Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи оптимизации размещения 11
1.1. Классификация задач оптимального размещения 12
1.2. Постановка задачи детерминированного размещения объектов 16
1.3. Постановка задачи стохастического размещения объектов 26
1.4. Методика решения задач оптимального размещения объектов 34
Выводы по главе 1 37
Глава 2. Математические модели и методы оптимального размещения различных видов объектов 38
2.1. Размещение точки базирования мобильного средства обслуживания 38
2.2. Размещение мобильных средств мониторинга окружающей среды региона 48
2.3. Размещение пунктов управления огнем артиллерийского дивизиона 50
2.4. Размещение электрорадиоэлементов на печатных платах с учетом ударных инерционных нагрузок 60
2.5. Стохастическое размещение стреляющего орудия 68
Выводы по главе 2 73
Глава 3. Сингулярный метод штрафных функций для решения задач оптимального размещения 74
3.1. Расчетная схема метода , 77
3.2. Устойчивость модифицированного метода штрафных функций 81
Выводы по главе 3 106
Глава 4. Примеры решения задач оптимального размещения объектов ... 107
4.1. Оптимальное размещение мобильного средства обслуживания населенных пунктов региона 107
4.2. Оптимальное размещение мобильных средств мониторинга 111
4.3. Оптимальное размещение пунктов управления огнем артдивизиона 115
4.4. Оптимальное размещение электрорадиоэлементов на круглых печатных платах приемного модуля радиоэлектронной системы 119
4.5. Оптимальное стохастическое маневрирование стреляющего орудия 123
Выводы по главе 4 131
Заключение 132
Литература
- Постановка задачи детерминированного размещения объектов
- Размещение мобильных средств мониторинга окружающей среды региона
- Устойчивость модифицированного метода штрафных функций
- Оптимальное размещение пунктов управления огнем артдивизиона
Введение к работе
Актуальность темы Функционирование сложных территориально-распределенных систем подразумевает решение задач оптимального размещения входящих в них мобильных и стационарных объектов. Примерами таких задач являются задачи размещения средств технического обслуживания и ремонта изделий авиационной техники в полевых условиях эксплуатации, средств мониторинга различных параметров окружающей среды, нефтегазодобывающий предприятий, пунктов управления АСУ артиллерии тактического звена, электрорадиоэлементов на печатных платах, станций скорой помощи, пожарных депо, телефонных станций, пунктов переработки сельскохозяйственной продукции и др.
Вопросы моделирования и решения различных задач оптимального размещения мобильных и стационарных объектов рассматривались в работах Винке Ф., Галиева Ш.И., Дрезнера 3., Канторовича 'Е.Г., Кристофидеса Н., Моудера Дж., Раенко Н.В., Саттарова А.З., Уайта Д.А., Френсиса Р.Л., Фернандеса Д., Франка Ф.М., Элматраби С. и других отечественных и зарубежных ученых.
Анализ существующих работ позволил выделить такие их основные особенности, как большое разнообразие используемых моделей, часто применяемых' к решению однотипных задач, отсутствие общих подходов к решению многокритериальных задач оптимального размещения, отсутствие общих методов и алгоритмов решения задач оптимального размещения с учетом случайных факторов и наличия ограничений.
Таким образом, актуальной является задача разработки общих подходов к решению задач оптимального размещения мобильных и стационарных объектов различной природы с учетом внешних воздействий.
Целью работы является разработка математических моделей и методов оптимального размещения и решение с их использованием практических задач, учитывающих различные ограничения на размещение рассматриваемых объектов.
Задачи исследования:
-
Анализ проблемы оптимального размещения объектов, обзор существующих математических моделей и методов.
-
Постановка задачи детерминированного и стохастического оптимального размещения объектов с учетом внешних воздействий.
-
Применение разработанных математических моделей для решения практических задач оптимального размещения объектов различной природы.
-
Модификация метода штрафных функций для решения задачи оптимального размещения объектов.
-
Разработка методики решения задач оптимального размещения объектов с учетом внешних воздействий.
Методы исследования. При решении сформулирован используются модели и методы нелинейного программно
)ВІЯи^^^{іетігоЙи*я
W*f
РК
оптимизации, теории графов, теории вероятностей, векторной оптимизации, теории обыкновенных регулярно-возмущенных и сингулярно-возмущенных дифференциальных уравнений, элементы матричного анализа. Научная новизна:
-
На основе обобщения существующих подходов и постановок разнообразных практических задач предложена классификация задач оптимального размещения объектов.
-
На основе разработанных математических моделей размещения предложены оригинальные модели решения оптимального размещения различных видов объектов, с учетом действующих на них внешних воздействий.
-
Предложен и обоснован сингулярный метод решения задачи оптимального размещения объектов с учетом ограничений.
-
Предложен алгоритм решения задач оптимального размещения большой размерности с использованием средств распределенной обработки информации.
-
На основе проведенных исследований и разработок предложена методика решения задач оптимального размещения с учетом внешних воздействий.
Достоверность результатов обеспечивается корректным применением математического аппарата и результатами решения практических задач, подтвержденными актами об использовании и внедрении.
Практическая ценность работы. Рассмотренные в диссертации задачи сформулированы исходя из практических потребностей в оптимальном размещении различных видов объектов. Решение этих задач осуществлялось в рамках выполнения совместных НИР по договорам о научно-техническом сотрудничестве между КГТУ им. А.Н. Туполева и Федеральным научно-производственным центром по радиоэлектронным системам и информационным технологиям (ФНПЦ "Радиоэлектроника"), а также Казанским филиалом Военного артиллерийского университета (шифр «Краснополь»). Часть задач выполнялась в составе НИР "Фундаментальные и прикладные вопросы информационных технологий, моделирования и управления. Этап 2001 г. Математическое моделирование и информатика оптимальных решений в технологиях и управлении" в рамках выполнения договора-подряда № 05-5.2.3/ 2001 (ФП) с Академией Наук Республики Татарстан.
Предложенная в'работе методика позволяет снизить затраты времени на постановку, формализацию и алгоритмизацию реальных задач, учитывающих всевозможные воздействия на объекты размещения. Для решения задачи оптимального размещения большой размерности предлагается в целях экономии времени решать их в распределенной вычислительной среде.
Реализация результатов работы. Теоретические и практические результаты диссертационной работы, в том числе их программная реализация были использованы и внедрены в ФНПЦ "Радиоэлектроника" и Казанском филиале Военного артиллерийского университета. Отдельные результаты работы были также использованы в учебном процессе кафедры Прикладной математики и информатики КГТУ им. А.Н.Туполева.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на VII Всероссийских Туполевских чтениях студентов "Актуальные проблемы авиастроения" (г. Казань, 1997), III Республиканской научной конференции "Актуальные экологические проблемы РТ" (г. Казань, 1997), Всероссийской студенческой научной конференции "Королёвские чтения" (г. Самара, 1997), I Всероссийской научной конференции молодых учёных и аспирантов "Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения" (г. Таганрог, 1998), Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" (г. Рязань, 1999), Международной молодёжной научной конференции "XXVI Гагаринские чтения" (г. Москва, 2000), II Всероссийской научно-технической конференции "Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве" (г. Нижний Новгород, 2000), Второй Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" (г. Нижний Новгород, 2000), LV Научной сессии РНТОРЭС им. А.С. Попова (г. Москва, 2000), IV Международной научно-практической конференции "Системный анализ в проектировании и управлении" (г, Санкт-Петербург, 2000), "Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения" (г. Таганрог, 2000), Международной молодёжной научной конференции "XXVII Гагаринские чтения" (г. Москва, 2001), Юбилейной научно-технической конференции "Автоматика и электронное приборостроение" (г. Казань, 2001), Третьей Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" (г. Нижний Новгород, 2001), III Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (г. Казань, 2001), Республиканской научно-практической конференции "Интеллектуальные системы и информационные технологии" (г. Казань, 2001), Международной молодежной научно-технической конференции "Интеллектуальные системы управления и обработки информации" (г. Уфа, 2001),. Первом Республиканском Форуме молодых ученых и специалистов (г. Казань, 2001), VIII Че-таевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (г. Казань, 2002).
Публикации, структура диссертации. Основное содержание диссертации отражено в 23 печатных работах, в том числе в 3 научных статьях. Материалы диссертации вошли также в 6 отчётов по НИР, в которых автор принимал участие как исполнитель НИР. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Работа содержит 134 страницы основного текста, 29 рисунков, .19 таблиц; список литературы включает J02 наименования; объём приложений - 25 страниц.
Постановка задачи детерминированного размещения объектов
Анализ практических задач оптимального размещения, учитывающих всевозможные внешние воздействия и ограничения, позволил сформулировать следующую задачу [55-57,81]: Пусть имеется две группы объектов А и В, включающие в себя соответственно тип объектов различной природы. Эти объекты должны быть размещены на плоскости в заданной области S. Местоположение каждого объекта из этих групп будем описывать векторами ь&,...,$п и т]\,7]2,...,г]п. Каждый вектор « и щ из их состава характеризуется парами (х ) и ( Xj, у$ декартовых координат в области 5. Оптимальность размещения объектов в общем случае будем оценивать векторным критерием вида [65]: f = (A,f2,...,fk) mm . (1.1.1) Здесь r-тая компонента представляет собой зависимость /г=/№ 2 - їт і?і тІ2,- Пп)- 0-1.2)
При размещении объектов в области S будем рассматривать следующие группы условий: 1) ограничения, накладываемые на координаты объектов группы А; 2) ограничения, которым должны удовлетворять координаты объектов группы В; 3) ограничения на совместное расположение объектов групп А и В.
Ограничения первых двух групп должны отражать требования того, что координаты векторов и щ, во-первых, должны принадлежать области 5" и , во-вторых, не располагаться на запрещенных участках этой области. Если область S представить прямоугольником axb, а запрещенные участки области аппроксимировать кругами, то первая группа ограничений записывается в виде системы неравенств О х. Ъ, (1-1-3) — (1.1.4) / = (і,/и),/,=(і,м) Здесь (х, ,у, ), R, - соответственно координаты центра и величина радиуса / - того запрещенного участка области S.
При аппроксимации запрещенных участков прямоугольниками с размерами а, х Ь, ограничения (1.1.4) заменяются на выражения вида:
Если на области S задан плоский граф GA и имеет место требование, что объекты группы А в обязательном порядке должны размещаться на ребрах этого графа, то в дополнение к условиям (1.1.3) и (1.1.4) добавляются ограничения вида: (xt,y,.)eGA, І = (Щ. (1.1.5) Ограничения на координаты объектов группы В в общем случае имеют аналогичный вид: 0 х] Ь, 0 7j a, (- \2 г- \2 / \2 (1.1.6) [xpy})sGB, ] = (Щ, /S=(UV)
Третья группа ограничений определяет выполнение метрических, физических и других требований, накладываемых на взаимное расположение объектов в области S. Запишем такие ограничения в общем случае в виде системы неравенств
В этой группе ограничений выделим одно важное ограничение, имеющее смысл того, что заданные объекты не должны сближаться на определенное расстояние. В общем случае ограничения на расстояния между объектами групп А и В описываются блочной матрицей которая в общем виде записывается как (1.1.8)
В общем случае расстояние от первого объекта до второго будет отличным от расстояния от второго объекта до первого. Матрица Rl =\rv\ является матрицей ограничений на расстояния между объектами группы А с использованием евклидовой метрики. Элементы этой матрицы определяются следующим образом: RI:(xf xgf+(yf-yg)2 r}g /, = (!!«) и f g. (1.1.9) Матрицы ЛД=Г Л и Дш=Гг,Л определяют ограничения, накладываемые соответственно на расстояния от объектов группы А до объектов группы В и на расстояния от объектов группы В до объектов группы Л. Элементы этих матриц определяются следующим образом: RB :{х/ -Xhf +{У/ Уь)2 г# / = (lm) и А = (»і + 1,іи + и).(1.1.10) Rl!!-(xq-xg) +(yg yg) r g, g = (m + l,m + «)Hg = (l,m).(l.l.ll) И, наконец, матрица RIV =[ J определяет матрицу ограничений, накладываемые на расстояния между объектами группы В. Эти ограничения имеют вид RlV:(xq-xhf +(yq-yh) гД, д = (т + 1,т + и)и h = {m + l,m + n) .(1.1.12) Отметим, что при решении практических задач оптимального размещения могут быть использованы и другие метрики [10,18, 27].
Таким образом, обобщенная постановка задачи оптимального размещения формулируется следующим образом: «Определить координаты векторов , .,,..., ,77,,772,...,77,,, доставляющих минимум критерию (1.1.1) при выполнении условий (1.1.3)-(1.1.12).
При решении кокретной задачи будем считать, что объекты группы А имеют главное значение среди т+п объектов. Тогда на основе модели (1.1.1)-(1.1.12) можно сформулировать две задачи [65], являющиеся по классификации Френсиса и Уайта реализацией зависимого размещения [И]: Прямая задача размещения. Для заданных значений координат объектов группы В определить оптимальное размещение объектов группы А. В этом случае из общей модели исключается ограничения вида (1.1.6) и (1.1.12), а в выражениях (1.1.2), (1.1.7) и (1.1.9)-(1.1.11) фиксируются значения векторов ц} = ifj,j = П,и).
Обратная задача размещения. Дня заданных значений координат объектов группы А найти оптимальное размещение объектов группы В. Здесь исключаются условия вида (1.1.3)-(1.1.5), а в выражениях (1.1.2), (1.1.7) и (1.1.10)-(1.1.12) фиксируются значения векторов =, / = (l,m).
Размещение мобильных средств мониторинга окружающей среды региона
В составе Единой государственной системы мониторинга (ЕГСМ) окружающей среды Республики Татарстан предполагается создание и эксплуатация системы стационарных и мобильных средств автоматизации контроля экологической обстановки [46]. Значительная стоимость создания достаточно полной сети стационарных средств контроля и обширная территория республики делает актуальной задачу оптимизации мест размещения мобильных средств (МС) автоматизации мониторинга окружающей среды [45,46].
Общую задачу оптимизации центров размещения МС мониторинга можно сформулировать следующим образом: Пусть в некоторой области S заданы N населенных пунктов, требующих контроля экологической обстановки. Требуется расположить минимальное число МС с радиусом действия г, осуществляющих контроль экологической обстановки в этих пунктах. В качестве примера области размещения возьмем территорию Республики Татарстан, где пунктами размещения будем считать районные центры (см. табл. 4.2.1).
В качестве критерия оптимальности размещения МС примем выражение вида N(XC,YC )- min max ) п - rjji - количество объектов мониторинга, охватываемых ( -м мобильным средством обслуживания; (Хс,1 1 - координаты размещения /-го МС; параметр rjJt предлагается вычислять как Пи = і 1 ,если(хі-хі)2+(уі-уі)2 г2 О ,если(хг )2+(уг )2 г2
Этот параметр описывает факт попадания у -го пункта обслуживания в радиус действия /-го мобильного средства.
Если размещению мобильных средств присвоить веса, выражающие стоимость размещения мобильного средства в данном пункте, то соответствующая задача оптимизации будет иметь вид N C = 2/y,- min, (2.2.1) XVy l , i=UN, (2.2.2) ,є{0,і},у = (цу). (2.2.3) где %j - булевские переменные, которые в результате решения задачи должны принимать следующие значения $ = 1 , если МС размещается в пункте с координатами (х ,у,) О , в противном случае
Здесь сj - стоимость размещения МС в _/-ом пункте, Ьі} - элемент матрицы, описывающей возможность контроля окружающей среды в г -ом пункте МС расположенном в у -ом пункте с радиусом действия г. Параметры biy принимают следующие значения 1, если (xt-Xj) +{yt-yj) r2 [О, если (x, Xj) +(У,-УІ) гг
Условия (2.2.2) определяют требование, чтобы каждый из населенных пунктов был охвачен контролем не менее чем одним МС.
Задача (2.2.1)-(2.2.3) является классической о взвешенном покрытии и может быть решена симплекс методом линейного программирования [20]. Для этого ограничения вида (2.2.2) заменяются на «непрерывные» ограничения вида о ,. 1, ]=(Щ.
К детерминированным непрерывным задачам размещения с ограничениями можно отнести задачу размещения пунктов управления и батарей артиллерийского дивизиона. В качестве примера размещения рассмотрим один из вариантов организации связи в артиллерийском дивизионе, исходя из предположения, что дивизион придан мотострелковому батальону, который действует в обороне [52, 85].
Специфика боевых задач, решаемых дивизионом буксируемой артиллерии, в значительной мере влияет на вопросы организации связи. Рассмотрим, как следует ее оптимально организовать, чтобы обеспечить надежный обмен всеми видами информации по управлению огневыми подразделениями в любых условиях обстановки.
Как правило, в дивизионе управление батареями и взводами ведется с командно-наблюдательных пунктов (КНП) (передовых, боковых и пунктов управления огнем) путем отдачи устных боевых приказов, распоряжений и команд. Последние передаются по радио- и проводным линиям связи, а также с помощью подвижных и сигнальных средств [75].
Для выполнения задач по связи на всех пунктах управления (ПУ) подразделения развертываются машины боевого управления (МБУ): на КНП адн - 1В19 (командира дивизиона), на ПУОД -1В111 (начальника штаба), на КНП абатр -1В13 (командира батареи) и на ПУО абатр - 1В110 (старшего офицера батареи). В МБУ имеются радиостанции, кабель, телефонные аппараты, коммутаторы, аппаратура передачи данных, устройства автоматического ввода информации в канал связи, ЭВМ и другие средства. Кроме того, в отделении управления адн есть переносная радиостанция Р-159, несколько километров кабеля П-274М, а также более десяти штук телефонных аппаратов ТА-57 [75].
Радиосвязь применяется во всех видах боя. Однако станции обычно работают на прием и включаются на передачу лишь при повреждении проводных линий. Работа радио без ограничений разрешается только с началом огневой подготовки. Учитывая это, а также ограниченную длину кабеля вопрос организации проводной связи в артиллерийском дивизионе становится исключительно важным,
В качестве примера рассмотрим один из вариантов организации такой связи, исходя из предположения, что дивизион придан мотострелковому батальону (мсб), который действует в обороне (см. рис. 2.1). Пусть имеется несколько объектов размещения (ПНП, КНП, ПУОД и т.д.). Эти объекты должны быть размещены на плоскости в заданной области и связаны между собой системой проводной связи. Считается, что длина располагаемого кабеля ограничена. При этом желательно минимизировать длину используемого кабеля.
Устойчивость модифицированного метода штрафных функций
При проектировании радиоэлектронной аппаратуры широко используются задачи оптимального размещения электрорадиоэлементов (ЭРЭ) на печатных платах. Основным критерием оптимизации в таких задачах является суммарная длина межсоединений размещаемых элементов. В существующих работах [54, 82] не учитываются такие условия эксплуатации печатных плат как высокие перегрузки, ударные воздействия и т.п. В этом разделе формулируется задача оптимального размещения ЭРЭ с учетом больших ударных нагрузок.
Значительная инерционная нагрузка на приемный модуль (ПМ) радиоэлектронной аппаратуры специального назначения, достигающая 30 000 g., требует специального размещения ЭРЭ на его печатных платах (ПП) [55-57, 81]. Пусть на круглой печатной плате радиуса R требуется разместить п элементов с массами mitm2,...,mn. Для получения осесимметричной нагрузки на печатную плату размещаемых на ней ЭРЭ потребуем, чтобы центр масс системы «плата - ЭРЭ» совпадал с центром симметрии печатной платы.
Решение поставленной задачи будем искать с помощью разработанной методики оптимального размещения, приведенной в разделе 1.4.
Этап 1. Проведенный анализ поставленной задачи позволил выявить цель оптимального размещения, которая заключается в минимизации суммарной длины межсоединений размещаемых ЭРЭ и одновременным размещением элементов на максимальном удалении от центра платы. При этом анализе были определены состав двух групп объектов размещения: А) центр печатной платы, В) ЭРЭ, а также внешние воздействия и ограничения. К внешним воздействиям можно отнести ударные инерционные нагрузки, а к ограничениям - геометрические размеры и принципиальную электрическую схему плат.
Этап 2. Использую классификацию, представленную на рис. 1.1 задачу оптимального размещения ЭРЭ на печатных платах приемного модуля можно отнести к обратной детерминированной непрерывной задаче статического размещения на плоскости группы объектов с ограничениями и векторным критерием оптимальности.
Этап 3. Выполним конкретизацию соответствующих математических моделей, применительно к данной задаче. Согласно работы [83] координаты центра масс системы материальных точек на плоскости вычисляются как где М - jmi - суммарный вес всех точек; {ХІ УІ) - декартовые координаты центра масс і-й точки.
На рис. 2.3 представлена расчетная схема решения задачи. Здесь введена система координат с началом в геометрическом центре печатной платы.
Область конструктивного размещения ЭРЭ задается кольцом с радиусами а и Ь, удовлетворяющего условию: 0 a b R. Значения а и Ъ считаются заданными с точки зрения размещения ПМ в составе радиоэлектронной системы.
Условия того, что каждый /-тый ЭРЭ должен размещаться в заданной области записываются в виде системы неравенств a2 xj+yf b\ і=(йй). (2.4.2)
3 Введем значения относительных масс ЭРЭ: д. = - ,Цй), (2.4.3) и потребуем, чтобы центр масс системы «плата-ЭРЭ» располагался в начале введенной выше системы координат. Полагая в формулах (2.4.1) значения хс и ус равными нулю, с учетом (2.4.3) перепишем их в виде:
Любое размещение ЭРЭ, удовлетворяющее условиям (2.4.2), (2.4.4) является сбалансированным. Для оптимального размещения ЭРЭ на печатной плате требуется ввести в рассмотрение критерии оптимальности.
Известно, что при воздействии на круглую плату поперечной нагрузки максимальное значение прогиба достигается в ее центре. Отсюда, для предохранения корпусов и выводов ЭРЭ от разрушения за счет их больших деформаций элементы должны размещаться на максимальном расстоянии от центра платы [57]. Для каждого /-того ЭРЭ такое расстояние вычисляется по формуле А = / +У?. Суммарное расстояние всех ЭРЭ от центра платы с учетом этого выражения запишется как я я . si=ЕА=2Ж +У! - тах (2-4-5)
Таким образом, первая задача оптимизации размещения ЭРЭ формулируется следующим образом: «Определить координаты (хиУі), -- (хп,У„) размещения ЭРЭ, удовлетворяющие ограничениям (2.4.2), (2.4.4) и доставляющие максимальное значение критерию (2.4.5)». Другим важным требованием при размещении ЭРЭ на плате является минимизации длины их межсоединений.
Расстояния между г-тым и у -тым элементами определим выражением вида pv = дДх, - Xj )2 + (у, - уj )2 (2.4.6) Взаимосвязи между ЭРЭ, определяемые соответствующей принципиальной схемой устройства, размещаемого на плате будем описывать булевской матрицей элементы которой принимают следующие значения dif 1, если і-и иу -й элементы схемы имеют непосредственную электрическую связь О, в противном случае
Оценка суммарной длины всех проводников на плате, с учетом (2.4.6) и (2.4.7) может быть представлена выражением вида: 1=1 j=\
Тогда постановка второй задачи оптимизации размещения ЭРЭ имеет вид: «Определить координаты (х ),...,(: , ) размещаемых ЭРЭ, удовлетворяющих ограничениям (2.4.2), (2.4.4) и доставляющих минимальное значение критерию (2.4.8)».
Каждая из задач оптимизации (2.4.5), (2.4.2), (2.4.4) и (2.4.8), (2.4.2), (2.4.4) дают единственное размещение ЭРЭ. Различные варианты размещения ЭРЭ можно получить при решении двухкритериальной задачи, объединяя критерии (2.4.5) и (2.4.8) в векторный критерий вида 5 = (-5„52)- min (2.4.9) Решение этой задачи также производится при учете ограничений вида (2.4.2) и (2.4.4). Рассмотренные выше постановки задач (2.4.5), (2.4.2), (2.4.4); (2.4.8), (2.4.2), (2.4.4) и (2.4.9), (2.4.2), (2.4.4) можно решать и в полярной системе координат.
Оптимальное размещение пунктов управления огнем артдивизиона
Численно интегрируя эту систему методом Эйлера, с произвольными начальными условиями хД0) = х/0, уД0) = у,0, і = 1,и получим приближенное решение задачи (2.4.15) для к = 1. При использовании метода Эйлера вычислительная схема запишется как: Здесь h - шаг интегрирования.
Процесс продолжается до тех пор, пока приращения величин хп уп / = l,w не станут пренебрежительно малыми.
В дальнейшем, решая подобным способом задачу (2.4.15) для к = 2,3,4,...Nk добьемся требуемой точности выполнения условий (2.4.2), (2.4.4). Полученное таким образом решение будет оптимальным решением исходной задачи условной оптимизации вида (2.4.2), (2,4.4), (2.4.8).
Алгоритм решения задачи полностью аналогичен алгоритму, приведенному в предыдущем разделе.
Этапы 4,6,7,8 методики оптимального размещения для данной задачи рассматриваются в разделе 4.4.
Все рассмотренные выше задачи в общем случае относятся к детерминированной задаче оптимального размещения, общая математическая модель которой была представлена в предыдущей главе.
В настоящее время тактика ведения стрельбы артиллерии заключается в постоянном маневрировании стреляющих орудий. Это связано с тем, что современные разведывательные системы позволяют засекать выстрел орудия и по трем точкам траектории полета снаряда с достаточной точностью определять местоположение стреляющего орудия. Отсюда вытекает необходимость разработки стратегии оптимального маневрирования каждого стреляющего орудия [52,53,64].
Рассмотрим простейшую тактическую ситуацию с одним орудием, ведущим огонь по противнику [64]. Пусть стреляющее орудие (СО) расположено в точке с координатой х (рис. 2.4). О a ai bi х U а2 Ь2 РРС ОП
Рис. 2.4. Каждый выстрел засекается противником с помощью радиолокационной разведывательной системой (РРС), которая по трем контрольным точкам траектории полета снаряда через время тк позволяет вычислить координаты стреляющего орудия. Эти данные передаются РРС на позицию орудий противника (ОП), которые через время тош наносят ответный удар по засеченной точке с координатой прицеливания х. В состав затрат времени тотв входят следующие составляющие: а) затраты времени на передачу данных по каналу «РРС-ОП», б) затраты времени на подготовку к стрельбе и проведению выстрелов ОП, в) время полета снарядов до цели. Обозначим через и координату падения снаряда, который имеет радиус поражения равный величине г. Для того, чтобы избежать поражения СО после каждого выстрела должно изменить свое местоположение за время, не превышающее величины где іподг- время подготовки орудия к перемещению. При этом перемещения орудия должны удовлетворять условию VT г. Отсюда вытекает требование, налагаемое на скорость его перемещения
