Содержание к диссертации
Введение
I Разностные схемы для уравнения переноса 15
1.1 Схемы для линейного одномерного уравнения переноса 15
1.2 Схемы для линейного двумерного уравнения переноса 27
1.3 Схема для квазилинейного уравнения переноса 33
II Разностные схемы для уравнений МГД 38
2.1 Схемы для одномерных уравнений МГД 38
2.2 Схемы для двумерных уравнений МГД 44
2.3 Процедура сохранения соленоидальности магнитного поля 49
2.4 Тестовые расчеты 50
2.5 Задача о движении проводящей плоскости в плазме 53
2.6 Задача о сферически-симметричной аккреции 69
III Автомодельные решения двумерных уравнений МГД 73
3.1 Моделирование раскрытия петель бессилового магнитного поля 73
3.2 Нестационарные автомодельные решения двумерных уравнений МГД . 82
3.3 Тестирование разностной схемы на двумерных автомодельных решениях 92
IV Математическое моделирование эволюции петель коронального магнитного поля 97
4.1 Постановка задачи 99
4.2 Численный метод 110
4.3 Результаты численного моделирования 110
4.4 Выводы 119
Заключение 121
Литература
- Схемы для линейного двумерного уравнения переноса
- Схемы для двумерных уравнений МГД
- Нестационарные автомодельные решения двумерных уравнений МГД
- Численный метод
Введение к работе
Настоящая работа посвящена математическому моделированию эволюции системы "звезда - корона - диск" в МГД-приближеиии па временах, во много раз превышающих период обращения звезды. Для проведения вычислительных экспериментов в работе предложен и обоснован ряд новых явных квазимонотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса. Одна из схем обобщена иа случай уравнений идеальной МГД. В основе процедуры построения предложенных вычислительных методов лежит монотонизация схем второго порядка аппроксимации. Для тестирования предложенных методов использованы точные решения ряда упрощенных задач, сохраняющих специфические особенности исходной проблемы. Вычислительные эксперименты по исследованию взаимодействия магнитной звезды и аккреционного диска выполнены с помощью комплекса программ для численного интегрирования двумерных уравнений МГД, разработанного иа основе одной из предложенных разностных схем. Показано, что сценарий нелинейной динамики системы "звезда - корона - диск" состоит из периодического перезамыкания силовых линий магнитного поля, формирования и выброса плазмоидов и колебаний потока момента вращения, уносимого с диска.
Изучение взаимодействия между молодыми звездными объектами такими, например, как звезды типа Т-Тельца и их аккреционными дисками, весьма актуально в настоящее время. Существуют данные наблюдений, подтверждающие теоретические модели, в рамках которых звезда связана с аккреционным диском посредством магнитного поля (работы К. Джонс-Крулла, Дж. Валенти, К. Кореско; Э. Гуентера, X. Лсмана, Дж. Эмерсона и др. [1, 2]).
Большое число работ посвящено аналитическому и численному исследованию роли осесим метричного дипольного магнитного поля звезды в такой системе. Эволюцию системы обычно рассматривают на временных масштабах порядка периода вращения звезды или времени жизни аккреционного диска. Одним из основных вопросов является определение физических параметров, характерных для конфигурации, в которой дипольное магнитное поле сохраняется на временах порядка периода вращения. Если существует квазистационарная структура, то она эволюционирует на больших временных масштабах, связанных с аккрецией вещества. В нестационарном случае начальная связь звезды с диском посредством магнитного поля нарушается и реализуется периодическое или квазипериодическое открытие и закрытие силовых линий (петель) маг-
нитного поля в результате их пересоединения. Также возможен переход В ПОСТОЯННЫЙ стационарный режим с открытой конфигурацией магнитного поля, которая поддерживается ветром, исходящим из диска.
В работе А. Кёнигла [3] использована модель из работы П. Гоша, Ф. Лэмба [4], в которой рассмотрена аккреция па нейтронную звезду для объяснения наблюдательных особенностей звезд типа Т-Тельца. В этой модели магнитное поле пронизывает область диска, внутри и снаружи радиуса коротации гс, где rc = (GM+/QZ)1/3, М, - масса звезды, 2* - угловая скорость звезды. Радиус коротации определяется равновесием гравитационной и центробежной сил. Магнитное поле (порядка 103 Гс на поверхности звезды) может разрушить диск на радиусах г < гс и направить аккрецию к полюсам звезды. Типичное время, необходимое для установления равновесия звезды с диском, оказалось намного меньше типичного времени аккреции для дисков вокруг звезд типа Т-Тельца. Отметим, что в данной модели авторы предполагали лишь наличие сильного магнитного поля и не учитывали его динамику.
Основная идея при рассмотрении нестационарных моделей заключается в следующем. Как звезда, так и диск являются хорошими проводниками, так что магнитного поле вморожено в них. Кроме того, они вращаются с разными угловыми скоростями, за исключением точек на радиусе коротации гс. Силовые линии магнитного поля закручиваются дифференциальным вращением диска, вследствие чего появляется азимутальная компонента магнитного поля. В результате генерации азимутальной компоненты магнитного поля возрастает магнитное давление, которое приводит к движению силовых линий магнитного поля наружу и дальнейшему их раскрытию. Вначале структура полоидального поля слабо меняется, но после того, как относительный угол поворота между звездой и диском превысит 1 рад. (около 60 относительно оси вращения), все большее число силовых линий поля начинает с ускорением расширяться. В результате они стремятся раскрыться, разрушая тем самым первоначальную магнитную связь между звездой и диском.
Этот процесс подобен явлениям, которые наблюдаются при исследовании солнечной короны (работы Дж. Али; Б. Лоу; Д.А. Узденского [5, 6, 7]). Раскрытие короналышх петель, связанное с перемещением оснований силовых линий магнитного поля на фотосфере, является одним из ведущих механизмов выбросов вещества в короне [6].
В работах Д.А. Узденского; А. ван Баллегуена; Д. Линдэн-Бэлла, Л. Бойли [7, 8, 9] аналитически показано, что в бессиловом приближении открытие силовых линий происходит при конечном угле поворота. Двумерное МГД-моделированис этой проблемы в таком приближении продемонстрировало, что процесс открытия силовых линий является частью общего цикла аккреционного процесса (работы М. Хаяши, К. Шибата, Р. Матсумото; А. Гудсона, К. Бёма, Р. Вигли [10,11]). Таким образом, если дипольное поле звезды пронизывает проводящий диск, то силовые линии, закручиваясь, открываются, приводя к разрушению первоначальной связи везде, за исключением внутренней обла-
сти диска, где магнитное поле достаточно сильно, чтобы заставить вещество вращаться с той же угловой скоростью, что и у звезды.
Вопрос о том, что происходит после раскрытия петель, до конца не ясен. Существует несколько точек зрения. Например, в работе Р. Ловлэйса, М.М. Романовой, Г.С. Бисиоватого-Когана [12] показано, что при дисковой аккреции на нейтронную звезду линии поля открываются и остаются таковыми длительное время. Полученное стационарное состояние отличается от первоначального. Другая точка зрения изложена в работе ван Баллсгуена [8]. Получен квазипериодический цикл: вначале происходит раздувание и открытие силовых линий магнитного поля, благодаря их закручиванию, далее - последующее закрытие вследствни пересоединепия силовых линий и возвращение их в начальное состояние. Полученные в работах [10, 11] наблюдательные данные подтверждают эту теорию.
Вопрос пересоединения силовых линий магнитного поля сложен и рассмотрен, в частности, в книге Э.Приста и Т.Форбса [13]. При численном моделировании к пересоединению обычно приводит наличие довольно большой численной магнитной вязкости [10,11]. В модели из работы ван Баллегуеиа [8], в случае однородно вращающегося диска, линии поля открываются без образования токового слоя. В работе Д.А. Узденского [7] показано, что в случае неоднородного вращения диска линии поля открываются с образованием токового слоя, который со временем становится тоньше. Тороидальное магнитное поле сосредоточено в вершине раскрывающейся петли, в нижней её части поле полоидально. Во внутренней части области происходит образование новых замкнутых силовых линий магнитного поля, которые соединяют звезду с диском. Если пересоединение, последующие сжатие и релаксация происходят достаточно быстро, то результирующие закрытые линии поля имеют малый угол поворота, подобный начальной дипольной структуре. Непрерывное дифференциальное вращение постепенно закручивает линии снова, и картина повторяется с периодом порядка периода вращения. Внешние пересоединенные линии поля вместе с вершиной петли расширяются наружу и образуют плазмоид. Плазмо иды не связаны со звездой и диском и двигаются наружу.
В стационарных моделях первоначальная магнитная связь "звезда - диск" не нарушается. Одна из возможностей, приводящая к остановке закручивания линий магнитного поля, состоит в проскальзывании тороидальной компоненты поля по отношению к плазме, обусловленная конечной проводимостью вещества диска. Значение коэффициента магнитной вязкости точно не известно (работа Дж. Бувьера, С. Ален-кара, К. Дугадоса [14]). Можно предположить, что процесс турбулентной диффузии подобен процессу турбулентной вязкости, который способствует переносу углового момента вдоль диска, и считать, что величина коэффициента магнитной диффузии ц - порядка величины коэффициента турбулентной вязкости, как в модели Н.И. Ша-куры, Р.А. Сюияева [15], ц *> щ = ach (с - скорость звука, h - половина толщины диска, а ~ 0.01 -т- 0.1 [16]. Магнитная диффузия приводит к тороидальному проскаль-
зыванию линий поля по отношению к диску с относительной дрейфовой скоростью Ди^ = (rj/h - Вф/В^л ~ ac{B9lBz)d. Для тонких дисков справедливо неравенство с/14 ~ hfr < 1, тем самым, скорость проскальзывания много меньше дифференциальной скорости вращения гДП(г) = r(fijt(r) — П+).
Существует два случая, когда это не так. Первый описан в работе Ф. Шу, Дж. Над-жита, Э. Острикера и др. [17] (модель также называется "X - ветер"). В работе предположено, что основания силовых линий магнитного поля близки к радиусу коротации гс (ДГЇ < Q/c). Общая конфигурация магнитного поля подобна использованной в модели Р. Ловлэйса, М.М. Романовой, Г.С. Бисноватого-Когана [12]. Отличие состоит в том, что в модели из работы [12] полоидальное магнитное поле распределено гладко по поверхности диска, и радиус коротации не играет роли, в модели [17] поле близко к нулю при г > гс. Из-за этого дифференциальное вращение очень слабое и малой проводимости диска достаточно, чтобы исключить закручивание и гарантировать стационарное состояние.
Вторая модель, предложенная в работе А. Бардоу, Дж. Хейвартса [18], требует очень большого отношения Bv/Bz на диске для соблюдения баланса между закручиванием силовых линий магнитного поля из-за дифференциального вращения и их проскальзыванием относительно диска. В действительности угол между линиями поля и диском определен решением в магнитосфере и не может быть произвольным. Плотность вещества в магнитосфере над диском настолько низка, что там реализуется бессиловая конфигурация магнитного поля. В бессиловом режиме тороидальное поле на поверхности диска в начале увеличивается пропорционально углу поворота оснований силовых линий магнитного поля, затем достигает максимума и начинает уменьшаться в фазе расширения вещества. Максимальное тороидальное поле на диске, достигаемое в бессиловой магнитосфере, сильно зависит от способа распределения полоидального магнитного поля вдоль диска и по порядку величины сравнимо с величиной вертикальной компоненты магнитного поля. Таким образом, дифференциальное вращение не может дать требуемых очень больших значений Вр. Это объясняется тем, что большая часть тороидального магнитного поля, которое непрерывно создается закручиванием, сконцентрировано вблизи вершины силовой линии. При этом энергетически выгодным становится переход к открытой конфигурации магнитного поля. Тороидальное поле диска ограничено процессами открытия силовых линий и их проскальзыванием относительно диска. Тороидальное проскальзывание даже в турбулентном диске не может быть достаточно интенсивным, чтобы значительно воздействовать на процесс закручивания. Время генерации тороидальной компоненты из-за закручивания много меньше времени магнитной диффузии. С другой стороны в некоторых случаях максимум В9/Вг (на диске) может быть достаточно большим (работы Д. Линдэн-Бэлла, К. Бойли; А. Бардоу, Дж. Хейвартса; В. Агапито, Дж. Папалозу [9, 18, 19]).
Таким образом, вопрос о том, какой сценарий эволюции системы "звезда-диск" пред-
почесть, остается открытым. Представляется актуальным и интересным математическое моделирование процессов в системе и сравнение результатов с новыми наблюдательными данными,
В настоящей работе изложены результаты численного моделирования эволюции системы па основе следующей физической модели. В рамках этой модели принято, что диск является бесконечно тонкой плоскостью с конечной проводимостью, дифференциально вращающий вокруг центрального объекта по кеплеровскому закону, звезда -точечный притягивающий центр массы Af+, обладающий магнитным моментом //* и вращающийся с угловой скоростью П„. В работе изучена эволюция коронального магнитного поля, которая обусловлена дифференциальным вращением плазмы вдоль силовых линий. Это дифференциальное вращение поддерживается за счет разницы угловых скоростей оснований силовых линий, начинающихся на звезде и заканчивающихся на диске. Воздействие па диск сводится в основном к отбору у него момента вращения, за счет возникающих на его поверхности тангенциального магнитного напряжения, что определяет темп аккреции.
Вычислительный эксперимент с принятой в работе моделью процесса взаимодействия звезды и аккреционного диска позволяет дать ответы на следующие вопросы. В каком режиме протекает это взаимодействие, возможен ли стационарный или периодический режим. Каковы количественные характеристики процесса, в частности, интенсивность отвода момента вращения от диска. Как величина поверхностной магнитной вязкости диска влияет на интенсивность взаимодействия.
Особое внимание в работе сконцентрировано на исследовании влияния на процесс взаимодействия фактора конечной проводимости диска. Чтобы составить представление о ходе эволюции коронального магнитного поля, проведено аналитическое исследование нескольких МГД-течений, содержащих элементы, присущие полной картине МГД-^гечеиия, возникающей в результате взаимодействия звезда - диск, С этой целью рассмотрены задачи об эволюции бессилового магнитного поля, связывающего звезду и диск; о разлете облака с вмороженным магнитным полем; о движении проводящей плоскости через идеальнопроводящую плазму. Точные решения этих задач позволили провести тестирование предложенного вычислительного алгоритма.
Поскольку математическое моделирование взаимодействия звезды, обладающей ди-польным магнитным полем, с аккреционным диском опирается на численное решение задач для уравнений идеальной МГД, разработка новых и модификация уже существующих вычислительных методов для повышения их эффективности (конструирование схем, позволяющих более точно описывать решения на больших временах) являются актуальными задачами математического моделирования. Приведем некоторый исторический экскурс работ по разработке методов численного решения задач для уравнений гиперболического типа.
Известно, что решения задач для гиперболических уравнений могут быть гладки-
ми в одних областях и разрывными в других. Разрывные решения при этом могут возникать из гладких начальных данных. Такие свойства накладывают на численные алгоритмы ряд требований. Метод должен сохранять монотонность в областях, где решения имеют перепады значений, и обладать высоким порядком точности на гладких решениях. Согласно теореме С.К. Годунова [20] линейные разностные схемы не могут одновременно удовлетворять этим требованиям.
При численном решении нелинейных систем уравнений гиперболического типа важно корректно описать распространение и взаимодействие различного типа разрывов. Методы годуповского типа, основанные на точном или приближенном решении задачи Рішана о распаде произвольного разрыва, позволяют сохранять монотонность профилей сеточных функций. Методы типа Куранта - Изаксона - Риса (КИР) [21], Роу [22], Ошера [23] основаны на различных приближенных решениях задачи Римана. В методе Ошера решение задачи о распаде произвольного разрыва строится с использованием только волн Римана. Методы КИР и Роу основаны на приближенном решении задачи Римана, которое строится на основе различным образом линеаризованных гиперболических систем уравнений. В этом случае решение состоит из элементарных решений типа бегущих разрывов, которые отделяются друг от друга областями постоянных значений.
В методах сквозного счета производные аппроксимируются и через разрывы. При этом разрыв размазывается на отрезке, определяемом численной диссипацией схемы, и превращается в область с резкими перепадами значений сеточных функций. Для устранения нефизических осцилляции, возникающих в областях больших перепадов сеточных величин, используются искусственные добавки, например, искусственная вязкость. Отметим, что методы сквозного счета постоянно развиваются. Сначала были созданы явные схемы первого порядка точности, предложенные в работах Р. Куранта; П. Лакса; С.К. Годунова [21, 24, 25], затем второго порядка - в работах П. Лакса, Б. Вспдрофа; Р. Маккормака [26, 27], наконец, методы третьего порядка - в работах В.В. Русанова [28].
Для того, чтобы вблизи разрывов не возникали нефизические осцилляции, применяют либо монотонные схемы первого порядка, либо искусственную вязкость, что также ведет к схемам первого порядка, а в гладких областях используют схемы повышенного порядка. Такой подход приводит к гибридным разностным схемам. Гибридные разностные схемы нелинейны, зависят от характера решения и локально меняют свои свойства, в частности, порядок аппроксимации. Эти схемы позволяют проводить сквозной счет по схеме повышенного порядка аппроксимации в областях гладкого решения и по монотонной схеме первого порядка точности в областях со значительными перепадами сеточных величин. Другой подход к уточнению численного решения основан на применении дифференциальных анализаторов, алгоритма определения расположения разрывов в ячейках (работа Н.Н. Яненко, Е.В. Ворожцова, В.М. Фомина [29]).
Первая гибридная схема для линейного уравнения переноса предложена в рабо-
те Р.П. Федоренко [30]. В работе В.Я. Гольдина, Н.Н. Калиткина, Т.В. Шишовой [31] построено несколько гибридных схем для линейного и квазилинейного уравнения переноса. В этих схемах коэффициент гибридности зависит от градиента решения. Первые гибридные схемы для систем гиперболических уравнений предложены в работе А. Хартена, Г. Цваса [32], где использована комбинация схем Лакса - Фридрихса первого порядка и Лакса - Веидрофа второго порядка. В работе Б. ван Лира [33] предложен алгоритм монотонизации метода Лакса - Веидрофа. Гибридизация метода Годунова была предложена В.П. Колганом [34]. При этом внутри ячеек использовались кусочно-линейные функции и первые версии ограничителя minmod. В работе Р. Бима, Р. Вор-мипга [35] гибридизировапы симметричные и несимметричные схемы и коэффициент гибридности зависит от числа Маха.
В работе Дж. Бориса, Д. Бука [36] разработан гибридный метод, позволяющий повышать порядок точности путем процедуры коррекции потоков. На первом этапе этого метода используется монотонная схема первого порядка, на втором - полученное численное решение модифицируется до второго порядка. На этом этапе не должны возникать новые локальные экстремумы и возрастать (уменьшаться) значения локальных максимумов (минимумов), которые были к началу этого шага. Отметим, что такие условия эквивалентны условию неувеличения полной вариации решения (TVD-условие). В TVD-схемах А. Хартена, П. Лакса, Б. ван Лира; П. Коллелы, П. Вудварда [37, 38] развита специальная техника кусочно-линейной (кусочно-полиномиальной) реконструкции сеточных функций. Наклоны кусочно-линейных распределителей сеточных функций внутри дискретных ячеек для выполнения TVD-условия ограничиваются специальными лимитерами. Они действуют на конечные разности сеточных функций. Анализ современных лимитеров содержится в работе П. Свсби [39].
В настоящее время гибридные схемы трансформировались в схемы переменного порядка точности. Практически все они основаны на кусочно-полиномиальной реконструкции дискретных сеточных функций, удовлетворяющих TVD - свойству, или близких к нему. Развитие TVD - алгоритмов и создание модификаций этого подхода к построению разностных схем привело к существенному улучшению получаемых численных решений (работы А. Хартена, С. Ошера; К.-В. Шу [40, 41]).
В настоящее время методы годуновского типа широко используются для численного интегрирования уравнений газовой и магнитной гидродинамики ([42]-[44]).
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Кратко остановимся на содержании глав диссертации.
Первая глава диссертации посвящена разработке численных методов решения задачи Коши для уравнения переноса.
В первом параграфе представлены методы численного интегрирования линейного одномерного уравнения переноса с постоянным коэффициентом. Одним из важнейших свойств точного решения задачи Коши для этого уравнения является перенос пачально-
го профиля без искажений. Разностные схемы, аппроксимирующие исходное уравнение, в той или иной мере искажают точное решение по прошествии времени. Устойчивые разностные схемы первого порядка аппроксимации, как правило, дают "расплывающийся" со временем пространственный профиль. Схемы повышенного порядка аппроксимации в соответствии с теоремой С.К. Годунова [45] могут приводить к существенным качественным искажениям решения в виде явлений нормальной или аномальной дисперсии. Перечисленные эффекты в конечном счете понижают точность численного решения задачи на больших временах. В последние годы значительное внимание уделяется изучению так называемых квазимонотонных разностных схем. К настоящему времени предложено значительное число вариантов монотонизации: от первых способов Р.П. Федо-ренко; В.Я. Гольдина, Н.Н. Калиткина, Т.В. Шишовой [30, 31] до широко используемого алгоритма Дж. Бориса, Д. Бука, К. Хайна [43, 47] и методов последнего времени К.В. Вязпикова, В.Ф. Тишкина, А.П. Фаворского [48, 49, 50]; А.А. Самарского, П.Н. Ваби-щевича [51]. Указанные схемы (кроме [51]) используют данные о производЕЮй решения по пространству и могут быть условно отнесены к классу алгоритмов с "лимитерами". Особняком стоит алгоритм мопотопизации В.М. Головизнина, С.А. Карабасова [52], построенный на основе знания области зависимости точного решения задачи. Цитируемые работы далеко не исчерпывают всех возможных и уже используемых вариантов. Параграф содержит вывод новых мопотонизованных схем [53]. Эти методы получены с помощью введения "лимитеров" в известную схему К.И. Бабенко [54, 77] и в явную четырехточечную схему типа "парабола" [51]. Анализ показал, что новые методы дают более высокую точность решения в широком диапазоне изменения чисел Курапта по сравнению с другими квазимонотонными разностными схемами. Они лучшим образом сохраняют форму решения, в том числе и для разрывных немонотонных начальных условий. Использованный в работе метод позволяет получить новые квазимонотонные разностные схемы повышенного порядка аппроксимации на основе известных схем.
Второй параграф содержит результаты сравнительного анализа схемы К.И. Бабенко с "лимитерами" и некоторых известных конечно-разностных схем для решения задачи Копій для линейного двумерного уравнения переноса с финитными начальными условиями [63]. Для тестирования предложен класс точных решений двумерной задачи. Класс определен одной произвольной функцией двух действительных переменных и четырьмя произвольными дифференцируемыми функциями одной действительной переменной. Для решения двумерной задачи применен алгоритм расщепления по координатам. При этом возникают одномерные задачи по каждому направлению. Поэтому приведена нелинейная монотонизация схемы К.И. Бабенко [54] для одномерного уравнения переноса с переменной скоростью. Предложенная монотонизованная схема К. И. Бабенко показала наилучшие результаты при движении начального профиля без вращения, в особенности, в случае негладкого начального профиля.
В третьем параграфе рассмотрены некоторые вопросы численного интегрирования
квазилинейного уравнения переноса. Это уравнение демонстрирует многие характерные свойства гиперболических систем уравнений (в частности - уравнений идеальной МГД): распространение слабых разрывов вдоль характеристик, спонтанное возникновение сильных разрывов, существование энтропийной функции, позволяющей отделить допустимые разрывы от недопустимых, и прочее. Для численного интегрирования нелинейного уравнения переноса существует множество методов. Однако не все из них переносимы на гиперболические системы уравнений без катастрофического увеличения сложности вычислительного алгоритма. Решение задачи о распаде произвольного разрыва для уравнений идеальной МГД настолько многовариантно [55], что делает использование схемы Годунова нецелесообразным. В связи с этим обстоятельством были развиты многочисленные методы численного интегрирования гиперболических уравнений и систем, опирающихся при построении вычислительного алгоритма на те или иные способы приближенного решения задачи Римана и объединенные общим названием - методы годуновского типа. В этом параграфе для квазилинейного уравнения переноса на основе схемы "парабола" построена консервативная схема, удовлетворяющая энтропийному условию. Приведены результаты тестирования предложенной разностной схемы. Показано, что модифицированная схема передаст качественные особенности точного решения и дает численное решение высокой точности.
Вторая глава диссертации содержит вывод разностной схемы для численного решения уравнений идеальной магнитной гидродинамики. При конструировании схемы использованы результаты первой главы.
Первый параграф посвящен разностным схемам для одномерных уравнений МГД. Рассмотрены уравнения идеальной МГД со всеми компонентами скорости и магнитного поля, записанные в дивергентном виде. Для построения квазимонотонной схемы повышенного порядка аппроксимации произведена коррекция амплитуд волн, входящих в выражение для потоков консервативных переменных. Точность схемы повышена с помощью процедуры, описанной в первой главе.
Во втором параграфе предложена разностная схема для двумерных уравнений МГД. Построение двумерной разностной схемы состоит в использовании одномерных схем вдоль каждого из пространственных направлений. При этом по сравнению с одномерным случаем возникает дополнительная переменная - величина магнитного поля вдоль одного из направлений. Поэтому в третьем параграфе описана специальная процедура удаления численного магнитного заряда, позволяющая сохранить бездивергентность магнитного поля.
Четвертый параграф содержит результаты проверки эффективности предложенного численного метода интегрирования уравнений МГД на двух тестовых задачах. В качестве первого теста использовано точное решение задачи о контактном разрыве плотности при постоянных величинах скорости и продольного поля. В качестве второго теста использовано точное решение задачи о распаде разрыва между "левым" и
"правым" состояниями для системы уравнений с одной компонентой тангенциального магнитного поля и продольной компонентой. Это решение содержит две ударные волны.
В пятом параграфе представлены результаты численного моделирования магиито-гидродинамического течения, возникающего при движении проводящей плоскости в идеалыгопроводящей плазме [56]. Плоскость обладает поверхностной проводимостью A = const и соответствующей поверхностной магнитной вязкостью = с2/(2тгА). Поверхностная магнитная вязкость имеет размерность скорости, в задаче нет масштабов длины и времени, её решение является автомодельным. Течение является комбинацией ударной волны и простой автомодельной волны разрежения, за которой следует область постоянного течения или вакуума. Ударная волна может быть либо гидродинамической, либо магнитогидродинамической волной включения в зависимости от соотношения величин альфвеновской скорости и скорости звука в плазме. В данном параграфе получено аналитическое решение задачи. Это аналитическое решение использовано для тестирования предложенной в настоящей работе разностной схемы. Также получены условия сопряжения на проводящей плоскости, которая движется поперек силовых линий магнитного поля в идеальнопроводящей плазме. Условия сопряжения используются также в главе IV при изучении эволюции системы "звезда - корона - диск".
В шестом параграфе представлены результаты тестирования предложенного численного метода на известном точном решении задачи о падении вещества на грави-тирующий центр [57, 58]. Результаты расчетов показали, что приближенное решение, полученное по предложенной схеме, правильно передает качественные особенности точного решения задачи и имеет высокую точность.
Третья глава диссертации посвящена моделированию раскрытия петель бессилового магнитного поля.
В первом параграфе рассмотрена задача об эволюции бессилового поля в системе звезда - диск [59]. В модели предположено, что силовые линии магнитного поля вморожены в звезду и диск. Корона настолько разрежена, что альфвеповская скорость в ней много больше как скорости звука, так и скорости убегания. Магнитное поле эволюционирует через последовательность бессиловых конфигураций, смена которых обусловлена сдвигом оснований силовых линий. Основание, вмороженное в диск, неподвижно, а другое, вмороженное в звезду, вращается с угловой скоростью ї*. Таким образом, во внешних областях короиы в каждый момент времени магнитное поле образует осе-симметричную конфигурацию, которая описывается уравнением Грэда - Шафранова. Анализ численного решения нелинейной краевой задачи приводит к следующим выводам. Существует максимально возможный угол поворота силовых линий тах = 2.04, силовые линии магнитного поля раскрываются за время і» = 2.04/ГІ». Показано, что образование токового слоя происходит не в короне, а на диске. За конечное время магнитное поле "разбухает", его силовые линии все больше деформируются и, в конечном
итоге, уходят на бесконечность. При этом энергия магнитного поля Е((р) неограниченно возрастает с увеличением угла поворота силовых линий ір. За счет натяжения силовых линий магнитного поля происходит потеря диском углового момента. Полный момент вращения AL, уносимый магнитным полем с единицы длины диска за время раскрытия петель „, остается конечным и составляет 0.4/^/(Л32+).
Во втором параграфе построены нестационарные автомодельные решения двумерных уравнений МГД [60]. При этом предположено, что течение осесимметричпо, и в полоидальной плоскости вещество имеет только радиальную (в сферической системе координат) компоненту скорости. Двумерная нестационарная задача сведена к задаче меньшей размерности, а именно, к задаче определения функции магнитного потока из уравнения Грэда - Шафранова. Автомодельные решения построены для уравнений идеальной МГД с учетом вращения плазмы. Представлены автомодельные решения двух типов в зависимости от величины показателя адиабаты 7- При 7 = 4/3 из условий автомодельное следует, что плазма не вращается. При 7 = 5/3 из условий автомодель-ности следует, что решение возможно в отсутствии гравитации. При этом магнитное поле является бессиловым в каждый момент времени.
Третий параграф содержит результаты тестирования предложенной в работе разностной схемы на двумерных автомодельных решениях. Показано, что схема хорошо передает особенности решения.
Четвертая глава диссертации посвящена математическому моделированию эволюции петель коронального магнитного поля, связывающего звезду и аккреционный диск 161].
В рассматриваемой модели принято, что конечная проводимость плазмы существенна лишь в тонком кеплеровском диске, который состоит из относительно плотного и холодного вещества (h < с/Л* h - полутолщина диска, с - скорость звука в диске, г - радиус диска). Величина турбулентной проводимости и связанной с ней турбулентной магнитной вязкости является параметром задачи. В модели предположено, что величина коэффициента турбулентной магнитной вязкости по порядку величины совпадает с коэффициентом турбулентной кинематической вязкости, принимаемым в стандартной а-модели аккреционного диска Шакуры - Сюияева [15] r\t ~ etch, где а - безразмерный коэффициент, меняющийся в диапазоне 0.01 -т- 0.1.
В качестве причины эволюции состояния исследуемой системы принято дифференциальное вращение плазмы вдоль силовых линий магнитного поля, которые начинаются на поверхности звезды и закапчиваются на диске. Область пространства, незанятая звездой и диском, заполнена идеальнопроводящей плазмой - короной. Так как силовые линии вморожены в эту идеальноцроводящую плазму, то её дифференциальное вращение приводит к генерации азимутальной компоненты магнитного поля, увеличению магнитного давления во внутренних областях короны и выталкиванию плазмы из этой
области во внешние слои. Вместе с плазмой выталкиваются и вмороженные в нее магнитные силовые линии. В результате происходит деформация и/или открытие силовых линий полоидального магнитного поля и выстраивается новая его конфигурация. Какой будет эта новая конфигурация - определяется рядом факторов, одним из которых является конечная проводимость относительно холодной плазмы диска.
Помимо исследования динамики магнитного поля как таковой, представляет интерес итог этого процесса, а именно, та конфигурация, которая устанавливается после раскрытия силовых линий. Именно эта конфигурация определяет эволюцию диска на больших временах, по сравнению с периодом вращения звезды. Основным фактором, влияющим на эту эволюцию, является интенсивность отвода момента вращения от диска. Ведущую роль в этом процессе опять же играет магнитное поле.
В настоящей работе установлено, что процесс взаимодействия магнитной звезды с аккреционным диском сопровождается квазипериодическим перезамыканием коро-нальных петель магнитного поля и выбросом плазмоидов. Изучено влияние величины коэффициента поверхностной магнитной вязкости диска па эволюцию системы звезда - корона - аккреционный диск. Показано, что в случае идеальнопроводящего диска эволюция коронального магнитного поля приводит к периодическому оттоку момента вращения от диска. Для случая конечной проводимости диска устанавливается такая конфигурация магнитного поля, при которой поток момента вращения, уносимый с диска магнитным полем, практически компенсируется потоком, передаваемым веществом.
Результаты данной работы содержатся в публикациях автора [53, 56], [59]-[66], [75] и доложены на ряде международных конференций и школ {67]-f73]: 3d International Conference FDS2000, September 1- 4, 2000, Palanga, Lithuania; 7th International Conference "Mathematical Modeling and Analysis", MMA2002, May 31-June 2, 2002, Kaariku, Estonia; 12 th ECMI Conference, 2002 European Consortium for Mathematics in Industry, 10-11 September, Jurmala, Latvia; 1st International Conference "Computational Methods in Applied Mathematics
CMAM-1", July 20-24, Minsk, Belarus; 2d International Congress for Students and Young Scientists 'Youth and Science - Looking into the Third Millennium", YSTM'02, April 15-19, 2002, Moscow, Russia; 78th session of Summer School "Accretion Discs, Jets and High Energy Phenomena in Astrophysics", July 29 - August 23, 2002, Les Houches, France; Summer School "Chaotic Dynamics and Transport in Classical and Quantum Systems", August 18-30, 2003, Cargese, Corsica, France.
Схемы для линейного двумерного уравнения переноса
Для тестирования предложен класс точных решений двумерной задачи. Класс определен одной произвольной функцией двух действительных переменных и четырьмя произвольными дифференцируемыми функциями одной действительной переменной.
Свойства численных решений изучены в пространственно - временной области достаточно больших размеров. Её размеры выбраны из предположения, что время, за которое финитное начальное распределение пробегает 17 своих длин, является достаточным для проявления свойств вычислительного метода. На Рис. 1.8 представлены виды точных решений: конус, конус без сектора, буква "М". Слева показаны линии уровня, справа - видовая проекция. В работе [63] подробно представлены результаты численного решения задачи Коши для уравнения (1.26) при следующих закономерностях движения центра: центр неподвижен, центр движется по прямой, центр движется по окружности заданного радиуса. Предусмотрен ряд вариантов движения относительно центра: фигура вращается как целое, периферия фигуры вращается быстрее центра, периферия фигуры вращается медленнее центра. При этом предполагается три варианта: угловая скорость не зависит от времени, угловая скорость возрастает со временем, угловая скорость уменьшается со временем.
Отличие численного решения, полученного с помощью какого-либо численного метода, от точного решения оценивалось с помощью конечномерных аналогов норм в пространствах С, L\t L2 на П = (—оо,+оо) X (—оо, +оо) х [О, Г] (интегрально по ) и на Л2 = (—00,+00) х (-00,+00) при t = Т (локально по і).
Для численного решения задачи введена равномерная пространственно-временная сетка Whxhvr = икх хи л„ xwr, Whx = {ХІ = ihx,i = 0,1,2,...}, why = ( = jhx,j = 0,1,2,...}, wT = {tn = пт,п = 0,1,2,...}, где hx, hyi т - шаги разностной сетки по х, у, t соответственно.
Рассмотрим нелинейную монотонизацию схемы К.И. Бабенко, уделив внимание зна-копостояпству и перемене знака скоростей в узлах і — 1 и г. Предположим, что знак скорости сохраняется по крайней мере на трех соседних узлах. Пусть 7» = a(xi,tn)T/h. Хорошо известно, что для получения корректной постановки задачи для гиперболических уравнений необходимо задать на границах области столько граничных условий, сколько характеристик выходят с границы в рассматриваемую пространственную область. В соответствии с этим при переменной скорости возникает ряд различных случаев.
. Численные решения (конус, конус без сектора, буква "М"), полученные на финальный момент времени. На каждом из рисунков Рис. 1.9 представлены поверхность численного решения р = р(х, у, t) (справа) и её линии уровня (слева) на финальный момент времени t/in для определенной схемы, определенного начального условия ро(х,у), поля скоростей ( У) )) v(xty,t) и заданного -ут. Также указано максимальное и минимальное значение численного решения на финальный момент времени. Из всей пространственной области для рисования вырезана подобласть, содержащая ненулевые значения численного решения. Её начальные и конечные координаты показаны па рисунке.
Предложенная монотонизоваппая схема К. И. Бабенко показала наилучшие результаты среди всех рассмотренных в работе схем (при движении начального профиля без вращения), в особенности, в случае негладкого начального профиля "М". Численные решения полученные по схеме с направленными разностями, схемы коррекции потоков (FCT) и схемы Лакса существенно уступают по точности решениям, полученным с помощью новой монотонизованной схемы К.И. Бабенко и схемы с "лимитерами" (из работы К.В. Вязникова, Н.С. Жорняка, В.Ф. Тишкина, А.П. Фаворского [78]).
Известно, что решения задач для гиперболических уравнений могут содержать разрывы. Разрывные решения при этом могут возникать из гладких начальных данных в результате градиентной катастрофы. Такие свойства накладывают на численные алгоритмы для решения уравнений гиперболического типа ряд требований. Вычисленный метод должен сохранять монотонность в областях, где решения имеют резкие перепады значений, и обладать высоким порядком точности на гладких решениях.
Уравнение (1.33) демонстрирует многие характерные свойства гиперболических систем уравнений (в частности - уравнений идеальной МГД): распространение слабых разрывов вдоль характеристик, спонтанное возникновение сильных разрывов, существование энтропийной функции, позволяющей отделить допустимые разрывы от недопустимых и прочее.
Для численного интегрирования нелинейного уравнения переноса (1.33) существует множество методов. Однако не все из них переносимы па гиперболические системы уравнений без катастрофического увеличения сложности вычислительного алгоритма. В частности, решение задачи о распаде произвольного разрыва для уравнений идеальной МГД настолько мпоговариантно [55], что это делает использование схемы Годунова нецелесообразным. В связи с этим обстоятельством были развиты многочисленные варианты численного интегрирования гиперболических уравнений и систем, опирающиеся при построении вычислительного алгоритма на те или иные способы приближенного решения задачи Римана и объединенные общим названием - методы годуновского типа (например, методы Роу, Ошера),
В предыдущих параграфах изложена процедура монотоиизации, которая позволила улучшить качество схем. Схемы второго .порядка аппроксимации преобразовывались путем введения специальным образом подобранной искусственной диффузии. Отличие от методов повышения порядка, предложенных в работах А.П. Фаворского и др. [50, 78], состоит в том, что эти авторы вводили искусственную антидиффузию в базовую схему первого порядка или схему второго порядка Лакса-Ведроффа. В предложенном в данной работе методе в качестве базовых взяты схемы второго порядка аппроксимации: "парабола" [35] и "квадрат" [54]. Метод повышения порядка, а именно, запись "лимитеров" [75], перенесен на нелинейное уравнение переноса и в дальнейшем - на систему уравнений идеальной МГД. Попытка использовать монотонизованную схему К.И. Ба-бенко ("квадрат"), которая является лучшей по результатам тестирования для линейного уравнения переноса, для решения системы уравнений оказалась слишком трудоемкой. Поэтому метод монотонизации применен к схеме "парабола". Чтобы избежать появления в численном решении нсфизических разрывов, в схему введена специальная дополнительная вязкость [79].
С целью иллюстрации особенностей поведения решения на Рис. 1.12 представлены графики решения при t = 90. Каждый рисунок содержит графики точного решения (сплошная линия) и численного решения (маркеры). Полученное численное решение хорошо передает эволюцию профиля в целом (образование и распространение ударной волны и волны разрежения). Видно, что в численном решении отсутствуют осцилляции, разрывы решения "размазываются" на небольшое число интервалов расчетной сетки (1-2 интервала). Для сравнения на Рис. 1.13 представлено численное решение, полученное при использовании пемодифицировапной схемы. Видно, что в этом случае численное решение содержит недопустимый скачок при х — 100. На Рис. 1.14 представлены результаты счета по схеме первого порядка аппроксимации (без использования "лимитеров"). Видно, что иа профиле центрированной волны возникает недопустимый разрыв небольшой амплитуды. Всех этих недостатков лишено приближенное решение, представленное на Рис. 1.12.
Схемы для двумерных уравнений МГД
В этом пункте описана процедура построения разностной схемы для двумерных уравнений идеальной МГД. Построение двумерной разностной схемы состоит в использовании одномерных схем вдоль каждого из пространственных направлений.
Так как формулы для дискретных потоков интерпретируются как результат решения задачи о распаде соответствующего разрыва, то возникает следующая проблема. Компонента Вх магнитного поля, нормальная к поверхности разрыва, непрерывна, поэтому распад должен происходить между состояниями с одинаковыми Вх, и амплитуды волн, образовавшихся в результате распада разрыва, не должны содержать членов, пропорциональных АВХ разности ее-компонент магнитного поля в соседних (по направ-лению х) ячейках. С этой точки зрения различные Вх в соседних ячейках учитываются тем или иным усреднением Вх на границах между ними.
Однако в дополнение к собственным числам, векторам и амплитудам, которые были в одномерном случае и соответствовали медленным, альфвеновским и быстрым магни-тозвуковым волнам, для данных матриц Л (и В) добавится собственное число Л# = 0. Оно соответствует "нефизической" волне, которая покоится в лабораторной системе координат. Правые векторы "физических" волн не изменятся по сравнению с одномерным случаем в том смысле, что их компоненты, соответствующие всем переменным, кроме Bxt останутся прежними, а компонента, соответствующая Вх, будет равна нулю. Но амплитуды воли будут теперь содержать слагаемые, пропорциональные дВх/дх. Правый вектор и амплитуда "пефизической" волны не важны, так как они входят в формулу для потоков в комбинации Ajg- Cs,AU = 0.
В модифицированной матрице Л все элементы строки и столбца, соответствующих Вх, кроме диагонального, обращаются в ноль. Диагональный элемент равен и. Изменения собственных чисел, правых векторов и амплитуд волн по сравнению с модифицированной матрицей сводятся к следующим. Собственные числа "физических" волн пс изменяются, собственное число Лв = 0 заменяется на Хв = и.
Здесь единица расположена в позиции, соответствующей Вх, то есть эта волна несет возмущение только продольного поля. В формулах для амплитуд "физических" волн исчезнут слагаемые, содержащие дВх/дх, в остальном они не изменятся и будут совпадать с формулами для амплитуд в одномерном случае. Амплитуда "нсфизической" волны есть дВх/дх. Те же изменения произойдут и в формулах, описывающих распространение волн в -направлении.
Уравнения для тороидальных компонент векторов скорости и магнитного поля записаны в форме, отличной от других уравнений системы. Уравнение для тороидальной компоненты скорости v записано в форме закона сохранения момента вращения относительно оси симметрии, величина Rsmdpv - плотность момента вращения. Уравнение для тороидальной компоненты магнитного поля Вр записано в форме закона индукции для контуров, лежащих в лолоидальной плоскости. При такой форме записи эти уравнения не имеют правой части, а соответствующие переменные не имеют источников (стоков) внутри области.
Определим -компоненту векторного потенциала Av и функцию магнитного потока Ф в узлах расчетной сетки, которые будем нумеровать полуцелыми индексами. Для численного интегрирования уравнения (2.17) необходимо найти ( -компоненту напряженности электрического поля в узлах сетки. Заметим, что седьмая компонента "вектора" Т и пятая компонента "вектора" Q (с обратным знаком) аппроксимируют Е?, то есть
Нестационарные автомодельные решения двумерных уравнений МГД
Данный параграф посвящен построению автомодельных решений задач для нестационарных уравнений идеальной МГД в следующих предположениях: во-первых, течение осесимметрично и, во-вторых, в полоидалыюй плоскости вещество имеет только радиальную (в сферической системе координат) компоненту скорости. Под автомодсль-иостыо здесь подразумевается возможность сведения двумерной нестационарной МГД задачи к задаче меньшей размерности, а именно к задаче для уравнения Грэда - Шафранова для функции магнитного потока. Уравнение Грэда - Шафранова содержит некоторые произвольные функции. Процедура решения задач для этого уравнения состоит как в выборе этих функций, так и в определении решения при тех или иных граничных условиях.
Задача построения автомодельных решений для уравнений идеальной МГД рассмотрена в связи с астрофизическими приложениями. Как правило, в астрофизических задачах рассмотрены бессиловые конфигурации магнитного поля, так как в сильно-разреженной космической плазме магнитные напряжения являются доминирующими. В работе [9] рассмотрена эволюция бессилового магнитного поля, основания силовых линий которого вморожены в звезду и вращаются относительно оси симметрии с разными угловыми скоростями. Генерируемая при этом азимутальная компонента магнитного поля приводит к деформации полоидальных силовых линий, их раскрытию и образованию токового слоя. Подчеркнем, что хотя уравнение Грэда - Шафранова стационарно, то есть не содержит производных по времени, оно позволяет описать нестационарный процесс за счет того, что входящие в него произвольные функции могут зависеть от времени как от параметра.
Аналогичный подход использован в [95] при анализе эволюции (точнее её итога) бессилового магнитного поля, основания силовых линий которого вморожены в дифференциально вращающийся диск. В работе [59] уравнение Грэда - Шафранова использовано для анализа эволюции бессилового магнитного поля, связывающего вращающуюся звезду и диск. В работах [7, 86] исследованы процессы, протекающие в коронах аккреционных дисков, для случаев цилшідрической или сферической симметрии. Работа [85J посвящена численному анализу такой задачи. В работах [96, 97] при помощи уравнения Грэда - Шафранова для функции магнитного потока описаны равновесные конфигурации идеальнопроводящей вращающейся плазмы с учетом газокинетического давления и гравитации.
Автомодельные решения нестационарных уравнений идеальной МГД построены в [98, 99], в них учитывалось гравитационное поле центрального источника и принималось, что плазма разлетается радиально и не вращается. Вмороженное в плазму магнитное поле имело как полоидальную, так и азимутальную составляющие. Течение пред полагалось осесимметричным. Семейство автомодельных решений, в которых функция магнитного потока зависит от радиальной координаты и времени в комбинации rja{t), удалось построить при показателе адиабаты 7 = 4/3.
В работе автора [60] автомодельные решения указанного типа построены для уравнений идеальной МГД, но с учетом вращения плазмы. Показано, что семейство автомодельных решений распадается на два типа в зависимости от величины показателя адиабаты 7- При j = 4/3 из условий автомодслыюсти следует, что плазма не вращается. Этот случай сводится к проанализированному (100]. При 7 = 5/3 из условий автомодслыюсти следует, что решение возможно в отсутствие гравитации. При этом магнитное поле является бессиловым в каждый момент времени.
Действительно, производные в азимутальном направлении равны пулю (д/д р = 0), в полоидальной плоскости частицы двигаются только в радиальном направлении, а силовые линии полоидального магнитного поля вморожены в вещество Ф = const. Таким образом, (в, Ф) являются лагранжевыми координатами. Кроме того, так как рассматриваются течения, для которых Ф(г, 0, t) = Ф(, в), то паре координат (в, Ф) соответствует пара (, Ф), которая также является лагранжевыми координатами. Следовательно, дифференцирование при фиксированных и Ф также являются лагранжевой производной.
Уравнение (3.31) содержит слагаемые, которые не зависят от t явно - это первые два слагаемых, и зависят от t только через функцию a(t) такие, как: а4 37, а-1 и adE(t, Ф)/ЭФ. Возможны два варианта. Во-первых, при 7 = 4/3 третье слагаемое не зависит от t. Во-вторых, при 7 = 5/3 третье слагаемое пропорционально а"1, то есть имеет такую же зависимость от t, что и четвертое слагаемое. Для того, чтобы произведение a(t)E(t, Ф) имело аналогичную зависимость от t через функцию a(t), следует положить где .Е і(Ф), 23з(Ф) некоторые независимые от времени t функции магнитного потока Ф. В принципе, к E(t, Ф) может быть добавлена произвольная функция времени t, но в дальнейшем выяснится, что эта функция должна быть равна нулю.
На всех представленных рисунках на верхней панели цветом (оттенки серого) показано распределение плотности, сплошными линиями - силовые линии магнитного поля. На нижней панели цветом показано распределение давления, а также линии тока.
На Рис. З.б, 3.7 цветом показано распределение плотности и давления на моменты времени t = 1 (левый столбец), і — 2 (правый столбец). На Рис. 3.8, 3.9 цветом показаны распределения тех же величии на моменты времени t = 4 и t = 5. Отметим, что уже при t = 2 (см. Рис. 3.0) плотность падает почти в 3 раза по сравнению с начальным значением, а к моменту времени і = 5 (см. Рис. 3.9) в 19 раз. Для сравнения иа Рис. 3.7 и 3.9 цветом показаны распределения величин, полученные при использовании схемы первого порядка точности. Видно, что решение, полученной по схеме первого порядка аппроксимации, при t — А сильно "замазывается", так что особенности решения теряются.
Численный метод
Эволюция петель коронального магнитного поля в системе звезда - диск зависит от величины коэффициента поверхностной магнитной вязкости (. Тем не менее можно выделить характерные черты, присущие данному процессу. Во всех рассчитанных вариантах силовые линии полоидального магнитного поля вытягиваются и периодически перезамыкаются (с периодом, равным примерно десяти оборотам внутреннего края диска). При этом генерируется азимутальная компонента магнитного поля. После перезамыкания формируется плазмоид - сгусток относительно горячей плазмы, окруженный замкнутыми силовыми линиями полоидального магнитного поля, вдоль которых течет полоидальный электрический ток. Плазмоид характеризуется повышенным уровнем азимутального магнитного поля и пониженным уровнем газового давления. Угловая скорость вещества внутри плазмоида отличается от угловой скорости окружающей его короны. Для представления результатов численного моделирования выбран момент времени і = 50 (время измеряется в оборотах внутреннего края диска). К этому моменту времени произошло несколько перезамыканий магнитных силовых линий, и очередной отделившийся плазмоид устремился наружу к внешней границе. Предыдущие циклы перезамыканий уже привели к появлению открытых силовых линий вблизи оси вращения.
Вдоль линий уровня этой функции течет полоидальный электрический ток. На этом же рисунке сплошными линиями изображены силовые линии магнитного поля. Видно, что начальная конфигурация магнитного поля существенно изменилась и отличается от дипольной. В области дифференциального вращения диска (г 2) силовые линии выходят с его поверхности с большим углом наклона ( 30), что создает условия для истечения вещества из диска. Вследствие дифференциального вращения возникла азимутальная компонента магнитного поля, что говорит о том, что в короне течет полоидальный ток, образуя двойной токовый слой (область, закрашенная темным цветом на Рис. 4.4а). В окрестности звезды линии уровня функции полоидального тока примерно совпадают с силовыми линиями полоидального магнитного поля, что свидетельствует о том, что магнитное поле является почти бессиловым.
Линиями изображены линии тока вещества (линии, касательные к вектору скорости). Видно, что вещество течет в область плазмо ида с диска и внутренней границы области. Плазмой д заполнен более горячим веществом, чем окружающее его вещество короны и движется к внешней границе расчетной области.
Конечная проводимость диска меняет ход процесса взаимодействия магнитной звезды с аккрецирующим диском. Из Рис. 4,12 - 4.15 видно, что процесс перезамыкания силовых линий продолжается до некоторого момента времени „ (разного для разных ). При этом чем больше коэффициент поверхностной магнитной диффузии , тем позже начинается и раньше заканчивается процесс выброса плазмоидов. Отметим, что при конечной проводимости диска эволюция коронального магнитного поля качественно схожа с процессом в случае идеальнопроводящего диска. Происходит перезамыкание силовых линий магнитного поля в момент времени, который соответствует максимальному оттоку с диска углового момента, уносимого магнитным полем. В отличие от случая идеальнопроводящего диска (С = 0), интенсивность процесса перезамыкания уменьшается, система релаксирует к состоянию, в котором новые плазмоиды не образуются. При этом угловой момент, уносимый магнитным полем от диска, компенсируется моментом вращения, передаваемым диску веществом. Невмороженные в диск силовые линии магнитного поля двигаются вдоль него, что ведет к увеличению магнитного потока в диск. В частности, из-за этого поток момента вращения, уносимый полем от диска, возрастает.
Проведено моделирование взаимодействия магнитной звезды с аккреционным диском при различных коэффициентах поверхностной магнитной вязкости. Установлено, что этот процесс сопровождается квазипериодическим перезамыканисм корональных петель магнитного поля и выбросом плазмоидов. Изучено влияние величины коэффициента поверхностной магнитной вязкости диска на эволюцию системы звезда - корона - аккреционный диск. В случае идеальнопроводящего диска эволюция коронального магнитного поля приводит к периодическому оттоку момента вращения от диска. При конечной проводимости диска устанавливается такая конфигурация магнитного поля, что поток момента вращения, уносимый с диска магнитным полем, практически компенсируется потоком, передаваемым
