Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Основные уравнения теплопередачи в криволинейных неоднородных слоях и стержнях. Условия сопряжения при контакте стержней и оболочек 8
1.1 Основное уравнение теплопередачи в криволинейном слое 8
1.2 Основные уравнения теплопередачи в криволинейном стержне при наличии внешней теплоотдачи 19
1.3 Системы стержней и оболочек. Условия сопряжения 31
1.4. Основные уравнения теплопроводности в системе оболочек, контактирующих по простиранию 37
Глава II. Стационарные процессы теплообмена в системе стержней 46
2.1 Построение решения основных краевых задач для стержня с внешним теплообменом 46
2.2. Процесс теплопередачи в криволинейном замкнутом стержне 66
2.3. Последовательное и параллельное соединение проводников тепла с внешней теплоотдачей 72
2.4. Системы стержней и их моделирование геометрическими графами. Основные краевые задачи 82
Глава III. Нестационарные процессы теплопередачи в системах контактирующих стержней 111
3.1. Основные краевые задачи для одного стержня без внешнего теплообмена 111
3.2 Процесс выравнивания температуры в простейших стержневых системах 121
3.3. Задача Коши для произвольной системы стержней 137
3.4 Нестационарные процессы теплопередачи в простейших пространственных конструкциях 139
Заключение 144
Список использованной литературы 147
- Основные уравнения теплопередачи в криволинейном стержне при наличии внешней теплоотдачи
- Основные уравнения теплопроводности в системе оболочек, контактирующих по простиранию
- Процесс теплопередачи в криволинейном замкнутом стержне
- Процесс выравнивания температуры в простейших стержневых системах
Введение к работе
В практике часто встречаются конструкции, отдельные детали которых состоят из элементов, которые можно достаточно точно считать при изучении теплопередачи стержнями. Это могут быть элементы систем охлаждения, компоненты микроэлектронной техники, проводные системы коммуникаций, антенны, фермы строительных конструкций, просто системы труб, и т.д.
Задачи о распространении тепла в системах контактирующих стержней с внешней теплоотдачей особо остро возникают при эксплуатации систем охлаждения энергетических установок. Инженеров интересует процесс остывания разветвленной системы трубок охлаждения при плановом или экстренном отключении подачи теплоносителя в системы охлаждения при условии, что трубки имеют различную форму, имеют различные оболочки и находятся в различных температурных условиях внешней среды.
Если установки эксплуатируются в сложных климатических условиях, то, например, достижение пороговых низких температур и, как следствие, образование наледи на трубках изменяют параметры теплоотдачи системы и могут служить причинами аварий.
Исходя из этого, необходимо оценивать не только температурные поля стержней и время остывания до некоторой температуры, но и величину и направление тепловых потоков в системе, для определения потенциально слабых мест, которым требуется дополнительное обслуживание при эксплуатации действующих установок или особое внимание конструкторов при проектировании новых.
При моделировании процессов теплопередачи в системах контактирующих стержней можно выделить три направления исследования. Первое должно обеспечивать построение достаточно полной модели, то есть ее соответствие возможностям протекания физического процесса теплопередачи, а значит учитывать:
а) теплопередачу внутри стержня,
б) наличие теплопроводящих оболочек,
в) теплопередача в окружающую среду,
г) наличие источников/стоков тепла внутри стержней и оболочек,
д) особенности теплообмена в точках соединения стержней,
е) опосредованное взаимодействие находящихся рядом стержней (через
окружающую среду),
ж) геометрическую и физическую структуру стержней.
Учет всех вышеперечисленных возможностей в практике является очень трудоемким. Экспериментальное исследование сложных систем охлаждения является трудоемким и дорогим. Численное исследование систем стержней осложнено тем, что при изменении параметров любого стержня, изменении конфигурации системы, изменении внешних условий необходимо перестраивать программное обеспечение и делать полный перерасчет, несмотря на то, что элементы конструкций являются типовыми.
Поэтому, на сегодняшний день, требуются такие математические модели, которые были бы достаточно общими по спектру учитываемых физических и геометрических параметров системы, учитывали бы возможность использования типовых элементов и упрощенных алгоритмов изменения конфигурации системы для проведения численных или аналитических исследований.
Второе направление исследований - поиск, разработка и адаптация математического аппарата, позволяющего решать задачи, описываемые полученной моделью.
Третье направление - разработка качественных примеров использования модели для изучения определенных систем стержней при определенных внешних и внутренних условиях. Ценность таких примеров заключается в том, что они позволяют проводить проверку работоспособности других методов расчета тепловых процессов в системах контактирующих стержней, а также проверку качества разрабатываемых численных методов и соответствующего программного обеспечения.
Многие используемые в работе модели рассматривались с некоторыми упрощениями в классической литературе по теплообмену и математической физике ([9],[42],[46],[55],[60],[78]). Однако некоторые особенности моделей являются продолжением исследований процессов переноса в криволинейных слоях, начатых О.В. Голубевой и продолжающихся до сих пор в работах Ю.А. Гладышева [18], В.А. Толпаева и В.И Дедовского [79-80]. В этих работах рассматривается двумерная модель переноса жидкости в фильтрационном слое, ограниченном по одной из координат, аналогичная процессу переноса тепла. При этом Ю.А. Гладышевым1 в монографии [20] был обобщен метод решения параболических уравнений с использованием обобщенных степеней Берса ([92] и др.) применительно к двумерным моделям переноса.
Предложенные ранее модели, как правило, ограничены рассмотрением конкретных систем стержней ([9],[42]) или введением в решаемое уравнение лишь малой части факторов влияющих на процесс теплопередачи в системах стержней, например не рассматривается возможность внешнего теплообмена ([46],[67]идр.).
При физической постановке задачи можно считать, что в начальный и в последующие моменты времени трубки нагреты по сечению одинаково в силу их тонкости и однородности окружающей среды. В связи с этим, можно рассматривать одномерные модели распространения тепла в стержнях, принимая за температуру в точке стержня ее усредненное значение по сечению. Оценка этого подхода дана в предлагаемой работе (см. п. 1.2).
Широкое представление аналитических методов решения уравнений теплопроводности представлено в классических работах Г. Карслоу, Д. Егера, Н.М. Беляева, А.А. Рядно, Лыкова А.В. ([9],[42],[55]). Однако в настоящее время разрабатываются алгебраические методы, позволяющие в ряде случаев проводить безкоординатное решение задач теплопроводности. При построении решений
1 Автор выражает свою глубокую благодарность и признательность к.ф.-м.н., доценту Гладышеву Ю.А. за многократные консультации и большую методическую помощь при выполнении и написании данной работы.
нестационарного уравнения теплопроводности, определенного на системах стержней в работах Л.А.Коздобы ([46] и др.) предлагается алгебраический метод, основанный на представлении проводников тепла, входящих в систему, в виде сопротивлений и использующий методы аналогичные методам электротехники. В работах Ю.А. Гладышева ([18],[20],[23] и др.) предлагается модель процессов теплопередачи в системах контактирующих оболочек и тел вращения, где тепловые потоки определяются матрицей теплопроводимости системы, описывающей характер входящих в систему и исходящих из нее тепловых потоков. Этот подход и был взят за основу при моделировании тепловых потоков в системах контактирующих стержней в данной работе.
При построении решений нестационарных задач теплопроводности методом Фурье на геометрическом графе, возникает проблема собственных значений. Теоретическим обоснованием решения этой проблемы посвящены работы Ю.В. Покорного и др. ([66], [27-29], [64], [67-69], [85-86], [97-100]). Однако изучение уравнения теплопроводности в этих работах не является приоритетным, поэтому оно исследуется при значительных ограничениях: не рассматривается внешний теплообмен, не рассматриваются оболочки для ребер графа и не рассматриваются задачи с адиабатической изоляцией вершин.
Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что исследования процессов переноса на графах и связанных с ними математических проблем актуальны и в современной науке им уделяется большое внимание. Предлагаемая работа является продолжением исследований в данном направлении. Приведенные в данной работе модели также не являются полными, однако позволяют учитывать возможности протекания процесса а)-д), ж) (стр. 3-4). Кроме того, предлагается использование терминов и понятий теории графов, позволяющих проводить удобное словесное и графическое описание модели. Поэтому можно сформулировать
Цель работы
Построить математическую модель, позволяющую описывать и опреде-
лять тепловые потоки и температурные поля стационарных и нестационарных тепловых процессов, происходящих в системах криволинейных неоднородных контактирующих стержней. Задачи работы:
Определить математическую модель, описывающую процессы теплопередачи в криволинейном неоднородном одиночном стержне и системе контактирующих стержней и указать условия применимости этой модели.
Адаптировать понятие матрицы теплопроводимости для определения тепловых потоков стационарных и нестационарных процессов теплопередачи в криволинейном неоднородном стержне.
Построить решения стационарных и нестационарных уравнений теплопроводности, определенных на простейших планарных и пространственных геометрических графах с краевыми условиями I, И, и III типа методом Фурье с использованием формализма Бельтрами-Берса.
Разработать методы построения матрицы теплопроводимости для произвольной системы стержней.
Основные уравнения теплопередачи в криволинейном стержне при наличии внешней теплоотдачи
Уравнения процесса теплопередачи в криволинейном достаточно тонком стержне переменного сечения можно получить как следствие уравнений теплопередачи в криволинейном слое.
Если процесс идёт на поверхности вращения и зависит только от qj, то условие малого искривления по оси q2 может быть снято, и получим уравнение для процесса в стержне кругового сечения. Однако особенности взаимодействия с внешней средой при этом подходе полностью учесть нельзя. Поэтому приведём полный вывод уравнений.
Предположим, что стержень достаточно тонкий, так, что отношение диаметра произвольного сечения D к длине рассматриваемого участка стержня мало. Поэтому полагаем, что стержень определён кривой L его среднего сечения. Считаем также, что радиус кривизны R велик по сравнению с D. Будем отсчитывать координату вдоль стержня, обозначив ее /. Все геометрические и физические характеристики зависят от /.
Поток через боковую поверхность определён законом внешнего теплообмена и распределением внешней температуры. Предположим, что стержень покрыт внешней теплоизоляцией малой теплопроводности. теплоизоляция
Толщина покрытия h мала по сравнению с диаметром стержня. Поэтому примем, что основной ток утечки тепла идет по нормали к поверхности стержня и его продольной составляющей можно пренебречь.
Требование достаточной тонкости плохо проводящей оболочки в случае стационарности может быть заменено пренебрежением потока тепла во внешней среде в направлении потока тепла в стержне. Тогда необходимо иметь двумерное решение для потока тепла между контуром стержня и некоторой внешней средой с контуром ас (рис. 1.2.7), который в общем случае должен быть замкнут или уходить в бесконечность.
Очевидно, что физически процессы в стержне не зависят от его конкретного вида, оставаясь неизменными при любых деформациях не связанных с растяжением или сжатием. Техника и строительство даёт многочисленные примеры машин и сооружений, процессы теплопроводности в которых могут рассматриваться на основе модели системы достаточно тонких стержней и оболочек приведённой выше. Поэтому рассмотрим особенности постановки краевых задач и условий сопряжения в таких системах. Начнём с изучения процессов в системе стержней.
Будем считать, что внешние температуры Tb(i) вдоль стержней заданы. Соединения или начала стержней могут поддерживаться при заданной температуре (или более обще при условии III типа) или их температура не известна и определяется в процессе решения задачи. В первом случае начало стержня или точка контакта стержней называется открытой, в противном случае - закрытой. Система стержней образует некоторый в общем случае пространственный граф, где стержни являются рёбрами графа, а точки контакта - вершинами. Поэтому будем систематически использовать терминологию теории графов (подробнее терминология описывается в п.2.4).
Точка контакта п стержней - это вершина графа степени п. Стержни, соединённые в данной вершине назовём инцидентными. Если специально не указано, то граф считается связным. Также предположим, что граф определяющий систему стержней направленный и направление определено осью х декартовой системы координат.
Закон сохранения внутренней энергии предполагает, что поток тепла со стороны стержня J равен потоку тепла, который поступает в оболочку в достаточно малой окрестности Р.
В силу сделанных предположений о достаточной тонкости стержня это означает, что на оболочке можно выделить достаточно малый круг с окружностью С радиуса г, причём суммарный поток тепла через эту окружность равен. Ряд примеров будет приведён ниже. 1.4. Основные уравнения теплопроводности в системе оболочек, контактирующих по простиранию.
В этом пункте рассматриваются системы, образованные хорошо проводящими слоями, разделёнными достаточно тонкими слоями с малой теплопроводностью.
Считаем, что все слои удовлетворяют основным геометрическим требованиям. За номер слоя примем номер поверхности, ограничивающей слой с меньшим q3. Таким образом, слои с нечётным номером считается плохо проводящими тепло, а с чётным - хорошо проводящими тепло, причём среда этих слоев может находиться в заданном движении. В дальнейшем плохо проводящие тепло слои в силу их неподвижности назовём оболочками или прослойками, а хорошо проводящие будем называть слоем, если среда движется. В случае неподвижной среды - также оболочками.
Основные уравнения теплопроводности в системе оболочек, контактирующих по простиранию
Таким образом, уравнение для процесса теплопередачи в 21 слое имеет вид почти аналогичный уравнению (1.1.10) для одного слоя.
Система уравнений (1.4.4) определяет процесс теплопередачи в системе N слоев, разделённых плохо проводящими тепло слоями в область W.
Постановка краевых задач, а также трудности, которые при этом возникают, будут обсуждаться позже.
В простейшем случае замкнутая кривая L может выродиться в точку. Наличие таковой точки существенно не влияет на процесс теплопередачи и не требует специальных условий.
Другой тип нерегулярной системы слоев возникает, когда на некоторой кривой L исчезает прослойка, и два слоя объединяются в один, (рис.1.4.5). теплопро-jA х7 т д . jy теплоизоляция водящие. слои
Кривые L разрыва слоя или прослойки являются границами областей регулярности. Будем предполагать, что всегда можно разделить систему слоев на области регулярности, границами которых будут кривые слоя или прослойки. Следует отметить, что хотя сделано предположение о медленности изменения толщины слоя Vf2i), оно может нарушаться на некоторых кривых. Например, толщина слоя может резко меняться от Ні(2і) до Н2(2і). Это нарушение в небольшой области можно учесть с помощью условий сопряжения, потребовав равенство температур и потоков. Поэтому тот же случай, в общем, не исключается из теории. Аналогичные соображения относятся и к прослойке.
Важным случаем будет система слоев, расположенных на плоскости, когда коэффициенты Ламэ Н} равны Н}=Н2=1. Если снование слоя плоское, и имеем непроницаемые прослойки, то получаем один изолированный слой переменной толщины без перетекания. Если 0 и имеет место перетекание, в случае слоя постоянной толщины имеем обычное уравнение. Наконец, если все слои имеют различную постоянную толщину, возвращаемся к обычной системе уравнений, изученной рядом авторов.
Остановимся на некоторых определениях, относя более подробное рассмотрение вопроса до главы 6 .
Если все слои и оболочки (прослойки) плоские и толщины слоев постоянны, то систему слоев будем называть подобной. Это важный класс слоев довольно прост в решении и является основным в дальнейшем.
Обратим внимание, что предельным случаем системы слоев при большом N будет анизотропная среда с определённым тензором анизотропии. Это будет среда с резко выраженной анизотропией, если учесть, что она составляется из хорошо и плохо проводящих слоев материала. При этом возникает возможность, как это будет показано ниже, учесть неоднородность среды и свести задачу двумерную к одномерной.
В этом случае первоначально должна быть решена первая краевая задача для многосвязного контура в плоскости и нормальной к стержням. Температура на внешнем контуре задана. Эта температура может медленно меняться вдоль стержня.
Если рассматривать только одномерные задачи, то процессы в стержне непрерывно сопряжены с потоками на криволинейных осесимметричных коаксиальных поверхностях.
Систему стержней будем часто называть пучком. Аналогично случаю системы слоев, если число стержней в данной области пучка не меняется, то назовём эту область регулярной. В противном случае, если стержень заканчивается в некоторой точке - эта область нерегулярная. Очевидно, что пучок можно разделить на области регулярности, которые связаны условиями сопряжения.
Возможно рассмотреть вопрос о контакте систем слоев или стержней. Глава II. Стационарные процессы теплообмена в системе стержней
Однако могут представиться случаи, когда функции ava2 сильно отличаются от известных. Стержень может быть составлен из нескольких частей с различными свойствами и внешними условиями. Поэтому в дальнейшем укажем другой метод вычисления shaX,chaX, который будет широко использоваться далее, и имеем целый ряд преимуществ при проведении конкретных вычислений.
Количество слагаемых, которое следует удержать при подсчете рядов, существенно зависит от величины параметра а. Следует обратить внимание, что этот параметр во многих практически интересных случаях больше единицы. В этом случае необходимо найти большое число обобщенных степеней. Используя оценки обобщенных степеней можно доказать сходимость ряда (2.1.81) при любых а.
Следует отметить, что стержень с внешним теплообменом с «точки зрения» внешнего пространства есть совокупность тепловых источников распределенных по заданной кривой. Задача, которая с позиций трехмерного пространства при дополнительных краевых условиях имеет решение.
Напомним, что выражение включает два слагаемых: переменную внешнюю температуру и наличие источников. Приведем несколько частных случаев. Если стержень однородный, то для решения достаточно заменить формальное переменное на обычное.
Процесс теплопередачи в криволинейном замкнутом стержне
Достаточно рассмотреть случай кольцевого стержня, ибо путём деформации краевая задача для произвольного криволинейного стержня при сохранении распределения внешней температуры может быть сведена к задаче кольцевого стержня при сохранении распределения внешней температуры Те и параметров относительно стержня.
В теплоизолированном кольце невозможно решение типа источника в точке, но, очевидно, возможно решение имеющее источник и сток одинаковой мощности. При наличии внешнего теплообмена такие решения, при любом числе источников произвольной мощности, вполне допустимы.
Приведём решение для точечного источника тепла, причем для простоты предположим, что он расположен в точке р = 0. Считаем кольцо неоднородным , т.е. k,S,x зависят от угла р. Если конвекции нет и внешняя температура Те постоянна, то решение для температуры кольца можно представить в форме.
Условия сопряжения для температуры в точках 0, р0 выполнены. Остается выполнить условия сопряжения по потокам тепла.
Обратим внимание, что наличие источников тепла в точке контакта не меняет матрицы Р(и), если считать 2L за R, но влияет на дополнительные потоки тепла. В ряде случаев возникает необходимость знать, какие краевые условия поставлены при нахождении матрицы Р. В дальнейшем, если это необходимо, будем указывать это в скобках после Р. Таким образом Р(Шхх,Шх2) означает, что в точках хх,х2 поставлены условия третьего типа, a P(IIIxvIIx2) что при х, условия третьего типа, а в точке х2 - условия задачи D.
В некоторых случаях, например при выделении тепла проходящим электрическим током, возникает необходимость учесть тепловые источники в месте контакта. Это легко сделать, изменив условие (2.3.3) и (2.3.4) на (2.3.5).
Поставим в известном смысле обратную задачу найти температуру в произвольной точке х стержня, на концах которого выполнены краевые условия третьего типа, используя понятие матрицы теплопроводимости.
Если внешняя потеря тепла отсутствует, то полученный результат просто совпадает с законом последовательного соединения, когда тепловое сопротивление находятся путем сложения тепловых сопротивлений стержней.
Эта хорошая черта метода позволяет находить матрицу любого числа последовательно соединенных стержней с помощью одной и той же операции, что значительно облегчает использование ЭВМ.
Разделение на отдельные участки целесообразно при учете изменения внешней температуры или изменения параметров стержня по его длине.
С математической точки зрения операция последовательного соединения двух стержней ставит в соответствие двум матрицам второго порядка Р(1), Р{2) третью матрицу того же порядка. Положим для простоты, что внешняя температура постоянна и Те = О.
Переходя к более сложным системам стержней расположенным в пространстве целесообразно использовать теорию графов [3],[8],[49],[64],[83] по крайней мере, её основные понятия и результаты. Совершенно очевидно, что система стержней представляет граф, в котором стержни являются рёбрами, а место соединений стержней - вершинами. Как это принято в теории графов число стержней, соединённых в данной точке (вершине), назовём порядком вершины (порядком точки контакта). По предложению Ю.В. Покорного [67] будем называть такой граф - геометрическим графом. При введении системы координат для изучения процессов переноса в стержневой системе будем считать, что выполнены следующие условия: 1. Нет ребер перпендикулярных оси Ох. 2. Все вершины графа имеют различные координаты х. Эти требования всегда могут быть выполнены на практике в силу конечности числа ребер. Введение системы координат позволяет учитывать направление тепловых потоков на ребрах графа, поэтому можно считать граф ориентированным, причем ориентация задается положительным направлением оси Ох. Это позволяет ввести удобную при расчетах нумерацию ребер, вершин, и величин, связанных с ребрами и вершинами. Обозначим общее число вершин за S, а общее число ребер за N. Нумерацию ребер и вершин желательно, но не обязательно, проводить по росту координаты х, тогда координаты вершин можно снабдить индексами xl x2 Xj ... xN. Таким образом, есть вершины с наибольшим и наименьшим индексами, которые в ряде случаев мы будем называть входом и выходом графа (системы стержней). Внешний поток тепла в вершине х, будем считать идущим слева, а в вершине xN - справа. Это соответствует условиям для одиночного стержня. Во всех остальных вершинах поток считаем идущим слева. Для нумерации ребер, в зависимости от задачи, можно предложить два способа. Либо номером ребра, например 1, 2,..., N, либо парой чисел - номеров вершин, которые соединяет данное ребро, например (3,4) - ребро, соединяющее вершины с номерами 3 и 4. Если некоторая величина относится к вершине, то ее снабжаем нижним индексом с номером этой вершины. Например Т{ - обозначение температуры в вершине с номером 1. Если величина относится к ребру, то ее снабжаем верхним индексом с обозначением ребра, заключенным в круглые скобки. Например, 5(1) - площадь поперечного сечения на ребре с номером 1, или /(2 3) - коэффициент внешней теплоотдачи на ребре, соединяющем вершины с номерами 2иЗ. Для решения задач, определенных на сложных системах, необходимо рассматривать вершины, в которых сходится большое число ребер. При этом можно разделить эти ребра на 2 класса: по признаку направлению ребер вдоль оси Ох. Для обозначения этих классов, удобно использовать терминологию теории графов: ребра, входящие в рассматриваемую вершину, назовем инцидентными слева, и будем нумеровать их от 1 до /, а ребра исходящие из вершины будем нумеровать от 1 до г.
Процесс выравнивания температуры в простейших стержневых системах
Разумеется поставленная задача может быть решена используя функцию sinXX, построенная на единой порождающей паре alt а2, определенной на всем отрезке xi, %2, с разрывом непрерывности в точке JCC.
Этот случай требует специального изучения, которое частично приведено ниже. Граничные условия обращения в ноль в точках X/, xj, хз удовлетворены. Очевидно, выполнены и условия равенства температур в точках контакта.
Остановимся на случае обращения в ноль знаменателей. Чтобы проще выяснить суть дела, считаем все стержни по физическим параметрам одинаковыми. Очевидно обращение в ноль одного из знаменателей, не удовлетворяющих уравнению (3.2.48).
При учете нормировки одна из ветвей обращается в ноль. При этом нормировка автоматически сохраняется и приводит к нормировке для стержня, составленного из двух различных стержней.
Чтобы получить ортогональную систему решений необходимо провести ортогонализацию.
Здесь интервалы берутся по ребрам графа. Аналогичным образом можно выписать выражение нормы и формулу для нахождения коэффициентов А„_ Не представляет трудности рассмотреть случай однородных стержней. Для решения поставленных выше задач можно использовать функции sinAx. С внутренней структурой введенной ранее в [20]. Тогда частное решение запишется T = AsinXX(x;xv.,xn_l), (3.2.46) где выполнены все условия сопряжения на всех внутренних вершинах графа, а на всех внешних вершинах за исключением одной хп, smAX(x ixv..) исчезает.
Как и в случае стационарных задач рассмотрим системы стержней, которые содержат замкнутые циклы (петли). Простейшей задачей является стержень, замкнутый на себе (рис. 3.2.5), когда в точке рпоставлены условия идеального теплового контакта. Напомним, что х можно считать обобщённой координатой, например, полярным углом р. Радиус кольца. В дальнейшем предположим, что путём деформации замкнутый контур, представляющий стержень-кольцо можно перевести в окружность.
Пусть дана система стержней, представленная графом Т. Прежде всего укажем, что все граничные условия переносятся для амплитудных значений. Остаются в силе и условия сопряжения в точках контакта стержней в силу одинаковой зависимости от времени.
Поэтому для определения внутренних температур системы имеем систему уравнений почти аналогичную основной системе (2.4.27), однако эта система однородна. Некоторые Р ,к\Р к), если они относятся к открытым вершинам, заменены на Р. В этом случае, если открытая вершина расположена слева, то на Р заменяем Р22, а если она расположена справа, то на Р заменяем Ри.
Если имеем матрицу теплопроводимости системы и поставим задачу, что все температуры Tt открытых вершин стремятся к нулю, то очевидно, что потоки также равны нулю, при условии, что элементы матрицы не ограничены. Если при этом элементы матрицы неограниченно растут, то ответ неоднозначен. Действительно, если а - действительный параметр, то это возможно лишь в том случае, когда х, - х2, что не представляет интереса. Однако при мнимом а такая возможность возникает и при некоторых значениях а возможно обращение всех элементов матрицы Р в бесконечность.
Строение матрицы Р показывает, что она находится путем вычисления определителя в ноль. Это дает условия для определения собственных значений.
За обоснованием существования спектра и его свойств следует обратиться к специальной литературе. Ортогональность этих решений следует из результатов п.2.1 или непосредственно может быть доказана путем двойного интегрирования по частям.
На вершины тетраэдра не накладывается никаких специальных условий, но считается, что внешнее тепло в вершины не поступает. Таким образом, это краевая задача Неймана, ибо внешний теплообмен учтен в самом уравнении.
Требуется выяснить характер процесса установления общей температуры на стержнях конструкции. Главная проблема - это найти гармоники unj, составляющие разложение Фурье на ребрах графа.
Начнем рассмотрение процесса теплопередачи в тетраэдре с некоторой вершины А (рис. 3.4.1). Очевидно, что температура вершин определена самой задачей. Можно предложить случай, когда в этой вершине поток тепла равен нулю. Далее имеем симметрию по всем трем ребрам, сходящимся в вершине А. Очевидно, что на серединах ребер ВС, CD, DB расположены точки нулевого потока и температуры в них одинаковы.
Нумерация ребер куба для построения решения. Пусть в одной из вершин куба, которую мы примем за начальную, температура имеет некоторое значение.
1. Получено аналитическое решение задач стационарной и нестационарной теплопроводности для основных систем криволинейных неоднородных стержней при наличии внешней теплоотдачи на основе использования формализма Бельтрами-Берса. 2.Введена матрица теплопроводимости для произвольных систем контактирующих стержней. Тем самым введены алгебраические, в принципе, бескоординатные методы решения задач теплорередачи, удобные для практического использования. 3.Предложены методы для построения матрицы теплопроводимости для произвольных планарных и пространственных систем стержней. Найдены матрицы типовых систем. Практическая значимость работы
Результаты работы внедрены в учебный процесс КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана. Подготовлены методические рекомендации для студентов кафедры программного обеспечения ЭВМ, информационных технологий и прикладной математики КФ МГТУ им. Н.Э.Баумана. Результаты исследований использовались в работе по гранту РФФИ №04-03-97210. Результаты работы могут быть использованы при тестировании программных комплексов, разрабатываемых для промышленных нужд. Результаты работы могут быть использованы при проектировании микросхем для определения тепловых потоков и теплопотерь при выбранной топологии, с целью уменьшения потерь энергии при эксплуатации электронных приборов и агрегатов. Результаты работы могут быть использованы в НИИ материалов электронной техники. Достоверность и обоснованность научных положений и результатов дис 145 сертации подтверждается следующим: 1. Корректностью применения апробированного математического аппарата (уравнения математической физики, теория аналитических функций, дифференциальная геометрия, теория матриц, теория графов, численные методы). 2. Сравнением полученных частных результатов с известными ранее результатами, а также с расчетами, полученными посредством применения теории разностных схем. Апробация работы Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях: 2-я Российская научно-практическая конференция «Математика в современном мире» - Калуга, 2004 г. 2-я международная конференция «Физика электронных материалов» - Калуга, 2005 г. Седьмой всероссийский семинар «Проблемы теоретической и прикладной электронной и ионной оптики - Москва, ФГУП «Орион», 2005 г.
