Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исследования материалов и некоторые модели разномодульных сред .
1.1 Экспериментальные исследования разномодульных материалов 9
1.2. Модель Амбариумяна-Хачатряна разномодульной среды 11
1.3. Модель Джонса взвешенной матрицы податливостей 14
1.4. Модель Шапиро поведения разномодульной среды 16
1.5. Модель Толоконникова-Матченко разномодульной среды 17
1.6. Модель Ломакина-Работнова изотропной разномодульной среды 19
1.7. Одномерная модель колебаний разномодульных стержней 22
1.8. Модель Мясникова изотропной разномодульной среды 23
Глава 2. Определяющие соотношения модели Мясникова изотропно-упругой разномодульной среды .
2.1 Определяющие соотношения между деформациями и напряжениями 26
2.2. Соотношения между инвариантами тензоров деформаций и напряжений 30
2.3. Определение упругих параметров среды по значениям коэффициентов потенциала 32
2.4. Определение коэффициентов потенциала по значениям упругих параметров среды 33
2.5. Положительная определенность потенциала (тензорно-линейньш случай) 35
2.6. Положительная определенность потенциала в случае 38
2.7. Напряжения при изменении температуры (уравнения термоупругости) 40
2.8. Явление дилатации разномодульной среды при сдвиговом
напряженном состоянии 41
Глава 3. Численное моделирование поведения разномодульной среды методом конечных элементов .
3.1. Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии разномодульной
среды методом конечных элементов 47
3.2. Двумерная задача о плоском деформированном состоянии 50
3.3. Двумерная задача об осесимметричном напряженном состоянии 55
3.4. Трехмерная задача о напряженном состоянии 61
3.5. Итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений 68
3.6. Решение линейной системы уравнений 70
Глава 4. Результаты численных расчетов.
4.1. Одноосное растяжение и сжатие тонкостенных трубок из серого чугуна 72
4.2. Параметрическая зависимость модуля Юнга и коэффициента Пуассона разномодульной среды от коэффициентов потенциала 73
4.3. Упругий шар под действием однородного давления 75
4.4. Упругая сферическая оболочка под действием внутреннего и наружного однородных давлений 77
4.5. Упругий цилиндр под действием радиального и осевого однородных напряжений 82
4.6. Бесконечная упругая цилиндрическая оболочка под действием внутреннего и наружного давлений 88
4.7. Температурные деформации и напряжения в длинном цилиндре 97
4.8. Явление дилатации при сдвиговом напряженном состоянии 101
4.9. Численная оценка скорости сходимости итерационного процесса 101
Заключение 104
Литература 105
- Модель Ломакина-Работнова изотропной разномодульной среды
- Определение коэффициентов потенциала по значениям упругих параметров среды
- Двумерная задача об осесимметричном напряженном состоянии
- Упругая сферическая оболочка под действием внутреннего и наружного однородных давлений
Введение к работе
0.1. Актуальность. Цели работы.
Исследования упругих свойств многих материалов указывают на отличие в их поведении от линейного закона Гука при малых деформациях. Основными отличиями являются зависимость модулей упругости от напряженного состояния и их скачкообразное изменение при переходе от растяжения к сжатию. Таким образом, полученные в экспериментах значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона при растяжении Et, vt и при сжатии Ес, Vc могут различаться. Это свойство, именуемое разномодульностью, в той или иной степени присуще практически всем материалам [3]. У различных материалов разномодульность проявляется в разной степени, у некоторых весьма существенно влияет на их поведение при нагружении.
Материалы, обладающие существенно различным сопротивлением растяжению и сжатию, часто встречаются в технических приложениях. К ним относятся многие естественные (грунты, горные породы, лед) и искусственные материалы (полимеры, асбоцемент, бетон, керамики, композиционные материалы и многие другие). В справочнике [31] содержатся сведения о некоторых разномодульных материалах. Здесь приводятся графические диаграммы нагружения для случаев одноосного растяжения и сжатия (при различных значениях гидростатического давления) для серого чугуна, графитов типа АРВ, МГ, полимерных материалов (фенопластов). С.А. Амбарцумян в [3] приводит обширный обзор экспериментальных исследований материалов, обладающих свойством разно модульности.
Разно модульность установлена для многочисленных сплавов: чугуна, бронзы и стали [3,32]. У стали разномодульность проявляется незначительно, различие в значениях модуля Юнга при растяжении и сжатии не более 3-5%, у чугуна может достигать 30% и более.
Свойством разномодульности обладают некоторые конструкционные материалы, в частности армированные и неармированные полимеры. Установлена существенная разно модульность капрона и фторопласта, а также изотропного неармированного полистирола (оргстекло) [3].
Композиционные материалы, армированные волокнами или зернами, как правило, существенно анизотропны и обладают свойством разно модульности. Этим свойством обладают тканевые стеклопластики, некоторые борогшастики. Исключительно высокую степень разно модульности проявляют хаотически армированные стекловолокном полиамиды [3]. P.M. Джонс приводит результаты исследований конструкционных графитов, у которых свойство разномодульности выражено весьма значительно [89].
Композиционные материалы нашли широкое применение в авиационном, автомобильном и строительном производствах. Графитовые композиты используются при изготовлении регулирующих стержней в атомных реакторах. Обладание достоверной картиной напряженного состояния этих материалов помогает предотвратить возможные аварийные ситуации, когда выход из строя регулирующих стержней будет приводить к остановкам атомных электростанций [89].
Существует классический подход в механике композиционных материалов [29,86].
Вводятся в рассмотрение осредненные по объему значения напряжений \ У..) и деформаций (Єг). Определяются эффективные жесткости линейно-упругого тела в законе
Однако при этом не учитывается собственно свойство разномодульности. Модель разномодульной анизотропной среды предложена Е.В. Ломакиным [35-3S].
Сильно выраженным свойством разномодульности обладает такой распространенный строительный материал, как бетон. Для некоторых видов мелкозернистого бетона модуль Юнга при растяжении в два-три раза меньше, чем при сжатии [3]. Столь существенные различия в значениях параметров, очевидно, будут приводить к значительным расхождениям в результатах расчетов деформаций для бетона без учета его свойства разномодульности. Получение точной картины напряженно-деформированного состояния бетона чрезвычайно важно при расчетах строительных сооружений.
Свойство разномодульности также характерно для грунтов и горных пород. Для различного типа гранитов модуль Юнга при сжатии превосходит модуль Юнга при растяжении до 1,5 раз, а для осадочных пород (известняки, песчаники и др.) - до 4 раз [69]. Исследования зависимости между давлением в граните Вестерли и относительным изменением его объема показывают существенное расхождение с линейным законом Гука [95]. Линейно-упругая модель среды не учитывает явления дилатации грунтов при сдвиговом напряженном состоянии, которое наблюдается в экспериментах [59]. Объемное расширение может происходить в условиях сдвига, а также под действием сжимающих напряжений, так, что среднее напряжение и объемная деформация могут иметь различные знаки [39]. Явление дилатации во мнопіх случаях служит признаком перехода хрупкого материала к сильному увеличению нарушенности, оно играет, как считают, важную роль в возникновении землетрясений [19].
В расчетах напряженного состояния грунтов, как правило, свойством разномодульности пренебрегают и рассматривают обыкновенную линейно-упругую модель сплошной среды, что может приводить к принципиальным расхождениям с экспериментальными данными. При строительстве подземных сооружений, укреплении стенок подземных выработок обнаруживается существенное расхождение в поведении фунтов с расчетными оценками при проектировании. В некоторых случаях, когда расчеты на прочность предсказывали разрушение, подземные галереи не имели никаких следов разрушений. Напротив, во многих случаях, когда по первоначальном} проекту усиление и облицовка стенок не предусматривались, обнаруживались признаки больших деформаций и опасность разрушений [55].
В классическом подходе к решению этой и сопутствующих проблем обычно принимается, что горная порода ведет себя как линейно-упругий материал, разрушение ее прогнозируется на основе оценки напряжений на стенке скважины, рассчитываемых в соответствии с линейной теорией упругости. Максимальная прочность породы измеряется в лабораторных условиях при испытании на сжатие. В процессе детальных исследований поведения модельных туннелей в пластинах угля, подвергаемых воздействию двухосных нагрузок, установлено, что с помощью теории линейной упругости невозможно надежно прогнозировать поведение туннеля в условиях близких к разрушению пород [71]. Необходимость осуществления непредусмотренных при проектировании мер по укреплению стенок туннелей приводит к удорожанию работ и уменьшению полезного диаметра подземных сооружений.
При бурении нефтяных и сверхглубоких скважин с научными целями вопросы прочности являются жизненно важными и иногда являются условием продолжения работ [55]. Проблемы, связанные с прочностью стенок скважин, могут приводить к заклиниванию и поломкам буровой колонны, операциям их извлечения, потери части или всей скважины [17]. Проведение любых исправительных мероприятий приводит к снижению экономических показателей и даже безопасности буровых работ. Следовательно при оценке напряженного состояния грунтов вблизи скважин невозможно игнорировать особенности механического поведения фунтов.
В [71] предложена инженерная методика оценки напряженного состояния фунтов около скважин. Здесь предполагается, что модуль упругости является функцией давления обжима (радиального напряжения) Е = Е\(ТГГ ). Авторы утверждают, что при при анализе устойчивости ствола скважины не следует пренебрегать даже самой слабой зависимостью параметров упругости от давления обжима. При этом предлагаются различного віща зависимости для модуля упругости, но без необходимого обоснования. Критерием пригодности методики является совпадение результатов расчетов с опытами измерениями. Данная инженерная методика основана на решении осесимметричной задачи и применима только к исследовані-гам вертикальных скважин. Для наклонных скважин с повышенным зенитным углом проблема устойчивости ствола стоит особенно остро. Здесь картина напряженного состояния значительно сложнее. С увеличением угла отклонения ствола скважины от вертикали концентрация напряжений на стенке ствола скважины возрастает в одном направлении и снижается в другом, перпендикулярном первом} [18]. Это подтверждает необходимость разработки универсальной методики при решении такой задачи.
А. Гено в [17] указывает, что для решения этих задач применялась также упругопластическая модель. Однако автор считает, что данная модель пригодна только для моделирования поведения породы a posteriori в период после разрушения, напротив, никогда, не позволяет предвидеть разрушение стенок скважины, а часто даже вводит в заблуждение.
Таким образом, использование при строительстве сооружений разномодульных материалов, широкое внедрение композитных материалов, проблемы, возникающие при бурении скважин и строительстве подземных хранилищ делают актуальной задачу разработки адекватной модели поведения разномодульных материалов, а также прфаммного комплекса для численного решения подобных задач.
Были предложены различные механические модели разномодульных сред: модели изотропной упругой разномодульной среды [2,42,52,77,84], модели анизотропной разномодульной среды для исследования поведения композитных материалов [36-38], модели упруго-пластической разномодульной среды [12,25,26,34,54,64].
Данная работа основана на модели В.П. Мясникова. Модель изотропно-упругой разномодзщьной среды была предложена в работах В.П. Мясникова и соавторов [45,58]. В этой модели потенциал разномодульной среды зависит от трех инвариантов тензора деформаций, в его определение входит до пяти коэффициентов. Благодаря этому возможен выбор таких коэффициентов потенциала, чтобы точным образом моделировались параметры среды Et, vt fEcfvc, модуль сдвига. G, полученные из экспериментов. Модель разномодульной среды [58] учитывает явление дилатации при сдвиговых напряжениях, при этом может иметь место объемная деформация при сдвиговых напряжениях, а также могут различаться знаки у средних значений деформаций и напряжений.
Зависимости напряжений от деформаций в модели В.П. Мясникова получены в общем виде, таким образом не предполагаются заранее известными главные направления деформаций и напряжений. Это позволяет решать задачи с произвольной геометрией, а также использовать существующие подходы в применении численных методов для этой модели разномодульной среды [20,76].
Целью данной работы является разработка математической модели, алгоритма и профаммного комплекса для расчета напряженно-деформированного состояния среды на основе предложенной модели.
Ниже перечислены основные задачи, которые необходимо решить в процессе разработки алгоритма и профаммного комплекса. Необходимо, исходя РІЗ общих соотношений работы [58], определить связь между упругими параметрами разномодульной среды (при растяжении, при сжатии и при деформации сдвига), которые получены из экспериментов, и коэффициентами упругого потенциала. Это требуется для проведения численных расчетов и сравнения их с результатами экспериментов.
Необходимо, используя общие соотношения из [58], получить связь между инвариантами тензора деформаций и тензора напряжений. Это требуется для анализа поведения разномодульной среды и качественных отличий от линейно-упругой среды.
Необходимо определить область допустимых значений коэффициентов, при которых сохраняется положительная определенность потенциала и, следовательно, допускается применение данной модели.
Необходимо сформулировать и решить задачу температурных напряжений в разномодульной среде.
Необходимо сформулировать и определить все требуемые соотношения для численного решения задачи методом конечных элементов, найти форму матрицы жесткости системы уравнений, найти форму матрицы якобиана для решения системы нелинейных уравнений для случаев двумерных и трехмерных задач.
Необходимо, на основе численных расчетов, выявить качественные возможности данной модели и ее принципиальные отличичия от линейно-упругой модели Гука. Особый интерес представляет численное исследование явления дилатации при сдвиговом напряженном состоянии разномодульной среды. Используя только соотношения линейно-упругой среды данное явление невозможно моделировать, однако оно наблюдается при деформациях горных пород [59]. Соотношения разномодульной среды В.П. Мясникова позволяют моделировать и численно исследовать это явление при малых деформациях. Представляют интерес экспериментальные исследования цилиндрических образцов гранита Вестерли с помощью трехосного прибора. Эти опыты демонстрируют существенное отличие в поведении гранита от законов линейно-упругого тела [95]. Численное моделирование этих опытов показывает качественные отличия и возможности модели разномодульной среды, демонстріфует применимость модели В.П. Мясникова к исследованию поведения горных пород.
Необходимо получить аналитические решения для простейших модельных задач или привести их к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Сравнение результатов численнного решения с аналитическим или численным решением задачи иным, известным методом позволит провести верификацию программного комплекса.
Все перечисленные вопросы рассматриваются в данной диссертационной работе.
0,2. Содержание работы.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы.
Во введении дается краткое описание исследований материалов, у которых явление разномодульности проявляется особенно заметно. Обоснована актуальность работы на примерах решения задач при строительстве подземных сооружений, бурении нефтяных скважин. Сформулированы цели диссертационной работы.
В первой главе приводятся экспериментальные данные о некоторых разномодульных материалах. Приводится описание наиболее известных механических моделей поведения разномодульных материалов.
Во второй главе рассматриваются основные соотношениия модели В.П. Мясникова изотропно-упругой разномодульнои среды. Исходя из основных соотношений, определена связь между коэффициентами потенциала и упругими параметрами среды, полученными из экспериментов, определены соотношения между инвариантами тензоров деформаций и напряжений. Определены допустимые значения коэффициентов, при которых сохраняется положительная определенность потенциала. Сформулирована задача температурных напряжений. Модель применяется для исследования явления дилатации разномодульнои среды при сдвиговом напряженном состоянии.
В третьей главе рассматривается постановка и численное решение задачи напряженно-деформированного состояния разномодульнои среды на основе данной модели. Численная реализация модели осуществлена с помощью метода конечных элементов. Рассматриваются случаи плоских деформаций, осесимметричного напряженного состояния, трехмерная задача. Для этих случаев получены все необходимые соотношения для разработки программного комплекса.
В четвертой главе рассматриваются модельные задачи напряженно-деформированного состояния разномодульнои сплошной среды. Задачи имеют либо аналитическое решение, либо сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые могут быть численно решены каким-либо известным методом. К ним относятся: задача об упругом шаре, задача о сферической оболочке, задача о цилиндре и задача о бесконечной цилиндрической оболочке под действием давления, задача о температурных напряжениях в бесконечной цилиндрической оболочке, задача об явлении дилатации в цилиндрическом образце при сдвиговом напряженном состоянии. Это позволяет проверить работоспособность программного комплекса, осуществить его верификацию.
Некоторые задачи основаны на результатах экспериментальных исследований. К ним относятся задача о растяжении и сжатии тонкостенных трубок из серого чугуна, задача о цилиндре под действием радиального и осевого однородных напряжений. Решение задачи о цилиндрической оболочке сравнивается с решением этой задачи с помощью инженерной методики [71], которая дает результаты, согласующиеся с экспериментальными данными. Эти задачи позволяют определить качественные возможности и отличия предложенной модели от модели линейно-упругой среды, а также получить численные результаты, которые можно сопоставить с экспериментальными данными и провести аппробацию самой модели.
В заключении сформулированы основные выводы и приведены выносимые на защиту результаты работы.
В списке литературы приводятся использованные источники.
Модель Ломакина-Работнова изотропной разномодульной среды
Исследования упругих свойств многих материалов указывают на отличие в их поведении от линейного закона Гука при малых деформациях. Основными отличиями являются зависимость модулей упругости от напряженного состояния и их скачкообразное изменение при переходе от растяжения к сжатию. Таким образом, полученные в экспериментах значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона при растяжении Et, vt и при сжатии Ес, Vc могут различаться. Это свойство, именуемое разномодульностью, в той или иной степени присуще практически всем материалам [3]. У различных материалов разномодульность проявляется в разной степени, у некоторых весьма существенно влияет на их поведение при нагружении.
Материалы, обладающие существенно различным сопротивлением растяжению и сжатию, часто встречаются в технических приложениях. К ним относятся многие естественные (грунты, горные породы, лед) и искусственные материалы (полимеры, асбоцемент, бетон, керамики, композиционные материалы и многие другие). В справочнике [31] содержатся сведения о некоторых разномодульных материалах. Здесь приводятся графические диаграммы нагружения для случаев одноосного растяжения и сжатия (при различных значениях гидростатического давления) для серого чугуна, графитов типа АРВ, МГ, полимерных материалов (фенопластов). С.А. Амбарцумян в [3] приводит обширный обзор экспериментальных исследований материалов, обладающих свойством разномодульности.
Разномодульность установлена для многочисленных сплавов: чугуна, бронзы и стали [3,32]. У стали разномодульность проявляется незначительно, различие в значениях модуля Юнга при растяжении и сжатии не более 3-5%, у чугуна может достигать 30% и более.
Свойством разномодульности обладают некоторые конструкционные материалы, в частности армированные и неармированные полимеры. Установлена существенная разномодульность капрона и фторопласта, а также изотропного неармированного полистирола (оргстекло) [3].
Композиционные материалы, армированные волокнами или зернами, как правило, существенно анизотропны и обладают свойством разномодульности. Этим свойством обладают тканевые стеклопластики, некоторые борогшастики. Исключительно высокую степень разномодульности проявляют хаотически армированные стекловолокном полиамиды [3]. P.M. Джонс приводит результаты исследований конструкционных графитов, у которых свойство разномодульности выражено весьма значительно [89].
Композиционные материалы нашли широкое применение в авиационном, автомобильном и строительном производствах. Графитовые композиты используются при изготовлении регулирующих стержней в атомных реакторах. Обладание достоверной картиной напряженного состояния этих материалов помогает предотвратить возможные аварийные ситуации, когда выход из строя регулирующих стержней будет приводить к остановкам атомных электростанций [89]. Существует классический подход в механике композиционных материалов [29,86]. Вводятся в рассмотрение осредненные по объему значения напряжений \ У..) и деформаций (Єг). Определяются эффективные жесткости линейно-упругого тела в законе Однако при этом не учитывается собственно свойство разномодульности. Модель разномодульной анизотропной среды предложена Е.В. Ломакиным [35-3S]. Сильно выраженным свойством разномодульности обладает такой распространенный строительный материал, как бетон. Для некоторых видов мелкозернистого бетона модуль Юнга при растяжении в два-три раза меньше, чем при сжатии [3]. Столь существенные различия в значениях параметров, очевидно, будут приводить к значительным расхождениям в результатах расчетов деформаций для бетона без учета его свойства разномодульности. Получение точной картины напряженно-деформированного состояния бетона чрезвычайно важно при расчетах строительных сооружений. Свойство разномодульности также характерно для грунтов и горных пород. Для различного типа гранитов модуль Юнга при сжатии превосходит модуль Юнга при растяжении до 1,5 раз, а для осадочных пород (известняки, песчаники и др.) - до 4 раз [69]. Исследования зависимости между давлением в граните Вестерли и относительным изменением его объема показывают существенное расхождение с линейным законом Гука [95]. Линейно-упругая модель среды не учитывает явления дилатации грунтов при сдвиговом напряженном состоянии, которое наблюдается в экспериментах [59]. Объемное расширение может происходить в условиях сдвига, а также под действием сжимающих напряжений, так, что среднее напряжение и объемная деформация могут иметь различные знаки [39]. Явление дилатации во мнопіх случаях служит признаком перехода хрупкого материала к сильному увеличению нарушенности, оно играет, как считают, важную роль в возникновении землетрясений [19].
В расчетах напряженного состояния грунтов, как правило, свойством разномодульности пренебрегают и рассматривают обыкновенную линейно-упругую модель сплошной среды, что может приводить к принципиальным расхождениям с экспериментальными данными. При строительстве подземных сооружений, укреплении стенок подземных выработок обнаруживается существенное расхождение в поведении фунтов с расчетными оценками при проектировании. В некоторых случаях, когда расчеты на прочность предсказывали разрушение, подземные галереи не имели никаких следов разрушений. Напротив, во многих случаях, когда по первоначальном} проекту усиление и облицовка стенок не предусматривались, обнаруживались признаки больших деформаций и опасность разрушений [55].
В классическом подходе к решению этой и сопутствующих проблем обычно принимается, что горная порода ведет себя как линейно-упругий материал, разрушение ее прогнозируется на основе оценки напряжений на стенке скважины, рассчитываемых в соответствии с линейной теорией упругости. Максимальная прочность породы измеряется в лабораторных условиях при испытании на сжатие. В процессе детальных исследований поведения модельных туннелей в пластинах угля, подвергаемых воздействию двухосных нагрузок, установлено, что с помощью теории линейной упругости невозможно надежно прогнозировать поведение туннеля в условиях близких к разрушению пород [71]. Необходимость осуществления непредусмотренных при проектировании мер по укреплению стенок туннелей приводит к удорожанию работ и уменьшению полезного диаметра подземных сооружений.
При бурении нефтяных и сверхглубоких скважин с научными целями вопросы прочности являются жизненно важными и иногда являются условием продолжения работ [55]. Проблемы, связанные с прочностью стенок скважин, могут приводить к заклиниванию и поломкам буровой колонны, операциям их извлечения, потери части или всей скважины [17]. Проведение любых исправительных мероприятий приводит к снижению экономических показателей и даже безопасности буровых работ. Следовательно при оценке напряженного состояния грунтов вблизи скважин невозможно игнорировать особенности механического поведения фунтов.
Определение коэффициентов потенциала по значениям упругих параметров среды
Решение системы линейных уравнений (3.5.3) или (3.5.4) сводится к задаче обращения разреженной матрицы. При обращении разреженных матриц большой размерности каким-либо из прямых методов существенным препятствием является фактор заполнения матрицы в процессе самого обращения. Ограниченный объем оперативной памяти приводит к значительным вычислительным трудностям: необходимости оптимизировать нумерацию узлов сетки, обрабатывать матрицу поблочно, использовать внешнюю память. Все это значительно увеличивает требуемое процессорное время. По этим причинам предпочтительнее использовать итерационные методы.
Матрицы J,s в системе уравнений (3.5.3) или К,, в системе уравнений (3.5.4) являются разреженными матрицами одинаковой структуры (отличны от нуля элементы с одинаковыми индексами). Обе матрицы симметричные и положительно определенные. Для решения уравнений применялась итерационная процедура симметричной последовательной верхней релаксации (SSOR) [83]. В [83] предложены различные методы предобуславливания матрицы для ускорения итерационного процесса решения по методу SSOR. К ним относится полиномиальное (чебышевское) ускорение, а также ускорение по методу сопряженных градиентов (CG). При решении систем уравнений применялись и сравнивались оба способа ускорения.
Для оптимального чебышевского ускорения требуется заранее точно знать спектральную характеристику матрицы перехода для данного итерационного метода. В [83] вводится понятие виртуального спектрального радиуса матрицы перехода, которое позволяет получить верхнюю оценку собственно спектрального радиуса, а также предлагается адаптивная процедура минимизации виртуального спектрального радиуса в процессе итераций. При решении систем уравнений (3.5.3)-(3.5.4) адаптивная процедура чебышевского ускорения применялась в двух вариантах, отличие заключалось лишь в критерии остановки расчета. В первом варианте для критерия остановки решения использовалась векторная норма . . Здесь А является матрицей симметризации итерационного процесса. При этом A = J " или А = К,, ", то есть собственно обращаемая матрица. Во втором варианте использовалас сферическая норма . р.,.
В [83] указывается, что процедура ускорения по методу сопряженных градиентов минимизирует норму ошибки лучше, чем любая процедура полиномиального ускорения. Однако в [83] отсутствуют какие-либо критерии для выбора параметра релаксации основного метода. По этой причине при решении систем уравнений (3.5.3)-(3.5.4) также применялось ускорение итераций по методу сопряженных градиентов, но при этом совершалась процедура адаптивного выбора параметра релаксации, предложенная в [51], которая существенно ускоряет процесс сходимости. Данная адаптивная процедура позволяет без серьезных вычислительных затрат оптимизировать параметр релаксации за несколько первых шагов итераций. Это приводит к особенно заметной экономии счетного времени при многократных повторных решениях системы уравнений по методу Ньютона-Канторовича. При решении задач проводилось сравнение этих методов. Число уравнений варьировалось от 3800 до 26000. Оба способа полиномиального ускорения требовали приблизительно одинаковое число итераций. Ускорение по методу сопряженных градиентов с адаптивной процедурой выбора параметра релаксации [51] показало существенные преимущества, при всех расчетах число итераций составляло не более 30%, по сравнению с полиномиальным ускорением. Таким образом метод SSOR с адаптивной процедурой выбора параметра релаксации [51] имеет существенные преимущества. Все программы используют технологию разреженных матриц [66]. В главе приведены результаты численного решения некоторых задач о напряженном состоянии разномодульной среды. Почти во всех задачах (кроме задачи 4.1) рассматривается простейший случай упругого потенциала среды, когда отличны от нуля только коэффициенты Я,/1,й), при этом a = J3 = 0 . Таким образом в потенциале (2.1.1) присутствует только одно неаналитическое слагаемое (с коэффициентом СО), по сравнению с потенциалом линейно-упругой среды. Простейший вариант значеній коэффициентов потенциала среды, а также симметричное нагружение и геометрия тел позволяют получить либо явные аналитические выражения для деформаций и напряжений (задачи 4.3, 4.5, 4.7, 4.8), либо привести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая может быть решена известным численным методом (задачи 4.4, 4.6). Эти задачи позволяют провести верификацию программного комплекса. Задача о растяжении тонкостенных трубок (задача 4.1) и задача о нагружении цилиндрических образцов из гранита Вестерлн (задача 4.5) имеют экспериментальное обоснование. Эти задачи показывают возможности модели разномодульной среды [58], качественные отличия от линейно-упругой модели, а также особенности поведения самой разномодульной среды. В задаче о бесконечной цилиндрической оболочке под действием внутреннего и наружного давлений (задача 4.6) приводится сравнение с решением по инженерной методике. Инженерная методика [71] дает результаты хорошо согласующиеся с данным! экспериментов и позволяет оценить модель В.П. Мясникова [58]. Все расчеты проводились в двумерной постановке для осесимметричного случая. Использовались четырехугольные элементы серендипова типа квадратичного порядка аппроксимации [21]. Серый чугун является матеиралом существенно неоднородным. Этот фактор значительно затрудняет точное определение его механических параметров. Большую трудность в проведении экспериментов представляет получение относительно однородных образцов. Результаты подобной работы представлены М.Я. Леоновым и соавторами в [32]. Здесь рассматриваются эксперименты на одноосное растяжение и сжатие тонкостенных трубок. Испытаниям подвергался серый чугун, близкий по химическому составу и механическіш свойствам к марке СЧ 15-32. Существенным отличием результатов этих экспериментов от данных для сплавов в [3] являются полученные значения коэффициента Пуассона, которые изменялись во всем диапазоне деформирования материала. Все результаты экспериментов в [32] представлены в графическом виде, результаты измерений в численном виде не приводятся. Поскольку сравнение результатов расчетов и экспериментов носит качественный характер, то в расчетах пришлось использовать данные для чугуна СЧ 12-28 из [3], воспроизведенные в таблице 1.3. Эти параметры равны при растяжении Et =9,15-1010 Па, Vt =0,22. При сжатии равны Ес = 12,2-1010 Па; Vc =0,27. Исходя из этих величин определялись значения коэффициентов функционала Ф{ ) по формулам (2.4.1)-(2.4.4). Эти значения равны Л = 3,62-1010 Па, ju = 4,35-1010 Па; СО = 1,78-1010 Па; a = 1,66-1010 Па. В процессе нагружения образцы трубок доводились до разрушения и проходили через стадию пластической деформации, как это видно из графиков.
Двумерная задача об осесимметричном напряженном состоянии
Цилиндрический образец из гранита Вестерли со значениями коэффициентов (4.2.1)-(4.2.2) подвергается осевому растяжению 7zz = Т = 1-10 Па. На боковую поверхность действует сжимающее давление PS— JJ2. На рис. 4.8.1 показана зависимость инварианта тензора деформаций /х от безразмерного параметра й)0. При приближении к левой, либо к правой границам It неограниченно убывает, либо неограниченно возрастает соответственно.
При решении задач проводилась оценка a posteriori скорости сходимости итерационного процесса. Во всех расчетах при итерациях по методу Ньютона требовалось значительно меньше шагов, по сравнению с методом переменной жесткости, как правмо не более 4-5 шагов. Ниже на графиках показаны эти результаты для случая нафужения цилиндрического образца из фанита Вестерли с коэффициентами потенциала, заданными равенствами (4.2.1)-(4.2.2).
Поскольку в коэффициенты матрицы входит параметр ;, то характеристики матрицы зависят от знака этого параметра. Знак меняется при сжатии и растяжении. В первом варианте на цилиндр действует сжимающее осевое усилие (7. = — Т, во втором варианте растягивающее усилие С \, = Т . Здесь (7 = 1 10 Па . Боковое давление отсутствует. Критерий остановки итераций, определяемый равенством (3.5.2), имел значение во всех расчетах 8 = 0,5-10" . На рис. 4.9.1-4.9.2 показана зависимость числа итераций от безразмерного параметра СО0. На рис. 4.9.3-4.9.4 показана зависимость от номера шага итерации отношения нормы " . —lit» II /Pt I! невязки системы уравнении п — Кй+1 /Кя [ при решении по методу переменной жесткости. При решении по методу Ньютона выполнялось свойство квадратичной скорости сходимости [78]. Поскольку решение достигалось за 4 шага, то графики не приводятся. Эти расчеты показывают значительное преимущество метода Ньютона по отношению к методу переменной жесткости. Однако при малых значениях безразмерного параметра сп0 число шагов итераций по методу переменной жесткости сравнимо с числом шагов по методу Ньютона, при этом объем вычислений значительно меньше. В многочисленных работах указывается на существование природных и исскуственных материалов, поведение которых при нагружении существенным образом отклоняется от линейно-упругого закона Гука. С такими явлениями приходится сталкиваться при строительстве зданий (бетон), при бурении скважин, строительстве подземных сооружений (грунты, горные породы). Применение линейно-упругой модели не позволяет точным образом предсказать реакцию подземного сооружения или скважины на нагружение. Проблема не решается при использовании упруго-пластической модели [54]. Это все подтверждает необходимость разработки разномодульной упругой модели, качественно воспроизводящей поведение таких материалов. В работах [45,56,58] В.П. Мясниковым и соавторами разработана модель изотропно-упругой разномодульной среды, предложены основные соотношения между деформациями и напряжениями. В данной диссертационной работе, исходя из основных соотношений [58], определены соотношения между упругими параметрами разномодульного материала (при растяжении, при сжатии и при деформации сдвига), полученными из экспериментов, и коэффициентами потенциала. Определены необходимые для решения задач соотношения между инвариантами тензоров деформаций и напряжений. Определены допустимые значения коэффициентов, при которых сохраняется положительная определенность потенциала. Сформулирована и решена задача температурных напряжений в разномодульной материале. Качественно исследовано явление дилатации в разномодульной среде при сдвиговом напряженном состоянии. В данной работе представлена математическая модель расчета напряженно-деформированного состояния сплошной среды, основанная на этой модели. Также разработан программный комплекс, который позволяет решать задачи о напряженно-деформированном состоянии разномодульной сплошной среды для тел с достаточно сложной геометрией, с различными граничными условиями. Предполагаются двумерные задачи для случаев плоской деформации, осесимметричной геометрии, также трехмерные задачи. Программный комплекс разработан на основе метода конечных элементов. Для этого определена матрица жесткости системы уравнений. Для решения нелинейной системы уравнений методом Ньютона определена матрица Якоби системы. С помощью данного программного комплекса проведены расчеты для некоторых модельных задач. Эти задачи показывают качественные возможности модели разномодульной среды В.П. Мясникова, отличия от линейно-упругой модели. Расчеты для цилиндрических образцов из гранита Вестерли показывают качественное совпадение с результатами экспериментов [95]. Расчеты для цилиндрических оболочек показывают хорошое совпадение с результатами расчетов по специализированной инженерной методике [71 ], разработанной для расчета состояния грунта около вертикальной скважины. Рассмотрены модельные задачи, имеющие аналитическое решение. Получено хорошое совпадение аналитического и численного решений, что подтверждает работоспособность пргораммного комплекса. Все расчеты показывают возможность применения модели и программного комплекса для исследования напряженно-деформированного состояния разномодульных сред. Основные результаты опубликованы в работах [13-16].
Упругая сферическая оболочка под действием внутреннего и наружного однородных давлений
В [42] для потенциала (1.6.2) доказана формула Клайперона. В [33] доказана единственность в малом решения уравнения равновесия для функционала (1.6.2), получены ограничения на функции, входящие в выражение для потенциала, при которых решение единственно.
В [36] предложены соотношения для анизотропного разномодульного тела. Модель изотропной и анизотропной разномодульной среды применялась для исследования поведения композиционных материалов [35,37,38].
В [34] предложена модель нелинейной разномодульной среды, решены некоторые модельные задачи и проведено сравнение с экспериментами. В [39] исследуется явление дилатации упругой разномодульной среды. В условиях действия сжимающих напряжений возможно объемное расширение материала, а также объемное деформирование материала в условиях сдвига Такое явление имеет место в грунтах. В [41] рассматривается явление дилатации в условиях пластического течения.
В [40] рассматриваются задачи дилатации и пластического течения в разномодульной среде вблизи трещин в областях концентрации напряжений, где напряженное состояние существенно неоднородное. В [23,24] решаются задачи пластического изгиба полос для разномодульного материала. В [6,7] исследуются поля перемещений, деформаций и напряжений вблизи трещины для материалов, параметры которых чувствительны к напряженному состоянию.
При уравнение (1.7.1) описывает одномерные продольные колебания в разномодульной среде. При а — 1 моделируются колебания в упругосыпучей среде, то есть в среде имеющей конечный положительный модуль при сжатии и не оказывающей сопротивления растягивающим усилиям. Задача Коши для уравнения (1.7.1) может не иметь обычного решения при гладких начальных функциях. Авторы исследуют обобщеннное решение U\X,t), типы разрывов решения. Для случая 0 а 1 проводится классификация видов разрывов решения и вводится понятие локального решения, описывающего простейшие качественные структуры разрывных решений. Склейка локальных решений позволяет находить глобальное решение. Исследуются процессы возникновения разрывов решения. Для случая а -1 аналогичным образом строится общая теория решений. При этом кроме перечисленных видов разрывов возникает новый тип - разрыв сплошности (откол). Авторы рассматривают задачи отражения волны от свободного края и от жесткой стенки, в которых проявляются разнообразные существенно нелинейные эффекты. Рассмотрение авторами [49] задачи выходят за рамки колебаний упругой среды. Здесь решены задачи движения упругопластических, вязкоупругих сред распространение ударных волн. Однако все решения получены для одномерного случая. Полученные решения применялись при исследовании работы аварийного блока Чернобыльской АЭС [50]. В ряде работ В.П.Мясникова и соавторов [45,56,58] разработана модель разномодулъной среды, предложена форма упругого потенциала Ф\), зависящего от трех инвариантов тензора деформаций, решены различные задачи статики и динамики пористых сред. Модель В.П.Мясникова качественно описывает некоторые характерные особенности поведения разномодульных сред (например грунтов и горных пород), которые не укладываются в модель поведения линейно-упругой среды. К таким явлениям относится дилатация грунтов при сдвиговом напряженном состоянии [19,44,59], линейно-упругая модель предполагает при этом точное равенство нулю первого инварианта тензора деформаций. Исследование зависимости между давлением в грунте и относительным изменением его объема показывает существенное расхождение с законом Гука [95]. Предложенная модель разномодулъной среды качественно отражает эти особенности горных пород. Модель Мясникова позволяет точным образом определить коэффициенты потенциала так, чтобы при моделировании одноосного растяжения и сжатия среда имела полученные из экспериментов независимые значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона Et,Vt,Ec,Vc, а также модуль сдвига G . Кроме того модель В.П.Мясникова содержит, как частный случай, некоторые из описанных выше разномодульных моделей: модель Амбарцумяна-Хачатряна, модель Джонса, а также и линейно-упругую модель, подчиняющуюся закону Гука [45]. В [45] рассматривается вопрос о построении функционала, описывающего поведение упругой среды с микронарушениями. Задача решается методом пространственного осреднения периодических структур [9]. В среде предполагается наличие редких включений, то есть расстояния между включениями много больше размеров включений. Тогда область V, занимаемую средой, можно разбить на непересекающиеся, примьгеающие одна к другой ячейки О, каждая из которых содержит одно включение (область Q ). Отношение объемов мало. Среда считается линейно-упругой. Пусть U и U плотность внутренней энергии в Q и О соответственно. Предполагается, что на границе Г области Q действуют граничные условия прилипания, но только при сжимающих деформациях. В случае растягивающих деформаций точки границы Г становятся свободными. При заданных граничных условиях на Г в области Q не могут возникать растягивающие деформации. Для учета этого в выражение для U вводится множитель (здесь сохраняют свои значения обозначения (1.6.1)) При таких предположениях среда приобретает разномодульные свойства. В [45] показано, что осредненная плотность внутренней энергии такой среды имеет вид при растяжении и A=Ac,jU = /Ic при сжатии. Таким образом получена модель среды, аналогичная модели Амбарцумяна-Хачатряна [2,3]. Можно предположить, что параметры ячеек различны и условие, прилипания выполняется не при /j 0, а для каждой ячейки существует некоторая константа С (характеризующая данную ячейку), и условием прилипания на границе Г является неравенство 1Х С . Тогда осреднение по ячейкам не приводит к скачкообразному изменению модулей, а аналогично модели Джонса [89] величины модулей упругости будут зависеть от величины напряжений, действующих в среде. Далее рассматривается модель, в которой условие прилипания выполняется лишь на поверхности Г0, являющейся частью поверхности Г, на которой возникают сжимающие усилия. Касательные напряжения на поверхности Г равны нулю (выполняется условие проскальзывания). Нормальные составляющие напряжений со стороны П и О совпадают только при сжимающих деформациях, при растягивающих деформациях точки границы г\г0 становятся свободными. Для плотности внутренней энергии получено выражение
