Содержание к диссертации
Введение
1. Направления развития методов расчета тонкостенных стержневых систем, пластин и оболочек
1.1. Анализ методов расчета тонкостенных стержневых систем
1.2. Численные методы расчета пластин и оболочек
1.3. Автоматизированные системы кинематического анализа
2. Математическая формулировка задачи упругого равновесия .
2.1. Матричный аппарат метода конечных элементов
2.1.1. Прямой метод в форме перемещений
2.1.2. Выделение подконструкций
2.2. Система разрешающих уравнений равновесия
2.2.1. Решение системы линейных алгебраических уравнений
2.2.2. Преобразование элементов матрицы коэффициентов из обычной точности в двойную
2.3. Пространственная конечно-элементная модель узла соединения тонкостенных стержней
2.3.1. Математическая модель пространственной схемы узла соединения тонкостенных стержней
2.3.2. Формирование матрицы жесткости граничного тонкостенного стержня
2.4. Моделирование оболочки, подкрепленной тонкостенными стержнями
2.5. Матричная форма метода интегрирования произвольных эпюр
3. Пакет программ. Методика образования конечно-элементных моделей и подготовки исходных данных
3.1. Структура и характеристика программ
3.2. Состав и функциональные возможности программ;
3.3. Геометрические характеристики произвольного тонкостенного сечения открытого и одноконтурного закрытого профилей .
3.4. Произвольные тонкостенные стержневые системы,
3.5. Пластины и оболочки как совокупность плоских элементов, подкрепленные тонкостенными стержнями
4. Оценка точности расчетов. Результаты применения пакета программ при исследовании и проектировании конструкций .
4.1. Расчеты тестов, результаты сравнения с аналитическими и численными решениями
4.2. Результаты сравнения с экспериментальными исследованиями .
4.3. Поверочный расчет напряженно-деформированного состояния рамы автомобиля УАЗ-3303 108
4.4. Анализ напряженно-деформированного состояния блоков тех- нологических систем разложения СОЖ при их проектировании . 114
4.4.1. Коробчатый подкрепленный блок ТС-20 -
4.4.2. Коробчатый подкрепленный блок ТС-90 122
Основные результаты работы 127
Список литературы 128
Приложение 137
- Численные методы расчета пластин и оболочек
- Пространственная конечно-элементная модель узла соединения тонкостенных стержней
- Геометрические характеристики произвольного тонкостенного сечения открытого и одноконтурного закрытого профилей
- Поверочный расчет напряженно-деформированного состояния рамы автомобиля УАЗ-3303
Введение к работе
Одно из основных направлений по проектированию конструкций, удовлетворяющих современным требованиям снижения металлоемкости, связано с их всесторонними исследованиями напряженного и деформированного состояний, стремлением к лучшему использованию несущей способности конструкций. Вопросы, связанные с расчетом тонкостенных конструкций, возникают во многих отраслях современной промышленности, в том числе: авиации, судостроении, автомобилестроении, химическом машиностроении, строительстве и т. д.
Высокая механическая прочность и легкость тонкостенных стержневых систем и оболочек обусловливает их широкое использование в технических конструкциях. Одной из главных задач механики тонкостенных конструкций является совершенствование методов их расчета и проектирования при действии распределенных и локальных нагрузок.
В силу различных обстоятельств аналитическое решение дифференциальных уравнений для большинства практически важных задач установить невозможно, поэтому приближенные численные методы расчета конструкций являются единственно возможным подходом в исследовании и получении приемлемых результатов при решении практически важных задач.
Методы прочностных расчетов конструкций формировались с развитием строительной механики стержневых систем, пластин и оболочек. Историю развития строительной механики делят на два периода: до появления вычислительных машин — это классическая строительная механика стержневых систем и после появления вычислительных машин. ЭВМ значительно расширила рамки строительной механики. Проявилось преимущество метода перемещений и стало возможным применение методов расчета, которые позволяют более полно учитывать геометрию и условия работы конструкций. Сформировалось новое направление: вычислительная механика деформируемого твердого тела.
Развитие вычислительной техники, широкое ее распространение и увеличение мощности ЭВМ способствовали появлению точных и высокопроизводительных численных методов расчета и обусловили широкое внедрение их в расчетную практику при проектировании конструкций. Этому отвечают современные методы исследования напряженного и деформированного состояний различных конструкций, основанные на образовании дискретной модели с помощью элементов конечных размеров. Численные методы исследований предусматривают применение ЭВМ для всего процесса расчета, т. е. от ввода в машину сведений о геометрии и топологии конструкции, ее физических свойствах и нагрузках до получения окончательных результатов напряженно-деформированного состояния.
Применительно к расчету машиностроительных конструкций наиболее эффективным, очень удобным вычислительным методом решения
прикладных задач механики деформируемого твердого тела является ме-
s тод конечных элементов (МКЭ) и его разновидность (модификация) метод
, суперэлементов (МСЭ).
I МКЭ и МСЭ стали фундаментальными методами механики по опре-
делению напряженно-деформированного состояния сложных инженерных
t конструкций.
Преимущество МКЭ проявляется в его универсальности техники вы-
v числений при использовании различных конечных элементов (КЭ) в моде-
ли конструкции. Конечно-элементные модели различных элементов машиностроительных и других конструкций могут быть сведены к стержневым, пластинчатым, оболочечным или объемным системам, находящимся под действием произвольных нагрузок. МКЭ позволяет рассчитывать сложные инженерные конструкции, рассматриваемые как оболочечно-пластинчато-стержневые системы, с единых позиций, т. е. в возможности образования плоских и пространственных расчетных моделей на основе стержневых и плоских КЭ, т. к. матричный аппарат метода носит стандартный характер для КЭ различной формы.
В настоящее время создано большое количество крупномасштабных универсальных автоматизированных систем кинематического анализа, реализующих МКЭ и МСЭ. Исходная информация универсальных комплексов очень сложная при описании конструкции (топологические и геометрические характеристики конструкции). Сложность подготовки исходных данных для расчета конструкции рациональна для универсальных программных комплексов, у которых большая библиотека КЭ (тонкостенные стержневые КЭ, как правило, отсутствуют) и большие функциональные возможности, что позволяет выполнить расчет произвольной конструкции, что и требуется от таких программных комплексов.
Для определения напряженно-деформированного состояния конкретных конструкций целесообразно создавать программы целевого назначения, т. е. численную реализацию на ЭВМ алгоритмов расчета конструкций определенного класса: объектно-ориентированные комплексы программ, позволяющие значительно уменьшить и упростить исходную информацию.
Внедрение в практику проектирования конструкций расчетов на ЭВМ дает на стадии проектирования необходимую информацию о напряженном и деформированном состояниях, позволяет ускорить доводку, выполняя многовариантные численные эксперименты, т. е. решая задачи машинного проектирования.
На основе теории В. 3. Власова разработаны методы расчета стержневых систем из тонкостенных стержней открытого и закрытого профилей. Эти методы расчета с использованием в стержневой системе тонкостенных стержней возможны только для плоских рам с определенной конструкцией узловых соединений, в узлах которых выполняется условие равенства
депланации сечений концов всех сходящихся стержней, что приводит к уравнению равновесия бимоментов в узле.
В узле сопряжения тонкостенных стержней, образованном из профилей различных номеров сортамента, нет центра узла, т. е. точки, в которой пересекаются оси, проходящие через центры изгиба поперечных сечений стержней, образующих узел. Такой узел не удовлетворяет требованиям теории расчета плоских тонкостенных рам.
Действительное взаимодействие стержней в узле их соединения может отразить только пространственная конечно-элементная модель тонкостенной стержневой системы. Образование пространственной конечно-элементной модели тонкостенной стержневой системы на основе использования только КЭ оболочки как совокупности плоских элементов крайне неэффективно, т. к. приводит к очень большому объему исходной информации при расчете на ЭВМ и требует трудоемкой работы при ее подготовке.
Для образования пространственной конечно-элементной модели тонкостенной стержневой системы предлагается непосредственно в зоне соединения стержней использовать плоские КЭ оболочки, а вне узла — тонкостенные стержневые КЭ. Такой подход значительно сокращает объем исходной информации, а модель конструкции отражает ее стержневой характер.
В связи с этим диссертационная работа, посвященная разработке математических моделей для расчета тонкостенных стержневых систем с пространственной расчетной схемой узла соединения стержней, пластин и оболочек, подкрепленных тонкостенными стержнями с учетом депланации сечений тонкостенных стержней, а также пакета программ для расчета конструкций при стержневой, пластинчато-стержневой и оболочечно-стержневой их идеализации, представляется актуальной.
Целью работы является разработка математических моделей, алгоритмов расчета и пакета программ, позволяющих полнее учитывать особенности тонкостенных конструкций при стержневой, пластинчато-стержневой и оболочечно-стержневой их идеализации.
В соответствии с поставленной целью в работе формулируются и решаются следующие задачи исследований:
Анализ, разработка и реализация алгоритмов формирования матрицы жесткости конструкции и преобразования ее элементов из обычной точности в двойную с использованием внешней памяти ЭВМ.
Образование пространственной расчетной схемы узла сопряжения тонкостенных стержней на основе совместного использования КЭ оболочки и тонкостенных стержневых КЭ. Разработка и реализация математической модели расчетной схемы узла.
Разработка и реализация математической модели оболочки как совокупности плоских элементов, подкрепленной тонкостенными стержнями.
4. Усовершенствование матричной формы метода интегрирования
произвольных эпюр с реализацией алгоритма вычисления геометрических
характеристик произвольного тонкостенного сечения как открытого, так
одноконтурного закрытого и комбинированного профилей.
5. Разработка пакета программ для кинематического анализа плоских
и пространственных конструкций при стержневой, пластинчато-
стержневой и оболочечно-стержневой идеализации. Оценка результатов
расчетов.
6. Численный анализ напряженно-деформированного состояния
стержневых и коробчатых подкрепленных конструкций.
Научная новизна
Разработана математическая модель пространственной расчетной схемы узла тонкостенной стержневой системы, при которой в. зоне соединения стержней используются КЭ оболочки, а вне узла - тонкостенные стержневые. Получена матрица жесткости граничного тонкостенного стержневого КЭ. Комбинация КЭ позволяет выполнять расчеты произвольной стержневой системы, сократить объем исходной информации, трудоемкость ее подготовки.
Выполнен учет депланации сечения стержня при анализе напряженно-деформированного состояния подкрепленной оболочки на основе разработанной математической модели в стандартной форме процедуры МКЭ, позволяющей полнее учитывать особенности тонкостенных конструкций. Получена матрица жесткости стержневого КЭ для' расчета подкрепленной оболочки.
Практическая значимость
Разработан пакет программ кинематического анализа произвольных тонкостенных стержневых систем, пластин, цилиндрических и коробчатых поверхностей, подкрепленных тонкостенными стержнями, и содержащий программы:
- подготовки исходных данных,
расчета произвольных плоских, плоско-пространственных и пространственных стержневых систем,
расчета пластин и оболочек, подкрепленных тонкостенными стержнями.
Пакет программ может быть использован в проектных и конструкторских организациях при анализе напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций.
В работе, состоящей из четырех глав и приложения, принято следующее расположение материала.
В первой главе выполнен анализ существующих методов исследования тонкостенных стержневых систем, численных методов расчета пластин и оболочек и универсальных крупномасштабных программных комплексов, реализующих МКЭ и МСЭ и используемых при проектировании в различных отраслях промышленности.
На защиту выносятся:
Подход к формированию матрицы жесткости конструкции в объектно-ориентированном пакете программ, позволяющий упростить исходную информацию о расчетной схеме задачи. Модифицированные матрицы жесткости КЭ оболочки, используемые в расчетах стержневых систем и подкрепленных конструкций. Рациональное преобразование элементов матрицы жесткости конструкции из обычной точности в двойную с использованием внешней памяти.
Математическая модель узла сопряжения тонкостенных стержней на основе совместного использования КЭ оболочки и тонкостенных стержневых. Матрица жесткости граничного тонкостенного стержневого КЭ и ее формирование.
Математическая модель оболочки, подкрепленной тонкостенными стержнями. Матрица жесткости тонкостенного стержневого КЭ и ее формирование, используемые в расчетах подкрепленной оболочки.
Пакет программ кинематического анализа произвольных тонкостенных стержневых систем, пластин, оболочек, цилиндрических и коробчатых поверхностей, подкрепленных тонкостенными стержнями. Оценка точности результатов расчета на решении тестов и на сравнении с экспериментальными данными.
Результаты численного анализа напряженно-деформированного состояния конструкций.
Основоположником теории расчета тонкостенных стержней является С. П. Тимошенко. Общая теория тонкостенных стержней разработана В. 3. Власовым. Введенные им геометрические характеристики тонкостенного стержня способствовали стройному построению теории. На основе этой теории были разработаны методы расчета плоских рам из тонкостенных стержней. Наиболее широкое распространение получил метод расчета рам Горбунова Б. Н., Стрельбицкой А. И.
Сущность метода заключается в том, что при расчете рам составляются уравнения равновесия узлов. При этом уравнение равновесия получено из условия равенства нулю работы элементарных сил, действующих в концевых сечениях сходящихся стержней на возможных перемещениях, определяемых секториальным законом. Это приводит к уравнению равновесия бимоментов в узле, которое справедливо только для плоских рам с определенной конструкцией узловых соединений.
Проблеме расчета тонкостенных стержневых рам посвящено значительное число работ в автомобильной отрасли, в частности, при разработке методов расчета несущей системы несущей системы автотранспортного средства (АТС). Работы Белокурова В. Н., Закса М. Н., Иванова А. А. и др. посвящены исследованию напряженно-деформированного состояния узлов тонкостенных рамы. Авторами исследована связь между поперечными перемещениями точек сечения лонжерона и продольными перемещениями
точек сечения поперечины. При этом использованы более совершенные гипотезы о равновесии бимоментов в узлах.
Большое внимание уделяется совершенствованию пространственных расчетных схем автомобильной рамы. С этой целью проводятся исследования по применению в модели рамы однотипных КЭ и комбинированных систем, состоящих из различных элементов. Исследования подтвердили большие возможности МКЭ и МСЭ.
При расчете оболочки, подкрепленной стержнями, в модели задачи, как правило, используются КЭ оболочки, работающие в своей плоскости и на изгиб из плоскости и пространственные стержневые КЭ с 6-ю степенями свободы в узле. В этом случае при расчете оболочки, подкрепленной тонкостенными стержнями (двутавр, швеллер и т. д.), не учитывается влияние депланации сечения стержня при его кручении на напряженно-деформированное состояние конструкции в целом.
Матричный аппарат МКЭ носит настолько общий характер, что теоретически возможно составить единую вычислительную программу, способную решить практически неограниченное число разнообразных задач механики конструкций. Вычислительные программы, отвечающие этой цели даже в ограниченном масштабе, называются программами общего назначения.
Применение МКЭ к расчету сложных инженерных конструкций, образованных совокупностью большого числа различных КЭ, приводит к большой трудности. Серьезным недостатком является значительная затрата труда и времени при подготовке исходной информации. Эффективность использования ЭВМ для практических расчетов в значительной степени зависит от рациональной организации исходных данных и вычислений, а также от наличия средств автоматической генерации данных.
Кроме универсальных программных систем создаются комплексы целевого назначения для решения разнообразных задач, возникающих в процессе проектирования и оценки напряженно-деформированного состояния конкретных конструкций, — объектно-ориентированные комплексы, которые более удобны в эксплуатации. В заключение сформулированы цель и задачи исследования.
Во второй главе приведены особенности реализации матричного аппарата МКЭ в форме перемещений и МКЭ с выделением подконструкций (двухуровневая процедура МСЭ).
Показано преимущество матрицы индексов, состоящей из номеров узлов модели, для формирования матрицы жесткости конструкции при реа-- лизации алгоритма расчета в объектно-ориентированном комплексе программ, что позволяет упростить и уменьшить исходную информацию о задаче, но потребовало выполнять модификацию матриц жесткости КЭ.
Модификация матриц жесткости КЭ выполняется путем введения фиктивных степеней свободы в узлы КЭ, у которых число степеней
свободы в узлах меньше максимального числа степеней свободы узлов в расчетной модели задачи.
Приведены алгоритмы численного решения методом Гаусса системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) равновесия в МКЭ. Предложено рациональное преобразование матрицы коэффициентов при неизвестных больших систем уравнений из обычной точности в двойную с использованием внешней памяти ЭВМ.
Рассмотрена пространственная конечно-элементная модель узла сопряжения тонкостенных стержней в комбинации плоских элементов и стержневых КЭ. Предложена матрица жесткости тонкостенного стержневого КЭ граничного сечения сопряжения плоских элементов и стержня, а также алгоритм формирования матрицы жесткости граничного тонкостенного стержневого КЭ.
Рассмотрен изгиб пластины и оболочки, подкрепленной тонкостенными стержнями (двутавр, швеллер и т. д.), позволяющий учитывать влияние депланации сечения стержня при его кручении на напряженно-деформированное состояние конструкции в целом.
Далее приведена усовершенствованная матричная форма метода интегрирования произвольных эпюр, позволяющая использовать один алгоритм для вычисления геометрических характеристик произвольного сечения открытого и одноконтурного закрытого профилей при численной реализации на ЭВМ:
Третья глава посвящена численной реализации МКЭ,. методике образования дискретных конечно-элементных моделей конструкций и подготовке исходной информации для анализа напряженно-деформированного состояния произвольных тонкостенных стержневых систем, пластин и оболочек, подкрепленных стержнями. Общая характеристика пакета программ: ЭВМ: IBM PC-совместимый ПК, Язык: Fortran, ОС: Windows, Объем: 302 Кбайта исходного текста.
Библиотека КЭ пакета программ содержит 14 различных типов КЭ, из которых 8 балочных и тонкостенных стержневых КЭ: плоский и пространственный КЭ фермы, работающие на растяжение-сжатие; балочные и тонкостенные стержневые КЭ, работающие на растяжение-сжатие и изгиб, на изгиб и кручение; пространственные КЭ и КЭ граничного сечения и 6 треугольных и прямоугольных КЭ^ работающих в своей плоскости, на изгиб из своей плоскости и комбинированные (КЭ оболочки).
Такой набор элементов позволяет рассчитывать плоские и пространственные конструкции при стержневой, пластинчато-стержневой и оболо-чечно-стержневой идеализации.
Пакет программ состоит из вспомогательных программ подготовки исходных данных и программ, реализующих МКЭ.
Вспомогательные программы:
Вычисление геометрических характеристик произвольного сечения открытого и одноконтурного закрытого профилей;
Генерирование узлов с их координатами по площади панели; генерирование стержневых и прямоугольных КЭ с их типом, матрицей индексов, толщиной элементов и распределенной нагрузкой.
Программы расчета стержневых систем:
Статика произвольной плоской стержневой системы;
Статика произвольной плоско-пространственной тонкостенной стержневой системы;
Статика произвольной пространственной стержневой системы (МКЭ с выделением подконструкций и без выделения);
Статика произвольной пространственной тонкостенной стержневой системы.
Программы расчета пластин и оболочек:
Плоская и осесимметричная задачи теории упругости;
Изгиб пластины, подкрепленной тонкостенными стержнями;
Оболочка как совокупность плоских элементов, подкрепленная тонкостенными стержнями.
Приведена структура, характеристика и функциональные возможности программ.
Программа «Вычисление геометрических характеристик произвольного тонкостенного сечения открытого и одноконтурного закрытого профилей» позволяет определять геометрические характеристики открытого, закрытого и комбинированного тонкостенных сечений при минимальном количестве исходных данных и простоте их подготовки.
Расчетная модель тонкостенного сечения и структура исходных данных программы аналогична программам, реализующим МКЭ: дискретная схема тонкостенного сечения, координаты узлов (секториальные координаты узлов сечения вычисляются непосредственно в программе) и матрица индексов, элементы которой — номера узлов участков сечения. Секториальные координаты узлов вычисляются непосредственно по их определению (удвоенная площадь фигуры, заключенная между начальным радиусом-вектором и радиусом-вектором, проведенным из полюса в рассматриваемый узел) в соответствии с последовательностью элементов расчетной модели сечения в матрице индексов.
Программы генерирования исходной информации (координат узлов и матриц индексов КЭ) особенно эффективны при решении задач, содержащих многие сотни узлов и КЭ. Выходные файлы OUT программ генерирования узлов и КЭ модели конструкции являются входными файлами INP программ, реализующих МКЭ, т. е. у операторов вывода вспомогательных программ генерирования и у операторов ввода программ, реализующих МКЭ, один и тот же оператор FORMAT. Такая организация входных
и выходных данных в программах значительно сокращает трудоемкость подготовки исходной информации и решения задачи в целом.
Различие программ, реализующих МКЭ и предназначенных для решения конкретных задач, заключается в типах КЭ, в исходной информации и в следующих матрицах КЭ: жесткости, направляющих косинусов, ортогонального преобразования координат, а также в подпрограммах вычисления внутренних узловых сил и напряжений. Структура программ, реализующих МКЭ, построена по модульному принципу, что обеспечивает возможность библиотеке КЭ быть открытой и достаточно просто пополняемой, т. е. по мере использования пакета программ появляется необходимость в новых элементах и библиотека элементов может расширяться.
Приведено описание наиболее характерной программы «Изгиб пластины, подкрепленной тонкостенными стержнями», реализующей МКЭ, и ее блок-схема, а также описание и блок-схема программы «Статика произвольной пространственной стержневой системы», реализующей МКЭ с выделением подконструкций.
Рассмотрены принципы образования расчетных моделей произвольного тонкостенного сечения открытого и одноконтурного закрытого профилей для вычисления их геометрических характеристик, а также конечно-элементных моделей стержневых, пластинчато-стержневых и оболочечно-стержневых систем.
Рассмотрены особенности различных конечно-элементных моделей, подготовки исходной информации при расчете по разработанным программам в каждом конкретном случае.
В четвертой главе выполнена оценка точности расчетов и приведены результаты применения разработанного пакета программ при исследовании и проектировании тонкостенных конструкций. Приведена оценка точности результатов расчета, выполненная на различных тестах в каждом конкретном случае на всех этапах разработки и реализации численных алгоритмов. Рассмотрена сходимость приближенных численных решений МКЭ при изгибе пластины для различных КЭ при увеличении густоты сетки элементов в сравнении с известными аналитическими и численными решениями. Выполнено сравнение результатов расчета с данными экспериментальных исследований для двух узлов рамы автомобиля УАЗ, конечно-элементные модели которых образованы совокупностью плоских КЭ оболочки и тонкостенных стержневых.
Проведены экспериментальные исследования пластины, подкрепленной тонкостенными стержнями, для оценки ее результатов расчета с различными конечно-элементными моделями.
Далее выполнен поверочный расчет напряженно-деформированного состояния рамы автомобиля УАЗ-3303 на основе плоской конечно-элементной модели при симметричной нагрузке, в соответствии с весовой характеристикой автомобиля, а также и при кососимметричной нагрузке: изгибе в горизонтальной плоскости и кручении. По результатам расчетов
построены графики нормальных напряжений в лонжероне рамы. Приведен анализ напряженно-деформированного состояния рамы.
Выполнены исследования напряженно-деформированного состояния коробчатого подкрепленного блока технологической системы ТС-20 (20 м ) на стадии проектирования с помощью разработанной программы «Расчет емкости реактора для разложения СОЖ», предназначенной для расчета цилиндрических и коробчатых конструкций, подкрепленных и не подкрепленных стержневым каркасом. Разработка программы целевого назначения позволила обеспечить рациональную организацию исходных данных и вычислений, упростить исходную информацию о задаче и ее подготовку: распределенная нагрузка, действующая на КЭ, вводится в общей системе координат и обеспечивается полная генерация узлов и КЭ задачи. Конечно-элементная модель четвертой части предложенного проекта блока к численному исследованию его напряженного и деформированного состояний образована 2689 прямоугольными КЭ оболочки и 206 пространственными балочными КЭ, и содержит 2784 узла. Разрешающая СЛАУ равновесия задачи состоит из 16704 уравнений.
Аналогичные исследования напряженного и деформированного состояний выполнены на стадии проектирования блока ТС-90. Конечно-элементная модель четвертой части проекта образована 7011 прямоугольными КЭ оболочки и 870 пространственными балочными КЭ, и содержит 7172 узла. Разрешающая СЛАУ равновесия конечно-элементной модели задачи состоит из 43032 уравнений. По результатам расчетов вариантов конструкций построены графики линейных перемещений и нормальных напряжений, приведены максимальные значения нормальных напряжений и прогибов для рассмотренных моделей и вариантов конструкций. На основе многовариантных численных экспериментов, путем варьирования жесткостью стержней каркаса и толщиной листа металла блоков, разработаны рекомендации по совершенствованию конструкций, что позволило в целом улучшить их несущую способность и уменьшить массу на 1750 кг.
В приложении приведены табуляграммы расчетов тестов и примеров, выполненных по разработанным программам.
Работа выполнялась на кафедре «Основы проектирования машин» Ульяновского государственного технического университета.
Автор считает своим долгом выразить признательность и благодарность научному руководителю д. т. н., профессору Дьякову Ивану Федоровичу за оказанную помощь и консультации при выполнении работы.
Численные методы расчета пластин и оболочек
Интенсивное развитие теории оболочек и пластин обусловлено потребностями практики. Высокая механическая прочность и легкость оболочек обусловливает их широкое использование в технических конструкциях. В связи с этим одной из главных задач механики тонкостенных конструкций является совершенствование методов расчета и проектирования пластин и оболочек сложной формы при действии распределенных и локальных нагрузок. В силу различных обстоятельств аналитическое решение дифференциальных уравнений для большинства практически важных задач установить невозможно. В этой связи приближенные численные методы являются единственно возможным подходом в исследовании и получении приемлемых результатов при решении практически важных задач.
Наиболее распространенными численными методами расчета пластин и оболочек являются: метод коллокации, основанный на достаточно мелкой дискретизации изучаемой области; метод конечных разностей, основанный на введении линейных сеток с неизвестными значениями переменных в узлах; различные модификации вариационных методов, а также метод граничных элементов, основанный на численном решении граничных интегральных уравнений с дискретизацией границы области и МКЭ, основанный на моделировании области большим числом дискретных элементов простой структуры.
Обзоры публикаций по расчету оболочек различной формы приведены в работах [12, 25, 57, 69].
Методы коллокации занимают значительное место в теории пластин и оболочек. Развитию этих методов расчета и их реализации посвящены работы Григоренко Я. М., Рогалевича В. В. [34, 78] и др.
Для расчета оболочек сложной геометрии применяются различные модификации метода конечных разностей. В следующих работах Вайнбер-га Д. В., Корнишина М. С, Столярова Н. Н. и др. изложены способы построения разностных схем [17, 56, 86].
Исследованию и разработке методов расчета пластин и пологих оболочек сложной геометрии также посвящен цикл работ Корнишина М. С, Галимова К. 3., Паймушина В. Н., Якупова Н. М. и их учеников [56, 57, 25, 102]. В этих работах излагаются вопросы выбора поверхности приведения, позволяющие эффективно проводить параметризацию для областей неканонической формы, приведен вывод необходимых соотношений, получены многочисленные результаты по прочности, устойчивости и динамике элементов конструкций.
В работах Артюхина Ю. П., Серазутдинова М. Н. [3, 4, 85] дается развитие вариационного метода в задачах статического и динамического расчета пластин и оболочек сложной конфигурации с различными граничными условиями, рассматриваются вопросы построения координатных функций, а также способы подкрепления ребрами жесткости пластин и оболочек.
Численной реализации методов потенциала в задачах теории упругости посвящены работы Бреббия К., Верюжского Ю. В., Громадки Т., Крау-ча С, Круза Т., Партона В. 3., Угодчикова А. Г. и др. [14, 15, 20, 35, 58, 69, 92].
В последние годы для решения задач механики эффективно применяются методы граничных интегральных уравнений или методы потенциала. Метод граничных интегральных уравнений решает не исходные
дифференциальные уравнения, описывающие рассматриваемую задачу, а соответствующие этой задаче граничные интегральные уравнения, которые могут быть построены при существовании фундаментальных решений для исследуемых дифференциальных операторов и при проведении детального анализа предельных соотношений интегральных представлений, имеющих место при переходе через контур. Искомое решение в области определяется граничными интегральными соотношениями с найденными функциями плотности. При численном решении дискретизация проводится не для области, а для ее границы. Это приводит к понижению на единицу размерности решаемой задачи.
Развитие вычислительный техники и исследований по методам решения интегральных уравнений обусловили переход метода граничных интегральных уравнений от теоретических исследований к решению широкого круга практических задач. Появляется большое число работ, связанных с использованием и-развитием метода граничных элементов в приложении к различным задачам механики деформируемых тел.
Метод граничных элементов является методом численного решения граничных интегральных уравнений с дискретизацией границы области и заданием аппроксимации функций плотности на границе. С вычислительной точки зрения метод граничных элементов приводит к системе меньшего порядка, чем другие численные методы в частности МКЭ и метод конечных разностей при решении той же задачи. После решения уравнений можно найти решение в любой точке заданной области, в силу аналитического решения, которое справедливо везде в рассматриваемой области. Физические величины, связанные с производными решения, можно получить аналитически, дифференцируя сингулярные решения и суммируя их, что также способствует повышению точности, т. к. численное интегрирование всегда представляет более устойчивый и точный процесс, чем численное дифференцирование.
Среди методов построения граничных интегральных уравнений можно выделить два основных направления. Прямой метод граничных элементов, основанный на формуле Сомилиана, полученной из теоремы о взаимности работ Бетти, где неизвестные плотности в интегральном уравнении имеют реальный физический смысл. В теории оболочек такими величинами являются перемещения, силы и моменты.
В непрямом методе граничных элементов ядра интегральных уравне-г- ний представляют фундаментальное решение и его производные, распре- -г деленные на границе рассматриваемой области с некоторой плотностью. Функции плотности не обладают каким-либо физическим смыслом, но если они определены, то решение в области определяется вычислением граничных интегралов, отвечающих рассматриваемой задаче.
Непрямой метод граничных элементов в задачах изгиба пластин известен как метод компенсирующих нагрузок. Функциям плотности придается смысл нагрузок, приложенных к бесконечной пластине и распреде ленных по границе области, или по контуру пластины, внутри которого находится область. В задачах изгиба пластин первые работы в этом направлении выполнены Кореневым Б. Г. [55], а дальнейшее развитие этот метод получил в работах Артюхина Ю. П., Венцеля Э. С, Толкачева В. М. и др. [2, 3, 5, 18, 19, 62, 67, 90, 101].
Вопросы применения метода граничных элементов к решению задач плоского напряженного состояния пластины достаточно разработаны и отражены в публикациях [104, 106-108, 109, 112, 114-117, 120, 123, 125, 127, 129, 131] и др.
Решению задач изгиба пологих оболочек в линейной постановке посвящены работы [2, 19, 23, 24, 45, 56, 57, НО, 113,118, 126, 128, 130, 132].
Применение метода граничных элементов в задачах расчета оболочек связано с определенными трудностями. Это во многих случаях отсутствие фундаментальных решений в замкнутом виде. Монография Верюжского Ю. В. [20] посвящена разработке методов исследования деформирования плоских и пространственных тел в статике. Для основных видов граничных условий при дискретизации границы и аппроксимации плотностей выполнен переход от интегральных соотношений к их алгебраическим аналогам. Интегральные соотношения записаны на основе формулы Соми-лиана. Предложена методика вычисления эластопотенциалов в виде замкнутых аналитических выражений для кусочно-линейных и сплайновых аппроксимаций функций плотностей. Рассмотрено решение задач изгиба пластин, плоской и пространственной задач теории упругости.
Среди известных ученых, занимающихся вопросами приложения и развития метода граничных элементов, весомый авторитет принадлежит Бреббия К., который с рядом соавторов имеет большое число публикаций в этой области. Именно ему приписывается авторство в названии метода граничных элементов, которое было заголовком одной из его работ.
Одной из первых работ Бреббия К. в соавторстве с Уокером С. является работа [15], в которой дана классификация известных приближенных методов и определено место методу граничных элементов в этом ряду. На примере классической задачи о потенциале приводится прямая и непрямая формулировки метода граничных элементов. Обсуждается роль фундаментальных решений исходных дифференциальных операторов в данном методе. Рассмотрен вопрос установления фундаментальных решений для некоторых типов известных дифференциальных уравнений, в том числе и тех, которые зависят от времени. Произведена постановка к решению как линейных, так и нелинейных задач.
Значимой является монография Бреббия К., Теллеса Ж. и Броубеля Л. [14]. Дан детальный анализ по классификации приближенных методов и их возможной связи. Высказывается соображение о том, что в основе известных приближенных методов, в том числе и метода граничных элементов, возможно, лежит концепция метода взвешенных невязок. Помимо задач, связанных с теорией потенциала, обсуждаются подходы к решению задач теплопроводности, теории пластичности и вязкоупругости. Наиболее подробному рассмотрению и анализу подверглись задачи теории упругости. В кратком изложении дается постановка задачи изгиба тонких пластин, приводятся результаты решения для нескольких примеров. Введена глава, в которой обсуждаются возможные подходы по совместному применению различных методов в частности метода конечных и метода граничных элементов. В целом усматривается тенденция по расширению сферы применения метода граничных элементов в обоих его вариантах.
Большое исследование по различным аспектам применения метода граничных элементов при решении задач механики проведено в монографии Бенерджи П. и Баттерфилда Р. [13]. Акцент сделан на практические стороны приложения метода в различных его вариантах. Уделено внимание таким вопросам, как формирование систем интегральных уравнений при выполнении граничных условий, анализ получаемых сингулярностей и способы их преодоления. Значительное внимание уделено дискретизации границы и аппроксимации искомых граничных функций в пределах отдельных граничных элементов. Анализируются подходы по учету влияния ребер и угловых точек на границе изучаемой области. Одна из глав посвящена изгибу тонких пластин, как в прямом, так и непрямом варианте метода граничных элементов.
Синтезу МКЭ и метода граничных элементов посвящены работы Бан-царева К. Н., Серазутдинова М. Н. [9, 85].
Каждый из этих рассмотренных численных методов теории оболочек обусловлен необходимостью решения определенного круга задач, имеет свою историю становления и этапы последующего развития с целью расширения области его применения. Но любой из численных методов, имея большие достоинства в плане простоты и эффективности, не лишен определенных недостатков, зачастую принципиального характера, которые обусловливают границы его применения.
Известно, что расчет различных конструкций сводится к определению их напряженно-деформированного состояния, т. е. к решению задачи по определению неизвестных функций: перемещений, деформаций и напряжений или интегральных факторов: погонных сил и моментов в пластинах и оболочках, внутренних силовых факторов в сечениях стержней, реакций опор и т. д.
Пространственная конечно-элементная модель узла соединения тонкостенных стержней
Кратко рассмотрим процедуру расчета конструкции МКЭ в форме перемещений. Конструкция, с учетом ее геометрии, разбивается на некоторое количество КЭ, которые связаны между собой узловыми точками (узлами), расположенными на их границах. Конструкция, смоделированная таким образом совокупностью КЭ, рассматривается как дискретная, нагруженная узловыми силами, которые статически эквивалентны действующим на элемент распределенным нагрузкам и граничным напряжениям. Согласно принципам расчета дискретных систем перемещения внутри каждого КЭ определяются через перемещения принадлежащих ему узлов. Для этого необходимо задать характер поля перемещений внутри элемента, то есть выбрать функции перемещений КЭ. Функции перемещений позволяют аппроксимировать перемещения внутри элемента по известным узловым перемещениям. Аппроксимирующие функции должны быть выбраны таким образом, чтобы удовлетворять требованиям непрерывности перемещений между смежными элементами. Выбор функций перемещений играет важную роль в МКЭ, так как, в конечном итоге, напряженное и деформированное состояния элемента определяются-его узловыми перемещениями. Полная энергия системы П представляется как функция m неизвестных перемещений z, где m — число степеней свободы всех узлов конструкции.
Согласно вариационному принципу Лагранжа возможно образование m линейных алгебраических уравнений dz В результате решения СЛАУ равновесия определяются искомые узловые перемещения. Для кинематически неопределимых систем наибольшее распространение получила следующая матричная зависимость определения вектора внутренних узловых сил конструкции в общей системе координат XYZ0: где {SK} - вектор внутренних узловых сил конструкции, состоящий из блоков (клеток) векторов внутренних узловых сил КЭ {S}; [К] - квазидиагональная матрица жесткости конструкции, состоящая из блоков матриц жесткости КЭ [Кг] в общей системе координат; [А] — матрица соответствий конструкции, состоящая из блоков матриц соответствий КЭ [Аг]; {Р0} - вектор узловой нагрузки конструкции; {Z } - вектор узловых перемещений конструкции. Вектор узловой нагрузки в общей системе координат {Р } формируется из сосредоточенных сил и моментов, приложенных к узлам сопряжения КЭ расчетной схемы конструкции, а также из узловых сил и моментов, которые статически эквивалентны действующим на КЭ распределенным нагрузкам. Квазидиагональная матрица жесткости конструкции [К J представляет собой следующую матрицу: где п — число КЭ в расчетной схеме конструкции; [Кг] - матрица жесткости г-го КЭ в общей системе координат, которая вычисляется по формуле где [Кг] — матрица жесткости r-го КЭ; в местной системе координат XYZ; [Тг] - матрица ортогонального преобразования координат КЭ. Матрица ортогонального преобразования координат КЭ [Тг] состоит из матриц направляющих косинусов и связывает вектор узловых перемещений КЭ в местной системе координат {Zr} с вектором узловых перемещений КЭ в общей системе координат {Z г } Матрица соответствий конструкции [А] содержит топологическую информацию, указывающую адрес, по которому должны быть распределены компоненты матриц жесткости [К] всех КЭ на поле матрицы жесткости конструкции [К0] где [Аг] - матрица соответствий r-го КЭ, число строк которой равно числу степеней свободы узлов КЭ, а число столбцов — числу степеней свободы узлов расчетной схемы конструкции. Матрица соответствий элемента [Аг] - булева матрица (целочисленная, элементы матрицы принимают только два значения: 0 и 1), которой задается топологическая информация степеней свободы узлов r-го КЭ. Как отмечалось, строки матрицы — это номера степеней свободы узлов КЭ, а столбцы - это номера степеней свободы узлов конструкции. На пересечении соответствующих номеров строк и столбцов матрицы соответствий ставится единица, а остальные элементы матрицы нулевые. Например, число степеней свободы в расчетной схеме конструкции п, тогда для балочного КЭ с двумя степенями свободы в узле и с номерами узлов в расчетной схеме конструкции 1, 3 матрица соответствий [Аг] будет: о о о о Матрица жесткости конструкции [К0] содержит зависимые уравнения, определяющие зависимость нагрузки и реакций опор, что не позволяет выполнить решение ЄЛАУ равновесия задачи, т. е. обращение матрицы жесткости конструкции. Чтобы обеспечить возможность решения системы уравнений, необходимо в матрице жесткости [К0] реализовать условия кинематического закрепления задачи: в виде связей, накладываемых на узловые перемещения и ограничивающих свободу перемещений задачи в пространстве (опоры), и получить, тем самым, матрицу коэффициентов системы уравнений равновесия [К?]. Для преобразования матрицы жесткости конструкции в матрицу коэффициентов системы уравнений равновесия применяется способ, аналогичный преобразованию при решении задачи, для которой заданы перемещения. Например, при известном перемещении, положим Z, элементы первой строки и первого столбца матрицы жесткости конструкции становятся нулевыми, а элемент главной, диагонали - единичным. При этом элементы вектора-столбца нагрузки становятся-равными При кинематическом закреплении (пусть Zf=0) необходимо изменить матрицу жесткости описанным выше способом. Элементы вектора нагрузки остаются неизменными, кроме Pi = 0. Таким образом, СЛАУ равновесия задачи может быть представлена в следующем виде: Решение системы уравнений позволяет определить вектор узловых перемещений конструкции Приведенные основные зависимости матричного аппарата МКЭ носят стандартный характер для КЭ различного типа и предусматривают применение ЭВМ на всех этапах расчета. Алгоритмы реализации МКЭ, как правило, отличаются структурой и формой геометрических и топологических характеристик конструкции: описанием конструкции (способ формирования матрицы жесткости конструкции), т. е. исходной информацией в реализующей программе.
При реализации алгоритма МКЭ формирование матрицы жесткости конструкции непосредственно по выражению (2.4) крайне неэффективно, т. к. матрица соответствий состоит из единиц и большого количества нулей, что приводит к нерациональному использованию памяти ЭВМ. В программном комплексе [63] формируется матрица жесткости конструкции [К0] с помощью матрицы типов узлов [Ту] — булевой матрицы, число строк у которой равно числу узлов расчетной схемы конструкции, а число столбцов равно максимальному числу степеней свободы узлов, и с помощью матрицы связи узлов [С], элементы которой устанавливают соответствие номеров узлов в общей и местной системах нумерации. Если расчетная схема конструкции предусматривает наличие в і-м узле перемещения, соответствующего j-й координате, элемент матрицы [Ту] ty= 1, иначе tjj=0. Такой подход дает возможность исключить из системы уравнений зависимые уравнения, определяющие зависимость нагрузки и реакций опор, и получить систему уравнений равновесия, где каждое уравнение представляет собой одно из уравнений равновесия какого-либо узла, соответствующее данному его возможному перемещению.
Геометрические характеристики произвольного тонкостенного сечения открытого и одноконтурного закрытого профилей
При вычислении геометрических характеристик тонкостенного сечения по программе «Вычисление геометрических характеристик произвольного тонкостенного сечения открытого и одноконтурного закрытого профилей» расчетная схема сечения (рис.3.5) представляет собой его контур по средней линии сечения.
За границы участков (элементов) принимаются узлы, в. которых происходит изменение направления линии контура, а также изменение толщины элемента сечения-.
Если толщина элемента сечения переменная, то она меняется на ступенчато-переменную толщину по его длине. В этом случае каждая ступень является узлом расчетной схемы.
Криволинейные части контура моделируются несколькими прямолинейными. Возможно и дополнительное введение узлов в расчетную схему сечения. Рекомендуется нумеровать узлы слева — направо и снизу — вверх, т. е. по направлению осей вспомогательной системы координат. Полюс и точка отсчета секториальной площади (секториальной координаты) со0 расположены в узле начала вспомогательной системы координат XY.
Элементами матрицы индексов являются номера соответствующих узлов расчетной схемы сечения. Число строк матрицы индексов равно числу элементов расчетной схемы, а число столбцов равно двум (число узлов в элементе). Нумерация элементов и последовательность номеров узлов элементов (начало — конец) соответствуют последовательности прохождения радиуса-вектора по элементам и узлам расчетной схемы сечения при построении эпюры секториальной координаты.
Для сечений закрытого профиля первый и последний узлы совпадают, и в этих узлах также расположено начало вспомогательной системы координат. Нумерация узлов выполняется против часовой стрелки, т. е. в соответствии с положительным направлением движения радиуса-вектора для отсчета секториальной координаты. Каждый узел контура сечения тонкостенного стержня характеризуется тремя координатами: двумя линейными х, у и одной секториальной ю0, измеряемой в квадратных сантиметрах.
Вычисление секториальных координат узлов тонкостенного сечения требует определенных навыков и вызывает известные трудности. В связи с этим при реализации алгоритма предлагается выполнять нумерацию узлов и элементов расчетной схемы сечения, что позволило исключить сектори-альные координаты из исходных данных задачи и возложить программе вычисление их по координатам узлов.
Секториальные координаты узлов вычисляются непосредственно по их определению (удвоенная площадь фигуры, заключенной между начальным радиусом-вектором и радиусом-вектором, проведенным из полюса в рассматриваемый узел) в соответствии с последовательностью элементов расчетной схемы сечения в матрице индексов. Формула для вычисления соо узла сечения по координатам х, у начала и конца элемента следующая: ш0 j + 2 (площадь треугольника 0, і, і+1), где і - номер узла элемента расчетной схемы сечения.
Исходными данными дискретной расчетной схемы сечения являются: тип сечения, координаты узлов сопряжения элементов во вспомогательной системе координат XY, матрица индексов (номера узлов) и толщины участков.
В приложении приведены табуляграммы расчета с выводом на печать исходной информации открытого тонкостенного сечения-(см. рис. 3.5), образованного пятью элементами и содержащего шесть узлов, а также закрытого сечения трубы профильной ГОСТ 8639 - 82: четыре элемента, пять узлов.
При расчете стержневой системы ее модель представляет собой систему, образованную осями стержней, проходящими через центры тяжести поперечных сечений при использовании балочных КЭ или через центры изгиба при использовании тонкостенных стержневых КЭ.
За узлы сопряжения стержневых КЭ принимаются сечения, в которых: изменяется направление оси стержня; приложена сосредоточенная нагрузка и (или) заданы линейные или угловые перемещения; имеются кинематические закрепления конструкции, в том числе с заданной линейной и (или) угловой жесткостью; изменяются геометрические характеристики сечения стержня; находится произвольный шарнир (ы); изменяются характеристики материала стержня.
Кроме этого, в расчетную схему могут быть введены и другие дополнительные узлы в произвольных сечениях стержня для получения более подробной информации о напряженно-деформированном состоянии конструкции. Далее выполняется нумерация узлов и КЭ. Нумерация узлов должна быть выполнена таким образом, чтобы разность номеров узлов КЭ была минимальной. Чем меньше эта разность, тем меньше ширина ленты матрицы жесткости конструкции и, следовательно, меньше время счета на ЭВМ. Как правило, минимум ширины ленты обеспечивает последовательность нумерации узлов конечно-элементной модели по сечениям, расположенным по длине конструкции. Как отмечалось, ширина половины ленты матрицы жесткости конструкции вычисляется по формуле
LENTA = (R+1)-NS, где R - наибольшая разность номеров узлов КЭ; NS - число степеней свободы в узле.
Заданные узловые сосредоточенные силы, моменты, линейные и угловые перемещения вводятся в общей системе координат XYZ. Положительные значения нагрузки соответствуют принятым положительным направлениям перемещений в матрицах жесткости КЭ: линейные перемещения положительные по направлению осей системы-координат XY0Z, угловые перемещения - против часовой стрелки, если смотреть со стороны направления осей.
Депланация сечения ф х положительная, если она соответствует положительному приращению угла закручивания рх. Соответственно изгиб-но-крутящий бимомент Вш положительный, если для наблюдателя, смотрящего вдоль плеча бипары (по оси Y) , ближайшая к нему пара действует против часовой стрелки.
Если по длине стержня приложена распределенная (погонная) нагрузка q, (рис. 3.6), то она заменяется эквивалентной узловой. В этом случае по длине стержня вводятся дополнительные узлы (желательно равномерно) и, следовательно, дополнительные КЭ по которым и распределяется заданная распределенная нагрузка. При использовании дополнительных узлов в модель конструкции вводится нумерация этих узлов.
Такой прием замены распределенной нагрузки q на эквивалентные узловые сосредоточенные силы Р и моменты М приближенный, но достаточно точный, широко распространен и не требует никаких изменений в алгоритме расчета при его реализации.
Поверочный расчет напряженно-деформированного состояния рамы автомобиля УАЗ-3303
Оценка напряженно-деформированного состояния рамы автомобиля УАЗ-3303 выполнена в соответствии с методикой лаборатории несущих систем Центрального ордена Трудового Красного Знамени научно-исследовательского автомобильного и автомоторного института «НАМИ», согласно которой выполняются расчеты на изгиб и кручение.
Расчет рамы автомобиля на изгиб выполняется согласно его весовой характеристики (табл. 4.3), где силы Pi — Рі5 от веса агрегатов приведены к наиболее нагруженному левому лонжерону рамы.
Значения опорных реакций, действующих на лонжерон со стороны платформы, т. е. сил Р9, Ріі, Різ и Рі5, определялись решением дважды статически неопределимой балки.
Для оценки влияния расположения полезной нагрузки на платформе на напряженно-деформированное состояние рамы выполнены исследования изгиба лонжероны рамы при следующих вариантах загрузки платформы (номинальная грузоподъемность автомобиля 800 кг): 1. Нагрузка расположена в передней части платформы на половине ее длины. 2. Две трети нагрузки расположены в передней части платформы, а одна треть — в задней половине. 3. Равномерное распределение полезной нагрузки по площади платформы.
Расчетная схема лонжерона рамы представляет собой статически определимую балку, нагруженную силами Pi — Р)5, в которой определяются реакции опор RA И RB, расположенные по оси передних (ОПК) и оси задних колес (ОЗК). Эти реакции распределяются по кронштейнам передней и задней рессор соответственно: R A, R" HR R .
В конечно-элементной модели лонжерона 27 балочных КЭ № 2, NS=3 (при расчете по программе «Статика произвольной плоской стержневой системы») и 28 узлов. За узлы сопряжения КЭ принимались сечения лонжерона, в которых приложены сосредоточенные силы Pi - Рі4 от веса агрегатов и сечения крепления кронштейнов рессор в передней и задней подвесках. Также в расчетную схему введены и дополнительные узлы по длине базы автомобиля для получения более подробной информации о напряженно-деформированном состоянии лонжерона. Для силы Pi5 выполнен параллельный перенос в двадцать восьмой узел (сила и изгибающий момент) расчетной схемы лонжерона. Балочные КЭ наделялись геометрическими характеристиками сечений соответствующих моделируемых участков лонжерона рамы. При этом участки лонжерона с переменным сечением (зоны крепления рессор) менялись на участки со ступенчато-переменными сечениями. В системе разрешающих линейных алгебраических уравнений равновесия задачи 66 уравнений.
Точками отсчета прогибов приняты сечения лонжерона по ОПК и ОЗК, в которые введены шарнирные опоры. Так как у расчетной схемы лонжерона действующая нагрузка уравновешенная, то точками отсчета прогибов могут быть произвольные сечения по длине лонжерона. В результате расчета лонжерона на изгиб вычисляются линейные (прогибы) и угловые перемещения, поперечные силы и изгибающие моменты в узлах расчетной схемы, а также нормальные напряжения в сечениях КЭ. На рис. 4.16 приведены конечно-элементная модель лонжерона, графики его прогибов и нормальных напряжений в верхней полке сечений.
Результаты расчета при симметричном нагружении рамы показали, что на напряженно-деформированное состояние лонжерона практически не оказывают влияние рассмотренные варианты загрузки платформы. Так, прогиб в средней части лонжерона в базе автомобиля для всех вариантов загрузки платформы достигает 2 мм, а суммарный прогиб (с учетом концов лонжерона) соответственно по вариантам загрузки — 5,6; 5,8 и 5,9 мм. Для семейства грузовых автомобилей ЗиЛ максимальный прогиб лонжерона 3-4 мм. По рекомендации SAE для грузового автомобиля величина максимального прогиба лонжерона в базе автомобиля не должна превышать 12,7 мм.
Нормальные напряжения от веса агрегатов в верхней полке лонжерона достигают 42 МПа в передней части лонжерона за реакцией R для всех вариантов нагружения, а по вариантам нагружения — 53; 54 и 55 МПа за реакцией Ry.
При движении автомобиля по неровностям дороги изгиб рамы в горизонтальной плоскости совместно с ее кручением является постоянно действующим нагружением рамы.
Расчет рамы автомобиля на изгиб в горизонтальной плоскости выполнялся от боковой силы Yr=l,84 кН, которая определена по методике лаборатории рам и кузовов НАМИ: на 10 кН удвоенной весовой характеристики автомобиля приходится 1 кН боковой силы, действующей на раму грузового автомобиля лестничного типа. Далее расчетная горизонтальная сила распределяется по четырем узлам, соответствующим местам крепления кронштейнов рессор в передней подвеске, и уравновешивается аналогичными распределенными силами в задней подвеске. Такое определение расчетной горизонтальной силы, действующей на раму грузового автомобиля, и ее распределение подтверждены дорожными испытаниями при различных условиях движения («Исследование прочности и жесткости рам семейства автомобилей ЗиЛ-169», техн. отчет НАМИ, № 10430).
Расчет рамы автомобиля на кручение выполнялся на угол закручивания рамы 5 на длине базы автомобиля (кососимметричное нагружение). Так как рама автомобиля УАЗ-3303 симметричная, то возможно построение ее модели с учетом симметрии конструкции при расчете на изгиб в горизонтальной плоскости и кручение.
На рис. 4.17 приведена конечно-элементная расчетная схема рамы, а на рис. 4.18 результаты расчета рамы на изгиб в горизонтальной плоскости и кручение.
Расчетная схема рамы с учетом ее симметрии содержит 68 стержневых КЭ и 68 узлов. За узлы сопряжения КЭ принимались узлы соединений поперечин с лонжеронами и сечения поперечин и лонжеронов, в которых изменяются геометрические характеристики. Участки лонжерона с переменным сечением менялись на участки со ступенчато - переменным сечением.
При расчете рамы на изгиб в горизонтальной плоскости (как и при расчете лонжерона) моделирование рамы выполнялось балочными КЭ № 2, NS=3. Такое моделирование рамы приводит к 204 уравнениям равновесия. Кинематические закрепления модели рамы показаны на рис. 4.17,6, которые реализованы следующим образом: шарнирно-неподвижная опора расположена в узле 50 на лонжероне в плоскости ОЗК, а шарнирно-подвижные опоры - по оси Х в узлах поперечин по оси симметрии рамы 7, 16, 30, 43, 55, 68. Силы Рг=0,46 кН приложены в местах крепления кронштейнов рессор соответственно в узлах 8, 24 и 45, 59, суммы которых попарно равны половине расчетной горизонтальной силы Y,-. а
В результате расчета для каждого расчетного сечения определяются линейные и угловые перемещения, поперечные и продольные силы, изгибающие моменты и нормальные напряжения аг. Перемещение переднего конца лонжерона составило 20,4 мм (рис. 4.18,а). Наибольшие нормальные напряжения аг в лонжероне в зонах второй, третьей и четвертой поперечин. Максимальные напряжения составили 25,2 МПа у четвертой поперечины (рис. 4.18,6). При расчете рамы на кручение использовался тонкостенный стержневой КЭ № 4, NS=4 (программа «Статика произвольной плоскопространственной стержневой системы»). Система уравнений равновесия состоит из 272 уравнений. В узле 50 лонжерона рамы по ОЗК вводится шарнирно-неподвижная опора, а шарнирно-подвижные опоры - в тех же узлах поперечин, но по оси Z , в которые вводятся и кинематические связи по углам поворота сечений относительно оси Y0 (см. рис. 4.17,в).
