Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Система абсолютно жестких тел, соединенных податливыми связями. Пространственная задача 38
1. Жесткий стержень как элемент конструкции 38
1.1. Кинематические уравнения стержня 38
1.2. Статические уравнения стержня 44
2. Присоединение стержня к узлам 48
2.1. Характер присоединения 48
2.2. Соотношения между реакциями связей и торцевыми усилиями стержней 56
3. Топология конструкции 59
4. Условия совместности перемещений торцов стержней и перемещений инцидентных к ним узлов 64
5. Уравнения связей. Преобразование кинематических уравнений 71
6. Уравнения равновесия узлов конструкции 78
7. Физические уравнения ; 83
ГЛАВА 2. Полная система уравнений конструкции 89
1. Состав полной системы 89
2. Уравнения равновесия 89
3. Кинематические уравнения конструкции 93
4. Физические уравнения конструкции 97
5. Разрешающие уравнения задачи 101
5.1. Решение в перемещениях 102
5.2. Решение в силах 105
5.3. Определение величин, не входящих в разрешающие уравнения 112
6. Усилия и перемещения в текущих поперечных сечениях стержня 125
ГЛАВА 3. Решение задач высокой размерности 128
1. Введение 128
2. Оценки качества решения 130
3. Однопараметрическая регуляризация неустойчивых решений линейных алгебраических уравнений 132
ГЛАВА 4. Примеры расчета конструкций, содержащих абсолютно жесткие элементы 137
1. Расчет деревянной срубовой конструкции 137
2. Расчет гибкой нити 142
Основные выводы и рекомендации 145
Литература
- Кинематические уравнения стержня
- Кинематические уравнения конструкции
- Оценки качества решения
- Расчет деревянной срубовой конструкции
Введение к работе
1. Историческая справка. В этом пункте рассматривается состояние строительной механики как раздела механики твердого деформируемого тела, в котором изучаются алгоритмы и методы расчета самого широкого класса силовых конструкций. Сегодня аппарат строительной механики находит широкое применение и в биомеханике, о чем еще речь будет идти ниже. Основные этапы развития строительной механики рассматриваются в хронологической последовательности.
К 60-м годам прошлого века теоретическая база строительной механики по существу уже сформировалась. Был не только завершен важный этап совершенствования теории, но и удалось предложить алгоритмы решения краевых задач, многие из которых работают, и сегодня. К таковым относятся детально разработанные алгоритмы расчета многократно статически неопределимых стержневых конструкций. Основное внимание при этом уделялось расчету линейно деформируемых конструкций, что существенно упрощало вычислительный аппарат. Решение сложных физически и геометрически нелинейных задач, как правило, выполнялась итеративными методами, т. е. сводилось к рассмотрению определенной серии линейных задач.
Правда, в те времена грядущие возможности вычислительной техни- ки представить себе было трудно, а потому зачастую вычислительные алгоритмы предлагались для упрощенных расчетных схем, например, плоских, а не пространственных. В упрощенных вариантах рассматривались и узловые соединения, в том числе и опорные. Утвердилось и вошло в нормативную литературу представление узловых сопряжений элементов -в виде одной из двух идеализированных схем: абсолютно жестких либо абсолютно податливых. Еще одна черта, характерная для рассматриваемого периода - выделение из сложной пространственной системы отдельных элементов, узлов или подконструкций, отражающих в наибольшей мере характер работы конструкции в целом. Такое выделение осуществлялось на основе экспериментальных многолетних исследований, а также при обобщении опыта проектирования и эксплуатации реальных сооружений.
Указанные направления перехода от реальной системы к ее расчетной схеме имели целью представить алгоритмы расчета в наиболее простом и по возможности в замкнутом виде, пригодном для применения специалистами различной квалификации без привлечения сложного математического аппарата. В строительной области такая методика традиционно закладывалась в нормативные документы - «Строительные нормы и правила» (СНИП).
Вместе с тем развивались и алгоритмы расчета силовых конструкций, ориентированные на применение вычислительной машин недалекого, как затем выяснилось, будущего. Более того, именно задачи механики твердого деформируемого тела стали одним из наиболее мощных стимулов появления и развития электронной вычислительной техники, включая как аппаратную, так и программную части. Первым шагом, ведущим к формализации вычислительного аппарата механики, было предложенное в конце 40-х годов Аргиросом представление классических методов расчета стержневых конструкций в матричной форме. В дальнейшем эти схемы были логически завершены рядом исследователей таким образом, чтобы пользователю не приходилось вручную выполнять промежуточные -вычисления, часто весьма трудоемкие, связанные с обработкой входных данных. Таким громоздким этапом, например, является построение эпюр в основной системе при расчете статически неопределимых стержневых систем. Но указанные алгоритмы были по-прежнему ориентированы на использование упрощенных линейных схем с идеализированными узловыми сопряжениями и рассмотрением отдельных частей сооружений. Обобщение таких хорошо формализованных методов расчета на более сложные случаи, приближенные к реальным конструкциям, было реализовано для ряда частных задач в основном на теоретическом уровне, поэтому ни в нормативную литературу, ни в массовую расчетную практику эти методы не вошли.
Важным этапом был переход от чисто физического представления механических систем к абстрактным математическим, осуществлявшийся в 60-е и 70-е годы прошлого века. Именно тогда получили распространение формулировки расчетных задач в терминах теории графов и линейной алгебры, сетевые методы. Тогда же в основном сложилась современная терминология вычислительной механики, существенным образом опиравшаяся на лексикон уже упоминавшихся разделов математики и функционального анализа (метрика пространства состояний, скалярное произведение эпюр, инциденции, смежность, матрицы достижимости и др.), что свидетельствовало о самом широком применении при реше- ний задач строительной механики аппарата теории графов и линейной алгебры.
Следующий этап развития прикладной механики твердого деформируемого тела, берущий начало в 80-е годы XX века, связан как с массовым распространением вычислительной техники, так и с повсеместным 'обращением в расчетной практике к методу конечных элементов. Последний предполагает безусловную компьютерную реализацию. В библиотеках конечноэлементных программных комплексов в настоящее время реализован весьма широкий набор отдельных типов конечных элементов для моделирования различных видов конструкций, материалов и узловых соединений.
Серьезное развитие к началу 90-х годов прошлого века испытала такая область механики, как биомеханика, в частности, механика опорно-двигательного аппарата человека. Выяснилось, что сложившийся классический, аппарат механики твердого деформируемого тела не вполне пригоден для анализа в столь специфичной области, поэтому биомеханика создала важный стимул к развитию теоретической части вычислительной механики. Ниже будет сосредоточено внимание на том аспекте биомеханики, который связан с механикой твердого деформируемого тела. С начала 70-х годов в многочисленных публикациях обсуждалась проблема моделирования скелетн о-мышеч ного аппарата человека. Естественным было применить для этого хорошо разработанный аппарат классической вычислительной механики. Поэтому с ростом интереса к этой междисциплинарной отрасли и приходом в нее большого числа квалифицированных специалистов-механиков резко увеличилось количество публикаций по биомеханике человека. Развитие информационных технологий сдела- ло популярным в этой области компьютерное моделирование (преимущественно с использованием метода конечных элементов).
Отдельно следует упомянуть о вычислительных аспектах задач механики. Весьма важная составляющая современного состояния механики - это ветвь вычислительной математики, ориентированная на ком-"пьютерное применение и тесно связанная с ним специфическая проблема компьютерного представления как исходных данных, так и результатов расчета (визуализация). Традиционным для механики стало представление данных как разреженных матриц. Соответствующий математический аппарат, ориентированный на такие структуры данных, получил название «технология разреженных матриц». Программные реализации соответствующей технологии сейчас имеются во всех промышленных конеч-ноэлементных программных комплексах, например, в таких средах, как Cosmos/M, Ansys, MSC/Nastran, Staad Pro, ЛИРА, SCAD и т. д. Глядя на предельные размерности систем линейных алгебраических уравнений, которые способны решать эти программы на персональных компьютерах (для Cosmos/M, например, - более 1 000 000 уравнений), можно сказать, что именно такой аппарат позволил решать задачи очень большой размерности на широко распространенной вычислительной технике, а не только на специализированных ЭВМ. Оборотной стороной увеличения размерности является совершенно необозримый объем как входных, так и выходных данных. Поэтому к настоящему времени немыслимы программные реализации решения задач механики, не обладающие средствами манипулирования с числовыми массивами сколь угодно большой размерности. К подобным средствам относятся, в первую очередь, средства ввода информации о геометрии и материале конструкции (преимущественно стержне- вой) и внешних воздействиях на нее. Во-вторых, максимально автоматизирована процедура генерации сетки конечных элементов. Эта возможность актуальна, в основном, для нестержневых конструкций. Основополагающие результаты, позволяющие получить гарантированно качественную сетку, были опубликованы только в середине 90-х годов прошлого -века, а компьютерные реализации появились только в конце названного десятилетия (можно сравнить генерацию сетки в разных версиях какой-либо из наиболее развитых программ, упомянутых выше, например, в версиях Cosmos/M). Алгоритмы генерации сеток в настоящее время чрезвычайно популярны, о чем можно судить, например, по количеству издаваемой литературы и объему материалов в системе Internet. В-третьих, визуализация результатов позволяет быстро оценить как адекватность модели представлениям о ее поведении, так и найти области, важные для оценки напряженно-деформированного состояния системы. Поэтому в качестве стандартных средств анализа результатов расчета используются изображения деформированной схемы конструкции, анимация параметров состояния (перемещений, напряжений, форм собственных колебаний, форм потери устойчивости), цветовые поля напряжений и деформаций и другие.
Несмотря на то, что во всех рассмотренных выше разделах механики получены впечатляющие результаты, считать, что решены все проблемы, представляющие практический интерес, нельзя. По-прежнему остается острой проблема ввода информации о системе сложной структуры (смешанной), проблема отслеживания неустойчивых решений и их коррекция и другие. Более подробно об этом, как и о задаче, поставленной с настоящей диссертации, говорится в п. 1.3, т. е. после того, как будет дан ретроспективный обзор наиболее важных, с нашей точки зрения, публикаций.
2. Обзор литературы по классической строительной механике. В основу современной механики силовых конструкций был заложен ряд идей, предложенных еще в 20-е - 30-е годы прошлого века.
Одной из пионерских работ в обсуждаемой области является статья А. Н. Верещагина [13], опубликованная в 1925 г., в которой была предложена интерпретация интеграла Мора для случая, когда одна из двух перемножаемых эпюр линейная. Эта методика, применимая к конструкциям, наиболее часто встречающимся на практике, впоследствии легла в основу расчета статически неопределимых конструкций ввиду возможности несложной формализации. Исследование алгебраических свойств определителей систем канонических уравнений методов сил и перемещений были опубликованы в ряде работ И. М. Рабиновича (в частности, [77], [80], [84]). В работе [82] того же автора были указаны инвариантные свойства формулы Мора для определения перемещений. Обобщение формулы Мора для нелинейно упругих и неупругих материалов было сделано Н. И. Безуховым в [8] и затем развито им же в [9]. Вычислительные аспекты расчета стержневых конструкций, связанные с группировкой неизвестных, были затронуты Р. И. Мюллером в 1907 году в немецкой литературе и затем Н. С. Стрелецким [106]. В дальнейшем применение групповых неизвестных развивалось в работах А. А. Гвоздева [17], Б. Г. Галеркина ([14], [15]), И. М. Рабиновича [78], Н. И. Везухова [7|, Б. Н. Жемочки-на [36] и других авторов. Ю. А. Радциг [85] показал, что преобразование канонических уравнений может быть выполнено также с помощью алгеб- раических форм.
Важная идея, применимая для упрощения канонической системы уравнений путем ортогонализации единичных эпюр, была высказана А. Н. Верещагиным в уже упоминавшейся статье [13]. Этот прием позволил абстрагироваться от понятия основная система. Следующим логическим шагом в этом направлении было предложение И. М. Рабиновича [81] реализовать обсуждаемую идею путем построения различных групп единичных эпюр метода сил в различных основных системах.
В период 30-50-х годов XX века важное место занимала разработка и применение таких приближенных методов расчета стержневых конструкций, которые позволяли бы избегать решения систем линейных уравнений высокой размерности. Вот некоторые примеры подобного подхода к разработке приближенных методов. А. А. Уманским в работе [ИЗ] был предложен прием расчета конструкций с большим числом одинаковых пролетов, названный им .«методом бесконечной основной системы». Для многоэтажных рам, состоящих из набора прямоугольных контуров, многими авторами предлагался способ предварительного (до решения) исключения линейных неизвестных метода перемещений (см. например, статью [79]). В 1927 году А. А. Гвоздев обосновал смешанный метод расчета стержневых конструкций [17], который до сих пор не нашел достаточно общего алгоритмического воплощения, несмотря на оптимальность именно этого метода для ряда конструкций. Система перекрестных балок рассматривалась в работах А. Н. Крылова [52] и затем П. Ф. Папковича ([67], [69]). Указанные авторы при расчете таких конструкций расчленяли систему обыкновенных дифференциальных уравнений на отдельные уравнения.
Пространственные конструкции частного вида, позволяющие уменьшить число неизвестных за счет пренебрежения некоторыми связями, рассмотрены в статье А. А. Уманского [114]. Б. Н. Горбуновым был разработан [24] графоаналитический метод расчета пространственных рам. При расчете многоэтажных рам, состоящих из набора прямоугольных контуров, на вертикальную нагрузку предлагалось не учитывать горизонтальные перемещения узлов, что сокращало число неизвестных метода перемещений (например, в [79]). Кроме того предполагалось, что приложенная в данном пролете нагрузка вызывает деформации только в тех стержнях рамы, которые инцидентны к торцам загруженного элемента. В ряде работ ([92], [93], [94] и др.) А. И. Сегаль подробно рассмотрел системы, обладающие циклической симметрией. При этом неизвестные и нагрузка представлялись в виде конечного тригонометрического ряда.
Приближенные методы расчета конструкций в общей постановке в указанный период рассматривались в инструкции [18], в статьях [33] и [73]. Также в 30-е годы был разработан ряд специальных методов. Так, приближенный метод расчета рам был предложен в 1929 г. Н. М. Вернадским и в 1930 г. X. Кроссом, имя последнего и закрепилось в названии метода. П. М. Сосис в ряде работ (например, [104], [105]) развил этот метод.
Огромную проблему до 50-х годов прошлого века включительно представляло решение больших (по тогдашним меркам) систем линейных алгебраических уравнений, неизбежно сопровождающих решение любых статически неопределимых задач строительной механики. Решение таких задач осуществлялось вручную или при помощи механических вычислительных устройств. Эта технология, разработанная для параллель- ных вычислений, была настолько популярна, что в литературе появились оценки для времени решения' систем вручную (например, такая оценка была сделана Б. Н. Жемочкиным в [37]). Рассматривались также приемы решения систем линейных уравнений специального вида. Так, решение трех- и пятидиагональных систем уравнений было исследовано в рабо-те [112]. Популярной была механическая интерпретация алгебраических преобразований исходной системы при ее решении. Применялись различные итерационные приемы (например, в работах [68], [27], [37], [62], [83]). А. Ф. Смирнов развил применение теории матриц к задачам механики в монографии [100]. В статье [12] С. А. Бернштейн одним из первых обратил внимание па возможность проявления численной неустойчивости решения таких задач.
В целом следует отметить, что в рассмотренный период появились фундаментальные результаты, заложенные в основу современной теории расчета конструкций. Но значение ряда исследований могло быть оценено только позже, поскольку направления разработки были тесно увязаны с ручной технологией расчета. Поэтому важное место отводилось графическим, графоаналитическим и приближенным методам, многие из которых либо полностью исчезли из практики, либо сохранили лишь методическое значение, облегчая понимание работы частных видов конструкций.
В 60-е годы XX века произошло изменение направления основной массы научных исследований в связи с началом массового использования ЭВМ при инженерных расчетах конструкций. В частности, вместо разработок, призванных снизить трудоемкость ручного расчета, стали уточняться и усложняться расчетные модели конструкций. Также впервые и именно в указанный период была детально исследована проблема вычис- лительной неустойчивости в прикладных задачах.
В это время был опубликован ряд работ, позволяющих взглянуть на методы сил и перемещений с иной точки зрения. Так, А. П. Филин в статье [115] рассмотрел основные положения теории линейных упругих систем с позиций функционального анализа. Эти идеи были изложены в монографии [116]. Автор отказывается от понятия основной системы, что со-временем стали делать и многие другие разработчики компьютерных алгоритмов методов сил и перемещений. П. Гутьеррес в работе [30] с аналогичной позиции рассмотрел метод сил. Позднее появились две статьи Ю. Б. Гольдштейна и Ю. Б. Шулькина [22] и [23], где методы сил, перемещений и смешанный трактовались с геометрических позиций.
Идея использования сетевого подхода, предложенная Г. Кроном для физических задач различной природы в книге [51], была распространена на матричные методы строительной механики Ю. 3. Клемпертом и А. П. Филином в статье [45]. В более полной форме соответствующие.алгоритмы были сформулированы в монографиях А. П. Филина и др. [119], а также в книге Ю. Б. Шулькина [125]. В последней работе, кроме того, обсуждались конструкции, в состав которых входят и абсолютно жесткие элементы. Сетевой подход в дальнейшем стимулировал переход к использованию полной системы уравнений состояния стержневой конструкции для полного решения задачи о ее (конструкции) усилиях и перемещениях. Эти и аналогичные работы позволили по-новому оценить классическую теорию механики стержневых конструкций.
Определители методов сил и перемещений в задачах устойчивости и колебаний стержневых конструкций были исследованы в работах Я. Л. Нудельмана [64], А. Ф. Смирнова [101], Р. Р. Матевосяна [55]. Современ- нос состояние приобрела идея локализация базиса метода сил, восходящая еще к уравнению трех моментов для неразрезных балок. Первые систематические исследования, посвященные локализации базиса метода сил, были выполнены в статьях Е. С. Гребня [28, 29]. Почти сразу же эта тема получила продолжение в работах А. П. Филина [116, 117]. В дальнейшем -проблема локализвции базиса метода сил стала решаться на основе сетевого подхода. Однако, сложность заключалась в том, что неясны были правила получения такого базиса. Сегодня существуют только эмпирические методы его построения. Первоначально для решения этой задачи ис: пользовались линейные комбинации единичных состояний. Впоследствии О. Д. Тананайко и М. А. Шварц в статье [110] использовали для решения проблемы теорию графов. В дальнейшем при помощи теории графов были уточнены и развиты способы построения локального базиса метода сил в книге Ю. Б. Шулькина [125] и статье Ю. Б. Гольдштейна [20]. Ряд оценок и теорем, об оптимальности построенного базиса были даны также в статьях Н. Д. Сергеева [97]. [98[ и [99]. Таким образом, указанная проблема свелась к чисто топологической задаче.
В 80-90-е годы появились предпосылки к другому подходу для решения задач строительной механики. Это было связано с тем, что для сложных моделей, неукладывающихся в рамки хорошо разработанных м обоснованных экспериментально расчетных схем. традиционные методы, включая и МКЭ в сложившейся постановке, не всегда были удовлетворительны. Поэтому активно развивался подход, основанный на полной системе уравнений, включающей кинематические, статические и физические уравнения. При такой формулировке можно полнее оценить особенности рассматриваемого класса систем п выделить особые случаи (па- пример, обнаружить изменяемую конструкцию пли изменяемую основную систему),а при наличии абсолютно жестких элементов можно обнаружить чрезмерное закрепление этих элементов. В этих случаях к основным уравнениям добавляются иные соотношения типа равенств (например, при учете абсолютно жестких элементов) и/или типа неравенств (например, при учете односторонних связей). Рассмотрение полной системы уравнений может помочь также прийти к более удачному способу решения задачи, найденному, хотя бы, при сопоставлении различных вариантов построения системы разрешающих уравнений. Одним из первых получил полную систему для стержневых систем с помощью условно-экстремального принципа Рєзепіков Р. А. ([87]). Несколько ішаче была выведена полная система уравнений стержневой конструкции и проанализирована ее (колнструкции) топологическая структура в монографии Шулькина 10. Б. [125] и в книге Филина А. П. с соавторами [119]. В исследовании [125] также рассмотрены вопросы численного решения и регуляризации неустойчивых решений. В дальнейшем рассмотрение полной системы уравнений для стержневых систем попало и в литературу учебного характера, например, с книги Даркова А. В. и Шапошникова Н. Н. [31], Смирнова А. Ф. и др. [102], Чираса А. А. [122].
Метод конечных элементов (в дальнейшем МКЭ) в настоящее время является основным методом расчета стержневых и пестержневых конструкций. В подавляющем большинстве коммерческие и бесплатные программные средства содержат реализацию МКЭ. Поэтому имеет смысл отдельно рассмотреть литературу, связанную с этим методом.
Г. Крон в 1939 г. [142] разработал универсальные методы анализа сложных систем (например, электрических сетей или механических мпо- гоэлементных конструкций). Математические аспекты МКЭ были впервые рассмотрены Р. Курантом її [136] как вариант метода Ритца при выборе дискретных базисных функции. Здесь использовалось разбиение плоской области на треугольные элементы, в пределах каждого из которых базисные функции аппроксимировались линейными полипомами. 'Сам термин «конечный элемент» впервые появился в работе Р. В. Клафа [135]. Первоначально МКЭ развивался преимущественно в приложениях строительной механики. В этом аспекте одни из первых работ были опубликованы Дж. Аргнросом с сотрудниками, например. {128], [129], [130], [131], [132], [133]. В этой серии работ они обобщили линейную теорию расчета конструкций и развили методы исследования дискретных конструкций, ориентированные на использование вычислительной техники. Основные публикации Дж. Аргироса и его коллег были переведены на русский язык и опубликованы в монографии [103].
Первое изложение МКЭ в виде, принятом в настоящее время,.было сделано в работе Тернера, Клафа, Мартина и Топпа [145].
Когда впоследствии были сформулированы основы МКЭ в вариационной форме, появились возможности для широкого использования этого метода и в других областях механики твердого деформируемого тела и физики. Здесь следует отметить, что в литературе существует несколько формулировок МКЭ, отличающихся тем, какой вариационный принцип и соответствующий функционал были использованы для получения определяющих соотношений. Наиболее распространен принцип Лагран-жа, который приводит к МКЭ в форме метода перемещений. В этом случае разрешающие уравнения задачи имеют смысл уравнений равновесия, а основные неизвестные представляют собой перемещения узлов. Таким образом, имеется аналогия с классическим методом перемещений расчета стержневых конструкций, что и дало повод дать такое же имя и соответствующей формулировке МКЭ. Принцип Лагранжа оказался наиболее удобным для получения разрешающих уравнений п, в особенности, для учета граничных условий. Поэтому, хотя в литературе известны и дру--гие вариационные принципы, в программных реализациях используется только МКЭ в перемещениях. Формирование уравнений МКЭ с помощью принципа Лагранжа описывается практически в любой монографии, среди которых наиболее известные такие работы, как книги Р. Галлагера (16], О. Зенкевича [40], Д. Норри и Ж. Де Фриза [63].
Принцип Кастильяно приводит к разрешающим уравнениям в силах. Роль основных неизвестных в этих уравнениях, имеющих смысл условий совместности перемещений, исполняют статические параметры. На практике решение задачи в силах выполняют очень редко, хотя соответствующая теория развита достаточно глубоко. В частности, в упомянутых работах Дж. Аргироса решение задачи о напряженно-деформированном состоянии конструкции в силах было рассмотрено очень подробно. Обсуждение МКЭ в данном виде содержится в монографии Р. Галлагера [16], где говорится также и о недостатках обоих обсуждаемых подходов при получении уравнений МКЭ.
Смешанные (например, Репсснера п Ху-Вашицу) и гибридные вариационные принципы еще дальше от практического воплощения, хотя теоретические исследования содержат немало рекомендаций по построению уравнений смешанного типа. Подробное рассмотрение вопросов, связанных с этими формулировками МКЭ, также имеется в монографии [16]. Отдельные задачи МКЭ рассматриваются, например, в книгах Р. Б. Ри- кардса [88] и А. Н. Масленникова |54|.
Таким образом, теория МКЭ идет впереди практики it определенный интерес представляла бы реализация этого метода в силах и перемещениях в рамках одного программного средства, что открывало бы путь к двусторонней оценке (сверху и снизу) точного решения задачи.
Охватить библиографию МКЭ, насчитывающую тысячи наименований, здесь не представляется возможным, поэтому остается упомянуть наиболее известные публикации общего характера, разделив их на две группы. К первой отнесем работы математического характера, связанные с обоснованием МКЭ. К числу наиболее известных и цитируемых можно отнести исследования Ж. Деклу [32], Дж. Одена [65]. Г. Стренга и Дж. Фикса [107], В. Г. Корнеева [49], Ф. Сьярле [108], Э. Митчелла и Дж. Уэйта [60]. Ко второй группе можно отнести монографии прикладного характера, в том числе - и обзорные. Это работы Р. Галлагера [16], Д. Норри и Дж. де Фриза [63], Л. А. Разина [91], О. Зенкевича [40], К. Бате и Р. Вильсона [5], Л. Сегерлинда [95], В. А. Постнова и И. Я. Харх-урима [75], В. А. Постнова и др. [76], О. Зенкевича и К. Моргана [41], Р. А. Хечумова и др. [120].
Следует отметить, что МКЭ хорошо приспособлен для решения более или менее регулярных задач расчета конструкций, с не слишком резко меняющимися физическими и геометрическими характеристиками. Если говорить об абсолютно жестких элементах конструкции, то, вероятно, для их описания можно предложить соответствующий конечный элемент, но это приведет к усложненному, окольному пути решения задачи, требующему, кроме того, специальной реализации технологии расчета, которая бы отличалась от традиционно применяемой в настоящее время. Вот поче- му, несмотря на то, что, казалось бы, любые задачи решаются с помощью МКЭ, в 70-е и последующие годы прошлого века продолжали появляться публикации по классическим методам расчета, стержневых систем. Этим вопросам были посвящены, например, работы Александрова А. В. и др. [2], Перельмутсра А. В. и Сливкера В. И. [71], Розииа Л. А. [89] и [90], Тананайко О. Д. и Шварца М. А. [109] и [110]. Внимание в указанных работах уделялось в основном аспектам расчета, существенным для задач высокой размерности или при автоматизации алгоритмов. Проблемы алгоритмизации для потенциального использования компьютеров вообще, начиная с 70-х годов XX века, занимают существенное, если не основное место в основной массе публикаций. Таким образом, п метод сил, и метод перемещений, и смешанный метод расчета стержневых конструкции продолжают развиваться.
Итак, к концу прошлого века инженеры получили в свое распоряжение мощную вычислительную технику и достаточно продвинутые программные продукты, покоящиеся как на фундаменте на тех теоретических разработках, которые в течение многих десятилетий кропотливо готовили специалисты в области механики. Но далеко не все пользователи обладали той квалификацией, которая необходима для адекватной оценки возможностей попавших в их руке инструментов. Кроме того, проявились недостатки конечноэлементного моделирования, которые при теоретических рассмотрениях незаметны и обнаруживаются лишь при массовом решении задач высокой размерности. Своп особенности, затрудняющие как анализ напряженного состояния тела, так и оценку результатов решения задачи, имеет расчет стержневых конструкций. На такого рода проблемы обращает внимание, например, статья Криксупова Э. 3. и Перельмутсра
А. В. |50]. II вообще, число публикаций, посвященных данной теме, достаточно велико. Это связано с тем, что разработчикам приходится вкладывать в программные средства собственные идеи, развивающие теорию. Кроме того, для грамотного моделирования расчетной схемы с использованием специфичных для каждой программы средств (таких, например, "как «нуль-элементы» в комплексах ЛИРА и SCAD), необходимо подробное описание заложенных в эти средства идей. Можно отметить в ряду подобных публикаций статьи, посвященные программе SCAD: Карпнлов-скин В. С. и др. [44], ЛИРА: Городецкий А. С. и др. [25], Карпиловский А. С. и др. [43], методические рекомендации, описывающие специфику программы [59], [58].
Рост размерности решаемых задач заставил обратиться к решению еще двух проблем: ввода исходной информации и осмысления полученных результатов. Техническая возможность увеличения детализации расчетной схемы может привести, как и в случае чрезмерно грубой модели, к результатам, слабо связанным с работой реальной конструкции. Это вызвано, с одной стороны, с вычислительной неустойчивостью, с другой стороны - с ростом неопределенности входных данных. Каждый входной параметр задан с конечной точностью, что особенно заметно проявляется при расчете стержневых конструкций. Рост объема выходных данных при увеличении размерности задачи затрудняет их осмысление как с точки зрения рационального проектирования, так и при проверке непротиворечивости исходной модели (в том числе и поиск явных ошибок проектировщика), Таким образом, при решении указанных проблем требуется оптимизировать не только сами расчетные алгоритмы, но и процессы задания входной информации и обработки информации на выходе, что нашло свое отражение в литературе последних лет. В общей постановке эти задачи обсуждаются, например, в статьях А. С. Городецкого, А. В. Псрельмутера, В. И. Сливкера [26] и Э. 3. Крпксунова и А. В. Перель-мутера [50]. Разработанные к настоящему времени подходы и алгоритмы подытожила монография А. В. Перельмутера, В. И. Сливкера [72].
Массовое распространение персональных компьютеров, сопровождавшееся быстрым ростом их средней производительности, в свою очередь повлияло на развитие теории. В настоящее время любому исследователю доступны вычислительные мощности, сравнимые с характеристиками суперкомпьютеров начала 80-х годов прошлого века. Как следствие, значительно дешевле стал обходиться вычислительный эксперимент, что нашло свое отражение в литературе. В качестве одной из первых работ, в которых подробно рассматривался вычислительный эксперимент, можно упомянуть книгу И. Бабушки, Э. Витасека, М. Прагера [4]. Примером современного изложения могут служить книги А. В. Перельмутера, В. И. Сливкера [72], Хечумова Р. А., Кепплера X., Прокопьева В. И. [120] и Шардакова И. Н., Труфанова Н. А., Матвсенко В. П. [123].
Широкие возможности получения информации через Интернет не могли не наложить свой отпечаток на характер публикации. Зачастую публикации появляются сначала в электронном варианте или одновремен но с бумажным. Одной из возможностей обсуждения расчетноіі модели конкретной конструкции и ее расчета является общение со своими колле гами и специалистами на сайтах, предоставляемых различными эксперт ными компаниями. Среди них, например, компании-производители коиеч- ноэлементных программ MSC Software Corp.( ) и Structural Analysis Research Coip.(. ), MSC/Nastran и Cosmos/M. Таким образом, и настоящее время стали доступными оперативные консультационные и расчетные услуги профессионалов в области механики сплошных сред. Подробно о такого рода услугах говорится в обзорной статье [146].
3. Литературный обзор исследований по некоторым направлениям биомеханики. Разработка методов анализа конструкций, состоящих из соединенных податливыми связями абсолютно жестких элементов, создает основу для решения проблемы физически адекватного, корректного с точки зрения механики и эффективного в вычислительном отношении моделирования скелетно-мышсчнои системы опорно-двигательного аппарата человека. Проблема, вообще говоря, относится к мультидисци-плинарным (в ставших классическими работах Н. А. Бернштейна, например, модель живого движения изучается с позиций биомеханики, физиологии, теории автоматического регулирования процессов) и условно может быть разделена на ряд частных, но не менее актуальных проблем. Анализ публикаций показывает, что ключом к решению многих прикладных задач явилась бы разработка достаточно универсального подхода к анализу сил в мышцах и нагрузок на суставы без ограничений на их число. К настоящему времени в механике твердого деформируемого тела получены результаты, которые в сочетании с данными но физиологии и анатомии человека позволяют такой подход разработать, по крайней мере, на концептуальном уровне. Ясно, что его реализация требует использования математических методов и информационных технологий.
Задачи, связанные с проблемой моделирования скелетио-мышечной системы опорно-двигательного аппарата позвоночных изучаются в соот- ветствующпх разделах биомеханики и рассматриваются авторами многочисленных статей в специализированных журналах, монографиях и учебниках, а также обсуждаются на конференций и на страницах Интернета. Эти задачи привлекают внимание специалистов многих стран, что делает естественным сложившийся порядок публикаций в обсуждаемой области знаний главным образом на английском языке. Тот факт, что число таких публикаций велико, говорит об актуальности исследований и о наличии большого числа пока еще нерешенных задач. Свидетельствуют об этом и материалы четырех Всероссийских конференции по биомеханике, проведенных в последние 10 лет Российской академией наук. Из всего круга задач биомеханики опорно-двигательного аппарата далее рассматриваются: (1) анализ генерируемых мышцами сил, необходимых для поддержания заданной пространственной конфигурации скелета; (2) определение нагрузок на суставы в той же конфигурации. Вопрос о том, каким образом центральная нервная система управляет активностью большого числа мышц, не исследуется. Цель заключается в определении конечного (и необходимого с точки зрения механики) результата этого управления в фиксированный момент времени. Результат управления - определенное сочетание сил в мышцах. Данный раздел биомеханики интенсивно развивается, при решении задач используются новые алгоритмы (включая нейронные) и быстродействующие компьютеры (включая многопроцессорные).
Приведем краткий обзор работ, характеризующих развитие данной области исследований. Получить достаточно полное представление о разработанных до начала 70-х годов XX века методах определения сил в мышцах и нагрузок на суставы позволяет книга X. А. Янсопа [127], в ко- торой отражены результаты, полученные как автором, так п другими исследователями. Для публикации этого периода типично определение сил в мышцах и нагрузок на суставы из уравнений равновесия. Использование только уравнений равновесия ограничивает класс задач статически определимыми системами. Моделируемую скелетно-мышсчную систему при-- водили к статически определимой структуре, объединяя несколько мышц в одну или не учитывая мышцы с малым поперечным сечением. Такой подход не мог обеспечить достаточную адекватность модели. Тем не менее, теоретические исследования в сочетании с экспериментальными данными позволили получить в этот период ряд важных для травматологии результатов. Например, А. И. Сеппо разработал фиксатор, применяемый и в настоящее время при лечении переломов шейки бедра [96]. Определяя из уравнений равновесия максимумы сил, действующих на суставы, авторы исходили из подтверждаемой экспериментом пропорциональности генерируемых мышцами сил площади их поперечного сечения. По механике мышечного сокращения классическими стали работы А. Хилла. В книге [121] лаконично изложены результаты по механике мышц, основанные на проводившихся в течение примерно 50 лет экспериментах. Из числа обнаруженных А. Хиллом закономерностей отметим одну, состоящую в линейном характере зависимости межд\' силой изометрического сокращения и укорочением мышцы при напряжениях, превышающих примерно 40% максимальных напряжений. В книге А. Хилла приведены также данные о вязкоупругнх свойствах мышц. Информация о свойствах мышц содержится и в статьях [124], [74].
В монографии [10] изложение материала сопровождается фотографиями препаратов мышц, что может оказаться полезным 'при разработке модели сложной скелетно-мышсчпон системы без ограничений па число мышц. Развитие биомеханики скелетпо-мышечноп системы опорно-двигательного аппарата человека в значительной мере обусловлено потребностями в детальном описании причин переломов костей и в определении нагрузок на поврежденную конечность. О сложившейся в этой 'области к началу семидесятых годов XX века ситуации подробно говорится в заключительной главе обзора [19], посвященного систематизации результатов экспериментов, которые выполнялись в течение 1840-1970 годов. Приведем цитату из этого обзора: «Следует подчеркнуть, что в исследованиях костей как элементов конструкции был опущен один бросающийся в глаза аспект, а именно то обстоятельство, что кость есть только часть взаимодействующей системы элементов, состоящей из присоединенных к ней сухожилий, мышечных тканей и, возможно, других элементов. Очень сложная проблема статического и динамического взаимодействия в естественных условиях не была до .сих пор даже сформулирована должным образом, и все еще ждет систематического внимания, которого она заслуживает. И, наконец, скелет в целом как конструкция должен быть рассмотрен как теоретически, так и экспериментально».
Очередной этап в решение этих задач связан с компьютеризацией исследований и развитием численных методов анализа конструкций. К началу 90-х годов прошлого века сформировалось несколько подходов к решению задач биомеханики опорно-двигательного аппарата человека. Обзор работ, опубликованных к этому времени, охватывающий период примерно в 20 лет, дан в статье [39]. Дополняет обзор книга [38]. Как правило, в модели опорно-двигательного аппарата учитывают лишь крупные кости (таз, бедро, голень, стопа). Их физико-механические свойства изу- чсны достаточно подробно [4G|. Суставы рассматрішаются' как идеальные кинематические пары. Число сухожильно-мышечных комплексов на одну нижнюю конечность достигает 47. Координаты точек прикрепления сухожилий к костям определяются по анатомическим данным и могут быть уточнены, например, с использованием томографии. Но фактически -модели скелетно-мышечной системы снабжаются, как правило, гораздо меньшим количеством мышц. В работах по биомеханике констатируется, что число мышц опорно-двигательного аппарата больше, чем минимально необходимо для координированных многосуставных движений (число мышц избыточно, оно больше числа степеней свободы скелетной системы).
Использование только уравнений равновесия не позволяет выполнить анализ статически неопределимой структуры и однозначно найти силы в мышцах. Поэтому возникло предположение, что центральная нервная система распоряжается силами каждой из мышц таким образом, чтобы вызвать нужное движение и оптимально им управлять. В этой связи в 1978 году появился ставший к настоящему времени общепринятым термин «проблема избыточности в биомеханике» [134]. Отметим, однако, что эта проблема в более общей постановке исследовалась еще в работах Н. А. Бериштейна. который видел задачу координации движений управляемых кинематических цепей в «связывании избыточных степеней свободы». Он пишет [11|: «В преодолении избыточности степеней свободы движущегося органа, т. е. в превращении последнего в управляемую систему, как раз и заключается основная задача координации движений».
Сложившиеся обстоятельства стимулировали развитие оптимизационного подхода к анализу сил в компонентах скелетно-мышечной систе- мы. Критерием оптимальности может быть, например, минимум максимальной мышечной силы или минимум затрат энергии при движении. Сводка эмпирических целевых функций, отвечающих этиле критериям, приведена в статье [39]. Предлагались также и численные методы решения задач оптимизации, направленные на поиск таких значений сил и -мышцах, которые доставляли бы минимум целевой функции при ограничениях в виде равенств (уравнения равновесия) и в виде неравенств, ограничивающих искомые силы сверху и снизу. Поскольку сухожильно-мышечные комплексы воспринимают только растяжение, то нижняя граница силы равна нулю. Верхняя граница силы каждой из мышц Fmax = К - А, где К - константа, А - площадь поперечного сечения мышцы. В настоящее время задачи оптимизации движений рассматриваются в спортивной биомеханике [86].
Исследования, связанные с решением проблемы избыточности в биомеханике, продолжаются ([147], [137]). Эксперименты, сопровождающие эти исследования, описываются в работах [140], [143]. Однако остается незамеченным то обстоятельство, что искомые силы, как показано, например, в книге [21], должны удовлетворять не только уравнениям равновесия, но также геометрическим и физическим соотношениям (т. е., полной системе уравнений). И если результаты вычислений согласуются в ряде случаев с экспериментом, то достигается это за счет удачного подбора соответствующих целевых функций и ограничений в форме неравенств. Решение полной системы уравнений как раз и представляет собой тот единственный набор сил в мышцах, который только и может наблюдаться в каждом фиксированном состоянии скелетно-мышечной структуры. Центральная нервная система управляет активностью мышц, изменяя их длину и жесткость, перераспределяя тем самым силы в мышцах. Но каждому моменту времени соответствует определенное состояние скелетно-мышечной структуры, и в этом состоянии силы среди мышц распределены таким образом, что они с необходимостью удовлетворяют полной системе уравнений. Таким образом, решая полную систему уравнений для каж- дой конфигурации скелетной системы, можно однозначно найти силы в мышцах.
Для решения задачи о состоянии скелетно-мышечной системы предлагается использовать также так называемые нейронные алгоритмы анализа движений позвоночных [139], имитирующие функционирование центральной нервной системы, которая управляет активностью мышц. Известно, что нейронные алгоритмы, как правило, весьма медленны, что требует максимального сокращения поискового пространства. Но если в моделях скелетно-мышечной структуры учитывать только уравнения равновесия, то поисковое пространство существенно расширяется. Уравнения равновесия имеют множество решений, среди которых действительным является только одно - то, которое удовлетворяет еще геометрическим и физическим соотношениям задачи [21]. Использование полной системы, состоящей из уравнений равновесия, геометрических и физических соотношений повысило бы эффективность алгоритмов. Пока же сокращение поискового пространства достигается за счет уменьшения числа мышц в моделях, что снижает адекватность последних. Типичным является пример модели, состоящей из восьми жестких сегментов (голова, руки, корпус, бедренные кости, объединенные с голенями стопы) и двадцати мышц [139]. В работе [138] при исследовании движений тазобедренных суставов предлагается учитывать 27 мышц для каждого из них.
Ясно, что модели такого рода могут успешно применяться только при решении некоторых частных задач.
В обзоре [39] рассмотрены еще такие способы решения проблемы избыточности: (1) снижение числа искомых сил мышц до числа степеней свободы; (2) увеличение числа уравнений до числа искомых сил. Первый способ состоит в объединении мышц с одинаковыми функциями в одну мышечную группу. При решении задачи вторым способом скелетно-мышечная система рассматривается как статически неопределимая конструкция с деформируемыми костями, для анализа которой применяется, например, метод конечных элементов. Однако построение модели из столь различных по жесткости компонентов, как кости н сухожильно-мышечные комплексы приводит к плохой обусловленности системы уравнений и большим погрешностям вычислений. Этот путь эффективен при детальном анализе напряженно-деформированного состояния лишь отдельно взятых суставов, костей ([1],[141]) или мышц [144], нагрузки на которые должны быть известны. Их можно найти, например, предварительно решив задачу первым способом. Но тут снова может возникнуть вопрос об адекватности модели.
Сложности второго способа моделирования скелетно-мышечной системы возникают из-за необходимости учитывать деформацию костей. Эти деформации столь малы по сравнению с деформациями сухожильно-мышечных комплексов, что совместный учет тех и других деформаций делает модель некорректной. Кроме того, велики погрешности экспериментального определения физико-механических свойств материала костей. Преодолеть отмеченные сложности можно, если в качестве модели скелетно-мышечной системы выбрать структуру из бесконечно жест- ких элементов, соединенных податливыми связями. Такая'модель может включать любое требуемое для ее адекватности количество связей и сегментов. Первый опыт применения полной системы уравнений при моделировании скелетно-мышечной системы кратко описан в работе [47]. Кости моделировались абсолютно жесткими элементами. В модель включены Q7 мышц бедра. Отмечается, что результаты вычислений не противоречат независимо полученным экспериментальным данным. На аналогичном подходе, использующем полную систему уравнений, построена трехмерная модель скелетно-мышечной системы о порно-двигательного аппарата человека, снабженная 54 мышцами [48]. Модель включает обе конечности, что позволяет изучить распределение сил в мышцах и нагрузок на суставы при асимметрии, вызванной, например, патологией одной из конечностей и передвижением с дополнительной опорой (трость, перила лестницы). Рассматриваются медленные движения, типичные для пациентов с повреждениями бедра. В этом случае можно пренебречь силами инерции. Приведены согласующиеся с экспериментом результаты вычислений нагрузок иа тазобедренный сустав в одноопорной фазе медленной ходьбы (до 2 км/час). В заключение описания данной модели отмечается ее прикладное значение, состоящее в возможности прогнозирования биомеханических условий функционирования конечностей, что может быть учтено при формировании соответствующих рекомендаций для пациентов в период реабилитации.
4. Расчетная модель системы несущих конструкций. Применяемые в инженерной практике силовые конструкции могут иметь элементы, жесткостные характеристики которых отличаются друг от дру- га на несколько порядков. Что же касается скелстио-мышечпой системы позвоночных, то в ней сочетание существенно отличающихся по физическим параметрам компонентов неизбежно. Если система содержит весьма жесткие элементы, то на ее состояние большое влияние оказьтает податливость узловых соединений. В качестве примера можно привести деревянные конструкции, брусья которых соединяются при помощи болтов, металлических нагелей или зубчатых шпонок. В настоящее время большое внимание уделяется реставрации зданий и сооружений, построенных в далеком прошлом и имеющих большую архитектурную и историческую ценность. В их число входят и деревянные постройки, основу которых составляют срубы. Целостность узловых соединений последних обеспечивается только трением. Широко применяются на пркактике и стержневые конструкции (деревянные, металлические, полимерные) с регулируемой жесткостью узловых соединений. В биомеханических моделях е роль стержней отводится костям. Модель тела, состоящую из бесконечно жестких стержней с податливыми связями между собой, можно использовать также и для орисания движения многозвенных механизмов. Податливостью узлов в данном случае моделируются силы трения между звеньями. Другим примером служит класс конструкций, основу которых составляют гибкие нити (ванты, тросы, кабели). Расчету таких конструкций посвящена обширная литература, например, монографии Р. П. Ма-целинского [56], А. В. Перельмутера [70], Д. Р. Меркина [57]. Расчет ведется в геометрически нелинейной постановке, причем ход этого расчета во многом зависит от выбора начального приближения. Вычислительные аспекты методов решения нелинейных задач в общей постановке обсуждаются, например, в монографиях Дж. Ортеги и В. Реппболта [66] и Дж.
Дэннисе п Р. Щнабеля [34]. Адаптированный для расчета гибкой нити метод был предложен Ю. Б. Шулькииым и А. О. Кунцсвичем в статье [126]. Но автору неизвестно о существовании специализированных программных средств, предназначенных для расчета в геометрически нелинейной постановке вантовых конструкций. Как правило, гибкая пить в -конечноэлементных программах моделируется стержневыми элементами, воспринимающими усилия обоих знаков.
Нами предлагается использовать для таких расчетов модель, в основу которой положены абсолютно жесткие элементы, соединенные с узлами податливыми связями. Гибкая нить заменяется набором таких элементов с подобранными соответствующим образом жесткостями связей, Задача решается в линейной постановке шаговым методом. Хотя соответствующие уравнения задачи могут быть получены как частный случай соотношений, полученных в главе 1, целесообразно вывести их отдельно, что существенно упрощает все уравнения задачи, так как они могут быть получены с учетом специфики данного вида конструкций. Хотя все выкладки самомостоятельны, однако терминология и обозначения используются те же, что и выше.
Для всех указанных выше моделей характерны две особенности: (1) жесткость элементов значительно превышает жесткость узловых соединений, (2) податливость узловых соединений конечна и вносит подавляющий вклад в напряженно-деформированное состояние системы в целом. Расчет подобных конструкций напрямую, «в лоб», наталкивается на сложности, поскольку решение будет вычислительно неустойчивым. Аналогичная ситуация возникает в методе перемещений при задании конечной осевой податливости стержней. Расчетная схема конструкции по- лучается неправдашю переусложпепнной, причем наиболее сажная для оценки ее состояния информация невольно оказывается замаскированной настолько, что ее зачастую даже не удается отыскать среди большого объема информации на выходе. Поэтому естественен подход к решению проблемы, основанный на пренебрежении малого вклада деформативно-ети стержней в общую картину перемещений системы по сравнению с теми перемещениями, что обусловлены податливостью узлов. Это означает, что стержневые элементы расчетной схемы наделяются бесконечно большой жесткостью (нулевой податливостью). Таким образом, мы приходим к естсстваенной для описания работы рассматриваемого класса конструкций расчетной схеме - бесконечно жесткие стержни соединены податливыми связями.
Хотя в настоящее время в Российских нормах рекомендации по выбору податливости узловых соединений практически отсутствуют, некоторые указания по необходимости учета конечной жесткости межстержневых связей все же имеются. Например, В СНИП П-25-80 «Деревянные конструкции» предлагается определять деформации деревянных конструкций или их отдельных элементов с учетом податливости соединений. В нормы Евросоюза - еврокод - такие рекомендации уже включаются, в частности, для металлических конструкций.
Казалось бы, развитый аппарат строительной механики, реализованный в универсальных программных средствах, должен был бы позволить рассчитывать и конструкции, описываемые при помощи предложенной выше модели. Ведь в библиотеках современных консчноэлсмеитных программ есть абсолютно жесткие элементы и элементы, представляющие собой податливые соединения. Но на деле эти программы решать та- кую задачу отказываются из-за вырождаемости матрицы разрешающих уравнений в случае, когда расчетная схема вовсе не содержит податливых стержневых элементов или этих элементов недостаточно. Такое поведение демонстрируют программные комплексы «Лира», «Зенит», Cosmos/M, MSC/Nastran. Кроме, того отказ от обслуживания рассматриваемой модели конструкции обусловлен негибкостью архитектуры расчетных модулей современных программ. Все они реализуют для решения большинства задач (кроме, например, контактной задачи) МКЭ лишь в форме метода перемещений. Это означает, что из всего набора параметров состояния системы для получения окончательной формулировки задачи (т. е. разрешающих уравнений) исключаются все неизвестные, кроме узловых перемещении. При наличии абсолютно жестких элементов зачастую получаются расчетные схемы, описать состояние которых можно только в силах. Следовательно, имеющиеся промышленные программные средства для анализа напряженно-деформированного состояния систем абсолютно жестких стержней, податливо сопрягаемых между собой, непригодны и необходима разработка специальных программных продуктов. А для этого сначала надо построить теорию систем указанного выше типа, создать необходимые вычислительные алгоритмы и только затем приступить к написанию вычислительных программ и программ сопровождения расчетов.
5. Состав диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложения. Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются цели исследования и научные положения, выносимые на защиту. Рассмотрено развитие расчетных методов механики стержневых систем и построения алгоритмов расчета, ориентированных на компьютерные вычисления. Приводится обзор литературы.
В первой главе рассматриваются отдельные абсолютно жесткие стержневые элементы, узлы и узловые связи трех типов: абсолютно жесткие, абсолютно податливые и упругие л иней но-податливые. Последовательно выводятся уравнения равновесия, кинематические уравнения и физические уравнения для каждого стержня.
Во второй главе получена полная система уравнений для конструкции в целом.
В третьей главе обсуждаются вопросы, связанные с оценкой точности решения задачи высокой размерности.
В четвертой главе рассматриваются примеры, иллюстрирующие работу с рассматриваемой моделью при расчете конструкций, податливость которых сосредоточена в ее узлах. Кроме того, ставилась цель убедится в достоверности результатов, получаемых при помощи предложенной модели.
В приложение вынесен список обозначений, используемых в тексте диссертации.
Кинематические уравнения стержня
В настоящей главе рассматриваются пространственные конструкции, элементами которых являются бесконечно жесткие стержни. Стержни крепятся к узлам при помощи шести связей: абсолютно жестких, податливых и с нулевой жесткостью. Последовательно выводятся уравнения равновесия, кинематические уравнения и физические уравнения для каждого стержня, а затем и для конструкции в целом. Приводятся разрешающие уравнения задачи в силах и перемещениях. Обсуждаются методы их решения. Описание рассматриваемого объекта требует большого числа символов и сложной индексации. Поэтому для облегчения использования текста в приложении приводится полный список используемых обозначений (см. приложение 1, с. 163). 1. Жесткий стержень как элемент конструкции 1.1. Кинематические уравнения стержня
Если стержень абсолютно жесткий, то очертание его осп не сказывается на пе ремещениях узлов конструкции и на уси b(beg) лиях по концам стержней. Это позволя ет при выводе полной системы уравнений конструкции заменить стержень вектором Lc. Вектор Lc направляется из начала стерж ня в его конец (рис. 1.1.1а). В качестве на Рпс. 1.1.1. чальпого торца может быть выбран любой торец стержня - например тот, который подходит к узлу конструкции, имеющему меньший помер. Кроме того, можно не обращать внимание на эксцентриситеты в местах прикрепления стержней к узлам и проводить вектор Lc не между центрами торцевых сечений стержня, а между узлами, к которым этот стержень крепится (рис. 1.1.16). Учесть же влияние эксцентриситета на распределение усилий в стержне можно будет уже - после того, как определятся торцевые силы всех элементов конструкции. При абсолютно жестких стержнях не нужно вычислять геометрические характеристики поперечных сечений элементов, а потому не требуется вводить локальные базисы стержней (т. е. указывать, как ориентированы главные центральные оси инерции поперечных сечений). Глобальная система координат, конечно же, необходима. Будем считать, что ее оси —і ОХ, ОУ, OZ образуют левую тройку. Ориентация вектора Lc в этом базисе определяется направляющими косинусами 1с.тс,пс. Длина вектора Lc будет обозначаться через Сс.
Перемещение стержня с номером с может быть охарактеризовано векторами перемещений Wc и Wc его торцов. Верхний индекс, помещенный в скобкиСказанное означает, что положительные усилия в начале стержня параллельны осям глобального базиса, а в конце стержня - антипараллельиы этим осям. В остальном векторы Wc , Wc сопряжены с векторами Sc , Sc по работе, а потому матрицу статических уравнений конструкции можно получить, транспонируя матрицу кинематических уравнений и за меняя в пси компоненту Lc на —Lc. Стало быть, при отсутствии нагрузки на стержень будем иметь (см. формулу (1.1.1а)) (-Lc)TS 6,-S c) = 0.
Если же пролетная нагрузка имеется, то в левую часть только что записанного равенства надо ввести вектор Rc, компонентами которого являются составляющие Rc\, R&, R& главного вектора и ЯС4, Rcs, Rc6 главного момента заданного воздействия на стержень, отнесенные к его концу: (E-Lc)TS?-S + Rc = 0; (1.1.9) л! #el с2 &cZ ЯС4 І?С5 Дсб Уравнению (1.1.9) отвечают следующие скалярные соотношения; S - 5 + Леї = 0, -псс5 + тсс5 } + S{$ - S# + Яс4 = О, $с2 $с2 + с2 = 0, ncCcScl lcCcSc3 + Sc5 - Sc5 + Яс5 = О, SJ? + RcZ = О, -SgWc + S$leCc + SJ? - S$ + Ясб = 0. (1.1.9a) Можно проверить, что левая группа этих формул приравнивает к нулю сумму проекций всех сил, приложенных к стержню, на оси OX, OY, OZ глобального базиса, а вторая группа соотношений (1.1.9а) приравнивает к нулю суммы моментов действующих на стержень сил относительно осей OX, OY, OZ. Равенство (1.1.9) позволяет выразить усилия в конце с-го стержня через усилия, действующие в его начале: S = (Е - LC)JS ± Rc. (1.1.10)
Именно это уравнение и будем называть уравнением равновесия стержня. Составим уравнения равновесия (1.1.10) для стержней, показанных на рис. 1.1.3, 1.1.4 и 1.1.5, добавив предварительно к стержням 1 и 3 пролетную нагрузку. , указывает на то, к какому торцу стержня (начальному пли конечному) относятся перемещения.
Кинематические уравнения конструкции
Статические и кинематические уравнения конструкции являются двойственными, так как статические и кинематические параметры, описывающие состояние рассматриваемой конструкции, сопряжены по работе. Это позволяет записать объединенные кинематические уравнения (1.5.9) в виде о1 U = FT6{b) + 7(е)?е) + W, (2-3.1) где а - матрица, транспонированная по отношению к матрице а уравнений равновесия (2.2.1). Матрица ат имеет GC - J2c c строк и kJk столбцов. Остальные матрицы и векторы, «ходящие її уравнение (2.3.1), определяются записью (1.5.9), а именно: U = №} Зр1 3? " С//І-+1 (} , " = ЙЧ , " = й" ,и = щ {Ок} "с . . UK+K0 причем матрица FT является транспонированной по отношению к матрице F, введенной в предыдущем пункте. Наконец, ЛЧ-1 К+Ко = с Ісї } 6-dc строк " ІСІ FC AV С столбцов Рис. 2.3.1.
Уравнения (2.3.1) позволяют однозначно найти перемещения узлов конструкции по заданным осадкам опор и интегральным деформациям податливых связен только в статически определимой конструкции (см. условие (2.2.3)). Для статически неопределимой конструкции уравнение (2.3.1) решения не имеет. В этом случае конструкцию, у которой пет податливых связей, рассчитать не удастся. В частности, нельзя рассчитать конструкцию, изображенную па рис. 2.3.1. Для нее 6С = 12, Y c c = О, J\ — 6 и (см. формулу (2.2.3а)) Л + Y c c = 6 6(7 — 12. Впрочем, тот факт, что в закрепленной статически неопределимой конструкции из абсолютно жестких стержней перемещений быть не может, а усилия в ней невычислимы, неожиданным не является. Но если среди связей имеются податливые, то к искомым Yk к узловым перемещениям добавляются неизвестные интегральные деформации податливых связей. Пусть тс max(flebeg(c), fleend(c)). Тогда необходимое условие существования решения задачи может быть записано так: с к с
В частности, если в опорном узле 2 (см. рис. 2.3.1) все шесть связей податливые, то условие (2.3.2) дает 6+6 = 6-2. И хотя перемещения в такой конструкции по-прежнему отсутствуют, усилия в ней найти можно. Дело сводится к расчету Г-образного консольного стержня, защемленного в опорном узле 3.
Вернемся к примеру. Поскольку опоры конструкции, изображенной на рис. 1.3.4, неподвижны, то U — 0 и остается указать лишь матрицы 7 и F . Квазидиагональ пая матрица FT состоит из блоков FjT, F2T, даваемых формулами (1.5.11) и (1.5.13), и блока F3T = Е. Известны так-же все три блока FL Л , F2 Л22 и А$$ квазидиагональной матрицы 7L , которые приведены в п. 5 непосредственно после записи формул (1.5.11), (1.5.13), а также в п. 4 (это касается матрицы Л3з = Е — L$). Приведем % окончательную запись матриц, определяющих уравнение Тогда (см. обозначения для остальных векторов и матриц и п. 2, 3 гл. 2) D{b)Fp + D(V = ЇЇЬ\ D[e)Fp + Dwp + DQR = еї- І2ЛЛ) Можно отметить лишь, что блочно-диагопальные матрицы D имеют по Y cf e9{c) и I]c fleend{c) строк соответственно и по 6(7 столбцов. Для конструкции, изображенной на рис. 1.3.4, р = 0 и физические уравнения (2.4.1) конструкции имеют вид р) = D{b)Fp\ е) = D&Fp + DR. (2.4.1а) Блоки матриц D b\ D (диагональных) и столбца DQR были получены в п. 7 при записи соотношений (1.7.8а), (1.7.9а), и (1.7.11а). Приведем их и здесь, положив Г(М=Г) rW = ra\ где А1т - жесткость линейных связей, одинаковая для всех них, а г го -общая для всех поворотных связей конструкции жесткость. Другими словами, Гс1 — Гс2 — ГсЗ - Г Гс4 — Гс5 — Гсб — Гй Тогда
Оценки качества решения
В настоящее время задачи механики, встречающиеся на практике, имеют весьма большую размерность: от нескольких десятков до нескольких сотен тысяч неизвестных. Для решения таких задач предлагается использовать специализированные расчетные программы (Ansys, Cosmos, SCAD и др.), с помощью которых получают результаты расчета в численном и графическом виде. Однако о качестве решения должен судить сам пользователь, апеллируя к своему опыту и используя уже известные аналогичные проекты. Кроме того, надо иметь в виду, что разработчики программ сообщают сведения, необходимые для анализа качества решения задачи в недостаточном объеме. Если же некоторые сведения и сообщаются, то без количественных оценок.
Если пользователь не удовлетворен полученным результатом, то он принимает меры, необходимые для получения удовлетворяющего его решения. Специалистам, выполняющим расчет, известно, что потеря точности решения связана, главным образом, с двумя обстоятельствами. Во-первых, в конструкции имеются элементы, жесткости которых отличаются на порядки, что приводит к разномасштабное коэффициентов системы разрешающих уравнений. Во-вторых, расчетная схема конструкции такова, что ее топология приводит к почти вырожденной матрице разрешающих уравнений задачи. Поэтому пользователь меняет расчетную схему либо тем или иным способом избавляется от слишком большой разницы в жесткостях элементов. Если неудачную топологию конструкции можно сравнительно просто откорректировать, назначив другую расчет пуго схему, то изменение жссткостей элементов не всегда возможно. Поэтому приходится повышать точность решения чисто математическими методами (регуляризация). Однако применять эти методы можно лишь в случае, если имеются рекомендации по выбору параметра регуляризации и по оценке качества получаемого результата. Однако именно эту инфор мацию обсуждаемые промышленные программы не дают.
Предлагаемая в настоящей работе модель устраняет основную причину плохой обусловленности матрицы разрешающих уравнений. Элементы бесконечно большой жесткости в этой модели уже предусмотрены, что отразилось на структуре полной системы уравнений и, как следствие, системы разрешающих уравнений. Коэффициенты последней уже не являются разномасштабными. Кроме того, матрица разрешающих уравнений весьма разрежена и имеет, как правило, диагональное преобладание. Это объясняется тем, что вся физическая информация о конструкции связана .с узлом, а не стержнем, т. е. с вершиной графа конструкции, а не его ребром. Тем не менее, в задачах очень большой размерности гарантировать устойчивость решения нельзя. Поэтому представляется целесообразным получить количественные оценки качества результата расчета, которые в случае необходимости можно было бы использовать и для подбора параметра регуляризации по Лаврентьеву ([111]).
Известно также, что если при расчете конструкции методом перемещений решение получается неустойчивым, то оно может оказаться удовлетворительным при расчете методом сил и наоборот. Поэтому к желательному результату можно придти сменой метода расчета. Однако в рамках промышленных программ смена метода расчета невозможна: все такие программы основаны на методе перемещений. В настоящей работе получены системы разрешающих уравнений как в перемещениях, так и it силах.
Расчет деревянной срубовой конструкции
При реставрации памятников деревянного зодчества возникает необходимость расчета сложных конструкций типа срубов. Основная сложность такого расчета состоит в назначении расчетной схемы, адекватно отражающей реальную работу сооружения. Одной из характерных особенностей моделей срубов является большое количество узлов и, следовательно, высокий порядок системы разрешающих уравнений. Кроме того, моделирование свойств узловых соединений стержневых конструкций с помощью абсолютно жестких и абсолютно податливых узлов часто не соответствует реальному их поведению. Если узел содержит металлические элементы типа болтов или нагелей, то из-за смятия древесины он всегда будет иметь конечную жесткость. Как показывают эксперименты, высокая податливость имеет место в соединениях срубов и при отсутствии металлических деталей, поскольку взаимному повороту стержневых элементов препятствуют только силы трения. Податливость подобных узлов может быть настолько высокой, что она вносит значительно больший вклад в перемещения и усилия, чем деформируемость стержней. Неучет низкой жесткости узлов приведет к слишком грубому решению, а при одновременном учете влияния податливости стержней и узлов на значения коэффициентов системы разрешающих уравнений появятся слагаемые, резко отличающиеся по порядку величин друг от друга. В результате может резко ухудшиться обусловленность системы уравнений. Таким образом, два названных выше характерные свойства срубовых конструкций (большое количество узлов и их высокая податливость) при попытке построения адекватной расчетной модели могут привести к потере точности .прочностного расчета.
В настоящей работе предлагается альтернативная известным из проектной практики модель срубовой конструкции. Стержневые элементы в этой модели считаются бесконечно жесткими. Рассматривается расчет срубовой конструкции, входящей в состав Преображенской церкви н о.Кижи. Полностью расчет этого сооружения был выполнен группой специалистов из научно-производственного инженерного центра строительных конструкций, г.Киров, а результаты расчета приведены в отчете [42]. Допущение, положенное в основы модели, подсказано экспериментами, результаты которых опубликованы в отчете [42], из которых следует, что. упругая податливость узлов срубов чрезвычайно высока. В названном исследовании расчет производился методом конечных элементов. При этом податливость отдельных стержней учитывалась. В отчете [42] даются также физические характеристики соединений, полученные экспериментально. Там же, кроме примера, взятого для сравнения, приводятся исходные данные и результаты расчета Преображенского собора на о.Кижи. В указанном отчете исследуются две стадии работы сруба: на первой стадии бревна отдельных венцов не контактируют друг с другом по длине, взаимодействуя только в узлах; на второй - контакт осуществляется также и по длине бревен. Воспользуемся стержневой схемой для расчета сруба на первой стадии. Тогда модель конструкции будет выглядеть следующим образом: - стены сруба состоят из стержневых элементов, соответствующих отдельным бревнам, не взаимодействующим друг с другом по длине и имеющим бесконечную жесткость; - в углах сруба в соответствии с предложением авторов расчета в [42], вводятся фиктивные вертикальные стойки, состоящие из податливых элементов высотой в один венец, которые соединены между собой бесконечно жесткими осевыми связями; - стержни венцов присоединяются к фиктивной стойке податливыми поворотными связями в двух плоскостях; ось одной из связей направлена по оси фиктивной стойки, а ось второй связи ортогональна оси элемента венца и расположена в горизонтальной плоскости.
Такая модель формально является некорректной из-за неравенства нулю суммы моментов для любого узла относительно горизонтальной оси, перпендикулярной стойке. Это уравнение равновесия не выполняется, поскольку отсутствуют поворотные связи между бревнами венцов и стойками, воспринимающие кручение (оси этих связей совпадают с осями горизонтальных стержней). Однако указанная модель может служить в качестве первого приближения для расчета срубовой конструкции с бесконечно жесткими элементами.
При использовании конечноэлементной схемы с каждым бревном венца в качестве конечного элемента на все узлы конструкции необходимо наложить 6 связей: 3 линейных и 3 поворотных. Модель с бесконечно жесткими стержнями венцов без учета кручения требует 3 линейные связи на узел, а фактически еще меньше, так как в плоскости каждого венца требуется накладывать только линейно независимые связи, число и по ложен і ю которых определяется так же, как для обычной плоской рамы с псрастяжнмымп стержнями. Модель с бесконечно жесткими стержнями венцов при наличии крутильных связей требует при назначении основной системы метода перемещений наложения не более 4 (трех линейных и одной поворотной) связей. Здесь также число линейных связей в плоскости венца уменьшается, если оставить только линейно независимые.
