Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор существующих методов теоретической гидромеханики применительно к исследованию течений в каналах 11
1.1 Общие методы гидромеханики 11
1.2 Основные математические модели течения вязкой жидкости в трубах различной формы 14
1.3 Формирование ударных волн в цилиндрической трубе и на поверхности жидкости: феноменологический подход 19
1.4 Распространение одномерных локальных возмущений в каналах: аналитический подход 22
Глава 2. Распространение уединенных волн при импульсном сбросе воды из водохранилищ 35
2.1 Распространение уединенных волн на поверхности идеальной жидкости 35
2.2 Расчет уединенной волны (солитона) в вязкой среде прямым методом теории возмущений 42
2.3 Результаты применения метода обратной задачи рассеяния для солитона в вязкой жидкости 55
Глава 3. Модели формирования ударного переднего фронта течения в каналах при постепенно увеличивающемся стоке 64
3.1 Двухмерная модель движения вязкой жидкости по наклонному каналу 64
3.2 Трехмерная модель движения вязкой жидкости по наклонному каналу ...72
3.3 Турбулентное движение вязкой жидкости по наклонной плоскости и в канале кругового сечения 91
Глава 4. Применение моделей течения для расчета ударных фронтов в реках Северного Кавказа 108
4.1 Гидрография основных рек Северного Кавказа 108
4.2 Расчет течения Кумы, при сбросе воды из Отказненского водохранилища 113
4.3 Исследование течения реки Кубань в районе города Невинномысска и станицы Барсуковской 119
Заключение 126
Список литературы
- Формирование ударных волн в цилиндрической трубе и на поверхности жидкости: феноменологический подход
- Расчет уединенной волны (солитона) в вязкой среде прямым методом теории возмущений
- Трехмерная модель движения вязкой жидкости по наклонному каналу
- Расчет течения Кумы, при сбросе воды из Отказненского водохранилища
Введение к работе
Один из предметов гидродинамики - изучение течений жидкости в трубах и каналах. В основном исследовались стационарные течения первоначально идеальной, а затем вязкой и турбулентной жидкости в трубах. Течения вязкой жидкости со свободной поверхностью изучены слабо, в особенности, нестационарные течения и различные явления, возникающие вследствие нестационарности стока.
Нестационарность течений воды в реках и каналах возникает при катастрофических осадках или сбросе значительных объемов воды из водохранилищ. Как следует из данных наблюдений, резкое увеличение стока нередко сопровождается обострением переднего фронта течения и внезапным резким увеличением уровня реки на большом расстоянии от водохранилищ и зон осадков. Это явление особенно заметно при выполаживании течения, на равнинной части реки, где, казалось бы, следовало ожидать спокойного медленного повышения уровня. Свидетелями и невольными участниками этого события стали жители станицы Барсуковской и города Невинномысска (Ставропольский край) в июне 2002 г.
Эффект обострения переднего фронта течения реки часто наблюдается. В частности, на реках Амазонке и Северн [34] сильный прилив проходит много километров по мелководью и на большом расстоянии от океана образуется подвижная форма гидравлического прыжка или так называемая "бора".
Движение жидкости в реках и каналах при нерегулярном стоке рассматривалось только в отдельных работах. В [103] и [82] решена двумерная задача и получено распределение скоростей жидкости при её установившемся движении в лотке, ширина которого намного больше высоты. Однако, опираясь на эти результаты, невозможно корректно описать явление обострения переднего фронта в реках и каналах, поскольку в имеющихся моделях не учитывается начальная скорость сброса и влияние
5 геометрических размеров и формы сечений каналов и рек на течение.
Поэтому достаточно достоверный расчет течений может быть выполнен, как
правило, только в рамках трехмерной модели, учитывающей форму русла
реки и наличие постоянного стока, а также турбулентный характер течения
при больших скоростях и в неровных руслах.
Как показано ниже, образование ударного переднего фронта течения жидкости может происходить как при значительных одномоментных сбросах, вызванных переполнением водохранилища или прорывом дамбы, так и при сравнительно небольших сбросах, которые могут приводить к обострению переднего фронта течения на больших расстояниях от источника. Наиболее опасными с практической точки зрения являются сбросы, при которых не происходит появления ряби, в которой начальный импульс рассеивается по всей поверхности. Вместо этого он локализуется в устойчиво распространяющейся волне, которая перемещается по жидкости, оставляя ее за собой в том же состоянии, в котором она находилась до прохождения волны. Как известно [84], эволюцию в идеальной жидкости уединенных волн (солитонов) описывает уравнение Кортевега - де Фриза. Однако модель, приводящая к этому уравнению, не учитывает наличие в реальных жидкостях вязкости. Поэтому распространение волны, вызванной сбросом небольших объемов воды из водохранилищ, можно изучить только на основе модифицированного уравнения Кортевега - де Фриза, учитывающего вязкость жидкости.
При нестационарном стоке при пологом возрастающем начальном переднем фронте течения со временем происходит его обострение. В конечном итоге фронт течения становится ударным прямоугольным. Это утверждение полностью соответствует многим данным наблюдений. Появление ударного фронта течения часто сопровождается разрушением мостов и прибрежных построек. Поэтому необходимо предложить эффективные способы, препятствующие его появлению.
Целью работы является моделирование течений при нестационарном стоке жидкости в реках и каналах, сопровождающихся образованием ударного переднего фронта на значительных расстояниях от источников течений.
Для достижения поставленной цели нами решены следующие частные задачи:
построена плоская модель распространения длинных волн малой амплитуды на поверхности идеальной жидкости, вызванных импульсным сбросом воды из резервуара;
модель движения длинных волн малой амплитуды уточнена с учетом эффектов, вызванных вязкостью жидкости;
построена упрощенная двухслойная двумерная модель, описывающая распространение вязкой жидкости по наклонной плоскости;
построена упрощенная трехмерная модель ламинарного движения жидкости в наклонном канале эллиптического сечения;
построена упрощенная модель однослойного и двухслойного движения жидкости в канале прямоугольного сечения;
построена плоская модель турбулентного движения жидкости по наклонной плоскости;
построена модель турбулентного движения в наклонном канале кругового сечения;
изучены характерные особенности стока рек и формы русла рек Северного Кавказа, определены места, где возможно обострение переднего фронта течения при нестационарном стоке и сделаны рекомендации по предотвращению появления ударного переднего фронта вблизи населенных пунктов.
Научная новизна состоит в том, что разработаны модели ламинарного и турбулентного течения жидкости в каналах различной формы, сопровождающегося обострением переднего фронта при нестационарном увеличивающемся стоке.
Практическое значение определяется возможностью применения результатов работы для разработки способов предотвращения наводнений и разрушений, вызванных появлением ударного переднего фронта при нестационарном увеличивающемся стоке воды в реках и каналах.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Модификация возмущенного уравнения Кортевега - де Фриза
применительно к случаю импульсного движения вязкой жидкости в каналах
и реках.
Применение прямого метода теории возмущений и метода обратной задачи рассеяния для решения возмущенного уравнения КдФ, с правой частью зависящей от вязкости.
Модель образования ударного переднего фронта при двухслойном движении вязкой жидкости по широкому каналу.
Модель образования ударного переднего фронта при ламинарном движении вязкой жидкости в каналах эллиптического и прямоугольного сечения.
Модель образования ударного переднего фронта при турбулентном движении вязкой жидкости по наклонному широкому каналу и каналу кругового сечения.
Результаты расчетов течения воды в реке Кубань, сопровождавшегося образованием ударного переднего фронта и большими разрушениями, при экстремальном стоке 5 июня 2002 года.
Рекомендации по предотвращению образования ударного фронта на примере нестационарного течения реки Кумы в районе города Зеленокумска и села Отказное.
По теме диссертации автором сделано 13 публикаций из них 8 в центральной печати. Результаты исследований были доложены на:
Региональной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики» (г. Ставрополь, 2002 г.);
8 47-й научно-методической конференции преподавателей и студентов
«Университетская наука - региону», (г. Ставрополь, 2002 г.);
48-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону», (г. Ставрополь, 2003 г.);
49-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону», (г. Ставрополь, 2004 г.).
Тезисы докладов включены в материалы:
XVII Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (г. Кострома, 2004 г.);
Международного форума по проблемам науки, техники и образования (г. Москва, 2003);
Всероссийской научной конференции студентов физиков - 9. (г. Красноярск, 2003);
Всероссийской научной конференции «Ломоносов-2003» (г. Москва, 2003).
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, состоящего из 112 наименований. Работа изложена на 137 листах машинописного текста, содержит 44 рисунка.
В первой главе известные результаты исследований течения вязких жидкостей приведены в систему применительно к задаче, поставленной в настоящей работе. Приведены теоретические описания течений несжимаемой вязкой жидкости по трубам различной формы и механизм возникновения ударных волн в жидкости и газе. Рассмотрены причины и приведены примеры появления ударных волн на поверхности жидкости в виде гидравлического скачка или так называемого «бора». В качестве теоретической основы явления ударной волны принято возмущенное уравнение Кортевега - де Фриза. Приведены методы решения этого уравнения. Рассмотрены основы прямого метода теории возмущений, а также модернизированный метод обратной задачи рассеяния применительно к возмущенному уравнению Кортевега - де Фриза.
9 Во второй главе рассмотрены течения при импульсных сбросах воды из
резервуаров. Показано, что при таких сбросах могут возникнуть ситуации,
приводящие к появлению волн малой амплитуды или солитонов,
распространяющихся вниз по течению. Доказано, что в идеальной жидкости
эти волны описывает уравнение Кортевега - де Фриза. Далее детально
исследуется вид уравнения КдФ и влияние на него различных граничных и
начальных условий. Показывается, что в вязкой среде распространение
длинных волн малой амплитуды описывает возмущенное уравнение
Кортевега - де Фриза, с правой частью зависящей от кинематического
коэффициента вязкости жидкости. Для решения возмущенного уравнения
Кортевега - де Фриза применяется прямой метод теории возмущений.
Доказывается, что за солитоном, движущимся в вязкой среде, образуется
шельф, приводящий к постепенному затуханию волны. Показывается, что
аналогичные результаты дает метод обратной задачи рассеяния.
В третьей главе исследуется течение жидкости, возникающее при
непрерывном увеличении сброса воды из водоемов. Особое внимание
уделяется процессам на переднем фронте. Первоначально рассматривается
модель ламинарного движения несжимаемой вязкой жидкости по наклонной
плоскости. Поскольку в реках всегда присутствует первый слой (постоянный
сток реки), исследуется также модель двухслойного течения жидкости по
наклонной плоскости. Показано, что при таком течении передний фронт
становится ударным прямоугольным через некоторое время. Изучено
влияние различных форм канала на вид и время образования переднего
фронта в рамках трехмерной модели явления. Изучено ламинарное
движение в каналах эллиптического и кругового сечения. Исследовано
распределение скоростей в зависимости от радиуса канала. Далее
рассмотрено однослойное ламинарное течение в канале прямоугольного
сечения. Определено влияние постоянного стока реки в рамках упрощенной
двухслойной модели течения в этом канале. Получено распределение
скоростей на переднем фронте второго слоя при линейном распределении
10 скоростей относительно стенок канала в первом слое жидкости. Так как в
реальных реках и каналах ламинарные течения встречаются крайне редко,
рассмотрено турбулентное движение несжимаемой вязкой жидкости по
наклонной плоскости. В конце главы проводится исследование
турбулентного движения жидкости в канале кругового течения.
В четвертой главе полученные теоретические результаты применены для расчета реальных течений в реках северного Кавказа. Реки выбраны с учетом формы русла и возможности образования на их поверхности ударного переднего фронта. Первоначально исследуется участок реки Кума между Отказненским водохранилищем и городом Зеленокумском. Рассчитаны опасные сбросы воды, при которых происходит обострение переднего фронта в районе села Отказного и города Зеленокумска.
Далее рассмотрен участок реки Кубань, расположенный в районе её слияния с Зеленчуком. Показано, что причиной разрушения мостов и прибрежных построек при наводнении 2002 г., стал передний ударный фронт течения воды в реке Кубань. Жители станицы Барсуковской также пострадали от ударного фронта течения в результате того же наводнения.
Приведены условия, позволяющие обеспечить минимизацию ударного переднего фронта течения в районе мостов и населенных пунктов.
Автор выражает благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук Льву Григорьевичу Каплану за постановку задачи и обсуждение результатов работы.
Формирование ударных волн в цилиндрической трубе и на поверхности жидкости: феноменологический подход
Ударная волна - это область разрыва параметров состояния и скорости движения газа или жидкости. Элементарная теория ударной волны в цилиндрической трубе, заполненной газом, [50,65] выбрана в качестве ближайшего аналога при рассмотрении ударных волн на поверхности жидкости в каналах. Представим, что внутри трубы имеется поршень (рис. 2а). Пусть вначале поршень и газ неподвижны, а затем поршень мгновенно приобретает некоторую скорость V и перемещается с этой скоростью, сжимая находящийся перед ним газ. Возникающее при этом возмущение (сжатие газа) будет распространяться по трубе. Область возмущенного газа мысленно разбивается на большое число объемов близкими друг к vn V, vn к уд_ V другу, перпендикулярными к оси трубы плоскими сечениями. Каждому сечению соответствуют свои значения Рис. 2а. Плоская ударная волна в газе. _ J к возмущенных параметров газа и скорости распространения по отношению к газу. Распределение возмущений вдоль оси в каждый момент непрерывно, поэтому в двух близких друг к другу сечениях параметры газа мало разнятся между собой. Тогда представляют движение газа в некотором сечении как относительное в системе координат, движущейся поступательно и равномерно со скоростью газа в смежном сечении, и применяют в такой галилеевой системе теорию распространения малых возмущений. Следовательно, распространение возмущений, создаваемых поршнем, рассматривают как совокупность непрерывно следующих друг за другом звуковых волн, причем каждая последующая волна перемещается по газу, возмущенному предыдущими волнами. Поскольку сжатие газа сопровождается его подогреванием, скорость распространения возмущений возрастает с температурой и каждая последующая волна Vn будет перемещаться относительно невозмущенного газа быстрее, чем предыдущая Vn_x. Волны будут догонять друг друга, складываться и образовывать одну обладающую конечной интенсивностью волну сжатия - ударную волну.
Параметры газа и его скорость будут иметь различающиеся значения по обе стороны фронта образовавшейся ударной волны. Таким образом, фронт ударной волны представляет собой перемещающуюся поверхность скачкообразного разрыва параметров состояния газа [50].
Похожий процесс происходит при нестационарном движении несжимаемой вязкой жидкости в наклонном канале, когда первоначально пологий фронт становится ударным за счет накопления дополнительной массы жидкости в своей передней части. Для объяснения данного явления нами предложена следующая двумерная модель этого явления [75]. Движущаяся жидкость условно разделяется на ряд горизонтальных слоев, скользящих друг относительно друга (Рис. 26). Слой жидкости, расположенный выше, движется быстрее, чем такой же слой, расположенный ближе ко дну канала. С течением времени передний фронт слоев жидкости становится ударным [76]. За счет разности скоростей нижних и верхних слоев. Как нами показано в [75] формирование ударного переднего фронта происходит не только при использовании двумерной модели. Предложенные выводы подтверждаются и в процессе исследования трехмерных моделей турбулентных и ламинарных течений вязкой жидкости в каналах различной формы. При этом наличие боковых стенок канала влияет лишь на время образования ударного переднего фронта.
Увеличением крутизны переднего фронта волны также наблюдается, когда пологая приливная волна из моря входит в устье реки и далее по течению образуется волна в виде высокой, крутой ступеньки - бора [109] (Рис. 2в). Скорость распространения бора vb = ^ghx(h0 +hx)l2h0 быстрее, чем скорость vs = -yjgh^ > -sjgh{) любой небольшой волны на поверхности воды с соответствующими глубинами.
Возникающая при движении жидкости в наклонном канале волна, как и бора, удовлетворяет важнейшему свойству ударной волны. А именно, скорость движения переднего фронта в канале больше скорости любой небольшой волны vs на поверхности воды с соответствующими глубинами.
И именно это обстоятельство дает право утверждать, что в рассматриваемых далее случаях в каналах распространяются ударные волны. Стационарные решения уравнений Навье - Стокса дают достаточно точную картину течений вязкой жидкости по каналам и рекам при неизменных сбросах [57,79].
При импульсном сбросе воды из водохранилищ [59] жидкость в первом приближении считают идеальной. Исходя из уравнений Эйлера для этой жидкости, получают уравнения Кортевега де Фриза (КдФ) [23,84, 91]. Далее решают эти уравнения. Полное изложение решений приведено в указанных выше источниках, оттуда же заимствована система обозначений. Ниже приведены основные моменты решения уравнений, описывающих импульсные сбросы. [6,44].
Модели, построенные на КдФ, не учитывают влияние затухания возмущения, обусловленного влиянием вязкости жидкости. Для детального изучения возмущений, вносимых в уравнение Кортевега де Фриза различными свойствами жидкости, рассмотрен прямой метод теории возмущений [23,64] и метод обратной задачи рассеяния [107], модифицированный для решения возмущенного уравнения Кортевега де Фриза.
Прямой метод теории возмущений изложен в [23]. Его основная идея состоит в следующем. Изучается решение возмущенного нелинейного уравнения общего вида: K(q,qt,qx,...)=sF(q,qx,...), 0<є«\9 (1.3) где К и F- нелинейные функции от q9qx9.... Невозмущенное уравнение (є = 0) K(qm,q?\q?\...) = 0 (1.4) имеет решение q(0). В качестве q(0\ в случае импульсного сброса, можно брать как солитонное решение, так и уединенную волну (а также бризер или более сложное солитонное решение) [11].
Расчет уединенной волны (солитона) в вязкой среде прямым методом теории возмущений
Все модели и рассуждения предыдущего раздела нами проведены для идеальной жидкости. Однако в реальных ситуациях, особенно при низких температурах, влияние вязкости может быть очень значительным. Чтобы учесть вязкость жидкости необходимо модифицировать уравнение КдФ таким образом, чтобы оно учитывало диссипативные эффекты.
Известное возмущенное уравнение Кортевега де Фриза учитывает эффекты диссипации для ионно-звуковых волн. Это уравнение отличается от обыкновенного уравнения КдФ наличием правой части, которая получается при замене давления во втором граничном условии, полученном из соотношения импульсов, на величину р - (4 / 3)kvd2V / ду [84], учитывающую вязкость жидкости. При этом общий ход вывода уравнения КдФ не меняется.
Поступая аналогичным образом для уединенных волн на поверхности жидкости и используя уравнения Навье-Стокса, нами получено второе граничное условие, аналогичное условию для ионно-звуковых волн. Общий ход вывода уравнения КдФ не изменился, общий вид уравнения КдФ также остался прежним, однако появление вязкости во втором граничном условии приводит к появлению нового члена Tq, стоящего в правой части возмущенного уравнения Кортевега де Фриза. Возмущенная форма уравнения КдФ в безразмерных переменных имеет вид в общем случае: qT,+6qq&+q&&&=-Yq, „ , , .St где 0 = х -1 отвечает положению солитона, а т = только времени. Параметр Г равен произведению 0 т«1 и у 0 линейно зависящего от безразмерного кинематического коэффициента вязкости жидкости. Опираясь 9 А2 на результаты [79] нами получено, что Г = ту = СУКУ , где к = а З а a Jgh
Для решения возмущенного уравнения Кортевега де Фриза применим рассмотренный ранее прямой метод теории возмущений. Будем искать решение уравнения вКдФ в виде ряда: q(@,T) = qm +aqw +К, (2.1) где q(0) имеет вид движущегося слева направо солитона /(, г) = 2rj2 sech2 77(0-477 V-0О) [7]. Пусть /7, параметр скорости и амплитуды, является медленно меняющейся функцией т (г/ = 7](Т), Т = сгт), а соответствующая фазовая скорость равна: т=4т]2+0(ст) . (2.2) Также полагаем, что влияние вязкости мало по сравнению с длиной рассматриваемых волн, таким образом, параметр Г порядка т.
Используем систему координат, движущуюся вместе с солитоном {Е, = 0-0,5 = г). Подставив (2.1) в возмущенное уравнение КдФ получим уравнение для определения q(l): где Используя (2.2), получим Я =-4 7% + 4s- (23а) Так как производная по 0 равна: я& =яА =q4, то нелинейный член равен: 6qq& = 6(q(0) + aqm + К )(q(0) +aqm+K)e= 6qmq + 6(T(qmq + qmq ) + 6o-YX1}. (2.3b) В свою очередь третья производная по 0: Ч =4% + 4%- (2.3с) Правую часть КдФ перепишем: Yq = Гд(0) + YaqiV) = —Tqw + Г aq(V) (2.3d)
Из последних четырех уравнений (2.3а), (2.3b), (2.3с), (2.3d) с учетом вКдФ, рассматривая члены порядка т, и при этом, используя медленное время Т = сгт, получим:
Если искать q(r , зависящее только от , то в соответствии с основными идеями метода теории возмущений условие разделимости уравнения (2.3) сводится к требованию ортогональности правой части решению сопряженного уравнения, имеющего вид: LAV = -Vm + 4TJ% - 6q(0% = 0, убывающего при Е, — +о. Начальное приближение в виде невозмущенного солитона q(0\ является решением сопряженного уравнения. условие совместимости, совпадающие с законом сохранения энергии [91] для уравнения КдФ, определится равенством двух интегралов:
Трехмерная модель движения вязкой жидкости по наклонному каналу
В двумерной модели не учитывается форма канала или реки. Нами рассмотрена более совершенная, трёхмерная модель рассматриваемого явления в каналах (реках) прямоугольного и эллиптического сечения. При построении этой модели в качестве исходной рассмотрено двухслойное движение несжимаемой вязкой жидкости по наклонным каналам цилиндрической и прямоугольной формы.
Пусть в первый слой представляет собой установившееся течение жидкости (постоянный сток реки) высотой z0 (рис. 15). Увеличение стока представляем в виде второго слоя высотой zl над нулевой поверхностью со сравнительно пологим фронтом. Рассмотрим область течения вне фронта, имеющую постоянную высоту Zj. Поскольку высота слоя не меняется, течение здесь стационарно.
Далее рассматривается одномерное течение жидкости (рис. 15): v = viz) , v = v = 0. X V / 5 у Z
В начале рассматривается течение несжимаемой вязкой жидкости в наклонном канале кругового сечения. Уравнения Навье - Стокса в цилиндрических координатах в своей исходной форме имеют следующий вид [106]:
Ось х цилиндрической системы координат свяжем с осью канала (рис. 15). Как следует из системы уравнений (3.7) для течения несжимаемой вязкой жидкости в наклонном канале кругового сечения, уравнение описывающее поведение радиальной составляющей скорости примет вид:
Азимутальная компонента скорости отсутствует, так как движение одномерное. Движение установившееся, жидкость имеет свободную поверхность, поэтому давление не зависит от координаты х и времени t Объединяя первые два члена и заменив проекцию массовой силы на gsina, получим: 1 d . dV„. gsina v ) = г dr dr v откуда г т/ dVF. г gsma , d(r —-) = - rdr Выполнив интегрирование два раза, получаем уравнение, описывающее поведение радиальной составляющей скорости: ТЛ г2 gsina 4 v
При радиусе, стремящемся к нулю г — 0 скорость на оси канала ограничена, для исключения бесконечного роста скорости на поверхности жидкости, необходимо чтобы постоянная интегрирования при натуральном логарифме обратилась в нуль, то есть Q = 0. Учитывая гипотезу прилипания Vr(r = а) = 0 и используя последнее уравнение, найдем вторую постоянную интегрирования: С = я 2 gsma 4v где а - радиус канала.
Используя последние выражения (3.9) с помощью системы Maple 9, возможно получить эпюру скоростей при радиусе канала равном а = 2 . Как видно, она состоит из части параболоида вращения (Рис. 16).
Далее проведено исследование однослойного течение жидкости в наклонном канале эллиптического сечения (рис. 15).
Из последнего уравнения видно, что в наклонном канале эллиптической формы эпюра скоростей представляет собой часть поверхности эллиптического параболоида (рис. 18) и скорость течения максимальна на оси канала, равномерно убывая к стенкам.
Полученное решение является более общим, чем решение для течения несжимаемой вязкой жидкости в канале кругового сечения. При этом в рассмотренном случае также наблюдается общая тенденция возрастания скорости при стремлении к центру поверхности канала.
В разделе 3.2 проведено исследование однослойного течения жидкости в каналах эллиптического сечения. При двухслойном движении важную роль играет высота первого слоя. Если высота второго слоя намного больше высоты первого, то первый слой влияет слабо и можно использовать предложенные модели для второго слоя. Если же величина постоянного стока велика, то движение второго слоя фактически сводится к движению этого слоя в канале прямоугольного сечения. При этом кривизна боковых стенок канала оказывается несущественной.
Первоначально исследуем однослойное движение несжимаемой вязкой жидкости в наклонном канале прямоугольного сечения, с которым связываем систему координат (рис. 19). Давление зависит только от высоты точки
Для описания течений в прямоугольных каналах при большой высоте первого слоя рассматриваем двухслойное течение.
Находим распределение скоростей в случае двухслойного течения, характеризующегося наличием первого слоя (постоянного стока), в каналах и реках прямоугольного сечения (рис. 21).
Для двухслойного течения остаются неизменными система уравнений (3.14), а также граничные условия на стенках канала (3.15) и на поверхности (3.166). Скорость на границе двух слоев принимается равной скорости на поверхности первого слоя. В трехмерной модели, в отличие от двухмерной, скорость нельзя считать постоянной на всей поверхности, так как тогда условие на границе слоев будет противоречить условию прилипания на боковых стенках. Поэтому скорость течения должна быть нулю на боковых стенках и иметь максимальное значение в центре канала. Линейный профиль скоростей - простейшая зависимость, удовлетворяющая этим требованиям: I ЛУ -«) = , , (3-22) I о К где к0 - максимальная скорость в центре канала. Так как при двухслойном течении граничные условия на поверхности и на боковых стенках совпадают с граничными условиями при однослойном течении, результаты решения системы уравнений (3.14) остаются прежними вплоть до уравнения (3.19).
Расчет течения Кумы, при сбросе воды из Отказненского водохранилища
Вначале рассмотрен участок реки Кума, расположенный между Отказненским водохранилищем и городом Зеленокумском (Рис. 31). Длина этого участка по прямой составляет 14 км, а по течению, учитывая все изгибы реки 21 км. Разница высот между с. Отказным и г. Зеленокумском составляет 35 м, следовательно, угол наклона русла не превышает 0,1 градуса. Средний расход воды в июле равен 33 м31 с , при этом средняя глубина изменяется около 3,71 м [38]. Наибольший уровень реки за последние двадцать лет в июле был равен 4,74 м. То есть максимальный перепад уровня реки не превосходит 1,04 м. Ширина русла остается постоянной вдоль всего рассматриваемого участка и равна 18 м . На данном участке реки скорость течения первого слоя невелика и держится в пределах 0,5 м 1с2. Температура воды изменяется в пределах 20 - 25 С, но наиболее характерная температура для июня 23 С. Однако, вязкость воды соответствующую данной , ВЯЗКОСТЬ температуре из-за наличия большого числа примесей и неровности линий тока в обычном виде использовать нельзя. В реальной ситуации несжимаемой жидкости увеличивается в несколько. Для реки Кума вязкость была принята равной 1,08-10"2ЛІ2/С.
Используя эти данные, рассчитано распределение скоростей на переднем фронте второго слоя, появление которого обусловлено сбросом воды из Отказненского водохранилища. Из наблюдений известно, что при равномерном увеличении сброса на 11 мъ Iс в реке образуется метровая ударная волна. Найдем распределение скоростей, в этой волне, пренебрегая влиянием боковых стенок русла, то есть рассмотрим модель двухслойного движения несжимаемой вязкой жидкости по наклонной плоскости. Как показано в третьей главе, распределение скоростей при таком движении даёт формула (3.6). Используя (3.6) найдено распределения скоростей во втором слое р. Кума при равномерном увеличении сброса из водохранилища на 11 м31с и высоте второго слоя 1,04 м. График этого распределения построен в системе Maple (Рис. 32).
Из полученного распределения скоростей видно, что скорость на поверхности жидкости равна 1,42 м 1с. Используя эту зависимость, время обострения переднего фронта и расстояние, на котором оно происходит, рассчитывается по формуле (3.6а). Однако данные расчеты будут не точными, так как двумерная модель не учитывает влияние боковых стенок русла р. Кума.
Для вычисления более точных значений скоростей рассмотрена трехмерная модель двухслойного движения несжимаемой вязкой жидкости в наклонном канале прямоугольного сечения. Из результатов третьей главы известно, что при этом движение распределение скоростей определяется с помощью формулы (3.21). Учитывая, что ширина реки равна 18 ЛІ, график распределения скоростей второго построен в Maple используя (3.21) (Рис. 33).
Данные расчетов показывают, что боковые стенки сильно влияют на распределение скоростей внутри второго слоя в р. Кума. Как видно из графика, максимальную скорость 1,1 м/с течение имеет на поверхности второго слоя. Используя формулу (3.21) рассчитано время, и расстояние на котором обостряется передний фронт. Например, при начальной длине х2 - Xj переднего фронта 100 м, обострение происходит через 2,7 минуты. Учитывая, что скорость первого слоя равна 0,5 м/с, обострение произойдет через 183,3 м от начального положения верхней точки хх второго слоя. Зная распределение скоростей во втором слое, рассчитаем при каких сбросах из Отказненского водохранилища образуется ударный передний фронт в районе с. Отказного. Действительно данное село располагается вдоль русла реки на расстоянии 1-3 км по течению от водохранилища. Таким образом, необходимо решить обратную задачу, то есть по известному расстоянию образования переднего фронта найти его начальную крутизну.
Похожие диссертации на Математическое моделирование фронтальной части течения в каналах и реках при нестационарном стоке
