Введение к работе
Актуальность темы
Реальные физические тела имеют сложные поверхности, что особенно актуально в связи с развитием техники, в которой используются нанообъекты. В связи с этим представляется актуальным решение краевой задачи с реальными поверхностями, которые могут быть моделированы в виде фрактальных или еще более сложных объектов. Учет таких границ является важным при рассмотрении реальных процессов переноса. Кроме задач, относящихся к твердым телам, такая задача представляется актуальной для задач переноса с жидким наполнителем.
Так же в этом случае необходимо решать задачу с подвижной границей в виду существования фазовых переходов, таких как испарение, конденсация, кристаллизация, сублимация, напыление.
Рост статей и публикаций на тему фракталов, как инструменту способному с самых общих позиций охарактеризовать наблюдаемые структуры и процессы в материалах, свидетельствует об актуальности данной проблемы и о широкой возможности такого подхода. Наряду с этим, во многих областях физики в последнее время стало вызывать большой интерес исследование фрактальных множеств [1].
На эксплуатационные свойства деталей машин существенно влияет шероховатость обработанной поверхности. От шероховатости поверхности зависит также устойчивость поверхности против коррозии. На износоустойчивость поверхности влияют сопротивляемость поверхностного слоя разрушению и микрогеометрические отклонения, т. е. отклонения от геометрической формы, которые приводят к неравномерному износу отдельных участков. Не все свойства двух поверхностей, относящихся к одному классу чистоты, могут быть одинаковыми при совпадающих параметрах классов, поэтому принадлежность поверхностей к одному классу чистоты не является достаточным условием для заключения об идентичности поведения деталей при эксплуатации.
В этой связи представляет интерес использование более точной фрактальной модели шероховатости для определения распределений неровностей по высоте и размерам с их дальнейшим применением для определения контактных характеристик при взаимном влиянии неровностей [2-
5].
Особый интерес представляют механизмы влияния шероховатости
поверхности в задачах связанных с магнитными наноструктурами, а так же
влияние шероховатости на скорость осаждения аэрозоля на поверхность.
Моделирование поверхности с фрактальными свойствами актуально при решении задач с подвижными границами. Вид поверхности с течением времени определяется механизмами роста, и сохраняет свои свойства на каждом шаге процесса. Например, при осаждении аэрозоля на поверхность или напылении частиц, возникают сложные структуры на поверхности, которые могут быть моделированы в виде фрактального объекта.
Процессы с подвижными границами, например, осаждение наночастиц на поверхность, могут быть описаны на основе моделей фрактального роста, где вид поверхности непрерывно изменяется [6]. В таких моделях поверхность (или профиль поверхности), как правило, определяется решением стохастического дифференциального уравнения. Основным механизмом роста в таких моделях является случайное осаждение частиц, при этом в моделях не учитываются термодинамические характеристики системы.
Во многих реальных физических процессах, например образование кристаллов льда (снежинок, сосулек и т.д.), форма поверхности изменяется не только за счет осаждения частиц малого размера, но и за счет процессов фазового превращения. Фазовая граница может быть представлена в виде фрактального объекта (снежинка и др.). Моделирование процессов изменения межфазных границ приводит к задаче Стефана. При этом под задачей Стефан понимается широкий класс математических моделей, описывающих тепловые, диффузионные процессы, сопровождающиеся фазовыми превращениями среды и поглощением или выделением скрытой теплоты. Такие процессы встречаются
в металлургии, при выращивании кристаллов, а также в ряде других областей науки и техники. Наиболее характерной особенностью этих процессов, из-за которых их математические модели являются нелинейными и трудны для анализа, являются неизвестные заранее («свободные») границы между различными фазами.
Одной из альтернативных моделей процесса кристаллизации, появившейся и интенсивно развивающейся в последнее время, является модель фазового поля [7-10]. Как показано в ряде работ, модель фазового поля при предельных значениях параметров близка к классической постановке задачи Стефана (с явно выделенной границей)[9].
Отметим, что такая модель может использоваться для представления реальной поверхности тела при решении задач с неподвижной границей.
Целью настоящей работы является разработка методов построения математических моделей шероховатой поверхности в задачах теплопереноса с подвижными и неподвижными границами, а так же анализ фрактальных и более общих моделей шероховатой поверхности, исследование температурного поля вблизи такой поверхности.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
Анализ, построение моделей описывающих поверхность, в том числе фрактальных моделей, моделей случайного осаждения, стохастических дифференциальных уравнений, задающих поверхность.
Численное решение задачи теплопереноса с граничными условиями в виде фрактальной поверхности.
Моделирование процесса кристаллизации расплава на основе теории фазовых переходов, исследование температурного поля вблизи поверхности. Решение задач с подвижными границами.
4. Моделирование и численный анализ процессов осаждения частиц
аэрозоля на поверхность.
5. Исследование данных полученных на туннельном сканирующем микроскопе, оценки фрактальной размерности поверхности образцов, а так же исследование моделей описывающих такого рода поверхности.
Научная новизна:
1. Разработана математическая модель процесса кристаллизации и
осаждения частиц на поверхность, отличительной особенностью которой
является введение переменного параметра производной порядка вблизи фронта
кристаллизации, на основе модели фазового поля.
Разработаны алгоритмы решения задачи теплопереноса с фрактальной границей. На основе вычислительного эксперимента по расчету температурного поля вблизи шероховатой поверхности даны оценки влияния шероховатости на решение задачи теплопереноса вблизи шероховатой поверхности.
Проведены эксперименты по исследованию геометрии поверхности наноматериалов с использованием сканирующего туннельного микроскопа, отличительной особенностью которых является получение данных шероховатости поверхности. Даны оценки фрактальной размерности поверхности образцов.
Разработан программный комплекс для проведения вычислительных экспериментов и расчетов с использованием существующих методов математического моделирования.
Практическая ценность
Разработанная модель для описания процесса кристаллизации и осаждения частиц аэрозоля на основе модели фазового поля может применяться для учета и коррекции свойств поверхностей при создании наноустройств.
Разработанные в диссертационной работе модели могут быть использованы для анализа технологий обработки и получения шероховатых поверхностей, а так же для анализа размеров систем, в которых необходимо учитывать влияние шероховатости на температурное поле в зависимости от класса обработки.
Теоретическая ценность
Теоретическая ценность работы заключается в развитии подходов, ориентированных на создание математических моделей шероховатой поверхности в задачах с подвижными и неподвижными границами, учитывающих фрактальные свойства поверхности. Развитый метод может быть применен при развитии теории тепломассопереноса в системах с реальными границами.
Методы исследования
В работе применяются численные методы решения систем дифференциальных уравнений, методы теории вероятностей и математической статистики, теории фракталов, методы теории переноса, функционального анализа.
Разработка и реализация моделей проводилась с использованием объектно-ориентированного программирования на языке С#. Графическое представление решения задач производилась в среде MATLAB.
На защиту выносятся:
Разработанные методы математического моделирования процесса осаждения и кристаллизации для решения задач теплопереноса с подвижной границей.
Реализованные эффективные численные методы для решения задачи теплопереноса в области с фрактальной границей, а так же реализованные методы решения системы нелинейных дифференциальных уравнений для задачи о кристаллизации в терминах модели фазового поля.
Реализованные эффективные численные методы для решения стохастических дифференциальных уравнений, описывающих изменение профиля шероховатой поверхности.
Выявленные условия стабилизации температурного поля вблизи шероховатой поверхности для различных классов шероховатости.
Апробация работы
Представленные в работе результаты докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики (ФГ БОУ ВПО МГТУ «Станкин»
2009-2012г.), на XVIII Международной конференции «Математика.
Компьютер. Образование» (Пущино 2010г.), на XIII научной конференции МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» по математическому моделированию и информатике (МГТУ «Станкин», 2010г.), на II Международной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем» (ФГ БОУ ВПО МГТУ «Станкин» - Московская Государственная Академия Водного Транспорта с 6 по 11 мая 2011г.).
Публикации
Основные результаты работы опубликованы в 6 печатных работах, в числе которых 2 публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ (входящих в базу Scopus), 3 - в сборниках трудов научных конференций и 1 - в монографии.
Структура и объем диссертации
