Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор результатов исследований решений системы дифференциальных уравнений диффузионно-фильтрационного тепловлагопереноса
1.1. Состояние вопроса
1.2. Анализ решений частных случаев общей системы дифференциальных уравнений в частных производных
1.3. Анализ аналитических решений системы дифференциальных уравнений диффузионно-фильтрационного тепловлагопереноса
1.4. Математическая модель диффузионно-фильтрационного тепловлагопереноса
1.5. Выводы
ГЛАВА 2. Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений диффузионно-фильтрационного тепловлагопереноса
2.1. Приведение системы к безразмерному виду. Формулировка граничных условий
2.2. Решение системы для неограниченной пластины
2.3. Решение системы для неограниченного цилиндра
2.4. Выводы и результаты
ГЛАВА 3. Решение системы дифференциальных уравнений даффузионно-фильтрационного тепловлагопереноса на основе координатного усреднения
3.1. Решение системы в случае неограниченной пластины
3.2. Решение системы в случае неограниченного цилиндра
3.3. Алгоритм идентификации «эффективных» коэффициентов на границе 71
3.4. Выводы и результаты
ГЛАВА 4. Вычислительный эксперимент и анализ математической модели 73
4.1. Объект исследования 74
4.2. Конечно-разностная схема
4.3. Результаты вычислительных экспериментов и 80 их анализ 82
4.4. Адекватность математической модели 83
4.5. Выводы 84
Заключение 85
Список
- Анализ решений частных случаев общей системы дифференциальных уравнений в частных производных
- Математическая модель диффузионно-фильтрационного тепловлагопереноса
- Решение системы для неограниченного цилиндра
- Алгоритм идентификации «эффективных» коэффициентов на границе
Введение к работе
Актуальность темы. Моделирование явлений переноса в капиллярно-пористых средах, к которым относятся значительное число материалов пищевой и химической промышленности, имеет важное значение при модификации существующих и разработке новых технологий, и в частности, в процессах сушки, увлажнения, пропитки и т.д.
Известные математические модели базируются, в основном, на
диффузионно-фильтрационных представлениях о влагопереносе, которые
формализуются в виде сопряженной системы линейных
дифференциальных уравнений в частных производных А.ВЛыкова с
соответствующими сопряженными краевыми условиями, выражающими
суперпозицию механизмов переноса потенциалов. Анализу этой системы
посвящены классические работы А.В.Лыкова, М.Д.Михайлова,
В.И.Коновалова, Ю.А.Михайлова, Б.А.Поснова, О.Кришера,
А.А.Алексашенко и др.; однако, в общем случае аналитического решения указанной задачи пока не получено, т.к. использование общепринятых методов решения приводило к необходимости введения дополнительных ограничений на размерность задачи, на вид краевых условий и т.д. Поэтому существующие подходы к нахождению искомых потенциалов, как правило, сводятся к применению вычислительных методов, точность которых не всегда отвечает требованиям практики.
В связи с этим поиск методов синтеза аналитических и приближенно-аналитических решений такой задачи является актуальным.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ Воронежской государственной технологической академии в рамках темы: «Дифференциальные и интегральные уравнения математических моделей естественных и прикладных наук » (№ ГР 01.200.604099).
Цель работы: анализ модели диффузионно-фильтрационного влагопереноса в капиллярно-пористых средах с использованием методики синтеза аналитических и приближенно-аналитических решений уравнений модели, базирующейся на линейных интегральных преобразованиях.
Для достижения поставленной цели сформулированы следующие задачи:
идентифицировать класс задач явлений переноса в капиллярно-пористых средах, описываемых уравнениями модели диффузионно-фильтрационного влагопереноса с различным набором типов краевых условий;
решить аналитически нестационарную сопряженную линейную систему дифференциальных уравнений в частных производных с однородными граничными условиями третьего рода с помощью совместного применения интегральных преобразований по времени и координате на примере неограниченных пластины и цилиндра;
разработать кинетическую модель диффузионно-фильтрационного влагопереноса в капиллярно-пористых средах в виде задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно искомых потенциалов на основе координатного усреднения;
разработать методику идентификации коэффициентов переноса на границе по экспериментальным кинетическим зависимостям потенциалов.
Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использованы методы теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики и моделирования, а также теоретических основ тепломассопереноса.
Научная новизна.
1. Сформулировано необходимое условие применения линейных
интегральных преобразований к системе уравнений переноса в
капиллярно-пористых средах в виде набора собственных значений
(действительных отрицательных или комплексно-сопряженных с
отрицательной действительной частью) матрицы коэффициентов при
производных второго порядка, отвечающих физическому смыслу.
Получено аналитическое решение системы трех линейных нестационарных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с граничными условиями третьего рода для неограниченных пластины и цилиндра, позволяющее определять динамику полей температуры, влагосодержания и давления при проведении тепломассообменных процессов в капиллярно-пористых средах.
Синтезирована математическая модель с сосредоточенными параметрами явлений переноса в капиллярно-пористых средах для идентификации кинетики с учетом основных теплофизических и физико-
химических характеристик, на основе которой предложен алгоритм для верификации «эффективных» коэффициентов переноса (массоотдачи, теплоотдачи и фильтрации).
4. Разработана конечно-разностная схема для численного интегрирования уравнений диффузионно-фильтрационной модели Лыкова с сопряженными граничными условиями, с помощью которой получено динамическое распределение полей температуры, влагосодержания и давления, позволяющее определить влияние их структуры на кинетику явлений переноса.
Практическая значимость. Полученное решение уравнений диффузионно-фильтрационного влагопереноса в капиллярно-пористых средах позволяет прогнозировать динамику потенциалов и их неоднородность при проведении различных тепломассообменных процессов (сушка, увлажнение и др.), а также выбирать рациональные технологические режимы обработки. Развитый подход может быть применен для анализа явлений переноса в телах других геометрий (ограниченный цилиндр, шар и др.).
Разработан пакет прикладных программ в системе компьютерной математики Mathcad 2001, реализующий алгоритмы расчета полей потенциалов для неограниченных пластины и цилиндра.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационной работы докладывались и обсуждались на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (зимняя сессия, Йошкар-Ола, 2006), IX всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математики (весенняя сессия, Кисловодск, 2008), международной конференции «Образование, наука, производство и управление» (Старый Оскол, 2005, 2006), международной научно-практической конференции «Наука и молодежь в начале нового столетия» (Губкин, 2008), научных семинарах кафедры высшей математики ВГТА (2006-2008).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, в том числе 3 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит: [1],[3]-алгоритмы методики расчета кинетики явлений переноса; [4]-результаты вычислительных экспериментов; [5]-оценка сходимости метода.
Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 102 страницах, включая графики; состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 110 наименований.
Анализ решений частных случаев общей системы дифференциальных уравнений в частных производных
Граничные условия III рода состоят в том, что на поверхности тела П задается зависимость плотности потоков потенциалов, вследствие зависимости значений потенциалов на границе и значений их вне тела. В основном эти условия, с учетом (1.7) имеют вид: где а, - коэффициенты, зависящие от значений потенциалов на поверхности П, UiU - значения потенциалов на поверхности тела П, UiC - заданные значения потенциалов вне тела (окружающей среды). Из граничных условий (1-Ю) в частных случаях можно получить граничные условия I рода (а, —» 0 ,при Л1 = const либо Л, -» 0 при at = const), а также граничные условия II рода (а, - 0). Граничные условия (1.10) будут считаться однородными, относительно значений потенциалов на поверхности тела П при UlC = 0 и а,, Л., не зависящие от значений потенциалов на поверхности тела П. Однако для некоторых нестационарных задач условия (1.10) приемлемы не всегда, физически более обоснованным является рассмотрение т.н. сопряженных задач. Это приводит к формулировке граничных условий сопряжения, называемых граничными условиями IV рода [9, 62].
Граничные условия IV рода состоят в обмене значениями потенциалов на поверхности тела П и окружающей среды. Задаются они как условия равенства потенциалов и плотностей их потоков на поверхности соприкосновения двух сред (или тел): плотностей потоков потенциалов на поверхности для двух сред. Условия (1.11)-(1.12) называют еще условиями идеального контакта: физически точное задание граничных условий IV рода при контактном обмене затруднительно [65].
Возможны также различные комбинации различных условий четырех видов, в этом случае, эти граничные условия называются смешанными [13].
Таким образом, система (1.2), совместно с начальными и определенным набором граничных условий полностыо определяют задачу, подлежащую решению.
Казалось бы, данную краевую задачу, ввиду затрудненности решения классическими методами [98], можно решить, используя численные методы [91]. Однако, точность такого подхода будет определяться степенью дискретизации области решения и в свою очередь мощностью компьютерных систем.
Учитывая все вышесказанное, хотелось бы найти какой-то другой подход к этой, несомненно, важной прикладной линейной задаче.
Анализ решений частных случаев общей системы дифференциальных уравнений в частных производных Методы решения задач математической функции делятся на аналитические и численные (приближенные) [2, 16].
Преимущество аналитических методов состоит в том, что они позволяют вычислить искомые значения потенциалов в любой момент времени. Искомые решения выражаются в виде явных аналитических формул, которые качественно характеризуют тот или иной процесс в зависимости от исходных параметров. Основные классические методы, как-то метод разделения переменных (метод Фурье), преобразование неоднородных граничных условий в однородные, метод разложения по собственным функциям, метод функция источников (функций Грина), метод тепловых потенциалов, к системе (1.1) затруднительны в применении, а иногда и невозможны. Для решения линейных задач, при неоднородных начальных и граничных условий одними из эффективных являются методы интегральных преобразований в конечных и бесконечных пределах. Эти методы нашли широкое применение в различных областях физики, химии и т.д. Из основных преобразований следует отметить преобразования Лапласа, конечное и бесконечное синус и косинус преобразование Фурье, преобразования Ханкеля и Лежандра [26, 41]. Методы интегральных преобразований имеют ряд преимуществ перед классическими методами: стандартность методик применения; получение решений в более удобном для расчетов виде, наличие таблиц соответствий между оригиналами и изображениями функций [7]. Для применения одного из методов к системе (1-1) необходимо определить тип системы. Однако общей классификации к таким системам пока еще нет [54]. Необходимо также учесть, что исследуемая система второго порядка. Казалось бы, систему (1.1) можно редуцировать к системе первого порядка. Однако отсутствует даже общая теория для систем первого порядка. Классифицированы лишь частные случаи для эллиптических и гиперболических систем [54]. Следует отметить, что в случае разрешимости системы остро встает вопрос о существовании и единственности найденного решения.
Математическая модель диффузионно-фильтрационного тепловлагопереноса
Верхний предел в суммах вместо бесконечности, заменяем на конечное число, которое обеспечивает заданную точность.
Уравнение шестой степени 66(s)=0 можно решить, к примеру, используя конечно-разностную технологию или соответствующие компьютерные пакеты прикладных программ. Соответственно дроби вида всегда можно разложить на простейшие, а значит, оригиналы у них Проверка на адекватность физическому смыслу для процесса сушки проверялась при экспериментально заданной совокупности критериев тепломассопереноса: Lu = 0,652; Lup = 200; Рп = -4,6; Рпр = -300; Fe = 0,368; є = 0,55; Bip = 0,2;
Віт = 2,5. Характеристические числа Лк(к = 1,6) взяты из таблицы [60] при Віч = 2. Из таблицы следует, что в системе бесконечного количества корней Лк имеет место неравенство: \ Л2 А, .... Лп ..., благодаря которому бесконечные ряды в решениях (2.60)-(2.62) сходятся достаточно быстро. Вычисления производились с использованием пакета MATHCARD 11 (рис.2). Для плоской геометрии использовалось первых сто двадцать членов ряда, что вполне достаточно для практических расчетов. Листинг предметно-ориентированной программы расчета приведен в приложении 1.
Кубическое уравнение f{s) = 0 при выше используемых критериях тепломассопереноса имело три отрицательных действительных корня вида: sx =-78,3/ ; 2 = -0,04/ ; s3 = -3,2Л2к; что еще раз подтверждает, что система (2.33)-(2.35)-параболического типа. Также найденные корни согласуются с законами линейной термодинамики, применительно к процессу сушки в капиллярно-пористых телах. Не исключается из рассмотрения случай, когда кубическое уравнение f(s) = 0 имеет один отрицательный действительный и два комплексно сопряженных корня с отрицательной действительной частью. Однако, следует отметить, что в этом случае не нарушается требование того, что система (2.33)-(2.35) параболического типа [54].
Относительные локальные влагосодержание (а), температура (б), давление (в) в неограниченном плоском капиллярно-пористом теле при различных значениях Fo.1-0; 2-0,01; 3-0,02; 4-0,03. Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что нестационарные поля потенциалов находятся в рамках представлений о явлениях переноса в капиллярно-пористых средах. 2.3. Решение системы для неограниченного цилиндра
Теперь будем идентифицировать искомые безразмерные влагосодержание, температуру и давление в бесконечном круговом цилиндре радиуса г0 ,(рис.З). Для потенциалов сделаем замену: U = U-l; Т = T-l,P = Р-1 Тогда система (1.22)-(1.29) для цилиндрического случая запишется в виде: Условия (2.71)-(2.73) тоже являются однородными граничными условиями третьего рода. Применим к (2.66)-(2.73) одностороннее преобразование Лапласа [100] по переменной Fo є[0;+ х ). Соответствующие изображения UL, TL, PL равны:
В результате преобразования система (2.66)-(2.68), с учетом условий (2.69)-(2.73) становится системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами [73], коэффициенты которой определяются по формулам (2.21)-(2.23):
Конечное преобразование Ханкеля [26] по переменной R є [0;1]к системе (2.74)-(2.80) с уравнением для характеристических чисел /лк :J0( ik) = Biq J,{fik) /ік, где J0(/4) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка; Jx(jj.k)- функция Бесселя первого рода первого порядка [77, ПО]; есть алгебраическая система относительно неизвестных изображений ULH,TLH,PLH :
Проверка на адекватность физическому смыслу для процесса сушки проверялась при тех же диапазонах изменения безразмерных критериев тепломассопереноса как и для плоского случая: тепломассопереноса: Lu = 0,652; Lu}, = 200; Рп = -4,6; РпР = -300; Fe = 0,368; Bip = 0,2. є = 0,55;
Характеристические числа jik(k = 1,б) взяты из таблицы [60] при Biq =2. Из таблицы следует, что в системе бесконечного количества корней цк тоже имеет место неравенство: //, //2 //3 / благодаря которому бесконечные ряды в решениях (2.93)-(2.95) сходятся достаточно быстро. Вычисления производились с использованием пакета MATHCARD 11 (рис.4). Для цилиндрической геометрии использовалось первых девяносто пять членов ряда, что вполне достаточно для практических расчетов (приложение 2). a)
Относительные локальные влагосодержание (а), температура (б), давление (в) в неограниченном цилиндрическом капиллярно-пористом теле при различных значениях Fo:l-0; 2-0,01; 3-0,02; 4-0,03. Кубическое уравнение g{s) = 0 при выше используемых критериях тепломассопереноса имело три отрицательных действительных корня вида: s] =-78,3// ; s2 =-0,04// ; = Лм1 , что еще раз подтверждает, что система (2.24)-(2.26)-параболического типа. Также найденные корни согласуются с законами линейной термодинамики, применительно к процессу сушки в капиллярно-пористых телах. Не исключается из рассмотрения случай, когда кубическое уравнение g(s) = О имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня. Однако, следует отметить, что в этом случае не нарушается требование того, что система (2.66)-(2.68) параболического типа [54]. 2.5. Выводы и результаты
1. Система тепловлагопереноса и краевые условия приведены к безразмерному виду. 2. Полученная краевая задача решена с помощью применений последовательных интегральных преобразований для случаев бесконечной пластины и бесконечного цилиндра. 3. Получены условия, налагаемые на спектр собственных значений (наборы трех действительных отрицательных или одного действительного отрицательного и двух комплексно-сопряженных с отрицательной действительной частью), что обосновывает корректное применение интегральных преобразований. 4. Построены графики для искомых потенциалов переноса и полученные результаты проверены на адекватность физическому процессу кинетики сушки в капиллярно-пористых телах, что доказывает правильность построения нового приближенно-аналитического метода для нахождения искомых потенциалов.
Решение системы для неограниченного цилиндра
Анализ полученных результатов подтвердил адекватность математической модели. Установлено расчетами, что теплообменное число Био оказывает слабое влияние на кинетику процессов. Это можно объяснить незначительным изменением теплофизических характеристик в указанном диапазоне температур и влагосодержаний. Выявлено влияние массообменного числа Био, но при отсутствии достоверных литературных данных с помощью метода пассивной стратегии было установлено его значение. Было обнаружено существенное влияние коэффициента массопроводности. С увеличением температуры при постоянном коэффициенте теплопроводности, массопроводность хлебопекарных дрожжей увеличивается, что согласуется с представлением физической картины процесса сушки капиллярно-пористых тел [64].
Полученные результаты по количественной адекватности математической модели позволили провести корректное сравнение с экспериментальными данными, (рис. 10). Рис. 10. Результаты вычислительного эксперимента: 1 - U +1;2 - Т;Ъ - Р.
Полученные результаты подтвердили правомощность и корректность вычислительного алгоритма по уравнениям обобщенной модели. Для тех же исходных данных, что и в главе 2 были получены результаты по кинетике процесса приведенные на рис.10. Найденные значения Био по предложенному алгоритму идентификации равны соответственно Bim = 2,2; Віч - 1,8; Вір = 0,03. Таким образом, расчеты подтвердили количественную адекватность такого подхода.
1. Разработан численный алгоритм интегрирования уравнений обобщенной модели, основанный на конечно-разностной аппроксимации, который позволил провести вычислительный эксперимент. 2. Анализ результатов вычислительного эксперимента показал корректность замены задачи в общей формулировке на задачу с «эффективными» коэффициентами переноса на границе. 3. Найденые «эффективные» коэффициенты Био по предложенному алгоритму идентификации подтвердил количественную адекватность подхода. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. Получены условия, налагаемые на спектр собственных значений (наборы действительных отрицательных или одного действительного и комплексно-сопряженных с отрицательной действительной частью), обосновывающие корректное применение метода последовательного применения интегральных преобразований (Лапласа-Фурье, Лапласа Ханкеля) при представления решения системы уравнений переноса в капиллярно-пористых средах сходящимися рядами. 2. При выполнении сформулированного условия аналитически решены задачи определения нестационарных одномерных полей температур, влагосодержаний и давлений капиллярно-пористых тел в виде неограниченных пластины и цилиндра с граничными условиями третьего рода, включающими «эффективные» коэффициенты переноса потенциалов на границе. 3. На основе координатного усреднения системы уравнений переноса в капиллярно-пористых телах получена математическая модель с сосредоточенными параметрами в виде задачи Коши для линейной системы дифференциальных уравнений и определена кинетика осредненных потенциалов переноса. 4. Разработана методика верификации «эффективных» коэффициентов переноса потенциалов на границе с использованием массива экспериментальных данных. 5. Синтезирована конечно-разностная схема численного интегрирования системы уравнений явлений переноса в капиллярно-пористых телах с сопряженными граничными условиями, с помощью которой осуществлены вычислительные эксперименты и показана корректность замены задачи в общей формулировке на задачу с «эффективными» коэффициентами переноса на границе.
Алгоритм идентификации «эффективных» коэффициентов на границе
На примере конвективной сушки дрожжей проверяется корректность построенной вычислительной схемы путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными. После проведения процедуры сравнительного анализа на основе вычислительного эксперимента по разработанному аналогу математической модели определяется кинетика процесса сушки, и по методике «верификации» эффективных коэффициентов переноса вычисляются их значения. Результаты расчетов по модели с найденными значениями сравниваются с результатами вычислительных экспериментов. Объект исследования
Несмотря на огромное количество экспериментального материала по сушке капиллярно-пористых сред, информация об опытных данных носит неполный характер и их обработка весьма затруднительна. Более того, имеющиеся данные констатируют, как правило, лишь кинетические зависимости основных потенциалов (влагосодержание, температура). Эти обстоятельства не дают возможности корректно апробировать предлагаемый подход непосредственным образом, а именно, путем сравнения динамически изменяющихся полей потенциалов. Поэтому нами выбран объект исследования дрожжи, сушка которого достаточно изучена экспериментально в [106].
Дрожжи относятся к категории капиллярно-пористых тел [106]. Учитывая высокое начальное влагосодержание дрожжей, дрожжевую массу предварительно формуют в виде цилиндрических жгутов с последующей его дифференциацией. Такая операция производится для увеличения поверхности межфазного влагообмена при последующем осуществлении сушки, которая технически реализуется в псевдоожиженном слое. Основное преимущество такого способа — это нахождение всех частиц в одинаковых гидродинамических условиях обтекания сушильным агентом, а вследствие относительно высокой скорости сушильного агента и интенсивного перемешивания частиц и в одинаковых массообменных условиях. Последнему утверждению в [106] дано количественное подтверждение. В результате чего найдено условие: отношение обратной величины коэффициента скорости сушки к времени пребывания сушильного агента в аппарате с псевдоожиженном слое должно быть больше 10"3. при выполнении такого условия макрокинетическую задачу можно заменить макрокинетическим в масштабе одной частицы. Кроме того, геометрические размеры цилиндрической частицы таковы, что диаметр ее намного меньше высоты, поэтому концевыми эффектами можно пренебречь.
Выбрав цилиндрическую систему координат, привязанную к самой частице, уравнением математической модели в безразмерном виде с сопряженными граничными условиями будут выглядеть следующим образом:
Моделирование явлений переноса в капиллярно-пористых средах, к которым относятся значительное число материалов пищевой и химической промышленности, имеет важное значение при модификации существующих и разработке новых технологий, и в частности, в процессах сушки, увлажнения, пропитки и т.д.
Известные математические модели базируются, в основном, на диффузионно-фильтрационных представлениях о влагопереносе, которые формализуются в виде сопряженной системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных А.В.Лыкова с соответствующими сопряженными краевыми условиями, выражающими суперпозицию механизмов переноса потенциалов. Анализу этой системы посвящены классические работы А.В.Лыкова, М.Д.Михайлова, В.И.Коновалова, Ю.А.Михайлова, Б.А.Поснова, О.Кришера, А.А.Алексашенко и др., однако, в общем случае аналитического решения указанной задачи пока не получено, т.к. использование общепринятых методов решения приводило к необходимости введения дополнительных ограничений на размерность задачи, на вид краевых условий и т.д. Поэтому существующие подходы к нахождению искомых потенциалов, как правило, сводятся к применению вычислительных методов, точность которых не всегда отвечает требованиям практики.
В связи с этим поиск методов синтеза аналитических и приближенно-аналитических решений такой задачи является актуальным.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ Воронежской государственной технологической академии в рамках темы: «Дифференциальные и интегральные уравнения математических моделей естественных и прикладных наук » (№ ГР 01.200.604099).
Целью работы является анализ модели диффузионно-фильтрационного влагопереноса в капиллярно-пористых средах с использованием методики синтеза аналитических и приближенно-аналитических решений уравнений модели, базирующейся на линейных интегральных преобразованиях. Для достижения поставленной цели сформулированы следующие задачи: идентифицировать класс задач явлений переноса в капиллярно-пористых средах, описываемых уравнениями модели диффузионно-фильтрационного влагопереноса с различным набором типов краевых условий; решить аналитически нестационарную сопряженную линейную систему дифференциальных уравнений в частных производных с однородными граничными условиями третьего рода с помощью совместного применения интегральных преобразований по времени и координате на примере неограниченных полосы и цилиндра; разработать кинетическую модель диффузионно-фильтрационного влагопереноса в капиллярно-пористых средах в виде задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно искомых потенциалов на основе координатного усреднения;
