Введение к работе
Актуальность темы. В настоящей работе изучаются вопросы первичного проникновения жидких неводных загрязнителей в зону аэрации почвы. Задачей исследования является развитие математических моделей таких процессов.
В последние годы проблемы загрязнения грунтовых вод органическими жидкостями привлекают внимание специалистов по подземной гидромеханике и математическому моделированию. При этом сравнительно разработанными являются методики предсказания пассивного переноса продуктов растворения первичного загрязнителя потоком. Как отмечается в работах Ентова В.М., значительно хуже обстоит дело с анализом гидродинамической стадии процесса, первичного проникновения органической жидкости в ненасыщенную зону и грунтовые воды и растекания их по поверхности воды или вдоль водоупора. При этом остаются нерешенными многие принципиальные вопросы, относящиеся к учету тех или иных факторов и выбору тех материальных функций и числовых значений, которые следует использовать в модели. Все это делает адекватное описание процессов в зоне аэрации одним из наиболее важных элементов математического моделирования экологии грунтовых вод.
Вместе с тем, это и наиболее сложный и трудно поддающийся описанию и анализу элемент. Главной причиной тому является неоднофазность течения, присутствие в поровом пространстве двух, а иногда и трех фаз, и, как следствие, существенная, а иногда и доминирующая, роль капиллярных сил. При прочих равных условиях капиллярные силы проявляются тем сильнее, чем меньше размер пор грунта и его проницаемость. Поэтому эффекты капиллярности наиболее значительны в мелкозернистых грунтах и, особенно, - в неоднородных грунтах с сочетанием высоко- и низкопроницаемых компонент. Примерами могут служить грунты с переслаиванием высоко- и малопроницаемых слоев, или трещиновато-пористые породы, у которых блоки и трещины на порядки отличаются по емкости, гидравлической проводимости и величине капиллярного давления.
В получивших широкое распространение гидродинамических моделях, как правило, используется весьма укрупненное балансовое описание, оперирующее с интегральными характеристиками зоны аэрации, определяемыми из "калибровки" моделей. С определенностью можно сказать, что такое представление во многих важных случаях является недостаточным и в значительной мере обесценивает моделирование. Это в особенности относится к прогнозированию последствий локального загрязнения грунтовых вод поверхностными источниками, особенно, не смешивающимися с водой жидкостями. Такие сценарии загрязнения типичны для загрязнений, вызванных химическими производствами, добычей нефти, утечками и аварийными ситуациями при хранении и транспорте нефтепродуктов и т.п. В виду сложности и многофакторности эти процессы не могут быть полностью охарактеризованы эмпирически или описаны простыми соотношениями.
В настоящее время для описания переноса растворимых примесей и несмеши-вающихся с водой органических жидкостей физические модели и созданы расчетные методики и программные комплексы, однако, только в некоторых программах реализована возможность моделирования распространения загрязнения в зоне аэрации. Причем в созданных моделях, в основном, рассматривается перенос растворимых примесей.
В изучении явления первичного проникновения жидких загрязнителей весьма важным является построение точных решений, на основе которых изучаются основные зависимости процессов фильтрации и которые являются тестами при отработке расчетной модели. В основном такие решения построены для линейных задач. Процессы многофазной фильтрации описываются существенно нелинейными уравнениями. В общем случае для таких уравнений нет точных решений. В этой связи в настоящей работе построены некоторые классы точных решений многофазной фильтрации для нелинейных и линейных задач и создания расчетных моделей для описания распространения органического загрязнителя в зоне аэрации.
Трехмерная модель реализована программно на языке C++ и является составной частью пакета программ Нимфа, в которой она используется для моделирования сценариев первичных загрязнений. Расчетные модели проверены на задачах, имеющих точное решение. С использованием трехмерной методики было проведено исследование сценария загрязнения грунта при постоянном сливе органической жидкости.
Цели и задачи диссертационной работы. Целью настоящей работы является развитие аналитических и численных методов исследования задач теории фильтрации.
В соответствии с целью поставлены задачи:
Построение аналитических решений одномерной фильтрационной задачи.
Исследование одномерной задачи Баренблатта-Ентова и определение параметров, влияние которых на процесс распространения несмешивающегося с водой органического загрязнителя оказывается наиболее существенным в рамках указанной модели.
Разработка расчетной методики одномерной задачи миграции не смешивающейся с водой органической жидкости в зоне аэрации.
Разработка методики решения трехмерного уравнения распространения несмешиваю щейся с водой органической жидкости в зоне аэрации.
Методология исследования. Для выявления наиболее существенного влияния тех или иных параметров на протекание процесса было исследовано модельное уравнение численно и аналитически. Для построения точных решений
нелинейных уравнений математической физики разработан ряд методов, основанных на переходе к новым переменным (зависимым и независимым). Наиболее распространенными классами точных решений, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, являются решения типа бегущей волны и автомодельные решения. Существование этих решений обычно (но не всегда) обусловлено инвариантностью рассматриваемых уравнений относительно преобразований сдвига и растяжения-сжатия.
Для исследования трехмерного уравнения фильтрации был применен метод конечных элементов, который позволяет разбить тело сеткой, практически повторяющей неправильную форму тела, другими словами, этот метод с большей степенью точности аппроксимирует форму тела, а значит и при решении задачи дает меньшую погрешность. В данной работе рассматривается вычислительный алгоритм метода конечных элементов в формулировке, основанной на процедуре минимизации функционала, соответствующего решаемой непрерывной задаче. В результате выполнения указанной процедуры происходит замещение уравнений в частных производных системой недифференциальных уравнений, имеющих в качестве коэффициентов аппроксимирующие функции, которые фактически являются значениями искомой функции в вершинах разбиения.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Построены точные решения линейных и нелинейных уравнений двухфазной фильтрации.
Созданы расчетные модели описания основных сценариев распространения органических жидкостей в зоне аэрации.
Практическая значимость работы состоит в создании программного инструмента для исследования различных сценариев распространения органических загрязнителей в зоне аэрации.
Апробация основных положений и результатов проведенного исследования. Полученные результаты докладывались на заседаниях научного семинара Средневолжского математического общества (г.Саранск), на XXXIII-XXXV научных конференциях "Огаревские чтения" (г.Саранск), на IX-XII научных конференциях молодых ученых аспирантов и студентов (г. Саранск), на П-Ш Международных научных школах "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г.Саранск), на VII Международной научной конференции "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (г.Саранск), на I Международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем" (г.Пенза), на IX Международном семинаре "Супервычисления и математическое моделирование" (г.Саров). Все основные результаты исследования опубликованы в ряде статей и тезисов.
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 13 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Основные положения, выносимые на защиту.
Точные решения линейных и нелинейных уравнений двухфазной фильтрации. Решения построены в виде бегущей волны, автомодельных решений и других.
Одномерная расчетная модель распространения органической жидкости в зоне аэрации. Модель основана на следующих положениях:
одномерном уравнении трехфазной фильтрации с учетом процессов сорбции и набухания почвы;
расщеплении по физическим процессам: решение уравнения для сорбции и набухания почвы и решение уравнения трехфазной фильтрации;
неявной разностной схемы с весами для аппроксимации уравнения фильтрации.
3. Трехмерная расчетная модель переноса органической жидкости в зоне аэра
ции. Трехмерная модель основана на следующих положениях:
трехмерном уравнении фильтрации с учетом процессов сорбции и набухания почвы;
метода расщепления по физическим процессам: решения уравнений сорбции и набухания почвы, решения уравнения фильтрации;
метода конечных элементов аппроксимации уравнений фильтрации;
решения разностных уравнений с использованием решателей для СЛАУ с разреженными матрицами, а также с использованием факторизации матрицы и методом скалярных прогонок.
4. Результаты численных исследований распространения органической жидко
сти в зоне аэрации.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации — 141 машинописных страницы, включая 44 рисунка. Список литературы содержит 135 наименований.
