Математическое моделирование контрастных структур в астрофизической и геофизической плазме Попов Виктор Юрьевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Аномальная стабильность бисимметричного магнитного поля в спиральных галактиках .

Введение 47

1.1 Постановка задачи. 52

1.2. Качественный анализ захвата биссиметричного магнитного поля галактическими спиральными рукавами 61

1.3. Численное моделирование захвата биссиметричного магнитного поля галактическими спиральными рукавами 67

1.4 Выводы и заключение. 79

Глава 2. Некоторые законы эволюции двумерных контрастных структур . 82

Введение. 82

2.1. Модель контрастной структуры. 86

2.2. Эволюция круговой контрастной структуры. 89

2.3. Эволюция контрастной структуры произвольной формы. 91

2.4. Компьютерное моделирование эволюции контрастной структуры произвольной формы . 92

2.5. Эволюция неодносвязных пятен. 99

2.6. Некоторые законы эволюции внутреннего переходного слоя 102

2.7. Эволюция контрастной структуры в форме эллипса. 105

2.8. Эволюция пятна в форме кольцевого сектора. 110

Глава 3. О времени жизни одномерных нестационарных контрастных структур . 114

Введение. 114

3.1. Одномерная модель КС. 116

3.2. Стационарные одномерные КС. 118

3.3. Оценка времени жизни нестационарной КС. 123

3.4. Численное моделирование одномерной задачи. 132

3.4.1. Эволюция симметричной КС. 135

3.4.2. Эволюция асимметричной КС. 140

Глава 4. Градиентный дрейф одномерной нестационарной контрастной структуры в неоднородной среде . 147

Введение. 147

4.1. Оценка максимальной скорости градиентного дрейфа внутреннего переходного слоя. 149

4.2. Компьютерное моделирование градиентного дрейфа периодической контрастной структуры . 158

4.3. Контрастные структуры с непериодическим профилем пороговой функции. 169

CLASS Глава 5. Моделирование влияния захваченной плазмы наструктуру бесстолкновительных тонких токовых слоев . 184 CLASS Введение. 184

5.1. Основы аналитической модели 191

5.2. Численное решение аналитической задачи. 202

5.3. Основы численной модели ТТС. Метод крупных частиц. 207

5.4. Основные результаты численного моделирования. 214

Заключение 222

Глава 6. Моделирование процесса расщепления тонких токовых слоев в бесстолкновительной плазме. 224

Введение. 225

6.1 Описание модели. 226

6.2 Численный алгоритм 234

6.3. Результаты вычислительного эксперимента 236

Глава 7. Математическое моделирование двухкомпонентноготонкого токового слон в магнитосферной плазме. 249

Введение. 250

7.1. Основные уравнения модели ТТС в приближении изотропного электронного давления 251

7.1.1. Модель пролетных ионов 251

7.1.2 Учет влияния электронов в полужидкостном 25 7

приближении.

7.2. Численный алгоритм решения самосогласованной задачи. 260

7.3 Результаты численных экспериментов. 262

7.4. Заключение 266

Заключение 274

Список литературы

• Качественный анализ захвата биссиметричного магнитного поля галактическими спиральными рукавами
• Компьютерное моделирование эволюции контрастной структуры произвольной формы
• Оценка времени жизни нестационарной КС.
• Компьютерное моделирование градиентного дрейфа периодической контрастной структуры

Введение к работе

Актуальность проблемы

В различных областях науки, в том числе в математической физике, физике плазмы, астрофизике, геофизике, биофизике и т.д. часто возникает необходимость исследования нелинейной эволюции физических полей различной природы [2], [3], [6], [7], [\3] [Щ, [44], [46]-[48], [51], [58], [61], [62], [64], [67], [70], [87], [92], [96], [130].

В качестве физического поля могут рассматриваться, например, температура [44], концентрация вещества [48], [67], [87], величина напряженности магнитного поля [6], [46], [47], [70], плотность тока, концентрация заряженных частиц [2], [3], [83], [84].

В процессе эволюции физических полей в нелинейном режиме часто возникают своеобразные конфигурации, называемые контрастными структурами (КС) [17], [18], [32], [34], [36], [37], [44], [62], [70], [88], [93], [107], [128], [129], [141]-[143], [162], [164], [195], [203], [207], [208], в которых обширные участки медленного изменения поля разделяются малыми по объему областями быстрого изменения с большим градиентом поля - внутренними переходными слоями (ВПС) [17], [18], [34], [60], [62], [68]-[70], [88], [121], [131], [141]-[143], [191], [207], [208].

Результаты наблюдений за различными природными объектами демонстрируют возможность существовании нестационарных КС [4], [5], [44], [51], [61], [62], [92], [93], [141], [142], [154], [155], [162]- [164], [167]-[170], [174], которые могут, как постепенно приближаться к стационарным КС, так и исчезать, образуя плавные распределения поля.

Такие структуры, обнаруженные, например, при астрофизических наблюдениях магнитных полей в спиральных галактиках [49], [50], [68]-[70], [99], [129], [164], [175], и при спутниковых исследованиях в магнитосферной плазме [3], [157], [158], [162], [163], [16S]-[170]9 интенсивно изучаются в течение нескольких последних десятилетий. Изучение и моделирование эволюции нестационарных КС играет важную роль в понимании механизмов генерации, развития и разрушения астрофизических и геофизических магнитных полей и представляет собой актуальную задачу. Еще более общей задачей, возникающей в различных областях науки, является задача моделирования процесса нелинейной диффузии в активных средах, приводящего к возникновению эволюционирующих ВПС. На сегодняшний день законы эволюции нестационарных КС и ВПС практически не изучены.

Контрастные структуры являются предметом изучения большого числа исследователей. Основным инструментом их аналитического исследования являются асимптотические методы [17], [18], [25], [32], [34], [35], [60], [62], [78], [79], [88], [98], [186], [189] при помощи которых достаточно полно изучены различные типы стационарных КС и разработаны методы анализа их устойчивости [19], [20], [21], [22], [23], [24], [26], [27], [33], [34], [66], [98], [101], [134], [155], [171], [186], [200]. Однако применение аналитических методов исследования сталкивается с существенными трудностями при увеличении размерности задачи, усложнении вида нелинейности, при различных вырождениях нелинейных уравнений, а также в случае нестационарных (неустойчивых) КС, возникающих при решении ряда важных физических задач.

Наряду с аналитическими методами для исследования КС неоднократно применялись различные численные методы [30], [31], [38]-[41], [55Н57], [59], [77], [100], [122], [127], [141]-[143], [145], [150], [151], [155], [186]. Ввиду разномасштабности КС и ВПС применение численных методов требует либо большого объема вычислительных ресурсов, либо разработки специальных методов, позволяющих выделить и разрешить с нужной точностью ВПС. Так, например, разработаны адаптивные алгоритмы [30], [31], [38]—[41], [55]—[57], основанные на сгущении сетки в области переходного слоя. Они эффективно применяются для изучения одномерных КС. Однако применение численных методов существенно усложняется в случаях, когда переходные слои имеют сложную структуру (например, в двумерных задачах) или/и движутся (в случаях нестационарных (неустойчивых) КС).

Для решения таких актуальных задач необходимо разрабатывать специальные методы, сочетающие аналитические и численные подходы. Потребности ученых в таких методах, позволяющих эффективно исследовать нелинейную эволюцию КС, обосновывает актуальность данной работы.

В диссертации не ставится цель создать абстрактные математические теории, а представлены разработанные и реализованные в виде комплексов программ эффективные численно-аналитические методы, позволяющие решать широкий класс задач, связанных с нелинейной эволюцией КС различной природы. В данной работе продемонстрировано применение этих методов для решения актуальных задач астрофизики, математической физики и геофизики [195]—[219].

Одним из важных вопросов теории галактических магнитных полей является происхождение бисимметричных контрастных структур (БСС) магнитного поля, наблюдаемых в некоторых спиральных галактиках [49], [50], [129],[68Н70], \9% [164], [175]. Бисимметричные магнитные поля в спиральных галактиках дважды меняют знак вдоль азимутального направления, поэтому они подвержены сильному влиянию дифференциального вращения. Если бы магнитное поле было вморожено в межзвездный газ [159], то влияние дифференциального вращения привело бы к быстрому уменьшению радиального размера такой структуры и ее разрушению вследствие молекулярной и турбулентной диффузии [53]. Однако результаты наблюдений показывают, что в ряде спиральных галактик существуют аномально долгоживущие БСС магнитного поля, время жизни которых сравнимо со временем существования самой галактики [49], [50], [129],[68]-[70],[99],[164],[175].

Построенные ранее модели [70], [107], [108], [127], [128], [132], [138], [141]-[147], [160], [161], [164], [178], не смогли в полной мере объяснить механизм этого явления, поскольку полученные в них времена существования БСС оказывались меньше времени жизни галактики. Поэтому моделирование эволюции БСС магнитного поля в спиральных галактиках является актуальной задачей современной астрофизики.

Эволюция решений типа КС привлекает большое внимание в теории нелинейных дифференциальных уравнений и в задачах математической физики, включающих малый параметр при старших производных [17], [18], [32], [34], [44], [88]. К числу наиболее актуальных задач, для которых существуют решения типа КС, относится краевая задача для уравнения диффузии put = ЛАи + F(x, и, t) с малой величиной коэффициента диффузии Я и с нелинейной правой частью F(x,u,t), зависящей от и, координат и времени. Моделирование эволюции таких одномерных и двумерных структур представляет на сегодняшний день актуальную задачу математической физики.

Одним из ключевых процессов магнитосферной динамики считается взрывной процесс разрушения тонкого токового слоя (ТТС), образующегося в области ближнего к Земле края токового слоя магнитосферы в результате взаимодействия плазмы солнечного ветра с магнитным полем Земли [1], [2], [3], [58], [61]. Однако до сих пор не существует единой точки зрения на то, какова тонкая структура ТТС, является ли плазма в этих слоях изотропной или анизотропной, а также каков конкретный механизм их разрушения в фазе накопления суббури. Поэтому изучение и моделирование эволюции контрастной структуры - ТТС в магнитосферной плазме, представляет актуальную задачу геофизики.

В настоящее время существуют разнообразные модели равновесных бесстолкновительных ТТС, как аналитические, так и численные. Их можно условно разделить на два больших класса: модели изотропных [101], [166] и анизотропных слоев [113], [177].

Одно из современных направлений исследований динамики ТТС основывается на идее поиска таких физических процессов, которые бы подготавливали слой к развалу или облегчали бы развитие различных неустойчивостей. Были исследованы механизмы уменьшения энергии сжатия электронной компоненты посредством передачи импульса от электронов к ионам [42], построена модель развития комбинированной неустойчивости в ТТС [171]. Однако единой точки зрения на эту проблему нет, и парадокс электронной сжимаемости до сих пор не решен. Одно из направлений исследований сегодня переместилось в область изучения неустойчивостей ТТС под действием более крупномасштабных возмущений (изгибная, баллонная, комбинированная неустойчивости и другие [42], [103], [112], [133],[171]. Однако и эти модели не дают однозначного ответа на вопрос об основном механизме, обеспечивающем разрушение магнитосферного токового слоя. Изотропные слои, для описания которых существуют достаточно простые аналитические модели, по-прежнему стоят в центре внимания исследователей, в то время как вопросы устойчивости и временной динамики анизотропных токовых слоев - гораздо менее исследованная область.

Актуальной проблемой является создание теоретических и численных моделей, которые бы позволили понять механизмы формирования расщепленных токовых слоев (РТС) и их внутреннюю структуру. Поскольку в ТТС может накапливаться значительная энергия (—10 -10 Дж), расчеты режимов их эволюции необходимы для понимания глобальной динамики магнитосферы.

На основании большого количества численных расчетов с использованием кинетических, гибридных и МГД моделей с учетом эффекта Холла было показано, что электроны могут создавать значительные локальные токи, особенно в областях слабого магнитного поля [100], [122], [154], [155], [187]. В работах [93], [124] была предложена идея, о том, что электронный ток может быть причиной характерного двугорбого (или "расщепленного") профиля тока. Показано, что такие токовые спои (ТС) могут существовать в земной магнитосфере во время суббури [162], [163], [167]. Однако механизм расщепления ТТС пока не выяснен. В [118] предполагается, что расщепление тока может быть следствием хаотического рассеяния частиц на флуктуациях магнитного поля вдали от центра слоя. В [188] рассмотрен сценарий расщепления, в котором ТТС постепенно "разрушается" из-за рассеивания неадиабатических квазизахваченных ионов ("старение" ТТС). Моделирование влияние электронов на процесс расщепления ТТС также является актуальной задачей современной геофизики.

Цель исследования

Создание и реализация в виде комплекса программ эффективных численно-аналитические методов, позволягощих решать широкий класс задач, связанных с нелинейной эволюцией КС различной природы. Применение этих методов для решения актуальных задач астрофизики, математической физики и геофизики

Задачи исследования

1. В рамках двумерной численно-аналитической модели галактического динамо в приближении тонкого диска исследовать нелинейный процесс эволюции самоподдерживающегося бисимметричного магнитного поля в турбулентной среде - спиралы-юм галактическом диске.

2. При помощи численных экспериментов и асимптотических оценок исследовать процесс эволюции двумерных и одномерных КС - решений краевой задачи для уравнения диффузии put -ЛАи + F(x,u,l) с малой величиной коэффициента диффузии Я и с нелинейной правой частью F{x,u,t).

3. В рамках одномерной самосогласованной численной модели ТТС исследовать влияние захваченной плазмы в процессе эволюции ТТС в магнитосфере Земли.

4. При помощи численного моделирования исследовать одномерный самосогласованный анизотропный ТТС с расщепленной (или "бифурцированной") структурой.

5. Изучить влияние электронов в самосогласованной одномерной численно-аналитической модели ТТС и определить их роль в случае изотропного давления электронной компоненты при различных параметрах слоя.

Научная новизна исследования

1. Создан и численно реализован алгоритм двумерного моделирования эволюции КС в нелинейной активной среде с переносом, диффузией и генерацией с ограничением.

2. При помощи асимптотических оценок и двумерного численного моделирования впервые найдены решения уравнения динамо средних полей, для которых область инверсии магнитного поля вдоль азимутального направления дрейфует синхронно с перемещением галактических рукавов. Такая бисимметричиая конфигурация магнитного поля вращается как твердое тело с угловой скоростью, совпадающей со скоростью вращения спиральных рукавов. При определенных условиях это приводит к замедлению разрушения БСС, вызванного дифференциальным вращением и турбулентной диффузией. Впервые показано, что такое захваченное бисимметричное магнитное поле может иметь время жизни порядка 10-15 Гига лет в области размером несколько килопарсек в окрестности коротации, что совпадает с результатами наблюдений, показывающими наличие аномально долгоживущего бисимметричного поля в ряде галактик (М51, М81).

3. Получены аналитические оценки скорости дрейфа изогнутой границы и времени жизни двумерной КС произвольной формы. Аналитически оценена скорость дрейфа ВПС заданной формы, получены приближенные формулы, описывающие эволюцию КС круговой, эллиптической и некоторых других модельных форм.

4. В численных экспериментах, проведенных при помощи разработанных алгоритмов, изучены основные закономерности процесса эволюции двумерных КС, являющихся решением двумерного нестационарного нелинейного уравнения диффузии.

5. Получены аналитические оценки скорости дрейфа ВПС и времени жизни одномерной нестационарной КС с заданной начальной конфигурацией,

6. В рамках одномерной численной модели изучен дрейф ВПС, обусловленный различием размеров положительных и отрицательных областей решения одномерного нелинейного уравнения диффузии с генерацией и насыщением.

7. В рамках одномерной численной модели исследован дрейф ВПС, обусловленный наличием градиента или скачка порогового уровня. Показано, что при определенных условиях ВПС может быть захвачен движением области с более благоприятными условиями генерации.

8. Получена аналитическая оценка для максимальной скорости переноса, для которой еще возможен захват КС, подтвержденная численными экспериментами. Исследованы процесс захвата и процесс прохождения ВПС через неоднородную область при нарушении условий захвата.

9. Создан эффективный численный алгоритм исследования ТТС в рамках одномерной самосогласованной модели. В численных экспериментах исследованы самосогласованные решения с учетом захваченной в слое плазмы. Впервые в численном эксперименте показано, что возможной причиной разрушения ТТС при достаточно большой плотности квазизахваченной плазмы может быть перераспределение общего тока, при котором локальный ток захваченных частиц полностью или частично компенсирует основной ток в центре и на краях слоя, в то время как полный ток, создаваемый ионами на захваченных траекториях равен нулю. 10.Построена и численно реализована модель одномерного самосогласованного анизотропного ТТС, описывающая слой с расщепленной (или "бифурцированной") структурой, основанная на численном решении нелинейного уравнении диффузии для функции распределения. В численных экспериментах впервые исследована медленная эволюция системы в процессе диффузии функции распределения. Результаты численных расчетов подтверждаются экспериментальными наблюдениями расщепленных токовых слоев на ИСЗ Cluster и Geotail в хвосте магнитосферы Земли. Полученные результаты указывают, что возможный механизм разрушения ТТС не обязательно связан с развитием плазменных неустойчивостеи, а может носить эволюционный характер.

11. Построена и численно реализована новая самосогласованная одномерная модель ТТС с учетом влияния электронов и электростатических полей, поддерживающих квазинейтральность плазмы, в предположении о том, что электроны вдоль силовых линий движутся достаточно быстро, чтобы поддерживать квазиравновесное распределение Больцмана. В численных экспериментах впервые показано, что электростатические эффекты могут приводить к расщеплению токовых слоев. Изучена зависимость электростатических эффектов от электронной температуры и кривизны магнитных силовых линий.

Практическая значимость работы

Разработаны эффективные алгоритмы и комплексы программ, которые позволяют решать широкий класс одномерных и двумерных задач моделирования процессов в нелинейных средах, описываемых начально краевыми задачами для нелинейного уравнения диффузии с переносом, ограничением и генерацией общего вида. Применение их к актуальным задачам астрофизики подтвердило их высокую эффективность и практическую значимость.

Созданы численные модели и комплексы программ, позволяющие исследовать процессы эволюции ТТС, образующихся при взаимодействии взаимопроникающих плазменных потоков в обращенном магнитном поле. Применение этих методов в задачах моделирования околоземной плазмы позволило получить важные и интересные научные результаты. Созданные программные комплексы носят универсальный характер, что позволяет использовать их для решения широкого класс задач физики плазмы.

Положения, выносимые на защиту

1. Созданы и численно реализованы эффективные алгоритмы моделирования нелинейной эволюции контрастных структур различной природы.

2. При помощи численно-аналитического моделирования получены решения двумерного уравнения динамо средних полей, соответствующие долгоживущим бисимметричным структурам магнитного поля в спиральных галактиках.

3. Изучены общие закономерности эволюции двумерных КС, являющихся решением нестационарного нелинейного уравнения диффузии с генерацией и насыщением.

4. В рамках одномерной численной модели изучен дрейф ВПС, обусловленный различием размеров положительных и отрицательных областей решения одномерного нелинейного уравнения диффузии с генерацией и насыщением. Получены аналитические оценки скорости дрейфа ВПС и времени жизни одномерной нестационарной КС с заданной начальной конфигурацией.

5. Численно и аналитически исследованы процессы торможения и захвата на неоднородностях пороговой функции ВПС одномерной КС-решения нестационарного нелинейного уравнения диффузии с переносом, генерацией и ограничением.

6. Впервые в численном эксперименте исследована эволюция и разрушение одномерного самосогласованного ТТС в результате накопления в слое квазизахваченной плазмы.

7. В численных экспериментах впервые исследована медленная эволюция ТТС в процессе диффузии функции распределения.

8. При помощи численного моделирования изучено влияние электронов на эволюцию изотропного самосогласованного ТТС.

Публикации

По материалам диссертации опубликована 21 научная работа и сделано 9 докладов на научных конференциях.

Аннотация диссертационной работы по главам.

Первая глава посвящена актуальной задаче астрофизики-моделированию эволюции КС магнитного поля в спиральных галактиках и состоит из введения и 4-х параграфов,

Во введении описана проблема существования аномально долгоживущих КС магнитного поля в ряде спиральных галактик. Рассматриваются модели, предложенные ранее для объяснения эффекта преобладания бисимметричной моды магнитного поля в спиральных галактиках. Излагается основная идея механизма поддержания бисимметричной моды, которая состоит в том, что устойчивая БСС в спиральной галактике может существовать в окрестности радиуса коротации при балансе дифференциального вращения, процесса генерации магнитного поля в результате эффекта динамо и магнитной диффузии.

В первом параграфе приводится подробная математическая постановка задачи, которая включает в себя уравнение динамо средних полей

дБ

VxB

+ 0 АВ

(0.1)

= rot \аВ) + Ш

dt v

где В- среднее магнитное поле, а-средний коэффициент спиральности, Г = [б7хг] - скорость вращения, и Р- коэффициент турбулентной магнитной диффузии в цилиндрической системе координат в приближении тонкого диска, при котором решение уравнения динамо (0.1) может быть представлено в виде

Ё(г, р, z, t) = b(z, г) и(г, ф, /), (0.2)

где b(z, г) есть нормированное на единицу решение локального уравнения динамо (0.1). При этом локальные уравнения динамо, которые определяют b{z,t), остаются линейными, а кубическая нелинейность достаточно общего вида, связанная с насыщением процесса динамо, входит только в уравнение для и(г, (р, /), которое включает в себя / - коэффициент генерации магнитного поля в процессе динамо. В качестве хорошего реалистичного приближения для у была выбрана функция

Г = У

и

D4

(0.3)

Амплитуда u[r, (р, п магнитного поля определяется следующим нелинейным нестационарным уравнением в частных производных;

дг

dt

ди / \ди „г\ д щг)— = А v }д р

\д(ги) г дг

+ д2и

г2 дер2

+ уи

и

.2 \

D , (0.4)

где со\г)- угловая скорость вращения галактики, Уу) локальный показатель роста, полученный как главное собственное значение локальных уравнений динамо, совместно с b(z,tj. D— характеристическая напряженность поля, при котором нелинейные эффекты динамо станут существенными (напряженность поля насыщения). X

/

г0

безразмерный коэффициент магнитной диффузии в плоскости диска (A «1). Неосесимметричный диск моделируется путем модуляции уровня насыщения D двумя вращающимися спиральными рукавами:

D(r, р, t)-D(r)\\+ ssm

f \

/ ЛГІП —

V

с J

+ 2( p-a st)

(0.5)

D(rj- среднее значение D, зависящее от радиуса. Это уравнение логарифмической спирали с углом закрутки ps = arctg

— , вращающейся с

угловой скоростью C9S. Дифференциальное вращение задается модельной кривой вращения галактики М51, которая соответствует результатам астрофизических наблюдений. Остальные параметры также соответствуют параметрам галактики М51. Граничные условия имеют вид

и\0) = и(Я) = О, R-2Q кПк. D[r) определяется из условия равновесия между плотностями кинетической и магнитной энергий:

(г)сс ехр

-2

г

v/oy

Модельные зависимости для модельной кривой вращения й)[г), локального показателя роста у(г) и модулированного спиральными рукавами уровня насыщения D[r, (р, п представлены на рис.1.1-1.3.

Отмечено, что основное допущением модели состоит в том, что механизм генерации крупномасштабного магнитного поля имеет пороговый характер, то есть действует только тогда, когда напряженность магнитного поля меньше чем некоторое значение D\ иначе, поле затухает. Подчеркивается, что основное уравнение модели для и (г, tp, t) имеет более общий характер и может использоваться не только в модели галактического динамо.

Во втором параграфе проводится качественный анализ основного уравнения модели в локальной криволинейной системе координат {%,?}), вращающейся вместе со спиральными галактическими рукавами. Ось направлена поперек, а ц - вдоль рукавов:

% = (r rc)sinps rc( p-mst)cosps,

rj={r rc)cosps+rc(g -mst)smps.

Здесь гс - радиус коротации, определяемый из условия ffl[rc)=ms, где tus- постоянная угловая скорость вращения галактических магнитных рукавов. В такой системе координат рассматривается установившееся решение уравнения вблизи коротации: т — тс «гс, для сильно закрученных спиральных рукавов рЛ«1. Линеаризованное по ps и г-гс основное уравнение модели имеет вид:

ґи ди 2 д2и

(0.6)

1 V — = Я —v + Yu

V J

D

где VP&{UT- ws У sin ps - скорость материи поперек рукава во вращающейся системе координат. В силу сильной вытянутости спиральных рукавов по р, производными по переменной т\ можно пренебречь. На рис. 1.4а-б. приведены зависимости D( ) и и() в малой окрестности коротации, соответствующей г гс или m ffls, в которой относительная скорость Vp отрицательна.

В безразмерных переменных получены оценки для максимума

-max

допустимой относительной скорости Кг «л и полуширины переходного слоя 11»—т=. Получено выражение этих оценок через наблюдаемые величины для случая ао -динамо. Для случая плоской кривой вращения со — — оценена радиальная полуширина БСС г

Лг = -Д

sm р& V /

1/4

В третьем параграфе описана численная модель, алгоритм ее решения и вычислительные эксперименты по моделированию процесса захвата бисимметричного магнитного поля галактическими спиральными рукавами. Для проведения вычислительного эксперимента был создан комплекс программ численного решения начально-краевой задачи для основного уравнения модели, основанный на модифицированной экономичной итерационной разностной схемой переменных направлений. Приводится подробное описание разностной схемы и основные результаты вычислительных экспериментов, показывающих возможность существования долгоживущей бисимметричной моды и роль спиральных рукавов в этом процессе.

В четвертом параграфе представлены основные выводы первой главы. Из численного эксперимента следует, что время жизни захваченного бисимметричного поля может быть весьма велико и сравнимо со временем существования галактики. Благоприятными условиями захвата БСС спиральными рукавами являются: сильно закрученные рукава\ps «1J, тонкий диск, малый наклон кривой вращения. Однако последние два условия уменьшают эффективность динамо, поскольку динамо-число пропорционально к" и наклону кривой вращения. Поэтому, имеется оптимальный диапазон параметров для поддержания БСС. Галактики, параметры которых лежат в этом диапазоне - лучшие кандидаты для наблюдения БСС. В численном эксперименте показано также, что радиальная полуширина БСС Дг увеличивается с увеличением амплитуды модуляции є.

Вторая глава посвящена численно-аналитическому моделированию КС, являющихся решением нестационарного нелинейного уравнения диффузии. Глава состоит из введения и 8 - ми параграфов.

Во введении описан объект исследования- физическое поле u[x7t), которое участвует в процессах диффузии с заданным коэффициентом диффузии X, переноса с заданной скоростью F(x,?J, и генерации с насыщением, причем дополнительная плотность источников за счет генерации F зависит от координат, времени и от функции и. Описываются квазистационарные и нестационарные решения типа КС, эволюция которых сводится к относительно медленному перемещению ВПС.

Сформулирована задача исследования, которая состоит в выяснении качественных и некоторых количественных закономерностей дрейфа ВПС при помощи аналитических оценок и численного моделирования.

Поставлена цель исследования- выделить факторы, определяющие характер эволюции и время жизни неустойчивых нестационарных КС.

В первом параграфе приводится описание модели изучаемой КС, которая является решением нелинейного нестационарного уравнения диффузии с переносом, генерацией и насыщением в двумерной конечной или бесконечной области G, ограниченной линией Е;

д t д х д у

о и о и

д х1 д у2

+ у0и и KDJ

.(0.7)

Векторное поле скорости переноса V считается заданным, коэффициент

\х

диффузии X - малым, так что толщина ВПС П= — много меньше размера системы. Дг коэффициент генерации в приближении слабого поля, много меньшего уровня насыщения D,

Уравнение (0.7) рассматривается внутри ограниченной области G с границей 2 и дополняется начальным условием и () = щ\хуу) и граничным условием и у = 0. Описай процесс эволюции двумерной КС и характер дрейфа ВПС.

Во втором параграфе изучается эволюция модельной КС круговой формы с радиусом R(t\ внутри которой и 0. В локальной полярной системе координат при постоянной скорости V = { ,0} уравнение (0.6) имеет вид ди +

V X

ди д и

- — Л

дг Зг2

+ yQu

D

]

Л2

\ j

(0.8)

Это уравнение эквивалентно одномерному нелинейному уравнению

iff

диффузии со скоростью переноса Ve

v-?

V

Г

Г + Гпіг). где

Я

Vcurv[r)=—7. Поле скоростей Vcurv\r) направлено вдоль радиуса, в

окрестности ВПС, который в данном случае лежит на окружности радиуса R(t\ дополнительная скорость дрейфа ВПС равна

УсшМ—\

(0.9)

R - радиус круга, образующего положительное пятно КС. Дрейф ВПС направлен к центру кривизны. Если рассматривать скорость переноса Vcurv как результат действия поверхностного натяжения KQ то граница пятна КС перемещается по тому же закону, по которому перемещается в вязкой среде растянутая тонкая гибкая нить при условии, что сила вязкого трения пропорциональна скорости и сила натяжения нити постоянна вдоль всей линищ не ависит от времени и численно равна коэффициенту диффузии.

Показано, что круговое пятно в ходе эволюции остается круговым. Зависимость радиуса пятна от времени дается выражением R[t)- J2Z(tQ \ t tQ, где to определяется как момент времени разрушения пятна. Таким образом, площадь пятна КС убывает с течением времени по линейному закону, а время жизни кругового пятна с начальным радиусом йо, равно где SQ =Я#О - начальная площадь пятна. Эти формулы для пятна круговой формы справедливы при условии Й»П. На позднем этапе разрушения круговой КС, когда Л П, скорость перемещения ВПС возрастает по сравнению со значением, определяемым формулой (0.9),

В третьем параграфе показано, что формула (0.10) для времени жизни контрастной структуры круговой формы остается верной и для пятен произвольной формы. Этот вывод основан на предположении о том, что скорость дрейфа ВПС в направлении, перпендикулярном линии ВПС, определяется формулой (0.9), в которой радиус круга нужно заменить на радиус кривизны кривой Г в данной точке. Таким образом, скорость и направление перемещения ВПС определяются радиусом кривизны и положением центра кривизны Г.

Показано, что если радиус кривизны R во всех точках кривой L, ограничивающей односвязное пятно КС, много больше П, то площадь односвязного пятна произвольной формы линейно уменьшается с течением бремени со скоростью InX, единиц площади за единицу еремениі

—=-2яХ (0.11)

В четвертом параграфе представлены результаты компьютерного моделирования эволюции КС с произвольной формой. Подробно описаны разностная схема, алгоритм численного решения и результаты численных экспериментов.

Исследована эволюция хаотического начального состояния, амплитуда которого щ была много меньше порогового уровня D.

Для проверки справедливости формулы (0,11) в численном эксперименте получены зависимости площадей пятен различной формы от времени. Зависимость площади от времени оказывается действительно линейной, однако время жизни несколько меньше, чем следует из формулы (0Л0), что объясняется отклонением от линейной зависимости S(f) в конце жизни пятна, когда его диаметр становится сравнимым с толщиной переходного слоя П. Начиная с этого момента, пятно убывает быстрее за счет диффузии.

Пятый параграф посвящен эволюции неодносвязных пятен. Рассматривается положительное пятно КС, ограниченное внешним контуром LQ, внутри которого имеется М пятен противоположной полярности, ограниченных контурами Z,m, \ т М. Так как площадь, ограниченная контуром LQ, зависит от времени по закону (0.10), и по такому же закону изменяется площадь внутри каждого из контуров im, то скорость изменения площади положительного пятна

=?— = 2яЛ(М-1). (0.12)

dt

Представлены зависимости площади от времени для нескольких пятен с внутренними включениями пятен противоположной полярности (неодносвязных),

В шестом параграфе сформулированы и обсуждены некоторые общие законы эволюции ВПС в двумерном случае.

1. Длина замкнутой границы каждого пятна КС убывает со временем,

2. Диаметр пятна КС убывает со временем.

3. Для КС любой формы, отличной от круговой, скорость уменьшения диаметра пятна больше, чем для круга,

4. Границы двух несоприкасающихся пятен никогда не соприкоснутся (и даже удаляются друг от друга).

В седьмом параграфе приведены аналитические и численные результаты исследования эволюции пятна КС, имеющего в начальный момент форму эллипса с полуосями ао и b$ (ЯО- О)- В предположении о том, что пятно в каждый момент времени 0 имеет форму эллипса с полуосями a(t) и b(t) и скорость дрейфа границы пятна в вершинах эллипса определяется формулой (0.9), получены аналитические выражения для a{t) и b(t):

а = а0і\і - 7 = 4 (°лз)

Ч я1 b

an an lng где q= , /Q ——- - время жизни эллиптического пятна в данном q2-\ t приближении, т -- - относительное время, выраженное в единицах времени жизни пятна f 0 г 11.

Из (0.13) следует, что эксцентриситет эллиптического пятна убывает и на последней стадии разруніения эллиптическое пятно превращается в круговое, а затем разрушается.

Показано, что формулы (0.13) можно использовать для не слишком вытянутых эллиптических пятен. Более точные результаты получаются при

t Sn

замене в (0.13) т =- - на выражение т = — э Q =——:

= (0Л4)

На рис.2.4 отображена эволюция эллиптического пятна, где хорошо видно, что перед разрушением пятно принимают круговую форму. На рис. 2.5 для нескольких эллиптических в начале эволюции пятен изображены временные зависимости отношения большего диаметра пятна к меньшему. Погрешность формул (0.13) возрастает при увеличении отношения полуосей, а модифицированные формулы (О Л 4) для эллипса дают практически точные результаты.

В восьмом параграфе аналитически и численно моделируется эволюция КС в форме вытянутого кольцевого сектора R\ r R2- (Р\ (Р (Р2 i?2 R\ «( 2 1 X l +)1 Получена приближенная аналитическая формула изменения площади пятна

,2

dS

——— /,

dt

(0.15)

л L L (Д2-ЛіУ

A] ПО 2 Л] /і2

где X(t) - длина средней линии, вытянутой вдоль окружности радиуса

п /ч R2(t)+R]{t)

R \t)- — по азимуту на угол А(р = (р2 — р\. При условии L& R[& R2 (0.15) даст практически точный результат. На рис. 2.6 показана эволюция RC, которая изначально имело форму кольцевого сектора. В процессе эволюции протяженность пятна вдоль азимута сравнивается по порядку величины с протяженностью вдоль радиуса, после чего пятно эволюционирует как эллиптическое.

В третьей главе при помощи аналитических оценок и компьютерного моделирования изучается дрейф ВПС контрастной структуры - решения одномерного нелинейного уравнения диффузии с насыщением и генерацией в однородной среде. Получены аналитические оценки скорости дрейфа ВПС и времени жизни нестационарной КС с заданной начальной конфигурацией. Показано, что скорость дрейфа ВПС и время жизни неустойчивой КС зависят от диаметров областей положительных и отрицательных решений. В рамках одномерной модели рассмотрен дрейф ВПС, обусловленный различием размеров положительных и отрицательных областей решения.

Глава состоит из введения и четырех параграфов. Во введении описан объект исследования- медленно изменяющиеся со временем решения нестационарного нелинейного уравнения диффузии, имеющие в каждый фиксированный момент времени вид КС, причем ВПС медленно перемещается со временем (дрейфует).

Сформулирована цель исследования, методы исследования и кратко перечислены основные полученные результаты.

В первом параграфе описана математическая модель одномерной КС, которая является решением начально-краевой задачи для уравнения диффузии с генерацией и насыщением, где коэффициент генерации у нелинейно зависит от и:

\ и

= Л1ГТ+Уои

ди п д2и --1

dt дх2 /0 { D2 j

, 0 x Z? f 0, (0.16)

с начальными условиями щх% Щ-щ\х), 0 х L и граничными условиями при х=0 и x=L.

В случае однородной среды, где у X D — const уравнение (0.16) приводится к виду:

ST дх2 Х где x — y t II- - характерный масштаб ВПС. Поскольку

т

предполагается, что в П«, то (0.17) включает малый параметр при второй производной и принадлежит, к классу сингулярно возмущенных уравнений.

Описан процесс образования КС- решения (0.16) и дрейфа ВПС, изучение которого и есть цель данной главы.

Во втором параграфе анализируются решения стационарного уравнения

П2 + ,(і-,2) = 0. (0.18)

dx х !

Профиль ВПС описывается решением задачи Коши для уравнения (0.18) с

начальными условиями у ( XQ J = 0, —

CtX

1 /с

= —А— XQ- координата

центра ВПС и С - константа, определяющая наклон кривой и{х) в точке XQ .

Показано, что точное решение (0.17) при 0 С 1 есть неявная функция:

х-Х0 V2 / ч . (ул Ъ -=—г[р,к), -arcsin — , к=—,

а

Kb

П а

b = j\-,ft-C, й-Vl + v l-C, 0 6 1, \ а -Л,

F[tp,k) - J ОдД-Лш2 неполный эллиптический интеграл первого

рода. При 0 С 1 решение (0.18) у(х) является периодической функцией с периодом:

4V2 Т = П- —К

а

кау

iwK(k)=F -,к

1J

- полный эллиптический интеграл первого рода.

\ J

Периодические решения существуют при начальных условиях, удовлетворяющих неравенствам

nV2 dx С ПЇ2

где 0 С 1. Максимальное значение у(х) для заданного С 1 равно

V2

Ушах =& = Vl-Vl-C.ripH 0 С«1

Vnax

v 8У

, а при С 1 и

7Ї-С

1-С«1.утах 1 2 .

В критическом случае при С—1, a=\, й=1 j = th

х х0 П монотонная функция, обращающаяся в нуль только в одной точке X = XQ .

В третьем параграфе получены аналитические оценки времени жизни нестационарной одномерной КС с заданной шириной пятна w: V Пу

exp(V2 j-exp

зависимости ширины пятна от времени:

П

w = - =In(-32r + exp(y2;z:JJ.

v2

Здесь г 0? и момент времени г — 0 соответствует полному разрушению КС. Также получена аналитическая оценка скорости дрейфа ВПС:

v = -8 2П

exp

К

w

-V2 -exp —N/2 П

П

J J

где иЛ и wA - ширины положительного и отрицательного пятен соответственно.

В четвертом параграфе представлены результаты численного моделирования эволюции симметричных и ассиметричпыхКС в докритическом, критическом и сверхкритическом случаях. Показано, что аналитические оценки с высокой точностью согласуются с результатами численного эксперимента.

В четвертой главе исследуется эволюция решения типа нестационарной КС для уравнения диффузии с переносом и генерацией в неоднородной среде- Рассматривается дрейф ВПС, обусловленный наличием градиента или скачка порогового уровня.

Если ВПС расположен на большом расстоянии от точки скачка пороговой функции, то он будет перемещаться со скоростью переноса. Если же ВПС расположен в малой окрестности ТОЧЕН скачка пороговой функции, то он может замедлить свое движение и даже остановиться. В параграфе получены приближенные необходимые условия останова ВПС. Критерием адекватности полученных оценок является совпадение аналитических результатов с результатами компьютерного моделирования.

Глава состоит из введения и трех параграфов.

В первом параграфе получена аналитическая оценка для максимально возможной скорости дрейфа ВПС.

Рассматривается одномерное нелинейное нестационарное уравнение диффузии с переносом и генерацией 2 ди ттди „ д и

дґ

dt дх

+ у0и ц(-М)

J

, -со х со, t О

(0.19)

Я- коэффициент диффузии, V- скорость переноса, у о -коэффициент генерации в линейном приближении. Пусть D(x,t) зависит от координат и времени по закону бегущей волны:

-со х оо. Пусть D(x) имеет минимальное значение Da О и максимальное значение D , D Da, причем ширина каждой из областей, в которых D(x) Da или Z)(x) Z , много больше толщины ВПС

П = \ — . Между точками минимума, где D(x) = „ и точками максимума,

Dfx) = D } функция D(x) монотонна.

Если ВПС остановлен скачком пороговой функции, то существует

стационарное

ди dt

= решение уравнения (0.19) типа контрастной

структуры, удовлетворяющее уравнению

т/ди 3«

V -А - + /QU

Зх дх2 и(х щ

(0.20)

Для периодической кусочно-постоянной функции D(x) с периодом Г, принимающей два значения Da О и D , D Da:

Da ,0 x d

D(x) =

, D(x + T) = D(x)t0 d TJ (0.21)

DbJ x T

в предположении d»Yl, T-d»U, получена аналитическая оценка сверху для максимально возможной скорости переноса V, при которой стационарное решение типа КС существует:

W = 0- -2. (0-22)

4V2 2D

Для непериодической кусочно-постоянной пороговой функции D(x) принимающей всего два значения:

Дх) =

Dn,x 0,

п . ArO- A,, А 0. (0.23)

в случае, когда имеется только один ВПС, расположенный в окрестности скачка пороговой функции, т.е.

u(x,t) - -Da при х -» -оо, M(JC, ) - + при х - +со, аналитическая оценка сверху для максимально возможной скорости переноса V, при которой стационарное решение типа КС существует, имеет вид:

В пределе при А — О оценки (0.24) и (0.22) совпадают. Полученные аналитические оценки подтверждены результатами компьютерного моделирования.

Во втором параграфе подробно описаны численные методы и приведены результаты компьютерного моделирования эволюции стациоиариых и нестационарных одномерных КС с периодической пороговой функцией D(x).

Для численного решения эволюционного уравнения (0.19) с периодической пороговой функцией (0.21) использована неявная разностная схема с периодическими граничными условиями на равномерной сетке, которая решалась методом прогонки с итерациями.

Наличие множества решений, жесткость рассматриваемой краевой задачи, периодичность граничных условий - все эти трудности были успешно преодолены при реализации разностной схемы.

Для численного решения стационарной задачи (0.20) был разработан и реализован новый модифицированный вариант метода стрельбы с погружением. Пусть G(x,a9b7 V)- решение задачи Коши для уравнения (0.19) с заданной величиной Кис начальными условиями м(0)=а, (duldx) „ =Ь. Пусть b(a,V)- решение уравнения G(2T,a9b9V)=a

х—и относительно Ъ (для вычисления этой величины используется классический метод стрельбы) и пусть H(x V)=G(x1 a9b(a V) V). Если Or=a{V) выбрано так, что

S{a,V) = -H(X a V)

дх

дН{х9а9У)

х-2Г дх

= 0, (0.25)

=0

то H{x9ct(V),V)- решение уравнения (0.19) с периодическими условиями на промежутке 0 х 2Г. Для численного решения уравнения (0.25) относительно а также используется классический метод стрельбы. Таким образом, решение типа КС существует, если уравнение (0.25) имеет решение и если соответствующая функция и(х)= H(x,a(V),V) меняет знак, по крайней мере два раза на промежутке 0 х 2Г. Функция S(a9V) на промежутке -D a D всегда имеет, по крайней мере, два однократных корня, которые соответствуют упоминавшимся знакопостоянным решениям, не относящимся к классу КС. В зависимости от значения V функция S{ayV) может иметь, кроме того, еще один двукратный или два однократных корня. Два однократных дополнительных корня соответствуют случаю скорости меньше критической, V Vmmi в этом случае краевая задача для уравнения (0.20) с периодическими условиями имеет еще два решения типа КС. Для одного из решений, щ(х), значение в точке скачка D(x) положительно; U\(d) 0, а для второго решения, щ{х)9 имеем Un(d) 0. Для определения критического

значения скорости Vmax при постепенном увеличении К, отслеживаются одновременно U\(x) и щ(х). При некотором значении У У1ШХ два корня уравнения (0.25), соответствующие щ{х) и щ{х\ превращаются в один двукратный корень, оба решения КС совпадают. При У 1ШХ уравнение (0.24) не имеет корней, соответствующих решениям типа КС. Поскольку многократное решение задачи Коши и нелинейного уравнения представляет весьма трудоемкую задачу, был использован метод погружения [8], [9]. На первом этапе, при фиксированной величине глубины модуляции h, V использовалось в качестве параметра погружения. На втором этапе в качестве параметра погружения использовалась глубина модуляции h и из решения задачи Коши с начальным условием У1ШХ , __n = О определялась зависимость Кшх(/?). Только одно из двух решений- щ{х) может быть получено методом счета на установление для эволюционного уравнения (0.19), так как второе неустойчиво по отношению к возмущениям.

Численное решение стационарной и нестационарной задач проводилось при помощи разработанных автором комплексов программ. В параграфе описаны новые результаты моделирования процесса эволюции одномерной КС в среде с модулированным профилем пороговой функции. На рис.4.3. показан процесс стабилизации контрастной структуры в среде с периодическим профилем пороговой функции. На рис.4.4. показан процесс замедления нестационарной (неустойчивой) контрастной структуры на периодическом рельефе.

На рис.4.5, показано семейство стационарных решений типа контрастной структуры для набора различных значений скорости переноса. Численный эксперимент показал, что в широком диапазоне изменения параметров h и Т отношение ЩІП оказывается малым, что позволило оценить относительную погрешность формулы (0.22), которая при малых /КОЛ составляет не более 1%.

Получена более точная оценка для максимальной скорости дрейфа, при которой возможна стабилизация КС, справедливая как для периодической, так и для монотонной пороговой функций:

= °2 (о-2б)

В третьем параграфе изучаются одномерные КС в среде с непериодическим профилем пороговой функции.

Существование решения (0.19) при заданном значении h и при V—Vmnx(h) было показано при помощи вычислительного эксперимента, в котором при заданном значении h численно решалась краевая задача (0,20) с граничными условиями

u(x,t) - -Da при JC - -со5 u(x,t) - + при х - +со, (0.27)

Метод численного решения нелинейной краевой задачи на бесконечном интервале имеет принципиальные отличия от метода решения задачи на конечном промежутке. Так как уравнение (0. і 9) не интегрируется в квадратурах, для аппроксимации решения на бесконечных полуинтервалах

x -L и x L9 где Х»П, ислользовалось точное решение того же уравнения с параметрами V— 0, D(x)-COllst. Для увеличения точности и скорости сходимости были найдены асимптотические оценки собственных значений задачи (0.20) с ненулевым значениями Кдля решения в области, где D-\u\«D. Для численного решения использовался модифицированный метод стрельбы с погружением по двум параметрам, один из которых-глубина модуляции h, второй- скорость V. Были преодолены значительные трудности, связанные с жесткостью краевой задачи.

Особенность задачи на бесконечном интервале в том, что для значений скорости, меньших критического, V Vm Два решения стационарной задачи связаны неравенством щ(х) Ы2(х) для всехх:

-СС Х сю.

Фундаментальная формула (0.26) была проверена в компьютерном эксперименте. Функция Vwax(h) определялась из условия кратного корня нелинейного уравнения, аналогично периодической задаче. На рис.4.7, показаны графики зависимости У]ШК от /?, полученные в численном эксперименте для различных профилей пороговой функции.

Анализ результатов показал, что в диапазоне изменения 0 А 0.2 можно использовать выражение (0.25), допуская при этом относительную погрешность не более 1%, а в диапазоне изменения 0 Й 0.1 имеем то же выражение для Vmax с относительной погрешностью не более 0.1 %.

Показано, что при заданном h и фиксированной скорости F Fmax(/i) область плоскости переменных {хм} заданная системой неравенств -П(х) и П{х) разделяется графиками двух решений стационарной задачи натри подобласти:

G\={(x,u): U)(x) u D(x)}, G2={ (х9 и)\ U2(x) u U](X)}9 Gy={ (х, и): -D(x) и и2{х)}, в которых решение нестационарной задачи ведет себя качественно по-разному. В области G\ решение дрейфует слева направо, причем имеется предельное (при і— со) устойчивое положение решения, равное щ(х). В области (?2 решение дрейфует справа налево, и опять имеется то же самое предельное устойчивое положение решения. Наконец, в области G решение дрейфует слева направо, как и в G\, но при t — со ВПС перемещается вправо со скоростью V, навсегда оторвавшись от нерегулярного участка пороговой функции. Таким образом, щ{х)- устойчивое решение стационарной задачи, щ{х)- неустойчивое решение.

На рис, 4.9, изображен процесс торможения и захвата контрастной структуры на неоднородности пороговой функции.

На рис. 4Л0. показано замедление дрейфа внутреннего переходного слоя при прохождении через неоднородность пороговой функции с большим градиентом.

Нарис. 4Л1. изображен обратный дрейф внутреннего переходного слоя от неустойчивого к устойчивому решению стационарной задачи.

Зависимость времени задержки слоя в окрестности неоднородности от относительной скорости изображена на рис 4.12.

Пятая глава посвяшена описанию применения разработанных автором численных методов и универсальных комплексов программ, позволяющих находить самосогласованные равновесные решения для ТТС с обращенным магнитным полем в горячей бесстолкновительной плазме.

Рассматриваются два основных подхода- аналитическая теория и моделирование методом частиц. Проведено сравнение результатов численного моделирования, полученных при разных подходах между собой и с результатами наблюдений, что позволило сделать вывод о надежности теоретической стационарной модели и эффективности кодов.

Одним из приложений таких численных методов является актуальная задача физики околоземной плазмы- моделированием ТТС в плазменном хвосте Земли. Однако, подобные токовые структуры - не редкость в солнечной короне, в магнитосферах других планет солнечной системы, на магнитопаузе. Таким образом, разработанные численные алгоритмы и комплексы программ имеют универсальный характер и широчайшую область практического применения.

Глава состоит из введения, четырех параграфов и заключения.

Во введении приводится история объекта исследования, анализируются используемые ранее методы изучения ТТС, их преимущества и недостатки. Обосновывается актуальность создания численных моделей эволюции ТТС в горячей бесстолкновительной плазме и важность их практического использования. Кратко описаны основные используемые модели и основные результаты численного эксперимента.

В первом параграфе описан алгоритм численной реализации самосогласованной аналитической одномерной модели ТТС в горячей бесстолкновительной плазме. Подробно описаны физическая и математическая постановка задачи, которая сводится к безразмерному нелинейному интегральному уравнению, (типа уравнения Грзда-Шафранова) для магнитного поля Ъ как функции безразмерного вектор-потенциала 7] 0:

20й=8 1/3rVA) 2 (+)0?)+ (_)(?)

(0.28)

ЪП

к

VD) 1 + егф"1)

Функции F/+\(TJ) И F/\(TJ) соответствуют парциальным вкладам положительного и отрицательного токов в полный ток.

Параметр

(отношение альфвеновской скорости к потоковой)

должен соответствовать граничному условию Ь{т} — оо) — 1.

Для пролетных ионов выполняется условие / H?Q . В этом случае функции F(±){if) в правой части уравнения (0.28) имеют вид:

7/ СО GO

GO

x

4 1±-е-2П

F(±) W = ± \dlf \dwx \wydwy jdwf

О

О О

-2/3

г

хехр, -є

V

п +

+ /.

(0.29)

Безразмерный адиабатический инвариант /+ определяется как

где значения щ± и Tj+ соответствуют точкам поворота и определяются из условия равенства нулю подынтегрального выражения:

=тах0,7 - +м +и р

n±= + j+y Twy. (0.31)

Для захваченной популяции / WQ\ функции f(+) (ф имеют вид:

Ї] СО СО СО

Ff±\{7]) ±k\di \dwx \wydwy f exp(-f"2/3( 4/3 +WQ\)

0 0 0 0

(0.32)

222 VT

где WQ = Wx + wy + Wr. Безразмерные параметры є — —— (отношение VD тепловой скорости плазмы к потоковой) и к (характеризующий плотность захваченной плазмы) являются свободно варвируемыми параметрами модели. Модель включает в себя выражения для концентрации ионов и плотности ионного тока.

Аналитическое решение стационарной одномерной нелинейной задачи возможно только для некоторых частных предельных случаев. Для решения такой сложной задачи был создан и реализован в виде комплекса программ эффективный итерационный численный алгоритм, основанный на квадратурных формулах Гаусса для вычисления тройных несобственных интегралов с сингулярностью в подынтегральном выражении. Описание этого алгоритма дается в третьем параграфе. Впервые было учтено наличие захваченных частиц. Сложная структура фазовою пространства и обусловленная этим сложная форма границы между пролетными и захваченными ионами также создает существенные трудности для аккуратного перехода алгоритмом раздела между пролетными и захваченными частицами, которые были успешно преодолены. Также были преодолены трудности, связанные со сходимостью алгоритма в окрестности области сшивания функций распределения пролетных и захваченных частиц при переходе границы между ними в фазовом пространстве.

В численном эксперименте была определена двумерная область сходимости построенного итерационного алгоритма в зависимости от параметров и к. Аналогичные численные расчеты были проведены с помощью другой модели, основанной на методе крупных частиц. Показано, что результаты, полученные с помощью двух разных моделей, аналитической и численной, достаточно хорошо согласуются между собой, и можно с уверенностью говорить о том, что структура слабоанизотропных ТТС и их устойчивость может контролироваться захваченной (или квазизахвачеиной) популяцией частиц, что является важным моментом при изучении динамики ТТС в суббуревых процессах.

В численном эксперименте получена зависимость параметра —— VD (отношение альфвеновской скорости к потоковой) от величины 8. Хорошее совпадение результатов численного эксперимента с аналитической формулой позволило сделать вывод об адекватности численной и математической моделей одномерного тонкого токового слоя в области параметров, при которых имеет место сходимость итерационного алгоритма решения аналитической одномерной стационарной задачи.

В третьем параграфе описывается численная модель, основанная на методе крупных частиц, основные постулаты которой соответствуют рассмотренной ранее аналитической модели.

В четвертом параграфе описаны результаты численного моделирования влияния анизотропии источников и захваченной плазмы на структуру ТТС. В численной модели впервые получены самосогласованные решения в широком диапазоне значений параметра є 0. Показано, что при уменьшении анизотропии системы, плотность тока в центре слоя уменьшается, что следует из аналитических результатов.

В численном эксперименте впервые было подтверждена гипотеза о том, что равновесие ТТС является динамическим, т.е. равновесный ТТС может существовать, испытывая небольшие колебания, при которых монотонный и немонотонный профили магнитного поля последовательно сменяют друг друга во времени.

Впервые в численном эксперименте показано, что захваченная плазма может существенным образом изменять структуру слабоанизотропных слоев, в то же время ее влияние на сильноанизотропные слои минимально. Ток ионов на захваченных траекториях имеет ярко выраженный отрицательный минимум в центре слоя и симметричные положительные максимумы по краям, в то время как интегральный ток в точности равен нулю. Захваченная популяция ионов, добавленная в небольшом количестве в систему, сглаживает и диамагнитные "крылья", и ослабляет несущий ток в центре ТТС, не меняя существенно масштаб слоя ( pgj. Если концентрация захваченных частиц в центре слоя велика, то ток в этой области становится слишком малым для поддержания самосогласованной конфигурации, и слой разрушается,

Полученные результаты являются новыми и вносят существенный вклад в понимание процессов эволюции ТТС.

В заключении обсуждены результаты проведенных численных экспериментов и дана их физическая интерпретация.

В шестой главе в численном эксперименте впервые исследуется медленная эволюция ТТС в процессе диффузии функции распределения по приближенному адиабатическому инварианту движения Iz. Для определения коэффициента нелинейной диффузии в каждый момент времени численно решается система уравнений Власова-Максвелла, преобразованную в одномерном случае к уравнению типа Греда- Шафранова с учетом накопленной в процессе рассеяния захваченной плазмы. Поскольку ток таких квазизахваченных частиц противоположен по направлению току пролетных частиц, происходит частичная или полная компенсация локального тока в центре слоя. Как следствие, профиль плотности тока эволюционирует от обычного вида с одним максимумом к "бифурцированному". Такая структура является характерной для ТТС перед окончательным разрушением, когда баланс натяжений магнитного поля перестанет выполняться. Результаты численных расчетов позволяют моделировать расщепление ТТС в реальном времени и хорошо подтверждаются экспериментальными наблюдениями расщепленных токовых слоев на ИСЗ duster и Geotail в хвосте магнитосферы Земли. Полученные результаты указывают, что возможный механизм разрушения ТТС не обязательно связан с развитием плазменных неустойчивостей, а может носить эволюционный характер.

Глава состоит из введения и трех параграфов.

Во введении обоснована актуальность создания теоретических и численных моделей, которые бы позволили понять механизмы формирования расщепленных токовых слоев (РТС) и их внутреннюю структуру. Поскольку в ТТС может накапливаться значительная энергия (—10 -10 Дж)? расчеты режимов их эволюции необходимы для понимания глобальной динамики магнитосферы.

В первом параграфе представлена самосогласованная одномерная модель анизотропного ТТС, в которой эволюционные изменения профиля плотности тока за счет процессов неадиабатического рассеяния частиц в сильно искривленном магнитном поле ТТС приводят к развитию РТС-структуры.

Основным уравнением рассматриваемой модели является начально-краевая задача для нелинейного уравнения диффузии для функция распределения рассеянных частиц \j/ = y/(I\t\:

iff. (г- гТ Т? л

v 3/у

9w .

Г=\=Щ — / =ст =0 У =0 =У0 (°-33)

2 где Г = I/WQ - нормированный безразмерный адиабатический инвариант.

Для определения коэффициента нелинейной диффузии D(l\t) в каждый момент времени необходимо решить самосогласованную систему уравнений Власова-Максвелла, преобразованную в одномерном случае к уравнению типа Греда- Шафранова с учетом накопленной в процессе рассеяния захваченной плазмы.

Для решения такой сложной и важной задачи был впервые разработан численный алгоритм, основанный на методе прогонки с итерациями и реализованный в виде комплекса программ. Подробное описание этого алгоритма приведено во втором параграфе. Были преодолены колоссалвныс сложности, связанные с необходимостью решать на каждом временной шаге самосогласованную задачу для нахождения коэффициента нелинейной диффузии с учетом; захваченной плазмы. Разработанный алгоритм вперввте позволил в режиме реального времени моделировать процесс диффузионного накопления захваченных частиц и получить результаты, совпадающие с результатами спутниковых наблюдений.

Полученные при помощи этого алгоритма новые результаты представлены в третьем параграфе. При помощи созданного комплекса программ в численном эксперименте был впервые изучен процесс расщепления (или "старения") ТТС за счет диффузионного накопления квазизахваченной плазмы. Полученные новые результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными, что позволяет судить об их адекватности рассматриваемой физической модели. Па рис. 6.3, где изображены профили функции у/, рассчитанные при помощи созданного численного алгоритма, в разные моменты времени, можно видеть, как постепенно происходит заполнение изначально пустой фазовой области квазизахваченных частиц. На рис. 6.5. показаны графики коэффициента диффузии &U) в различные моменты времени t. На рис.6.6 изображены временные зависимости плотности тока в центре слоя jy(Q,t) и параметра ( \ I ҐП1ЇЇ. \ ) tj - і —. Эволюционные изменения

У Яшах профилей концентрации, плотности тока и магнитного поля в результате накопления квазизахваченной плазмы внутри тонкого токового слоя в разные моменты времени г изображены на рис. 6,7- 6.9. В численном эксперименте получена характерная оценка времени жизни ТТС, которая для условий магнитосфер но го хвоста (і?п 0.5-1.5 нТл) составляет 30-90 мин.? что хорошо согласуется с характерным временем так называемой фазы накопления энергии в магнитосферном хвосте, полученным из спутниковых наблюдений.

В седьмой главе рассмотрена самосогласованная одномерная модель ТТС, в которой натяжение магнитных силовых линий уравновешивается, главным образом, инерцией ионов, а не плазменным давлением. Влияние электронов и электростатических полей, поддерживающих квазинейтральность, учтено в предположении о том, что электроны вдоль силовых линий движутся достаточно быстро, чтобы поддерживать квазиравновесное распределение Больцмана. В численном эксперименте проанализирована зависимость электростатических эффектов от электронной температуры и кривизны магнитных силовых линий. Обсуждено возможное влияние этих эффектов на тонкую структуру токового слоя (ТС) и на динамику процессов в плазменном хвосте Земли.

Глава состоит из введения, трех параграфов и заключения.

Во введении излагается история проблемы и формулируется цель исследования: изучение влияния электростатического поля и электронных токов в самосогласованной одномерной модели ТТС и определение их роли в случае изотропного давления электронной компоненты при различных параметрах ТС. Методом исследования является моделирование влияния электронного тока и тока квазизахваченных ионов на формирование расщепленного ТТС.

В первом параграфе приводятся основные уравнения модели тонкого токового слоя в приближении изотропного электронного давления. Рассматривается самосогласованная модель ТТС, где натяжение магнитных силовых линий уравновешивается, главным образом, за счет конечной инерции ионов, движущихся вдоль сильно изогнутых линий магнитного поля.

Основные предположения модели следующие; (а) ионная компонента плазмы состоит из пролетных ионов на спейсеровских орбитах; (Ь) движение ионов квазиадиабатическое; (с) электронная компонента может быть описана в рамках гидродинамического приближения с изотропным тензором давления; (d) плазма квазинейтральна; (е) электроны движутся вдоль силовых линиям достаточно быстро, чтобы поддержать квазиравновесное распределение Больцмана при наличии электростатических и зеркальных сил.

Условие квазиадиабатичиости позволяет вместо точного решения уравнений Власова-Максвелла использовать при вычислении ионного Ji{z) дополнительный приближенный интеграл движения /2. Кроме того, используются два точных интеграла движения: полная энергия частицы W-mv /2 + e p(z) (ф- электростатический потенциал) и канонический импульс Ру = mv-y -(efc)Ay(x,z).

Одномерные самосогласованные уравнения Власова-Максвелла имеют вид:

сШх _4ж( . dz

Але

J

уг

с

[jyi(z) + jye{z)y lvyfi(z,v)dv

(0.34)

(0.35)

jyj-y- компонента ионного тока. Функция распределения ионов может быть записана как функция интегралов движения, что позволяет применить теорему Лиувилля:

expH(v7/(v,/(z))-vD)2 + vi(v,/(z))]/v },

Vf- тепловая скорость, VQ - дрейфовая скорость). Основная проблема состоит в учете электронного тока в правой части (0,34) в рамках одномерной кинетической модели ТТС, которая до сих пор не была решена.

Для расчета влияния электронов последние рассматриваются в жидкостном приближении в направлении, перпендикулярном магнитным силовым линиям- Предполагается, что тен:юр электронного давления изотропен. Движение электронов в перпендикулярном направлении описывается уравнением

dv

mt

=-є

dt

vP_,B

E + ±

VR

n,_

(0,36)

Вдоль силовых линий на замагпиченные электроны с магнитным моментом /г действуют зеркальная сила -pNB так. что:

тг

dv,.

dt

= -еШ

Ч

пе

-iNB

(0.37)

Пренебрегая инерцией электронов в (0.35), получим

Е,В

+ с

В1

Je = -™evel_

VPfl)5

епеВ

(0.38) (0.39)

Упрощая (0.37) и также пренебрегая инерцией электронов, получим

eV p -//V5 = 0 (0.40)

пе

Здесь Ev. = V pys), p[s)- электростатический потенциал вдоль силовых

линий магнитного поля.

Для случая изотермических электронов уравнение (0.39) сводится к закону распределения Больцмана:

ne(s)

—— = expJ

Те

с граничным условием на краях слоя:

Другое важное уравнение, используемое в этой модели, представляет собой условие квазинейтральности:

щ{гЖг)) = пе{г ф{г)) = п которое определяет движение заряженных частиц в плазме, т.к. электростатический потенциал $ (г) действует на ионы и электроны, перераспределяя их плотности вдоль силовых линий, делая их приблизительно равными в каждой точке слоя.

Уравнения модели с соответствующими граничными условиями для магнитного поля и электростатического потенциала, представляют собой замкнутую систему уравнений для самосогласованного магнитного поля и токов для в одномерном двухкомпонентном равновесном ТТС

Во втором параграфе описан эффективный итерационный численный алгоритм решения самосогласованной задачи.

В третьем параграфе представлены результаты вычислительных экспериментов. На рисунках к этому параграфу показаны плотности токов ионов и электронов и электростатические потенциалы для различных значений параметров q 3 г и hn.

В заключении отмечается, что рассмотренная одномерная модель ТТС показывает, что в случае изотропного давления электроны могут нести существенную часть тока и способны быть причиной расщепления профиля полного тока. Это иллюстрирует рис. 7.7, где показаны профили плотностей тока для трех значений параметра т (таких же, как на рис. 7.3-7.4).

Качественный анализ захвата биссиметричного магнитного поля галактическими спиральными рукавами

В этом разделе приводится качественный анализ уравнения (1.3), позволяющий оценить порядок величины для решений (1.3). Вводился локальная криволинейная система координат {$,?]), вращающаяся вместе со спиральными рукавами, определяемыми уравнением (1.4). Ось направлена поперек, a rj - вдоль рукавов: =(r-rc)smps-rc(ip-mst)cospS9 rj=(r-rc)cosps+rc( -mst)smps. Здесь гс - радиус коротации, определяемый из условия m[rc)=ffls где ms постоянная угловая скорость вращения галактических магнитных рукавов. Во введенной системе координат рассматривается установившееся Г-Гу. «гс , для сильно решение уравнения (1.3) вблизи коротации: закрученных спиральных рукавов ps «1. Линеаризованное по ps и т-гс уравнение (1.3) имеет вид; К ди _ 2 52и + уи Ґ 2 и yDj (1.6) где Vz [ш - ffis )rsin ps - скорость материи поперек рукава во вращающейся системе координат. Поскольку рассматриваемая магнитная структура является сильно вытянутой по % и соответственно вдоль 7/, то производными по переменной 7/ можно пренебречь. На рисЛ А приведены зависимости - к) и иуэ) в малой окрестности коротации, СООТВСТСТВуЮЩеЙ Г ГС ИЛИ Ш Ш5 , ГДЄ ОТНОСИТСЛЬНаЯ СКОрОСТЬ Vfi в этой окрестности отрицательна.

Левая часть уравнения (1.6) описывает перенос магнитного поля поперек рукава дифференциальным вращением. Слагаемые в правой части описывают диффузию и генерацию магнитного поля.

Уравнение (1.6), также как (1.3), имеет два типа решений; один из них существует для любого VP И соответствует аксиально-симметричной магнитной структуре (АСС)} а другой - только для к «1 и соответствуем БСС. Следствием данной модели является сосредоточение бисимметричного V »1, то есть область магнитного поля вблизи коротации. Пусть возможен при условии ди Аи расположено далеко от радиуса коротации. Поскольку второе слагаемое в правой части (1.6) всегда порядка единицы, то баланс в уравнении (1.6) ди « 1. Это возможно в следующих двух случаях: д% і) Аи «и, Аи-разность между максимальным и минимальным Э п значениями и, а знаменатель П порядка единицы- масштаб поля по . Это решение, показанное на рис. L46, описывает постоянное по знаку магнитное поле, модулируемое спиральными рукавами (АСС). Решения этого типа могут существовать при любых V?.

Решение стационарного уравнения (1.6) типа БСС в окрестности коротации во вращающейся системе координат. Сплошные линии - и ).

Уровень насыщения магнитного поля + Оf ,) показан пунктиром. Приведено решение около некоторого радиуса внутри коротации, так, что скорость переноса поперек рукава Vz, направлена влево. Вне радиуса коротации V? имеет противоположное направление. a Решение стационарного уравнения (І.б) типа АСС в окрестности коротации во вращающейся системе координат. Сплошные линии - u\t\.

Уровень насыщения магнитного поля +D( J показан пунктиром. Приведено решение около некоторого радиуса внутри коротации, так, что скорость переноса поперек рукава Vz, направлена влево. Вне радиуса коротации VP имеет противоположное направление. ди и 2) — и -—. Такая оценка применяется тогда, когда и меняет знак. 5 П Соответствующие решения, показанные на рис. 1.4а, являются по сути ди неосесимметричньми (БСС). может быть малым только при г/ — 0: 5(? сильно неосесимметричные магнитные поля исчезают при й к »1. Из этого можно сделать вывод, что решения типа БСС, когда они существуют, локализуются вблизи коротаиии, где Ї К

. В этой главе рассматриваются решения такого типа. , для которого уравнение Далее оцепим максимальное значение V} (1.6) имеет нетривиальное решение типа БСС. Рассмотрим окрестность максимума - ( )- На радиусе коротации, где VP=0, установившееся решение и имеет экстремум точно в максимумах D Вне коротации, где У? Ф О, материя сносит магнитное поле от максимума D9 так что экстремум и стремится сместиться в область с меньшим D. Однако действие динамо уменьшает магнитное поле в областях, где и D я усиливает иоле там, где и D. Следовательно, процесс динамо противодействует процессам переноса и стремится сохранить экстремум и в окрестности максимума D. Этот эффект наиболее сильно проявляется вблизи экстремумов и. Вблизи нейтральных линий, где и &0, динамо неэффективно, уи&0 и то же самое противодействие вызвано магнитной диффузией

Компьютерное моделирование эволюции контрастной структуры произвольной формы

В этом разделе будет показано, что формула для времени жизни контрастной структуры круговой формы /Q = остается верной не только 2тгЛ для круговых пятен, но и для пятен произвольной формы. Этот вывод будет основан на предположении о том, что скорость дрейфа ВПС в направлении, перпендикулярном линии ВПС, определяется формулой (23), в которой радиус круга нужно заменишь на радиус кривизны кривой Г в данной точке. Таким образом, скорость и направление перемещения ВПС определяются радиусом кривизны и положением центра кривизны Г,

Установим основные закономерности эволюции пятен контрастной структуры, форма которых отличается от круговой. Предполагается, что радиус кривизны кривой Г много больше толщины переходного слоя П. Это означает, что не рассматривается ранний этап эволюции КС, когда происходит быстрое сглаживание границы в окрестности точек излома, и не рассматривается также этап разрушения КС.

Покажем сначала, что если радиус кривизны R во всех точках кривой L, ограничивающей односвязное пятно КС, много больше П, то площадь односвязного пятна произвольной формы линейно уменьшается с течением времени со скоростью 2лХ единиц площади за единицу времени. Рассмотрим замкнутый контур Д ограничивающий односвязное пятно, и обозначим переменную длину дуги вдоль L через I. Скорость убывания площади пятна S равна —-О Vcurvdl, где Vcurv\l) - скорость дрейфа контура L в dt J направлении внешней нормали. Применим формулу (2.3) для Vcurv и учтем, что локальный радиус кривизны выражается формулой R— , где р dtp направляющий угол касательной к L. Учитывая, что интеграл по замкнутому контуру L : О d(p — 2ж получим: і

Итак, площадь произвольного односвязного пятна уменьшается с постоянной скоростью (2.4), которая не зависит от формы пятна. Время жизни пятна с заданной начальной площадью SQ составляет

Для круглого пятна эта формула дает результат, совпадающий с полученным в предыдущем разделе выражением,

Полученные ранее формулы для площади пятна и времени жизни КС проверялись при помощи компьютерного моделирования. Для решения уравнения (2Л) использовалась неявная разностная схема, которая решалась методом переменных направлений.

Введем следующие обозначения Задача решалась в квадратной области с длиной стороны 1,=100, коэффициенты диффузии \=\ и генерации Yo=l.Толщина внутреннего переходного слоя при таких параметрах П=1, для обеспечения хорошей аппроксимации уравнения (2.1) и корректного описания поведения решения внутри узкого ВИС использовалась сетка из 1024x1024 узлов. Расчеты проводились на супер-ЭВМ CRAY Y-MP С90.

Была рассмотрена эволюция хаотического начального состояния, амплитуда которого щ была много меньше порогового уровня D. В этом случае на начальной стадии эволюции решение хорошо описывается линейным уравнением (2.1), в котором коэффициент генерации не зависит от поля, т.е. у=У{). Если поле скоростей V достаточно гладкое, хаотическое начальное состояние быстро сглаживается и характерный масштаб неоднородности возрастает со временем. Контрастная структура начинает формироваться в тот момент, когда решение достигает порогового уровня и система переходит в нелинейный режим, на границе областей положительного и отрицательного решения образуется тонкий переходный слой, который затем медленно перемещается в результате совместного действия диффузии, переноса и генерации.

На рис. 2 Л показан фрагмент контрастной структуры, которая формируется из хаотического начального состояния после завершения быстропротекающего процесса формирования переходного слоя и последующего быстрого разрушения образований, характерный размер которых сравним с толщиной переходного слоя П, или меньше. Начальная амплитуда щ была в 10 раз меньше порогового уровня. В темных областях U&-D, в светлых- u&D.

При исследовании разнообразных начальных состояний, получаемых с помощью генератора случайных чисел, было обнаружено, что достаточно часто встречаются пятна КС в форме, близкой к эллипсу или даже кругу. Поэтому, сначала была проверена справедливость формулы (2.4), описывающей зависимость площади пятна от времени.

На рис. 2.2 показана зависимость площадей некоторых типов пятен от времени. Кривые 1-4 отображают эволюцию площади пятен эллиптической г, форме (площадь дана в единицах П ). В начальный момент времени полуоси эллипсов были равны йд=15, 30, 45, 60; Ь$=Л.5 (единицах ГТ). Кривые 5, 6 построены для изогнутых эллипсов с полуосями #о=75, 100; Ь -\5, причем большая полуось изогнута вдоль окружности радиуса 40. Зависимость площади от времени оказывается действительно линейной, однако время жизни несколько меньше, чем следует из формулы (2.5) (например, для кривой 4 время жизни должно быть равно о=500). Это объясняется отклонением от линейной зависимости S(t) в конце жизни пятна, когда его диаметр становится сравнимым с толщиной переходного слоя П. Начиная с этого момента, пятно убывает быстрее за счет диффузии.

Оценка времени жизни нестационарной КС.

Нестационарная одномерная КС в общем случае состоит из чередующейся последовательности положительных и отрицательных пятен, разделенных ВПС. Для пятен произвольного размера процесс эволюции КС может быть весьма сложен. Рассмотрим КС, состоящую из периодической системы положительных и отрицательных пятен, причем начальная ширина положительного пятна несколько больше начальной ширины отрицательного пятна. Получим оценку времени жизни такой нестационарной КС. Рассмотрим решение уравнения (3.2) с периодическими начальными условиями. Один период представляет собой широкое отрицательное пятно, ширина которого много больше толщины ВПС, которая равна П. и еще более широкое положительное пятно. В пределах одного периода образуются два ВПС, каждый из которых будет медленно дрейфовать в сторону более узкого пятна, в результате чего ширина положительного пятна будет увеличиваться, а изначально меньшая ширина отрицательного пятна будет уменьшаться.

На медленной стадии эволюции КС в пределах одного периода имеется два ВПС, разделяющих положительное и отрицательное пятна. Когда ширина более узкого пятна становится сравнимой с толщиной ВПС, происходит лавинообразное разрушение более узкого пятна. Далее рассматриваются КС, для которых ширина каждого пятна много больше толщины ВПС.

Возможны разные режимы эволюции КС с широкими пятнами обоих знаков. Если ширина положительного пятна равна ширине отрицательного пятна, то такая КС будет устойчива и скорость дрейфа будет равна нулю. Поэтому, для того чтобы исключить появление в задаче дополнительного малого параметра, характеризующего степень асимметрии КС, наряду с малым параметром, равным отношению толщины ВПС к ширине пятна, рассматривается сильно асимметричная КС для которой ширина положительного пятна много больше ширины отрицательного пятна.

Предположим, что внутри ВПС, т.е. при -A #-:VQ A5 В каждый фиксированный момент времени функцию u(xj) можно приближенно описать критическим решением (3.10), причем координата центральной точки XQ будет медленно перемещаться со скоростью VQ( ), которая зависит от ширины каждого из пятен: -VQU), Предположим также, что выражение (3.6), dt определяющее стационарное периодическое решение, можно использовать и для непериодического нестационарного решения вне ВПС, т.е. для положительного и отрицательного пятна по отдельности, для которых будем использовать разные значения константы С. Обозначим соответствующие значения параметров С, a, b соответственно Сл % aS \ М для положительного пятна и Сл , а\ % /Л для отрицательного пятна.

Ширину положительного и отрицательного пятен обозначим т А и мА К Внутри ВПС будет происходить плавный переход от параметров О % аУ % М % соответствующих положительному пятну, к набору параметров СЛ , a , М , характеризующих отрицательное пятно. Таким образом, приближенное представление решения для асимметричной нестационарной КС имеет вид:

Определим диапазон изменения параметров в (3.16), в пределах которого можно использовать эти соотношения, не нарушая условий существования периодического решения. Величина С не может быть больше 1, а минимально допустимое значение С можно вычислить из соотношения для минимально возможного периода 7"mjn = 2яП. Минимальное значение полу периода min =7 Соответствующее значение С равно

Оценим скорость дрейфа ВПС. Предположим, что на медленной стадии эволюции КС решение в окрестности ВПС имеет характер волны, перемещающейся с некоторой скоростью V: y{x,T) = f(x-vr). (3.19) Функция j[x) описывающая профиль волны, испытывает также медленное изменение, связанное с изменением ширины пятен обоих знаков. - х , длина которого равна Проинтегрируем (3.2) по интервалу 2 2 половине периода решения и который включает один ВПС.

Компьютерное моделирование градиентного дрейфа периодической контрастной структуры

В этом разделе приведены результаты компьютерного моделирования эволюции стационарных и нестационарных одномерных контрастных структур с периодической пороговой функцией D(x). Поскольку процесс разрушения КС подробно исследован в предыдущей главе и в [196], а финальная стадия разрушения практически не зависит от профиля пороговой функции D(x), то процесс разрушения КС не рассматривается.

Для численного решения эволюционного уравнения (4 Л) с периодической пороговой функцией (4.2) использована неявная разностная схема на равномерной сетке по координатам х и /, которая захватывала достаточно большое число периодов Л-100. На границах рассматриваемого промежутка 0 x NT ставились периодические граничные условия для u{xj). Система нелинейных разностных уравнений на одном шаге по времени решалась методом прямой итерации и методом предиктор-корректор [45], [59], [65], [74]7 [75], [76], причем величина шага по времени выбиралась достаточно малой, чтобы после трех итераций невязка разностной схемы была порядка погрешности округления ЭВМ, Влияние граничных условий для внутренних периодов пренебрежимо мало, поэтому на такой модели можно моделировать КС различной структуры, включающие положительные и отрицательные пятна, захватывающие несколько периодов пороговой функции. Решение нестационарной задачи (4.1) позволяет исследовать процесс деформации бегущего ВПС на рельефе пороговой функции и позволяет также получать решения стационарной задачи методом установления.

Стационарная задача (4.3) решалась с периодическими граничными условиями на промежутке 0 х 2Г. В соответствии с постановкой задачи, требуется для заданного значения скорости V найти нетривиальное решение уравнения (4,3)5 которое по крайней мере дважды меняет знак на этом промежутке. При этом известно, что такое решение существует только при тшш i ma зависит от глубины модуляции и от d, Т. и также должно быть вычислено.

Заметим, что для любого сколь угодно большого значения V существуют еще по крайней мере два знакопостоянных решения (положительное и отрицательное), которые не относятся к классу КС. Эти решения являются периодическими функциями с периодом Т (в два раза меньше, чем для простейшей КС) и будут пояснены далее (рис. 4.6.). Наличие множества решений представляет одну из основных трудностей, которые нужно преодолеть на пути численного решения, Вторая значительная трудность состоит в том, что задача (4.3) относится к числу жестких краевых задач. Из (4.5) вытекает, что малое возмущение решения в точке XQ возрастает по закону б"ехр( /2( X-XQ )/-П.] И ДЛЯ отношений 77П = 10-100 погрешности округления могут превысить величину самого решения. Это требует тщательного подхода к построению численного алгоритма. Наконец, третья трудность состоит в постановке естественных в данном случае периодических граничных условий. Поэтому, в отличие от краевых задач первого или второго рода, значения и(0) и производной (duldxVi _п неизвестны одновременно.

Для численного решения был разработан модифицированный вариант метода стрельбы. Пусть G(x,a,b,V) - решение задачи Коши для уравнения (4.3) с заданной величиной Кис начальными условиями и(0)=а, [duidx\\ =b. Пусть b(a,V) - решение уравнения G(2T,a,b,V)=La относительно b (для вычисления этой величины используется классический метод стрельбы [45], [59], [65], [74], [75], [76]) и пусть B(x,a V) G(x,a,b(a,V),V). Если a=a{V) выбрано так, что дх S(a,) H(X a V) dHix.aJ) х-2Г дх -0, (4.11) х=0 то H(xya{V)yV) - решение уравнения (4,3) с периодическими условиями на промежутке 0 х 2Т. Для численного решения уравнения (4.11) относительно а также используется классический метод стрельбы. Таким образом, решение типа КС существует, если уравнение (4.11) имеет решение и если соответствующая функция и(х)- Н(хф{)і) меняет знак по крайней мере два раза на промежутке 0 х 2Г. Функция S(a,V) на промежутке D a D]y всегда имеет по крайней мере два однократных корня, которые соответствуют упоминавшимся знакопостоянным решениям, не относящимся к классу КС. В зависимости от значения V функция S(a,V) может иметь кроме того еще один двукратный или два однократных корня. Два однократных дополнительных корня соответствуют случаю скорости меньше критической, V Vmax} в этом случае краевая задача для уравнения (4.3) с периодическими условиями (4Л1) имеет еще два решения типа КС. Для одного из решений, щ(х), значение в точке скачка D(x) положительно; ii\(d) Q} а для второго решения, щ(х\ имеем u2(d) 0. Чтобы вычислить критическое значение скорости Ктах, будем постепенно увеличивать V, отслеживая одновременно оба упомянутых решения. При некотором значении V=VmBX два корня уравнения (4.11), соответствующие упомянутым двум решениям, превращаются в один двукратный корень, оба решения КС совпадают. При V VmdX уравнение (4.11) не имеет корней, соответствующих решениям типа КС. Поскольку многократное решение задачи Коши и нелинейного уравнения представляет весьма трудоемкую задачу, был использован метод погружения [8], [9].