Введение к работе
Актуальность тєліьі. При изучении поведения объекта возникает необходимость в построении его математической модели. При этом принимается ряд предположений, выполнение каждого из которых будет необходимым условием правомерности ее применения. Например, в качестве геометрических и физических характеристик берутся их средние эмпирические значения. Решение полученной задачи должно достаточно адекватно описывать поведение изучаемого реального объекта с некоторой заданной точностью. Одним из предположений является непрерывность зависимости решения рассматриваемой задачи от характеристик объекта (исходных данных).
О выполнении этого требования отмечается во многих работах как технического, так и теоретического характера [В. В. Болотин, А. С. Вольмир, А. А.Самарский и др.].
К работам по этому направлению можно отнести известные труды А. М. Ляпунова, О. Перрона, И. Г. Малкина, К. П. Персидского, Н. Г. Четаева и др., в которых рассматривается математическая модель в виде дифференциальных уравнений и анализируется устойчивость по Ляпунову решения дифференциального уравнения, т.е. непрерывность зависимости решения от исходных данных на бесконечном интервале.
Условия, при которых решение, определенное в ограниченной области, будет непрерывно зависеть от исходных данных, сформулированы в общем виде в теореме о неявных функциях функционального анализа. Известны частные случаи этой теоремы для конкретных видов операторов: алгебраические системы, дифференциальные уравнения, в которых исходными данными являются величины. Сложность их практической применимости в общем случае не позволила широко проводить изучение проблемы непрерывности зависимости решения от исходных данных, поэтому все еще остается не разработанной методика проведения таких исследований. В этой связи работ по данному направлению небольшое количество. К ним можно отнести труды на основе бифуркационного критерия [А.С. Вольмир, А. Н. Гузь, Д. Д. Ивлев, А. 10. Ишлинский и др.]. А также работы по теории катастроф (Р. Гилмор и др.), в которых исследование непрерывности зависимости от исходных данных проводится для автономных градиентных динамических систем на основе анализа свойств потенциальной функции.
Следовательно, получение практически пригодных критериев и разработка методики, математических моделей для проведения исследований непрерывности зависимости решений математических задач, описывающих стационарное состояние систем с распределенными параметрами, от исходных данных является актуальной проблемой.
Часто на практике возникает необходимость получения более точного решения, для этого нужно учитывать различного рода «несовершенства» изучаемого объекта. Найти точное решение такой задачи дос-р.
таточно сложно, поэтому используются приближенные методы. Одним из них является метод возмущений. Он нашел широкое применение в различных научных областях: прикладной математике, механике, гидродинамике, колебаниях, электрофизике, экономике и т.д. Для метода возмущений важное значение имеет вопрос о сходимости приближений, на что указывали многие исследователи (А. Найфе, М. Ван-Дайк, А. 10. Ишлинский, Д. Д. Ивлев и др.). При решении задач метод ом возмущений вопрос об оценке погрешности метода рассматривался или в некоторых частных случаях (А. Пуанкаре, М. В. Келдыш, Ф. И. Франкль, И. Г. Малкин и др.), или путем сравнения с известными точными решениями (Л. А. Галин, Г. П. Черепанов и др.), поэтому дальнейшее изучение этой проблемы является актуальным.
Цель работы. Разработка научных основ, методологических принципов и математических моделей стационарных состояний систем с распределенными параметрами в механике упругопластических материалов, учитывающие отклонение характеристик от осредненных значений и исследование их свойств на основе анализа непрерывной зависимости решений от исходных данных.
Достижение указанной цели осуществляется посредством решения следующих задач:
разработка новых и модификация известных математических моделей стационарных состояний механических систем с распределенными параметрами с учетом отклонений их характеристик от осредненных значений;
формулировка критерия непрерывности зависимости решений обыкновенного дифференциального уравнения и дифференциального уравнения в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной, от исходных данных;
получение критерия непрерывности зависимости решения вариационной задачи от исходных данных для функционала, зависящего от одной или нескольких переменных;
получение критериев аналитичности по малым параметрам решения обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения в частных производных;
анализ некоторых математических моделей, описывающих поведение реальных объектов, на основе которых проводится исследование непрерывной зависимости;
построение математической модели линеаризованных граничных условий, заданных на подвижной границе, в декартовой и полярной системах координат;
нахождение решений задач, описывающих состояние деформируемого твердого тела, методом возмущений и их анализ на основе полученных критериев: продольный изгиб консольного стержня, напря-
женно-деформированное состояние толстостенной трубы, поперечное сечение которой близко к круговому кольцу и др.
Методы исследования. При выполнении работы использовались методы математического моделирования, функционального и математического анализов, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и метод возмущений.
На защиту выносятся: в критерии непрерывности зависимости решений, определенных на ограниченной области, обыкновенного дифференциального уравнения, уравнения в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной;
критерии непрерывности зависимости от исходных данных решений,
определенных на ограниченной области, вариационной задачи для
функционала, зависящего от одной или нескольких переменных;
в критерий аналитичности по малым параметрам решений дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных;
о метод нахождения приближенного решения краевых задач с оценкой погрешности;
в математическая модель для исследования непрерывности зависимости от исходных данных решения задач механики сплошных сред;
Научная новизна. В работе получены следующие новые научные
результаты:
» построены математические модели стационарных состояний механических систем с распределенными параметрами, на основе которых возможно проведение исследования непрерывной зависимости решений соответствующих задач от исходных данных;
« на основе теоремы о неявных функциях сформулированы критерии непрерывности зависимости от исходных данных (функций) решений обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, вариационной задачи для функционала интегрального вида, зависящего от одной или нескольких переменных. Применяя эти условия, найдены границы областей непрерывности зависимости решений, определенных на ограниченной области, в пространстве описывающих параметров;
показано, что для задачи Коши этот критерий имеет вид ограничений только на начальные условия;
на основе критериев непрерывности зависимости получены критерии аналитичности по малым параметрам решений обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения в частных производных, позволяющие находить границу области сходимости метода возмущений в пространстве параметров, характеризующих исходные данные. Используя эти условия, решения поставленных задач можно искать в виде степенных рядов по любому количеству независимых малых па-
раметров с необходимой точностью, т.к. оценка погрешности совпадает с оценкой остаточного члена ряда Тейлора;
используя результаты проведенного анализа различных математических моделей, описывающих поведение твердых тел в механике сплошных сред, показано, что для исследования непрерывности зависимости на основе сформулированных критериев необходимо использовать математическую модель граничных условий в виде задания их на границе тела в деформированном состоянии;
разработан приближенный метод отыскания функции, описывающей подвижную границу;
проведены исследования непрерывности зависимости решений от функций, входящих в математическую модель деформируемого твердого тела при комбинированном нагружении;
найдены решения задач, описывающие напряженно-деформированное состояние упруго идеально пластических твердых тел, с точностью до величин первого порядка малости.
Практическое значение. Полученные критерии непрерывности зависимости решения от исходных данных для рассмотренных математических моделей позволяют найти границу области, в пределах которой или сама модель или решение соответствующий задачи имеют физический смысл. Эта граница в большинстве случаев является таюке и границей области аналитичности решений рассмотренных задач по малым параметрам. Более точное решение, найденное с помощью метода возмущений, позволяет оценить учет влияния различного рода неодно-родностей. Полученные результаты могут быть использованы для анализа математических свойств моделей и уточнения решения соответствующих задач различных отраслей науки и техники.
Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, школах-семинарах и симпозиумах:
53-й научно-технической конференции г. Минск, 1999;
12-й Зимней школе no МСС, г. Пермь, 1999;
Воронежской весенней математической школе, 1999;
7-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» г. Дубна, 2000;
международной конференции «Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы» г. Воронеж, 2000, 2003;
математической школе «Понтрягинские чтения-ХП», Воронеж, 2001, 2007;
II международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Ростов н/Д, 2002;
X международной конференции «Математика. Экономика. Образова
ние». Пущино, 2003, 2005, 2006, 2008;
« международной научно-технической конференции «Современное состояние и перспективы развития гидромашиностроения в XXI веке». С-Пб. 2003;
в всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Новосибирск, 2003;
о международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2004, 2008;
а международной школе-семинаре по современным проблемам МСС. Воронеж, 2004, 2005, 2007;
всероссийской научной конференции «Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкции». Самара, 2007, 2008;
региональной межвузовской научно-практической конференции «Из режима функционирования в режим развития». Воронеж, 2007, 2008;
ежегодных научно-технических конференциях ВГТА. Воронеж, 2001-2008.
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 46 работ. Основные результаты отражены в 2 монографиях и 24 статьях, изданных в научных журналах, рекомендованных ВАК для диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.
Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 224 страницах, состоит из введения, шести глав, приложения, 20 рисунков, и списка литературы, включающего 194 наименования.
