Содержание к диссертации
1 Сеточные методы решения одномерного нестационарного
уравнения Шредингера. 24
Применение метода сеток для решения нестационарной задачи самовоздействия волновых пучков в условиях высокочастотного разряда 27
Применение операторного компактного неявного метода для решения нестационарного уравнения Шредингера 34
Схема повышенной точности 38
2 Сеточные методы для двумерного нестационарного уравне
ния Шредингера 41
Исследование стационарного разряда в пересекающихся волновых пучках методом сеток 42
Применение метода Буиемана для решения нестационарного уравнения Шредингера 43
Применение метода Бунемана в схеме расщепления при решении нестационарного уравнения Шредингера .... 50
Соединение операторного компактного неявного метода с методом Буиемана 51
Случай цилиндрической симметрии 54
2.3 Численное моделирование двумерной сильной леї і гм юр опекой
турбулентности 56
3 Основные используемые функциональные методы 65
Метод осредненной операторной экспоненты для решения задачи Коши 65
Проблемы атракторов траекторий непрерывного спуска для квадратичной формы полуограниченного оператора на единичной сфере ' 68
Применение преобразования всплесков при решении краевых задач 79
Обозначения и определения конструкций всплесков . , 79
Постановка задачи 82
Модельная задача 82
Краевая задача с правой частью из И^ 83
Краевая задача с правой частью из V? 86
4 Применение быстрого преобразования Фурье для решения
нестационарного уравнения Шредингера 89
Приближенное решение НУШ во всём пространстве 91
Приближённая операторная экспонента и схема расщепления
по физическим процессам 93
4.3 Краевые задачи для нестационарного уравнения Шредингера 96
Постановка краевых задач 96
Сохранение интегралов движения 99
Приближенная операторная экспонента, оценка погрешности 100
Неустойчивость периодических решений одномерного нелинейного уравнения Шредингера 108
Множественное дробление волновых структур в нелинейной среде 115
Численное моделирование уравнений Захарова 121
5.1 Одномерные уравнения Захарова 122
Сохранение интеграла энергии 125
Тестовый пример 129
Уравнения Захарова со сферической симметрией 180
Двумерные векторные уравнения Захарова 133
5,3.1 Примеры и их анализ 137
5.4 Моделирование уравнений Захарова с затуханием 143
Анализ способов введения затухания в уравнения Захарова 143
Уравнения Захарова с модельным затуханием Ландау . 148
Построение приближенного решения уравнений Заха,-рова с затуханиеvi методом расщепления по физическим процессам 149
Построение алгоритма с предиктором 151
Численный пример 154
Анализ результатов 159
Моделирование пространственно-временных структур элек
тронных потоков и ЭМ полей 164
6.1 Пространственные структуры электронных потоков в скре
щенных полях 1(35
Постановка математической задачи 16(3
Ветвление решения 172
Бриллюэновский поток электронов 178
Виртуальный катод 179
Решение в пролетном пространстве 181
Случай магнитного поля, зависящего от радиальной координаты 183
Ветвление решения в случае переменного магнитного поля 189
Релятивистский случай 192
6.2 Численное моделирование нестационарных процессов в лазе
рах иа свободных электронах 1 93
Уравнение взаимодействия электронного пучка с электромагнитной волной 194
Вычислительная схема "FOAM" для интегрирования уравнения движения электронов 195
Численное интегрирование уравнения для волны .... 200
Результаты тестирования и вычислительных экспериментов 202
6.3 Вычислительная схема "FROAM" для интегрирования урав
нения движения электронов 204
7 Обратные задачи для периодически гофрированных волно
водов 208
Общая постановка задачи 209
Азимуталы-ю-симметричный случай 212
Сопротивление связи 215
Нормальная составляющая электрического поля на поверхности гофрированного волновода 217
Потери в стенках гофрированных волноводов 220
7.3 Применение метода гармонических, возмущений к расчету пе
риодически гофрированных волноводов 220
Постановка задачи 222
Круглый волновод 224
Численные результаты 226
Обратная задача 228
8 Моделирование ускорительной секции суперколлайдера 231
Постановка математической задачи рассеяния 240
Проблемы аналитического решения 24.1
Задачи рассеяния в подводящих каналах 243
8.3.1 Самосогласованная задача в каналах 215
Оптимизация профиля канал о в в в асимптотическом пределе плоской геометрии 247
Основные идеи метода дискретных источников и особенности их применения для расчетов ускорительных секций суперкол-лайдеров 253
Функции Грина объемлющей области 256
Случай граничных условий первого рода 257
Случай граничных условий третьего рода 257
Случай условий излучения Зоммерфельда 258
Случай плоской геометрии 258
8.7 Модельная задача рассеяния электромагнитных волн в канале
коллайдера в случае плоской геометрии 259
Метод дискретных источников в модельной задаче рассеяния 2G1
Процедура регуляризации 261
Численные результаты и выводы 263
8.8 Обратная спектральная задача 265
Тестовая задача 271
Численные Результаты 273
8.9 Оптимизация структуры поля в параксиальной области .... 274
Заключение 280
Приложение. Введение в теорию пространств 288 Список литературы 290
Введение к работе
Ни одна область современной науки не обходится без численных расчётов. Задачи изучения процессов, описываемых в физике, технике, экономике, биологии и т. д. уравнениями и системами дифференциальных уравнений, требуют как совершенствования аналитических методов, так и создания достаточно простых дискретных математических моделей изучаемых процессов. Оба пути имеют одну цель - получение содержательных численных результатов современными ограниченными вычислительными средствами. Особенно важно уметь использовать всю вычислительную мощь современных компьютеров.
Можно в самом общем случае сформулировать основные требования, предъявляемые к алгоритмам при численном моделировании. К ним относятся: универсальность метода и его высокая разрешающая способность, что позволяет от идеализированных задач переходить к более реальным: высокая скорость при снижении точности и принципиальная возможность повышения точности до любой необходимой величины; алгоритмическая простота, удобство для программирования, доступность для программистов любой квалификации. Конечно, переход к ЭВМ нового поколения всякий раз существенным образом меняет напій представления о математических моделях, вычислительных методах, алгоритмах и программах. Однако общие требования простоты, универсальности, эффективности всей цепочки модель - алгоритм - программа оставались всегда неизменными. Менялись только пути их достижения. Упрощались алгоритмы и программы и совершенствовались модели, приближаясь к реальным физическим условиям.
Отнюдь не праздной является проблема поиска оптимального алгоритма. т.е. обеспечивающего минимальность вычислительных ресурсов, необходимых для решения заданного класса задач с требуемой точностью па компьютерной системе определенного типа. Смысл понятия ''алгоритм'' очевиден, по используется в математической литературе по-разному. Строго говоря, определение алгоритма или метода не ограничивается описанием его формулы, а распространяется вплоть до конкретной программной реализации. Различия в теоретических оценках эффективности различных вычислительных процессов могут совершенно нивелироваться или искажаться расхождениями в качестве их программных текстов.
К другим важным свойствам относятся удобство и естественность распараллеливания вычислений, простота логической организации процесса вычислений и возможность быстрой визуализации. Успех решения задачи в основном связан с правильным и корректным построением всего цикла алгоритмического процесса получения численного решения и его интерпретации,
В некотором смысле построение реалистичных дискретных математических моделей является простым. Реалистичные модели имеют, однако, неприятную особенность быстро исчерпывать память и скоростные возможности современных вычислительных машин. Прогресса, можно достичь либо при искусном упрощении математической модели, позволяющем проводить содержательные численные исследования, либо когда аналитические достижения позволят изучить структуру решения и расширить класс процессов, которые ранее считались слишком сложными.
Предметом исследования в диссертации являются задачи физики плазмы, электроники, электродинамики и теории рассеяния. В диссертации проведено изучение структуры решения ряда таких задач, проведен поиск новых, неизвестных ранее структур решения и осуществлен синтез электродинамических структур, формирующих поля заданной конфигурации.
Слово ''структура" происходит от латинского устройство, построение. Понятие структуры широко распространено в химии, биологии, физике и т.п. Исследование процессов возникновения пространственных структур и их разрушения — переход к хаосу - является фундаментальной задачей пе только для физики плазмы и механики жидкости и газа, но и вообще для нелинейной физики. Изучению структуры газового разряда, структуры поля в волноводах, структуры воли, двигающихся без искажения - солитонов, -структуры пучка электронов и пространственного заряда, создаваемого ими в электронных приборах, структуры каверн при образовании и обрушении коллапсов плазменных волн, составляющих предмет исследования диссертационной работы, посвящено огромное количество работ. Разнообразие назначений и применений подобных структур и значительная математическая сложность описания происходящих в них физических процессов требуют постоянных теоретических и экспериментальных исследований. Если удается описать такую структуру аналитически, то полученное выражение является решением линейного или нелинейного уравнения или системы уравнении в частных производных. Чаще всего получившаяся функция обладает свойством бесконечной дифференцируемое или аналитичности. При создании эффективных алгоритмов поиска приближенного решения этих уравнении необходимо учитывать эту колоссальную априорную информацию. Традиционные методы конечных разностей и конечных элементов, применяемые при этом, почти пе используют информацию о гладкости решения, т.е. это так называемые методы с насыщением.
Термин "насыщение" введен К.И.Бабенко [20] . Явление насыщения метода приближения характеризуется тем, что пока гладкость приближаемой функции невелика, приближение в некотором выбранном классе по порядку равно наилучшему, т.е. улучшить порядок приближения нельзя. Этот класс является тем рубежом, при переходе через который дальнейшее увеличение гладкости не может повлиять па порядок приближения, и оп остается та.кпм же, как для функций этого класса. Его называют классом насыщения, а величину порядка приближения -порядком насыщения метода приближении.
Для спектральных задач расширение этого понятия сделано С.Д.Лдга ш-
иым [6]. Если скорость стремления к пулю невязки при нахождении спектра
зависит от гладкости собственной функции и чем выше гладкость, тем быстрее невязка стремится к нулю, то это и означает, что алгоритм поиска
собственного значения пе имеет насыщения.
Цитируя доклад Ингрид Добеши на Международном конгрессе математиков в Цюрихе, 1999г., можно сказать: "У математиков есть разные способы оценки новых теорий и конструкций. Одним важным критерием является эстетика- некоторые разработки просто''ощущаются'' правильными, подходящими и красивыми. ... Другим важным показателем ценности того или иного раздела математики является мера его полезности в приложениях, это почти единственный критерий, используемый нематематикамп .
Целью диссертационной работы является является разработка новых принципов построения эффективных алгоритмов без насыщения для па-хождения решений как стационарных, так и нестационарных задач, описывающих сложные физические явления физики плазмы и электроники и представляющих теоретический и практический интерес-Задачей диссертационной работы являлось также выяснение конкретных количественных и качественных закономерностей протекания ряда процессов, возникающих в плазме при возникновении коллапса лепгшороьекпх волн и при распространении и внутренней дифракции электромагнитных волн в сложных волиоведущих системах СВЧ-диапазона.
Средством решения всех этих задач служат новые разработанные алгоритмы, обладающие указанным свойством "непасыщаемости".
Отличительной чертой алгоритма без насыщения является минимально возможное число дискретных переменных, необходимых для нахождения п. естественно, для описания искомых структур. Под термином '' ненасыщаемость" или "слабая насыщаемость'1 в применении к поиску решений нестационарных задач будем понимать использованное в [228] понятие "долгожн-вучесть" алгоритма. Оно обозначает, что для достижения эффекта 'т-юна-сыщаемости" необходимо должна использоваться аппроксимация высокого порядка. Однако при нахождении численного решения получившейся достаточно "заполненной" системы быстро копится ошибка метода поиска решения. Поэтому "слабо насыщаемыми" являются развиваемые в диссертации методы, когда алгоритм поиска решения достаточно прост и медленно копит ошибку. В сеточных методах, рассмотренных в первой и второй главах, "слабо насыщаемым1' является,например, алгоритм, при реализации которого при нахождении решения уравненияj аппроксимированного на пятиточечном по одной пространственной координате шаблоне, обращать приходится только трехдиагональную матрицу. Такой алгоритм достаточно медленно копит ошибку метода вычислений и позволяет вести процесс счета, до больших времен.'
Переход к расчетам в образах Фурье и использование свойств этого математического аппарата делают его эффективным средством" решения как нестационарных, рассмотренных в четвертой и пятой главах, систем уравнений в частных производных, так и стационарных, рассмотренных в седьмой главе, "Нснасыщаемость" алгоритма или, более точно, "слабая насыщаемость" алгоритма вычислений является следствием того факта, что при удвоении, как это принято в численном анализе, числа дискретных точек с Л' до 2N, точность нахождения, например, последнего из коэффициентов конечной суммы, пропорциональная отброшенному ряду, резко возрастает1 н для Л'-го коэффициента становится пропорциональной коэффициенту с номером SN [208, 225]. Это свойство позволяет считать нестационарные задачи с большим числом шагов по времени. Для задач, рассмотренных в четвертой и пятой главах, где изучаются структура решения с особенностью, развивающейся за конечное время, число шагов возрастает за счет дробления при приближении к точке особенности. Подобные характерные особенности поведения решений этого уравнения требуют тщательного отбора классов их конечномерных приближений и способов описания эволюции этих приближений. Кроме того, выяснилось, что структуры у решений с особенностью особенно ярко проявляются именно в образах Фурье решения, где можно изучать возникающий ''структурированный хаос".
При изучении структуры пространственного заряда, рассмотренного в шестой главе, была найдена "иенасыщаемая'' аппроксимация, т.е. найдено подпространство, базис которого состоит из всплесков с компактным носителем - всплесков Добеши и Койфлетов [253, 254]. Процесс ветвления решения в этом базисе сводится к переходу главной части соответствующего решения на более высокий уровень всплесков и обращению в нуль некоторых коэффициентов разложения на новом уровне. Краткое изложение кратномасштабного анализа всплесков приведено в разделе 3.3.
При решении как прямых, так и обратных спектральных задач, рассмотренных в седьмой главе, свойство ''слабой насыщаемости" позволяет находить дисперсионные характеристики гофрированных волноводов, используя практически минимальное (^32) число гармоник даже для глубоких гофр.
В восьмой главе при решении обратной спектральной задачи рассеяния, т.е. нахождения такой поверхности рассеивателя, которая преобразует падающую плоскую волну в стоячую волну заданной структуры, эффект ''ненасыщаемости" был достигнут при моделировании полей с особенностями в окрестности угловых точек. Решение задачи рассеяния ищется там методом дискретных источников. В окрестности угловых точек или ребер поверхности, источники размещаются па петле сдвинутого контура, как бы моделируя диполь в точке интегралом по окружающему его контуру. Таким образом односвязному участку периодической границы области ставится н соответствие внутренний контур с петлей на нем или двусвязный контур. Это позволило избавиться от накопления источников к угловой точке и существенно сократить их число для описания поля с особенностью.
В третью главу вынесены методы решения функциональных уравнений, на основе которых в дальнейших главах строятся приближенные численные методы нахождения решений различных физических задач. Основы их конструирования, изложенные вместе с решением прикладных задач, затруднили бы восприятие последних. Отметим также, что свойства траекторий непрерывного спуска, рассмотренные в разделе 3.2. позволяют не только прогнозировать поведение обратной задачи рассеяния, рассмотренной в восьмой главе, но и находить критерий оценки качества проведенного синтеза границы рассеивателя.
Принципы построения приближенного решения, развиваемые в диссертационной работе
Нелинейное Уравнение Шредингера (НУЩ) обладает чрезвычайно высокой универсальностью и применяется для описания волновых процессов во многих областях физики. Для многих систем уравнений, характерным примером которых служит система уравнений Захарова, в которые оно входит составной частью, именно оно определяет скорость протекающих процессов. Существует много разных методов и численных схем нахождения приближенного решения нестационарных систем уравнений в частных производных, начиная от классического метода прямых (см., например, [211]). когда дифференциальный оператор по пространственным переменным заменяется конечно-разностным, а получившаяся при этом конечномерная система обыкновенных дифференциальных уравнений решается методом типа Рунге-Кутта (сюда же относится и схема предиктор - корректор). - и кончая
комбинированным или гибридным методом, когда на конечной сталим образования особенности моделирование ведётся методом многих частиц \'1Ы\
В случае двух пространственных переменных часто используется метод переменных направлений. Применение этого метода к нестационарному уравнению Шредингера описано в книге [186]. Однако у этого .метода есть явно выделенное "первое" пространственное направление, что мешает на больших временных интервалах сохранять заложенную в начальных данных симметрию, а также контролировать результаты',' когда, структура получаемого решения теряет изначальную симметрию и становится слоистой. Пример такого поведения решения рассмотрен в разделе 2.1
При решении нестационарных задач рассматривались лишь некоторые методы - "слабо насыщаемые'' или 'уюлгожиеущие," - дающие возможность при числеш-юм моделировании произвести очень большое число шагон по времени. Немаловажную роль при выборе метода счета играет простота реализации взятого алгоритма, возможность сделать это, не привлекая себе в помощь коллектива сотрудников для программирования. Проблема правильного составления большой программы так и остаётся нерешённой. Начиная с некоторого уровня сложности появление непредвиденной ошибки становится неизбежным. Поэтому речь идёт о том, чтобы остаться в допустимых пределах.
Использованный в работе метод ''расщепления по физическим процессам" [161] состоит в сведении исходной эволюционной задачи, описывающей сложный физический процесс, к решению последовательности задач, описывающих процессы более простой физической природы. Приближённо это удаётся сделать на основе аддитивности рассматриваемых процессов в малом. В четвертой и пятой главах показано, что схема ''расщепления по физическим процессам" строится путем последовательных операторных замен неизвестной функции па малом интервале. Как спектральные методы. развиваемые в четвертой и пятой главах, так и сеточные, применявшиеся і; первой и второй главах, могут быть использованы для реализации отдельных операторов схемы расщепления. Этот путь позволяет наиболее просто сделать обобщения на случай двух пространственных переменных. При проведении замен на первом этапе мы стремимся осуществить переход от уравнения или системы уравнений с неограниченными по пространственным координатам операторами к уравнениям с ограниченными операторами. Такой переход существенно расширяет возможности последующего численного моделирования.
Реализация схемы расщепления сводится к последовательному решению задач Коши для достаточно простых и, - что немаловажно, - знакомых уравнений. За начальные данные для последующего уравнения берутся результирующие значения предыдущего. Каждая из этих задач может быть решена отдельно. Необходимо следить лишь за тем, чтобы решение каждого из уравнений в схеме расщепления удовлетворяло граничным условиям исходного уравнения.
На заданном малом отрезке (to,tQ-\-At) мы стремились построить такое приближенное решение задачи, которое кроме высокого порядка аппроксимации обладает ещё и тем свойством, что в начальной и конечной точках рассматриваемого интервала производные по времени приближенного решения совпадают с производными точного решения, определяемыми по исходному уравнению. Естественно, что в конечной точке t0 + At мы попадём на другую, близкую траекторию, но с производной, соответствующей
К)
Vа'
Рис. 0.1 Характер построенного приближенного решения
именно этой траектории ( см. рис. 0.1. ). При этом ошибка на шаге. т.е. разность между точным и приближенным решением обладает в начальной и конечной точках шага счета пулевой производной по времени. В сочетании с высоким порядком аппроксимации это свойство, как и при сплайн - аппроксимации, существенно уменьшает накопление ошибки. При этом если у решения уравнения Е{т) , to < т < t$ + At есть инвариант 1(Е(т)) = const , то автоматически выполняются равенства
dl{Eap(r))
T~t0
dl{Eap(r))
т=(л-ьД
для приближенного решения Вар(т) в начальной и конечной точках рассматриваемого интервала.
При построении неявного алгоритма мы стремились в случае нелинейного уравнения получить в точке о + At наиболее простую алгебраическую (трансцендентную) систему уравнений относительно E(tQ + At) и отыскать ее решение. Наиболее эффективными являются алгоритмы, в которых удается найти аналитическое решение каждого уравнения схемы расщепления.
"Ненасыщаемые" или "слабо насыщаемые" алгоритмы позволяют достаточно эффективно находить и изучать сложные структуры, возникающие при развитии различных физических процессов, используя минимально возможное количество дискретных переменных. Описанные выше принципы их построения вырабатывались при разработке алгоритмов решения ряда конкретных физических задач и анализе получаемых результатов. При этом ставились следующие цели:
1, Изучение нестационарных нелинейных эффектов самовоздейстнпм волновых пучков в условиях высокочастотного разряда, для чего требовалось разработать ряд сеточных методов, преследуя цель нахождения "до..ч-гоживущего'' метода, обладающего свойствами "слабой насыщаемости', что позволило бы вести счет до больших времен и изучить структуру получающихся в результате образований и сравнить се со структурой разряда.
получаемой в результате эксперимента.
2. Исследование стационарного разряда в пересекающихся волновых
пучках, для чего потребовалось разработать ряд двумерных по простран
ству сеточных методов, преследуя цель получения алгоритма с повышенной
точностью аппроксимации, но требующего в то же время минимального воз
можного числа операций при нахождении численного решения.
3. Одной из целей диссертационной работы являлся учет характерных
особенностей поведения решений НУШ уравнения для тщательного отбора,
классов их конечномерных приближений и способов моделирования эволю
ции этих приближений. Изучение получаемых в результате эволюции струк
тур является еще одной целью, для достижения которой потребовалсь раз
работка целого ряда "слабо насыщаемых' алгоритмов, дающих возможность
реализации большого числа временных шагов.
4. Исследование двумерной сильной ленгмюровской турбулентности, ко
гда, самовоздействие потенциальных колебаний сопровождается генерацией
вихревых полей и наоборот. Для этого потребовалось разработать такой
способ аппроксимации, и метод расчета, который позволил бы полностью
разделить потенциальную и вихревую составляющие поля, взаимодействие
которых в этом случае было бы избавлено от всех взаимных паразитных
влияний, всегда присутствующих в сеточных методах счета.
Изучение стационарных состояний трубчатого потока электронов в пролетном пространстве, являющихся исходными при анализе нестационарных процессов в однородных и неоднородных магнитных полях, нахождение класса функций, в котором описание пространственного заряда и процессов ветвления осуществляется минимальным набором данных.
Синтез электродинамических систем в виде плавно гофрированных волноводов, обеспечивающих создание благоприятных условий для канализации сильноточных пучков электронов при эффективном их взаимодействии с высокочастотным полем.
Синтез структуры электродинамической системы нового типа - секции суперкол лай дера, обеспечивающей формирование волнового поля с возможно большей величиной пространственной гармоники, синхронной инжектируемым электронам, и проведение ее оптимизации.
Особое внимание в диссертации обращается на выявление самого пути построения метода приближённого решения задачи, в конце которого найти решение новой поставленной дискретной задачи может компьютер.
Повышение эффективности про і 'рам м - важнейшая задача, решение которой невозможно без новых алгоритмов. Часто бывает так, что построить алгоритм легче, чем понять, как он работает и что он может дать в результате. Обычно проверка работы алгоритма начинается с изучения его устойчивости. Приходится особенно опасаться даже небольшой неустойчивости, которая, приводя к росту хотя бы даже одной из компонент решения, может понизить точность и вообще испортить все численные результаты. Важным свойством алгоритма является удобство и естественность распараллеливания вычислений, простота логической организации процесса вычислении и возможность быстрой визуализации. Успех решения задачи в основном связан с правильным и корректным построением всего цикла алгоритмического процесса получения численного решения и его интерпретации. L; У нас жалуются на неэффективность использования вычислительной техники. Как
правило, вина сваливается на недостаточность программного обеспечения.
Ш Но если проанализировать ситуацию внимательнее, то обнаружится, что
причина кроется в отсутствии алгоритмического обеспечения. При наличии алгоритмов разработка программы - это уже вопрос времени, но без алгоритмов сдвинуться с места вообще нельзя." 2
Экономичность вычислительного процесса в широком смысле слова может быть понята только в рамках всей технологической цепочки вычислительной математики. Главный недостаток ЭВМ состоит в том. что каждая задача, для которой она может быть применена, должна быть приведена, часто довольно утомительным способом, к последовательности арифметических задач. С учётом больших затрат на программирование, окончательная оценка качества алгоритма должна определяться не только количеством времени расчёта на ЭВМ, но и затратами человеческого времени на программирование, отладку, тестирование и усовершенствование программы. Кроме того, работа программиста, отлаживающего большую программу, напоминает работу авиадиспетчера: и тот и другой должны обладать способностью
видеть "картинку" целиком, интуитивно предвидя возможные осложнения.
Особенно важно наличие такого "диспетчера" при работе коллектива программистов над программным комплексом.
Научная новизна результатов диссертации относится к моменту их опубликования и состоит как в разработке новых принципов и оригинальных, подходов при численном моделировании, так и в обнаружении новых, не исследованных, физических эффектов и свойств рассмотренных моделей.
Научную новизну проделанной работы характеризуют следующие основные достижения;
1. Разработаны новые методы построения неявных двух и трехслой
ных разностных схем счета с разным числом узлов на слоях для одномер
ных по пространству систем уравнений, включающих в себя нестационарное
уравнение Шредингера, обладающие свойством "слабой насыщаемости" за
аі счет высокого порядка аппроксимации, обращения только трехдиагональ-
иых матриц и организации алгоритма счета без вычисления разностных алалогов вторых производных, являющихся основным источником накопления ошибки счета.
2. Разработаны новые схемы счета для двумерных по пространству си
стем уравнений; включающих в себя нестационарное уравнение Шрединге
ра, обладающие свойством "слабой насыщаемости" за счет комбинации опе
раторного компактного неявного метода с методом Бунемана, что позволило
повысить порядок аппроксимации, сохранив минимальное число операции
^ (jVIujV)' на каждом временном шаге.
Доказана возможность с высокой точностью находить приближенное решение линейных операторных уравнений с переменными коэффициентами с помощью операторной экспоненты от усредненного оператора правой части.
Построено аналитическое решение задачи непрерывного спуска для квадратичного функционала на единичной сфере, позволившее найти крн-
.~ терии качества в задачах синтеза электродинамических систем ускоритель-
ной секции суперколлайдера.
Дородницын А.А. Информатика; предмет и задачи. - Природа, 1985. No 2, с. 26 - 29.
Разработаны новые операторные методы нахождения приближенных решений нелинейного уравнения Шредингера, в том числе и описывающего самовоздействие широкого класса волн, поверхности волновых векторов у которых, имеют седловую точку (например, гравитационные волны на глубокой воде J110] , плазменные колебания в замагничеииой плазме [152] ).
Показано, что использование приближенной операторной экспоненты, осуществляемое с помощью БПФ, может быть интерпретировано как вариант схемы расщепления по физическим процессам. С ее помощью обнаружены кольцевые структуры у вихревой составляющей электрического поля в модели Захарова описания ленгмюровской турбулентности.
Разработан, новый подход к описанию пространственного заряда, образованного трубчатым электронным потоком в скрещенных полях и найдены необходим ы е у ел о в и я в етв л єн и й ре шен и й стаци он арной си сте м ы Власов а - Пуассона.
Разработан новый принцип конструирования и размещения дискретных источников при решении прямых и обратных задач электродинамики сложных волноведущих СВЧ-структур, пригодный для описания с высокой точностью эффектов рассеяния в плоских и радиальных волноводных систем.
Смоделирована электродинамическая система нового типа (в частности, ускорительная секция электрон - позитронного колла.йдера), обеспечивающая формирование волнового поля с возможно большей величиной пространственной гармоники, синхронной инжектируемым электронам, и проведена ее оптимизация. Предложен новый способ размещения источников, позволяющий эффективно рассчитывать системы со сложной геометрией.
Отметим ещё раз, что в диссертационной работе отражено стремление получить просто реализуемый алгоритм, хотя способ его получения может оказаться достаточно сложным. Однако весьма важным является то, что понимание этих алгоритмов не вызывает затруднений. Они легко программируются и просты в употреблении. Простота реализации существенно ускоряет процесс написания программ. сокращает число ошибок программирования и в конечном итоге быстрее приводит к успеху.
Диссертация состоит из введения, восьми глав и заключения.
Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируется цель работы, ее научная значимость м кратко излагается ее содержание.
В начале каждой главы определен круг рассматриваемых в ней вопросов и приведен обзор литературы, характеризующий современное состояние исследований на эту тему.
Первые две главы посвящены исследованию нестационарных нелинейных эффектов самовоздействия волновых пучков в условиях высокочастотного разряда [264, 265] в сходящемся параксиальном волновом пучке и в пересекающихся волновых пучках, в теории развитой ленгмюровской турбулентности сеточными методами. Поведение таких систем описывается одномерными и двумерными по пространственным переменным системами уравнений в частных производных. Для описания поля в таких системах используется нестационарное уравнение Шредингера. В двумерном случае на основе
усредненного описания плазмы, не предполагающего потенциальности электрического поля, сделанного Кузнецовым Е.А. [136]. изучен процесс самовоздействия потенциальных колебаний, сопровождаемый генерацией вихревых полей и наоборот.
В первой главе рассматриваются сеточные методы нахождения приближенного решения систем уравнений, включающих нестационарное уравнение Шредингера, с одной пространственной переменной.
