Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Квазимногочлены и квазирациональные дроби втеории устойчивости дискретно-континуальных систем 13
Введение 13
1.1 уравнение движения дкс, линеаризация в окрестности состояния подвижного равновесия 14
1.2 Обобщенная передаточная функция ДКС 16
1.3 Теоремы об устойчивости.обобщенный частотный критерий устойчивости 18
Выводы..., '.. 23
Глава 2. Применение численного обращения интегрального преобразования лапласа к построению импульсных переходных функций дискретно-континуальной системы .24
Введение 24
2.1 . Регуляризация алгоритмов численного обращения интегральных преобразований 25
2.2 Специальные квадратурные формулы и связанные с ними специальные функции 33
2.3 Выбор вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала 37
Выводы 46
Глава 3. Математическое моделирование динамических процессов в Упруговязком стержне, нагруженном следящей силой 48
Введение., 48
3.1 Уравнения движения 50
3.2 Динамическая модель линейной дискретно-континуальной системы 51
3.3 Устойчивость и импульсные переходные функции динамической модели неконсервативной ДКС 53
Выводы 66
Глава 4. Математическое моделирование динамических процессов и Устойчивости спутника типа geos2 с упруговязким стержнем 68
Введение 68
4.1 Уравнения движения спутника с упруговязким стержнем 69
4.2 Динамическая модельспутника типа geos2 71
4.3 Динамическая модельспутника типасеоз2 без учета ускорения, wy0 ~0.. 73
4.4 Динамическая модель спутникас упруговязким стержнем с нулевым расстоянием от
Центра до места заделки стержня, а = 0 74
4.5 Устойчивость и импульсные переходные функции спутника с упруговязким стержнем 75
Выводы 83
Глава 5. Математическое моделирование динамических процессов в Орбитальных конструкциях с упруговязкими стержнями 84
Введение 84
5.1 Уравнения доиженш орбитальной конструкции 84
5.2 Динамическая модель орбитальной конструкции с абсолютно жесткими телами на концах стержней 86
5.3 Устойчивость и импульсные переходные функции орбитальной конструкции с абсолютно жесткими телами на концах стержней 88
Выводы 100
Заключение 101
Приложения 103
Литература
- Обобщенная передаточная функция ДКС
- Специальные квадратурные формулы и связанные с ними специальные функции
- Устойчивость и импульсные переходные функции динамической модели неконсервативной ДКС
- Динамическая модельспутника типа geos2
Введение к работе
Актуальность темы. Для проведения оценки устойчивости и динамических характеристик различных технических систем часто требуется проводить построение и анализ математических моделей управляемых деформируемых конструкций. Математические модели таких конструкций, построенные на приближенных решениях уравнений с частными производными по методу конечных элементов либо по методу разложения по первым собственным формам, являются конечномерными. Спроектированное на основе таких приближенных моделей управляющее устройство может вызвать дестабилизацию неучтенных форм колебаний. Этот эффект, называемый излишним управлением, экспериментально наблюдаемый в больших космических конструкциях, был описан в работах Г.С. Нура, Р.С. Рай-ана, Х.М. Скофилда, Д.Л. Симса. Данный эффект был математически смоделирован в упругом звене манипулятора в работах К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко, А.Б. Смаруня. Поэтому проблема динамического моделирования управляемых деформируемых конструкций без априорных конечномерных аппроксимаций весьма актуальна.
Физические модели многочисленных современных робототехнических систем, искусственных спутников Земли и орбитальных космических конструкций содержат дискретные элементы с сосредоточенными по пространству параметрами (абсолютно жесткие тела, датчики первичной информации, двигатели и т.д.) и континуальные элементы с распределенными по пространству параметрами (упругие панели, упруговязкие стержни, мембраны и т.д.), динамически связанные через границы раздела, и в этом смысле являющиеся дискретно-континуальными. Предназначенные для моделирования их динамического поведения математические модели, содержащие обыкновенные дифференциальные уравнения, связанные с ними через граничные условия уравнения с частными производными, условия связи и начальные условия, для краткости также называют дискретно-континуальными системами (ДКС).
С начала шестидесятых годов известна неконсервативная задача о поведении упруговязкого стержня постоянного сечения под действием следящей силы, которая рассматривалась многими авторами (Л.И. Николаи, В.В. Болотин, Г.Ю. Джанелидзе, Н. Ziegler, К.С. Дейнеко, М.Я. Леонов, С.А. Агафонов). Также типичной в рассматриваемой предметной области задачей о поведении упруговязких стержней является задача о стабилизации угловых положений спутников и орбитальных конструкций с упруго-вязкими стержнями (В.Ю. Рутковский, В.М. Суханов, С.И. Злочевский, Е.П. Кубышкин), а также задача о стабилизации упругого звена манипулятора (Э.К. Лавровский, А.М. Формальский, К.А. Моррис, М. Видьясагар).
Решение такого рода задач методом рячпд^счня гтррп^м Кгтпри.
ным формам (как это делалось в работах вь
ІІИОІЕКА і
чт -і
пШн#А№Ш<а#МрЗД приво-БИБЛИОТЕКА 1 С.Пете#
~S і ,i
дит к дестабилизации неучтенных форм колебаний и, как следствие, к заниженному значению критической силы при определении границ области устойчивости. Поэтому при анализе устойчивости и моделировании динамических процессов в ДКС с упруговязкими стержнями особую значимость приобретают методы теории комбинированных динамических систем (КДС) (Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко), позволяющие выполнять моделирование динамики и устойчивости ДКС вышеописанных моделей без каких-либо ограничений по числу учитываемых форм колебаний, то есть учитывающие не только низшие (основные), но и высшие формы колебаний, что приводит к более точному определению границ областей устойчивости рассматриваемых систем.
Целью настоящей работы является развитие методов теории КДС, применимых к задачам моделирования ДКС, содержащих абсолютно жесткие тела, датчики первичной информации, двигатели и т.д. и динамически связанные с ними через границы раздела континуальные элементы -упруговязкие стержни, создание соответствующих алгоритмов и программ, а также исследование их возможностей применительно к указанным выше задачам.
Научная новизна работы:
Исследованы специальные вопросы теории устойчивости ДКС, основанные на геометрических методах теории функций комплексных переменных. В частности, применение обобщения известного критерия Михайлова-Эрмита позволяет выполнить исследование устойчивости ДКС на основе анализа расположения относительно небольшого числа точек частотного годографа системы вместо нахождения счетного множества корней характеристического уравнения.
Разработан эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа применительно к исследованию реакций на малые возмущения ДКС, превосходящий известные методы по точности и устойчивости вычислений. В частности, применение свертки известного изображения с быстро убывающим изображением вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала позволяет выполнить регуляризацию процедуры численного обращения посредством указания временного отрезка, на котором необходимо восстановить искомый оригинал.
Разработаны математические модели ДКС и соответствующие алгоритмы их численного анализа, позволяющие выполнять моделирование динамики и устойчивости ДКС без какого-либо ограничения по числу учитываемых форм колебаний.
Построена математическая модель ДКС нагруженного следящей силой упруговязкого стержня с абсолютно жестким телом на конце. Исследованы границы областей устойчивости и импульсные переходные функций и установлено существенное влияние коэффициента внутреннего
трения в стержне и параметров абсолютно жесткого тела на области устойчивости. Показано, что пренебрежение внутренним трением и высшими формами колебаний приводит к заниженному значению критической силы.
Проведено математическое моделирование системы стабилизации спутника с упруговязким стержнем типа Geos2 и установлено влияние коэффициентов обратных связей на протяженность области устойчивости.
Разработана математическая модель орбитальной конструкции с двумя упруговязкими стержнями и показано существенное влияние количества стержней, а также масс и моментов абсолютно жестких тел, закрепленных на концах стержней, на области устойчивости.
Созданы соответствующие комплексы программ и исследованы их возможности применительно к анализу устойчивости и вычислению импульсных переходных и переходных функций рассматриваемых ДКС с упруговязкими стержнями.
Методы исследований. Математические модели ДКС построены на основе методов теории дифференциальных уравнений и механики упруго-вязких стержней. Использован аппарат интегральных преобразований (Лапласа и Фурье), методы теории функций комплексной переменной.
Достоверность результатов обеспечивалась корректностью математической постановки задачи, использованием методов теории дифференциальных уравнений, механики упруговязких стержней, интегральных преобразований; сравнением с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов, тщательностью отладки и тестирования программ на ЭВМ.
На защиту выносятся:
частотный критерий устойчивости ДКС, основанный на ранее известных теоремах об устойчивых, асимптотически устойчивых и неустойчивых обобщенных передаточных функциях, и обобщающий известный критерий Михайлова-Эрмита;
алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа, основанный на свертывании исходного изображения и быстро убывающего изображения вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала;
математическая модель ДКС нагруженного следящей силой упруговяз-кого стержня с абсолютно жестким телом на конце, а также влияние коэффициента внутреннего трения в стержне, величины следящей силы и параметров абсолютно жесткого тела на расположение границ области устойчивости и импульсные переходные функции;
математическая модель системы стабилизации спутника с упруговязким стержнем типа Geos2 и влияние коэффициентов обратных связей на расположение границ области устойчивости;
математическая модель орбитальной конструкции с двумя упруговяз-кими стержнями и абсолютно жесткими телами на концах, и влияние количества стержней, а также масс и моментов абсолютно жестких тел, закрепленных на концах стержней, на области устойчивости. Практическая ценность диссертации состоит в решении конкретных задач, представляющих интерес для практики. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы в инженерных расчетах. Работа выполнена в рамках основного научного направления СГТУ 1В «Математическое моделирование в естественных науках». На основе ранее известных теорем получен критерий, позволяющий определять устойчивость ДКС с упруговязкими стержнями без априорного представления решения уравнений с частными производными конечномерными аппроксимациями. Применяемая методика исследования устойчивости и импульсных переходных функций может быть использована для различных моделей управляемых деформируемых конструкций.
Апробация работы. Основные результаты докладывались на: -Международной научно-технической конференции "Проблемы управления и связи" (Саратов, 2000);
-Международной научно-технической конференции "Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении". (Саратов, 2002);
-Международной конференции "Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании" (Саратов, 2002); -Международной конференции "Актуальные проблемы современной науки" (Самара, 2001,2002,2003,2004).
В целом работа докладывалась на научном семинаре кафедры «Прикладная математика и теория навигационных приборов» под руководством д.т.н К.П. Андрейченко (2005 г.)
Публикации. По результатам исследований опубликовано 13 работ, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложений и содержит 137 страниц машинописного текста, 22 рисунка, 5 таблиц и список использованной литературы из 82 наименований.
Обобщенная передаточная функция ДКС
После выполнения одностороннего интегрального преобразования по времени t f{X)= \ /{1)е х Ж) Л = а + іб)еС линеаризованные уравнения возмущенного движения ДКС принимают вид {МЛ2 + КЛ + С)уі + Ащ = Вхи (1.2.1) LGvfx{z,X) = (Ux + Яи2 + А2С/3)уі + U4\b (1.2.2) Vz є Sj : Afyx + 42)wt = 0, j = 1,2, VzeSj: (By)+XBf))y]+(Bf) + AB f))xv}+ (1.2.3) (Я 5) + ABf)dwl /dz = 0, у = 2,3, fit = J((C,(]) +ЯС!(2))у, +(Cf3) +AC,(4))w, +(C,(5) + / )9 ,/6) (1.2.4) s,
Следует отметить, что в представляющих интерес для практических приложений случаях соответствующие линейные краевые задачи представляют собой линейные двухточечные задачи, зависящие от параметра преобразования Лапласа, и допускают точные решения.
Подставляя результаты решения линейных краевых задачи (1.2.2),(1.2.3) в (1.2.4) выражения для сосредоточенных на абсолютно жестких телах граничных сил и моментов, находим Ап(Л) = Си(Л)у(Л)-Ви(Л)х(Л) (1.2.5) где Ви{Л), Си(Л) - некоторые матрицы, элементы которых являются функциями параметра преобразования Лапласа Л. Далее, используя линейные уравнения (1.2.1), находим изображение выходной вектор-функции возмущенного движения. Следовательно, динамическая модель возмущенного движения нелинейной ДКС представляется в форме передаточной матрицы [ Фих (Л) ] с элементами в виде передаточных функций в форме квазирациональных дробей Уі(Я) = [Ф (Д)]х,(Л), ju = 1,...,к х = 1,-Л, [фмх(Л)] = [ом(Л)т(Л)] [мл2 + кл + с+си(Л)]-][в+ви(Л)] (Я) = Ы[МЛ2 + КЛ + С + Си{Л)} = Аъ(Л)Лп + А{{Л)Лп х + - + Ап{Л\ .6 (Я) = В0{Л)Л1 + В](Л)Л!-] +... + 5у(Я),// = 1,..., , j = l,..., , /,/ieD, 1 п, где 1)(Я) - характеристический квазимногочлен, (2МХ(Л) - возмущающие квазимногочлены. Нетрудно проверить, что квазимногочлен ЯИХ{Л) представляет собой определитель матрицы, полученной из матрицы .МЛ2 + КЛ + Сч-Си(Л) заменой ju -го столбца на х-и столбец матрицы В + Ви(Л). Здесь и далее у величин BQ(s), ..., /(Я) индексы ju х Для краткости опущены.
Матрица [Ф Х(Я)] является обобщенной передаточной функцией многомерной ДКС. Приведем; теоремы об устойчивости линейных и линеаризованных в окрестности состояния подвижного равновесия ДКС по сосредоточенному выходу. Определение. Если для квазимногочлена D(X) существует такое действительное число у, что при Re Л О lim D(X)/Xn+ = ca, ca 0, \ca oo, (1.3.1) то число x называют приращением степени квазимногочлена D{X). Аналогично, если для квазимногочлена QMX(X) существует такое действительное число /3, что при Re X О Urn QuX(X)/Xk+P - cb, cb Ф 0, \cb\ со, (1.3.2) то число р называют приращением степени квазимногочлена QPX(X).
Пусть a -const - некоторый &х-мерный вектор, S{t) - дельта-функция Дирака. Реакция системы на входное возмущение Хі(/) = а(ґ) может быть представлена в виде Уі(/) = [ ?др(/)]а, причем элементы матрицы импульсных переходных функций g/lx(t) связаны с элементами матрицы передаточных функций ФМХ(Х) соотношениями «„№ = %q„W»dt, %(о = j Ф„(Л)«АМ, (1.3.3) где т сг0, с — абсцисса абсолютной сходимости интеграла Лапласа. Как следует из (1.3.3), для того, чтобы функции qpx{t) были действительными функциями времени /, достаточно потребовать, чтобы выполнялось условие Ф„У(Х) = Ф„„(X), то есть D{X) = D(X), (1.3.4) Qf,xW = QuX(X). (1.3.5) Определение. Назовем квазимногочлен )(/1) устойчивым, если все его корни расположены на комплексной плоскости (Л) левее мнимой оси.
Специальные квадратурные формулы и связанные с ними специальные функции
Функция Ф(Тр)єхр(і0р) в зависимости от соотношения параметров Т и to может сильно осциллировать на контуре интегрирования. Это вынуждает использовать специальные квадратурные формулы при вычислении контурных интегралов (2.1.7) 1 sm \ (M»7 —Е \F(syp(T(p-s))e- -s)cis, ґРт+Рт+\ п _ 0Л „ Рт+\ j. — Л fit гр (2.2.1) Pm=T(p-Sm), pm \=T{p-Sm+{). Здесь W n\P(i,p,X) = ҐР Ч" \dp (Ф(р)е ), W(-n\p,\) = {ldp)nmp)e ). \Po )
Функции И п)(ро,р,Х) используются при малых значениях min{]X,l-X}(/p-ро)\, в противном случае используются функции W ipX) Последовательные первообразные функции Ф(р) можно представить в виде ФЫ)(Ро Р) = \dp \Ро J , ), Чр) = ±?г- (р-РоГк. (2.2.2) Так как Ф(р) - аналитическая функция, ряд (2.2.2) сходится при любых конечных р и р0, причем тем быстрее, чем меньше величина \р-ро\. При \р-ро\»1 полезно соотношение «-1 &-пЧро Р) = Ф{-п\Р1,Р) + 1, (Р-Р1)кФ{к-п\Ро,Р1)- (2-2.3)
Поскольку Ф(р) - аналитическая функция, то при конечных \р\ М , \р0\ М можно найти такое JWeR, что в некоторой области комплексной (р) плоскости, содержащей точки р,ро, справедливо Ф{ "}(Р0,Рим\р-Ро\"/п\ . (2.2.3.а) Пусть далее W{ "\pQ,p,X) = ҐР \dp \Ро J (Ф(р)е ). Первообразные W( "Нро,р,к) обладают следующими свойствами W n\p,pQiX) = {r\rw "\pQ,p,X), (2.2.4) Wi "\p0,p,\-X) = (-l)nW{"l\-p0 P,V, и-1 &(-п\ро,РЛ)= -"Чр1,рЛ)+Т, (р-р1)к1Г{к-п)(р0,Р1Л). Выполняя интегрирование по частям и используя (2.2.3), находим Из (2.2.3.а) следует, что при конечных р ир0 РДД (2.2.5) сходится абсолютно и равномерно во всей комплексной (X) - плоскости. Сходимость тем лучше, чем меньше величина р-/?о-А..
Нетрудно проверить, что при любых р, ра и без всякого ограничения на величину параметра X dt. (2.2.6) W ){p0,ptX)=\ t) ера-о еро(Х-! (р-р0)к(Х-1У ,п 4-і _{X)n (А.-Оя -о А! Будем далее формально рассматривать ф(/) как функцию комплексной переменной t. Поскольку функция (p{t), /eR, 0 t 1 О /eR, / [0,1] является финитной бесконечно дифференцируемой на числовой прямой te Y, точки /=0 и 1=1 комплексной (ґ)-плоскости являются существенно особыми точками функции ф(/). В формуле (2.2.6) сомножитель в квадратных скобках является аналитической функцией переменной /, и в предположении об аналитичности ф(/) возможно деформирование контура интегрирования, соединяющего точки t=Q и Г=1. Угол поворота контура интегрирования в точках =0 и /=1 может быть ограничен некоторой конечной величиной, зависящей от поведения ф(/) вблизи существенно особых точек. Формулу (2.2.6) можно записать в виде: -n\po,PM = W \PX)-"fjW k\P(i,X){P l3lo) , (2.2.7) і здесь W{n\p,X)= \{X)nep[X \{t)dt. о
Величины п){р,Х) при л 0 либо w 0, Хй[0,1] имеют смысл для любых значений своих аргументов. При « 0, Х.е[0,1] контур интегрирования в (2.2.7) должен обходить полюс t=X подынтегрального выражения. Для определенности будем обозначать символом W ?\p,X) ту ветвь (2.2.7), которая соответствует обходу особенности сверху, а символом W ip.X) ту ветвь (2.2.7), которая соответствует обходу особенности снизу. При п 0 либо /7 0, А.й[0,1] последние величины совпадают. Надлежащим выбором ветвей функции Ц п){р,Х) можно добиться ее убывания на контуре интегрирования со скоростью 0(/?р) при р— оо вблизи мнимой оси. Нетрудно проверить, что W(" (p,A) обладают следующими, свойствами W W \pX) = {\dp p {p)\, п 0, \р,Х) = { {е Ф{р))=е ±т-7 —Г-кФ \р), « 0, {dp) к\{п-к)\ п+к W{-n\pQ,p,X)=YjW{k\pQ,X)("P Р , « 0 - представляет собой Тейлор к=а (п + к)\ разложение в окрестности точки р ро, W (p,l-X) (-\rwi"\-p X), W{%n) {рЛ -Х) = (-1У W n) (-p, X), n 0, Поскольку в круге \t\ \X\ ряд (X - t) n - X n Y- -X ktk сходится =o kl(n-\)\ абсолютно и равномерно, W HpM = rV ±(-\f {к + П- Ук\р)Х-к. (2.2.8)
Поскольку частичные суммы производных Ф( (/з) ограничены в совокупности оценкой (2.1.10), ряд (2.2.8) сходится абсолютно и равномерно по X при \Х\ \. Сходимость значительно улучшается преобразованием (2.2.1).
Выполняя интегрирование по замкнутому контуру, охватывающему полюс t=X, получаем соотношение, связывающее ветви функции W n){pX) при А, є [0,1] У(РД)- :)ЛЧРД) = 2ЯІ-І!(-1) Ф№)(Я.). (2.2.9) Из легко проверяемого тождества дХ следует аналог "теоремы сложения" п\ lV \PM=epiX- Z—! k\p,\0)(X-XQ)k. (2.2.10)
Последний ряд представляет собой разложение функцииИ/(")(/?,Х) г Хо) в окрестности точки X=XQ, И радиус его сходимости ограничен расстоянием до ближайшей особой точки Х=0 либо Х=1 в комплексной (А.)-плоскости. При « 0 ряд (2.2.10) обрывается. Поскольку при t«\ выполняется асимптотическое соотношение 9( )=0( ), при Я,«1 справедливо асимптотическое разложение W - 4pM e t(-\)kil / y 4p)Xk. (2.2.11) Преобразование (2.1.1) асимптотического степенного ряда (2.2.11) может привести к последовательности подходящих дробей, сходящейся к той ветви функции W n)(p,X), для которой справедлива оценка И -л (р,Х)=0(1р") при р со в правой полуплоскости либо вблизи мнимой оси Ref=0.
Устойчивость и импульсные переходные функции динамической модели неконсервативной ДКС
В соответствии с условием (3.3.1) справедливы равенства ReD(-Hy) = Re (Hy), Im (-и») = -Іт (їй)), Re (-/ y) = Re (/ y), (3.3.3) Ітд(-/й)) = -Іт (ш), (/=1,2) Согласно (3.3.2) существуют также действительные числа % Р и " что при ReA 0 hm v ;=сп, lim ; / = с,, hm 2v = с2 (3.3.4) w + j A: + /? + l,rt + .v + o" + l, с, со, с, со, с0 0 где п, к , s -целые степени, а Х- Р- а -приращение степеней квазимногочленов соответственно )(Д), Q{(Я), Q2{A) при \Л\ —»со. Отметим случаи в которых соотношения (3.3.4) выполняются: 1) если а 0, т Ф О, у 0, то и = 4, J = 0, с0 =та, к -2, /? = 0, с, =а, s = 1, 7 = 1/2 , с2 =- , 2) если а = 0, m Ф 0, / 0, то w = 3, # = 1/2, c0=mybl2,k = l, /? = 1/4, с, = Ь21у, 5 = 1, сг = 1/2 , с2 - b2ly(3.3.5) 3) если а = 0, m = 0, 0, то « = 2, # = 1, с0 = (6И622- vA)r\ = 1, /? = 1/4, с, = , д = 1, о- = 1/2, с2=-Ь21у
Таким образом, в случаях (3.3.5) соотношения (3.3.4), (3.3.3) выполняются и по известному определению [39,41] рассматриваемые квазирациональные дроби W{{z,X) = Q[{z,X)lD(X), W2(z,X) = Q2{z,X)lD(X) являются физически возможными. Кроме того, функции (А), Q{ (Л) и ?2(Л) аналитичны на мнимой оси и в правой половине комплексной шюскости(Д). Следовательно, в соответствии с теоремами [41] об устойчивости квазирациональных дробей динамическая модель (3.2.6) является асимптотически устойчивой, если характеристический квазимногочлен D[X) устойчивый, то есть все его корни лежат слева от мнимой оси на комплексной плоскости (Я). Если хотя бы один корень квазимногочлена (Я) лежит справа от мнимой оси комплексной плоскости (Я), то динамическая модель (3.2.6) неустойчива. Так как функция О(Я) аналитична на мнимой оси и в правой половине комплексной плоскости Х = а + ко и согласно (3.3.3), (3.3.4) выполняются условия при И.еЯ пт A"+z , = С,ФО \/(Ує(-со,со) : D(iu)) = u(u)) + iv(u)) Q , и(-со) = и(й)), V(U)) = V(O)) то теореме об устойчивости квазимногочлена [41] все корни квазимногочлена (Я) будут расположены левее мнимой оси комплексной плоскости (Я), если при монотонном возрастании со от 0 до со вектор D[ico) повернется на плоскости {и, iv) от положительной действительной полуоси в положительном направлении на угол (и + );г/2,т. е. получит приращение аргумента (1.3.12), то есть (р= A argD(i&) = (ti +%)я/2. Из обобщенного доказательства [39, 41] указанной теоремы следует, что в случае неустойчивого квазимногочлена {Я) при расположении N его корней в правой полуплоскости (Я) вектор D(ico) получит приращение аргумента (1.3.13), то есть ф= Д argD(iu)) = (n +Z)K/2-N7T .
Обратимся теперь к распределенной динамической модели (3.2.7). Как видно, в любой фиксированной точке z. є (0,1] срединной линии стержня имеет место: yJ(X) = WI(X)f(X), WJ(X) = QI (Я)/0(Я), QJ{A) Q(ZJ,X). Все рассуждения относительно устойчивости квазирациональных дробей Wt (Я) и W2 (Я) будут справедливы и для квазирациональных дробей Wj (Я).
Следовательно, по обобщенному частотному критерию приведенному в главе 1, динамическая модель рассматриваемой линейной неконсервативной ДКС в случаях (3.3.5) является асимптотически устойчивой, если выполняется равенство (1.3,12) и все корни квазимногочлена О(Л) лежат на плоскости (Л) слева от мнимой оси. Более того, расположение годографа вектора D(ia)) = u(a)) + iv(6)) на плоскости (и, iv) при 0 со в зависимости от возрастающей следящей силы р позволяет судить о границе области асимптотической устойчивости, которой соответствует критическое значение следящей силы р- р,- При Р Р система неустойчива, корни характеристического квазимногочлена (Л) переходят в правую половину комплексной плоскости (Л), и число N этих корней можно определить по соотношению (1.3.13).
Заметим, что в случае у = 0 условия (3.3.4) не выполняются и квазирациональные дроби Щ{Л) и Щ{Л) не являются физически возможными. Это согласуется с известным выводом [80] о том, что модель неконсервативной системы при у - 0 неадекватна и ей соответствует квази критическая сила, отличная от истиной критической силы р,, вычисляемой при / 0. Далее в работе приведены результаты анализа динамической модели (3.2.6) по передаточной функции W] (Л)-?, (Л)/ (Я) в случаях (3.3.5) при у О.
На рис.3.2 приведены частотные годографы вектора (/й ), 0 й оо на плоскости (и, iv) в зависимости от величины следящей силы р для случая упруговязкого стержня с абсолютно жестким телом на конце при у = 0.1, т = 1, а = 0А, п = 4, = 0. При р ЗАЗ pt (1) согласно выражению (1.3.12) имеем ф = 2я и система асимптотически устойчива. При р = р, 4ЛЗ (2) линия годографа проходит через точку (0,0) и система находится на границе устойчивости.
Динамическая модельспутника типа geos2
Пусть функции Nyl(t),Wy0(t), а,(/), (г), ), y(z,t) удовлетворяют условиям существования интегрального преобразования Лапласа по времени /. Тогда из соотношений (4.1.1) следуют уравнения линейной ДКС в изображениях {/0Я3+ Я2 .+ + ) = z(LQ(X) aNyl(X)+Lx (Я)), (4.2.1) muWy0(X)=Nyl(X), k4(Л) =- , (a + z)aM)- (4.2.2) y""(z,X) k y(z,X) = kA 2 = 0,у(0,Я) = 0,у (0,Я) = 0;2 = 1,у%Л) = у "(\,Я) = 0, (4.2.3) ХУІ{Л)= -(1 + уЛ)у "(0,Л), Ъ(1) = -(\ + гЛУ(0,Л), (4-2.4) где X = a + ій) - произвольный комплексный параметр. Общее решение однородного уравнения (4.2.2) имеет вид: y(z,X)= CxS{kz) +C2T(kz) + CJJ{kz) + CAV{kz), (4.2.5) S(kz) = -(ch(kz) + cos(kz}), T(kz) = -(sh(kz) + sm(kz)), U(kz) = -(ch(b) cos(fo)), V(b)=-(sh(kz)-sm(kz)),
Удовлетворяя граничным условиям (4.2.3), определяем постоянные интегрирования С{,С2,СЪ СА. Подставляя известное теперь y(z,X) в (4.2.4) и далее в (4.2.1), получаем изображение сосредоточенных реакций системы, то есть параметров возмущенного движения абсолютно жесткого корпуса спутника. хх (Л) = Ф(Л)Ь0 (Л), у0 = Ф, (Л)Ь0 (Я), (4.2.6) ф2-7Г) Єї 2($2-7У) Я 2(52-7У) 2 3(52-ГК) 5 = 5(/:), Т = Т{к), U = U{k), V = V{k).
Здесь (Я)- характеристический квазимногочлен, 2(Я)и QX (Я) возмущающие квазимногочлены, Ф(Я) и Ф[(Я)-сосредоточенние передаточные функции в форме квазирациональных дробей, ах (Л) изображение ошибки угловой стабилизации спутника, обусловленное внешним возмущающим моментом.
Вводя далее известные согласно (4.2.6) изображения сосредоточенных реакций ах (Я) и_у0(Я) в соотношения для постоянных интегрирования С, ,С2,С3,С4 и подставляя в решение (4.2.5), получаем изображение распределенной реакции системы, то есть изгибного движения стержня. у(2,Я) = К(г,Л)ЦЯ)у K(z,Z) = -, (4.2.7) e(z,i) = K + X- (fe)- + r(fe)(aA1+//2)/:2 + K(fe)K +) + к ) (a + z)) + (a + 2)(S{kz) U(kz)/ulk2 V{kz) k-l) где К(z,Я)- распределенная передаточная функция в режиме стабилизации.
Заметим, что сосредоточенные передаточные функции Ф(Я),Ф,(Я) и распределенная передаточная функция ЛГ(г,Я) являются изображениями соответственно сосредоточенных по выходам реакций а{ (Я) и У0{Л) импульсных переходных функций q(t), Q\{t) и распределенной по выходу у (z,t) импульсной переходной функции q(z,t) линейной ДКС, возмущенной функцией Дирака L0(t) = S(l). При этом б(1,Л) = б(Л), К(\,Л) = Ф(Я).
Выражения (4.2.6) и (4.2.7) определяют ДКС с динамической моделью стержня, где весь бесконечный спектр собственных частот и форм колебаний учитывается через переменные коэффициенты Mftgj, (ij=l,2).
Здесь D2(A,) характеристический квазимногочлен, бгС О" возмущающий квазимногочлен, Ф2(Я)- сосредоточенная передаточная функция в форме квазирациональной дроби.
Согласно [46] были построены границы областей устойчивости, для модели спутника с одним упруговязким стержнем, с учетом ускорения Wn 0 (4.2.6), а также при Wy(i = 0 (4.3.1). Пусть при Таблица 4. ) с, =0,5 1 т-1 К « кг д. 4 0,01105 4 0,02041 10 0,01130 10 0,02512 30 0,01019 30 0,01500 50 0,01123 50 0,01116 80 0,01145 80 0,01145 100 0,01169 100 0,01187 120 0,01197 120 0,01214 150 0,01319 150 0,01210 200 0,01307 200 0,01297 240 0,01467 240 0,01305 250 0,01423 250 0,01344 300 0,01564 300 0,01561 350 0,1768 350 0,01817 400 0,027844 400 0,02468 фиксированном значении параметра к} точка (ку ,кг) принадлежит границе области устойчивости в плоскости (кг,к2) модели (4.2.6), а точка {кг ,к2) принадлежит границе области устойчивости модели (4.3.1). Введем величину
Зависимость коэффициента обратной связи к2 от /?, при к{ = 0,5 и при к{ -1 показана в таблице 4.1. Учет ускорения W 0 пренебрежимо мало изменяет границу области устойчивости, разница /?, составляет в среднем менее 2-х %, следовательно, подтверждается допустимость принятого в работе [31] предположения о том что W Q = 0. Далее везде будем рассматривать модель (4.2.6), то модель без учета W Q.
Предположим, что в модели (4.2.6) расстояние от центра спутника до места заделки стержня и а = 0. Пусть при фиксированном значении параметра к{ точка (к3,к2) принадлежит границе области устойчивости в плоскости {к3,к2) модели (4.2.6), а точка (к3,к2) принадлежит границе области устойчивости модели (4.3.1).
Аналогично п. 4.3, введем величину В таблице 4.2 приведены зависимости координат точек границ областей устойчивости системы от величины R2 для случаев я О и я = 0. Видно, что значения параметра а незначительно изменяют границу области устойчивости. Разница R2 составляет в среднем менее 15 % , следовательно, при дальнейшем рассмотрении можем предполагать а = 0.
