Математическое моделирование напряженного состояния неоднородных цилиндрических стержней Ерошкина Татьяна Васильевна

Содержание к диссертации

Обозначения и соглашения 5

Введение 6

Объект изучения 6

Цель и задачи исследования 10

Методы исследований 11

Методы исследований 11

Ограничения на классы решений 12

Историография и общая характеристика работы 13

Историография 13

Актуальность работы 14

Научная новизна результатов работы 18

Теоретическая и практическая ценность работы 19

Краткое содержание диссертации 20

Основные результаты, выносимые на защиту 24

1 Математические модели напряженного состояния сплошного стержня с поперечным менее прочным однородным

слоем при осевой нагрузке 26

1. Математическая модель НС МП поперечного слоя при ГППС 27

2. Исследование НС МП слоя в окрестности свободной границы

методом характеристик 31

1.2.1 Введение 31

2. Система характеристических уравнений и ее приближенное интегрирование 32

3. Вычисление напряжений на контактной границе в окрестности свободной границы в критический момент на-гружения (решение задачи сопряжения для напряжений на контактной границе) 35

4. Вычисление координаты точки F в критический момент нагружения 39

3 Полное описание и исследование математических моделей

НС МП слоя при ГРП (статически квазиопределимая задача) 41

1. Введение 41

2. Исследование модели, когда касательные напряжения изменяются линейно поперек МП слоя 43

3. Исследование модели, когда касательные напряжения изменяются линейно в радиальном направлении ... 49

4 Математическая модель на основе полной системы уравнений
НДС МП слоя 51

4. Вычисление касательных напряжений 51

5. Вычисление скоростей смещений 53

5 Вычисление критической нагрузки 54

6. Введение 54

7. Вычисление критической нагрузки, когда касательные напряжения изменяются линейно в радиальном направлении 55

8. Вычисление критической нагрузки, когда касательные напряжения изменяются линейно поперек МП слоя 58

9. Выводы 60

6 Гипотеза параболических сечений 62

1.6.1 Математическая постановка задачи 62

1.6.2 Вычисление компонент тензора напряжений и скоростей смещений при гипотезе параболических сечений 63

2 Математические модели НС МП слоя с переменной проч
ностью по толщине 69

10. Постановка задачи 69

11. Исследование НС неоднородного МП слоя в окрестности свободной границы методом характеристик 72

12. Система уравнений пластического равновесия в инвариантной форме 72

13. Приближенное интегрирование системы уравнений пластического равновесия, записанной в инвариантной форме 74

2.3 Вычисление напряжений на контактной границе в критиче
ский момент нагружения (решение задачи сопряжения для
напряжений на контактной границе) 77

14. Вычисление касательных напряжений на контактной границе 77

15. Вычисление координаты точки F 81

2.4 Исследование математических моделей НС МП слоя с пере- '
менной по толщине прочностью в окрестности оси стержня

при ГРП 82

16. Классификация условий разрешимости уравнения, определяющего касательные напряжения 82

17. Исследование НС МП слоя с переменной по толщине прочностью, когда касательные напряжения изменяются линейно в радиальном направлении 84

2.5 Вычисление критической нагрузки 88

Литература 92

Обозначения и соглашения

В работе используются обозначения, принятые в механике твердого тела, а также:

ус - относительная толщина слоя;

индекс "*" (вверху) - значение величины в критический момент;

индекс "БП" ("МП") вверху указывает на отношение данной величины к более прочной (менее прочной) части соединения (для снижения громоздкости формул индекс "МП" в некоторых случаях не ставится).

В работе приняты следующие сокращения.

ММ - математическая модель (математические модели);

ЗТВ - зона термического влияния; ОМ - основной металл;

НС - напряженное состояние; НДС - напряженно-деформированное состояние;

МП - менее прочный; БП - более прочный;

ПН - пластическая неустойчивость; ЛПД - локализация пластических деформаций;

ГППС - гипотеза плоских поперечных сечений; ГПрС - гипотеза продольных сечений; ГРП - гипотеза разделения переменных; МГ - мультипликативная гипотеза.

Во многих случаях, когда это не может привести к разночтениям, касательные напряжения r_rz обозначаются буквой г без индексов.

Введение к работе

Объект изучения

В диссертации рассматриваются математические модели НС сплошного круглого стержня из упрочняемого материала, содержащего поперечный слой из МП материала, при монотонном статическом нагружении осевой силой, на этапе пластического деформирования слоя.

Изменение геометрических размеров (во всех направлениях) рассматриваемого участка стержня при возрастании осевой нагрузки приводит к приращению напряжений на данном участке, которые компенсируются за счет упрочнения материала стержня, и в этом случае пластическое деформирование протекает устойчиво. Однако упрочнение происходит по закону, который на стадии развитых пластических деформаций можно аппроксимировать монотонно возрастающей выпуклой вверх функцией, а рост напряжений за счет изменения геометрии конструкции в зависимости от деформаций идет по экспоненте, скорость роста которой выше скорости роста выпуклой вверх функции. Следовательно, при возрастании осевой нагрузки должен наступить такой момент, когда упрочнения материала оказывается недостаточно для нейтрализации роста напряжений, связанного с изменением формы. В этот момент, определяемый равенством дифференциалов двух указанных зависимостей, происходит "потеря общей пластической устойчивости, т. е. начинается деформирование материала с неконтролируемой скоростью при постоянных или уменьшающихся внешних нагрузках" [39], т. е. наступает момент ПН. Заметим, что ПН деформирования стерж- ня приводит сразу к ЛПД (образованию шейки), в отличие от оболочки, нагруженной внутренним давлением, когда начало неустойчивого деформирования может происходить существенно раньше начала образования шейки.

Рассматривается стадия нагружения, когда ОМ деформируется пластически устойчиво, а материал МП слоя достиг момента начала ПН и деформируется без увеличения внешней нагрузки, т. е. находится в состоянии предразрушения (это состояние в работе называется критическим). В этот момент за счет контактного упрочнения в МП слое, в случае относительно небольшой механической неоднородности между ОМ и МП слоем, происходит вовлечение в неустойчивое пластическое течение приконтактиых участков в ОМ. Для исследования состояния ПН, близкого по свойствам к идеальной пластичности, в качестве модельной ситуации рассматривается стержень из идеального упруго-пластического материала на стадии деформирования, когда МП слой прошел предел текучести, а ОМ работает упруго, за исключением приконтактиых участков, также перешедших в пластическое состояние.

В диссертации рассматриваются:

Математические модели НДС поперечного однородного МП слоя прямоугольного сечения в сплошном стержне из упрочняемого материала, при нагружении стержня осевой силой;

Математические модели НДС поперечного неоднородного МП- слоя прямоугольного сечения сплошного стержня из упрочняемого материала при нагружении стержня осевой силой.

Все рассматриваемые задачи предполагаются осесимметричными, т. е. НДС и геометрия объекта изучения инвариантны относительно вращения вокруг некоторой оси (в данном случае, оси стержня). НДС пластической среды при осесимметричной деформации определяется, как известно [30, 35], си- стемой уравнений (знак "тильда" указывает на наличие размерности у данной величины) да_г dr_rz G_r — (т^ , дт dz + -^ + - - = 0; (0.0.1) df_rz r_rz да₂ ^ + — + ^ = 0; 0.0.2

ОТ Г OZ (дг_г - д^² + (5> - a_z)² + (a_z - a_r)² + 6f_r²₂ = 6k²; (0.0.3) dv_r v_r dv_z dv_r dv_r dv_z (0.0.4) дт r __ dz дт _ dz дт . а_т — д-р a_z — a_r 2f_rz dv_r v_r dv_z я +- + -5^ = 0, r^O. (0.0.5) or r OZ

Здесь a_r - радиальное, a^ - кольцевое, b_z - осевое нормальные (размерные) напряжения, f_TZ - радиально-осевое касательное (размерное) напряжение; v_z, Vp и v_z - соответствующие (условные) скорости перемещений; (0.0.1) и (0.0.2) - уравнения равновесия (касательные напряжения т^ и f_vz тождественно равны нулю, так как изгиб и кручение отсутствуют); (0.0.3) -условие текучести Мизеса, к - постоянная пластичности, к - к^ш в БП части стержня и

А; - к^ми в МП слое; (0.0.4) - закон пропорциональности девиаторов скоростей деформаций и напряжений; (0.0.5) - условие сохранения объема пластического тела в процессе деформирования (условие несжимаемости). Величины v_r, v^vi v_z определяются с точностью до постоянного множителя. Система (0.0.1) - (0.0.5) содержит шесть уравнений относительно шести неизвестных функций (двух независимых безразмерных переменных г и z) и, в этом смысле, замкнута. Искомые функции определены на осевом сечении части стержня, подверженной пластическому деформированию, и содержащей осесимметричный МП слой прямоугольного сечения (рис. 1), а также некоторые участки БП части, примыкающие к слою. Из соображений симметрии достаточно рассматривать четверть D этого сечения (четырехугольник АСОН на рис. 1):

Рис. 1: Сплошной круглый стержень с поперечным МП слоем. Осевое сечение МП слоя D = {(r;z), г е[0;1], г Є [0; к]} , где х - относительная толщина МП слоя, т. е. отношение толщины слоя к диаметру стержня (радиус стержня принят равным единице).

К основным параметрам, следующим из постановки технической задачи, относятся:

Геометрические параметры: R - радиус стержня, h - толщина слоя, х - отношение толщины слоя к диаметру стержня.

Механические параметры: <т^^п, <т^^п - пределы текучести материала слоя и материала основной части соединения, п, а^¹¹¹ - пределы прочности материала слоя и материала основной части соединения,

3) К - коэффициент механической неоднородности соединения, К — &^БП/;^МП, где к^ви и А;^мп - пластические постоянные, участвующие в записи уравнения (0.0.3) и характеризующие начало ПН процесса деформирования. В инженерной практике в качестве приближенного значения для К используется отношение К = сг^ ^п/сг^^1П.

Цель и задачи исследования

Цель работы - разработка и исследование аналитическими и численными методами математических моделей НС неоднородных сплошных стержней (см. рис. 1), подверженных осевой нагрузке (осесимметричное состояние), и на этой основе оценка влияния на их несущую способность их механических и геометрических параметров.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи.

1. Разработать математические модели НС цилиндрического (сплошного) соединения с МП поперечным однородным слоем в условиях осе-симметричной деформации, для чего: разработать аналитические методы приближенного решения задачи сопряжения для напряжений на контактной границе с целью нахождения недостающих краевых условий, для чего: исследуя систему (0.0.1) - (0.0.3) методами теории нелинейных уравнений гиперболического типа, вычислить для нее инварианты Римана; на этой основе найти напряжения на контактной границе в окрестности свободной поверхности, в частности, определить наибольшую величину касательных и нормальных напряжений на контактной границе в критический момент нагружения как функцию внешних параметров; разработать аналитические методы приближенного решения недо-определенных краевых задач для системы уравнений пластического равновесия (0.0.1) - (0.0.3); разработать аналитические методы приближенного решения недо-определенных краевых задач для полной системы уравнений, моделирующих НДС в пластическом слое (0.0.1) - (0.0.5).

2. Разработать математические модели НС цилиндрического (сплошного) соединения с МП поперечным неоднородным слоем в условиях осесимметричной деформации, для чего решить перечисленные выше задачи в случае, когда в уравнении (0.0.3) параметр пластичности является переменным: к = k(z).

Методы исследований

Методы исследований

При решении систем нелинейных уравнений в частных производных использовались

Метод характеристик для решения краевых задач систем уравнений гиперболического типа, с разрывными решениями на "внутренних" границах, в том числе в неоднородных средах.

Некоторые обобщения метода разделения переменных для решения нелинейных уравнений, позволяющие свести возникающие задачи к решению краевых и начальных задач для некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений.

В работе использовалось численное интерполирование с помощью пакета MATLAB многочисленных сложного вида функций, возникающих в процессе реализации авторских вычислительных схем, что позволило по- лучить явные зависимости от внешних параметров величин предельных нагрузок и сравнить их с известными экспериментальными данными.

Ограничения на классы решений

Известно [3, 6, 40, и др.], что в некоторый момент под действием возрастающей растягивающей внешней нагрузки в соединении, содержащем МП слой, вступает в пластическое деформирование (течение) ОМ соединения. Однако распределение напряжений поперек полосы, как в БП части, так и в МП слое, в том числе и на контактной поверхности, заранее неизвестно. Поэтому при рассмотрении сечения слоя в качестве исследуемой области возникает недоопределенная краевая задача. Более того, именно краевые условия (значения нормальных напряжений) на контактной границе требуется находить для определения критической нагрузки. Поэтому для получения "правдоподобного" решения приходится вводить дополнительные ограничения на классы функций, обоснованность которых должна опираться на экспериментальные данные. Примеры применяемых ограничений.

1. Гипотеза плоских поперечных сечений (ГППС): du_z/dr — 0 или dv_z/dr = 0, где u_z - перемещение в направлении оси стержня. Использовалась в работах Л.М. Качанова и его соавторов [36, 37, 38, 8]. Она применялась в работах В.Л. Дильмана [26, 23, 72, 28, 71, 25, 73, 74, 75, и др.].

2. Гипотеза поперечных параболических сечений (ГПарС): Uz = r²g(z) или v_z = r²g{z).

Упоминается в работе Л.М. Качанова [38]. Впервые использовалась в работах Т.В. Ерошкиной [76, 83].

3. Гипотеза разделения переменных (мультипликативная гипотеза, ГРП) для касательных напряжений: т_гг = R{r)Z{z).

Впервые применялась при исследовании НС МП слоя в работе [46]. В дальнейшем она активно использовалась в других работах В.Л. Диль-мана и его соавторов (см. [18] и литературу в [18]). Частным случаем этой гипотезы является следующее условие.

4. Гипотеза о линейной зависимости касательных напряжений от одной из переменных: т = rZ(z) или г = R{r)z.

Вторая из этих гипотез применялась при решении задач плоской и осссимметричной деформации в работах Л.М. Качанова [36, 37], Л.М. Качанова и А.Л. Немчинского [38], Л.М. Качанова и О.А. Бакши [8], О.А. Бакши [7, 3, 4, и др.] и в работах В.Л. Дильмана (в том числе с соавторами) [20, 19, 21, 47, 73, 18, и др.]. Первая гипотеза, позволяющая детально исследовать НС вблизи оси вращения, применялась В.Л. Дильманом в работах [25, 22, 72, 73, 18, и др.].

Историография и общая характеристика работы Историография

Со времен работы Л. Прандтля (1924 г., [68], русский перевод [49]) о напряженном состоянии при плоской деформации бесконечной пластичной прослойки, подверженной сжимающим усилиям, написано большое количество статей, глав в монографиях и учебниках, относящихся, в основном, к сжатию (осадке) пластического слоя двумя жесткими плитами. Во многих работах, написанных в рамках общей теории обработки металлов давлением, как правило, допускалась (и исследовалась) возможность скольжения заготовки (пластического слоя) по контактным поверхностям, что приводило к различным краевым задачам в зависимости от условий трения между плитой (матрицей) и заготовкой. Можно отметить монографии А.А. Ильюшина [32], Л.М. Качанова [35], В.Л. Колмогорова, А.А. Бога-това и др. [48], А. Надай [43], Г.А. Смирнова-Аляева [51], В.В. Соколовского [52], И.Я. Тарновского, Д.А. Поздеева, О.А. Ганаго и др. [54], А.Д. Томленова [57], Э. Томсена, Ч. Янга, Ш. Кобаяши [58], Е.П. Унксова [59], Е.П. Унксова, У. Джонсона, В.Л. Колмогорова и др. [55, 53]. В ряде работ, А.Ю. Ишлинского, Д.Д. Ивлева, С.А. Христиановича, Е.И. Шемякина, их коллег и соавторов (см. [50, 62, 33] и литературу в этих работах) изучалось НДС прослойки, в том числе осесимметричной, из идеально пластического материала методами, использующими условие пластичности Треска и гипотезу полной пластичности.

Актуальность работы

Большое влияние на свойства соединений стали и сплавов, термически упрочненных материалов, узлов и конструкций из разных металлов оказывают МП слои - участки, материал которых имеет пониженные прочностные свойства по сравнению с материалами прилежащих участков. Такими слоями могут быть сварные швы, диффузионные прослойки в зонах сплавления, участки разупрочнения в зонах термического влияния, технологические прослойки при сварке разнородных материалов, спаи в паянных соединениях и др. При монтаже сборных железобетонных конструкций стержни арматуры соединяют сваркой плавлением ванным способом на строительной площадке [56, 13], когда металл шва обладает более низкими прочностными характеристиками, чем основной металл (коэффициент механической неоднородности К — 1, 2...1, 5). Относительные размеры МП слоя, его форма, соотношения свойств МП слоя и материалов соседних участков, существенно влияют на прочностные свойства соединения, место и характер разрушения. МП слои в стержневых конструкциях (свар- ных стыках арматуры, специально изготовленных цилиндрических образцах для измерения сопротивления отрыва и других параметров "мягкого" материала, и т. п.) регламентируют прочностные и пластические свойства сварных соединений; их прочность выше прочности стержней из того же МП материала за счет контактного упрочнения; контактное упрочнение самым существенным образом зависит от относительной толщины прослойки.

Однако это не учитывается в ГОСТе 6996-66 "Сварные соединения. Методы определения механических свойств", ГОСТе 10922-64 "Арматура и закладные детали сварные для железобетонных конструкций" и ГОСТе 14098-91 "Соединения сварные арматуры и закладных изделий железобетонных конструкций", что нельзя поставить в вину их разработчикам, поскольку ко времени выхода этих стандартов теория механической неоднородности сварных соединений не получила должного теоретического развития и широкого распространения. ГОСТ 6996-66 рекомендует оценивать прочность наиболее слабого участка соединения путем растяжения цилиндрических образцов, начиная с типа I (d=3 мм) до XIV (d=70 мм), вырезаемых в направлении, перпендикулярном шву. В указанных образцах МП слои будут иметь совершенно иные значения относительной толщины (отношение толщины слоя к диаметру), чем в реальном сварном соединении, что может привести к совершенно неправильному представлению о действительном уровне механических свойств конструкций, их прочности, месте и характере разрушений.

Создание эффективных методик проведения экспериментов на прочность стержневых неоднородных образцов, а также потребности практики (написание нормативных документов, регламентирующих условия производства и использования в строительстве арматурных сварных конструк- ций), приводят к необходимости создания методов решения осесимметрич-ныхх задач теории пластичности, позволяющих получать явные аналитические приближенные зависимости напряжений от известных механических параметров, что дает возможность исследовать поведение конструкций и образцов в зависимости от этих параметров. Отсюда следует необходимость создания математических моделей (в форме краевых и других задач для дифференциальных, интегральных и других уравнений и их систем), которые позволяют получать достаточно точные приближенные аналитические решения. Получение таких моделей основано на допущениях и упрощающих условиях, следующих из экспериментальных данных.

Механические свойства МП слоев, во многих случаях нельзя считать однородными. Причинами неоднородности могут быть диффузия, наклеп, наличие температурного градиента, облучение нейронами и 7-лучами. Поэтому в диссертации рассматривается также напряженное состояние поперечного неоднородного по толщине МП слоя в составе сплошного цилиндра под действием осевой нагрузки.

Исследование напряженного состояние МП слоя при осесимметричной деформации имеет большое значение для оценки прочности механически неоднородных цилиндрических сварных соединений и при экспериментальном определении сопротивления отрыву. При этом представляет интерес изучение не только состояния слоя в критический момент нагружения, но и всего процесса развития напряжений в пластической зоне соединения по мере роста осевого усилия. В то же время, теоретических работ, исследующих НС или НДС неразъемного соединения, содержащего слой (прослойку) с иными, чем ОМ, механическими характеристиками, как это бывает в сварных швах или ЗТВ, и подверженный растягивающей нагрузке, действующей поперек слоя, и содержащих новые теоретические идеи и подходы, было немного. В работах Л.М. Качанова [36, 37], Л.М. Качанова и А.Л. Немчинского [38], Л.М. Качанова и О.А. Бакши [8], О.А.

Бакши [7, 3, 4, и др.], О.А. Бакши и Р.З. Шрона [11], в силу значительной сложности теоретических и экспериментальных исследований, авторы ограничивались большей частью рассмотрением механически неоднородных соединений листовых и стержневых конструкций. В этих работах использованы одновременно различные гипотезы (упрощающие допущения) без анализа их совместности и взаимозависимости, например, гипотеза линейности касательных напряжений по длине прослойки и ГППС, и ряд других предположений (например, одна из величин для упрощения полагалась постоянной, но в окончательных формулах от этого ограничения отказывались). Это позволило существенно упростить уравнения и найти некоторые (труднообозримые неявные) аналитические зависимости для напряжений, возникающих в процессе нагружения. Формулы для вычисления предельного усилия оказались простыми и имеющими вид для пластины и стержня с поперечным МП слоем соответственно: -> = 7Г""6 ⁺ 4У^: ^ = ^СТ""б ⁺ Ж>- ⁽--⁶⁾

В этих работах не учитывались деформационное упрочнение и вовлечение основного металла в пластическое деформирование. Решение распространялось на весь слой, в т. ч. на область в окрестности свободной границы, в которой решение однозначно определяется граничными условиями и не совпадает с полученным в средней части слоя. Для тонких прослоек такая ошибка не очень существенна, но для не очень тонких слоев, с относительной толщиной больше чем 0,10...0,15, приводит к заметному завышению критической нагрузки. Таким образом, огрубленность применявшихся математических моделей в перечисленных работах не позволила построить удовлетворительную для практических целей теорию НДС МП слоя. Ограниченность применения формул (0.0.6) была вскоре обнаружена. При некоторых значениях относительных толщин МП слоев эти формулы давали существенное отклонение от экспериментальных данных. В работах A.M. Макара и др. [44], А.В. Гурьева и др. [34], К. Satoh, М. Toyoda [69], М.А.

Дауниса, А.П. Браженаса [15] и др. и работе [9] самих авторов методики на основании проводимых авторами этих работ экспериментов вносились поправки и уточнения в формулы (0.0.6), либо предлагались альтернативные формулы, полученные аппроксимацией экспериментальных данных. Причиной расхождения теории и эксперимента авторы [9] считали один из недостатков использованной математической модели - неучет явления неполной реализации контактного упрочнения вследствие вовлечения ОМ в пластическое деформирование, что было отчасти верно. Однако соответствующих изменений математической модели в работе [9] нет.

Поэтому остается актуальной необходимость теоретического, с использованием аналитических и численных методов, решения следующих задач:

Разработка методики получения явных аналитических выражений, характеризующих НС поперечного МП однородного слоя, в течение всего процесса нагружения.

Выработка критерия для определения несущей способности подверженного осевой нагрузке сплошного цилиндрического стержня с поперечным МП слоем, и вычисление предельного усилия.

Научная новизна результатов работы

Новыми являются все полученные в работе аналитические выражения - зависимости компонент тензора напряжений от координат точек в различных случаях; зависимости критических осевых нагрузок от механических и геометрических параметров стержня и его МП поперечного слоя (в том числе неоднородного).

Впервые при исследовании НС МП однородного слоя сплошного стержня в процессе его пластического деформирования при осесимметрич-ной деформации: введен и исследован ряд новых ММ НС однородного пластичного осесимметричного слоя, основанных на различных предположениях: гипотезы плоских поперечных сечений (далее в автореферате ГППС), гипотезы разделения переменных (далее в автореферате ГПР) для касательных напряжений и ее частных случаях; для анализа НС МП слоя использовалась гипотеза параболических сечений; удалось приближенно проинтегрировать методом инвариантов Рима-на систему уравнений, описывающую осесимметричное НС при ГППС; решена задача сопряжения на контактной границе для осесимметричного НС.

3. Впервые построены и исследованы ММ неоднородного осесимметричного слоя при небольшой механической неоднородности. При моделировании НС слоя с переменной прочностью по толщине впервые: найдены аппроксимации функции прочности слоя, при которых применима ГРП для касательных напряжений, и изучена ММ, при которой касательные напряжения в окрестности оси стержня меняются линейно в радиальном направлении; удалось приближенно проинтегрировать методом инвариантов Ри-мана систему уравнений, описывающую осесимметричное НС неоднородного слоя при ГППС. На этой основе решена задача сопряжения на контактной границе для неоднородных сред.

Теоретическая и практическая ценность.

Теоретическая ценность.

Обобщение метода разделения переменных на некоторые нелинейные уравнения в частных производных может быть полезно для получения точных и приближенных решений недоопределенных краевых задач для таких уравнений. Метод приближенного построения инвариантов Римана для уравнений осесимметричных задач теории пластичности, использованный в работе, можно применять и для других неоднородных уравнений гиперболического типа.

Практическая ценность.

Полученные результаты позволяют:

Определять прочность сварных соединений стержней арматуры при осевых нагрузках.

Определять разрушающие растягивающие нагрузки, действующие на стержневые образцы, содержащие прослойки из МП материала, исследуя на этой основе свойства материалов.

Внести изменения и дополнения в нормативные документы, регламентирующие условия производства и эксплуатации сварных конструкций.

Краткое содержание работы

В главе 1 изучается НС МП поперечного однородного слоя сплошного круглого стержня под осевой растягивающей нагрузкой.

В п. 1.1 строится и исследуется математическая модель НС МП слоя при ГППС. При таком предположении система уравнений НДС слоя (0.0.1) - (0.0.5) заметно упрощается, приобретая вид (1.1.13) - (1.1.17). В качестве "модельного" используется приближенный вариант (1.1.18) уравнения (1.1.15). Наряду с граничными условиями (1.1.19) имеют место внутренние граничные условия (условия сопряжения) (1.1.11). Система (1.1.13) -(1.1.17) вместе с граничными условиями (1.1.19) и (1.1.11) является математической моделью НДС пластического слоя при осесимметричной деформации и ГППС (1.1.12).

В п. 1.2 исследуется НС МП слоя в окрестности свободной границы методом характеристик. В п. 1.2.2 система (1.1.13) - (1.1.15) записывается в инвариантах Римана (1.2.5) - (1.2.8). Ее приближенное интегрирование, основанное на подборе единственного параметра q в формуле (1.2.15) на основе геометрических соображений и анализа экспериментальных данных работы [69], приводит к зависимости на контактной поверхности между напряжениями а_т и r_rz (1.2.14), (1.2.17) и (1.2.16). В п. 1.2.3, на основе результатов п. 1.2.2, с использованием условий сопряжения (1.2.26), записываются уравнения для вычисления напряжений на отрезке FA контактной границы. Это позволяет последовательно получить зависимости r_rz и a_z на контактной поверхности от г и параметра неоднородности К. В п. 1.2.4 на основе результатов предыдущего пункта получены зависимости координат точки F от параметров К и х, а также значения a_z и r_rz в зависимости от тех же параметров.

В п. 1.3 дается полное описанріе и исследование математических моделей НС МП слоя при ГРП для касательных напряжений. Следствием применения ГРП (1.3.2) к уравнению (1.3.1) является уравнение (1.3.3). В п. 1.3.1 доказана лемма 2: уравнение (1.3.3) не имеет решений, за исключением следующих частных вариантов. 1. Функция Z постоянна. 2. Функция Z линейна. 3. Функция R линейна.

Первый вариант приводит к известным решениям [31, 61], не удовлетворяющим граничным условиям (1.1.19). В п. 1.3.2 и п. 1.3.3 подробно исследуются модели, когда касательные напряжения изменяются линейно поперек МП слоя и, соответственно, в радиальном направлении (варианты 2иЗ).

Во втором варианте функция R удовлетворяет уравнению (1.3.6) и условиям (1.3.7). Точное решение, представленное в виде суммы ряда, можно с точностью до тысячных при 00, возрастающие при приближении к оси стержня, не достигают критических напряжений БП материала \/^ЗК (рис. 1.6, а) и распространяется на область HFF'H¹. В противном случае, когда в некоторой точке М контактной границы оказывается, что a_z = л/ЗК, напряженное состояние в МП слое между этой точкой и осью стабилизируется и становится простым равномерным (рис. 1.6, б). На участке НМ напряжения постоянны (a_z = л/ЗК), на участке MF их можно описать уравнениями (1.3.16), с другими константами, для определения которых необходимо найти точку М. Точка М находится из системы трансцендентных уравнений (1.3.20) - (1.3.22). Аппроксимация функции (1.3.22) функцией (1.3.23) (с ошибкой в несколько тысячных) позволяет решить указанную систему и найти точку М (формула (1.3.25)).

В третьем варианте функция Z удовлетворяет уравнению (1.3.27). Оно легко решается, что в первом случае (рис. 1.6, а) приводит к решению (1.3.33) с параметром А, вычисляемым по формуле (1.3.31), а во втором (рис. 1.6, б) - к формуле (1.3.37) (в третьем варианте во втором случае точка М легко находится).

В п. 1.4 исследуется математическая модель НДС МП слоя на основе системы уравнений (1.1.13) - (1.1.17). Показано, что при некоторых упрощающих предположениях, несущественных при небольшой механической неоднородности соединения, этот вариант сводится к варианту из п. 1.3.3. Найдены скорости смещений точек слоя в осевом и радиальном направлениях (формулы (1.4.8) - (1.4.10)).

В п. 1.5 на основе результатов п. 1.3 получены зависимости критической нагрузки от параметров и в графической форме и в виде простых аналитических выражений, аппроксимирующих точные решения. Прове- дено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными, известными из литературы, показавшее хорошее соответствие.

В п. 1.6 исследуется математическая модель НДС МП слоя на основе системы уравнений (1.1.13) - (1.1.17) при ГПарС (1.6.1). В п. 1.6.2 вычислены компоненты тензора напряжений и скорости деформаций и показано, что замена ГППС на ГПарС при малых значениях 6 (например, при S < О,1...0,3) не оказывает существенного влияния на величину напряжений в критическом состоянии материала и величину скоростей смещений.

В главе 2 изучается НС МП поперечного неоднородного слоя сплошного круглого стержня под осевой растягивающей нагрузкой. Предполагается, что параметр к^М11 зависит от координаты z.

В п. 2.2 исследуется НС МП слоя в окрестности свободной границы методом характеристик. В п. 2.2.1 система (1.1.13) - (1.1.15) записывается в инвариантах Римана (2.2.16). Оценка правых частей этих уравнений и замена их на более простые выражения позволила в п. 2.2.2 приближенно проинтегрировать эти выражения. На этой основе в п. 2.3 вычислены зависимости касательных и нормальных напряжений на контактной поверхности на участке FA. Например, в формуле (2.3.17) представлена зависимость a_z от г, и. и К.

В п. 2.4 исследуются математические модели НС МП слоя с переменной по толщине прочностью в окрестности оси стержня при ГРП. Задача сводится к исследованию дифференциального уравнения (2.4.4), которое обобщает уравнение (1.3.3) из гл. 1. В п. 2.4.1 доказана лемма 3: уравнение (1.3.3) при условии (1.3.4) не имеет решений, за исключением следующих частных вариантов. 1. Функция R линейна. 2. Функция Т имеет вид Т = cos²(fiz/2), то функция Z = sin( fiz). 3. Функция Т имеет вид Т = ch²(/xz/2), а функция Z = sh([iz).

В п. 2.4.2 исследуется НС МП слоя с переменной по толщине прочностью, когда касательные напряжения изменяются в радиальном направле- нии. Решение уравнения (2.4.11) для нахождения Т по Z затруднительно даже для самых простых аппроксимаций неоднородности МП слоя. Поэтому в работе использован полуобратный метод, при котором для Z выбирается "естественная" аппроксимация, с не менее чем тремя параметрами. В работе для Z принята степенная зависимость (2.4.11). Получены явные формулы для вычисления Т, а также нормальных напряжений в каждом из случаев, когда a_z в МП слое либо достигают, либо не достигают значения напряжений в БП части, равного \/ЗКК_сл. На этой основе в п. 2.5 вычислены критические нагрузки в зависимости от значений трех параметров К, К_сл и к. Они представлены в виде поверхностей (при фиксированных значениях К_сл).

Основные результаты, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие положения

Решены аналитическими методами задачи сопряжения для напряжений на контактной границе между различными пластическими средами, в том числе неоднородными.

Получены аналитическими методами решения недоопределенных краевых задач, моделирующих НДС в осесимметричном пластическом слое, как однородном, так и неоднородном, при гипотезе плоских поперечных сечений.

Найдены силовые критерии потери несущей способности сплошных стержней с поперечным менее прочным слоем, в том числе неоднородным, в форме аналитических зависимостей критических напряжений от механических и геометрических параметров, а также в форме программ в пакете MATLAB.

Благодарности

В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту В.Л. Диль-ману за неоценимую помощь в работе над диссертацией; коллективу кафедры общей математики ЮУрГУ за ценные советы, поддержку и веру в успех.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект № 05-08-18179).

Похожие диссертации на Математическое моделирование напряженного состояния неоднородных цилиндрических стержней

Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния стержня в условиях неоднородного температурного поля с учетом нелинейностиАбдрахманова Алия Айдаровна

Математические модели для оценки состояний систем нелинейно упругих стержней при воздействии сейсмоударного типаКондрашков Анатолий Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИН МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЙШарафутдинова Гюзель Гафуровна

Математическое моделирование диагностирования полостей в стержне по собственным частотам колебанийСаляхова, Елена Викторовна

Математическое моделирование процессов теплопередачи в системах контактирующих стержнейГинзгеймер Сергей Александрович

Математическое моделирование термомеханических процессов в системах армированных стержней при экстремальных тепловых воздействияхКаледин Владимир Олегович

Математическое моделирование динамических процессов в дискретно-континуальных системах с упруговязкими стержнямиПетрова Татьяна Юрьевна

Математическое моделирование состояний технического объекта на основе анализа звуковых сигналовТананаев Денис Дмитриевич

Математическое моделирование состояний сред с малоразмерными включениями на основе метода конечных суперэлементов ФедоренкоЛазарева Светлана Александровна

Моделирование состояний гармонических средХаритоненко Анатолий Анатольевич