Введение к работе
Актуальность. Сегодня, как правило, специализированные вычислители реализуются на основе заказных или полузаказных сверхбольших интегральных схем (СБИС), структура которых адаптирована к выполняемому алгоритму и позволяет распараллелить его выполнение на аппаратном уровне, что при обеспечении высокого быстродействия минимизирует массо-объёмные характеристики оборудования. Однако разработка таких СБИС является сложным и дорогостоящим процессом и, поэтому, оправдана только при больших объёмах производства.
Наиболее оптимальным решением для малобюджетных и среднебюджетных проектов является применение СБИС Программируемой Логики (СБИС ПЛ). В этом случае обеспечивается распараллеливание процесса обработки на аппаратном уровне, что увеличивает производительность в разы по сравнению с программным решением, а сама СБИС ПЛ является стандартным элементом и изменение её структуры с помощью соответствующих САПР осуществляется столь же легко, как у любых программных решений.
Вопрос нахождения численных значений элементарных математических функций средствами таких вычислителей является весьма актуальным. Однако на практике часто возникают ситуации, при которых либо точность, либо затраты аппаратных ресурсов на реализацию, обеспечиваемые известными техническими решениями, являются чрезмерными. Решение этого вопроса, на практике, требует вычисления некоторого многочлена, степень которого определяет точность получаемого результата. Известны такие методы вычисления многочлена, как схема Горнера или предложенная Паном В.Я. универсаль-
ная схема с предварительной обработкой коэффициентов. Однако, указанные схемы нацелены на использование стандартных для ЭВМ последовательных методов вычисления, тогда как увеличение быстродействия на СБИС ПЛ возможно только при максимальном распараллеливании вычислительного процесса. Решение данного вопроса не нашло должного отражения в научной литературе.
Вопрос нахождения численного значения экспоненциальной функции различными известными методами применительно к СБИС ПЛ подробно рассмотрен в работах Мо Чжо Чо. Однако, алгоритм нахождения численного значения экспоненциальной функции на основе предложенного Карацубой Е.А. метода БВЕ (быстрого вычисления Е-функций) применительно к СБИС ПЛ не был рассмотрен.
Целью работы является разработка математической модели процесса нахождения средствами СБИС ПЛ численного значения элементарных функций, обеспечивающей при заданной максимальной погрешности результата повышение быстродействия и уменьшение требуемых на реализацию затрат аппаратных ресурсов СБИС ПЛ по сравнению с известными моделями, и разработка пакета прикладных программ конфигурирования СБИС ПЛ для вычисления экспоненциальной функции, обеспечивающего при заданной погрешности результата большее быстродействие и меньшие затраты аппаратных ресурсов СБИС ПЛ на реализацию по сравнению с известными аналогами.
Задачи исследования: Адаптация известных математических моделей процесса нахождения численного значения многочлена применительно к СБИС ПЛ и
анализ их эффективности с точки зрения быстродействия и затрат аппаратных ресурсов на реализацию.
Разработка математической модели нахождения значения многочлена с целью уменьшения уровня аппаратных затрат СБИС ПЛ при сохранении уровня быстродействия, обеспечиваемого известными аналогами, получение явных аналитических выражений, характеризующих быстродействие и аппаратные затраты СБИС ПЛ на реализацию.
Исследование возможности применения алгоритма на основе метода БВЕ для нахождения численного значения экспоненциальной функции средствами СБИС ПЛ.
Разработка математической модели вычисления экспоненциальной функции средствами СБИС ПЛ, отличающейся отсутствием явных ограничений на диапазон изменения аргумента, а также улучшенными показателями точности вычислений и быстродействия по сравнению с известными аналогами.
Разработка на основе предложенной модели нахождения численного значения экспоненциальной функции пакета прикладных программ, необходимых для создания мегафункции конфигурирования СБИС ПЛ, и анализ полученных с его помощью результатов расчёта с точки зрения обеспечения требуемой точности и аппаратных затрат СБИС ПЛ.
Научная новизна:
Получены явные аналитические выражения, позволяющие для
многочлена заданной степени оценить время вычисления и аппа
ратные затраты СБИС ПЛ на реализацию для рассмотренных в ра
боте математических моделей вычисления многочлена.
Разработана математическая модель нахождения значения многочлена и сформулирована схема вычисления многочлена, характеризующаяся меньшим уровнем аппаратных затрат СБИС ПЛ на реализацию при сохранении уровня быстродействия, обеспечиваемого известными аналогами.
Разработана математическая модель нахождения численного значения экспоненциальной функции средствами СБИС ПЛ, характеризующаяся отсутствием ограничений на диапазон изменения аргумента, большим быстродействием и большей точностью вычислений относительно известных аналогов.
Практическая значимость:
Разработана математическая модель нахождения численного значения экспоненциальной функции, выгодно отличающаяся отсутствием ограничений на область изменения аргумента, большим до 2.36 раз уровнем быстродействия и большей в среднем на 7 верных разрядов точностью вычислений относительно известных аналогов.
Разработан комплекс прикладных программ, реализующих предложенную математическую модель нахождения численного значения экспоненциальной функции, которые могут применяться в качестве мегафункций САПР СБИС ПЛ, предназначенных для конфигурирования СБИС ПЛ.
Предложена методика выбора параметров разработанной математической модели нахождения численного значения экспоненциальной функции, исходя из требований к точности вычислений.
Даны оценки погрешности численного значения экспоненциальной функции, полученного предложенным алгоритмом, в случае пред-
ставлення аргумента с точностью от 9-ти до 32-х разрядов дробной
части.
Достоверность полученных результатов, выводов и рекомендаций, сформулированных в работе, подтверждается использованием апробированного математического аппарата и стандартных средств формального описания цифровых устройств, а также результатами вычислительного эксперимента, выполненного с использованием общепринятых в промышленности САПР электронной аппаратуры, а именно, САПР Quartus II фирмы Altera.
Основные положения, выносимые на защиту:
Явные аналитические выражения, полученные для каждой из рассмотренных в работе математических моделей нахождения численного значения многочлена, позволяющие оценить время вычисления и аппаратные затраты СБИС ПЛ на реализацию.
Математическая модель вычисления многочлена, характеризующаяся меньшим уровнем аппаратных затрат СБИС ПЛ на реализацию при сохранении уровня быстродействия по сравнению со схемой на основе канонической формы многочлена.
Математическая модель нахождения численного значения экспоненциальной функции, характеризующаяся большим до 2.36 раз уровнем быстродействия, меньшим уровнем аппаратных затрат СБИС ПЛ на реализацию и большей в среднем на 7 верных разрядов точностью вычислений относительно известных аналогов.
Комплекс прикладных программ для конфигурирования СБИС ПЛ, реализующих предложенную математическую модель нахождения численного значения экспоненциальной функции, которые могут
применяться в качестве мегафункций стандартных САПР электронной аппаратуры.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всероссийской научно-технической конференции «Новые материалы и технологии» в 2012 году и на Международной молодежной научной конференции «Гагаринские чтения» 2010, 2011 и 2012 годов.
Основные результаты работы опубликованы в шести научных трудах, два из которых — в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и одного приложения; общий объём 120 страниц.
