Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Физические основы математического моделирования массопереноса и турбулентности во внугриоблачных конвективных потоках. выбор и обоснование модели 12
1.1 Физические процессы в облаках и основы искусственного воздействия па них 12
1.2 Турбулентность Общие представления и способы описания 16
1.2.1 Виды движения жидкостей и газов 16
1.2.2 Структурная модель турбулентного движения 18
1.2.3 Способ описания турбулентного движения по Рейнольд су... 19
1.2.4 Применимость уравнения Навье — Стокса к описанию движения воздушных масс в облаке 21
1.2.5 Уравнение Рейнолъдса. Уравнение турбулентной диффузии 23
1.2.6 Обший вид моделей турбулентности, использующих коэффициенты турбулентной вязкости и турбулентной диффузии.. 26
1.2.7 Моделирование турбулентности по Прандтлю... 28
1.2.8 Модель турбулентности, основанная на одном уравнении энергии 29
1.2.9 К модель турбулентности 31
1.2.10 Обзор моделей турбулентности» используюших уравнения переноса. 34
1.3 Данные о воздушных потоках в облаках. Методы метеорологического зондирования... 35
Выводы 38
Глава 2. Построение и математическое обоснование вычислительной схемы для задачи переноса 41
2.1 Постановка краевой задачи для единой модели переноса массы и турбулентности 41
2.2 Корректность краевой задачи 44
2.3 Линеаризация уравнений- Нормировка координат. Покоординатное расщепление 47
2.4 Дискретизация по пространственной и временной переменным. Решающий алгоритм 49
2.5 Порядок аппроксимации по временному параметру. Сходимость метода конечных элементов по пространственной области 56
2.6 Устойчивость разностной схемы 60
Выводы 68
Глава 3, Разработка программного комплекса и анализ погрешности расчетов 71
3.1 Разработка программного комплекса 71
3.2 Исследование фактической точности вычислительной схемы 77
3.2.1 Анализ погрешности вычислительной схемы в одномерном стационарном случае 78
3.2.2 Анализ погрешности вычислительной схемы в одномерном нестационарном случае 81
3.2.3 Анализ погрешности вычислительной схемы в двумерном нестационарном случае 83
3.2.4 Анализ погрешности вычислительной схемы в случае системы двух уравнений 85
3.2.5 О зависимости погрешности решения от погрешности задания начальных и граничных условий 86
Выводы 87
Глава 4. Результаты вычислительного эксперимента. примеры расчета переноса массы и турбулентности в струях конвективных облаков 88
4.1 Пример расчета характеристик турбулентности во внутриоблачной струе 88
4.2 Исследование влияния параметров струи на характеристики турбулентности 98
4.3 Исследование распространения юрозольных частиц во внутриоблачной струе 101
4.4 Исследование зависимости погрешности результатов расчетов от погрешности в исходных данных 108
4.5 Применение методики численного решения задач переноса к исследованию распространения примеси в пограничном слое атмосферы 110
Выводы 117
Заключение 119
Литература 121
Приложение 1
- Применимость уравнения Навье — Стокса к описанию движения воздушных масс в облаке
- Линеаризация уравнений- Нормировка координат. Покоординатное расщепление
- О зависимости погрешности решения от погрешности задания начальных и граничных условий
- Исследование распространения юрозольных частиц во внутриоблачной струе
Введение к работе
Градобития ежегодно приносят огромные убытки во многих странах мира.. Потерянный урожай зерновых и плодово-ягодных культур, сломанные деревья, разбитые крыши и оконные стекла — подобные их последствия хорошо знакомы жителям южных регионов России. Усилия по борьбе с этим стихийным бедствием предпринимались еще в глубокой древности: пытались колокольным звоном разогнать, а стрелами — разрушить градовые облака.
Зачатки научного подхода к борьбе с градом появились в конце XIX века.. Основным средством борьбы тогда был обстрел облаков из артиллерийских орудий. Однако, как показала оценка результатов обстрелов, организация обществ взаимного страхования была более действенным средством спасения от бедствий.
С 40-х годов XX века и по настоящее время во всем мире ведутся научно-исследовательские и опытно-производственные работы по искусственному регулированию осадков из облаков и облачных систем, опирающиеся на использование грубодисперсных аэрозолей и частиц льдообразующих реагентов [51]. В бывшем Советском Союзе и России действует программа по разработке методов метеорологической защиты городов и важнейших объектов. Она включает расчет количества расходуемого кристаллизующего реагента и оценку эффективности искусственного воздействия. С этой целью применяются методы математического моделирования. В этом направлении достигнуты определенные успехи [21, 36, 101, 107]. Однако чрезвычайная сложность стоящей проблемы требует дальнейшего продвижения в этом направлении. Так, в настоящее время рассматривают одно-, двумерные модели, тогда как реальная задача имеет трехмерную геометрию. С другой стороны, увеличение размерности ведет к существенному повышению затрат машинного времени и вычислительных ресурсов, даже если используются те же методы, что и в двумерных случаях, что может сделать невозможным выполнение расчетов на существующих ЭВМ. Далее, многие физические процессы,
происходящие в облаке, не имеют адекватного математического описания. Кроме того, часто различные важные явления не учитываются в моделях, либо учитываются весьма грубо. Одно из таких явлений — турбулентность. Эмпирические формулы, используемые в некоторых работах для ее учета, имеют невысокую точность. Таким образом, представленное в настоящей работе исследование, направленное на совершенствование описания турбулентности в облаке и последующее использование его результатов представляется актуальным.
Целью работы является разработка методов расчета полей турбулентности и концентрации диффундирующего вещества (частиц аэрозоля) во внутриоблачной струе применительно к проблеме искусственного регулирования осадков.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
построить кинематическую модель внутриоблачной струи, базирующуюся
на результатах метеорологических исследований и воспроизводящую
наблюдаемые трехмерные явления;
при описании турбулентности учесть ее генерацию за счет неустойчивости течения при больших числах Рейнольдса, ее вязкую диссипацию, конвективный и диффузионный перенос;
построить модель распространения дисперсных частиц в струе
применительно к задаче искусственного воздействия на облака;
построить алгоритм численной реализации математической модели турбулентности в облаке и диффузии аэрозольных частиц;
провести на теоретическом уровне исследование сходимости вычислительной схемы;
создать программный комплекс для расчета полей турбулентности и концентрации вещества, имеющий удобный пользовательский интерфейс; провести численное исследование погрешности и устойчивости вычислительной схемы;
провести численный эксперимент по расчету полей характеристик турбулентности и концентрации аэрозоля, дать анализ полученных результатов; сопоставить их с эмпирическими данными и сформулировать практические рекомендации по использованию полученных результатов в проблеме искусственного воздействия на облака.
Научная новизна состоит в том, что при моделировании распространения аэрозоля во внутриоблачной струе учтены такие явления, как генерация турбулентности за счет неустойчивости течения при больших числах Рейнольдса, ее вязкая диссипация,, конвективно-диффузионный перенос. В работе отдано предпочтение сложной модели турбулентности, основанной на системе двух дифференциальных уравнений в частных производных. Преимущество этого подхода в том, что он позволяет вычислять с приемлемой точностью важный параметр — масштаб турбулентности.
Практическое значение работы определяется возможностью применения ее результатов при разработке более общих моделей для оценки последствий искусственного воздействия на облака и для решения задачи оптимального выбора параметров воздействия. Эти результаты, представленные графически, демонстрируют развитие турбулентности и распространение вещества в облаке, что можно использовать в качестве наглядных пособий при изучении таких дисциплин, как "Прикладная экология", "Гидродинамика". На защиту выносятся следующие положения:
1. Модель внутриоблачных турбулентных потоков, учитывающая их
струйный характер, осевую симметрию, генерацию турбулентности за счет
неустойчивости течения, ее конвективно-диффузионный перенос и вязкую
диссипацию.
Модель переноса вещества струйными потоками, учитывающая их осевую симметрию и процессы конвекции, диффузии, распада и другие способы выведения вещества из среды либо генерацию частиц источником.
Вычислительный алгоритм решения модельной задачи, построенный с использованием линеаризации нелинейных уравнений, методов расщепления
многомерных задач, взвешенной невязки в рамках конечноэлементного подхода и конечных разностей, и доказательство сходимости вычислительного процесса с обоснованием его порядка аппроксимации и устойчивости методом энергетических норм.
4. Программный комплекс (свидетельство об официальной регистрации
№ 2004612018 от 03.09.2004 г.), реализующий вычислительный алгоритм.
Результаты исследования точности приближенных вычислений, установление границ параметров, выбираемых в численных методах для устранения нефизического поведения приближенных решений (например, возникновения отрицательной концентрации вещества).
Результаты вычислительного эксперимента, позволившие выявить особенности развития турбулентности и распространения аэрозоля во внутриоблачной струе. Сопоставление результатов моделирования с данными метеорологических измерений.
По теме диссертации автором опубликовано 12 работ, из них 3 статьи. Результаты исследований были доложены на: Международной школе-семинаре по геометрии и анализу (п. Абрау-Дюрсо,
2002 г.);
Всероссийской конференции "Математическое моделирование в научных исследованиях" (г. Ставрополь, 2000 г.);
региональной конференции "Вузовская наука — Северо-Кавказскому региону" (г. Ставрополь, 1999 г.);
межрегиональной конференции "Студенческая наука — экономике России" (г. Ставрополь, 2002 г.).
Публикации также сделаны в сборниках трудов:
Международной конференции "Компьютерное моделирование 2003" (г. Санкт-Петербург, 2003 г.);
региональных конференций "Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках" (г. Георгиевск, 2001—2004 гг.).
Результаты диссертационной работы использованы при выполнении НИР по гранту Министерства образования (код Е 02-12.1-175) "Моделирование совместного загрязнения грунта и атмосферы". На основе диссертационных исследований разработаны методические указания для изучения темы "Моделирование турбулентности" по дисциплине "Математическое моделирование в задачах механики сплошных сред", которые используются в учебном процессе в СевКавГТУ (акт о внедрении от 22.09.2004 г.).
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, содержащего 109 наименований, и приложений. Работа изложена на 135 листах машинописного текста, содержит 54 рисунка и 13 таблиц.
В первой главе ставится проблема оценки последствий искусственного воздействия на градовые облака. Отмечается преимущество математического моделирования при решении этой проблемы. Перечисляются процессы, происходящие в градовом облаке, описание которых необходимо при моделировании. В качестве объекта исследования выбираются два явления: турбулентность и диффузия кристаллизующего реагента.
Представлен обзор методов моделирования турбулентности. Приводятся современные представления о структуре турбулентного движения. Рассмотрено уравнение Навье — Стокса как основа моделирования турбулентности. Приведен общий вид моделей турбулентности, использующих концепцию турбулентной вязкости. Указана связь между турбулентной вязкостью и турбулентной диффузией. Приводится основная гипотеза для расчета коэффициента турбулентности. Подробно описаны три модели турбулентности (модель Прандтля, модель, основанная на одном уравнении энергии, и к—е-модель). Перечислено еще несколько моделей, основанных на уравнениях переноса характеристик турбулентности.
В конце главы выбрана задача для численного решения. Перечислены необходимые эмпирические данные модели и описаны методы их измерения. Для конкретизации модели приведены основные сведения о движении
воздушных масс в облаках рассматриваемого типа.
Во второй главе приводится математическая постановка задачи, исследуется ее корректность. Указаны методы ее последовательной редукции: линеаризация, покоординатное расщепление, методы Галеркина в рамках конечноэлементного подхода и конечных разностей по Кранку и Николсону. Проводится исследование сходимости полученной разностной схемы. Найден порядок аппроксимации вычислительной схемы. Особое внимание уделяется устойчивости разностной схемы. Сначала указывается общий вид неравенств, которым должно удовлетворять решение разностной задачи. Затем эти неравенства конкретизируются для рассматриваемого случая. Обосновывается выбор используемой в них нормы. Далее они заменяются эквивалентными им операторными неравенствами, накладываемыми на матрицы из разностной схемы. После того как в результате вычислительного эксперимента обнаружены случаи невыполнения этих неравенств, схема перестраивается так, что она становится устойчивой, а решение разностной задачи — сходящимся к решению дифференциальной.
В третьей главе перечисляются требования, предъявленные к программному комплексу, и указывается, каким образом они были удовлетворены.
С помощью программного комплекса исследуется характер сходимости приближенного решения к точному для каждого из применяемых численных методов. Приводятся типичные уравнения, и анализом размерностей находятся параметры, от которых зависит погрешность. Выявляются случаи нефизического поведения приближенного решения при больших шагах сетки и указываются критерии, которым должны удовлетворять шаги, чтобы этого избежать.
В четвертой главе производится обсчет модели распространения аэрозоля во внутриоблачной струе. Дается интерпретация результатов расчета характеристик турбулентности и концентрации аэрозольных частиц. Проводится их качественное сравнение с данными метеорологических измерений. Исследуется зависимость погрешности результатов расчета от
погрешности исходных данных модели.
Демонстрируется применение методики численных расчетов к решению задачи о распространении примеси из источника в пограничном слое атмосферы. Рассматриваются различные режимы турбулентности пограничного слоя. В каждом случае решается задача нахождения поля концентрации примеси в атмосфере и исследуется поток вещества в водоем, расположенный в некотором удалении от источника.
В приложения вынесены исходные тексты алгоритмов, описанных в третьей главе, и некоторые иллюстративные вычисления из второй главы.
Автор выражает благодарность научному руководителю д.ф.-м.н., профессору И.Э. Наацу за постановку задачи и обсуждение результатов работы.
Применимость уравнения Навье — Стокса к описанию движения воздушных масс в облаке
Чтобы выяснить, насколько оправданно использование уравнения Навье — Стокса при описании движения воздушных масс в облаке, обратимся к его выводу. Выше было отмечено, что оно обобщает уравнение Эйлера, которое не учитывает силы вязкости. Из сил, действующих на выделенный объем жидкости, Эйлер учел лишь массовые силы (например, гравитационные с напряженностью поля, равному ускорению свободного падения g) и давление со стороны соседних областей жидкости. Это привело к уравнению [73]: Уравнение можно переписать в тензорной форме где ра — тензор плотности потока импульса, определяемый как -Здесь и далее по повторяющемуся индексу предполагается суммирование (так называемое соглашение Эйнштейна), При этом "немой1 индекс пробегает значения 1,2,3. Если учесть вязкость жидкости, то справа добавляется член о д, который называют тензором вязких напряжений: Выражение для && строится из следующих соображений. Так как процессы внутреннего трения в жидкости возникают только в случае движения частей жидкости друг относительно друга, то компоненты a\k должны зависеть от производных компонент скорости по пространственным переменным. Если градиенты скорости невелики, можно считать, что вызванный вязкостью поток импульса линейно зависит от первых производных скорости. Чтобы компоненты а\ обращались в нуль при r=const (равномерное прямолинейное движение) и при v=[ft,r], 2=const (равномерное вращение), нужно их вычислять по формуле (коэффициенты р и р1 не зависят от скорости):
Величина р, называется вязкостью, ар — второй вязкостью жидкости Из закона сохранения энергии следует, что р0, а из второго начала термодинамики — что р 0. Выведенное таким образом уравнение и носит название уравнения Навье — Стокса: Отметим, что в выражении (1 2) вязкость учитывается двумя параметрами, что справедливо лишь для изотропной жидкости. Для использования этого уравнения необходимо знать оба коэффициента Х и (Iі [48]_ Можно принять, что коэффициент вязкости 1 измеряется в опытах с течением Пуазейля [93]. Тогда остается задача измерить ц\ Стоке пробовал положить вторую вязкость \І! равной нулю. Но это справедливо в кинетической теории газов лишь для одноатомных частиц. Надежнее исследовать величину _t опытным путем- Обычно экспериментальные исследования )Г основываются на измерении затухания звука, но результаты трудно истолковать теоретически [73]. Опытным путем установлено, что в реальных жидкостях коэффициенты х и д зависят от температуры и давления. Обычно полагают, что ц и ц. — однозначные функции р и ТУ Для учета этой зависимости уравнение Навье — Стокса надо дополнить уравнениями теплопереноса и состояния p=J{Г). Движение воздушных масс в облаках связано и с другими физическими явлениями. Электрические эффекты и влияние взвешенных частиц часто играют немалую роль, но не учитываются уравнением Навье — Стокса. При построении математической модели распространения вещества в облаке будем исходить из того, что внутриоблачные течения удовлетворяют уравнению Навье — Стокса. Коэффициент вязкости \х считаем постоянным, а воздушную среду — несжимаемой (постоянной плотности)- Понятно, что это является лишь приближением к описанию физической ситуации- Методы же расчета турбулентности, учитывающие сжимаемость среды, оказываются значительно сложнее тех, что используются в настоящей работе [76]. Для определения коэффициента турбулентной диффузии можно было бы перейти к уравнению распространения вещества, но его обычно рассматривают в связи с другим коэффициентом — турбулентной вязкости. Последний появляется в уравнении осредненного движения жидкости. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости
Линеаризация уравнений- Нормировка координат. Покоординатное расщепление
Система (2.1)—(2.3) — это система квазилинейных (коэффициенты зависят от искомых функций) дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа с двумя пространственными переменными. Для численного решения таких систем существует целый ряд методов [82]. В большинстве случаев они представляют собой различные варианты метода конечных разностей, метода прямых и метода конечных элементов [43, 50]. С их помощью дифференциальные уравнения сводятся к системам линейных или нелинейных алгебраических уравнений- При решении многомерных задач для уменьшения объема вычислений применяют метод чередующихся направлений и метод расщепления [88]. Для решения системы (2Л)—(23) сначала произведем линеаризацию задачи [97]- Разобьем временную ось 0 на интервалы узлами Для каждого интервала [tJttj+\] заменим в уравнениях (2-1)—(2.3) множитель К на Цы, а также справа в (2.2) и (2,3) величины і и на k\r и е«. соответственно. Тогда коэффициенты измененных уравнений перестают зависеть от искомых функций и полученные уравнения становятся линейными. (Попутно отметим, что они не связаны с линеаризованным уравнением Навье — Стокса, которое турбулентность и не описывает-) Линеаризация уравнений (2.1)—(2.3) позволяет решать их по отдельности. Дня удобства расчетов проведем нормировку пространственных координат: Поставим у величин, входящих в уравнения, верхние индексы р или z, указьгеающие, какой масштаб взят для конкретной величины за единицу длины — R или Н- Числовые значения величин изменяются по правилу: Соотношение (2,4) остается без изменения. Линеаризованные уравнения (2.8), (2.9), (2,10) имеют сходную форму, так что достаточно рассмотреть решение только одного из них, например, уравнения (2,8) для q. Применим к (2.8) метод расщепления [80].
Представим это уравнение в виде — линейные дифференциальные операторы: Используя эти обозначения и вводя вспомогательные функции q{ и д2» будем искать значения д(//+і) по известной функции () следующим образом: Иногда мы будем писать не "#Г и " 2", а просто q"9 понимая, что (2Л 1а) — это уравнение для q\, а (2 Л16) — для q2. Схема расщепления сводит исходную задачу к задачам меньшей размерности- Уравнение (2Л 1а) не содержит производных по переменной р, поэтому не связывает значения q при различных значениях р. Координата р в (2Л 1а) является параметром, как и координата z в уравнении (2 Л16), Отметим, что в хотя выражениях (2Л1) переменная t изменяется в пределах от tj до /,-+!, тем не менее значения функций в промежуточные моменты времени tj t tj+\ нас не интересуют как не имеющие физического смысла. Мы ищем лишь q(tj+\)9 считая q(tj) известной, Перейдем от значений искомой функции на континуальном множестве (р )є[0Л]х[0Д] к ее значениям на дискретном множестве точек (р/ ). Необходимость этого вызвана тем, что при реализации решения задачи на ЭВМ мы оперируем конечным набором чисел, С другой стороны, функция q(pj) при фиксированном t адекватно описывается своими значениями в достаточно большом наборе точек (р/, z ). С этой целью введем сетку Континуальное множество уравнений вида (2.11а) и (2 Л16) заменяется конечным набором уравнений.
Граничные условия заменяются дискретным набором а уравнения внутри области — при р=р (МЬ-да-1) дискретным аналогом уравнения Займемся построением разностных аналогов для (2 Л За) и (2 Л 36). Рассмотрим уравнение (2 Л За)- Обозначим (параметр р=р в записи опускаем). Частная производная по времени dq/dt переходит в производные {dctJdt}\ частные производные по пространственным переменным заменяются алгебраическими соотношениями между значениями функций из (2ЛЗа) в узлах {z=zi}. Отсюда получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений с неизвестными функциями {c,(t)}, аппроксимирующую исходное уравнение.
Один из способов задания алгебраических выражений вместо частных производных по z — это метод взвешенной невязки. Сначала задается правило восполнения функций на каждом интервале [z i], то есть выбирается система финитных базисных функций {ut(z)}t удовлетворяющих условию этом функция q представляется в виде [85]: Подстановка выражения (2Л4) в уравнение (2.13а) приводит к тому, что равенство в (2ЛЗа) не выполняется. Возникает невязка уравнения, равная После базисных функций задается система весовых функций (по методу Галеркина [56] в их роли выступают базисные (%{z)}). Интегралы по z на отрезке [0,1] от невязки, умноженной на весовые функции, приравниваются кнулю:
О зависимости погрешности решения от погрешности задания начальных и граничных условий
Вычислительный эксперимент показывает, что разностная схема, построенная для уравнения ( ), неустойчива, если dVJdz меньше некоторого фиксированного отрицательного значения. Таким образом, дополнительное слагаемое в (2.8) должно иметь вид $-q-dVJdz, где 0 р 1. Вычислительный эксперимент показывает, что коэффициент 3 должен равняться 1/2. Уравнения, полученные в результате применения метода расщепления, запишутся в виде: При этом неравенства (2.23a) и (2.236) будут выполняться, если шаги сетки (2.12) по обеим координатам достаточно малы. Таким образом, вычислительная схема, построенная для уравнений (2.25а) и (2.256), устойчива. Она обладает той же погрешностью аппроксимации, что и схема, построенная для (2.13а) и (2.136). Следовательно, приближенное решение задачи для системы дифференциальных уравнений (2.1)—(2.3) сходится к точному при измельчении шагов сетки по временной и пространственным переменным. 1. Сформулирована краевая задача для единой математической модели переноса турбулентности и массы реагента. 2. Исследована корректность краевой задачи.
Показано, что если начальные и граничные значения концентрации диффундирующего вещества заданы с некоторой абсолютной погрешностью, то концентрация вещества внутри расчетной области, определяемая из решения дифференциальной задачи, будет известна с не большей абсолютной погрешностью. 3. Предложен способ линеаризации системы нелинейных дифференциальных уравнений единой модели переноса. 4. Указаны возможные способы покоординатного расщепления уравнения переноса с двумя пространственными переменными. 5. Для удобства применения численных методов произведена нормировка пространственных координат. Произведена дискретизация дифференциальной задачи с использованием метода взвешенной невязки в рамках конечноэлементного подхода по пространственным переменным и схемы Кранка — Николсона по временной переменной. Формализован решающий алгоритм модельной задачи. 6. Проведено сравнение методов взвешенной невязки и наименьших квадратов применительно к решаемым уравнениям.
Показано, что решения по обоим методам совпадают, если используемые в них базисные функции дважды дифференцируемы. 7. Показано, что вычислительная схема аппроксимирует систему дифференциальных уравнений единой модели переноса с погрешностью ОСДр +Д +Д/). 8. Исследована устойчивость вычислительной схемы. Определен вид неравенства, которому должно удовлетворять решение разностной задачи. Подобрана адекватная задаче норма, используемая в неравенстве. Выведены достаточные условия устойчивости вычислительной схемы, позволяющие оперировать матрицами малой размерности. 9. Указан способ применения метода расщепления, приводящий к выполнению условия устойчивости разностной схемы. В итоге обеспечена сходимость в указанной норме приближенного решения к точному при измельчении шагов сетки Др, Дг, At.
Исследование распространения юрозольных частиц во внутриоблачной струе
Турбулентные потоки определяют процесс рассеяния аэрозольных частиц» поэтому к условиям, приведенным в параграфе 4,1, характеризующим состояние атмосферы, необходимо добавить еще два, нужные для расчета концентрации аэрозоля, В качестве примера они выбраны следующим образом: 1) в начальный момент в точке Го(р=0 =0,2) происходит выброс аэрозоля: 2) на границе области: Выбор граничных условий сделан из следующих соображений. Втекающие в область потоки воздуха не содержат аэрозольных частиц. В покидающем область воздухе концентрация аэрозоля незначительна, так что пренебрежение ею не вносит заметной ошибки в расчеты. Мощность Q выброса принята равной 1,7-1016 аэрозольных частиц. Результаты расчета поля концентрации аэрозоля представлены графически. На рисунках 4Л0а—4Л0в проведены линии уровня q=qu q=i-qu q=5-qu и т.д.; значение q\ указано при каждом графике. Величина q измеряется вм3. Сравним два случая: а) поле турбулентности рассчитывается по к—с-модели; б) коэффициент турбулентности полагается всюду равным 100 м2/с, как это было сделано в [58].
В момент /=300 с (рисунок 4.10а) коэффициент турбулентности в зоне расположения основной массы аэрозоля ненамного отличается от 100 м2/с поэтому поле концентрации q в случаях а) и б) размыто примерно одинаково. Неравномерность скорости воздушных потоков обусловливает больший перенос аэрозольных частиц на оси струи, чем на некотором удалении от нее. На рисунке 4.106 приведен график q в момент, когда основная масса аэрозоля находится на высоте, примерно равной hmax (отмечена пунктиром). Здесь струя перестает быть конфузорной (вектор скорости V направлен к оси) и становится диффузорной (К направлен от оси)- Заметно расширение "пятна" q в верхней части области Ц по сравнению с нижней. Высокая турбулизованность воздуха в верхней части облака приводит к намного более сильной размытости поля концентрации аэрозольных частиц в случае а), чем в б). Рисунок 4Л0в отображает поле #, когда аэрозоль в основном находится в верхней части облака. Расходящиеся потоки уносят его от оси струи. В обоих случаях а) и б) наблюдаются максимумы величины q на некотором удалении от оси. В случае б) максимум ярко выражен, тогда как в а) он мало заметен и явно меньше первого.
В рассматриваемой модели не учитывается взаимодействие аэрозольных частиц с водяными каплями и паром, находящимися в облачной струе. Тем не менее результаты расчета концентрации аэрозоля можно использовать для оценки эффективности искусственного воздействия на градовое облако. Будем считать, что область, где концентрация льдообразующего реагента (в его роли выступают аэрозольные частицы) превышает некоторое значение #ь заведомо не является зоной формирования града. Рассчитаем объем v этой области как функцию времени при различных значениях q\. На рисунке 4.11 приведены результаты этих расчетов.
