Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Вопросы, требующие решения при математическом моделировании напряженно- деформированного состояния стержня при высоких нестационарных температурах с учетом нелинейности 12
1.1. Общая характеристика проблемы и постановка задачи 12
1.2. Актуальные задачи науки и техники, требующие решений с учетом геометрической нелинейности конструкции и физической нелинейности ее материала 14
1.2.1. Тепловая защита космических спускаемых аппаратов 14
1.2.2. Тонкие упругие детали при больших перемещениях 16
1.3. Краткая характеристика публикаций по вопросу анализа деформированного и напряженного состояния элементов конструкций при больших перемещениях и неоднородных температурных полях 17
1.4. Физико-механические свойства стеклопластика КТ-11-К-Ф 19
1.4.1. Общая характеристика стеклопластика КТ-11-К-Ф и условий его эксплуатации 19
1.4.2. Тепловая деформация стеклопластика КТ-11 -К-Ф 20
1.4.3. Характеристики прочностных и упругих свойств стеклопластика КТ-11-К-Ф при высоких температурах 24
1.5. Основные результаты главы 1 33
Глава 2. Уравнения для описания деформирования стержня при произвольном силовом и тепловом воздействии с учетом нелинейности 34
2.1. Постановка задачи 34
2.2. Деформация базовой линии стержня 36
2.3. Орты касательной и нормали к деформированной базовой линии 39
2.4. Деформация произвольного волокна, параллельного базовой линии стержня 44
2.5. Напряжения и внутренние силовые факторы в стержне 46
2.5.1. Определение внутренних силовых факторов при нелинейной зависимости напряжения от деформаций 46
2.5.2. Определение внутренних силовых факторов для материала, подчиненного закону Гука
2.5.3. Учет тепловой деформации при определении внутренних силовых факторов 50
2.6. Уравнения равновесия 53
2.7. Линеаризация расчетных уравнений для описания деформирования стержня при больших перемещениях 58
2.7.1. Линеаризация уравнений равновесия 58
2.7.2. Линеаризация формул для определения деформации волокна стержня в произвольный момент времени 62
2.7.3. Разложение параметров деформированной базовой линии по параметрам функций перемещений 68
2.7.4. Разложение параметров деформации произвольного волокна стержня по параметрам функций перемещений 71
2.7.5. Разложение коэффициентов дифференциального уравнения равновесия прямого стержня по параметрам функций перемещения. 72
2.7.6. Линеаризация уравнений равновесия с учетом тепловой деформации 74
2.8. Основные результаты главы 2 75
Глава 3. Метод численного решения нелинейной задачи об изгибе стержня и оценка его точности 76
3.1. Постановка задачи 76
3.2. Метод сплайнов пятой степени 77
3.2.1. Постановка задачи 77
3.2.2. Основные положения метода 78
3.2.3. Дискретный аналог уравнения равновесия 81
3.2.4. Модельная задача, имеющая точное решение 84
3.2.5. Методика оценки точности результатов численных расчетов 88
3.2.6. Обсуждение результатов решения модельной задачи методом сплайнов 89
3.3. Решение нелинейной эталонной задачи об изгибе консольного защемленного на одном конце стержня изгибающим моментом, приложенным на другом конце стержня 91
3.4. Применение методов фильтрации и экстраполяции для повышения точности расчетов и оценки погрешности численных результатов 94
3.4.1. Фильтрация и экстраполяция численных результатов 94
3.4.2. Результаты фильтрации и экстраполяции нелинейной эталонной задачи об изгибе консольного стержня
3.5. Основные результаты главы 3 102
Глава 4. Моделирование напряженно-деформированного состояния стеклопластикового стержня в условиях одностороннего нагрева при различных жесткостях опор 103
4.1. Постановка задачи 103
4.2. Стержень с упругой опорой заданной жесткости при одностороннем нагреве 103
4.2.1.Силовая нагрузка 103
4.2.2. Температурное поле 105
4.2.3. Результаты расчетов и экспериментов для стержня, защемленного по концам 108
4.3. Анализ напряженного состояния стеклопластикового стержня при различных жесткостях опор стержня 110
4.3.1. Постановка задачи ПО
4.3.2. Построение расчетной схемы для анализа напряженно-деформированного состояния стержневой модели тепловой защиты 111
4.3.3. Реакции консольного стержня при перемещении торцевого поперечного сечения его свободного конца 113
4.3.4. Результаты расчетов 117
4.6. Основные результаты главы 4 119
Основные выводы и результаты 120
Литература
- Актуальные задачи науки и техники, требующие решений с учетом геометрической нелинейности конструкции и физической нелинейности ее материала
- Орты касательной и нормали к деформированной базовой линии
- Обсуждение результатов решения модельной задачи методом сплайнов
- Результаты расчетов и экспериментов для стержня, защемленного по концам
Введение к работе
случаев 1000 С и выше. Из-за действия температуры и внешнего аэродинамического давления теплозащищающие элементы конструкции деформируются, в них возникают напряжения, которые приводят к силовым воздействиям на узлы их крепления к корпусу КСА. В связи с этим, для проектирования надежно работающей теплозащищающей обшивки КСА возникает актуальная задача построения математической модели деформирования элементов конструкций из КМ в условиях одностороннего высокотемпературного нагрева, соответствующего условиям реальной эксплуатации, в форме системы дифференциальных уравнений с последующей разработкой численных методов и комплексов программ для решения поставленной задачи.
К настоящему времени построен ряд математических моделей физико-механических свойств КМ при высоких температурах и разработан ряд численных методов расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций из КМ в линейной постановке. Большой вклад в изучение этой проблемы внесли отечественные ученые: Н. А. Алфутов, Б. Д. Аннин, Е. К. Ашкенази, В. В. Болотин, Г. И. Брызгалин, В. А. Буна-ков, С. В. Бухаров, Г. А. Ванин, В. В. Васильев, Г. Е. Вишневский, Г. С. Головкин, Ю. И. Димитриенко, Н. П. Ершов, А. А. Ильюшин, Г. В.
Исаханов, В. И. Королев, С. А. Лурье, А. К. Малмейстер, Г. X. Мурзаха-нов, Ю. В. Немировский, Ю. Н. Новичков, И. Ф. Образцов, Ю. А. Ножниц-кий, В. Н. Паймушин, Ю. С. Первушин, Г. С. Писаренко, Б. Е. Победря, В. Д. Протасов, Ю. Н. Работнов, А. А. Рыжов, Ю. В. Соколкин, В. С. Стре-ляев, В. П. Тамуж, Ю. М. Тарнапольский, А. А. Ташкинов, Г. Н. Третья-ченко, Ю. С. Уржумцев, О. Ф. Шленский и др.
Для более точного моделирования напряженно-деформированного состояния элементов конструкций из КМ необходимо учитывать нелинейные зависимости напряжения от деформации при высоких температурах и влияние деформации конструкции на уравнения равновесия, что приводит к необходимости решения нелинейных дифференциальных уравнений. Это позволяет считать разработку численных методик расчета деформировано-напряженного состояния элементов конструкций из КМ с учетом физической и геометрической нелинейностей актуальной задачей, обладающей существенной научной новизной и имеющей важное практическое значение.
Целью работы является разработка методики математического моделирования стержневых элементов конструкций в условиях неоднородного температурного поля с учетом нелинейности.
Задачи исследования. Для достижения цели работы поставлены следующие задачи:
разработать алгоритм построения в рамках гипотезы плоских нормальных сечений нелинейных уравнений равновесия стержня, не имеющих ограничений на величину перемещений, на характер изменения по времени и объему детали температурного поля и зависящей от него тепловой деформации, на вид зависимости между деформациями и напряжениями, возникающими внутри стержня;
свести решение системы нелинейных дифференциальных уравнений к решению системы линейных дифференциальных уравнений в последовательные моменты времени;
определить эффективный вариант решения линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка методом сплайнов пятой степени;
4) создать и реализовать на ЭВМ методику расчета напряженно-деформированного состояния стеклопластикового стержня с учетом больших перемещений, тепловых деформаций и нелинейных зависимостей напряжений от деформаций.
Научная новизна работы заключается в следующем:
разработан новый алгоритм построения нелинейных уравнений равновесия стержня с учетом больших перемещений и деформаций, нелинейных зависимостей напряжений от деформации и дифференциальной модели, описывающей тепловую деформацию материала с учетом всей истории его нагрева;
предложена методика сведения системы неявно заданных нелинейных дифференциальных уравнений, изменяющихся во времени, к системе линейных дифференциальных уравнений, описывающих деформирование стержня в последовательные моменты времени;
построен более точный, по сравнению с существующими, вариант метода сплайнов пятой степени, базирующийся на принципе Пуансо, и предназначенный для решения системы линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка, описывающих деформирование стержней;
на основе созданного и реализованного на ЭВМ алгоритма расчета напряженно-деформированного состояния стержня впервые проведено математическое моделирование влияния способов закрепления стеклопластикового стержня на возникающие в нем деформации и напряжения при одностороннем высокотемпературном нагреве. Выявлено существенное влияние способов крепления элементов теплозащитной конструкции на внутренние напряжения и показано, какие из способов крепления позволяют снижать коэффициенты опасности напряженного состояния.
Методы исследований основаны на использовании:
соотношений теории упругости и гипотез теории стержней;
численного метода решения дифференциальных уравнений механики деформируемого твердого тела на основе метода сплайн-функций пятого порядка;
экспериментальных данных о тепловой деформации и диаграмм де
формирования стеклопластика при высоких температурах.
Достоверность научных положений, результатов и выводов, содер
жащихся в диссертационной работе, основывается на фундаментальных
положениях, современных экспериментальных и численных методах меха
ники деформируемого твердого тела и подтверждается:
сравнением численных решений с точными аналитическими решениями тестовых задач;
сопоставлением численных решений с результатами соответствующих экспериментальных исследований.
Практическое значение и реализация результатов работы. Данная работа выполнялась в период с 2004 по 2007 год в лаборатории композиционных материалов кафедры сопротивления материалов и на кафедре математики Уфимского государственного авиационного технического университета. Результаты работы внедрены в учебный процесс на кафедрах сопротивления материалов и математики УГАТУ. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях напряженно-деформированного состояния элементов конструкции авиационно-космической техники из композиционных материалов, а также при прогнозировании поведения трубопроводов из стеклопластиков в химической и нефтеперерабатывающей промышленности, строительных стеклопласти-ковых конструкций в чрезвычайных ситуациях (при пожарах и т.п.).
Автор выносит на защиту:
методику построения, в рамках гипотезы плоских нормальных сечений, системы нелинейных дифференциальных уравнений равновесия стержня, не имеющих ограничений: на величину перемещений, на характер изменения по времени и объему детали температурного поля и зависящей от него тепловой деформации, на вид физической зависимости между деформациями и напряжениями, возникающими внутри стержня;
схему сведения зависящих от времени систем нелинейных дифференциальных уравнений к системе линейных дифференциальных уравнений в последовательные моменты времени;
вариант метода сплайнов пятой степени, предназначенный для численного решения систем линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка, описывающих деформирование стержней;
методику расчета напряженно-деформированного состояния стекло-пластикового стержня с учетом больших перемещений, тепловых деформаций и нелинейных зависимостей напряжений от деформаций.
Личный вклад автора. Все основные результаты, выносимые на защиту, получены лично автором.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Всеросс. науч. конф. «Математика, механика, информатика» (г.Челябинск, 2006г.); Всеросс. научно-практ. конф. «Интеграционные евразийские процессы в науке, образовании и производстве» (Башкирия, г.Кумертау, 2006г.); III Междунар. конф. «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (г.Нальчик, 2006г.); X Междунар. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды» (г.Ростов-на-Дону, 2006г.); Всеросс. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г.Самара, 2007г.); XI Междунар. научно-техн. конф. «Проблемы строительного комплекса России» (Уфа, 2007г.); семинаре Института механики РАН (г.Уфа, 2007г.); семинаре отдела Вычислительной математики ИМВЦ УНЦ РАН (г.Уфа, 2007г.); семинаре Института компьютерных исследований при УГАТУ (г.Уфа, 2007г.).
Публикации. По результатам выполненных исследований и разработок опубликовано 12 работ, в том числе три из них в рецензируемых журналах из списка ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных выводов и списка литературы. Содержит 127 страниц машинописного текста, включающего 40 рисунков и библиографический список из 74 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель, направления исследований и основные научные положе-
ния, выносимые на защиту, научная новизна, достоверность и практическая значимость диссертационной работы.
В первой главе дана общая характеристика проблемы и постановка задачи математического моделирования напряженно-деформированного состояния стержней при высоких нестационарных температурах с учетом нелинейности. Обращено внимание на ряд актуальных задач науки и техники, требующих решений с учетом нелинейности конструкции и ее материала. В качестве важных на сегодняшний день задач отмечены: тепловая защита космических спускаемых аппаратов и деформирование тонких упругих деталей при больших перемещениях. Выявлены общие подходы к решению задач о деформировании стеклопластиковых стержней при высоких температурах и упругих тонких стержней при больших перемещениях; дана общая характеристика публикаций в области анализа деформированного и напряженного состояния таких стержневых элементов конструкций. Отмечены основные численные методы решения дифференциальных уравнений механики деформирования стержней, особенности построения уравнений и проведения расчетов при больших перемещения. Приведены физико-механические свойства теплозащитного стеклопластика, из которого изготавливаются стержни, для которых разработана методика расчета напряженно-деформированного состояния при высокотемпературном одностороннем нагреве.
Вторая глава посвящена алгоритму построения нелинейных дифференциальных уравнений равновесия, описывающих напряженно-деформированное состояние стержня при больших перемещениях и .методике сведения решения системы нелинейных дифференциальных уравнений к решению в последовательные моменты времени
В третьей главе для решения полученной системы линейных дифференциальных уравнений применен новый вариант метода сплайнов пятой степени, позволяющий достигать шестого порядка сходимости при численном решении дифференциальных уравнений, описывающих деформирование стержней. При построении дискретного аналога дифференциального уравнения стержня использован известный в теоретической механике результат: силы, произвольно расположенные в пространстве, можно
привести к одной силе, равной их главному вектору и приложенной в центре приведения, и к паре сил с моментом, равным главному моменту всех сил относительно центра приведения. Произведена оценка точности разработанного варианта метода сплайнов при решении эталонной задачи, имеющей точное решение.
Во второй части третьей главы рассматривается решение задачи о деформировании стержня при больших перемещениях. В качестве эталонной задачи выбрана задача о чистом изгибе первоначально прямого упругого стержня, защемленного на левом конце и нагруженного на правом конце изгибающим моментом.
Для объективной оценки точности получаемых численных результатов применяется метод фильтрации с последующей экстраполяцией, позволяющий получать более точные результаты на менее густой сетке и давать гарантированную оценку погрешности численного решения. Применение методов фильтрации и экстраполяции позволило повысить точность на 1-2 порядка и снизить относительную погрешность расчетных результатов до Ю-7... 10"9.
В четвертой главе для экспериментальной оценки возможности разработанной методики использовались результаты натурных экспериментов, проводимых в лаборатории композиционных материалов УГАТУ. Рассматривалось напряженно-деформированное состояние прямого стержня из стеклопластика, имеющего прямоугольную форму, в условиях одностороннего высокотемпературного нагрева. Показана достаточно высокая точность расчетов.
Предлагаемая методика расчета позволила провести детальный анализ напряженно-деформированного состояния стеклопластикового стержня при различных жесткостях его опор и дать оценку опасности напряженного состояния стержня в его точках.
В конце работы изложены основные выводы и результаты, представлен список используемой литературы.
Актуальные задачи науки и техники, требующие решений с учетом геометрической нелинейности конструкции и физической нелинейности ее материала
Для наружной тепловой защиты космических спускаемых аппаратов (КСА) широко применяются стеклопластики [55, 56, 57, 59, 62, 63]. При этом в режиме спуска на наружной «горячей» поверхности теплозащитной оболочки КСА температура повышается до 1000 и более градусов Цельсия, а температура внутренней «холодной» поверхности на несколько сотен градусов ниже. Таким образом, имеет место односторонний высокотемпературный нагрев.
В настоящее время нет общепризнанной методики расчета конструкций из стеклопластиков при одностороннем высокотемпературном нагреве, и это связано с тем, что: ? во-первых, при высокой температуре происходит интенсивный процесс термодеструкции стеклопластиков, вследствие чего тепловая деформация имеет сложную зависимость от закона изменения температуры во времени [52]; ? во-вторых, существующие методы расчета конструкций из стеклопластиков ориентированы в основном на материалы подчиняющиеся линейному закону Гука, хотя при высокой температуре имеет место нелинейная зависимость деформации от напряжения, характер которой существенно зависит от температуры [52]; ? в-третьих, существующие методики расчета базируются на линейных дифференциальных уравнениях равновесия, записываемых для начального недеформированного состояния конструкции, что при реальных перемещениях и значительных внутренних продольных силах может привести к весьма заметным ошибкам расчетов. В связи с этим задача создания метода расчета деформированного и напряженного состояний конструкций из стеклопластиков при высоких, переменных во времени температурах с учетом реальной зависимости тепловой деформации от закона изменения высокой температуры, реальных нелинейных зависимостях деформаций материала от напряжений и геометрической нелинейности в настоящее время является весьма актуальной.
Начальным этапом в создании такого метода является решение задачи о деформировании стеклопластикового стержня при одностороннем высокотемпературном нагреве с учетом нелинейности физических свойств стеклопластиков при высоких температурах.
Научная и практическая ценность данной задачи заключается в следующем [54]: ? на основе теоретического и экспериментального изучения стержня в условиях одностороннего нагрева можно оценить, насколько математические модели теплового деформирования и зависимости деформации от напряжения стеклопластиков, полученные при однородном высокотемпературном поле, будут справедливы в условиях неоднородного переменного во времени температурного поля; ? при решении задачи о деформировании стержня при одностороннем нагреве можно опробовать ту или иную схему построения дискретных уравнений равновесия с тем, чтобы выбрать наиболее эффективную из них для применения в методиках расчета более сложных конструкций из стеклопластиков при произвольных нагревах; ? задача о деформировании стеклопластикового стержня при одностороннем нагреве имеет также важное самостоятельное значение, так как ее решением можно воспользоваться для оценки в первом приближении поведения стеклопластиковых тонкостенных конструкций в условиях неоднородного по толщине высокотемпературного поля. 1.2.2. Тонкие упругие детали при больших перемещениях
В технике много конструкций, в которых стержень или тонкая полоска сильно изгибаются при работе материала в пределах упругости. Примерами могут служить [60, 61] различного рода плоские и ленточные пружины, гибкие тоководы к подвижным частям в электромеханических системах (например, в гироскопических приборах), детали клапанов, гибкие упругие связи, движущиеся элементы (аккумуляторы потенциальной энергии), механические датчики нелинейных зависимостей или выпрямители нелинейных зависимостей.
В связи с этим весьма актуальной является задача определения больших перемещений при изгибе, когда в процессе изгиба тонкой детали сильно изменяется ее первоначальная конфигурация, причем перемещения при изгибе становятся соизмеримыми с самой длиной детали. Здесь наблюдается существенная нелинейная зависимость больших перемещений от внешних сил, хотя деформации остаются малыми и материал работает упруго. В связи с этим целый ряд важных для практики особенностей поведения гибких деталей и возможных форм упругой линии при изгибе с большими перемещениями не может быть изучен даже качественно с помощью обычной линейной теории изгиба.
Отсутствие в литературе универсальных и достаточно простых методов расчета гибких упругих деталей для больших перемещений при изгибе приводит к необходимости экспериментального подбора их характеристик на основании инженерной интуиции и накопленного опыта. Однако такую процедуру без проведения предварительных расчетов нельзя назвать рациональным методом проектирования.
Излагаемый в диссертации подход, основанный на нелинейной теории изгиба, является актуальным, т.к. с применением современных ЭВМ он может быть достаточно просто освоен расчетчиками современной техники. 1.3. Краткая характеристика публикаций по вопросу анализа деформированного и напряженного состояния элементов конструкций при больших перемещениях и неоднородных температурных полях
Многие элементы современных машин, механизмов и строительных конструкций рассматриваются как стержни, пластины и оболочки. Существует обширная литература по методам расчета таких конструкций на прочность, жесткость и устойчивость [16, 17, 18,23,26,28,31,47, 58, 72].
В работах [46, 610, 621] излагается нелинейная теория больших перемещений при плоском изгибе тонких упругих деталей, основанная на точном решении дифференциального уравнения упругой линии. На базе этой теории разрабатываются три метода исследования и расчета тонких упругих деталей: метод эллиптических параметров с использованием числовых таблиц, метод упругих параметров с использованием специальных диаграмм и метод численного решения на ЭВМ. С помощью этих методов решается ряд задач расчета сильного изгиба деталей в форме прямых и упругих криволинейных стержней. Выявляется специфика их поведения, которая не может быть исследована обычными методами строительной механики и теории изгиба стержней, излагаемой в курсах сопротивления материалов.
Орты касательной и нормали к деформированной базовой линии
При дальнейшем изложении потребуются частные производные от деформации базовой линии s и от проекций ортов касательной тІ5 х2 по пространственной координате Х\ вплоть до третьего порядка включительно. Применяемые при этом соотношения весьма громоздки, и поэтому далее для получения более компактных выражений в данном разделе по мере необходимости будут применяться ряд новых обозначений.
Рассмотрим в недеформированном стержне волокно K2S2 (рис.2.1), параллельное координатной оси Х\ и имеющее координату д = 3 В деформированном стержне это же волокно занимает другое положение и обозначается K S i (рис.2.2).
Поставим задачу определения деформации данного волокна. Для определения деформации волокна воспользуемся гипотезой плоских нормальных недеформируемых сечений стержня.
Учитывая принятые допущения, рассмотрим (рис.2.1, 2.2, 2.3) две точки К и К-2, лежащие на общей нормали к недеформированной базовой линии. Расстояние между ними в начальном состоянии равно 3. В деформированном стержне данные точки становятся уже точками К и К , которые также лежат на общей нормали, но уже к деформированной базовой линии. Л/т - внутренняя продольная сила (рис.2.4), направленная вдоль орта касательной Т к деформированной базовой линии в точке К , Qn - внутренняя поперечная сила (рис.2.4), направленная вдоль нормали п к деформированной базовой линии в точке К , Мх2 - внутренний изгибающий момент относительно оси, параллельной оси Х и проходящей через точку К (рис.2.4).
Данные силовые факторы являются функциями пространственной координаты X] и времени t Nx=N,(xbt), Qn=Qn(xlA (2.50) Mx3=Mx3(xht). Для произвольного материала нормальное напряжение в стержне C7j j выражается через деформацию SjV нелинейным соотношением 11= ,,(6 ), (2.51) где 8J J = sj (xi,X2,t) - деформация от напряжения, являющаяся функцией от координат Х\,Х2 и времени /. Рисунок 2.4. Напряжение Тц, внутренняя продольная сила Л/х, внутренняя поперечная сила Qn и внутренний изгибающий момент Мх в деформированном стержне При дифференцировании равенства (2.51) по пространственной координате Х\ получается доц доц ds}j Э2ап _ д2ап дх\ дг{$ дхх dstf)2 {8сидЦ? т дх\ дх дє$ дх (2.52) На основе (2.51) определяется величина главного вектора Nx от действия нормальных напряжений h h N 8 =N,=N,(xl,t)= nbdx2 =Ь\ап(е[?)сс2 , (2.53) О о и величина главного момента Мх3 относительно точки К (рис.2.4) Mxfm=Mx3=Mx3(xht) = h h (2.54) = -JGUx2bcfic2=-bjc u{z[al))x2cBc2 О О На основе (2.53) и (2.54) определяются производные первого и второго порядка по координате Х\ N, h dxl 0de[f &i (2.55) (o)(gl) _ dMx3 _ хЗ M дх1 odeff дх1 x2dx2, (2.56) дхл V [ J jU(g)(a2) _ д2мхЪ _ МхЗ - 2 " 5xj 52aj h J V F dsff dxl X2uX2
Для линейного материала, подчиняющегося закону Гука, нормальное напряжение в стержне Gj і выражается через деформацию z\V линейным соотношением тц = 118, , (2.58) где Е\ і = Ец (х\ ,X2,i) - модуль упругости, являющийся функцией от координат Х\,Х2 и времени /, sj =sjj (x\,X2,t) - деформация от напряжения, являющаяся функцией от координат Х\,Х2 и времени /. При дифференцировании равенства (2.51) по пространственной координате Х\ получается П_ 1с(о) .д. 8гП дх\ дх\ дх\ (2.59) д стц _д Еп (а) дЕп osn О БП т - -єіі + z л + w 4b axj2 Эх2 П &1 &! &2 На основе (2.51) определяется величина главного вектора Nx от действия нормальных напряжений h h NWdO) =Nx=Nx(X{ ,t)=loubdx2=b\EX! Efr dx2 , (2.60) 0 0 и величина главного момента Мх относительно точки К (рис.2.4) М =Mx3(xbt) = _ b(B =_bjEu Е(а) 2 ъ (2-61) о о а также производные данных функций первого и второго порядка по координате Х\ 2.5.3.
В общем случае величины продольной силы Nx, поперечной силы Qn и изгибающего момента Мх3 являются функциями от координаты Х\ точки их приложения К (рис.2.5) Л/т = Nx (х,, t), Qn = Qn (x,, t), Mx3 = Mx3 (x,, t) {2.1 A)
Одним из эффективных методов решения нелинейных задач механики является пошаговый метод, при котором функции перемещений и параметры напряженно-деформированного состояния определяются в последовательные моменты времени при достаточно малом временном шаге. На каждом шаге задача линеаризуется, в результате чего получается система линейных дифференциальных уравнений.
Обсуждение результатов решения модельной задачи методом сплайнов
В дальнейшем при росте N для случаев к = 0 и к = 1 погрешность расчетов возрастает и это связано с накоплением арифметической ошибки расчетов. Чтобы эта ошибка увеличивалась менее интенсивно необходимо более тщательно прорабатывать алгоритм арифметических вычислений.
В случае к 1 погрешность расчетов с увеличением числа узлов сетки N монотонно уменьшается, что свидетельствует о сходимости метода. Из рис.3.1 видно, что при определении функции перемещения со = (й(х) наблюдается шестой порядок сходимости. В случае N 51 для к-2,5,10 имеет место уменьшение точности результатов расчетов. Это связано с влиянием ошибки арифметических расчетов. Таким образом для повышения точности расчетов при высоких значениях N необходимо повышать точность вычислительной процедуры, что можно сделать, например, вычислениями с большим числом значащих цифр. На рис.3.2 представлены результаты расчетов для первой производной от со = со(Х). Наблюдается тот же шестой порядок сходимости метода. На рис.3.3 представлены результаты расчетов для второй производной от со = со(х) и имеется четвертый порядок сходимости.
Таким образом, результаты численного эксперимента показали, что предлагаемый в работе метод численного решения дифференциального уравнения четвертого порядка, описывающего изгиб балки, обеспечивает при вычислении самой функции о) = &(х) и первой производной от нее dm/dx шестой порядок сходимости, а при расчете второй и третьей производных d (Sildx ,d (ti/dx - четвертый порядок сходимости. 3.3. Решение нелинейной эталонной задачи об изгибе консольного защемленного на одном конце стержня изгибающим моментом, приложенным на другом конце стержня
Точность разработанного численного метода решения задач о деформировании стержней при больших перемещениях оценивалась математическим экспериментом при решении эталонной задачи, имеющей точное аналитическое решение, о чистом изгибе упругого стержня в условиях больших перемещений. При этом рассматривается первоначально прямой стержень длиной I = 0,1 м и прямоугольным поперечным сечением bxh при Ь = 0,03 м, h = 0,006 м. Левый конец стержня защемлен, а к правому приложен изменяющийся во времени / изгибающий момент М. Погонные касательная qx и нормальная qn распределенные нагрузки равны нулю.
Поскольку численные методы обычно дают приближенные решения математических задач, в вычислительной математике одинаковую важность имеют как разработка и обоснование численных методов, так и оценка погрешности результатов, полученных посредством этих методов. [32]-[34]
При реальных вычислениях необходимо учитывать ограниченность различного вида ресурсов по времени, по памяти, по разрядности, по надежности и т.п. Поэтому, если окончательный результат получается с помощью компьютерных вычислений, речь может идти только о способах повышения надежности, а не об абсолютной достоверности результатов.
При отсутствии оценки вычислительной погрешности, которая может существенно меняться как при изменении шага сетки h, так и других расчетных параметров, эта сумма не дает возможность получения полезной информации, так как для исследователя представляет интерес погрешность математической модели.
Самой надежной оценкой погрешности является разность между приближенным и точным результатом. Но это возможно только для тестовых примеров, имеющих аналитическое решение. Распространение такой оценки на другие примеры очень ненадежно. Выход может быть найден, если вместо точного использовать приближенное, но более точное по сравнению с проверяемым, значение. Однако при этом возникают два вопроса: как получить это более точное значение и как проверить, что оно действительно точнее исходного.
Более точное значение можно вычислить, пользуясь тем же способом, что и проверяемое. Но это приводит к дополнительным требованиям к ресурсам, которые могут оказаться невыполнимыми. Есть и другой способ: использовать более грубые результаты (с меньшим числом узлов и временем счета). Если погрешность метода подчиняется некоторому закону, то, зная этот закон (в виде характера зависимости, например, степенной, экспоненциальный и т.п.), можно по нескольким результатам провести идентификацию и приближенно предсказать значение, соответствующее бесконечному числу узлов.
Ответить на второй вопрос можно с помощью повторной экстраполяции, т.е. экстраполяцией экстраполированных результатов, полученных для разных наборов исходных данных. В этом случае получается оценка погрешности экстраполированных результатов (или размытость оценки погрешности). Если эта оценка удовлетворяет требованиям: в три и более раз меньше оценки погрешности исходных данных (относительная размытость меньше 1/3), то цель достигнута. [32]-[34] Если нет, то данный способ оценки в конкретном случае следует признать ненадежным [32]-[34].
Кроме того, при хороших оценках результаты экстраполяции можно использовать вместо вычислительных данных, как более точные. При этом необходима дополнительная экстраполяция, чтобы убедиться в надежности полученных таким образом результатов. В некоторых случаях путем повторной экстраполяции можно получить результаты на многие порядки более точные, чем рассчитанные непосредственно с помощью численного метода, и которых невозможно было бы добиться прямым расчетом в связи с огромными затратами времени, превышающими разумные пределы.
В математическом анализе оценивается только первый член, поскольку остальные являются асимптотически (при п — оо) бесконечно малыми более высокого порядка. Однако для конечных п остальные слагаемые могут вносить существенный вклад и должны приниматься во внимание.
Результаты расчетов и экспериментов для стержня, защемленного по концам
Экспериментальные зависимости изменения во внутреннего продольного усилия при одностороннем нагреве прямоугольного стержня размером 7 х 25 х 150 мм взяты из работы [54]. Испытания проводились на установке [51] (рис.4.4), имеющей абсолютно жесткую левую опору и правую опору с жесткостью Су = 4 10 Н/м. База испытаний -100 мм. При испытаниях в условиях ограниченного деформирования левый конец образца 1 (рис.4.4) винтом 2 и накладкой 3 жестко крепится к станине 4. Второй конец образца винтом 5 и накладкой 6 жестко связан с подвижным захватом 7, который может лишь поступательно перемещается относительно станины по направляющим элементам 8 и 9, снабженными для снижения влияния трения шариками 10 и 11. Свободному перемещению правого конца образца 1 препятствует (рис.4.4) упругий элемент 12. В связи с этим в нагреваемом образце 1 возникает усилие, которое через подвижный захват 7 и специальные призмы 13 передается на упругие элемент 12, выполняющий функцию силоизмерителя. О нагрузке, действующей на силоизмеритель 12, судят по показаниям наклеенного на него тензорезисторов 14. Тензорезисторы 14 подключены к тензостанции ТА-5, сигнал с которой записывается на самописце КСУ4. Кроме этого перемещение подвижного захвата 7 регистрируется индикатором часового типа 15, оснащенным тензометрической приставкой 16, включающей упругий элемент 17, с наклеенным на него тензорезистором 18. Нагрев образца осуществляется блоком кварцевых ламп 19, помещенных в фокусе профилированного отражателя 20. Важной особенностью данной установки является возможность применения силоизмерителей различной жесткости. Это позволяет моделировать различные виды закрепления стеклопластиковых элементов в реальных объектах.
Экспериментальная зависимость продольного усилия от температуры "горячей" поверхности показана точками на рис.4.5. В данной работе по изложенной выше методике были проведены расчеты действующей на правую опору силу F. Результаты расчетов представлены на рис.4.5.Наблюдается (рис.4.5) достаточно хорошее совпадение расчетных и экспериментальных значений продольных нагрузок, что подтверждает работоспособность созданной методики расчета для стеклопластикового стержня при высокотемпературном одностороннем нагреве.
Для расчета стержня из теплозащитного стеклопластика, закрепленного согласно рис.4.6, при одностороннем нагреве предлагается расчетная схема в виде прямоугольного стержня жестко связанного с двумя опорными стойками (рис.4.7). Опорные стойки (рис.4.7) имеют защемленные нижние концы, являются прямыми стержнями длиной с круглым поперечным сечением диаметра d и изготовлены из изотропного упругого материала с модулем упругости Е.
При расчете напряженно-деформированного состояния стержня выбирается базовая линия, в качестве которой принята линия ВС (рис.4.8), и принимается справедливость гипотезы плоских нормальных сечений, при которой в процессе деформирования стержня плоское нормальное сечение остается всегда перпендикулярным к деформированной базовой линии. 1. Разработан в рамках гипотезы плоских нормальных сечений алгоритм построения нелинейных уравнений равновесия стержня, отличающийся тем, что он не имеет ограничений на величину перемещений, на характер изменения по времени и объему детали температурного поля и зависящей от него тепловой деформации, на вид зависимости между деформациями и напряжениями, возникающими внутри стержня. 2. Предложена схема линеаризации систем нелинейных дифференциальных уравнений, изменяющихся во времени, и сведения их к системе линейных дифференциальных уравнений в последовательные моменты времени, отличающаяся тем, что система решаемых нелинейных дифференциальных уравнений формируются в неявном виде. 3. Разработан новый вариант метода сплайнов пятой степени, предназначенный для решения системы линейных дифференциальных уравнений, описывающих деформирование стержня, отличающийся тем, что для повышения точности численного решения при формировании дискретного аналога дифференциального уравнения равновесия использовался фундаментальным принцип теоретической механики принцип Пуансо о способах приведения систем сил к заданному центру. 4. Разработана и реализована на ЭВМ методика расчета напряженно деформированного состояния стеклопластиковых стержней в условиях неоднородного температурного поля, отличающаяся тем, что она не имеет ограничений на величину деформаций стержня, на характер тепловых деформаций материала стержня и на вид зависимостей между напряжениями и деформациями. 5. Впервые проведено математическое моделирование влияния способов закрепления стеклопластикового стержня на возникающие в нем деформации и напряжения при одностороннем высокотемпературном нагреве. На основе расчетов при разнообразных краевых условиях выявлено существенное влияние способов крепления элементов теплозащитной конструкции на внутренние напряжения и показано какие из способов крепления позволяют снижать коэффициенты опасности напряженного состояния.
