Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Состояние вопроса, постановка цели и задач исследования 12
1.1. Устройство и принцип действия манометрической трубчатой пружины. Основные конструкции и характеристики 12
1.2. Обзор работ, посвященных исследованиям трубчатых
1.2.1. Исследования манометрических трубчатых пружин 27
1.2.2. Решение задачи о собственных колебаниях по стержневой теории 36
1.2.3. Исследования собственных колебаний труб в рамках теории тонкостенных оболочек 40
1.3. Основные выводы, постановка задачи 46
ГЛАВА 2. Определение частот собственных колебаний манометрических трубчатых пружин 49
2.1. Расчет собственных частот колебаний манометрических трубчатых пружин постоянного поперечного сечения энергетическим методом 49
2.1.1. Моделирование конструкции пружины 49
2.1.2. Определение потенциальной энергии деформации 51
2.1.3. Определение кинетической энергии пружины 57
2.1.4. Решение системы уравнений движения 62
2.2. Определение частот собственных колебаний манометрической пружины с переменным поперечным сечением как тонкостенного криволинейного стержня 64
2.2.1. Динамическая модель и система уравнений колебательного движения 64
2.2.2. Определение коэффициента Кармана 71
2.2.3. Оценка сходимости решения 74
2.3. Сравнительная оценка методов расчета 76
2.4. Описание программы для определения частот собственных колебаний манометрических пружин 77
2.5. Влияние геометрических параметров трубчатых пружин на частоты собственных колебаний 83
Выводы 95
ГЛАВА 3. Экспериментальные исследования частот собственных колебаний манометрических трубчатых пружин 97
3.1. Методика экспериментов 97
3.1.1. Определение цели и задачи экспериментов 97
3.1.2. Прибор, определяющий собственные частоты 97
3.1.3. Установка для нагружения пружин давлением. Измерения собственных частот колебаний 99
3.1.4. Опытные образцы манометрических пружин 100
3.2. Исследование собственных частот колебаний трубчатых пружин постоянного поперечного сечения 106
3.2.1. Определение влияния внутреннего давления 106
3.2.2. Сравнение теоретических и экспериментальных значений собственных частот 108
3.2.3. Учет влияния жесткого наконечника 110
3.3. Исследование собственных частот манометрических пружин с переменным по длине сечением 113
Выводы 114
Заключение 116
Литература
- Исследования манометрических трубчатых пружин
- Исследования собственных колебаний труб в рамках теории тонкостенных оболочек
- Определение потенциальной энергии деформации
- Исследование собственных частот колебаний трубчатых пружин постоянного поперечного сечения
Введение к работе
Актуальность работы. Манометрические трубчатые пружины нашли широкое применение в качестве упругих чувствительных элементов деформационных манометрических приборов, используемых для измерения избыточного и вакуумметрического давлений, разности давлений, расхода и температуры. Часто эти приборы работают в условиях пульсации рабочей среды или вибрации устройств, на которых они установлены. При этом манометрические трубчатые пружины совершают колебательное движение, которое через передаточный механизм передается стрелке, что затрудняет точную регистрацию измеряемой величины.
С целью уменьшения этого отрицательного влияния были предложены разнообразные устройства, основанные на связи с дополнительными упругими системами, но из-за низкой эффективности и больших габаритов они не получили распространения. Также выпущены приборы, в которых манометрическая трубчатая пружина помещена в слой жидкости, но они сложны и дороги.
Решением проблемы может стать прибор с вибростойкой трубчатой пружиной. Основной характеристикой вибростойкости является частота собственных колебаний. Чем она выше, тем более вибростойкой будет пружина. Но в настоящее время приемлемый для практики метод расчета частот собственных колебаний манометрических трубчатых пружин отсутствует.
В последнее время предложены конструкции пружин с переменным вдоль продольной оси поперечным сечением. При этом переменными могут быть как размеры, так и форма сечения. Пружины с изменяющимися геометрическими параметрами сечения обладают лучшими характеристиками, по сравнению с пружинами постоянного поперечного сечения. Несмотря на свои преимущества, пружины с переменным сечением пока не получили широкого распространения. Основной причиной, сдерживающей внедрение
конструкций пружин с переменным сечением, является отсутствие методов определения их динамических характеристик, в том числе и частоты собственных колебаний. Поэтому в диссертации поставлена и решена актуальная задача по определению частоты собственных колебаний манометрических трубчатых пружин.
Цель диссертационной работы заключается в разработке метода определения частот собственных колебаний манометрических пружин с постоянным и переменным по длине поперечным сечением. При этом, учитывая множество геометрических параметров, определяющих конкретную конструкцию пружины, поставлена только прямая задача расчета: определение частот собственных колебаний по известным геометрическим параметрам и свойствам материала пружин.
Объектом исследования является манометрическая трубчатая пружина (пружина Бурдона), используемая в качестве упругого чувствительного элемента в манометрических и термометрических приборах.
Предметом исследования является собственная частота колебаний манометрической пружины.
Исходя из указанной цели основными задачами диссертационного исследования являются:
Разработка методов определения частот собственных колебаний трубчатых пружин с постоянным и переменным по длине сечением.
Разработка алгоритма и комплекса прикладных программ для расчета частот собственных колебаний манометрических трубчатых пружин.
Исследование влияния геометрических параметров трубчатых пружин на частоты собственных колебаний.
Экспериментальное исследование частот колебаний пружин постоянного и переменного сечения. Оценка достоверности полученных теоретических результатов.
6 Методологической базой для исследования послужили работы Феодосьева В.И., Андреевой Л.Е., Аксельрада Э.Л., Бидермана В.Л., Пирогова СП. и Самакалева С.С.
Методы исследования. В работе использованы методы полубезмоментой теории оболочек, численные методы, при решении систем дифференциальных уравнений использован метод Бубнова-Галеркина, а при определении собственных частот метод деления отрезка пополам. При постановке численных экспериментов и при исследовании влияния геометрических параметров манометрической пружины на ее собственные частоты была применена система компьютерной математики MATLAB, на языке программирования этой же системы создан пакет прикладных программ для расчета пружин с постоянным и переменным сечением. При проведении эскпериментов использовались экспериментальные методы определения собственных частот колебаний.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Составлена система уравнений Лагранжа второго рода, из которой получены выражения для определения первых двух собственных частот колебаний манометрических пружин постоянного поперечного сечения.
Разработан метод определения частот собственных колебаний пружин с переменным по длине сечением как для тонкостенного изогнутого стержня с учетом коэффициента Кармана, определяемого по полубезмоментной теории оболочек. Показана сходимость решения.
Разработаны алгоритм и программа для автоматического расчета собственных частот колебаний манометрических трубчатых пружин с постоянным и переменным по длине сечением.
Установлено, что увеличение толщины стенки и отношения радиуса бокового закругления сечения к малой полуоси ведет к увеличению частоты собственных колебаний, а увеличение радиуса кривизны центральной оси,
центрального угла и отношения малой полуоси к большой - к уменьшению частоты.
Установлено, что манометрические пружины с переменным сечением, изменяющимся от восьмеркообразного до плоскоовального, и пружины, изготовленные из конических трубок, имеют частоты собственных колебаний на 20-40% выше, чем аналогичные постоянного сечения.
Доказано, что влиянием внутреннего избыточного давления (не превышающим номинального) на собственные частоты можно пренебречь.
Получены значения коэффициента, учитывающего влияние наконечников на частоты собственных колебаний.
Достоверность результатов работы обоснована применением известных уравнений и подтверждается результатами численных экспериментов, а также экспериментальными исследованиями частот собственных колебаний, проведенными на латунных и стальных трубчатых пружинах постоянного поперечного сечения с диапазоном давлений от 0,06 МПа до 10 МПа и на нескольких образцах латунных манометрических пружин разных типов с переменным по длине сечением.
Практическая ценность работы.
Разработанный метод расчета и созданный пакет прикладных программ дает возможность определения частот собственных колебаний и других технических характеристик у пружин с переменным по длине сечением и тем самым позволяет такие конструкции пружин внедрить в производство.
Предложенный коэффициент позволяет учитывать влияние наконечника на собственные частоты в зависимости от отношения масс наконечника и трубки манометрической пружины.
Созданный комплекс прикладных программ «ПКРМТП» для расчета манометрических трубчатых пружин постоянного и переменного сечения внедрен на Томском манометровом заводе ОАО «Манотомь».
Апробация работы и публикации. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на конференциях «АПК в XXI веке: действительность и перспективы» (г. Тюмень, 2004), «Нефть и газ. Новые технологии в системах транспорта» (г. Тюмень, 2005), «АПК в XXI веке: действительность и перспективы» (г. Тюмень, 2005), «Аграрная политика на современном этапе» (г. Тюмень, 2007), на производственном совещании конструкторского бюро ОАО «Манотомь» (2007), на расширенном заседании кафедры общетехнических дисциплин ТюмГСХА (2007), на научном семинаре кафедры математического моделирования ТюмГУ (2007). По теме диссертации опубликовано шесть статей. Получен патент на изобретение и свидетельство об официальной регистрации программы ЭВМ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка литературы из 140 наименований и приложений. Общий объем работы составляет 137 страниц.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В первой главе рассмотрены устройство и принцип действия манометрической трубчатой пружины, дан обзор известных форм поперечных сечений и наиболее распространенных конструкций пружин. Приведен обзор работ в области манометрических трубчатых пружин, рассмотрены решения задачи собственных колебаний стержней и оболочек.
Показано, что определение собственных частот колебаний манометрических трубчатых пружин с переменным по длине сечением отсутствует. Кроме того, отсутствуют результаты экспериментальных исследований частот собственных колебаний, что не позволяет оценить результаты теоретических исследований.
Это позволило сформулировать цель работы и основные задачи исследования.
Во второй главе рассмотрены два способа определения частот собственных колебаний манометрической трубки. Первый способ (энергетический) применим для пружин с постоянным поперечным сечением. Трубчатая пружина рассматривается как механическая система с двумя степенями свободы, за обобщенные координаты приняты относительный угол
раскрытия пружины <р = — и величина изменения малой полуоси поперечного
сечения wo- Уравнения движения пружины получены из уравнений Лагранжа второго рода.
В результате решения этой системы уравнений получены выражения для определения первых двух частот собственных колебаний, соответствующих изгибу стержня и деформации контура поперечного сечения.
Второй метод (стержневой) применим и для пружин с поперечным сечением, переменным по длине центральной оси. Здесь трубчатая пружина рассматривается как тонкостенный стержень, изогнутый с постоянным радиусом, совершающий колебания в плоскости кривизны. Уравнения движения (в соответствии с принципом Даламбера) получены из равенств нулю сумм, соответствующих проекций всех сил, приложенных к элементу пружины (с учетом силы инерции) на нормаль и на касательную. В результате решения этой системы получен определитель, зависящий от частоты собственных колебаний. Те значения частот, при которых определитель равен нулю, действительно являются частотами собственных колебаний манометрической трубчатой пружины. Составляющие перемещений элементов пружины представлены в виде базисных функций из п слагаемых, удовлетворяющих граничным условиям.
В результате численных экспериментов исследована сходимость расчетных значений собственных частот, показано, что при увеличении количества базисных функций значение собственной частоты стремится к предельному значению. Показано, что для получения удовлетворительного результата для первой частоты достаточно удерживать по пять базисных
функций. На основе этого способа определения частот собственных колебаний составлены алгоритм и программа для ЭВМ. Коэффициент Кармана для трубчатой пружины определялся по полубезмоментной теории оболочек по формуле, предложенной Э.Л. Аксельрадом.
Кроме того, проведено сравнение теоретических значений частот собственных колебаний манометрических трубчатых пружин без наконечников, полученных обоими способами. Сравнение показало, что разница между собственными частотами, полученными обоими методами при значениях параметра кривизны и тонкостенности Цо<8-10, менее 10%. С увеличением этого параметра разница между методами увеличивается, причем энергетический метод, в сравнении со стержневым, дает большие значения частот.
Так же во второй главе исследуется влияние геометрических характеристик трубчатых пружин с постоянным поперечным сечением на частоты собственных колебаний, показано, что увеличение толщины стенки трубки h и отношения радиуса бокового закругления сечения к малой полуоси Ы/Ь ведет к увеличению частоты собственных колебаний, а увеличение радиуса кривизны центральной оси пружины R, отношения большой полуоси к малой а/Ь, центрального угла пружины у влечет уменьшение частоты собственных колебаний манометрической трубчатой пружины. Эти зависимости можно объяснить тем, что с увеличением жесткости пружины увеличивается и частота собственных колебаний. Для пружин с переменным по длине поперечным сечением установлено, что уменьшение толщины стенки трубки от закрепленного конца к свободному, а также уменьшение радиуса трубки-заготовки от закрепленного конца к свободному приводит к увеличению частоты собственных колебаний. Сравнение манометрических пружин с изменяющейся формой поперечного сечения по длине пружины показало, что наибольшей частотой собственных колебаний обладают манометрические пружины, сечение которой изменяется от восьмеркообразного (в закреплении) до плоскоовального (на свободном конце).
11 В третьей главе проведено экспериментальное исследование влияния внутреннего давления на частоты собственных колебаний латунных и стальных манометрических пружин с диапазоном рабочих давлений до 10 МПа. Доказано, что влиянием внутреннего давления на собственные частоты колебаний можно пренебречь. При сравнении значений частот, полученных теоретически и экспериментальным путем, обнаружено расхождение в значениях, причем расхождение значительнее для тонкостенных трубчатых пружин. Сравнение теоретических значений частот и экспериментальных, полученных по манометрическим пружинам без наконечников, показало хорошее согласование. Поэтому предложен коэффициент, учитывающий влияние наконечника, величина которого зависит от отношения масс наконечника и трубки-заготовки. Значения этого коэффициента получены экспериментально для стальных и латунных пружин и аппроксимированы полиномом второй степени. Исследование показало, что увеличение отношения массы наконечника к массе трубки ведет к уменьшению частоты собственных колебаний манометрических трубчатых пружин.
С целью оценки достоверности предложенного метода расчета проведено экспериментальное исследование частот собственных колебаний манометрических трубчатых пружин с переменным по длине сечением с наконечниками. При проведении эксперимента использовались шесть образцов манометрических пружин с переменным плоскоовальным и переменным В-образным сечением. Расхождение между экспериментальными и теоретическими значениями, учитывающими влияние наконечников, не превысило 7%.
В заключении кратко изложены обладающие научной новизной положения диссертации и наиболее значимые результаты, полученные в работе.
Исследования манометрических трубчатых пружин
Исследования манометрических трубчатых пружин Свойство кривой сплющенной трубки распрямляться под действием внутреннего давления было открыто в 1845 году немецким инженером Германом Шинцем (в Германии эта трубка долгое время называлась его именем [132]). Независимо от Шинца в 1950 году, подавая давление в трубчатый змеевик со сплющенным поперечным сечением, это свойство открыл французский механик Бурдон, подробно описав это явление в работе [108]. Этот эффект и был положен в основу первого манометра, запатентованного в 1851 году Бурдоном. Первый манометр представлял собой двухвитковую латунную сплющенную трубку с закрепленным в держателе концом, к которому подводилось давление. Второй закрытый конец был снабжен указателем, который при подаче внутрь трубки давления перемещался по шкале. Позднее длина трубки была значительно уменьшена за счет применения множительного механизма, и теперь одновитковые трубчатые пружины известны как пружины Бурдона. Долгое время не было дано объяснения свойствам манометрических трубок. Первая теоретическая работа, посвященная расчету пружин Бурдона, была опубликована в 1872 году Хиллом [116], где с геометрических позиций объяснена причина распрямления пружины под действием давления. Угол раскрытия пружины Ау определялся следующим образом: Ar = rf, (1.3) где у - центральный угол пружины; АЬ - изменение малой полуоси сечения; Ъ -малая ось поперечного сечения.
Таким образом, в постановке Хилла деформация сечения под действием давления и кривизна центральной оси являются основными факторами, обуславливающими действие пружины.
Первая расчетная теория манометрических пружин, по-видимому, принадлежит Лоренцу [121, 122]. Однако с вычислением тягового момента по безмоментной теории и пренебрежением деформацией сечения при расчете изгибной жесткости не были получены результаты, сходные с опытом.
Влияние деформации поперечного сечения тонкостенного криволинейного стержня на изгибную жесткость впервые было исследовано в работах Т. Кармана [118 ,119]. Различие изгибной жесткости от жесткости, вычисленной без учета деформации сечения, для трубок Бурдона эллиптического сечения в работе Кармана [119] учтено путем введения специального коэффициента в известную формулу сопротивления материалов: U К,= (1.4) 1 (h_R) V2 \r ) M = KkJE -J h 10+12 где Kk - коэффициент Кармана; J- момент инерции сечения относительно большой оси симметрии сечения; Е - модуль упругости первого рода; \/R, X/R -кривизна оси трубки соответственно до и после деформации; h - толщина трубки; г - приведенный радиус трубки.
Анализу ранних работ по теориям трубчатых пружин посвящена статья И.В. Мещерского [53].
Таким образом, в ранних работах, посвященных пружинам Бурдона, авторами не предложена приемлемая для расчета и проектирования теория, позволяющая оценить чувствительность и напряженное состояние пружины с удовлетворительной для практики точностью.
Первое решение, позволяющее рассчитать манометрическую пружину с удовлетворительной для практики точностью, опубликовано В.И. Феодосьевым в 1940г [93]. Это была первая монография по трубке Бурдона, содержащая достаточно полное описание геометрии пружины, принципа ее действия и полный исторический очерк исследования проблемы, четкую формулировку задачи и, главное, метод расчета тонкостенных эллиптических трубок на основании метода Ритца. Задача рассматривается в линейной постановке с использованием принципа минимума потенциальной энергии системы.
Исходя из того, что реальные трубки достаточно длинны и влиянием концевых диафрагм можно пренебречь, В.И. Феодосьев, наряду с общеизвестными гипотезами теории тонких оболочек о прямой нормали и надавливании слоев, ввел гипотезу о недепланируемости сечений. В выражении для деформации не учтена та ее часть, которая вызвана равномерным продольным растяжением трубки силой, равной произведению площади сечения в «свету» на давление. Допущение, которое в отличие от предыдущих не является очевидным и обоснованным, заключается в том, что В. И. Феодосьев считает контур сечения не растягивающимся, а лишь искривляющимся.
Во второй монографии В. И. Феодосьева [94] решается задача расчета трубок Бурдона с сильно вытянутым сечением и сравнительно большей толщиной стенки. Эта задача приведена через уравнения Эйлера к решению обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Исследования собственных колебаний труб в рамках теории тонкостенных оболочек
Рассмотренные выше результаты исследований изгибных колебаний прямолинейных и криволинейных труб, основанные на элементарной теории стержней, построены на допущении о недеформируемости поперечного сечения трубы с относительно толстыми стенками. Колебания тонкостенных труб большого диаметра оцениваются на основе теории тонких оболочек -цилиндрических замкнутых для прямолинейных труб и тороидальных для г—-- 41 криволинейных.
Уравнения движения линейной теории колебаний тонких оболочек были получены в конце XIX века А. Лявом [123], использовавшим для этой цели полученные им уравнения равновесия элемента оболочки и принцип Даламбера. Сложность и громоздкость решения этих уравнений затрудняли их использование в инженерных расчетах, поэтому дальнейшее развитие теории колебания тонких оболочек пошло по пути упрощения уравнений и расчетных схем за счет введения различных допущений. Наиболее полно оказалась разработанной теория колебаний цилиндрических оболочек. Так, в системе из трех дифференциальных уравнений движения замкнутой круговой цилиндрической оболочки в перемещениях (и - продольное перемещение, V -окружное и w - радиальное) пренебрегается только силами инерции вращения. Эти дифференциальные уравнения, полученные В. Флюгге [96], считаются наиболее полными.
Решение системы уравнений движения оболочки должно быть гармонично по времени и периодично по окружной координате. Поэтому В. Флюгге представил решение для оболочки с шарнирно закрепленными концами в виде рядов Фурье. При этом существен тот факт, что каждый член сам по себе удовлетворяет уравнениям движения, а именно: п Ц и = Acosmvcos——s\nat г ХЕ v = Ssinm#sin—sincot г ЛЕ w = С cos т в sin—sin cot (1.13)
Это решение позволяет удовлетворить на концах оболочки условиям:
Подстановка решения (1.13) в уравнения движения дает систему трех линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд А, В и С. Равенство нулю определителя этой системы приводит к уравнению третьей степени относительно квадрата круговой частоты оболочки со2: що6 + a2ci)4 + ахсо2 + aQ = 0, (1.14) где коэффициент а,- получается при раскрытии определителя системы.
Полученное В. Флюгге решение довольно громоздко, малообозримо, и поэтому оно не получило широкого применения в инженерной практике. Практически приемлемые решения были основаны на системе уравнений движения В. Флюгге и получены с помощью введения дополнительных допущений. Так, предложенный В.З. Власовым [27] вариант уравнений движения получен за счет отбрасывания некоторых малых членов. Полученные таким образом уравнения были использованы для определения частот свободных колебаний цилиндрических оболочек [60].
Более радикальное упрощение было получено за счет дополнительного отбрасывания в уравнениях малых членов. Полученные уравнения, названные по имени своих авторов уравнениями Доннела-Муштари-Власова, известны еще под названием уравнений теории пологих оболочек [27,55,58,60]. В этих уравнениях, помимо малых членов в левой части, отброшены также правые части первых двух уравнений движения, т.е. пренебрегается тангенциальными составляющими сил инерции.
Несмотря на введенные упрощения, схема решения уравнений движения цилиндрических оболочек осталась аналогичной схеме решения В. Флюгге, и результат решения сводится также к кубическому уравнению типа (1.14).
Обобщение линейной теории колебания цилиндрических оболочек и подробный обзор исследований в этой области, основанных на уравнениях В. Флюгге, а также на уравнениях теории пологих оболочек, приведен в работе О.Д. Ониашвили [59]. Там же приведены многочисленные примеры расчета, результаты экспериментальных и натуральных исследований.
Определение потенциальной энергии деформации
Определение потенциальной энергии деформации На рис.2.2,а показан участок пружины с центральным углом d6, выделенный двумя нормальными сечениями. Продольными сечениями выделим из него бесконечно малый элемент (рис.2.2,б), который, согласно гипотезе о ненадавливании волокон, находится в плоском напряженном состоянии. Удельная потенциальная энергия и при двухосном напряженном состоянии выражается через компоненты деформаций [14]: U = 2(l-v/g + + 2// (2Л) где єх и єг - относительные деформации в направлении главных осей 1 и 2 (рис.2.2, б); Е - модуль упругости; /л - коэффициент Пуассона материала пружины.
Продольные деформации были подробно изучены выше, теперь рассмотрим поперечные деформации бесконечно малого элемента трубчатой пружины (рис.2.2), возникающие при работе пружины. При подаче давления во внутреннюю полость поперечное сечение пружины деформируется, стремясь к окружности. Кроме продольных деформаций в манометрической пружине возникают поперечные, связанные с изгибом стенки пружины в поперечном направлении. Определим величину относительного удлинения в направлении, касательном к контуру поперечного сечения. На рис. 2.3 изображен участок контура сечения пружины.
Радиус кривизны контура сечения до деформации обозначим Rj. Рассмотрим произвольное волокно CCj, находящееся на расстоянии z от среднего контура сечения. Из подобия треугольников АА]0 и CCiO получим: СС ds R,+z R = TS CC,= 1 J ds.
После деформации волокно CCj удлинится до некоторой величины СС/. Радиус кривизны сечения будет i - Значение z останется неизменным, дуга ds
Так как по условию тонкостенности оболочки h«b и b«Rj, az h/2, то Я, z«R/. Тогда величиной — по сравнению с единицей можно пренебречь, получим: є2= Z \ О
Если обозначить изменение кривизны в произвольной точке А средней линии поперечного сечения через hK, то относительная деформация в точке С волокна, находящегося на расстоянии z от средней линии, будет равна e2=z-AK. (2.3)
При этом деформации растяжения среднего контура поперечного сечения не учитываются вследствие того, что они малы по сравнению с изгибными деформациями. Это подтверждается тем, что пружины круглого сечения практически не изгибаются под действием давления.
Выражение (2.1) - это выражение потенциальной энергии, отнесенной к единице объема. А так как нам нужна энергия элемента пружины, то удельную энергию (2.1) умножим на объем этого элемента. Потенциальная энергия бесконечно малого элемента будет равна dU = u-dV, (2.4) где, в соответствии с допущением 4, объем элемента равен dV=Rd6dsdz, (2.5) Потенциальная энергия деформации U пружины Бурдона с центральным углом у определится интегрированием величины dU по объему пружины: h U = і Г2\ {jW + si + 2ілєхє2)isdzt (2.6) А1 Iі )_h0 2 где h - толщина стенки трубки; s - длина дуги средней линии контура поперечного сечения. Подставив (2.2) и (2.3) в уравнение (2.6) и произведя интегрирование по переменной z, получим: U = -(AKf J {w-yvf (2.7) ds, Ehy // 42 R2h2 24V);
Это уравнение содержит три неизвестных: (р - относительный угол поворота пружины; w - перемещение произвольной точки контура поперечного сечения в направлении малой полуоси сечения; АК- изменение кривизны в произвольной точке среднего контура сечения.
Перемещение w, изменение кривизны АК определяются деформацией контура поперечного сечения. Между ними можно найти связь и уменьшить число неизвестных в уравнении. Величина АК может быть выражена аналитически через w.
В соответствии с методом Ритца зададимся приближенно формой искривления контура поперечного сечения пружины. Примем, что поперечное сечение пружины Бурдона деформируется по тому же закону, что и контур прямолинейной трубки, находящейся под действием внутреннего давления.
Если из прямой трубки двумя близкими сечениями выделим элементарное кольцо, то получим замкнутый стержень, нагруженный некоторой распределенной нагрузкой (рис. 2.4, а).
Исследование собственных частот колебаний трубчатых пружин постоянного поперечного сечения
Для оценки эффективности предложенного метода расчета и пакета прикладных программ необходимо провести сравнение расчетных значений с экспериментальными данными. В табл. 3.11 приведены значения частот собственных колебаний манометрических трубчатых пружин с поперечным сечением, переменным по длине центральной оси, полученные экспериментально для пружин с наконечниками и теоретически с учетом влияния наконечника.
Влияние наконечника на собственные частоты колебаний трубчатых пружин учитывалось умножением значения частоты пружины без наконечника на коэффициент понижения собственной частоты К, выбираемый по графику этого коэффициента (рис.3.8) в зависимости от отношения массы наконечника к массе трубки пружины т/М. где vpH - расчетная собственная частота колебаний с учетом влияния наконечника; Ур,бн расчетная собственная частота колебаний без учета наконечника. Для определения величины отклонения расчетного значения частоты от экспериментального используем формулу: v„.. -к. A = - 100% .tl 1 Ґ\Ґ\П / V3.H (3.8) где v3H - экспериментальная собственная частота колебаний пружины с наконечником;
Сравнивая экспериментально полученные значения собственных частот колебаний пружин с наконечниками и рассчитанные по формуле (3.9), можно сделать вывод, что значения частот хорошо согласуются. Наибольшее отклонение расчетного значения от экспериментального не превышает 7%. На основании этого можно сделать вывод, что предложенный метод расчета может быть с успехом применен для расчета собственных частот колебаний манометрических трубчатых пружин.
Выводы
1. Проведено экспериментальное исследование влияния внутреннего избыточного давления на собственные частоты колебаний трубчатых пружин. Установлено, что влияние внутреннего давления на собственные частоты колебаний латунных и стальных пружин с номинальным рабочим давлением незначительно.
2. Отклонение расчетных значений собственных частот колебаний манометрических пружин от экспериментальных данных по пружинам с наконечниками оказалось в пределе от 10 до 85%, причем отклонение особенно велико для тонкостенных пружин. Отклонение расчетных значений от экспериментальных, полученных для образцов без наконечников, составило не более 5% во всем диапазоне пружин. Это указало на необходимость учета влияния наконечника на собственные частоты колебаний.
3. Учитывать влияние наконечников предложено коэффициентом понижения частоты, зависящим от отношения массы наконечника к массе трубки, которое для подопытных образцов составляет от 0,1 до 0,96. Экспериментальные зависимости данного коэффициента от отношения масс для латунных и стальных пружин аппроксимированы полиномом второй степени и представлены в виде графика. С целью повышения вибростойкости трубчатых пружин необходимо стремиться уменьшать массу наконечников.
4. Расчетные значения собственных частот колебаний трубчатых пружин переменного по длине сечения с учетом влияния наконечников хорошо согласуются с экспериментально полученными значениями, отклонения не превышают 7%. Это говорит о том, что предложенный метод расчета может быть с успехом применен для определения собственных частот колебаний манометрических пружин с переменным сечением.
