Введение к работе
з
Актуальность темы. Ввиду исчерпания ресурса и большого износа технологического оборудования, особенно в таких экологически опасных отраслях, как нефтедобыча, нефтехимия, энергетика, трубопроводный транспорт, актуальными являются методы раннего обнаружения зарождающихся повреждений конструкций. Оптико-визуальные методы контроля дают результат лишь для повреждений, достигших относительно больших размеров и расположенных на внешней поверхности, поэтому не всегда применимы. Например, в протяженных объектах типа трубопроводных систем, нефтедобывающих штанг не все участки могут быть доступны для визуального осмотра и локального приборного диагностирования повреждений. Даже при их доступности, не во всех случаях представляется возможным определение местных дефектов конструкций, обусловленных местной коррозией, охрупчиванием, появлением трещин.
Поэтому в настоящее время остро стоит вопрос создания все новых методов диагностики технических систем в целях быстрого обнаружения неисправности и обеспечения надежности функционирования оборудования.
Методы диагностики, основанные на измерении собственных частот колебаний, имеют достаточно широкое распространение для определения физико-механических свойств различных материалов и конструкций. Они относятся к акустическим методам диагностики, для теоретической отработки которых необходимо применение математической модели повреждения.
На практике большой интерес представляют колебания стержней при различной их заделке (такие системы широко используются в технике - различные валы, оси и т.п.) В связи с этим тема диссертационной работы, посвященная разработке математических моделей акустической диагностики полостей в стержнях по собственным частотам колебаний, а также их численному исследованию, представляется актуальной.
Цель работы - разработка и исследование математических моделей акустической диагностики дефектных стержней по собственным частотам изгибных колебаний. В соответствии с поставленной целью в работе формулируются и решаются следующие задачи исследований:
моделирование диагностирования полости в стержне по двум собственным частотам колебаний, взятым из двух различных спектров колебаний (вокруг разных осей); численное исследование зависимости частот изгибных колебаний от местоположения и размеров полости в стержне;
разработка численного метода расчета собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений четвертого порядка, описывающих колебания дефектных и бездефектных стержней;
получение теоретических доказательств сходимости этого численного метода; применение метода при диагностировании полости в стержне;
3) создание комплекса программ для пользователей, позволяющего провести расчет собственных частот колебаний дефектных и бездефектных стержней на основе разработанного метода расчета, а также диагностировать параметры, характеризующие размер и местоположение полости в стержне.
Методы исследования. В работе использовались методы аналитической теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики, математического анализа, линейной алгебры, а также программирования.
Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, обеспечивается математическими доказательствами и сравнением результатов, полученных при применении разработанного численного метода расчета собственных частот в диагностировании дефектных стержней, с точными результатами модельных задач, а также численными результатами других авторов.
Научная новизна работы заключается в следующем:
впервые предложено моделирование диагностирования полости в стержне по двум собственным частотам колебаний, взятым из двух различных спектров изгибных колебаний (вокруг разных осей);
разработан новый численный метод расчета собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений четвертого порядка с разделенными краевыми условиями, описывающих колебания стержня. Приведены теоретические доказательства его сходимости;
с помощью разработанного численного метода расчета проведены исследования зависимости собственных частот колебаний стержня от местоположения дефекта при действии различных параметров (закрепление стержня, величина объема полости, масса стержня и т.д.). В результате сделан вывод и приведены численные результаты, показывающие, что не всегда собственные частоты колебаний являются информативным признаком наличия дефекта в стержне - при определенном положении полости в стержне частота колебаний дефектного стержня совпадает с частотой колебаний бездефектного стержня;
разработан комплекс программ, позволяющий провести диагностирование параметров, характеризующих размер и положение полости в стержне, а также вычислить собственные частоты колебаний дефектных, бездефектных стержней.
Теоретическая и практическая значимость результатов. Предлагаемое моделирование диагностирования полости в стержне становится основой акустической диагностики доступных и недоступных для визуального осмотра механических систем и конструкций. Оно
позволяет судить о величине и местоположении дефектов в виде полостей по собственным частотам изгибных колебаний. Представленный анализ зависимостей собственных частот изгибных колебаний от параметров системы позволяет прогнозировать картину дальнейшего роста повреждения и выявить необходимость ремонта соответствующей механической системы, его объема и сроков проведения, не прибегая к дорогостоящей разборке.
Представленный в диссертации численный метод расчета собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений четвертого порядка может использоваться для решения конкретных практических задач, приводящих к проблеме собственных значений. Такие задачи возникают в акустике, аэродинамике, механике твердого тела и т.д.
Положения диссертации, выносимые на защиту:
1. Математическое моделирование диагностирования полости в
стержне по двум собственным частотам, взятым из различных
спектров изгибных колебаний (вокруг разных осей). Выполненные в
рамках модели численные эксперименты определения местоположения
и размеров полости в стержне. Сравнение полученных численных
результатов с результатами модельных примеров и результатами других
авторов.
Численный метод расчета собственных значений и собственных функций для дифференциальных уравнений чветвертого порядка с разделенными краевыми условиями, описывающих колебания стержня. Численные исследования изменения собственных частот изгибных колебаний стержня в зависимости от местоположения, величины полости.
Комплекс программ для пользователей, позволяющий провести расчет собственных частот колебаний дефектных и бездефектных стержней, а также диагностировать параметры, характеризующие размер и местоположение полости в стержне.
Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на всероссийских и международных конференциях и симпозиумах:
- V Всероссийская конференция молодых ученых по математическому
моделированию и информационным технологиям с участием
иностранных ученых, Новосибирск, 1-3 ноября 2004 г.;
- Международная конференция «Математическое моделирование и
краевые задачи - ММ-2005», Самара 01.06.2005-03.06.2005 г.;
VI Международная научно-техническая конференция «Авиакосмические технологии - АКТ - 2005», Воронеж 14.09.2005-16.09.2005 г.;
- VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной
математике, Сочи, 2005 г.;
Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых, Уфа, 30 ноября - 6 декабря 2005 г.;
- VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной
математике, Кисловодск, 2-8 мая 2006 г.;
VII Международная научно-техническая конференция «Авиакосмические технологии - АКТ - 2006», Воронеж, 13-15 сентября 2006 г.;
- Международная школ а-конференция для студентов, аспирантов и
молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в
естествознании», 2-6 октября 2011 г;
научный семинар по математическому моделированию Башкирского государственного университета под руководством д.ф.-м.н. С. И. Спивака, 2012 г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах, из которых 3 работы размещены в журналах, входящих в перечень Высшей аттестационной комиссии Министерства образования и науки Российской федерации.
Личный вклад автора.
В совместных работах A.M. Ахтямову принадлежит постановка обратных задач, P.P. Абзалимову принадлежит постановка прямых задач и методика расчета собственных значений для дифференциальных уравнений второго порядка. Автору принадлежит анализ поставленных задач, разработка численного метода решения прямых и обратных задач для дифференциальных уравнений четвертого порядка, результаты вычислительных экспериментов, создание комплекса компьютерных программ.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и приложения. Основное содержание изложено на 120 страницах машинописного текста и содержит 17 рисунков и 12 таблиц. Список источников включает 170 наименований.
Благодарности.
Исследования, представленные в диссертационной работе, проведены под руководством к.ф.-м.н., доцента Абзалимова P.P., д.ф.-м.н., профессора Ахтямова A.M., которым автор выражает глубокую благодарность.
