаи анизотропии (неотропия, ортотропия, монотропия, изотропия) характеризуются меньшим числом независимых компонент (соответственно 13, 9, 5 и 2). Несколько испытаний описываются соотношениями (3.2.5)-(3.2.8), в которых проведена замена { р-и щ, р„ fh uf- (ph щ, pb fh щ}, n=l,...,N, где TV- число испытаний.
Математическая модель термоупругой диагностики для пространства со сферической полостью, окруженной многослойным покрытием
Общим подходом к решению задач термоупругой диагностики составных тел является последовательное рассмотрение термоупругих процессов в каждом слое (составной части) с последующим переходом к другому слою с учетом контактных условий на границе слоев. Рассмотрим использование метода стационарных базовых процессов при решении задачи термоупругой диагностики слоистых составных тел на примере термоупругого слоистого полупространства.
Задача разбивается на несколько этапов. Первый этап состоит в формальном решении задачи диагностики для полупространства, в качестве базовых термомеханических характеристик которого берутся соответствующие характеристики первого слоя. Найдя таким формальным образом значения характеристик термоупругих процессов {0,и,} и значения термомеханических характеристик среды {Су,р,К-фрфСщ,„} , положим в области первого слоя R,={(x,,x2,x3) \ h, х3 0} {0,11,/ (X,t)={0,U,} (X,t), {CvfiKpfoCg xMCvfiKy.foCgb.JVx) После этого, используя условия контакта (4.1.1)-(4.1.4) нетрудно на границе первого и второго слоя получить б2) (xhх2, h,,t) = ёп (xhх2, h,,t) (4.4.1) {Кв 2 0(2)„}(х,,х2, /1,,0 = {К13(1)0(2)„}(х„х2, Itjj) (4.4.2) u!2(x,,x2, h,,t) = ulu (x,,x2, h,,t) (1=1,2,3) (4.4.3)
Мысленно отбросив первый слой, получим для оставшейся области задачу диагностики, имеющую тот же вид, что и рассматриваемая первоначальная задача, поскольку граничные условия (4.4.2) и (4.4.4) имеют вид заданных на поверхности тепловых потоков и усилий (аналогично (2.1.7)), а граничные условия (4.4.1) и (4.4.3) имеют вид полученных экспериментально поверхностных значений температуры и перемещений (аналогично (2.1.8)). Вообще говоря, здесь присутствует не просто аналогия, так как в данном случае мы, действительно, имеем указанные величины, но только не заданные (измеренные), а вычисленные при помощи модели с использованием заданных (измеренных) значений на поверхности. Элемент использования модели процесса (среды) практически всегда в той или иной степени используется при проведении эксперимента. Важно, что в результате первого этапа задачи многослойного полупространства количество слоев, подлежащих диагностике, уменьшилось на один. Повторив данную процедуру в качестве второго этапа задачи, можно получить характеристики термоупругих процессов и термомеханические характеристики материала для второго слоя. На последнем этапе остается решить задачу диагностики для полупространства, полностью аналогичную той, которая рассматривалась п.2.1. Краткая схема алгоритма приведена на рис. 4.4.1.
Необходимо отметить, что при решении задачи термоупругой диагностики для составного тела возможно использование различных моделей термоупругости для разных слоев, а также различных гипотез о типах анизотропии материалов разных слоев. Это может привести к разному количеству и типу искомых характеристик для каждого слоя. В этом случае целесообразно не пытаться использовать один набор термосиловых нагружений для диагностики всех слоев, как это было описано выше, а подбирать свой набор нагружений для каждого слоя. При этом, найдя термомеханические характеристики первого слоя, можно делать модельный пересчет значений на внутренней поверхности второго слоя, через значения на поверхности первого слоя.
Подводя итог (исходя из структуры полученных соотношений) можно сформулировать следующее утверждение:
Утверяедение 4.4.1. Достаточные условия единственности решения задачи определения термомеханических характеристик составного слоистого полупространства (2.1.5)-(2.1.8), (4.1.6)-(2.1.9) совпадают с соответствующими условиями для непрерывно неоднородного полупространства и (в зависимости от типа анизотропии и пространственной неоднородности слоев) приведены в утверждениях 2.3.1, 2.3.2, 2.4.1, 2.4.2, 2.5.1,2.5.2,2.6.1.
Следует отметить, что вертикальная неоднородность материала (даже в случае, когда ее нельзя считать слабой) иногда может быть условно смоделирована в виде нескольких слоев, в пределах которых неоднородность можно считать слабой. Это позволяет решать задачу термоупругой диагностики слабо неоднородного по двум пространственным координатам полуограниченного тела с использованием рассмотренных в настоящем разделе подходов. Аналогичным образом, в качестве моделей диагностики пространств с цилиндрической (сферической полостью) можно формально использовать составные пространства с полостями, окруженными цилиндрическими (шаровыми) слоями. Смысл этого приема заключается в том, что при специальном выборе толщин слоев коэффициенты левых частей соотношений (2.7.5), (2.7.9), (2.7.13), в которые входит величина 1/г, с принятой степенью точности можно считать постоянными.
В качестве иллюстрации приведем результаты численных расчетов для случая, когда слоистая среда состоит только из одного слоя, лежащего на полупространстве. При этом материал, как слоя, так и полупространства полагался изотропным и вертикально (по пространственной координате Хз) слабо неоднородным. Искались только механические характеристики {р, //, Л}, поэтому использовались чисто силовые нагружения. После проведения обезразмеривающей замены переменных (2.2.6) для расчетов использовались:
