Математические модели нелинейных распределенных систем в виде пластинчатых конструкций Крысько Антон Вадимович

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Математические модели пространственных контактных задач теории пластин 38

1.1 Вариационный принцип и краевые задачи для контактных задач теории пластин и оболочек в рамках однотипных моделей 38

1.2 Вариационный принцип и краевые задачи для пространственных конструкций трехмерных деформируемых тел 48

1.3 Вариационный принцип и краевые задачи для пространственной пластинчатой конструкции на базе гипотез Кирхгофа 56

1.4 Вариационный принцип и краевые задачи для пространственной пластинчатой конструкции на базе гипотез Тимошенко 69

1.5 Математические модели пространственных пластинчатых конструкций в рамках трехмерной теории упругости и теории Кирхгофа 76

1.6 Математические модели пространственных пластинчатых конструкций в рамках трехмерной теории упругости и гипотез Тимошенко 86

1.7 Математические модели пространственных пластинчатых конструкций в рамках гипотез Кирхгофа и гипотез Тимошенко 94

ГЛАВА II. Нелинейные контактные статические и динамические задачи теории многослойных неспаянных пластин 102

2.1 Методы типа Канторовича-Власова для статических задач теории пластин 102

2.2 Контактные статические задачи для конструкций, состоящих из физически нелинейных неспаянных пластин 109

2.3 Построение коллокационных методов на основе хМетодов типа Канторовича-Власова 112

2.4 Доказательство сходимости, итерационных алгоритмов, решения контактных задач теории неспаянных пластин на базе гипотез Кирхгофа 117

2.5 Численный анализ НДС статики двухслойных пластин МВИ и МКР 124

2.6 Динамические контактные задач теории многослойных неспаянных пластин 144

2.7 Математические модели и итерационные алгоритмы решения контактных задач для пространственных конструкций из неспаянных пластин в рамках гипотез типа Тимошенко и комбинированной модели 168

ГЛАВА III. Сложные колебания и устойчивость ортотропных гибких пластинок при действии продольных нагрузок постоянных во времени 175

3.1 Устойчивость гибких ортотропных пластинок при действии продольных нагрузок 175

3.2 Последовательность бифуркаций Андронова-Хопфа в гибких ортотропных пластинках при действии продольных постоянных во времени нагрузок 181

3.3 Жесткая потеря устойчивости гибких ортотропных пластинок 189

3.4 Влияние начальных условий на последовательность бифуркации Андронова - Хопфа, хаос и жесткую потерю устойчивости гибких ортотропных пластинок 194

ГЛАВА IV. Параметрические колебания гибких изотропных пластин 207

4.1 Методы сведения распределенных систем к сосредоточенным MKP-0(h2)uO(h4) 207

4.2 Расчет параметрических колебаний пластин 4 МКР-0(/г2)иМКР-0(/г4) 212

4.3 Исследование влияния на сложные колебания пластинок некоторых параметров (начальная амплитуда возмущений, коэффициент демпфирования) 215

4.4 Симметричные диссипативные параметрические колебания гибких пластин 221

4.5 Несимметричные параметрические колебания гибких пластин 245

4.6 Образование стоячих волн при диссипативных параметрических колебаниях гибких пластинок 257

ГЛАВА V. Метод бубнова при исследовании сложных параметрических колебаний гибких пластинок 270

5.1 Анализ систем со многими степенями свободы 270

5.2. Постановка задачи. Метод Бубнова-Галеркина 274

5.3 Численный эксперимент 277

ГЛАВА VI. Вейвлет преобразования в теории параметрических колебаний гибких пластинок 281

6.1. Основы теории 281

6.2. Базисные функции вейвлет-преобразования 291

6.3. Свойства и возможности вейвлет- преобразования 297

6.4 Применение вейвлет - анализа к исследованию сложных параметрических колебаний гибких пластинок 303

Литература 315

• Вариационный принцип и краевые задачи для пространственной пластинчатой конструкции на базе гипотез Кирхгофа
• Контактные статические задачи для конструкций, состоящих из физически нелинейных неспаянных пластин
• Последовательность бифуркаций Андронова-Хопфа в гибких ортотропных пластинках при действии продольных постоянных во времени нагрузок
• Образование стоячих волн при диссипативных параметрических колебаниях гибких пластинок

Введение к работе

Вводные замечания. Запросы практики уже в течении многих веков предопределили необходимость построения математических моделей основных элементов современных конструкций: стержней, балок, пластин, оболочек и различных их сочленений. История данной проблемы восходит своими корнями к работам Л. Эйлера, Я. Бернулли, С. Жермен, Ж.Л. Лагранжа, 4 Л. М. А. К. Навье, А.Л. Коши, Г. Ламе, А.Ж К. Б. де Сен-Венана, Б.П.Э. Клай перона, Г.Р. Кирхгофа, Р.Р.А. Клебша, И. Баушингера, Д.У. Релейя, Ф.Энгессера, А. Фёппля, И.Г. Бубнова, СП. Тимошенко, Т. Кармана, В.В. Новожилова, Х.М. Муштари, К.З. Галимова, Н.А. Алфутова, С.А. Абарцумяна, А.Н. Андреева, В.Г. Баженова, А.Б. Богдановича, В.В. Болотина, А.С. Вольми-ра, А.Т. Василенко, В.В.Васильева, И.И. Воровича, Э.И. Григолюка, М.С. Танеевой, Я.М. Григоренко, Б.Я. Кантора, В.Г. Карнаухова, Ю.Г. Коноплева, М.С. Корнишина, В.И. Королева, В.А. Крысько, Н.Д. Кузнецова, Н.Ф. Морозова, Ю.В. Немировского, Ю.Н. Новичкова, И.Ф.Образцова, В.Н. Паймуши-на, Б.Л. Пелеха, В.В. Петрова, В.В. Пикуля, В.Г. Пискунова, А.П. Прусакова, Б.Е. Победри, И.Н. Преображенского, А.О. Рассказова, А.В. Саченкова, Э.Г. Терегулова, П.Е. Товстика, К. Ф. Черныха, Ю.В. Чеботаревского, Э. Рейс-нера и др.

7 Современные конструкции, применяемые в различных областях техники, состоят из сочленения следующих элементов: стержней, пластинок, оболочек и L массивных тел. Создание единой теории, позволяющей строить математические модели сочлененных пространственных конструкций, является актуальной задачей механики твердого деформируемого тела. Данную проблему возможно решить в рамках построения комбинированных математических моделей теории упругости и пластичности, используя для описания напряженно-деформированного состояния (НДС) в одной части тела уравнения теории упругости или пластичности, а в других частях - уравнения стержней, подчиняющихся теории Клебша, В.З.Власова, уравнения теории пластин и оболочек Кирхгофа-Лява либо типа Тимошенко. Построенные математические модели позволят записать разрешающие уравнения и условия сопряжения (контакта). Это требует создания новых вариационных принципов.

Как отмечается в работе Э.И.Григолюка и В.М.Толкачева [53], "контактные задачи теории пластин и оболочек возникают при рассмотрении взаимодействия пластин и оболочек с жесткими и упругими телами (штампами), ребрами жесткости, при взаимном контакте пластин и оболочек". С позиции контактных задач могут рассматриваться слоистые пластины и оболочки, если вводить реакции взаимодействия между слоями и определять их из условий сты- ковки слоев. Механика контактного взаимодействия упругих и пластических тел представляет собой важную и интенсивно развивающуюся область современной механики деформируемого твердого тела.

Соответствующая контактная проблема для тонкостенных элементов (стержней, пластин, оболочек) ставилась и решалась, в основном, в последние три десятилетия. Полученные результаты в этом направлении систематизировали в монографиях В.М.Александрова [6] (1983 г.), Э.И.Григолюка и В.М.Толкачева [53] (1980г.), В.И.Моссаковского и В.С.Гундрамовича [131] (1978 г.), Б.Д. Пелеха и М.А.Сухорольского [158] (1980 г.), Б.Л.Пелеха, А.В.Максимуха и ИМ.Коровачуха [157] (1988 г.), БЛ.Кантора [73] (1990г.), А.В. Крысько [86] (2000 г.).

В настоящее время современные конструкции в ракетной, космической, авиационной технике, ядерной энергетике и др. отраслях промышленности в процессе эксплуатации и изготовления подвергаются воздействию концентрированных потоков энергии, которые вызывают сложные колебания конструкций, изучение которых следует проводить с позиций качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики, т.к. по сути дела приходится изучать проблему нелинейных систем.. Компьютерные исследования в динамике или просто компьютерную динамику сейчас можно выделить в отдельную область науки, которая устанавливает общие закономерности движения реальных физических систем при помощи ряда численных методов и алгоритмов. Систематическое развитие компьютерных исследований, открывающее новые области компьютерной динамики, только начинается и, как указал С. Смейл, является одной из фундаментальных задач этого столетия. Сложные задачи перед исследователями стоят как в изучении хаоса механических систем, его структуры, сценариев развития, так и получения новых периодических решений, их бифуркаций и пр. На указанных проблемах мы остановимся в историческом обзоре несколько подробнее, а в диссертации попытаемся заполнить некоторые проблемы в изучении указанной проблемы.

/°. Методы сочленения элементов оболочечных конструкций. Тонкостенные оболочечные конструкции, состоящие из нескольких слоев и подкрепленные в различных направлениях ребрами, как правило, имеют сложную форму, представляя собой набор различных оболочек - цилиндрических, сферических, конических и более сложной конфигурации: с утолщениями, сварными швами и каналами охлаждения. Очень часто такие элементы выполнены из различных материалов (изотропные, анизотропные), что, естественно, накладывает свои ограничения на те или иные теории. В общем случае следует иметь законченную математическую теорию сочленения элементов конструкций, каждый элемент которой .описывается теми или иными кинематическими гипотезами (математическими моделями). В настоящее время общей единой теории нет.

Интенсивное развитие космической и авиационной техники привело к созданию ряда автоматизированных систем расчета осесимметричных оболочечных конструкций [78]. Оболочечные конструкции соединяются непосредственно между собой или с помощью шпангоутов. Использовалась теория гибких оболочек, кинематическая модель Кирхгофа-Лява, физическая нелинейность учитывалась по деформационной теории пластичности. Для шпангоутов использовалась теория тонкостенных стержней В.З.Власова [40]. Уравнения оболочек, колец получены в проекциях на оси, связанные с недеформированной системой координат кольца. Это позволило достаточно просто сформулировать задачу прочности для оболочечных конструкций, состоящих из набора оболочек различного типа, которые состыкованы друг к другу по параллельным кругам непосредственно или с помощью упругих шпангоутов. Дискретизация -МКР, линеаризованная задача решалась методом ортогональной прогонки.

Получил распространение подход сопряжения оболочечных конструкций, основанный на схеме, когда подкрепляющие кольца рассматриваются как короткие оболочки вращения переменной толщины [52] (1990 г.).

Практический расчет сложных конструкций, составленных из разнородных элементов: стержней, пластин, оболочек, трехмерных тел - встречает большие трудности. Преодоление этих трудностей связано с рідеей расчленения исходной задачи на ряд более простых. Первоначальный, традиционный подход состоял в идеализации, огрублении связей между элементами. Расчет системы сводился к последовательному расчету элементов без учета их взаимного влияния. В настоящее время решение идет по двум направления ч: первый - метод суперэлементов (МСЭ), второй - итерационные методы решения контактных задач теории оболочек. Первый подход (МСЭ) развит в работах ряда авторов [44, 157, 217]. Второй подход - алгоритмы, реализующие итерационные методы (ИМ), как правило, значительно более просты. К их недостаткам относятся трудности исследования сходимости и, как следствие, - затраты машинного времени. Этот подход развивается в работах [2, 175].

Преимущества вариационных методов очевидны как с теоретической, так и с практической точки зрения. На основе вариационных методов можно конструировать приближенные решения в классе кусочно-гладких функций, определенных в подобластях конечных размеров, в так называемых конечных элементах. Условия стыковки соседних конечных элементов требуют выполнения главных граничных условий вариационной задачи, которые зависят от порядка производных в функционалах. Чем ниже порядок производных искомых функций в исходных функционалах, тем проще построить локальные аппроксимации для КЭ, удовлетворяющие условиям стыковки. В настоящее время МКЭ является основным методом расчета разнообразных конструкций и сооружений. Созданные универсальные вычислительные комплексы [281] позволяют решать многие выдвинутые практикой задачи.

Однако существует большое число нерешенных проблем. Еще в 1970 году в проблемной статье [258] была отмечена проблема МКЭ в расчетах оболочек. Это, прежде всего, несогласованность КЭ [45, 64, 134] (нарушение неразрывности первой производной от прогиба). В вариационных постановках для решения задач деформирования оболочек классическая теория оказалась малопригодной. Она была создана для сведения треххмерной задачи к двухмерной, но это достигалось ценой повышения порядка производной в искомых функционалах. Следует отметить, что функционалы теории упругости содержат лишь первые производные от искомых функций. Самой распространенной теорией оболочек, функционалы которой содержат только первые производные от перемещений, является теория оболочек и пластин типа Тимошенко (или Рейс-нера). В работе Р.Б. Рикардса [162] (1988 г.) на базе теории Тимошенко построены КЭ оболочек вращения и оболочек произвольной формы, лишенные недостатков классической теории.

Анализ имеющейся литературы дает возможность сделать вывод, что в настоящее время не построены КЭ для сочлененных оболочечных конструкций» когда отдельные элементы описываются различными математическими моделями (классическая теория, теория типа Тимошенко, трехмерная теория, теория стержней Кирхгофа-Клебша и др.). Построение такой теории, возможно только исходя из вариационных принципов. Вариационные формулировки создают предпосылки для развития прямых аналитических и численных методов. Созрела необходимость построения комбинированных, математических моделей контактных задач теории пластин и оболочек.

2°. Пространственные конструкции, элементы которых подчиняются гипотезам Кирхгофа - Лява, типа Тимошенко. Как было отмечено в предыдущем пункте, численный анализ позволил рассмотреть сложные задачи со пряжения оболочечных конструкций. В литературе имеются решения в рамках мате матических моделей теории оболочек, использующих гипотезы Кирхгофа-Лява.

Особенно интенсивно сочлененные конструкции стали рассчитываться за последние годы, в основном, рассмотрены соединения замкнутых цилиндрических оболочек с круглыми пластинками (работа Н.И. Фоминой [174]), соединение двух цилиндрических оболочек под прямым углом, (А.Л.Козак, Донг Хну Кун, Нгуен Ши Чан [80]), с конусом [67], с многослойным днищем [172]. В основном, вышеназванные конструкции рассчитывались методом конечных элементов.

В работе [239] Pierre Ladeveze дается обзор современного состояния вычислительной строительной механики и перспективы ее дальнейшего развития. Проанализировано более 180 публикаций в западных журналах. Выделяется, как перспективное, создание композитных сочлененных структур. Указываются преимущества, и недостатки. Группа исследователей из Казанского государственного университета создала комплекс программ по расчету тонкостенных конструкций как трехмерных тел [51] (1989 г.). Анализ НДС проводится совокупностью экспериментальных методов поляризационно -оптический, электротензометрия, голографическая интерферометрия) и МКЭ. Использовался искривленный конечный элемент оболочки, построенный на основе трехмерных уравнений теории упругости. Данный элемент, характеризующийся введением специальных кинематических гипотез типа Тимошенко, позволяет получить достоверные результаты, как для тонких оболочек, так и для конструкций средней толщины.

Сопряжению цилиндрических оболочек под прямым углом, обладаю щих малой сдвиговой жесткостью, посвящена работа И.Г.Стрельченко [170]. Отмечается, что при рассмотрении сопрягаемых оболочек в рамках кинематической модели Кирхгофа-Лява требуется восемь условий статического сопряжения, а для модели типа Тимошенко число условий статического сопряжения увеличивается.

В заключение данного параграфа следует выделить целый цикл работ В.Н.Паймушина и его учеников по созданию теории сопряжения элементов конструкций. Основополагающими работами здесь являются [141, 142]. Согласно этим работам тело разделяется на N элементов, через 5(иА) обозначены поверхности сопряжения п- го элемента с k-ым элементом и, в соответствии с контактной формулировкой задачи, на Sfa = S введены в рассмотрение неизвестные реактивные усилия взаимодействия Ц пк). Используется третий закон Ньютона: q nk) = - (fat). Это приводит к формулировке удвоенного числа статических граничных условий, записанных для каждого элемента. Получен обобщенный вариационный принцип Лагранжа [3,156, 171].

Ряд работ В.Н.Паймушина, ЮЛ.Петрушенко [140, 143, 152] посвящен обобщению идей [141, 142] на более сложные задачи; применению обобщенного вариационного принципа Рейснера к построению линеаризованных задач механики; слоистых оболочек сложной геометрии; устойчивости и динамики составных оболочек; многослойных оболочек со слоями переменной толщины.

Анализ литературы показывает, что практически создана теория сочленения элементов конструкций, описываемых классической теорией пластин и оболочек. Интенсивно развивается теория сочленения оболочек, описываемых моделью типа Тимошенко (Рейснера). Но до настоящего времени она еще далека от совершенства.

3°. Комбинированные математические модели контактных задач теории пластин и оболочек. При исследовании НДС составных конструкций, включающих в себя тонкостенные (изотропные, трансверсально-изотропные, анизотропные) и массивные элементы, а также узлы их сопряжения, возникает необходимость в применении комбинированных математических моделей. Литературы данного направления существенно меньше, чем по направлениям,

сформулированным в 2° данного обзора. Вопросам построения и применения таких моделей посвящен ряд работ [143, 269]. В этих работах для описания НДС в одних частях деформированного тела предлагается привлекать уравнение теории упругости, а в других - уравнения классической теории оболочек. В трех работах Я.Г.Савула [60, 164, 165] построены комбинированные математические модели трехмерной теории упругости и теории оболочек типа Тимошенко. Рассмотрены вариационные постановки краевых задач комбинированной модели. Приводится численный пример расчета рамы МКЭ. Построены простейшие КЭ сопряжений.

Развитию конечного элемента Варани (сопряжение тел, описываемых классической теорией оболочек и трехмерной теорией упругости) посвящена работа: Акимкин С.А. , Никишнов Г.П. Сопряжение трехмерных элементов и элементов тонкостенной оболочки для расчета напряженного состояния конструкции сложной формы //Деформация и разрушение материалов и элементов конструкций ядерных энергетических установок М., 1986. СЗ-9.

Анализ имеющейся литературы показывает, что данная проблема еще только начинает развиваться и требует своего развития.

4°. Контактные задачи для неспаянных, многослойных пластин и оболочек. Оценка прочности элементов конструкций, плотности соединений, повреждаемости их внешних слоев требует постановки и решения задач одностороннего механического взаимодействия тонких оболочек с абсолютно жесткими телами (штампами), упрупіми основаниями и оболочками. В отличие от двухстороннего взаимодействия, когда контактирующие тела составляют одно целое, достигается, например, сваркой, при одностороннем взаимодействии реакции связей сохраняют знак или равны нулю. Далее под контактом понимаем только одностороннее взаимодействие, хотя в литературе этот термин часто применяют при решении задач, определения напряженно-деформированного состояния (НДС) лишь мысленно отделяемых друг от друга деталей (оболочки, ребер и т. п.). При одностороннем контакте перемещения ребер и т. п.). При одностороннем контакте перемещения точек соприкасающихся тел подчинены неравенству — условию непроникновения.

Впервые задача о контакте упругих тел, первоначально соприкасающихся в точке, сформулирована и решена Г. Герцем. Развитие техники поставило проблему контактного взаимодействия в ряд актуальных задач современной механики деформируемого твердого тела. Сложность этих задач обусловила большое число подходов и математических методов, используемых при их решении.

Задачи о контактном взаимодействии между тонкими оболочками особенно сложны, поскольку при их решении приходится одновременно опреде і\ лять НДС и зоны контакта двух и более оболочек, в общем случае, различной формы.

Наиболее проста линейная постановка для цилиндрических оболочек разной длины, установленных с натягом. Без учета обжатия, т. е. когда в решение входят сосредоточенные поперечные силы на границе зоны контакта, задача изучена авторами работ [25, 26, 54, 55], где решены дифференциальные либо интегральные уравнения. Обжатие по модели Винклера введено в работе [24], по модели упругого цилиндра и слоя — в [81, 82]. В двух последних работах контактное давление становится бесконечным на границах зон контакта. С помощью теории Тимошенко эта задача исследована в [144]. Решение такой же задачи получено [23] представлением контактного давления в виде суммы про- изведений неизвестных коэффициентов на заданные функции, ортонормиро- ванные на участке контакта. Коэффициенты вычисляются методом наименьших - v. средних квадратов из кинематического условия контакта, граница зоны контак та уточняется итеративным путем. Этот подход позволяет существенно упростить расчеты, поскольку в нем не требуется решать дифференциальные или интегральные уравнения относительно контактного давления, результаты же полностью совпадают с данными [24, 25]. Такой же метод применен в работах [27, 28, 29] для анализа НДС двухслойного сильфона с податливым промежуточным кольцом.

Взаимодействие двух соосных цилиндрических оболочек разной длины с зазором между ними при нагружении внутренним давлением оболочки меньшего радиуса изучено в [178, 230]. Авторы работы [230] сопрягают аналитические решения уравнений равновесия оболочек в зоне контакта и вне ее, получают систЄх\гу уравнений относительно произвольных постоянных, находят осевую координату границы зоны контакта, решая систему трансцендентных уравнений. Сочетание вариацинно-разностного метода с методом штрафной функции применено в [178]. Обжатие в обеих работах не учтено, использованы теории Кирхгофа — Лява, Тимошенко, Рейсснера. Взаимодействие двух сферических оболочек рассмотрено по теории Кирхгофа — Лява в [170], причем обнаружено, что контактная реакция — распределенная по окружности сосредоточенная сила. Решение этой же задачи основано на теории Тимошенко в [152]. На границе зоны контакта получено контактное давление, равное нулю, хотя оно должно было бы принять конечное значение. Контакт двух круглых пластин, установленных с зазором при нагружении одной из них, изучен в [14] с использованием теории Жермен - Лагран-жа - Кирхгофа. На границе зоны контакта обнаружены сосредоточенные сила и момент. Теория Рейсснера позволила получить конечное значение контактного давления на границе [209]. Задача о контакте между двумя прямоугольным пластинам решена вариационно-разностным методом в [59]. Перечисленные исследования исходят из линейной теории оболочек.

Геометрически нелинейная теория оболочек применена в работе [139] для изучения МКЭ контакта между слоями гофрированных мембран. Условия контакта здесь представлены специальными физически нелинейными элементами между узлами слоев, входящими в соприкосновение.

Проблема изучения механического поведения слоистых оболочек с неидеальным сопряжением слоев представляет собой особый класс контактных задач. Для построения теории таких оболочек и методов их расчета обычно используют дискретный подход, заключавшийся в том, что для каждого из слоев записывают полную систему соотношении выбранной теории оболочек и замыкают ее кинематическими и статическими условиями сопряжения слоев (равенствами и неравенствами). Порядок системы дифференциальных уравнений, получаемый таким путем, в N раз больше (N - число слоев) порядка системы для слоя.

В случае если нормальные перемещения и напряжения на соприкасающихся поверхностях слоев совпадают, а касательные напряжения равны нулю, приходим к задаче об оболочке с проскальзывающими без трения слоями. Зоны контакта .при этом известны, что существенно упрощает задачу. В указанной 4Ь постановке решены задачи статики слоистых цилиндрических [37] и сфериче ских [142] оболочек. Метод последовательных приближений, основанный на «принципе поочередной непрерывности», в соответствии, с которым краевые задачи для слоев решаются на каждой итерации независимо, применен в [153, 174] для изучения слоистых цилиндров и цилиндрических оболочек. Задачи о контактном взаимодействии между тонкими пластинками и оболочками сложны, поскольку пр_и их решении приходится одновременно определять НДС и зоны контакта двух и более пластин и оболочек, в общем случае различной формы.

Теоретические предпосылки слоистых оболочечных конструкций были і прореферированы во введении данного обзора и в пункте 2°. Здесь остановим ся лишь на численных решениях слоистых контактных пластинок.

Контакт двух круглых пластин, установленных с зазором при нагружении одной из них, изучен Ю.П.Артюхиным [11] (1973 г.) с использованием теории Кирхгофа. На границе зоны контакта обнаружены сосредоточенные сила и момент. Использование теории типа Тимошенко позволило получить конечное значение контактного давления на границе [25] (1973 г.) решение осесиммет-ричной задачи.

Задача о контакте между двумя прямоугольными пластинками решена вариационно-разностным методом [59]. Данные решения выполнены в геометрически и физически линейной постановке.

Дискретный подход для пластин со слоями Тимошенко реализован в [149] с помощью предложенного авторами матричного метода, приводящего задачу к системе интегральных уравнений относительно контактного давления в неизвестных априори зонах. Здесь учтена возможность появления разрывов областей сопряжения слоев. Наиболее полно разработана дискретная теория в [149]. -XS 5°. Сложные колебания балок, пластин и оболочек. Гибкие пластинки, подверженные интенсивному периодическому воздействию, представляют собой сложную динамическую систему, в которой в зависимости от шевеления (изменения) параметрами воздействия реализуются принципиально различные режимы колебаний. Процесс колебаний может сопровождаться большим разнообразием физических явлений, к которым относятся возникновение сложных резонансов; срыв колебательного режима, приводящий к режиму изменения пространственно-временного состояния: стоячим либо бегущим волнам и др. явлениям например, появлению потери устойчивости по симметричной и несимметричной формам.

І Проблема детерминированности и случайности, предопределенности и непредсказуемости, зародившись много веков назад, продолжает оставаться одной из фундаментальных и острых проблем естествознания.

Широкомасштабные и планомерные исследования взаимосвязи хаоса и порядка ведутся относительно недавно. Они показали, что в поведении сложных нелинейных систем со многими степенями свободы при определенных условиях могут возникать регулярные пространственные и временные структуры [174], названные И. Пригожиным [50, 135, 157, 158] диссипативными. Наряду с этим возможна и обратная картина: из упорядоченного движения рождается хаос. Большой прогресс в концепции временного динамического хаоса достигнут в таких современных отраслях знаний, как физике плазмы [58], гидромеханике [124], электронике и радиофизике [261], в теории управления [158]. В интернете в разделе Bibliography on Stochastic Resonance американским исследователем Gammaitioni сделана подборка статей по указанному наименованию с 1980 по 1998 годы по следующим реферируемым журналам Physics Letters A; Physics Review Е; Optics Letters; Neutral Comput; Journal of Physical chemistig и др. Отмечается рост публикаций с 1996 г., в среднем в год публиковалось до 70 ста-тей. На наш взгляд, это доказывает огромный интерес ученных к данной проблеме. Существенно скромнее успехи достигнуты в биологии [63] и химии Л [175]. В механике деформируемого твердого тела достижения в этом направле нии еще скромнее. В нелинейных задачах теории пластин имеются лишь единичные публикации [244, 245]. Это связано с тем, что здесь приходится рассматривать пространственно-временную систему с бесконечным числом степеней свободы.

Гибкие пластинки, подверженные интенсивному продольному периодическому воздействию, представляют собой сложную пространственно-временную систему, в которой в зависимости от параметров воздействия, граничных и начальных условий реализуются принципиально различные режимы пространственно-временного состояния. В настоящей работе делается попытка рассмотреть некоторые из этих интересных явлений. Остановимся на некоторых моделях и механизмах перехода к турбулентности.

Явление турбулентности известно уже сотни лет, и многие исследователи пытались его изучить. В этом направлении опубликовано большое количество работ, но решить данную проблему почти не удаётся из-за чрезвычайной её сложности. Ниже мы приведём несколько моделей, описывающих переход механической системы к турбулентности. В настоящий момент известны следующие модели: Ландау [123], Рюэля-Тэкенса [262], Фейгенбаума [211], Помо-Манвиля [251]. Эти модели схематически приведены в табл. 0.1. Очень коротко опишем её.

Первоначально картина возникновения турбулентности, представленная Ландау [123], была основана на представлении об иерархии неустойчивости. При увеличении некоторого параметра, например, числа Реинольдса, или числа Рэлея нелинейные колебания жидкости теряют устойчивость, и появляются всё новые и новые независимые частоты движения со сог,соъ, При этом должно наблюдаться квазипериодическое движение с одной, двумя, тре.мя и т.д. основными частотами. Таким образом, мы приходим к последовательности бифуркаций. Андронова-Хопфа, т.е. к движению по поверхности некоторого тора возрастающей размерности. Движение выглядит всё более и более сложным,однако непрерывный спектр и хаотическое движение возникают лишь при бесконечном числе бифуркаций. Модель Ландау предложена для бесконечномерной модели. Модели же Рюэля-Тэкенса, Фейгенбаума и Помо-Манвиля связаны с конечномерными моделями.

Рюэль и Такенс [262] предложили другой механизм возникновения турбулентности, согласно которому сначала происходит две последовательные бифуркации Хопфа, как и в модели Ландау, затем нелинейность разрушает трёхчастотное движение и образуется «странный» аттрактор (табл. 0.1).

Некоторые экспериментальные данные, по видимому, подтверждают модель Рюэля-Тэкенса. Так, в спектрах мощности появляется сначала одна, затем вторая и, возможно, третья независимые частоты. На пороге появления третьей частоты внезапно возникает широкополосный шум, который свидетельствует о переходе к хаотическому движению. Экспериментально исследовались как вихри Тейлора в жидкости между вращающимися цилиндрами [212], так и конвекция Рэлея-Бенара [183]. Здесь обнаружена внутренняя синхронизация между частотами со х и со 2. В другом эксперименте по течению Куэтта [227] наблюдались, по крайней мере, четыре независимые частоты. Это указывает на то, что переход к турбулентности происходит не всегда после двух бифуркаций Андронова-Хопфа.

Третья модель перехода к турбулентности, предложенная Фейгенбаумом, связана с последовательностью бифуркаций удвоения периода [211]. Переход начинается с бифуркации Андронова-Хопфа из устойчивого фокуса в предельный цикл с частотой со l. При дальнейшем увеличении параметра происходят последовательные бифуркации удвоения, приводящие к периодическому движению с частотами со Vy со v, со v и т.д. Эта последовательность сходится при некотором критическом значении параметра, при котором возникает странный аттрактор (см. табл. 0.1).

Модель Фейгенбаума хорошо подтверждается численными эксперимен тами на простых моделях, таких, как аттрактор Рёслера, отображение Хенона, уравнение Дюффинга и др.

Четвёртый механизм возникновения турбулентности, лежащий в основе модели Помо-Манвиля [251] и связанный с переходом к хаотическому движению с перемежаемостью. В этой модели при увеличении некоторого параметра периодическая траектория непосредственно превращается в хаотическую с перемежаемостью в результате обратной тангенциальной бифуркации.

Численное моделирование квадратичного отображения подтверждает такое поведение. Оно существует и для модели Лоренца в некотором интервале параметров, в конвекции Рэлея-Бекара и так называемой химической турбулентности [259].

Следует отметить, что единого механизма перехода к турбулентности в настоящее время ле существует, тем более в задачах теории пластин и оболочек. Все модели описывают только возникновение турбулентности и ничего не говорят о. свойствах развитой турбулентности. Попытаемся описать сценарий перехода к хаосу и особенности некоторых систем в развитом хаосе на примере гибких пластинок.

В последние два десятилетия появился ряд публикаций, в которых авторы выясняли условия возникновения хаотических реакций в строительных конструкциях под влиянием тех или иных внешних воздействий. Целью этих работ было также установление типичных сценариев перехода от регулярных движений к хаотическим.

Общей трактовке указанных вопросов, посвящена, например, монография Капитаника [231], ориентированная на инженеров - практиков. Обзор результатов проведенных в 1980-е годы исследований свойств переходных процессов в колебаниях нелинейных систем опубликовал Капитаник в [234]. Построены отображения Пуанкаре и типы фазовых траекторий с различными вариантами неустойчивости. Хаотические эффекты сопоставляются с расчетными характеристиками нелинейности системы. В его же работе [232] проведен анализ усло вий перехода к хаотическому поведению в автономной самовозбуждающейся системе под действием периодического и случайного внешнего возмущения. Определены фазовые траектории с одной и двумя петлями и условия перехода к хаотическим фазовым траекториям. Хан, Жанг и Янг [222] рассматривали хаотические вынужденные колебания динамической системы второго порядка с квадратичной и кубической нелинейностями. Определялись условия возникно вения хаоса по отображениям Пуанкаре, фазовым портретам и временным рядам.

В 1979 году Холмс [225] подробно исследовал хаотические движения слегка выпученного стержня, подвергающегося боковому синусоидальному возмущению, как системы с одной степенью свободы. Мун [253] установил, что гармонически вынужденное движение выгнутого стержня отчетливо демонстрирует хаотический характер: анализ сечений Пуанкаре показывает сложную, но устойчивую структуру. В работе предложен критерий установления порогового для возникновения хаоса значения амплитуды вынужденных колебаний как функции частоты. Тенг и Доуэлл [266] определили пороговое значение нагрузки, вызывающие хаотическое перемещение выгнутого стального консольного стержня, на основе анализа временного ряда. Поддар, Мун и Мухерджи [257] усовершенствовали расчетную модель шарнирно закрепленного упруго-пластического стержня с учетом геометрической и физической нелинейности. Развита численная процедура определения хаотических движений стержня при периодическом нагружении.

Хаотическим колебаниям деформируемых систем посвящен доклад Хана-гуда и Ашлани [223]. В частности, в нем для стержневых систем выбраны разные пути перехода к хаосу в колебательных процессах. А.С. Беломытцев и В.И. Карабан [19] для систем, моделирующих крутильные колебания силовых передач, обнаружили область странного аттрактора, возникающую в результате серии бифуркаций удвоения периода решения. Изучены квазипериодические колебания периодически возбуждаемой системы и многорежимные; периодические колебания. Хан, Ху и Янг [221] рассматривали стойку с жестко защемленными концами, к одному из которых динамически приложена сжимающая сила. Выявлены условия бифуркации форм движения: боковое выпучивание или осевые колебания прямолинейного стержня.

В 1985 г. Саймондс и Ю [264] теоретически обнаружили и экспериментально подтвердили, что при определенных условиях в колебаниях упруго пластической балки с закрепленными концами, нагруженной коротким поперечным импульсом, наблюдается аномально высокая чувствительность к изменению ведущих параметров. Детально изучая этот эффект, Ли, Саймондс и Бо-рино [241] нашли, что если в начальный период нагружения балки движение неизбежно носит хаотический характер, то и переходящий хаос регастрируется как во временном ряде, так и на фазовом портрете и спектрограмме. Установлена также экспоненциальная природа повышения чувствительности процесса к изменениям параметров. В серии статей, опубликованных Ю. Лепиком, эти наблюдения были продолжены и расширены. Например, в [245] анализируются нелинейные поперечные колебания выпученной при продольном сжатии балки под действием гармонического возбуждения. Дана оценка пороговой величины поперечной динамической нагрузки, при которой колебания упруго - пластической балки не переходят в хаотический режим. При этом оказалось, что для балок указанного типа установившиеся хаотические колебания в случае гармонического возбуждения гораздо более обычны, чем при импульсном нагружении.

Бифуркационные механизмы перехода к хаосу в сложных колебаниях балок под действием квазипериодического нагружения проанализированы в статье Ягасаки [277]. Абхьянкар, Холл и Ханагуд [183] предложили новый метод численного решения дифференциальных уравнений в частных производных, на основе которого провели компьютерные эксперименты для выявления закономерностей перехода к хаосу в колебаниях балочных структур. Иосимура, Хино, Камата и Анантанараяна [279] описали хаотические колебания шарнирно закрепленной балки переменного поперечного сечения под действием транспортной нагрузки. Жанг, Цай и Янг [280] решили задачу по выявлению условий возникновения хаотических вынужденных колебаний бесконечной деформируемой балки, лежащей на упругом нелинейном основании. Сложным колебаниям консервативных и диссипативных механических систем в виде многослойного пакета неспаянных балок посвящена работа В.А. Крысько, В.В. Боч-карева и Т.А. Бочкаревой [107]. Оказалось, что хаотические колебания в собст венном смысле здесь не возникают, хотя и наблюдаются элементы переходного сценария Фейгенбаума.

Баженов В.А., Дехтерюк Е.С. и Петрина Ю. С. [18] численно исследовали бифуркации установившихся режимов вынужденных колебаний пластин и оболочек под действием периодических во времени нагрузок. Отмечен переход от регулярных (периодических и квазипериодических) колебаний к хаотическим. В работе [246] Ю. Лепик пытался выяснить возможность хаотических реакций в осесимметричных колебаниях упруго - пластических цилиндрических оболочек. В большинстве проведенных компьютерных экспериментов установившиеся колебания имели регулярный характер. Хан, Ху и Янг [220] провели анализ нелинейных колебаний упругой цилиндрической оболочки вращения, и нашли критические условия возникновения хаотического движения. Маэстрелло, Френди и Браун [248] изучали нелинейные колебания типовой панели фюзеляжа самолета. Для выбранного диапазона частот найдены линейные, квазилинейные при удвоении периода колебаний и хаотические динамические реакции панели при увеличении уровня акустического движения звуковой нагрузки.

Возникает необходимость изучения задач со многими степенями свободы. Хаотические движения для вынужденно изогнутой балки исследовались Тангом и Давелом [266] . В [174] изучались упругие хаотические колебания в изогнутых балках. Балка предполагалась начально-сжатой осевой нагрузкой и затем зафиксированной в сжатом состоянии. Колебания вызывались поперечной периодической нагрузкой или колебанием опор. Уравнения движения решались двумя методами: Бубнова - Галеркина и конечных разностей. Хаотический режим балки был установлен по фазовому изображению и по каскаду удвоений периода.

Исследованию нелинейных упруго-пластических колебаний изогнутых балок был посвящен ряд статей Симондса и его коллег [242, 264] . В 1985 году они рассмотрели следующий вопрос: балка с закрепленными концами подвер галась короткому интенсивному импульсу поперечной нагрузки, который производит пластический прогиб. Поскольку концы балки закреплены, то мембранные усилия должны также быть приняты в расчет. Решая уравнения движения, они нашли, что остаточные прогибы могут быть в направлении противоположном нагрузке. Это явление они назвали «аномальным» или «противоестественным» поведением балки.

В случае «противоестественного» поведения возникает вопрос: может ли быть реакция балки хаотической. Ли и Симондс [242] показали, что в случае модели с одной степенью свободы движение полностью определено, и там не может быть никаких хаотических колебаний. Что касается балки с двумя степенями свободы, то из исследования Симондса вытекает, что хаотические эффекты могут иметь место [241].

Динамическая реакция сплошных упруго-пластических балок при коротких импульсных„нагружениях была рассмотрена Лепиком [245, 246, 247]. В этих статьях уравнения движения интегрировались конечно-разностным методом или методом Бубнова, было установлено «противоестественное» поведение и хаотическая реакция балок.

В [244] упруго-пластические колебания изогнутой балки исследуются с помощью метода Бубнова. Показано, что широко распространенное предположение, что мембранная сила постоянна вдоль балки, может дать неправдоподобное решение даже в случае упругих деформаций. На основе вычислений для различных значений параметров балки, материала и нагрузки сделан вывод, что хаотические колебания в случае гармонического возбуждения более обычны, чем для балок под импульсной нагрузкой.

Осесимметричные колебания упругих и упруго-пластических оболочек исследовались в нескольких статьях. Большинство из них посвящено динамическому выпучиванию под осевыми нагрузками или осевому удару массы по оболочке. В работе Флоранса и Гудьера [213] рассматривалось пластичное динамическое выпучивание цилиндрических оболочек под осевыми нагрузками.

Решение упрощается предположением, что оно разделяется на доминирующее движение и движение возмущенного типа. Применяется уравнение Прандтля -Рейсса; делается предположение, что в течение реакции не происходит упругое разгружение. В [182] представлены результаты для динамического поступательного выпучивания круговых трубок под осевым толчком. Для того чтобы исследовать динамический продольный изгиб цилиндрических оболочек, было разработано несколько численных схем (например, статья Морино и соавторов [254]). В статье [241], для интегрирования уравнений движения был предложен метод Бубнова, метод применим для произвольного числа степеней свободы; осевые силы инерции также принимаются во внимание. Составляющие уравнения основаны на теории Прандтля-Рейсса, рассматриваются упругое разгружение и обратное пластичное нагружение. Даются некоторые численные примеры и обсуждаются возможности хаотических колебаний.

Изучению явлений хаоса при колебаниях балок с различными краевыми условиями посвящен ряд работ. В [80, 255, 266] исследовались нелинейные поперечные- или продольные колебания балок, подверженных периодическому поперечному или продольному воздействию. Хаотические явления при колебаниях балки [96] были обусловлены нелинейностью краевых условий. Во всех перечисленных работах рассматривались однослойные балки.

В [18] приводятся результаты численного исследования нелинейных установившихся колебаний шарнирно-опертой квадратной в плане пластины при действии равномерно распределенного нормального давления, интенсивность, которого меняется во времени по гармоническому закону. Методом конечных элементов краевая задача сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Установлено, что при переходе к хаотическим колебаниям реализуется серия бифуркаций удвоения периода.

Сценарий перехода диссипативных систем при воздействии на них гармонических нагрузок в различных отраслях современной науки, таких как радиофизика, радиоэлектроника, гидромеханика описан достаточно подробно в работах П. Берже, Н. Помо, К. Видаля [20]; А.С. Дмитриева, В.Я. Кислова [58]; Ю.И. Неймарка и П.С. Ланда [134]; А. Лихтенберга и К. Либермана [126], Ф. Муна [143] и др. Задачи же теории пластин существенно отличаются от задач, приведенных в указанных книгах, т.к. здесь мы по сути дела имеем многомерные системы: две пространственные координаты и время, и приходится рассматривать колебание системы с бесконечным числом степеней свободы во времени. В настоящей работе мы попытаемся описать сценарий перехода к пространственно-временному хаосу и особенности некоторых систем в развитом хаосе на примере гибких пластинок. Изучению сложных колебаний изотропных пластин при действии поперечных периодических нагрузок посвящена кандидатская диссертация Салий Е.В. [166] , выполненная под руководством профессора Крысько В. А.

6°. Вейелет - преобразования. Термин «вейвлет» (дословный перевод -маленькая волна) появился сравнительно недавно - его ввели Гросс ман и Мор-ле [219] в середине 80-ых годов в связи с анализом свойств сейсмических и акустических сигналов. В настоящее время семейство анализаторов, названных вейвлетами, начинает широко применяться в задачах распознавания образов; при обработке и синтезе сигналов (например, речевых); при анализе изображений различной природы (изображение радужной оболочки глаза, рентгенограмма почки, спутниковые изображения облаков или поверхности планеты, снимок минерала и т.п.); для изучения свойств турбулентных полей; для решения уравнений; для свертки (упаковки) больших объемов информации и во многих других случаях.

Вейвлет-преобразования одномерного временного сигнала состоит в разложении его по базису, сконструированному из обладающей определенными свойствами солитоноподобной функции (вейвлета) посредством ее масштабных преобразований и переносов. Каждая из функций базиса характеризует как частоту, так и ее локализацию во времени. Таким образом, вейвлет-преобразования обеспечивает двумерную развертку сигнала, при этом частота и время рассмат риваются как независимые переменные. В результате появляется возможность анализировать свойства сигнала одновременно во временном и в частотном пространстве.

Сказанное обобщается на неодномерные сигналы (или функции). Область использования вейвлетов не ограничивается анализом свойств сигналов и полей различной природы, полученных численно, в эксперименте или при наблюдениях. Вейвлеты начинают применяться и для численного моделирования - как иерархический базис, хорошо приспособленный для описания динамики нелинейных процессов, характеризующихся взаимодействиями в широких диапазонах пространственных и временных масштабов. Вейвлет-анализ оказывается очень удобным инструментом для изучения существенно неоднородных процессов, поскольку элементы его базиса хорошо локализованы и обладают подвижным частотно-временным окном.

Далеко не случайно многие исследователи называют вейвлет-анализ «математическим микроскопом» - название прекрасно отражает замечательное свойство метода сохранять хорошее разрешение на разных масштабах. Способность этого «микроскопа» обнаружить внутреннюю структуру исследуемого объекта и изучить его локальные скейлинговые свойства уже продемонстрирована на многих примерах.

Например, на таких классических, как фрактальные функции Вейершт-расса и вероятностные меры канторовских рядов. Применение вейвлет-анализа к турбулентному полю скорости в ветровом туннеле при больших числах Рей-нольдса дало наглядное подтверждение наличие каскада Ричардсона. Показано сходство энергетического каскадного процесса со структурой мультифракталь-ных неоднородных канторовских рядов. Еще более эффективным оказалось применение вейвлет-анализа к мультифрактальным инвариантным мерам некоторых хорошо известных динамических систем, моделирующих наблюдаемые в диссипативных системах ситуации перехода к хаосу.

Таким образом, вейвлеты могут с успехом применяться для решения различных проблем. В настоящей работе излагаются сведения из теории вейвлетов и их применения для анализа сложных параметрических колебаний гибких пластин.

В первом разделе проводится аналогия между рядами Фурье и разложением в ряды по вейвлетам, определяется вейвлет-преобразование, описываются его свойства и некоторые следствия из них; материал основан, главным образом, на сборниках и монографиях [273, 274, 275] и прекрасных работах Ингрид Добечи [207, 208] и Мари Фарж [210]. Во втором разделе приводятся результаты применения вейвлет-преобразований к исследованию хаотических колебаний гибких пластин при продольных знакопеременных нагрузках.

В завершении обзора заметим, что проблема дискретно-структурной теории (метод декомпозиции) далек от своего завершения, особенно это, касается динамических задач для деформируемых конструкций, подвергающихся воздействию различных нагрузок.

Проведенный информационный анализ показал актуальность и необходимость исследования следующих проблем:

1. Построение математических моделей пространственных контактных задач теории пластин и оболочек в рамках однотипных и комбинированных моделей.

2. Изучение статических и эволюционных контактных задач теории многослойных неспаянных пластин, исследования их сложного колебания и НДС.

3. Не исследована динамика многослойных неспаянных пластин при действии продольных и поперечных знакопеременных нагрузок, не выявлены особенности их работы, не сделана классификация динамических задач теории многослойных неспаянных пластин и оболочек.

4. Не изучены статические и динамические задачи теории многослойных неспаянных пластин с учетом физической нелинейности и разномодульности материала конструкции.

5. Изучение хаоса в теории гибких изотропных и ортотропных пластинок, его структуры, сценариев развития, а также поиску новых периодических решений, их бифуркациям, в том числе жесткой потери устойчивости изучены недостаточно. Качественное и количественное сопоставление решений полученных различными методами (конечных разностей с аппроксимацией О (h2) и 9(/z4)), методом Бубнова в высших приближениях, методами типа Власова Канторовича (все имеющиеся его модификации), вейвлет-преобразования и преобразования Фурье.

Цель работы. Построение математических моделей пространственных контактных задач теории пластин и оболочек на базе вариационного метода в рамках однотипных и комбинированных моделей, а также построение комбинированных математических моделей для контактных задач теории неспаянных пластин, произвольных в плане пластин, переменной толщины, с учетом физической нелинейности и разномодульности материала. Создание нового класса задач теории пластин: консервативно-диссепативных. Разработка, обоснование и доказательство сходимости итерационных алгоритмов по численному решению поставленных задач. Изучение хаоса в теории однослойных пластинок, новых периодических решений, их бифуркаций и др.

Научная новизна. Настоящую работу можно квалифицировать как новое крупное научное достижение - компьютерная динамика пластин, которая сейчас выделяется в отдельную область науки, устанавливаются общие закономерности движения пластинчатых конструкций при помощи ряда численных методов и алгоритмов и программных комплексов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) разработана единая методика, на базе метода множителей Лагранжа, получения условий сопряжения пластинчатых и оболочечных элементов в пространственных конструкциях, с учетом конечной площади зоны контакта, при этом для описания условий равновесия элементов конструкций могут быть применены произвольные гипотезы;

2) впервые дается новая классификация эволюционных задач теории неспаянных многослойных пластин - консервативно-диссипативные системы — когда один элемент рассматривают без учета диссипации, а другой - с ее учетом;

3) для стационарных задач разработаны новые итерационные алгоритмы с использованием метода вариационных итераций и доказана их сходимость для контактных задач теории многослойных неспаянных пластин с учетом обобщенных гипотез Винклера, созданы комплексы программ их расчета;

4) созданные комплексы программ для ПВМ позволили получить новые количественные данные о НДС, контактирующих пластинках в рамках обобщенных гипотез Винклера с учетом физической нелинейности и разномодуль-ности материала;

5) дается дальнейшее развитие метода коллокаций, предложены новые его модификации на основе восьми вариантов метода Канторовича-Власова (метод решетчатой коллокаций, граничной коллокаций и смешанной коллокаций);

6) исследуются сценарии перехода гармонических колебаний гибких пластин в состояние пространственно-временного хаоса. Выявлены новые эффекты при таком переходе механических систем (предкризис, послекризис и др.);

7) предложен новый динамический критерий потери устойчивости пластин при действии продольных нагрузок, заключающийся в том ,что перед жесткой бифуркацией следует серия мягких бифуркаций;

8) впервые для анализа параметрических колебаний гибких пластин применяется вейвлет - анализ;

9) с помощью процедуры Бубнова на примере параметрических колебаний гибких пластин выявлены сценарии перехода колебаний из гармонических в хаотические в зависимости от числа мод.

Достоверность результатов. С одной стороны обеспечивается их полным соответствиям основным уравнениям термодинамики для конечных объемов сплошной среды, вариационными принципами, а с другой гарантируется рядом теорем и проведением численного эксперимента различными методами (метод конечных разностей О (h2), 0{hA), Бубнова в высших приближениях, Канторовича - Власова и его восьмью модификациями , быстрого преобразования Фурье, вейвлет - анализа, методами компьютерной динамики.

Практическая ценность полученных результатов заключается в использовании, при проектировании и оценке качества новых деформируемых конструкций, построение корректных моделей оболочечных конструкций, оболочек и алгоритмов. Некоторые из разработанных моделей многослойных неспаянных пластин, параметрических колебаний гибких изотропных и орто-тропных пластинок внедрены в расчетную практику НПЦ «Алмаз-Фазатрон», соответствующий документ прилагается к диссертации. Кроме того, результаты работы используются: в учебном процессе при чтении авторского спецкурса (Опубликовано учебное пособие по данной тематике [98]

Апробация работы Основные теоретические и практические результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международных, Всесоюзных и Всероссийских научно - технических конференциях: Ш Всесоюзной конференции «Механика неоднородных структур» (Львов, 1991, Украина); Ш Всесоюзном симпозиуме «Устойчивость и пластичность в механике де-формируемого твердого тела» (Тверь, 1992, Россия); XVI symposium «Vibrations in physical systems» (Poznan, BlazeJevvko, 1994, Poland); The 3-d conference on dynamical systems «Theory and applications» (Lodz, 1995, Poland); III Международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 1995, Россия); The 4h Conference «Dynamical Systemsheory and Applications» (Lodz, 1997, Poland); Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1997, Россия); XVII Международной конференции по теории оболочек и пла стин (Саратов, 1997, Россия); VII Четаевской конференции (Казань, 1997, Россия); The 2-nd Belorussian Congress on Theoretical and Applied Mechanics, Me-chanics-99 (Minsk, 1999, Belorussia); The 5h Conference «Dynamical Systems heory and Applications» (Lodz, 1999,Poland); XIX Международной конференции по теории оболочек и пластин (Н. Новгород, 1999, Россия); Международной конференции, посвященной 100-летию профессора Х.М. Муштари, 90-летию профессора К.З. Галимова и 80-летию профессора М.С. Корнишина «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 2000, Россия); I Международной конференции по нелинейной динамике механических и биологических систем (Саратов, 2000, Россия); Fourth International Colloquium on Computation of Shell & Spatial Structures, IASS-IACM 2000 (Chania-Crete, 2000, Greece); Chaos Control and Times Series (San-Paulo, 2000, Brasil); The Third International Conference on Thin-Walled Structures (Cracow, 2001, Poland); VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001,Россия); European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference 2001 (2001, Swansea, Wales, UK); The Seventh PAN American Congress of Applied Mechanics, РАСАМ VII (Temuco, 2002, Chile); Зимней школе по механике сплошных сред (тринадцатой) (Пермь, 2003, Россия); 13-й межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2003, Россия). Подтверждением этих выступлений являются тезисы докладов, опубликованные в трудах этих конференций.

В целом работа докладывалась на научном семинаре кафедры «Теоретическая механика» ОПТУ под руководством профессора Ю.В. Чеботаревского (Саратов, 2003).

На защиту выносятся:

1) методика построения, на базе множителей Лагранжа, замкнутых математических моделей контактирующих пластин и оболочек, описываемых в рамках одинаковых и различных статических и кинематических гипотез с учетом ширины зоны контакта;

2) постановка и методика численного решения, на базе итерационного метода и метода вариационных итераций контактных задач для пластин переменной толщины, различного рода нелинеиностеи и произвольного плана в рамках гипотез Винклера;

3) обоснование сходимости итерационных алгоритмов;

4) результаты численных экспериментов;

5) новая классификация эволюционных задач теории многослойных неспаянных пластин; сценарии развития стохастических параметрических колебаний гибких изотропных и ортотропных пластин; новый динамический критерий потери устойчивости пластин при продольных воздействиях;

6) результаты численного эксперимента по исследованию динамических задач теории гибких пластин, полученных методами конечных разностей с аппроксимацией 0(h2) и 0(h4), методом Бубнова в высших приближениях и анализ периодических и хаотических колебаний пластин, полученных с помощью вейвлет - преобразования.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 35 работ [15, 62, 76, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 95, 98, 99, 100, 101, 106, 113, 114, 115, 117, 167, 168, 187, 191, 192, 193, 194, 195, 197, 198, 228, 229, 238,], в том числе 2 монографии [86, 106] и разделы в книгах [228, 229], вышедших в издательстве Naukowo - Techniczne Warszawa (2001г.), «Springen (2003г.).

Личный вклад соискателя. В работах с соавторами соискателю принадлежит ведущая роль в постановке задач, объяснении и интерпретации рассматриваемых моделей и явлений. Соискатель непосредственно участвовал в проведении численного эксперимента.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и списка используемой литературы, содержащего 280 наименова 35 ний. Диссертация содержит 346 страниц текста, включая 9 таблиц и 176 рисунков.

Диссертационная работа выполнена на кафедре «Теоретической механики» Саратовского государственного технического университета в рамках основного научного направления 01В «Математическое моделирование в естественных науках», по проблеме 01В2 «Разработка методов математического моделирования эволюционных процессов в математическігх системах» и часть диссертационной работы выполнялась в рамках гранта Министерства образования РФ в области фундаментальных исследований (грант 97-0-4.3-160)

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе разработана единая методика на базе метода множителей Лагранжа по получению условий сопряжения для контактирующих пластин и оболочек, описываемых в рамках единых и различных статических и кинематических гипотез Кирхгофа, типа Тимошенко и трехмерной теории упругости с учетом конечной по площади зоны контакта. Для комбинированных моделей пространственных пластинчатых конструкций приведены условия сопряжения, с учетом конечности зоны контакта.

Во второй главе исследованы различные проекционные схемы сведения многомерных задач теории пластинок к одномерным: методы типа Канторовича-Власова (8 вариантов). Произведена их численная реализация. Выбран наиболее эффективный метод - метод вариационных итераций. Построены итерационные процедуры решения контактных задач теории неспаянных многослойных пластинок (комбинированные модели, когда отдельные элементы (слои) могут подчиняться различным кинематическим моделям). Сформулированы и доказаны теоремы о сходимости предложенных итерационных алгоритмов контактных задач теории пластинок с постоянной зоной контакта. Проведен численный эксперимент о НДС неспаянных двухслойных пластинок с учетом конструктивной, физической нелинейностей и разномодульности материала пластинки в зависимости от граничных условий, велігчиньї зазора между пластин ками. Исследована динамика указанных конструкций в зависимости от частоты и амплитуды внешнего воздействия. Алгоритм расчета построен на базе метода конечных разностей О (h2) по пространственным переменным и метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Дается новая классификация эволюционных задач неспаянных многослойных пластинок, и исследуются сценарии перехода к хаосу двухслойных неспаянных пластинок в зависимости от граничных условий, величины зазора между пластинками, частоты и амплитуды внешнего воздействия.

Третья глава посвящена исследованию колебаний гибких ортотропных пластинок, под действием продольных ударных нагрузок, исследованию сценария перехода к жесткой потери устойчивости через серию бифуркаций Андро-нова-Хопфа, вычислению константы Фегенбаума.

Четвертая глава посвящена исследованию параметрических колебаний гибких изотропных пластинок при действии знакопеременных нагрузок. Изучался сценарий перехода параметрических колебаний в хаотические для дисси-пативных систем. Исследованы симметричные и несимметричные колебания, стоячие волны, исследовано влияние на сценарии перехода системы в хаос начальной амплитуды возмущения, коэффициента демпфирования, граничных условий.

Пятая глава посвящена изучению механических систем со многими степенями свободы методом Бубнова. Изучается характер колебаний гибких пластинок в зависимости от числа степеней свободы. Метод Бубнова имеет то преимущество, что сводит бесконечномерную задачу к конечномерной.

В шестой главе впервые для исследования стохастических колебаний гибких пластинок применяется вейвлет - преобразования, которые позволяют исследовать эволюцию частот во времени.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному консультанту, профессору Чеботаревскому Ю.В, за постоянное внимание к работе.

Вариационный принцип и краевые задачи для пространственной пластинчатой конструкции на базе гипотез Кирхгофа

Недостатки: необходимость выбора полной координатной системы функций; зависимость точности получаемого решения от числа уравнений в системе аппроксимирующих уравнений (число таких уравнений 2N), т. е. по сравнению с МКВ число уравнений возрастает в 2 раза.

Достоинства: те же, что и в МКВ, плюс возможность получать симметричное решение по всем переменным, если ожидаемое точное решение обладает такой симметрией. 3. Метод вариационных итераций [74] (МВИ) Этот метод представляет собой модификацию метода МКВ. Согласно МВИ решение системы (2.1.1) ищем в виде (2.1.2), где функции ф,(х) и \\f,(y) определяются из системы уравнений: следующим образом: задается некоторая система N функций по одной из переменных, например, (р(х) (j=l,2,...N). И далее из системы (2.1.6) определяется система функций ці(у) 0=1,2,...N), полученные функции подставляются в систему (2.1.7) и определяется новый набор по переменной х-ц { \х). С помощью данного набора из системы (2.1.6) определяют новые функции по переменной у-\\і{р(у) и т. д. Обрывая процесс нахождения функций фу(х) и 104 fj(y) на к-м шаге, составим функцию: ин=%гікЛхМк)ІУ), (2.1.8) которая и принимается за приближенное решение уравнения (2.1.1), полученное по МВИ. Недостатки: зависимость точности получаемого приближенного ре шения от числа членов ряда в представлении (2.1.2).

Достоинства: при реализации процедуры по МВИ нет необходимости в построении начального приближения, удовлетворяющего, например, краевым условиям поставленной задачи; достижение симметрии у приближенного решения, если таковая присуща точному решению исследуемой задачи; при ограниченном числе членов ряда в представлении приближенного решения добиться максимально возможной точности. 4. Метод Аграновского-Баглая-Смирнова [4,16] (МАБС).

Метод вариационных итераций МВИ в первом приближении совпадает с получением першого члена ряда, в методе, который был предложен и обоснован в работах М.Л. Аграновского, Р.Д. Баглая, К.К. Смирнова. Формальная схема МАБС заключается в следующем:

Решение уравнения (2.1.1) ищем, как в МВИ, в первом приближении (N=1) в виде: Щ= р\к-Х\х)у,[к\у). (2.1.9) Составим новое уравнение следующего вида: А и (х,у) = q(x,y) -Ащ (х,у), (2.1.10) то есть в уравнении (2.1.1) изменили правую часть. Уравнение (2.1.10) вновь решаем с помощью (МВИ) в первом приближении, в результате получим: u2(x,y) = cptl\x)Vik\y). (2.1.10 ) Вновь строим новое уравнение вида: А и (х,у) = q(x,y) - Ащ (х,у) - Аи2 (х,у) и применяем к нему (МВИ) в первом приближении и т.д. Окончательно за исходное решение принимается следующий ряд:

Недостатки: невозможность использования данного метода для решения класса задач, если, например, у прямоугольной пластинки вдоль какой-либо границы меняются краевые условия.

Достоинства: аналогичны тем, что имеем (МВИ). Следует добавить, что для каждой сформированной правой части уравнения вида (2.1.10) достаточно применить (МВИ) только в первом приближении, что в свою очередь, приводит к итоговым алгебраическим системам малой размерности. 5. Комбинированный метод (МК ) представляющий собой сочетание методов (МВ+МАБС+МВИ). Согласно этому методу приближенное решение ищем в виде: и(к)(х,у) = р{к\х) И _1)О0 + "( _1)( ) v(k)(y), (2.1.12) где у/0{у) и и(х) полагаем известными функциями, $1)(х) и v(I) (у) - искомые, определяемые из систем проекционных уравнений (2.1.5). Однако, если в методе MB найденные функции ф(1)(3с) и v(1) (у) считались окончательными, то теперь они принимаются за известные, а определяются новые функции )у/ 2){у) и u 2) (х) и т. д., пока погрешность между и(к){х,у) и и к 1){х,у) не будет меньше заданной величины. Ищем решение следующего уравнения Аи2(х,у) = q(x,y) -Ащ(х,у) (2.1.13) описанным выше способом, то есть: и2(х,у) = р? W?_1)O0 + »tl) (Фік)ІУ) Если погрешность между щ и (щ + и ) меньше заданной величины, то процесс останавливается, если нет, то строим уравнение: А иъ (х,у) = q(x,y) -Ащ {х,у) - А и2 (х,у) и определяем и3 (Х У) и Т-Д- За окончательное решение уравнения (2.1.1) принимается ряд Достоинства: все достоинства MB и МАБС плюс к этому: оказывается возможным использовать его для более широкого класса задач, например, для прямоугольньк пластин, у которых вдоль контура меняются краевые условия. 6 . Метод Канторовича-Власова с невязкой (МКВ + невязка) Сущность этого метода заключается в том, что к методу Канторовича-Власова (МКВ) -применятся процедура метода Аграновского — Баглая -Смирнова, но без процедуры метода вариационных итераций. 7. Метод Вайндинера с невязкой (MB + невязка) Идея этого метода заключается в том, что к методу Вайндинера применяется процедура метода Аграновского - Баглая - Смирнова, но без процедуры метода вариационных итераций (МВИ). 8 . Метод Вайндинера с использованием метода вариационных итераций (MB + МВИ) Сущность этого метода заключается в том, что к методу Вайндинера применяется процедура вариационных итераций.

На примере изгиба пластинки (то есть уравнения Жермен - Лагранжа) рассмотрим точность каждого из перечисленных методов и сопоставим с точным решением. Пусть Au{x,y) = DV2V2w(x,y). (2.1.15) Граничные условия: а) шарнирное опирание: дп б) жесткое защемление: 4n = rU = - (2-1.16) wl =—I =0. (2.1.17) Область Q = (0, а) х (0, Ь), дС1- граница области Q. Дифференциальный оператор (2.1.15) и краевые условия приведены к безразмерному виду: q(x,y) а 12(l-v2)/r х = ха, y-yby w = wh, Я = %, q(x,y) = Безразмерные параметры приведены с чертой вверху, в дальнейшем ее мы опустим.

Решение систем интегро-дифференциальных уравнений, которые по лучаются после применения процедуры Канторовича-Власова, производится методом конечных разностей с последующим применением на этапе решения системы алгебраических уравнений метода Гаусса. Решение производилось как с одинарной, так и с двойной точностью. Отрезок [0,1] разбивался на 15 w 30 узлов. Относительная погрешность вычисления \wk(x;y)-wk-\x,y) 1Л_з = wk(x,y) Результаты расчетов для q(x, у) = const приведены в таблице 2.1, 2.2, а для локальной нагрузки

Контактные статические задачи для конструкций, состоящих из физически нелинейных неспаянных пластин

Рассмотрим задачу об одностороннем механическом взаимодействии между двумя прямоугольными в плане пластинками. Пластинки считаем тонкими, их напряженно-деформированное состояние (НДС) опишем классической теорией Кирхгофа, дополненной физической нелинейностью по теории малых упругопластических деформаций. Предположим, что контактное давление (нормальное к поверхности напряжения) намного меньше нормальных напряжений в сечениях пластинок, и пластинки в зонах контакта свободно проскальзывают.

Выбор классической теории пластин обусловлен тем фактом, что на НДС и распределение контактного давления деформация поперечного сдвига влияет значительно слабее, чем поперечное обжатие в зоне контакта [69]. Учет последнего фактора - одна из основ предлагаемого подхода.

Запишем исходную систему дифференциальных уравнений контактирующих пластин в форме [66]: Alwl{x,y) = qx(x,y)-qky/, A2w2(x,y) = q2(x,y) + qki//, (2.2.1) где wfoiy) - вектор функции, 7,(jc,_y) - вектор внешней нагрузки, і - номер пластинки, отсчитываемой в положительном направлении нормали. Контактное давление, пропорциональное трансверсальному обжатию wl-hl- w2 в зоне контакта пластин: qk(x,y) = k—(wl-hl-w2)i (2.2.2) п а функцию ц/ запишем в виде: i/ = [l + ji (Wl- -w2)]/2f (2.2.3) hi - зазор между пластинками.

Формула (2.2.2) записана для случая контакта пластин с одинаковыми значениями к и h. Для контактных задач теории пластин Кирхгофа используется винклерова связь между обжатием и контактным давлением. Если исходное расположение пластинок (функция зазора hi) и нагрузка по таковы, что при деформировании они в контакт не вступают, то ц/ = О и система (2.2.1) распадается на две независимые системы. В противном случае (2.2.1) связана. Подставим (2.2.2) в (2.2.1): р dlwl(x,y) = ql(x,y)-k—(wl-hl-w2)i//, h (2.2.4) A2w2{x,y) = q2{x,y) + k—(wx-h,-w2)y/, h Систему (2.2.4) восьмого порядка следует рассматривать в совокупности с краевыми условиями (2.1.16, 2.1.17), она составляет конструктивно и физически нелинейную задачу восьмого порядка.

Систему (2.2.4) будем решать методом вариационных итераций (МВИ) по алгоритму, описанному в выше, используя метод переменных параметров упругости. Для решения конструктивно-нелинейной задачи (2.2.4) возможно построить итерационный процесс, позволяющий последовательно на каждом шаге нагружения решать лишь одно из уравнений системы (2.2.4). Для геометрически нелинейных задач теории осесимметричных оболочек, такая процедура была предложена и реализована в работе [31].

Это позволяет понизить порядок системы уравнений ровно в 2 раза, если имеем двухслойный пакет, если же п слоев, то в п раз. Запишем итерационную процедуру в виде: 4«) + f Пп-У = 2( ,j0 + f ("Г0 - M_i - (2.2.10) К системе (2.2.10) следует присоединить соответствующие краевые ус ловия (2.1.16) или (2.1.17) для / - ой пластинки.

Пусть R2 - евклидова плоскость с декартовым базисом; Q, є R2 - область на плоскости с границей dQt (і = 1,2), Q, = Сї дСї, (х, у)єП„ О. - подобласть области Q„ V/, Q cQ„ n, - внешняя нормаль к SQ Как отмечалось выше, уравнения (2.2.10), с краевыми условиями (2.1.16) или (2.1.17) будем решать методом вариационных итераций (МВИ). При фиксированной зоне контакта строится процедура МВИ и метода переменных параметров упругости (МППУ) с последующим уточнением зоны контакта методом простой итерации, и процедура решения повторяется, то есть имеем три итерационные процедуры, вложенные одна в другую. Обыкновенные дифференциальные уравнения сводятся к алгебраическим методом конечных разностей с погрешностью 0(5 ), где 8 - шаг по сетке. Алгебраическая система уравнений решается методом Гаусса

Это так называемый метод смешанной коллокации (МСК), который может трансформироваться или в метод внутренней коллокации (МВК), если функция y/t принята в таком виде, при котором невязка 52 тождественно обращается в нуль, а значения коэффициентов А1 определяются из следующей системы алгебраических уравнений а также в метод граничной коллокации (МГЛ), если решение (2.3.3) тождественно обращает в нуль невязку Sl, а значение коэффициентов А{ определяется из следующей системы линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим метод коллокации по линиям и предложенную в данной работе его модификацию.

Профессор В.В. Рогалевич предлагает приближенное решение представить в виде:и где у/Xх) элементы полной координатной системы, удовлетворяющие краевым условиям при x = a,b, a pt (у)- система искомых функций. В таком виде обычно представляется решение задачи методе Канторовича-Власова (МВК) ( 2.1 настоящей главы). Далее система (2.3.8) подставляется в (2.3.1) и формируется п обыкновенных линейных дифференциальных уравнений вдоль прямых Решение этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений К вдоль каждой линии # = д;гпри соответствующих условиях на краях y = c,d, устанавливает вид функций (р1Г(у). Этот метод коллокаций по линиям подо Ф ) бен по своей идеологии методу прямых. После решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.9), решение задачи мы получим

Здесь мы предлагаем модификацию метода коллокаций (2.3.9), предложенную профессором Рогалевичем В.В.

Метод решетчатой коллокаций 1 (МРК-1) Воспользуемся далее идеей метода вариационных итераций и уточним систему функций у/,(х). Система функций р1Г(у) получена из решения сис Х\ темы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.3.9) для каждой линии хг (г = 1,2,....и). Теперь будем считать, что система функций р1Г задана и оп j ределим уточненное значение системы функций у/1 (х), для этого решение (2.3.10) подставим в (2.3.1) и вновь формируем систему п линейных дифференциальных вдоль прямых ys (s = 1,2,....«) Решение этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль каждой линии ys, при соответствующих условиях на краях х = а,Ь, устанавливает вид функций у/и{х). По сути дела хмы получили метод решетчатой коллокации. Далее указанную процедуру можно продолжить до получения решения с заданной степенью точности. Обрывая процесс нахождения функций wik l)(x) и q (y) на it-ом шаге, составим функцию

Последовательность бифуркаций Андронова-Хопфа в гибких ортотропных пластинках при действии продольных постоянных во времени нагрузок

Как отмечалось , система алгебраических уравнений относительно функций F решается методом Гаусса. Это связано с тем, что систему алгебраических уравнений приходится решать на каждом шаге по времени, причем, матрица этой системы остается неизменной, меняются только правые части . Это позволяет прямой ход по матрице (приведение к треугольному виду) осуществляется только один раз на первом шаге по времени , что дает существенный выигрыш в использовании машинного времени , например, по сравнению с решением системы уравнений методом верхней релаксации примерно в 5 раз больше, чем время решения методом Гаусса в изложенной постановке.

Для интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений использовался метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Выбор такого высокого порядка точности связан со следующими соображениями. Решение таких задач можно проводить с максимальным дающим устойчивое решение с шагом по времени .И не смотря на то, что с увеличением точности метода Рунге-Кутта увеличивается количество вычислений правой части , что ведет к увеличению машинного времени , максимальный шаг с увеличением точности метода Рунге-Кутта увеличивается быстрее. В итоге с увеличением точности хметода Рунге- Кутта машинное время необходимое для решения статических задач уменьшается.

Рассмотрим устойчивость ортотропных (стеклопластик), квадратных в плане пластинок Л со следующими физическими и геометрическими характеристиками, без учета сопротивления среды [276] (s = \):,E2 =7.5-106МПа, Е2=2.6 10бМПа, v12 =0,25, v21 =0,0667, X = l. 182 Граничные условия w - wn - F = F n 0 гДе n -нормаль к границе области. (3.2.1) Начальные условия щ =АНЧ Simtx Simty, (3.2.2) Поперечная нагрузка q = О, Ру = 0, а Рх -есть постоянный во времени импульс. Проведем анализ бифуркаций удвоения периода Андронова - Хопфа, для пластинок из стеклопластика с приведенными выше характеристиками.

Для каждого периода удвоения построены фазовые портреты w(W) для центра пластинки и для четверти; отображение Пуанкаре Wtlwt+T0) Ft(Ft+T0) Mnt(Mnt+TJ, Tnt(Tnt+TJ, и графики изменения среднего мх+му Tx+Tv момента Мп и среднего усилия Тп = зависимости от про гиба и функции усилий в центре пластинки. График под индексом а) соответст вует одному периоду колебаний и (0.5;0.5; t) при указанном продольном уси лии Рх. Будем здесь приводить фазовые портреты vv(vV), отображения Пуанкаре wt ( V,+r ), Ft (Ft+T ) только для центра пластинки (х = у = 0.5), так как эти ха рактеристики для других точек плана подобны, т.к колебания синхронны. Для ортотропной пластинки период собственных колебаний соответствует Т0 = 0,55, что в полтора раза меньше, чем для изотропной пластинки. Последовательность удвоения Андронова - Хопфа начинается с РХ{= 10 (рис. 3.2.1). Здесь мы фактически рассматриваем однопараметрическое семейство трехмерных (как наиболее простых из класса систем со сложным поведением) гладких динамических систем, непрерывно зависящих от одного управляющего параметра Рх (другие зафиксированы).

Без потери общности можно полагать, что система (3.2.3) характеризуется особой точкой в начале координат О. Будем считать, что система в точке О имеет крутое состояние равновесия типа седла — фокуса, сохраняющееся в некотором интервале значений управляющего параметраРх. Вторичное удвоение PXi = 12,3 (рис. 3.2.2) наблюдается как на плоскости w(w) так и в пространстве резкое расслоение фазового пространства и мы наблюдаем четкое рождение кругового тора (рис. 3.2.2), который с последующими бифуркациями Андронова - Хопфа превращается в эллипс, который все более и более сплющивается

Трехмерные фазовые портреты постепенно перед жесткой потерей устойчивости полностью расслаиваются, например, при РХ7 = 13,156759 практически наблюдая три слоя. Это связано с тем, что период колебания существенно вытягивается во времени и разбивается на три участка. Кроме того накладываются на основной тон обертоны, величина которых сравнительно меньше для ортотропной пластинки, чем для изотропной. Отображение Пуанкаре превращается в узкий эллипс вытянутый по диагонали осей wt и wt+T , т.е. он становится похожим на тот, который получается при свободных колебаниях пластинки или при очень малых значениях сжимающей продольной нагрузки Рх = 0 - 0,1. Это связано с тем, что на построении отображения Пуанкаре основную роль играют высшие гармоники

Последовательность {PXt} (к=1,2,...7) сходится к Рх. =13,1567922, которая почти в два раза больше, чем для изотропного материала. Здесь также следует отметить, что количество к=7, столько же как и для изотропного материала. Вычислим Фейгенбаума для ортотропного матері —кориала аналогично для изотропного материала. Приведем таблицу изменения максимальных и минимальных прогибов для значений Рх , при которых происходят мягкие бифуркации Андронова - Хопфа.

Анализ этой таблицы показывает, что колебания для всех к, вплоть до к=7 бифуркаций Андронова - Хопфа происходят с одинаковой амплитудой, как в положительном, так и в отрицательном направлении и колебания происходит вокруг начальной амплитуды возмущения.

Рассмотрим характер колебаний центра пластинки во времени (w(0.5;0.5;/)) при разных значениях Рх. На рис. 3.2.8 приведены графики w(t) 0 t 20 при Рх=0,025; 0,1; 1; 6; 8; 9; 12; 13 соответственно. Значение продольных нагрузок указано на рисунке. Из этих графиков видно, что по сути дела мы имеем гармонические колебания, но с увеличением Рх ее период увеличивается. Это является результатом появления бифуркаций Андронова -Хопфа нового типа. Желательно изучить колебания системы в сравнении для различных значений Рх. На рис. 3.2.9 приведены четыре группы графиков. На группе графиков I приведены значения w(t) в центре пластинки для Рх=0; 0,025; 0,1. Эти три графика полностью совпали. На группе графиков 2 приведены кривые w(t) для Рх=0 (пунктирные), Рх=1,0 (точки) и Рх=6 (сплошные линии); графики 3 Рх=0 (пунктирные), Рх=8 (точками) и Рх=9 (сплошные линии). Здесь видно, что для Рх=8 и 9 на основной тон накладываются высшие гармоники и увеличение периода по сравнению со свободными колебаниями, наконец на группе графиков IV Рх=0 (пунктирные), Рх=12 (точками) и Рх=13 (сплошные линии) колебания существенно усложняются и изменение Рх на единицу приводит к существенным изменениям периода и формы колебаний. Наконец проанализируем колебание w(t) для значения Рх близких к жесткой потере устойчивости механической системы. Данная информация приведена на рис. 3.2.10, значение Рх указано на графиках. С приближением Рх—»Рх (здесь Рх значение динамической критической нагрузки), наблюдается существенное увеличение периода, изменение формы колебаний, она становится не периодическая, вытягиваются верхние участки графика и на верхних графиках существенно увеличивается наложение высших гармоник

Образование стоячих волн при диссипативных параметрических колебаниях гибких пластинок

Используется один из методов, изложенных в 4.3 - понижения размерности дифференциальных уравнений в частных производных и сведения их к обыкновенным дифференциальным уравнениям - метод конечных разностей с аппроксимацией по пространственным координатам 0(/24). Этот подход позволяет исследовать явление стоячих и бегущих волн в пространстве, занимаемом гибкой пластинкой, при воздействии односторонних периодических продольных нагрузок.

В различных физических явлениях и ситуациях на профиле простой волны возникают бесконечные градиенты. Например, если это волна на поверхности жидкости, то она просто обрушивается, превратившись в брызги; если это поток невзаимодействующих частиц, то в профиле волны возможна неоднозначность - после образования «разрыва» в основном потоке образуется несколько разных потоков, движущихся с существенно разными скоростями (многопотоковость). Для звукового или электромагнитного поля, где неоднозначность недопустима, дальнейшее развитие нелинейной волны зависит от того, какие эффекты будут преобладать в области быстрого изменения поля - дис-сипативные или дисперсионные. Хорошо изучено уравнение одноволнового приближения где и - скорость среды. Частным случаем этого уравнения является уравнение Кортевега де Вриза (а = 0) и Бюргерса (/? = 0). Благодаря высокочастотной диссипации разрыв может быть устойчивым. Дисперсия также ограничивает ширину разрыва. Дисперсионное расплывание может компенсировать процесс опрокидывания волны, и тогда её профиль стабилизируется, т.е. возможно существование стационарных бегущих волн, профиль которых не меняется во времени. Стационарным волнам уравнения Кортевега де Вриза соответствует уравнение консервативного нелинейного осциллятора.

Периодические движения вблизи сепаратисы называются кноидальными волнами. Сепаратнее соответствует локализованное в пространстве решение в виде одиночного возвышения или уединенной волны - солитона.

Новая жизнь солитона - одно из самых привлекательных объектов современной физики и механики. Гарднер, Грин, Крускала и Мнури в 1967 г. установили связь между уравнениями Кортевега де Вриза и Шредингера. Здесь следует отметить, что очень хорошо изучены одномерные стационарные уединенные волны либо в одномерных распределенных системах (линиях передачи), либо плоские волны, профиль которых меняется лишь вдоль направления распространения (например, солитоны на мелкой воде, описываемые уравнениями Кортевега де Вриза). В то же время очевидно, что и на мелкой воде, и на стекающей плёнке жидкости, и при распространении ионно-звуковых солитонов в плазме солитоны и солитоноподобные решения в общем случае должны зависеть как минимум от двух пространственных координат. Простейшей моделью, в рамках которых описываются подобные солитоны, является обобщение уравнения Кортевега де Вриза, предложенное Кадомцевым и Петвиашвили

Как отмечено в работе [131], особенность атмосферы Юпитера - его Большое Красное Пятно - это двумерный солитон Россби. Волны Россби в линейной постановке - волны во вращающейся атмосфере, главным условием существования этих волн является изменение с широтой горизонтальной составляющей силы Кориолиса.

Для сред с диссипацией столь же универсальным является уравнение для волновых пучков: уравнение Хохлова-Заболотской [158]. В теории колебаний гибких пластин кинематической модели Кирхгофа отдельно стоячие волны (со 259 литоны) в известной нам литературе не получены и не описаны. Сделаем попытку заполнить этот пробел. В исследуемой задаче граничные и начальные условия были приняты в виде (3.1.15), (4.1.4). Сеточная область Gh рассматривалась полностью, не использовались условия симметрии. Шаг по пространственным координатам -h = 1 /16, а по времени At = 2 10-4 . Для анализа тонкой структуры многочастотных и стохастических колебаний и анализа механизмов перехода между различными колебательными режимами использовался анализ тех же характеристик, что и ранее.

Рассмотрим процесс колебаний в зависимости от изменения { Р0 }. Частота вынуждающей нагрузки со-10,47, є-\, Л = 1, v = 0,3 . На рис. (4.6.1)-(4.6.3.) приведены зависимости w(0,5; 0,5, t), фазовые портреты, сечения фазовых портретов через период вынуждающей продольной нагрузки и быстрое преобразование Фурье (Б.П.Ф.) для ряда значений параметра Р0. Анализ этих зависимостей позволяет сделать вывод, что начиная с Р0 16, механическая система находится в состоянии хаоса, причём, происходит переход системы из симметричной формы колебаний в несимметричную, наблюдается целая серия таких переходов