Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор конструкций и методов их расчета 8
1 1. Плоские перекрытия 8
1.2. Методы расчета плоских перекрытий . 13
1.3. Затворы ГТС 17
1.4. Методы расчета плоских затворов ГТС 22
Глава 2, Численно-аналитические модели упругих конструкций .27
2.1. Постановка задачи в теории изгиба ребристых пластин 27
2.2. Методы решения ОДУ с особенностями 31
2.3. Метод Канторовича 39
2.4. Классический метод Бубнова-Галеркина... 41
2.5. Пластина, подкрепленная ребрами одного направления 43
2.6. Пластина, подкрепленная перекрестной системой ребер 5 I
2.7 .Компьютерная реализация. Математические пакеты 58
2.8. Призеры расчета прямоугольных пластин 66
2.9, Примеры расчета прямоугольных ребристых пластин 71
Глава 3. Численно-аналитические динамические модели упругих конструкций 83
3.1. Постановка задачи 83
3.2. Система полипомов для учета граничных условий 84
3.3. Метод Бубнова-Галерки на 86
3.4. Примеры расчета 87
3.5. Исследование колебаний прямоугольной пластины 93
3.6. Пример расчета 95
3.7. Колебания пластины, подкрепленной ребрами жесткости 97
3.8 Пример расчета 103
Глава 4 Метод конечных, элементов и сравнение результатов 106 '
4.1. О методе конечных элементов 106
4.2. Среда проектирования АРМ Structure3D 110
4.3. Построение моделей 114
Выводы по четвертой главе 123
Список литературы,., 128
Список обозначений 136
Приложение 137
- Методы расчета плоских перекрытий
- Методы решения ОДУ с особенностями
- Система полипомов для учета граничных условий
- Среда проектирования АРМ Structure3D
Введение к работе
Актуальность работы. Многие элементы судовых и гидротехнических конструкций, такие как переборки, палубы, борта судов, затворы судоходных шлюзов, можно рассматривать как комбинацию пластин, стержней и оболочек. В большинстве своем, такие конструкции содержат разнообразные особенности в виде всевозможных накладок, ребер и т.п. для повышения их надежности без значительного влияния на общий вес. Расчет пластин при наличии ребер связан с определенными трудностями. Обычно при таком расчете приходится для каждой зоны с непрерывно меняющимися параметрами составлять отдельные системы дифференциальных уравнений и заботиться не только о соблюдении условий на контуре всей системы, но и удовлетворять условиям контакта на границах отдельных областей, где могут быть разрывы, связанные с изменением жесткости исследуемых объектов в местах включения ребер и других особенностей.
Таким образом, создание математических моделей на основе аналитических методов расчета таких конструкций и решения на их основе конкретных задач, является одной из актуальных проблем.
Настоящая работа посвящена развитию численно-аналитических методов решения краевых задач теории упругих тонких пластин, подкрепленных ребрами жесткости и приложению этих методов к расчету тонкостенных конструкций таких, как плоские перекрытия и затворы судоходных шлюзов. Ребра жесткости таких конструкций являются не вспомогательными, а основными несущими элементами, они имеют значительные размеры и жесткость. Определение напряженно-деформированного состояния (НДС) этих ребер является одним из главных элементов расчета.
Целью работы является повышение точности расчета судовых и гидротехнических конструкций. Для достижения этой цели поставлены следующие задачи:
-
разработать математические модели плоских перекрытий и затворов судоходных шлюзов на основе теории платин и стержней;
-
определить основные характеристики напряженно-деформированного состояния реальных конструкций;
-
построить на основе единого подхода динамические модели конструкций нерегулярной структуры и применить их для решения задачи о колебаниях;
-
построить конечно-элементные модели конструкций и выполнить на их основе расчеты для сравнения полученных результатов.
Объектами исследования являются судовые и гидротехнические конструкции, такие как судовые перекрытия и плоские затворы судоходных шлюзов.
Предмет исследования составляют математические модели позволяющие определить НДС конструкций, подверженных статической и динамической нагрузке.
Методы исследования. Методологической основой исследования являются теория гладких и ребристых пластин, теория дифференциальных уравнений, теория обобщенных функций, численные методы.
Научная новизна:
-
-
состоит в разработке на основе единого подхода с использованием теории ребристых пластин статических и динамических математических моделей судовых и гидротехнических конструкций, таких как затворы судоходных шлюзов и плоские судовые перекрытия;
-
расчетные модели конструкций реализуются в аналитических решениях, что является преимуществом перед дискретными расчетными моделями, позволяя простыми средствами выявить зоны концентрации напряжений и, тем самым, избежать наступления предельного состояния, повысить прочностную надежность конструкции.
Практическая значимость. Получены решения задач изгиба и колебаний прямоугольных подкрепленных пластин, моделирующих работу затворов гидротехнических сооружений или судовых перекрытий. Эти решения доведены до практической реализации в расчетных схемах конструкций ГТС, плоских перекрытий и других аналогичных конструкций. Созданы и реализованы в программах в системе аналитических вычислений Maple новые эффективные алгоритмы расчета НДС ребристых пластин.
Достоверность полученных результатов подтверждается:
строгим использованием математического аппарата теории гладких и ребристых пластин, теории дифференциальных уравнений, теории обобщенных функций;
совпадением решений полученных численно-аналитическими методами в системе Maple и методом конечных элементов в среде APM Structure3D.
Внедрение результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, используются:
в учебном процессе в Санкт-Петербургском университете водных коммуникаций при выполнении курсовых и дипломных работ по специальности «Прикладная математика и информатика», связанных с математическим моделированием упругих тонкостенных систем на водном транспорте;
в СПКТБ «ЛЕНГИДРОСТАЛЬ» (акт внедрения № 1-48/53-613 от 19.04.2010).
На защиту выносятся:
-
Математические модели плоских перекрытий и затворов судоходных шлюзов, построенные на основе единого подхода с использованием теории ребристых пластин;
-
Компьютерная реализация математических моделей - программы, написанные в математическом пакете Maple, и служащие для определения основных характеристик НДС реальных конструкций;
-
Динамические модели конструкций нерегулярной структуры и применение их для решения задачи о колебаниях;
-
Конечно-элементные модели конструкций и выполненные на их основе расчеты для сравнения полученных результатов.
Апробация работы. Основные положения и результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на:
научно-методической конференции, посвященной 195-летию образования в области водных коммуникаций России, СПГУВК, 2005 г.
XXI международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов». 2005 г.
международной научно-практической конференции «ИТО Поволжье» 2007 г.
международной научно-практической конференции «Безопасность речных судоходных гидротехнических сооружений», посвященной 100-летию образования гидротехнической лаборатории имени профессора В.Е. Тимонова, 2007 г.
ХХIII международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов». 2009 г.
Публикации. Основное содержание работы опубликовано в 8 печатных работах, одна из которых в журнале, рекомендованном ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 102 наименования. Полный объем работы составляет 151 страницу.
Методы расчета плоских перекрытий
Методы расчета судовых конструкций разрабатывались еще задолго до появления первых ЭВМ, и поэтому они ориентированы на "ручной счет11. Традиционно выделяются методы расчета перекрытий [73], [74]: с неболь . шим числом балок (с небольшим числом узловых точек), с одной или двумя симметричными перекрестными балками и большим числом балок главного направления, с несколькими перекрестными балками и большим числом балок главного направления и т.п. Как отмечалось выше, судовые перекрытия представляют собой многократно статически неопределимые системы. Для упрощения расчета таких систем принимаются те или иные допущения. Основные из них — о возможности пренебрежения крутильной жесткостью балок; о возможности отнесения всей внешней нагрузки к балкам главного направления. Анализ влияния этих допущений, выполненный па простых при .мерах [73], показывает, что, например, учитывать кручение балок нужно в том случае, когда порядок отношения изгибной жесткости балки к ее крутильной жесткости не превосходит 102, Если балки имеют открытый профиль, что типично для подавляющего большинства конструкций нефтеналивных судов, то соотношение жееткостей на изгиб и кручение для судовых балок имеет порядок 104. Учет влияния кручения балок внесет в этом случае поправку в значения реакций взаимодействия, исчисляемую долями процента. В настоящее Время, поскольку практически осе расчеты выполняются с привлечением ЭВМ, учет влияния кручения балок не представляет каких-либо принциітиальиьтх или технический трудностей. Сложнее дело обстоит с решением вопроса о распределении внешней нагрузки между балками главного направления и перекрестными связями. При традиционном подходе к рассмотрению конструкции плоского перекрытия как системы расположенных в одной плоскости пересекающихся балок, жестко соединенных между собой в точках пересечения, любое решение этого вопроса будет приближенным. Другое дело, когда конструкция типа перекрытия рассматривается как ребристая пластина. Здесь, уже вопрос о распределении внешней нагрузки между элементами конструкции не возникает,
Одним, из широко применяемых корабелами методов расчета перекрытий является метод главных изгибов [14], [73]а [82]. ГОтот метод применяется для расчета перекрытий; состоящих из большого числа равноотстоящих одинаковых балок главного направления и нескольких перекрестных связей, В основу метода положена система дифференциальных уравнений И. Г. Бубнова где п — число перекрестных связей; wt [х) — упругая линия J-ой перекрестной связи; Q{x) —суммарная нагрузка на балку главного направления; Д — коэффициент влияния нагрузки Q{x) на прогиб і-о го узла, балки главного направления; у% — коэффициент влияния реакции у-ой перекрестной связи на прогиб f-oro узла балки главного направления; /0 — момент инерции площади поперечного сечения балок главного направления; /. — мдмент ннер і ции площади поперечного сеченияу-ой перекрестной связи; а —расстояние между балками; / — пролег балки главного направления. И, Г. Ьубнов указал и первый метод решения этой системы, который, однако, не получил распространения, так как приводил к достаточно сложным вычислениям. Крупный шаг вперед был сделан в 1928 году ГТ. Ф. Папковичем [73], указавшим на аналогию между задачей о колебании системы с несколькими степенями свободы и задачей о расчете плоского перекрытия. Внедя понятие о главных изгибах П, Ф, Папковим в значительной мере упростил нахождение частного интеграла системы (1.2.1) и определение постоянных интегрирования при удовлетворении граничным условиям
Решение системы уравнений (1.2.1) находится с помощью подстановки где /D —- никоторая постоянная величина. Имеющая размерность момента инерции (обычно принимаемая равной моменту инерции одной из перекрестных связей); v щ — неизвестные коэффициенты, а функции / Дя) удовлетворяют уравнению в котором постоянная kfii и функция qti) (х) подлежат определению- Коэффициенты у/ш определяются как корни системы уравнений а функции gvr [x] — по формуле
Следует отметить одну важную особенность метода главных изгибов— вычисление коэффициентов влияния и характеристических чисел должно производиться с большой степенью точностиj так как определение форм главных изгибов vjm из системы однородных уравнений (1.2.4) и интенсивности нагрузки qftl (А) ПО формуле (L2.5J при п 3 связано с вычислением малой разности близких величин.
Методы решения ОДУ с особенностями
Одним из путей преодоления трудностей, связанных с разрывом жесткости стержневых балочных систем следует считать метод начальных параметров, получивший свое развитие в работах [41]» [53]. Другой метод решения задач связан с применением операционного исчисления на основе интегральных преобразований [56], Использование для нужд строительной механики математической схематизации различного рода разрывных процессов в виде импульсных функций начато Герсевановым Н.М. [27] с именем которого связано введение функциональных прерывателей, и продолжено работами [17], [44]т [63], [66] и др. Здесь рассматривается общий метод получения частных интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями в. виде обобщенных 5-функции и её производных, на основании которого записываются точные аналитические решения таких уравнений, Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение [30] В самом общем случае любой из коэффициентов X [xj (і=І,....п) уравнения (2.2.1), а также правая часть У (х) могут содержать особенности типа ё -функций и их производных и, кроме того, конечные разрывы, т.е. am, bi№ —заданные коэффициенты; 5 (x - x) —дельта-функция и её производные, сосредоточенные а точках X Jt j 8{х- х.) — функция Хс писай да единичного скачка, W Принимая во внимание соотношение приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению с регулярными коэффициентами вида и правой частью где коэффициенты С-га — представляют собой линейные комбинации значений некоторых сингулярных функционалов на решении уравнения (2.2.1), Пусть {уДх)]г/ Д"" — фундаментальная систему решений однородного уравнения f,y{x) = Q Представил частное решение у{х) у" (х) уравнений (2.2,3) а виде где С (х) — искомые функции, методом вариации произвольных постоял ных найдём W (x) — функциональный определитель, получающийся из определителя Вронского путем замены его последней строки строкой производных (/ + ?)-го порядка. Очевидно, определитель W (JG) = 0, если (і + д) {п-\), т.к. в этом случае его последняя строка совпадает с (/ + )-ой строкой. Но, как видно из (2.2,10), t и ц — независимые индексы суммирования. Следовательно, (t + q) = тш + ?rita, =(m -А -1) + Лг = яі-1; причём, /», также индекс суммирования. Как видно из (2.2.8), «гшч=г; откуда следует, что (t + q) = г — 1. Последнее обстоятельство позволяет сделать вывод, что при /- « (2.2.11) определитель W (л) для всех значений /и а следовательно, и выражения (2.2.10) для всех І и № тождественtio равны пулю. При помощи (2,2.9) можно также получить - ) где функциональный определитель Jff-s№J (x)_ . Очевидно, определитель Я (х) = 0, если f л-1. Но, как видно из (2.2.12) и (2.2.8), .m = m, /HfaM =r, откуда следует, что tmn = г. Это позволяет сделать вывод, что при Определитель Wt (Л) для всех значений t тождественно равен нулю, а следо вательно, и выражения (2.2.12) для всех т также равны нулю. Выражения вида (2.2.10) представляют собой коэффициенты членов частного решения (2,2.8) уравнения (2.2.3),содержащих особенности типа -функции и её производных; выражения (2.2Л2) — коэффициенты членов с особенностями типа конечных разрывов. Сопоставляя оценки (2.2.11) и (2.2.13), нетрудно прийти к выводу, что при r rt-l общее решение уравнения (2,2.3) будет непрерывным. При г — п — 1 решение в общем случае будет содержать особенности типа конечных разрывов. Наконец, при г п-\ решение в общем случае содержит также особенности типа В- функции и сё производных до {г - w)-ro порядка включительно. Пусть г п -1 . Тогда общее решение уравнения (2.23) можно представить в виде
Система полипомов для учета граничных условий
Метод конечных злементов (МКЭ) [25], [291, [40L Г76]- I7SL [K[L WQJ, [101], [102] — численный, метод решения задач прикладной механики.
Широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела, теплообмена, гидродинамики и электромагнитных полей. С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается и том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения. Возникновение метода конечных элементов связано с решением задач космических исследований в 1950-х годах (идея МКЭ была разработана советскими учеными ещё в 1936 году, но из-за неразвитости вычислительной техники метод не получил развитие). Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже затем было получено его математическое обоснование. Существенный толчок и своём развитии МКЭ получил в 1963 году после тою, как было доказано, что его можно рассматривать как один из вариантов распространённого в строитель-ной механике метода Рэлся-Ритца, который путём минимизации потенциальной энергии сводит задачу к системе линейных у рае г fen ни равно веси я. После того, как была установлена связь МКЭ с процедурой минимизации, он стая
применяться к задачам; описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. Область применения МКЭ значительно расширилась, когда было установлено (в 1968 году), что уравнения; определяющие элементы: в задачах, могут быть легко получены с помощью вариантов метода извещенных невязок, таких как метод Бубноват-Галёркина или метод наименьших квадратов. Это сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как. позволило применять era при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом метод конечных элементов превратился В1 общий метод численного решения дифференциальных уравнении или систем дифференциальных уравнений;
Ключевая идея МКЭ заключается в следующем: сплошная среда (модель конструкции), заменяется дискретной путем разбиения ее на области — конечные элементы. В каждой области поведение среды описывается с помощью отдельного набора функций, представляющих собой напряжения и перемещения в. этой области. Конечные, элементы соединяются узлами. Взаимодействие конечных элеменгоа друг с другом осуществляются только через узлы. Расположенные определенным образом, в зависимости от конструкции объекта и закрепленные в соответствии с граничными условиями, конечные элементы позволяют адекватно описать все многообразие моделей конструкций и деталей,
К конечному элементу могут быть приложены внешние нагрузки (сосредоточенные или распределенные силы и моменты); которые приводятся к узлам данного элемента и носят название узловых нагрузок.
При расчете методом конечных элементов сначала определяются перемещения в узлах модели. Величины внутренних усилий в элементе пропорциональны перемещениям в узлах элемента. Коэффициентом пропорциональности выступает квадратная матрица жесткости элемента, количество строк которой равно числу степеней свободы элемента (в общем случае это есть произведение числа степеней свободы в узле на число узлов элемента). Все остальные параметры конечного элемента, такие как внутренние усилия, напряжения, поле перемещении и т.п., вычисляются на основе его узловых перемещений.
Среда проектирования АРМ Structure3D
Отечественный модуль конечно-элементного анализа АРМ StructureD. входящий в состав CAD/CAE/CAMZPDM системы АРМ WinMachine, разработанной в НТЦ «Автоматизированное Проектирование Машин» (НТЦ АПМ), представляет собой и какой-то степени альтернативу указанным в п, 4.1 программным продуктам,
Данная среда проектирования представляет собой универсальную систему для расчета стержневых, пластинчатых, оболочечных, твердотельных, а также смешанных конструкций. Для этого в ней реализованы основные типы конечных элементов, такие как стрежневые, пластинчатые и объемные: Рассмотрим некоторые и з них подробнее.
Внешний вид стержневого конечного элемента показан на рис. 14т Такими конечными элементами моделируются балочные эдеме г [ты модели конструкции, а также ферменные объекты или гибкие нити (канаты).
Поперечное сечение стержневого конечного элемента полагается равным поперечному сечению балки, кроме того, конечному элементу приписываются свойства материала балки,
Балочный элемент обычно жестко соединен с другими элементами модели и способен воспринимать не только растягивающие и сжимающие уси-лия но и силовые факторы в виде изгибающих или крутящих моментов.
Стержневой конечный элемент считается тонким, т,е. размеры его поперечного сечения, по крайней мере, ь пять раз меньше длины самого элемента. на концах элемента имеется но одному узлу, каждый из которых может в общем случае поступательно перемещаться по трем координатным осям и вращаться относительно тех же координатных осей, т.е. обладает шестью степенями свободы. На рис. 14 указаны возможные перемещения и повороты узлов стержневого конечного элемента.
Для стержневых элементов справедлива гипотеза плоских сечений, предполагающая, что сечение стержневого элемента остается плоским и не меняет размеров пи еле деформации, т.е. отсутствует сдвиг слоев элемента в направлении его оси.
Количество строк (и столбцов) матрицы жесткости относительно стержневого элемента равно 2x6, а ее размерность, следовательно — 12x12. Аналогично, размерность матрицы жесткости стержневой конструкции в целом определяется произведением числа всех узлов конструкции НЕ! число степеней свободы каждого из узлов.
Как уже отмечалось выше, при расчете с помощью МКЭ вначале определяются перемещения в узлах, а затем на их основе внутренние силовые факторы и все компоненты напряжений и перемещений в конечном элементе. В том случае, когда в стержневом элементе отсутствует кручение или его величина незначительна, для нахождения силовых факторов (элюр сил, моментов, изгиба, напряжений и т.п,) в АРМ Stxucture3D производится силовой расчет стержневого элемента методами сопротивления материалов. Если же величина возникающего в стержне крутящего момента велика, то в АРМ Structure3D решается задача кручения произвольной области (сечения Стержня) методом МКЭ. В этом случае поперечное сечение стержня разбивается на плоские конечные элементы, взаимодействующие между собой посредством узлов. Затем рассчитываются перемещения в узлах, с помощью которых определяются напряжения в различных точках сечения.
В качестве плат инчатык конечных элементов выступают трек- и четырехугольные пластины, работающие как на изгиб, так и на расчяже-ние сжатие в плоскоети. На рис. 15 изображен треугольный пластинчатый конечный элемент.
Пластинчатый конечный элемент, как и стержневой, считается тонким, так что изгиб пластинчатого элемента описывается гипотезой Кирхгофа [86]. На практике это означает, что толщина моделируемой пластинчатой кон-стуркции должна быть не мене чем D пять раз меньше ее максимального линейного размера.
Каждый из углов конечного элемента имеет пять степеней свободы: три поступательных перемещения и дьа изгибающих поворота вокруг осей X и Y. На рис. 15 показаны перемещения и повороты вокруг осей X и Y для од-ного из узлов.
Для тот чтобы матрица жесткости ансамбля не вырождалась, в узлы пластинчатого конечного элемента добавляются фиктивная жесткость — поворот вокруг оси Z. Таким образом, каждый узел пластинчатого элемента имеет шесть степеней свободы.
С помощью программы можно рассчитать произвольную трехмерную конструкцию, состоящую из стержней произвольного поперечного сучения, пластин, оболочек и объёмных деталей при произвольном на гружений и закреплении. При этом соединения элементов в узлах может быть как жестким, так и шарнирным.
Использование при построение модели стержневых и пластинчатых элементов накладывает на последние определенные ограничения. Как для стержневых, так и для пластинчатых конечных элементов справедлива шпотеза плоских сечений, в соответствии с которой в этих элементах отсутствует сдвиг: т. К стержневому элементу могут быть приложены растягивающие (сжимающие), изгибающие и вызывающие кручение нагрузки, а сдвигающими нагрузками в. плоскости оси стержня пренебрега-ется.
Похожие диссертации на Математические модели элементов судовых и гидротехнических конструкций нерегулярной структуры
-
