Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ математических моделей стационарного распространения пламени 22
1.1. Общие представления 22
1.2. Одномерное распространение пламени по смеси перемешанных газов. 35
1.2.1. Постановка задачи 35
1.2.2. Алгоритмы численного расчета стационарной скорости распространения пламени 37
1.3. Распространение двухмерного диффузионного пламени по поверхности горючего материала 41
1.3.1. Интегральные модели 41
1.3.2. Модель, основанная на решении сопряженной задачи тепломассопереноса и горения 46
1.3.3. Задача на собственные значения 52
1.3.4. Алгоритмы расчета скорости распространения пламени 54
Глава 2. Термодинамические принципы в моделировании процессов в реагирующих средах 68
2.1. Основные положения термодинамики необратимых процессов 68
2.2. Принцип минимального производства энтропии 71
2.2.1. Применение к решению линейной задачи теплопроводности 76
2.2.2. Концепция локального потенциала 80
2.3. Вариационная формулировка задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени 83
Глава 3. Применение принципа минимального производства энтропии к расчету скорости распространения пламени по смеси перемешанных газов 91
3.1. Постановка задачи 92
3.2. Методика расчета 97
3.3. Параметрические исследования закономерностей распространения одномерного пламени по газовой смеси 103
Глава 4. Методика численного решения сопряженной задачи тепломассопереноса в реагирующей гетерогенной среде 127
4.1. Общий алгоритм решения сопряженной задачи 127
4.2. Метод расчета уравнений переноса в газовой фазе 130
4.2.1. Алгоритм расчета поля течения 135
4.2.2. Решение системы алгебраических уравнений 140
4.2.3. Дискретизация расчетной области 143
4.3. Решение задачи тепломассопереноса в горючем материале 145
4.3.1. Треугольные конечные элементы 149
4.3.2. Четырехугольные конечные элементы 151
4.3.3. Определение поверхности горения материала 154
4.3.4. Аппроксимация граничных условий 160
Глава 5. Исследование закономерностей распро странения диффузионного пламени по поверхности горючего материала 163
5.1. Постановка задачи 163
5.1.1. Алгоритм расчета скорости распространения пламени 165
5.1.2. Исходные данные 168
5.1.3. Параметры расчетной области и вычислительного алгоритма 174
5.2. Результаты расчетов базовых закономерностей распределения производства энтропии при распространении пламени 177
5.3. Исследование влияние теплофизических параметров на скорость распространения пламени 193
5.3.1. Общие закономерности 193
5.3.2. Толщина слоя горючего материала 205
5.3.3. Концентрация окислителя окружающей среды 210
5.3.4. Давление окружающей среды 214
5.3.5. Скорость обдувающего потока 217
Заключение 227
Литература 231
- Одномерное распространение пламени по смеси перемешанных газов.
- Вариационная формулировка задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени
- Параметрические исследования закономерностей распространения одномерного пламени по газовой смеси
- Решение задачи тепломассопереноса в горючем материале
Введение к работе
Распространение пламени является достаточно широко наблюдаемым процессом, сопровождающим самые разнообразные природные явления и области жизнедеятельности, и проявляющимся с прямо противоположными результирующими эффектами - как крайне нежелательным (пожары), так и требующим максимальной эффективности (сжигание топлива в энергетических устройствах). Соответственно, исследование закономерностей процесса горения в целом и распространения пламени в частности, представляет значительный научный и практический интерес, и проводится постоянно на протяжении многих лет с применением все более совершенных экспериментальных средств, теоретических подходов и методов математического моделирования. Возможным, причем весьма часто имеющим место, результатом протекания процесса горения является установление режима стационарного автомодельного распространения пламени, при котором тепловой баланс между внутренним источником энергии (экзотермической реакцией) и окружающей средой обеспечивает движение фронта пламени в направлении исходного реагента с постоянной во времени скоростью. Одной из ключевых задач при исследовании данного процесса является определение скорости распространения пламени. Как показывает практика, измерение данной величины, как макроскопического параметра, не встречает принципиальных трудностей при проведении эксперимента. С другой стороны, теоретический расчет скорости распространения пламени, описывающей результирующий эффект всего процесса горения, требует разработки математической модели, детально учитывающей все взаимосвязанные теплофизические и. кинетические составляющие рассматриваемого явления и, как показано в дальнейшем анализе, не во всех случаях удается построить, физически корректную и математически замкнутую модель, адекватно описывающую закономерности данного процесса на базе общепринятых подходов к решению задач механики сплошной среды.
Современный уровень математической теории распространения пламени, как составной части теории горения, определяется основополагающими работами Я.Б.Зельдовича (обобщенными в коллективной монографии [1]), Д.А.Франк-Каменецкого [2], Ф.А.Вильямса [3], в которых сформулированы и развиты фундаментальные основы теории горения, что в большей степени относится к гомогенным (как газовым, так и конденсированным) средам. С точки зрения дальнейшего развития разработанных теоретических основ и приближения их к конкретным практическим приложениям, закономерности горения гетерогенных систем (таких, например, как полимерные материалы, не содержащие, в общем случае, окисляющего реагента в твердой фазе), рассмотренные Р.М.Асеевой и Г.Е.Заиковым [4], связаны с большим количеством дополнительных физических, химических, механических особенностей; которые к настоящему времени' недостаточно изучены детально. Эти факторы существенно усложняют условия протекания данного процесса и, соответственно, его теоретические модели, которые пока весьма далеки от окончательной, общепризнанной формы. В целом, основы математического моделирования горения полимерных материалов, разработанные В.К.Булгаковым, А.МШипановым, В.И.Кодоловым [5] базируются на методах классической механики сплошных сред [6]. Кроме; них, для решения некоторых задач теории распространения пламени может быть использован математический аппарат феноменологической термодинамики необратимых процессов (неравновесной термодинамики), сформулированный И.Пригожиным (например, [8]), С. де Гроотом и П.Мазуром [7], что в комплексе определяет основные составляющие теории горения [9] — химическая кинетика, процессы тепломассопереноса, механика жидкости, термодинамика.
Учитывая многообразие аспектов, составляющих предмет исследования процессов горения, для ясности дальнейшего изложения обозначим исходную и конечную точки, определяющие круг вопросов, исследуемых в настоящей работе. Прежде всего, отметим, что здесь рассматриваются: теоретические методы исследования процесса теплового распространения пламени с существенно дозвуковой скоростью (дефлаграция) и из анализа исключаются явления, связанные с развитием теплового взрыва и распространением ударных волн (детонация). Конечной же целью работы является разработка методик расчета закономерностей распространения газофазного диффузионного пламени по поверхности горючих материалов (в основном, полимеров). Отметим, что среди обширного количества работ (анализ которых приведен в обзоре [10]), посвященных данной проблеме, основное внимание здесь уделяется развитию математических моделей, основанных на решении сопряженной задачи тепломассопереноса и химической кинетики, отделив их, таким образом, от статистических и эмпирических моделей, базирующихся на анализе и обработке экспериментальной информации. В целом, определим сопряженные модели как систему уравнений, выражающих основные законы сохранения, способную полностью описать, закономерности протекания двух взаимообусловленных процессов, определяющих распространение пламени. Таковыми являются тепловыделение в ходе экзотермической реакции горения в пламени, являющееся движущей силой процесса, и тепломассообмен пламени с окружающей средой, обеспечивающий поступление реагентов в зону реакции и общий энергетический баланс системы. В этом смысле постановка сопряженной задачи является самодостаточной, т.е. не требующей каких-либо априорных соотношений для описания автомодельного характера процесса распространения пламени. Значительный вклад в формулировку и развитие теоретических моделей такого типа, описывающих процесс распространения диффузион- ного пламени по поверхности горючих материалов, внесли Дж. де Рис [11], И.Викман [12,16-18,24], В.Сириньяно [19-21], С.С.Рыбанин [45-47], К.Фернандес-Пелло и Ф.Вильямс [124], М.Деличатсиос [14], А.Фрей и Дж.Тянь [25], Ю.Охи и С.Тсуге [44], С.Бхаттачарджи с соавторами [26-34], К. ди Блази с соавторами [37-41]. Данные модели различаются принятыми физическими допущениями и упрощениями математической постановки, методами решения, но имеют принадлежность к отмеченным выше сопряженным задачам.
С формальной точки зрения, распространение пламени является по своей сущности нестационарным процессом, поскольку имеет место изменение параметров во времени. С другой стороны, существование режима распространения пламени с постоянной скоростью дает основание для рассмотрения данного процесса в стационарной постановке, сформулированной в движущейся системе координат, связанной с фронтом пламени. Необходимым- условием правомерности применения такого подхода является инвариантность выбора точки отсчета движущейся системы координат, что фактически означает достаточно большую (в пределе - бесконечную) область рассмотрения. Математические модели данной задачи и алгоритмы расчета скорости распространения пламени базируются на двух альтернативных подходах, основанных, соответственно, на использовании нестационарных и стационарных уравнений. Первый из них приводит к корректной и замкнутой постановке и его единственный недостаток относится к сложности получения решения, заключающейся как в невозможности получения аналитических оценок, так и в достаточно высоких затратах вычислительных ресурсов при использовании численных методов. Второйv подход потенциально содержит существенное преимущество в виде понижения размерности задачи, однако реализовать его практически удается не во всех случаях, поскольку возникающая при этом задача на собственные значения может не иметь единственного решения. Настоящая работа посвящена разработке математических моделей и алгоритмов расчета процесса распространения пламени на основе использования стационарных уравнений.
Процесс распространения пламени может иметь различную конфигурацию, что приводит к задачам различной размерности. Так, при исследовании одномерного распространения пламени, математическая постановка является замкнутой и не возникает принципиальных трудностей при формулировке алгоритма расчета стационарной і скорости распространения пламени. Это относится как к распространению пламени по перемешанной газовой смеси [1-3, 56, 63, 64, 68-76] так и к горению твердых топлив [22-23, 80-85]. Напротив, при исследовании распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности горючего материала [10, И, 14, 16-21, 24-36, 44-47, 49-52, 103, 104, 114, 124, 125] имеют место две составляющие вектора скорости распространения пламени - линейная скорость пиролиза, нормальная к поверхности горения и непосредственно скорость распространения пламени вдоль поверхности материала. Использование последней в качестве параметра преобразования уравнений к стационарному виду при переходе к системе координат, связанной с фронтом пламени, приводит к тому, что постановка задачи становится в общем случае незамкнутой. Для преодоления этого используются различные подходы, но, как показывает детальный анализ [49-52, 114, 191, 256, 312], проводимый в главе 1, они не являются в достаточной мере корректными с точки зрения постановки сопряженной задачи, поскольку переопределяют ее. Таким образом, вопрос о формулировке замкнутой математической модели рассматриваемого процесса остается нерешенным.
При решении подавляющего большинства задач механики сплошных сред использование законов термодинамики ограничивается ее первым началом, которое, выражая закон сохранения всех видов энергии в наиболее общем виде, является основой для вывода соответствующих уравнений сохранения. В применении второго начала термодинамики, как правило, нет необходимости, поскольку решение корректно, поставленной и математически замкнутой задачи і единственным образом определяется уравнениями сохранения. Кроме того, формулировки второго закона термодинамики, в исходном виде представляющего собой неравенство, вызывают как изрядную долю сомнения в, их достоверности, так и приводят к сложностям при получении количественных оценок. Тем не менее, приняв его как нормальный физический закон (неправомерность которого, вообще говоря, не доказана, как, собственно, и обратное), применим его к решению рассматриваемой задачи о расчете стационарной скорости1 распространения двухмерного диффузионного пламениі по поверхности горючего материала. Необходимость применения такого, скажем так, нетрадиционного, подхода' для решения, казалось бы, физически прозрачной задачи можно обосновать следующим. Исключение нестационарных членов уравнений производится за счет появления в них дополнительного параметра - скорости распространения пламени, для определения которой необходимо дополнительное соотношение. В' одномерном случае таковым выступает уравнение баланса реагента в ходе химической реакции, интеграл которого дает однозначное определение значения скорости перемещения фронта реакции (газофазного пламени или поверхности твердого топлива). В двухмерном случае одно уравнение баланса необходимо использовать, для определения двух величин -скорости термического разложения материала и скорости распространения пламени вдоль его поверхности, что, по крайней мере, проблематично. Данная неопределенность является ценой понижения размерности задачи.
В работах [49-52, 191, 241-242, 256, 311-312] предлагается подход к расчету скорости распространения пламени, основанный на принципе минимального производства энтропии [7, 8, 192, 193, 205, 197, 211], представляющем собой одну из формулировок второго закона термодинамики. Процесс горения представляется как термодинамическая система, в которой происходят необратимые процессы - теплопроводность, диффузия, вязкое движение и химическая реакция. Согласно теореме Пригожина [7, 8, 192, 205]^ при выполнении условия локального равновесия, стационарное состояние неравновесной термодинамической; системы характеризуется минимальным производством энтропии внутри системы. Таким образом, процесс распространения пламени с постоянной во времени скоростью отождествляется со стационарным состоянием термодинамической системы, что позволяет замкнуть постановку рассматриваемой задачи и определить единственное (из возможных, удовлетворяющих уравнениям; сохранения) значение стационарной скорости распространения пламени. Однако данный подход сталкивается с существенными сложностями методического характера. Вышеупомянутое условие локального равновесия налагает настолько сильные ограничения на свойства системы, что для физически реализуемых сред принцип минимального производства энтропии математически строго не выполняется даже при бесконечно малом отклонении от состояния равновесия [7, 193, 205, 210]. Этот факт обычно является основным (а, в общем, единственным) доводом при утверждении о невозможности практического использования данного принципа, но при этом никакая количественная оценка вообще не проводится.
В связи с вышеизложенным отметим, что в основе подхода к расчету скорости распространения пламени; развиваемого в настоящей работе, лежит следующая предпосылка: для замыкания задачи, не имеющей единственного решения в общепринятой постановке, использование положений неравновесной термодинамики (осознавая при этом их приближенность и ограниченность) предпочтительнее априорных соотношений.
Окончательное заключение о практической пригодности математической модели может дать только сравнение с известными физическими закономерностями процесса.
В работах [241, 242] проведены расчеты скорости распространения одномерного пламени по перемешанной газовой смеси с использованием алгоритма, основанного на принципе минимального производства энтропии. Отметим, что данная задача имеет физически точное решение, основанное на интегральном балансе реагента в реакции горения. Сравнение решений, полученных на базе идентичных постановок задачи, показало, что применение принципа минимального производства энтропии приводит к адекватному (верному качественно и вполне приемлемому количественно) описанию зависимостей скорости распространения пламени от параметров рассматриваемого процесса. В дальнейших исследованиях [49-52, 125, 191, 256, 312] подобный подход был применен к расчету скорости распространения двухмерного пламени по поверхности горючего материала. Полученные результаты показали принципиальную пригодность предлагаемого алгоритма для описания основных закономерностей данного процесса. В настоящей работе проводятся исследования, посвященные детальному анализу рассматриваемой проблемы. Цель работы. В работе приводится решение следующих задач:
Анализ задачи на собственные значения при расчете скорости распространения пламени в стационарной постановке, сформулированной в системе координат, связанной с фронтом пламени.
Получение соотношений термодинамики необратимых процессов в применении к задачам теории горения; формулировка алгоритма расчета стационарной скорости распространения пламени, основанного на принципе минимального производства энтропии; оценка примени- мости термодинамических вариационных принципов к решению задачи о расчете скорости распространения пламени.
Разработка методики расчета скорости распространения одномерного пламени по перемешанной газовой смеси; проведение расчетов с целью оценки применимости принципа минимального производства энтропии на базе сравнения результатов с физически точным решением, основанным на интегральном балансе реагента в ходе химической реакции горения.
Разработка математической модели процесса распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности' полимерного горючего материала на базе сопряженных эллиптических уравнений сохранения для реагирующей гетерогенной среды "газ-твердое тело".
Разработка методики расчета, основанной на совместном применении метода конечных разностей (контрольного объема) для газовой фазы и метода конечных элементов для твердого горючего материала.
Проведение численных исследований закономерностей распространения диффузионного пламени по поверхности горючего материала; расчет стационарной скорости1 распространения пламени с использованием алгоритма, основанного на принципе минимального производства энтропии; количественное сравнение полученных расчетных зависимостей скорости распространения пламени от параметров процесса с экспериментальными данными.
Научная новизна. В работе предложен принципиально новый подход к решению задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени, основанный на применении положений термодинамики необратимых процессов (неравновесной термодинамики) в виде принципа минимального производства энтропии. Впервые показана незамкнутость задачи на собственные значения при расчете скорости распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности твердого горючего материала в стационарной постановке, сформулированной в системе координат, связанной с фронтом пламени. Bs работе установлено, что данная неопределенность вызвана наличием двух значимых составляющих вектора скорости распространения пламени — линейной скорости термического разложения материала и скорости распространения пламени вдоль его поверхности. Анализ задачи показал, что применяемые ранее подходы к получению замкнутой постановки основаны на априорных соотношениях, переопределяющих сопряженную математическую модель задачи. Впервые получены соотношения неравновесной термодинамики применительно к решению задачи о распространении пламени. Показано, что- с помощью прямого применения термодинамических вариационных принципов (минимального производства энтропии; локального потенциала) не удается построить адекватный алгоритм, в котором скорость распространения пламени являлась бы самостоятельной зависимой переменной. На базе стандартной формулировки принципа минимального производства энтропии предложен новый подход к расчету стационарной скорости распространения пламени. С его использованием проведены расчеты модельной задачи о распространении одномерного пламени по перемешанной газовой смеси. Впервые исследованы закономерности распределения составляющих локального производства энтропии по физическим процессам в волне горения. В широком диапазоне параметров процесса (энергия активации, начальная температура, концентрация исходного реагента, давление, число Льюиса, теплота реакции) показано соответствие (качественное и количественное) полученных результатов физически точному решению, основанному на интегральном балансе массы реагента в химической реакции. Разработана математическая модель процесса распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности горючего материала на базе сопряженных эллиптических уравнений сохранения для реагирующей гетерогенной среды "газ-твердое тело" с учетом выгорания поверхности горения, что является новым и принципиально определяющим особенности задачи на собственные значения. Разработана новая методика расчета, основанная на совместном применении метода контрольного объема, обеспечивающего эффективный алгоритм расчета поля течения, для газовой фазы и метода конечных элементов, позволяющего с более высокой точностью определить интегральные характеристики реакции термического разложения и форму поверхности горения, для твердого горючего материала. На основе оценочных расчетов получены оптимальные значения параметров вычислительного процесса (структура и размеры расчетной области, коэффициенты релаксации для решения систем алгебраических уравнений). Впервые проведены исследования зависимости интегрального производства энтропии от скорости распространения пламени как параметра процесса. На основе анализа составляющих производства энтропии по физическим процессам получено обоснование существования локального минимума (причем единственного) на распределении производства энтропии, что обеспечивает решение задачи о нахождении стационарного значения скорости распространения пламени. На примере горения целлюлозного материала проведены расчеты скорости распространения пламени с использованием нового алгоритма, основанного на принципе минимального производства энтропии. Полученные результаты показывают качественное и количественное соответствие экспериментальным зависимостям скорости распространения пламени от параметров процесса (исследовано влияние толщины слоя горючего материала, концентрации окислителя и давления окружающей среды, скорости обдувающего потока), что подтверждает принципиальную и практическую пригодность алгоритма расчета скорости распространения пламени, предлагаемого в настоящей работе.
Практическая ценность. Основное практическое применение результатов работы направлено на решение задачи о расчете скорости распространения пламени по поверхности горючих материалов, что актуально, прежде всего, для проблемы математического моделирования в пожаробезопасности, а также и для других приложений, связанных с моделированием процесса распространения фронта химических превращений в различных средах. Использование предлагаемого подхода позволяет замкнуть постановку задачи на основе физического принципа (в отличие от используемых априорных соотношений) и решить ее в постановке, основанной на стационарных уравнениях, что дает значительную экономию вычислительных ресурсов по сравнению с формулировкой, использующей нестационарные уравнения. Применение предлагаемого в работе теоретического подхода, основанного на принципах термодинамики і необратимых процессов, не ограничивается рассмотренной задачей о распространении пламени и может быть распространено на другие модели, имеющих некоторые свободные параметры, определение которых в рамках общепринятой постановки на базе уравнений сохранения сталкивается с необходимостью использования произвольных и физически необоснованных критериев. Разработанная общая схема методики расчета и полученные детальные особенности численной реализации могут быть самостоятельно (вне зависимости от рассмотренного "термодинамического" алгоритма расчета скорости распространения пламени) использованы при расчете характеристик тепломассопереноса, поля течения и химических превращений в реагирующих гетерогенных системах.
Достоверность результатов. Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается физической корректностью и математической замкнутостью рассмотренных моделей, проведенными параметрическими исследованиями сходимости и устойчивости вычислительных алгоритмов и подтверждается качественным соответствием и количественным согласованием рассчитанных значений физически точному решению (одномерная задача) и экспериментальным зависимостям (двухмерная задача).
Апробация работы. Результаты работы докладывались на научно-технической конференции "Полимерные материалы в машиностроении" (Ижевск, 1986), II Республиканской научно-технической конференции "Применение пластмасс в строительстве и городском хозяйстве" (Харьков, 1987), VIII Всесоюзной школе-семинаре по механике реагирующих сред (Красноярск, 1988), 3-м международном симпозиуме по вычислительной гидродинамике (Нагоя, 1989), конференции "Математическое моделирование пожаровзрывобезопасности в промышленности" (Владивосток, 1989), 2-м Советско-Японском симпозиуме по вычислительной гидродинамике (Цукуба, 1990), III школе-семинаре "Макроскопическая кинетика, химическая и магнитная гидродинамика" (Красноярск, 1990), Советско-Японском семинаре по исследованию процессов горения, взрыва и моделированию пожаров (Хабаровск, 1991), IV международном семинаре по структуре пламени (Новосибирск, 1992), международном совещании по избранным проблемам горения твердых топлив и химической газодинамике (Томск, 1992), 1-м (Хэфей, Китай, 1992), 2-м (Хабаровск, 1995), 3-м (Сингапур, 1998), 4-м (Токио, 2000), 5-м (Ньюкасл, Австралия, 2001) Азиатско-Океанском симпозиуме по научным и технологическим аспектам' исследования пожаров, 31-мі Японском национальном симпозиуме по горению (Иокогама, 1993), '93 (Нода, Япония, 1993), '94 (Бали, Индонезия, 1994) Азиатских семинарах по исследованию пожаров, 4-м (Оттава, 1994), 5-м (Мельбурн, 1997) международном симпозиуме по научным основам пожаробезопасности, международном совещании по химической газодинамике и горению энергетических материалов (Томск, 1995), международной конференции "Математическое моделирование в науке и технике" (Ижевск, 1996, 1998), международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999), Второй региональной научной конференции "Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование" (Хабаровск, 2001), семинарах кафедры ППДЛА Ижевского механического института (1982-1987),, НИИ компьютерных технологий Хабаровского государственного технического университета (1987-2002), лаборатории реагирующих химических систем Токийского университета (1993-1994).
Представленные в работе исследования проводились (1992-2003 гг.) по тематике министерства образования России в рамках ЕЗН (проекты 93/гб-03, 96/гб-10, 1.10.ООФ) и международного научно-технического сотрудничества (проекты 92/мп-19, 95/мп-32).
Личный вклад автора. Автором сформулированы математические модели процесса стационарного распространения диффузионного пламени по поверхности, предложен алгоритм расчета стационарной скорости распространения пламени на базе принципа минимального производства энтропии, получены основные закономерности распределения производства энтропии в пламени, проведены численные исследования и анализ закономерностей процесса стационарного распространения пламени. При непосредственном участии автора разработаны методики численного решения задачи газовой динамики и тепломассопереноса в реагирующих гетерогенных системах.
Основные положения и результаты опубликованы в работах [49-52, 98-100, 114, 125,145, 175-181, 191, 212, 213, 241, 242, 256-259, 311-323]-
Автор выражает искреннюю признательность учителю профессору Виктору Кирсановичу Булгакову за многолетнее руководство и сотрудничество, а также благодарит профессора Т.Хирано за поддержку части исследований, к.с.-х.н. Г.П.Телицына за ценные предложения, касающиеся модели лесных пожаров, к.ф.-м.н. А.А.Галата за помощь в решении вопросов программной реализации.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
А - химическое сродство реакции;
С — теплоемкость; с — концентрация; D - коэффициент диффузии;
Е - энергия активации; S — ускорение свободного падения; J - обобщенный поток; к — предэкспоненциальный множитель; Lq — начальная толщина слоя горючего материала;
Цк ~ феноменологический коэффициент; Le - число Льюиса; т — массовая скорость распространения пламени; р — интегральное производство энтропии;
Рг - число Прандтля;
Р — давление; Q — тепловой эффект реакции;
4 - тепловой поток; R - удельная газовая постоянная; Rq - универсальная газовая постоянная;
5 - энтропия, источниковый член уравнения;
Т - температура; t - время; U - внутренняя энергия; и - составляющая скорости по координате х; и f - скорость распространения пламени; V - объем; v - составляющая скорости по координате у; vs - скорость выделения газообразных продуктов; W - скорость химической реакции; X - обобщенная термодинамическая сила; х - координата, параллельная поверхности горючего материала; xjj - координата точки выгорания горючего материала; Y - концентрация;
У - координата, нормальная к поверхности горючего материала;
Греческие
Г - обобщенный коэффициент переноса;
5 - переменная толщина слоя горючего материала;
9 - угол между координатой у и направлением действия подъемной силы; X - коэффициент теплопроводности;
И- - коэффициент динамической вязкости, химический потенциал; v - стехиометрический коэффициент;
4 - координата реакции; р - плотность; а - локальное производство энтропии; ф - обобщенная переменная;
Индексы
0 - начальный;
1 - исходный реагент; а - окружающая среда; F - горючее; / - пламя; S - газовая фаза; п - нормаль к поверхности горения;
О - окислитель;
Р - продукт реакции; R - исходный реагент; S - поверхность горения; s - твердое тело; W - химическая реакция; X - теплопроводность по координате х; Y - теплопроводность по координате у;
Одномерное распространение пламени по смеси перемешанных газов.
Одним из результатов проявления процесса горения, как совокупности разнообразных взаимосвязанных физико-химических процессов, является существование режима распространения фронта суммарно экзотермических химических реакций (пламени) по исследуемой области с постоянной во времени скоростью. Определение стационарной скорости распространения пламени является одной из основных задач теории горения. Математическую постановку данной задачи, описывающую нестационарный, в принципе, процесс, через преобразование вида можно привести к системе стационарных уравнений, записанных в системе координат, связанной с фронтом пламени. Здесь vn - искомая стационарная скорость распространения пламени, т.е. скорость перемещения системы координат.
Рассмотрим основные конфигурации, реализующиеся при распространении пламени, которые будем различать по двум характерным признакам: размерность постановки, задачи в целом и направление распространения фронта пламени.
Во-первых, это классический случай распространения пламени по смеси предварительно перемешанных газов. Математическая постановка данной задачи [1-3] основана на одномерных уравнениях, выражающих законы сохранения энергии и массы реагирующих компонентов. В эти уравнения входят члены, описывающие процессы теплопроводности и диффузии, а также тепловыделение и порождение (исчезновение) исходных реагентов, промежуточных компонентов и продуктов реакций в ходе химических превращений в волне горения; При , рассмотрении задачи в системе координат, связанной с фронтом пламени уравнения сохранения приводятся к стационарному виду и содержат слагаемое, имеющее вид, характерный для описания конвективного переноса. В него входит, как собственное значение, стационарная скорость распространения пламени (нормальная скорость распространения ламинарного пламени). Теоретические основы моделирования данного процесса развиваются на протяжении достаточно значительного промежутка времени [77-79] и могут считаться окончательно сформировавшимися [1-3]. К настоящему времени накоплено значительное количество экспериментальной информации (например [55-61]), разработаны многочисленные кинетические схемы горения; различных газовых смесей [56, 62-67, 116-117], сформулированы алгоритмы расчета стационарной скорости распространения пламени [56, 63, 64, 68-76]: Детальное рассмотрение последних представлено в разделе 1.2. Данная задача математически корректна и замкнута, и проводимые в настоящее время исследования в основном направлены на дальнейшее совершенствование кинетических схем, методик расчета и получения наилучшего согласования результатов теоретических расчетов с экспериментальными данными..
Другой случай одномерного распространения пламени имеет место при горении твердых топлив. Особенность данной задачи состоит в том, что в отличие от горения гомогенных газовых смесей, среда является гетерогенной и содержит границу раздела фаз между конденсированным твердым топливом и газовой фазой. Математическая формулировка данной задачи [22-23, 80-85] представляет собой одномерные уравнения переноса в стационарной системе координат, в которые входит собственный параметр задачи, в данном случае - нормальная скорость горения твердого топлива. При упрощенной постановке задачи [22-23] рассматривается только уравнение энергии в конденсированной фазе с граничным условием на поверхности горения, на которой обычно задается температура поверхности или тепловой поток из газовой фазы. Данная модель не является полностью замкнутой, поскольку не учитывается влияние процессов в конденсированной фазе на реакцию горения в зоне пламени. При рассмотрении задачи в сопряженной постановке [80-87], с учетом обеих стадий химических превращений (тепловыделения в газовой фазе, являющегося движущей силой процесса, и термического разложения твердого топлива) постановка задачи становится замкнутой и позволяет определить скорость распространения пламени (скорость горения твердого топлива) без привлечения априорных граничных условий. С точки зрения общей теории распространения пламени математическая постановка задачи о расчете скорости горения твердых топлив подобна задаче о расчете нормальной скорости распространения пламени по газовой смеси, хотя и имеет существенные особенности физического характера. Кроме того, механизмы физико-химических, а также механических превращений при горении твердых топлив (особенно смесевых) изучены в значительно меньшей степени.
К следующему случаю отнесем процессы, конфигурация которых является двухмерной, но непосредственно распространение пламени остается одномерным. В качестве примеров подобных задач [87-93] отметим распространение волны горения в газовых [88-90] и конденсированных [91-93] средах при наличии теплопередачи в направлении, не совпадающим с распространением пламени. Теплообмен с боковыми поверхностями приводит к искривлению фронта пламени, что делает необходимым рассмотрение задачи в двухмерной постановке.
Вариационная формулировка задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени
В пленарной лекции 24-го международного симпозиума по горению, посвященной роли теории в исследовании процессов горения, Вильяме [9] отметил, что из четырех основополагающих составляющих теории горения (термодинамика, механика жидкости, химическая кинетика, процессы переноса), основные принципы термодинамики, необходимые для исследования горения, развиты достаточно давно. Это заключение в полной мере справедливо лишь по отношению к равновесной термодинамике, тогда как формулировка принципов термодинамики необратимых процессов или неравновесной термодинамики- находится в стадии интенсивного развития её базовых концепций, которые пока весьма далеки от их непосредственного практического использования в других областях исследований [225-227].
Основой равновесной термодинамики является первый закон термодинамики, математическая формулировка которого выражает закон сохранения различных видов энергии. В частности, рассмотренные выше постановки различных задач теории распространения пламени (пп. 1.2.1, 1.3.2) представляют собой следствия первого закона термодинамики. Что же касается принципов термодинамики необратимых процессов, математическое выражение которых следует из второго закона термодинамики, их применение к решению задач теории горения в частности, и задач механики сплошных сред в целом, существенно
В дальнейшем оба термина (термодинамика необратимых процессов и неравновесная термодинамика) используются как синонимы, хотя, с формальной точки зрения, понятие "равновесность" характеризует состояние термодинамической системы, а "обратимость" - происходящие в ней процессы. ограничено. Это следует из математической формулировки второго закона термодинамики [7,8,192-196]: изменение энтропии в системе определяется выражением где deS - изменение энтропии за счет взаимодействия с окружающей средой, dfS - изменение энтропии за счет её производства внутри системы,. причем последнее равно нулю для обратимых процессов и положительно для необратимых:
Поскольку в общем виде второй закон термодинамики выражается в виде неравенства, его прямое применение сталкивается с существенными трудностями при получении количественных оценок.
Сформулируем основное положение второго закона термодинамики следующим образом [197]. Необратимые процессы направляют макроскопическую систему к равновесному состоянию, при котором энтропия достигает максимума, а производство энтропии внутри системы //5 = 0.
Для открытой системы, непрерывно обменивающейся с окружающей средой энергией и массой, равновесное состояние не может быть достигнуто, и система эволюционирует к неравновесному стационарному состоянию, которое, при некоторых условиях, характеризуется минимальным производством энтропии внутри системы. В таком виде, рассматривая производство энтропии dSj I dt как потенциал,, имеет место принцип минимального производства энтропии [7,8,192,193], который вполне применим для решения реальных задач, однако т.н. "некоторые условия", детальный анализ которых приводится ниже, ставят на этом пути серьезные ограничения. Обратим внимание на то, что применение данного принципа (равно как и других формулировок второго закона термодинамики) не является самоцелью, и в нем нет необходимости при решении подавляющего большинства задач механики сплошных сред, математическая постановка которых корректна и замкнута, а решение единственным образом определяется законами сохранения.
Термодинамическому анализу задач механики сплошных сред, посвящен ряд работ (например, [198-204, 215-220]), в которых проводится: расчет производства энтропии в пламени [200], пограничном слое [199], тепловых двигателях [202], Мировом океане [204], турбулентном потоке [215], химических реакторах [216-220]. Целями применения второго закона термодинамики являются оценка, эффективности теплообменных устройств и энергетических систем [198,201,202] через минимизацию производства энтропии как меры необратимости диссипативных процессов, анализ устойчивости стационарных термодинамических состояний и критериев эволюции химически реагирующих систем: [8, 216-222, 228], разработка концепции модели турбулентности [215].
В целом, второй закон термодинамики потенциально содержит в себе математический аппарат, который может быть применен при решении некоторых классов задач, содержащих некоторые свободные параметры, которые не могут быть определены на базе уравнений сохранения и для их определения необходимы дополнительные соотношения [7,205].
Параметрические исследования закономерностей распространения одномерного пламени по газовой смеси
В данном разделе приводятся результаты расчетов скорости распространения пламени по газовой смеси с использованием приведенного выше алгоритма, основанного на принципе минимального производства энтропии. Отметим, что настоящее исследование посвящено получению количественной оценки соотношения между состоянием системы, соответствующим минимальному производству энтропии и истинным стационарным состоянием. Соответственно целью является сравнение полученных здесь результатов с имеющимся точным решением, тогда как согласование их с известными экспериментальными зависимостями по крайней мере второстепенно. Поэтому, выбор исходных данных для физико-химических и кинетических параметров процесса основан не на желании количественно описать характеристики горения и распространения пламени в какой-либо конкретной газовой смеси, а направлен на проведение параметрических исследований модельной задачи. При этом, хотя и с учетом некоторой доли произвола, значения исходных параметров задаются в достаточной мере близкими к реально существующим. В качестве примера в таблице 3.1 приведены значения теплофизических характеристик, коэффициентов переноса и параметры реакций горения (при ее описании одной макроскопической реакцией) для некоторых низкомолекулярных газовых соединений. Обширная информация справочного характера о глобальных кинетических характеристиках газофазных реакций собрана авторами работы [62].
Основываясь на данных таблицы 3.1, для базового варианта расчета были выбраны округленные значения исходных данных, которые приведены в таблице 3.2. Точное значение стационарной скорости распространения пламени, рассчитанное по уравнению интегрального баланса (3.6), для базового варианта составляет т =1.459 кг/(м с). На рис. 3.2 представлены распределения основных параметров в волне горения при полученном точном значении скорости распространения пламени т (кривые 2), меньшем (кривые 1). и большем (кривые 3) значениях т. Значения интеграла (3.6) для т = \3 и я? = 2.0 составляют соответственно 1.43 и 1.98, т.е. стремятся откорректировать скорость распространения пламени в сторону истинного значения. Очевидно, что граничные условия (3.3) и (3.4) одновременно выполняются только для т . При т т завышенное значение скорости распространения пламени соответствует, согласно уравнениям (3.1)-(3.2), дополнительному (не существующему в реальности) конвективному переносу от зоны холодной смеси к волне горения, что приводит к значительному растяжению зоны прогрева (так, если продолжить кривую 3 рис. 3.2а до достижения начальной температуры, данное расстояние составит величину порядка 70 км!). При т т значение начальной температуры 7Q =300 К достигается на расстоянии л: = 0.2 мм, где тепловой поток еще далек от пренебрежимо малого значения и, соответственно, имеет место дальнейшее уменьшение температуры ниже начальной. Это происходит вследствие принятого закона Аррениуса (3.11) для зависимости скорости химической реакции от температуры согласно которому скорость реакции обращается в нуль только в пределе Т —»0. Таким образом, второе слагаемое числителя правой части уравнения (3.25), описывающее вклад химической реакции, всегда значимо и позволяет проводить расчет вплоть до абсолютного нуля температуры при любых исходных данных задачи.
Однако, начальная температура, является физически обоснованным параметром задачи, известны экспериментально подтвержденные зависимости характеристик горения (скорости распространения пламени, адиабатической температуры пламени) от начальной температуры, что позволяет полагать значения температуры ниже начальной физически неправдоподобными. Особенно явно этот факт проявляется при рассмотрении распределения концентра ции исходного реагента. При числе Льюиса Le = 1 и начальной концен трации с\ =1, имеет место подобие профилей- ci=(Tf — T)l{Tf — To) и состояние Т TQ соответствует q 1, что вообще абсурдно.
Решение задачи тепломассопереноса в горючем материале
Как было представлено в рассмотренном выше (п.4.1) алгоритме расчета сопряженной задачи тепломассопереноса в гетерогенной системе "газ-твердое тело" (рис. 4.1), решение уравнения (1.35), описывающего сохранение энергии в горючем материале производится на основе метода конечных элементов [273-280]. И как было отмечено, данный подход позволяет с большей точностью аппроксимировать расчетную область, которая содержит криволинейную границу вида у = д(х) на рис. 1.6. Кроме этого, отметим, что метод конечных элементов основан на определении искомой переменной (здесь — температуры в материале Ts) по расчетной области на множестве кусочно-непрерывных базисных функций, определяющих переменную Ts как непрерывную по элементу величину,
зависящую от ее значений в узлах. Данное свойство получения дискретного аналога позволяет проводить интегрирование функций, зависящих от 7 (скорости термического разложения материала, определяемой уравнением (1.38) и, как будет показано ниже, производства энтропии в твердом теле) с существенно большей точностью, поскольку в этом случае используется вид зависимости непрерывных базисных функций от координат. Так, сравнение с методом контрольного объема, в котором интегрирование источникового слагаемого проводится, согласно уравнению (417), функциями нулевого порядка, показывает преимущество метода конечных элементов даже при использовании простейших линейных базисных функций.
Рассмотрим получение дискретного аналога уравнения (1.35) для метода конечных элементов. Область определения искомой переменной разбивается на конечное число конечных элементов (рис. 4.8), имеющих общие узлы ив совокупности аппроксимирующих форму расчетной области. Температура материала Ts представляется на каждом элементе где 7р- значения температуры в узлах конечного элемента, NR- базисные функции; (3 = 1..3 и (3 = 1..4 для, соответственно, треугольных и четырехугольных элементов. Подставив определение для температуры вида (4.19) в уравнение (1.35), получим Для решения рассматриваемого дифференциального уравнения используется метод взвешенных невязок с применением метода Галеркина [273,274], согласно которому в качестве весовых функций при интегрировании исходного уравнения принимаются базисные функции Na, введенные при аппроксимации (4.19) рассчитываемой переменной 7 по конечным элементам. С учетом этого, интеграл уравнения (4.20) по конечному элементу имеет вид Глобальная система уравнений для значений температуры Ts в узлах составляется в соответствии с глобальной нумерацией узлов конечно-элементной сетки. При использовании нумерации узлов сетки, показанной на рис.4.9 и 4.12, глобальная матрица является ленточной с шириной ленты равной 2Nj s + 3 для трехузловых и 2iV/5 + 5 для четырехузловых элементов, где Nj)S - число горизонтальных слоев КЭ. Для решения полученной системы алгебраических уравнений применяется такой же, как и для газовой фазы, метод, приведенный в п.4.2.2 с использованием рассмотренных представлений о решении квазилинейных уравнений с помощью метода нижней релаксации. Интегралы вида jWsNadV в (4.27) вычисляются численно с V помощью квадратурных формул Гаусса [273,274] по 7 точкам для треугольных (рис. 4.11) и по 9 точкам для четырехугольных (рис.4.14) конечных элементов: где { ]с- Ук) точки интегрирования, /. - весовые коэффициенты CEj k = 1) - площадь рассматриваемого конечного элемента. к При использовании треугольных конечных элементов, количество элементов на каждом вертикальном слое варьируется в зависимости от остаточной (переменной по координате х) толщины горючего материала. Порядок нумерации конечных элементов и узлов конечно-элементной сетки показан на рис.4.9. Линейные базисные функции для конечных элементов, показанных на рис.4.10, имеют вид
