Содержание к диссертации
Введение
1. Применение метода граничных состояний для анализа гармонических полей 16
1.1. Пространство внутренних состояний гармонической среды 16
1.2. Пространство граничных состояний 20
1.3. Скалярные произведения в пространствах состояний 21
1.4. Решение краевых задач методом граничных состояний . 24
1.4.1. Задача Дирихле 25
1.4.2. Задача Неймана 26
1.4.3. Смешанная граничная задача 27
1.4.4. Основная смешанная задача 28
Выводы по главе 29
2. Анализ кручения призматического тела методом граничных состояний 31
2.1. Постановка задачи кручения призматических стержней . 31
2.2. Пространства состояний в задаче кручения стержней 34
2.3. Формулировка метода граничных состояний для задач кручения стержней 35
2.4. Кручение стержня квадратного сечения 36
Выводы по главе 45
3. Анализ электростатического поля методом граничных состояний 47
3.1. Основные соотношения электростатики 47
3.2. Пространства состояний электростатической среды 48
3.3. Формулировка метода граничных состояний для задач электростатики 50
3.4. Решение задач электростатики для куба 50
3.4.1. Задача с граничным значением потенциала из базиса . 56
3.4.2. Задача с гладким значением потенциала 57
3.4.3. Задача с непрерывным значением потенциала 60
3.4.4. Смешанная задача 64
3.5.Асимптотическое и феноменологическое исследование устойчивости метода граничных состояний 66
Выводы по главе 68
4. Анализ безвихревого движения идеальной жидкости методом граничных состояний 70
4.1. Основные соотношения потенциального течения идеальной жидкости 70
4.2. Пространства состояний в задаче о потенциальном течении идеальной жидкости 72
4.3. Формулировка метода граничных состояний для задач о потенциальном течении идеальной жидкости 73
4.4. Движение жидкости в кубическом объеме 74
4.4.1. Преимущественно прямой дебет 75
4.4.2. Равномерный дебет 76
4.4.3. Боковой дебет 77
4.4.4. Донный дебет 78
4.4.5. Полудонный дебет 78
4.4.6. Задача о двух трубах 80
4.4.7. Основная смешанная задача 80
Выводы по главе 82
Заключение 83
Литература
- Пространство граничных состояний
- Пространства состояний в задаче кручения стержней
- Пространства состояний электростатической среды
- Пространства состояний в задаче о потенциальном течении идеальной жидкости
Введение к работе
Актуальность исследования. При постановке краевых задач математической физики кроме разрешающих уравнений для среды используются дополнительные условия (граничные, начальные), призванные выделить единственное решение из всех возможных.
Общепринятые методы решения краевых задач (Ритца, конечных элементов, Бубнова-Галеркина, наименьших квадратов, Канторовича, Филоненко-Бородича, граничных интегральных уравнений, граничных элементов) имеют свои достоинства и недостатки. Эти методы, даже для самых простых задач, формируют погрешность решения, обусловленную самим методом. Кроме того, механическое наращивание удерживаемого отрезка базиса во всех этих методах ведет к потере устойчивости. Разработка метода, лишенного этих недостатков, хотя бы на классах основных задач, является назревшей и актуальной задачей.
Метод, призванный выделить (распознать) единственное состояние из всего пространства состояний, получил название метода граничных состояний (МГС), идеология которого в применении к задачам механики деформируемого твёрдого тела была выдвинута сравнительно недавно. Центральными пунктами этого подхода для описания среды явилось понятие внутреннего состояния, а для описания тела – понятие граничного состояния. Таким образом, для МГС актуальными являются два аспекта: моделирование состояний среды и распознание состояния, соответствующего граничным условиям.
В данной диссертации метод граничных состояний разработан в применении к полям, ассоциированным с уравнением Лапласа. Поле или среду такого типа будем называть гармоническим полем или гармонической средой.
МГС обеспечивает возможность построения решения основных задач для тел разнообразных конфигураций простыми средствами. Кроме того МГС имеет достоинство, присущее всем общепринятым методам – он также является общим. Поэтому его можно положить в основу разработки специальных методов решения новых классов задач, таких, как задачи об оптимизации формы тел, задачи с подвижными границами и др. Эта возможность также свидетельствует об актуальности темы.
Целью диссертационной работы является разработка метода граничных состояний для гармонических сред, исходящего из моделирования гармонических сред и позволяющего идентифицировать состояние среды, отвечающее условиям на границе тела.
Объекты исследований:
метод граничных состояний в применении к гармоническим средам;
конкретные физические среды: упругая среда, возникающая при кручении призматического тела, электростатическое поле, идеальная жидкость.
Задачи диссертационной работы:
конструирование изоморфных базисов пространств внутренних и граничных состояний гармонической среды;
определение скалярных произведений и установление гильбертова изоморфизма пространств;
постановка краевых задач для уравнения Лапласа в терминах МГС;
адаптация понятий МГС к конкретным физическим средам (упругая среда, возникающая при кручении призматического тела, электростатическое поле, идеальная жидкость) и решение конкретных физических задач.
Научная новизна содержится:
в способе построения скалярных произведений в пространствах внутренних и граничных состояний для гармонических сред;
в формулировке краевых задач для гармонических сред в терминах МГС и в построении разрешающей системы уравнений;
в адаптации понятий МГС к конкретным физическим средам (упругая среда, возникающая при кручении призматического тела, электростатическое поле, идеальная жидкость), постановке и решении конкретных новых задач (смешанные задачи электростатики и гидродинамики);
в анализе влияния класса граничных условий на сходимость метода и обосновании устойчивости решения бесконечной системы уравнений методом усечения.
Теоретическая ценность заключена:
в разработке МГС для решения разнообразных краевых задач для уравнения Лапласа;
в построении единой идеологии для формулировки и решения различных задач;
в решении новых задач для известных сред (смешанные задачи электростатики и динамики).
Практическая ценность заключена:
в однократности построения «тела в смысле МГС» (под которым понимается ортонормированный базис пространства внутренних состояний), после чего для него можно решать разнообразные задачи, исходя из единого подхода;
в однократности построения «скелета задачи», под которым понимается совокупность «тела в смысле МГС» и структуры разбиения границы тела на классы по типу граничных условий, удерживаемых на каждом из классов. После этого варьирование условий на границах в пределах заданных классов не требует трудоёмкого пересчёта коэффициентов разрешающей системы уравнений, а всего лишь пересчёта правых частей уравнений;
в анализе влияния класса функций (дважды дифференцируемые, гладкие, непрерывные), описывающих условия на границе, на сходимость решения и выработке практических рекомендаций по оценке длины удерживаемого отрезка базиса;
в практически приемлемом способе обоснования устойчивости решения бесконечных систем уравнений методом усечения;
в обнаружении ситуаций, наблюдаемых в основных краевых задачах, когда матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений оказывается скалярной и исчезает необходимость решения бесконечной системы алгебраических уравнений, так что решение задач сводится к рутинному вычислению квадратур, что позволяет уточнять решение посредством механического наращивания базиса без потери устойчивости;
в решениях серии задач для конкретных физических сред.
Достоверность результатов решения гарантируется рядом факторов. Во-первых, на этапе подготовки разрешающей системы уравнений проведена выверка промежуточных данных после каждой операции, что возможно благодаря их аналитическому виду. Во-вторых, граничное состояние, отвечающее решению, обязательно содержит в себе заданные граничные условия, как атрибут граничного состояния, что позволяет судить не только о достоверности решения, но и об уровне допущенных погрешностей. В-третьих, о достоверности позволяет судить традиционный подход, основанный на сравнении с известным решением, построенным другим методом.
Основные результаты, выносимые на защиту:
Метод граничных состояний для анализа гармонических сред.
Формулировка краевых задач для уравнения Лапласа в терминах метода граничных состояний (задача Дирихле, задача Неймана, смешанная граничная задача, основная смешанная задача).
Решение серии задач: о кручении стержня, о восстановлении электростатического поля, о прохождении жидкости через кубическую область с различными дебетными режимами.
Исследование влияния класса граничных условий на точность результата при фиксированном отрезке базиса пространства состояний и феноменологическое обоснование устойчивости.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались: на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения-XVII» (Воронеж, 2006); на МНТК «Прогрессивные технологии и оборудование машиностроении и металлургии» (Липецк, 2006); на МНТК «Энергетика и энергоэффективные технологии» (Липецк, 2006); на МНТК «Современная металлургия начала нового тысячелетия» (Липецк, 2006); на МНК «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2006); на региональной научно-практической конференции «Молодые ученые – производству» (Старый Оскол, 2006); на конференции «Роль естественных наук в инновационном развитии региона» (Липецк, 2006); на объединённом научном семинаре кафедр прикладной математики, информатики, теоретической механики (Липецк, 2006).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 научных статей, в том числе 3 без соавторов. Одна работа опубликована в издании рекомендованном ВАК. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит: в [2], [3] – разработка метода и компьютерных алгоритмов решения задачи восстановления внутреннего состояния по информации, содержащейся в граничном состоянии для гармонических полей; в [4] – алгоритм и компьютерная реализация метода генерирования базиса внутренних состояний; в [5] – постановка задач для физических гармонических сред в терминах МГС; в [8] – постановка основных задач в терминах МГС и построение решений.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 56 наименований и содержит 92 страницы, 39 рисунков, 4 таблицы, 3 приложения.
Пространство граничных состояний
Рассмотрим состояние гармонической среды, заключенной в области V физического пространства, ограниченной поверхностью 5V.
Каждый элемент пространства Н оставляет свой след (проекцию) на границе 6V тела, который принимаем в качестве элемента у пространства граничных состояний Г. Это отображение устанавливает одностороннее соответствие элементов пространств Е, Г: \ -» у. Ниже под граничным состоя ниєм будем понимать конкретно набор характеристик: 1) значение потенциала ф на границе тела, и 2) производную по направлению внешней нормали к границе — = gradфn, (п = {пх,п,п7) - единичный вектор внешней норма дп у ли): T-{qA. (1.3) По построению, пространство граничных состояний оказывается линейным относительно операций Зп дп ау = {аф,а—}єГ. дп
Известно (см., напр., [7]), что решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона единственно, т.е. по граничному значению потенциала можно восстановить его распределение внутри тела. Следовательно, каждому граничному состоянию также единственным образом соответствует внутреннее состояние: у - b,. Таким образом, между линейными пространствами внутренних и граничных состояний установлен изоморфизм Н о Г, причем выполнены свойства 1)+(2) _ у0)+у(2) а 0ау. (1.4)
Итак, пространства внутренних и граничных состояний являются бесконечномерными линейными сепарабельными и изоморфными.
Для определения скалярных произведений в пространствах внутренних и граничных состояний обратимся к теореме Гаусса - Остроградского, связывающей между собой интеграл по области от дивергенции вектора - градиента дважды дифференцируемой функции и поток векторного поля градиента через границу области: JdivgradUdV= fgradU-ndS. (1.5) v av
Для обеспечения обязательных свойств у скалярных произведений требуется организовать «равноправное» вхождение атрибутов состояний обоих пространств в структуру функции U(x,y,z). Простейшим вариантом такой организации является форма, определяемая произведением гармонических потенциалов из двух различных состояний: и = фУ2)- (1.6) При этом справедливы соотношения grad U = grad ф(,)ф(2) = ф() grad ф(2) + ф(2) grad ф(), div grad U = AU = Д(ф()ф(2)) = 2gradф(1) gradф(2), и равенство (1.5) приобретает вид 2jg (,)-g (2)dV= l(q (]) gradq {2) +ц{2) grad(p(]))-ndS. (1.7) V 3V
Легко проверить, что выражение в левой части равенства (1.7) удовлетворяет всем свойствам скалярного произведения, а именно: гагіф() gradф(2) dV = гагіф(2) gradф(l) dV, v v Jgrad(9(1) +ф 2)) гагіфгіУ= ] гагіф() гагіфгіУ + гагіф(2) -gractydV, V V V Jgrat ouj/1 ) gradф(2) dV = a jgracfcp(l) grad(p(2) dV, v v І гагіф)2 dV 0, f (gradф)2 dV = 0 о ф = const. v v Итак, в пространстве внутренних состояний скалярное произведение дается определением ($( (2))a=2jgrad9(,).grad(p(2)dV. (1.8) v
Очевидно, что правая часть равенства (1.7) определяет скалярное произведение в пространстве граничных состояний
Пространства состояний в задаче кручения стержней
За состояние \ призматического стержня при кручении отвечают полевые характеристики, удовлетворяющие определяющим соотношениям (2.6), (2.7). В качестве таковых примем набор из функции напряжений и компонентов тензора напряжений: = {ф,тХ7,ту2}. Совокупность всех возможных состояний образует пространство внутренних состояний Е. Оно линейно в силу линейности (2.1), (2.2). Нулевым элементом пространства служит неде-формированное состояние 0Н = {const,0,0). След внутреннего состояния на границе тела определяет граничное состояние у = { p,tnz,Tsz}, где inz,Tsz - касательные напряжения на границе dS сечения, отнесенные к естественной системе координат «нормаль - касательная», построенной на контуре сечения. Они выражаются через граничные значения компонент тензора напряжений известным образом: _Эф __ __ Ф о лп\ где n,s - единичные векторы нормали и касательной соответственно. Пространство граничных состояний Г также линейно.
В силу единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа между пространствами Н,Г установлено взаимно - однозначное соответствие: Е - Г. Введем в пространстве 5 скалярное произведение элементов посредством интеграла по площади сечения (5(,),5(2))a = 2j(T iVi + V»)dS, (2.13) S в котором верхние индексы соотносят характеристики с различными состояниями. Как видим, физическим смыслом скалярного произведения является внутренняя энергия упругого деформирования. Учитывая (2.12),(1.9), в пространстве Г скалярное произведение определим контурным интегралом: а (2) а (I) (Y"\Y(2,)r= f(, - + „C )d = -J(,« T2 + PfflTn )dl. (2.14) as Sa дп ffi Теорема Остроградского - Гаусса (1.5) обеспечивает равенство обоих произведений (2.13), (2.14) ( ЄИЛУ(2,)П что делает оба бесконечномерных евклидовых пространства 5, Г изоморфными. Процедура пополнения делает их гильбертовыми.
Сепарабельность обоих пространств обеспечивается наличием у пространства гармонических функций счетного базиса. Считаем базисы пространств 5, Г ортонормированными. Тогда произвольное граничное и соответствующее ему по изоморфизму внутреннее состояние можно представить в виде разложения в ряды Фурье с общими коэффициентами =1 , Y=ckY(k), ck=(Y,Y(k,)r. (2.15) k=i k=i
Формулы (2.15) автоматически распространяются на все ингредиенты обоих пространств.
Решение краевой задачи о восстановлении внутреннего состояния , є Е по граничному состоянию у є Г сводится к вычислению коэффициентов Фурье в соответствии с (2.15). В общем случае разыскание коэффициентов удается свести к решению системы линейных алгебраических уравнений [20], [34].
Граничное условие (2.5) в терминах составляющих пространства граничных состояний принимает форму: ф5 Лцк(х2+у2). (2.16) В пункте 1.4.1 построено разрешающее уравнение МГС (1.16) для задачи Дирихле I(4j-«kj)cj=bk к = 1,2,3... Коэффициенты системы линейных алгебраических уравнений принимают конкретные формы Ьк=-іцк(х2+у2)т (11, akj=-J p(k)T$dl, (2.17) 1 DS as в которых верхним индексом в скобках помечены атрибуты элементов орто-нормированного базиса пространства граничных состояний, получаемые на основании строк табл. 1.2.
После решения системы (1.17) внутреннее состояние в сечении стержня восстанавливается рядами Фурье и, с учетом декомпозиции (2.7), функция напряжений и поля напряжений определяются как U=Zckcp(k)-iLiK(x2 + y2), k=l xz = 1 - , ст =скт( +цкх. (2.18) k=l к=1 Все остальные, в том числе и интегральные характеристики кручения, могут быть рассчитаны через соотношения (2.18).
Разумеется, скалярные произведения, ортонормированные базисы, коэффициенты системы уравнений, как и, собственно, решение системы, - все это возможно выполнить при конкретизации формы сечения стержня.
Поперечное квадратное сечение скручиваемого стержня изображено на рис. 2.1. Для получения решения в безразмерном виде характерный геометрический размер принят равным 1, поэтому в решении любая длина должна умножаться на реальный геометрический размер. С той же целью механическая характеристика кручения зафиксирована на уровне цк = 1, и для получения реальных значений напряжений результаты следует умножать на размерные значения цк. На рисунке изображено направление внешних нормалей на различных участках контура и определяемые этими направлениями соотно У іп as 1п с nz Ту/, nz "Txz "С nz xz nz yz n n 1 шения между компонентами тензора напряжений в естественных и декартовых координатах.
Пространства состояний электростатической среды
Перед решением задач все соотношения электростатики были приведены к безразмерному виду. Собственно, их форма при этом не изменяется, но геометрические размеры будем оценивать в масштабе а - стороны куба, потенциал - в масштабе ФО, напряженность - в Для ФО а масштабе EQ построения решения в среде Mathcad - 12 использовано содержимое табл. 1.1. Вычисление напря-женностей, соответствующих N = 24 состояни ям, проводилось в соответствии с определением (3.4) и сопровождалось проверкой условия jE-ndS = 0, SV согласно которому поток вектора напряженности через замкнутую поверхность, ограничивающую область, не содержащую зарядов, равен нулю.
Для проведения ортогонализации были выполнены все перекрестные скалярные произведения элементов базиса пространства внутренних состояний (матрица Грамма, табл. 3.1) в соответствии с его определением (3.8). Сам процесс ортогонализации проводился по схеме, использующей матрицу Грамма предварительно вычисленных перекрестных произведений G = е.. = to E(j) L NxN т.е. в соответствии со следующим алгоритмом:
а) заготавливаются нулевые матрица Н и ее вспомогательный «пред шественник» Н размерностью NxN;
б) на нулевом шаге ортогонализации кладется Н оо = 1, HQQ = І/Д/GQQ ;
в) выполняется перебор шагов ортогонализации к = 1... N. На каждом шаге проводятся вычисления в соответствии
г). По завершении перебора процесс формирования левого ортогонализирующего множителя для исходного базиса построен; для диагонального элемента полагается Н кк = 1 Поддиагональные элементы матрицы-«предшественника» вычисляются по правилу Hkn=-Z Z HjmGkmHjn,n = 0...k-l. j=0m=0 Вычисляется квадрат нормы к -го ортогонального элемента к к b = Z I HkjGjmH km j=0 m=0 и вся строка к ортогонализирующего множителя Н нормируется: Hkn=H kn/Vb.
Описанный алгоритм ортогонализации реализован в виде программного кода Mathematica 5 (Приложение 3).
Ортогонализирующий левый множитель Гильберта - Шмидта Н по т мещен в табл. 3.2. Проверка состоит в том, что произведение матриц HGH должно давать единичную матрицу (условие ортонормированности). Она показала высокую точность результата ортогонализации. Ортонормированный базис получен из исходного произведением левого матричного множителя как на исходный вектор, составленный из потенциалов, так и на матрицу из компонентов вектора напряженности. Выборочная свертка состояний также показала ортонормированность базиса.
Ортонормированный базис пространства граничных состояний также был получен посредством матричного произведения исходного базиса с левым множителем Н. Как и прежде, тестирование заключалось в вычислении потока вектора напряженности через замкнутую поверхность куба. Оно было выполнено для каждого состояния из базиса и показало высокую точность. Выборочно составлялись скалярные произведения граничных состояний из ортонормированного базиса: результат удовлетворил условию ортонормированности с высокой точностью.
В задаче о восстановлении электростатического поля по заданному на границе куба уровню потенциала (задача Дирихле) матрица коэффициентов оказалась близкой (на уровне погрешности вычислений) к половине от единичной, и симметричной: А = АТ. (3.13)
В силу ортонормированности базиса пространства граничных состояний и определения скалярного произведения (3.8) выполняется условие (здесь Е -единичная матрица): Е = А + В, (3.14) А = «kj akj=-j9(k4J)dS, dW В = Pki Pkj=-l9(JMk)dS. av Но из (3.14) следует, что А = ВТ, откуда получаем то, что наблюдалось в расчетах: А = ±Е. (3.15)
Таким образом, установлено, что матрицу коэффициентов А вычислять нет необходимости. Более того, решение сводится к вычислению вектора через определение (3.10) и его последующему удвоению: С = 2Х. (3.16)
Таким образом, решение задачи о восстановлении электростатического поля по заданному на границе куба уровню потенциала (задача Дирихле) свелось к рутинному вычислению квадратур.
В качестве тестовых были рассмотрены все задачи о значениях потенциалов из ортонормированного базиса, распределенных вдоль границы куба. Решение (3.16) безошибочно указывало на то, что ожидалось. Погрешность счета составила величину порядка 10", что лежит на пределе разрядной сетки мантиссы в компьютерном представлении действительного числа.
Рассмотрена задача с условием, представляющим собой линейную комбинацию потенциалов базиса: Ф=1акФ(к\ к=0 Как и в предыдущем случае, абсолютная погрешность вычисления коэффициентов Фурье составила величину порядка 10"9. Таков же порядок относительной погрешности. Приведем в качестве примера одно из таких решений. А именно, на гранях куба задан след от суммы трех внутренних состояний, определяемых компонентами ортонормированного базиса
Пространства состояний в задаче о потенциальном течении идеальной жидкости
И задача Кирхгофа (4.7),(4.8), и задача об обтекании тела (4.9),(4.10) представляют собой модификации задачи Неймана для уравнения Лапласа (4.6) для внешности односвязной полости в классе линейных на бесконечности потенциалов, подчиненных на ней дополнительному условию (4.8) либо (4.10). Для них необходимо готовить соответствующие счетные базисы состояний. В случае задачи для ограниченной односвязной области такие базисы подготовлены (табл. 1.1,1.2). Пусть идеальная потенциальная жидкость стационарно пересекает область V с границей 3V = SQUS]US2, где SQ очерчивает непроницаемые стенки канала, Sj,S2 соответствуют входному и выходному сечениям каналов. На границе заданы условия Неймана где x идентифицирует граничную точку. Условие согласованности входящего и выходящего потоков искусственно удовлетворять не надо, поскольку разложение по гармоническому базису обеспечивает его автоматически (интеграл по замкнутому контуру от гармонической функции, как известно, равен нулю). Требуется восстановить течение в канале V. В соответствии с изложенным в п. 1.3.2, обозначим ak= J(p (x)Vn(x)dS(x), pkj = jVJ)(x)V(k (x)dS(x). (4.14) av sv
Это приводит к системе линейных алгебраических уравнений (1.20), которую можно решать методом усечения. После отыскания коэффициентов Фурье внутреннее и граничное состояния восстанавливаются через ряды Фурье: q = Icj(p(j), V = XcjV(j\ Vn=ZcjVn(j). (4.15) J J J Сравнение вычисленного значения для Vn и соответствующего заданного значения является критерием достоверности выполненных расчетов и служит основой для оценки погрешности вычислений.
Сквозь область, имеющую форму куба с ребром а, протекает идеальная баротропная жидкость (рис.4.1). Входной поток на грани х = 0 имеет постоянную плотность Vn I _п = -VQ . Выходные потоки также кусочно постоянные (будут варьироваться от задачи к задаче), но суммарный расход в объеме должен равняться нулю, поскольку жидкость несжимаема. Принимая за масштабные коэффициенты величины a, VQ, VQ/Э соответственно протяженности, скорости и потенциала поля, переходим к безразмерной постановке задач.
Протекание жидкости сквозь кубическую область
Как следует из формулировки граничных условий, краевая задача в данном случае представляет задачу Неймана для уравнения Лапласа. Отрезок базиса из 48 трехмерных гармонических многочленов приведен в табл. 1.1. Его ортогонализация для рассматриваемой геометрии области проведена в третьей главе, поэтому повторные вычисления не выполнялись. В отличие от всех предыдущих случаев (пп.4.3.1-4.3.4), где, по-видимому было обнаружено строгое решение (об этом свидетельствуют низкий порядок аппроксимации и рациональность коэффициентов Фурье), в последней задаче решение найдено приближенное. Именно из-за ошибки аппроксимации на диаграмме скоростей наблюдается «всплеск» модуля скорости вблизи сингулярности границы - ребра куба х = 1, z = 1, что нефизично. 4.4.6. Задача о двух трубах
Две трубы одного диаметра (безразмерное значение 0.1) подведены к центрам Рис. 4.7. Эквипотенциали в задаче о двух трубах граней х = 0, z = 0 кубического резервуара. Считается, что входной и выходной потоки одинаковы и равномерно распределены по сечениям труб. Результат счета на базисе многочленов десятого порядка отображен на рис. 4.7 в виде распределения эквипотенциалей по срединному сечению «колена». Само выражение функции ф необозримо и здесь не приведено.
Основная смешанная задача
Жидкость поступает через сечение х = 0 с постоянной плотностью потока Vn = VQ . Истечение происходит через «дно» z = 0, причем только в нормальном направлении (ф _Q = const). Остальные грани непроницаемы. Граничные условия после масштабирования имеют вид: z=0 Vnx=o l Vny=0uy=lux=lvjz=1 (РІ7= Решение аппроксимировалось гармоническими многочленами шестого порядка. Расчет коэффициентов Фурье выполнялся решением системы линейных уравнения вида (1.29). Последующая линейная комбинация атрибутов ортонормированного базиса внутренних состояний дали достаточно громоздкий многочлен и по причине своей необозримости здесь не приводится. На рис. 4.8 изображено в плоскости x,z сечения у=0.5: а - трехмерный график изменения потенциала скорости, б - эквипотенциали, в - линии уровня модуля скорости, г - векторная диаграмма скоростей (при z 0.5).
Как видим из рисунков, потенциал скорости в решении несколько отличается от константы при z = 0, что требует повышения порядка аппроксимации. Искажение уровня потенциала привело к искажению картины распределения скоростей, которые отличны по направлению от вертикального на нижнем срезе рисунка 4.6,г. Рис. 4.6,в в целом правильно отражает величины скоростей: наблюдается застой в удаленном углу куба и, напротив, повышенный фильтрационный расход вблизи источника скоростного напора.
