Содержание к диссертации
Введение
1 Математическая модель вихревых токов в квазидвумерных w-оболочках. состояние проблемы 22
1.1 Математическая модель 22
1.2 Обзор предшествующих результатов 29
2 Влияние электромагнитной памяти w-оболочки на «вертикальную» устойчивость электродинамического подвеса. 31
2.1 Вихретоковый пропагатор в квазидвумерной W-оболочке 31
2.2 Математическая модель свободных вертикальных колебаний . 36
2.3 Вертикальная неустойчивость 38
2.4 Численный расчет коэффициентов электромагнитной вязкости и упругости электродинамического подвеса 40
2.5 Теорема сравнения. Оценка критической скорости 46
Выводы по главе 54
3 Влияние электромагнитной памяти w-оболочки на регулярную и стохастическую динамику вертикальных колебаний электродинамического подвеса 55
3.1 Динамика вертикальных колебаний электродинамического подвеса, возбуждаемых периодическими флуктуациями тока в катушке магнитной опоры 55
3.1.1 Математическая модель 56
3.1.2 Решение однородного уравнения 58
3.1.3 Численный расчет резонансной траектории на плоскости (V,n). Виртуальные резонансы 63
3.2 Стохастическая динамика вертикальных колебаний электродинамического подвеса, возбуждаемых случайными флуктуациями тока в катушке магнитной опоры 70
3.2.1 Математическая модель в формальном пределе V -> да 71
3.2.2 Стохастическая накачка энергии колебаний в пределе V -> да. Численный расчет коэффициента диффузии среднеквадратичной амплитуды JV \J Jж \^ \J СІ Ж. К ж І ж І. 73
3.2.3 Математическая модель при произвольных значениях V 81
3.2.4 Численный расчет стохастической накачки энергии колебаний при произвольных значениях V 83
3.3 Динамика вертикальных колебаний электродинамического подвеса, возбуждаемых периодическими возмущениями срединной поверхности W-оболочки 92
3.3.1 Математическая модель 94
3.3.2 Численный расчет резонансной траектории на плоскости (v,X). Виртуальные резонансы 100
3.4 Стохастическая динамика вертикальных колебаний электродинамического подвеса, возбуждаемых случайными возмущениями срединной поверхности W-оболочки 106
3.4.1 Математическая модель 106
3.4.2 Численный расчет мощности стохастического торможения при V = VC 110
Выводы по главе 115
4 Математическая модель вихревых токов в 5-7-5 туннельном контакте со случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /слое. состояние проблемы.. 116
4.1 Состояние проблемы 116
4.2 Математическая модель электродинамики неупорядоченного S-I-S контакта со случайными квантовыми закоротками в /слое. 120
Выводы по главе 135
5 Численные методы для исследования вихретоковых процессов в 5-7-5 контакте со случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном /слое 136
5.1 Предварительное обсуждение 136
5.2 Метод статистического усреднения конечно-разностной схемы для численного интегрирования линеаризованного стационарного стохастически возмущенного квантовыми закоротками уравнения sin-Gordon 138
5.3 Метод статистического усреднения конечно-разностной схемы для численного интегрирования стохастически возмущенного квантовыми закоротками стационарного уравнения sin-Gordon вблизи перенормированного квантовыми закоротками односолитонного решения 141
5.4 Исследование усредненной конечно-разностной схемы 149
5.5 Метод статистического усреднения конечно-разностной схемы для численного интегрирования нестационарного стохастически возмущенного квантовыми закоротками уравнения sin-Gordon вблизи перенормированного квантовыми закоротками односолитонного решения 162
5.6 Исходные данные для численных расчетов 172
Выводы по главе 174
6 Численное исследование джозефсоновского вихря в неупорядоченных 5-7-5 контактах 175
6.1 Рассеяние электромагнитных возбуждений на случайных квантовых закоротках в неупорядоченном I-слое как механизм ограничения электромагнитной памяти неупорядоченного S-I-S контакта 175
6.2 Численный анализ параметров джозефсоновского вихря в области Clr(ji- Е0,с) 182
6.3 Численный анализ мощности радиационных потерь движущегося джозефсоновского вихря в области Clr(ji-EQ,c) 196
Выводы по главе 206
7 Комплекс компьютерных программ для исследования вихретоковых процессов в n и 5-7-5 оболочках с учетом их электромагнитной памяти 208
Выводы по главе 237
Заключение 238
список литературы
- Обзор предшествующих результатов
- Математическая модель свободных вертикальных колебаний
- Численный расчет резонансной траектории на плоскости (V,n). Виртуальные резонансы
- Математическая модель электродинамики неупорядоченного S-I-S контакта со случайными квантовыми закоротками в /слое.
Обзор предшествующих результатов
Основные научные положения и результаты работы, выносимые на защиту:
1. Выделенный и исследованный в работе вихретоковый пропагатор позволяет при численных расчетах ФЭС корректно учитывать два механизма ограничения электромагнитной памяти TV-оболочек - диссипативный и интерференционный, что повышает уровень адекватности математического моделирования регулярной и стохастической динамики вертикальных колебаний электродинамического подвеса, движущегося над TV-оболочкой конечной ширины.
2. Показано, что лишь учет электромагнитной памяти TV-оболочки приводит к появлению диссипативной части возмущенного вертикальными колебаниями ФЭС и к знакопеременности коэффициента электромагнитной вязкости, как функции переносной скорости электродинамического подвеса, что приводит к неустойчивости при V Vc.
3. Получены приближенные аналитические формулы для коэффициентов электромагнитной вязкости, электромагнитной упругости и критической скорости Vc электродинамического подвеса, позволяющие делать их априорные оценки.
4. Для цилиндрических N-оболочек с профилем в виде дуги окружности доказана теорема сравнения для характеристических чисел интегрального K оператора основного уравнения математической модели вихревых токов, обеспечивающая возможность априорных оценок этих чисел, предваряющих численные расчеты.
5. С использованием оператора функционального сдвига развито приближение динамического среднего поля для вычисления возмущенного флуктуациями срединной поверхности N-оболочки ФЭС с учетом электромагнитной памяти.
6. Получена аналитическая формула для времени релаксации электромагнитных возбуждений на случайных квантовых закоротках в неупорядоченном S-I-S контакте.
7. Развит метод статистического усреднения конечно-разностных схем для нахождения усредненного численного решения основного уравнения математической модели вихревых токов в неупорядоченном S-I-S контакте – стохастически возмущенного (случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном I- слое) как стационарного, так и нестационарного уравнения sin-Gordon.
8. Разработаны статистически усредненные конечно-разностные схемы для нахождения усредненного численного решения основного уравнения математической модели вихревых токов в неупорядоченном S-I-S контакте – стохастически возмущенного (случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном I-слое) как стационарного, так и нестационарного уравнения sin-Gordon вблизи перенормированного квантовыми закоротками односолитонного решения уравнения.
9. Проведено исследование погрешностей аппроксимации, доказана устойчивость и сходимость разработанных статистически усредненных конечно-разностных схем для уравнения sin-Gordon на характерных пространственных и временных масштабах решаемых задач.
10. Получена мажорантная оценка для среднеквадратичного отклонения стохастически возмущенного квантовыми закоротками решения от усредненного.
11. Разработан комплекс компьютерных программ, реализующий как уже известные, так и развитые в работе численные методы и алгоритмы исследования математических моделей вихретоковых процессов, с помощью которого: показано, что при V VC в системе электродинамического подвеса развивается «вертикальная» неустойчивость, как следствие неустойчивости крупномасштабных вихретоковых мод в цилиндрической N-оболочке; найдены области «виртуальных» резонансов на резонансных траекториях в пространстве параметров электродинамического подвеса; обнаружены и исследованы качественно различные (в зависимости от величины переносной скорости V) режимы стохастической накачки энергии вертикальных колебаний электродинамического подвеса; рассчитана мощность стохастического торможения электродинамического подвеса, движущегося над случайно возмущенной цилиндрической N-оболочкой конечной ширины с V = VC; в пространстве параметров неупорядоченного S-I-S контакта найдена область сильного ограничения его электромагнитной памяти случайными квантовыми закоротками в I-слое; показано, что в области сильного ограничения электромагнитной памяти неупорядоченного S-I-S контакта случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном I-слое происходит радикальное изменение электромагнитных параметров неподвижного джозефсоновского вихря; показано, что мощность радиационных потерь движущегося джозефсоновского вихря в длинном неупорядоченном S-I-S контакте аномально возрастает в области сильного ограничения его электромагнитной памяти случайными квантовыми закоротками в неупорядоченном I-слое. Полученные результаты соответствуют следующим областям исследования паспорта научной специальности: 1) развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей (п. 2); 2) реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента (п. 4); 3) комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента (п. 5). Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: XXII Гагаринские чтения, Москва, Россия, 1996; II Международная конференция «Состояние и перспективы развития электроподвижного состава», Новочеркасск, Россия, 1997; II Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии», Кисловодск, Россия, 1998; Международная конференция «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений», Минск, Беларусь, 1999; VI Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, Россия, 2009; VI Международный семинар «Физико-математическое
Математическая модель свободных вертикальных колебаний
Сотрудниками кафедры прикладной математики и вычислительного центра Новочеркасского политехнического института был разработан программный комплекс, с помощью которого было проведено детальное численное исследование стационарных режимов электродинамического подвеса. Структура и алгоритмы этого комплекса описаны в [4]. Основная численная часть этого комплекса - расчет собственных функций и характеристических чисел ІС-оператора (1.18) модифицированным методом Келлога. Основы этого метода были ранее разработаны Э.В. Колесниковым [13 - 16].
При инженерных расчетах нестационарных режимов в стационарном приближении переносного движения [4] формулы (1.28), (1.29) используются и при переменной скорости V(t) путем замены в (1.28), (1.29) V V(t), где V(t) - текущая мгновенная скорость.
В.И. Астаховым был проведен выход за рамки стационарного приближения переносного движения при вычислении электромагнитной силы при наличии постоянного переносного ускорения электродинамического подвеса, который оказался возможным лишь при корректном учете конечности характерных времен релаксации тк (m) = d 1 (т) вихретоковых (к,т)-мод в TV-оболочке электродинамического подвеса, определяющих длительность электромагнитной памяти вихретоковых процессов в TV-оболочке. Показано, что учет переносного ускорения приводит к корректировке формул для составляющих электромагнитной силы, полученных в стационарном приближении. Эта корректировка сводится к добавлению в правую часть формул (1.28), (1.29) корректирующих множителей, вид которых найден в [4]. Там же приведено численное исследование этих корректирующих множителей как функций времени в режиме разгона и торможения электродинамического подвеса. Еще одним из важных направлений исследования нестационарных режимов системы электродинамического подвеса является изучение её «вертикальной» устойчивости и динамики вертикальных колебаний. Нетривиальный результат в этом направлении получен в работах А.В. Байко, К.Э. Воеводского и В.М. Кочеткова [17, 18], где обнаружена вертикальная неустойчивость электродинамического подвеса, движущегося с постоянной переносной скоростью над плоской N-оболочкой бесконечной ширины. В работах А.С. Родионова с соавторами [19–21] было проведено численное исследование вертикальных колебаний электродинамического подвеса, движущегося над N-оболочкой конечной ширины с постоянной переносной скоростью. Рассматривались вертикальные колебания, возникающие под действием таких возмущений, как: неровности путевого полотна (N оболочки), внешняя сила, которые имеют скачкообразный или гармонический характер, скачок электрического клиренса, скачок тока в катушке магнитной опоры. Проводилось, в том числе, и исследование вертикальной устойчивости, но неустойчивость не была обнаружена при всех исследованных значениях переносной скорости. Таким образом, остался открытым принципиальный вопрос о вертикальной устойчивости электродинамического подвеса, движущегося над цилиндрической N-оболочкой конечной ширины.
Поэтому главным направлением исследований, проведенных в главах 2, 3 настоящей диссертации, является анализ влияния «заложенных» в математическую модель (1.17) механизмов ограничения электромагнитной памяти вихретоковых процессов в N-оболочке на вертикальную устойчивость, а также регулярную и стохастическую динамику вертикальных колебаний системы электродинамического подвеса в рамках математической модели с цилиндрической N-оболочкой конечной ширины (1.17), (1.25) – (1.27).
В этой главе проведено исследование влияния электромагнитной памяти вихретоковых процессов в TV-оболочке на устойчивость «в малом» состояния равновесия электродинамического подвеса по отношению к «вертикальным» возмущениям в рамках модели с фиксированным током в катушке магнитной опоры (/ = const), движущейся с постоянной переносной скоростью V = Vex= const над TV-оболочкой. Показано, что лишь корректный учет электромагнитной памяти TV-оболочки точным пропагатором Pk(m;t,r) (2.2) при вычислении возмущенного вертикальными колебаниями ФЭС приводит к обнаружению при V VC (Vc - критическая скорость) вертикальной неустойчивости, которая в принципе не может быть обнаружена в «стационарном» приближении, игнорирующем электромагнитную память TV-оболочки. Проведено численное моделирование зависимостей: a(v), i(v) - коэффициентов электромагнитной вязкости и электромагнитной упругости подвеса. Получены приближенные аналитические формулы для Vc, a(v\ i(v).
Численный расчет резонансной траектории на плоскости (V,n). Виртуальные резонансы
Заметим, что точно такое же, как и (3.60) уравнение колебаний получается в пределе идеально проводящей TV-оболочки (у - оо, dk(m) 0), то есть в пределе бесконечной длительности электромагнитной памяти тк (m) = d 1 (т) - оо. Физически эквивалентность этих пределов (V —»со, у -конечно) и (г- , V- конечно) в рассматриваемой задаче обусловлена тем, что при больших значениях переносной скорости (К- оо) за время прохождения эквивалентным витком магнитной опоры расстояния, равного характерной длине локализации (вдоль оси Ох) вихревого тока, последний вовсе не успевает затухнуть и ситуация полностью аналогична ситуации с /— оо.
Предположим, что флуктуации тока Si(t) в правой части (3.60) представляют собой стационарный гауссовский процесс, который полностью определяется своими первыми двумя моментами [36]. В качестве такого процесса рассмотрим «цветной шум» - стохастический процесс Орнштейна-Уленбека [37] Для вычисления средних в правой части (3.67) представим решение уравнения (3.63) с начальными условиями (3.64) в следующем виде
Формулы (3.71), (3.72) и определяют средние, входящие в (3.67). Рассмотрим сначала наиболее простую для вычисления (3.71), (3.72) ситуацию, когда время автокорреляции тс является самым малым параметром размерности времени в рассматриваемой задаче. Единственным
В связи с формулой (3.80) отметим аналогию рассматриваемой здесь задачи с классической диффузионной задачей для стохастического винеровского процесса (см., например, [36, 37]), то есть с задачей о случайном с непрерывным временем и бесконечно малыми шагами равновероятном в обе стороны (симметричном) блуждании точки по прямой, в которой среднеквадратичное удаление точки от начала координат (место старта) описывается диффузионным законом вида (3.80). В рассматриваемой здесь задаче малые случайные симметричные ((Si(t)) = 0) флуктуации тока
порождают малые случайные симметричные (в рассматриваемом здесь линейном приближении) флуктуации электромагнитной силы взаимодействия катушки магнитной опоры с TV-оболочкой, которые в свою очередь вызывают малые случайные симметричные колебания координаты центра тяжести электродинамического подвеса около положения равновесия, в результате чего устанавливается диффузионный режим роста среднеквадратичныой амплитуды колебаний (3.80).
Отметим, что функция F3(f) экспоненциально быстро убывает с течением времени, функция F2(t) ограничена во времени, а функция Fx(t) содержит линейно возрастающее во времени слагаемое. Заметим также, что в пределе малых времен автокорреляции параметр со0тс «1, и линейный член разложения правой части (3.81) по этому малому параметру как раз и дает результат (3.76), полученный в приближении белого шума, что подтверждает справедливость модели белого шума в пределе малых времен автокорреляции.
Подстановка в (3.86) корреляционной функции цветного шума (3.65) как раз и дает (3.85).
Как видно из (3.84) средняя энергия колебаний линейно нарастает во времени, а средняя мощность накачки определяется спектральной плотностью мощности шума %(t) на собственной частоте со0 рассматриваемой колебательной системы. Из соотношений (3.79), (3.84) следует формула для среднеквадратичной амплитуды колебаний la2(t)\12 =2D7, (3.87) где D = D(CO0,TC)=TIS(CO0,TC)/CO20 - (3.88) - коэффициент диффузии амплитуды колебаний. Коэффициент диффузии D((D0,TC) (3.88) как функция времени автокорреляции тс при фиксированной собственной частоте ЭПЭ щ имеет вид, приведенный на рисунке 3.4. Таким образом, наиболее быстрый рост среднеквадратичной амплитуды колебаний (3.87), а вместе с нею и наиболее быстрый рост средней энергии колебаний (3.84) в области больших значений переносной скорости V » Vc происходит при тc = Q)Q1 . Именно флуктуации тока с таким временем автокорреляции при одинаковых и O)Q являются наиболее «опасными» с точки зрения нежелательного развития стохастических вертикальных колебаний электродинамического подвеса при V »Vc. Для типичных значений параметров электродинамического подвеса оценим по порядку величины время достижения среднеквадратичной амплитудой колебаний значения, равного половине равновесного электрического клиренса, что еще находится на пределе применимости рассматриваемой здесь линейной теории колебаний. Примем (п. 3.1) си0 = 10 с"1. (3.89) Величина є (3.61), как следует из условия равновесия подвеса є g 7 (3.90) где g = 10мс ускорение силы тяжести. Коэффициент диффузии (3.88) с учетом соотношений (3.66), (3.85) и (3.90) представим в виде: Я{щ,тс) = 4g2rc {8 if (3.91) Значение относительной среднеквадратичной флуктуации тока примем равным (Si)2 7 1/2 = 10"2, (3.92) а значение равновесного электрического клиренса z k 0,1 м. В качестве критического значения для среднеквадратичной амплитуды колебаний примем г 1/2 а2) 0,1 м. (3.93) Из формулы (3.87) определим критическое время как кр a2 кр 2D(CD0,TC) (3.94) -1 Подставляя (3.89) - (3.93) в формулу (3.94), находим при тс = со = 0,1 с /кр 102с, (3.95) а, например, при тс = 0,01 с и тс = 1 с критическое время на порядок больше 103с. (3.96)
Отметим также, что в силу квадратичной зависимости коэффициента диффузии (3.91) от относительной среднеквадратичной флуктуации тока (3.92), увеличение последней, например, всего до трех процентов, приводит к увеличению коэффициента диффузии на порядок и, соответственно, к уменьшению на порядок критических времен (3.95), (3.96). Полученные результаты предъявляют определенные требования к системе питания катушки магнитной опоры, а также к системе управления траекторией движения электродинамического подвеса в области больших значений переносной скорости V»VC, где Гс 10 м/с (п. 2.2), то есть при V 100 м/с. 3.2.3 Математическая модель при произвольных значениях V Рассмотрим соотношения (3.57) - (3.59), полученные в п. 3.2.1 и упростим функционал (3.58), принимая во внимание, что в интеграле по г функция SzA(t-z) является для типичных параметров электродинамического подвеса «медленной» функцией аргумента т (характерные времена ее изменения 1с (п. 3.1)) по сравнению с «быстрой» функцией ехр(- г), входящей в RePk(m,z), фактически «обрезающей» верхний предел интегрирования по т при значениях Г Й 1 Г 1(Г2с для всех существенных (к,тп)-мод вихревого тока.
Математическая модель электродинамики неупорядоченного S-I-S контакта со случайными квантовыми закоротками в /слое.
Как показано в предыдущем параграфе, наличие КРПТ в неупорядоченном I-слое приводит к существенному ограничению электромагнитной памяти вихретоковых процессов в S-I-S контакте в области параметров за счет рассеяния вихретоковых возбуждений на флуктуациях туннельной проводимости I-слоя, вызванных КРПТ -случайными квантовыми закоротками. Кроме того, в этой же области параметров Q.r yju -Е0,с) контакта наличие случайных квантовых закороток в I-слое приводит не только к пространственным флуктуациями его 183 туннельной проводимости около её среднего значения - стохастический шум v(x), но и к весьма значительному изменению самого среднего значения туннельной проводимости по сравнению со случаем «пустого» (без примесей) I-слоя. Эти обстоятельства, как показано ниже, приводят к существенным количественным и качественным изменениям в электродинамике вихретоковых процессов в неупорядоченном S-I-S туннельном контакте по сравнению со случаем «пустого» (без примесей в I-слое) контакта в области параметров Clr (ju-E0,с).
В этом параграфе изложены результаты численного исследования поверхности нижнего критического поля неупорядоченного S-I-S контакта Hc(ju-E0,c), разделяющей в трехмерном пространстве параметров (Нс,/і- Е0,с) области безвихревых (без джозефсоновских вихрей) состояний контакта и вихревых (с одним или более джозефсоновскими вихрями) состояний, а также результаты численного исследования джозефсоноского вихря в области Qr(M-E0,c) для случаев низкоомного и высокоомного S-I-S контактов.
Джозефсоновские вихри появляются в S-I-S туннельном контакте, находящемся во внешнем магнитном поле, параллельном плоскости контакта, при превышении напряженностью этого поля Н некоторого критического значения Нс - нижнего критического поля контакта. При Н НС безвихревое состояние контакта становится неустойчивым, так как состояние контакта с джозефсоновскими вихрями оказывается энергетически более выгодным, чем безвихревое состояние [90, 91].
В рамках рассматриваемой модели неупорядоченного S-I-S контакта нижнее критическое поле (в системе СИ) может быть представлено в виде [6, 9]: Hc{rN)= F[(p{rN)l (6.28) где 184 F[(p\ = c]\-{ \ + 2(1-COSJ - (6.29) - функционал свободной энергии, приходящийся на единицу длины (вдоль оси у) туннельного S-I-S контакта с уединенным джозефсоновским вихрем, rN = {r1,r2,...,rN) - случайная конфигурация примесей в I-слое контакта, Ф0 = 7ih/e - квант магнитного потока, р = р(х, Гы) - случайная разность фаз сверхпроводящих параметров порядка в сверхпроводящих берегах контакта, Л?=Л}2(ГМ) - случайная джозефсоновская глубина проникновения магнитного поля в контакт, C = n2\4Ju0e2dj , d = 2XL+Lz, AL лондоновская глубина проникновения магнитного поля в S-берега контакта. Случайная разность фаз р(х,Гы) параметра порядка удовлетворяет стационарному уравнению sin-Gordon d = Aj2smcp, -оо х оо, (6.30) со случайным коэффициентом Л? =Л?(ГМ), на решениях которого достигается минимум функционала (6.29) в каждой из реализаций Гм.
Усредним теперь стохастическое уравнение (6.34) по ансамблю конфигураций {Гм} и получим уравнение для усредненной функции ( р(х))
Таким образом, задача численного расчета нижнего критического поля Нс и его среднеквадратичных флуктуаций сводится: 1) к численному решению уравнения (6.36) с граничными условиями (6.39), для чего разработана конечно-разностная схема в параграфе 5.3, в результате чего находится регулярное решение ((р(х)); 2) к численному расчету функционалов F0[( p)] (6.41) и ((SF)2} (6.48) на основе найденного решения (ср(х)}; 3) к численному расчету нижнего критического поля и его среднеквадратичной флуктуации по формулам (6.44), (6.45). 4) все предыдущие пункты проделываются для каждого «узла» выбранной сетки, покрывающей на плоскости параметров (JI-E0, с) область в результате чего строится поверхность над областью Пг(р-Е0,с).
На рисунках 6.6, 6.7 для случая низкоомного, а на рисунках 6.8, 6.9 для случая высокоомного контактов приведены результаты численных расчетов нижнего критического поля Нс в неупорядоченном S-I-S контакте со случайными квантовыми закоротками в I-слое. Как видно из этих результатов поверхность (Hc(ju-E0,cJ) над плоскостью параметров (М-Е0,с) обнаруживает аномальное поведение -имеет куполообразное «выпячивание» над областью параметров Пг(м Е0,с\ внутри которой осуществляется наиболее сильное ограничение длительности электромагнитной памяти вихретоковых процессов в рассматриваемом здесь S-I-S контакте. На «макушке» этого купола нижнее критическое поле (Нс) значительно превышает нижнее критическое поле «пустого» контакта, т.е. при игнорировании ограничения электромагнитной памяти контакта случайными квантовыми закоротками. Эта поверхность отделяет безвихревые (без джозефсоновских вихрей) состояния неупорядоченного S-I-S контакта - состояния под куполом, от вихревых состояний контакта (с одним и более джозефсоновскими вихрями) -состояния над куполом. Если же априори пренебречь наличием малой концентрации примесей в I-слое и тем самым игнорировать квантовые закоротки в неупорядоченном I-слое контакта, то аномальный «купол» исчезает. Физическое объяснение этого факта состоит в том, что присутствие КРПТ - случайных квантовых закороток в неупорядоченном I-слое приводит к резкому возрастанию средней туннельной проводимости I-слоя в области параметров Пг(р-Е0,с), а увеличение туннельной проводимости I-слоя приводит к увеличению нижнего критического поля.
