Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Система компьютерного моделирования сверхпроводя щих электромагнитных подвесов 8
1.1. Основные типы сверхпроводящих подвесов и методы их расчета 8
1.2. Основные физико-математические модели 11
1.3. Структура и описание комплекса программ FEMP-DESoIver 18
1.4. Основные алгоритмы процессора комплекса программ FEMPDESoIver2.1 24
ГЛАВА 2. Моделирование осесимметричнои иеэкрапированной системы сверхпроводящих многосвязных тел методом инте гральных уравнений 57
2.1. Формулировка физико-математической модели 57
2.2. Математическая модель изолированного кольца 59
2.3. Система кольца и шара 72
2.4. Система двух колец 82
2.5. Обсуждение результатов 89
ГЛАВА 3. Моделирование экранированной системы сверхпроводя щих тел 92
3.1. Математическая модель системы сверхпроводящих тел при наличии экранов 92
3.2. Моделирование экранов на основе метода изображений 94
3.3. Моделирование экранов методом интегрального уравнения 103
3.4. Комбинированный метод моделирования экранов 111
ГЛАВА 4. Регуляризация решения интегральных уравнений для системы сверхпроводящих многосвязных тел 1 16
4.1. Общие положения метода регуляризации 117
4.2. Регуляризация вычисления матричных элементов интегрального оператора для системы сверхпроводящих тел 118
4.3. Регуляризированная математическая модель сверхпроводящего кольца с шаром 126
4.4. Регуляризированная математическая модель двух сверхпроводящих колец 134
ГЛАВА 5. Моделирование основных типов сверхпроводящих под весов методом конечных элементов 143
5.1. Сверхпроводящий бифилярный подвес 143
5.2. Кольцо с замороженным нулевым магнитным потоком 147
5.3. Система кольцо + усеченный конус 151
5.4. Сверхпроводящий сферический подвес с одной катушкой круглого сечения 151
5.5. Сверхпроводящий сферический подвес с двумя катушками прямоугольного сечения 155
5.6. Взаимодействие двух колец с замороженными потоками 160
Заключение 166
Список литературы
- Структура и описание комплекса программ FEMP-DESoIver
- Математическая модель изолированного кольца
- Моделирование экранов на основе метода изображений
- Регуляризированная математическая модель сверхпроводящего кольца с шаром
Введение к работе
Актуальность темы. Разработка сверхпроводящих электромагнитных подвесов (СЭМП) пробных тел криогенных гравиинерциальных датчиков (гироскопов, акселерометров, сейсмометров и гравиметров) требует их эффективного компьютерного моделирования с целью оптимизации конструкций и сокращения затрат на создание прототипов.
Использование аналитических методов для решения интегральных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, описывающих распределение магнитного поля в СЭМП, не позволяет получить приемлемую для практики точность, а часто вообще невозможно в силу конструктивных особенностей этих устройств (разномасштабность, мно-госвязность, наличие неоднородных сред). Поэтому актуально построение численных математических моделей, адекватно отражающих процессы в рассматриваемых устройствах. Из существующих численных методов этой цели больше соответствует метод конечных элементов (МКЭ) как наиболее универсальный метод с минимальными ограничениями. МКЭ также хорошо адаптирован для вычисления интегральных характеристик, необходимых для анализа таких систем. МКЭ успешно применяется при решении задач расчета электромагнитных полей. Он стал математической основой универсальных компьютерных систем мультифизического анализа технических объектов, таких как ANSYS, NISA, COMSOL Multyphysics и др. Однако математические модели, используемые в этих системах, не учитывают специфики электродинамики сверхпроводников, что приводит к невозможности их использования для моделирования СЭМП. Поэтому необходима разработка численных математических моделей, алгоритмов и комплексов программ, адекватным образом учитывающих специфику электродинамики токонесущих сверхпроводников в мейснеровском состоянии.
Данная диссертационная работа выполнена в рамках госбюджетных НИР ГБ 2001.14 «Разработка физико-математического обеспечения системы ком-
5 пыотерного моделирования криогенных магнитофавиииерциальных устройств» и ГБ 2004.14 «Разработка системы компьютерного моделирования криогенных магнитофавиииерциальных устройств» и соответствует одному из основных научных направлений Воронежского государственного технического университета - «Вычислительные системы и программно-аппаратные электротехнические комплексы».
Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка численных математических моделей, учитывающих сохранение магнитного потока в многосвязных токонесущих сверхпроводниках, их алгоритмизация и про-фаммпая реализация, а также компьютерное моделирование основных типов СЭМП пробных тел криогенных фавиинерциальных датчиков.
Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:
Рассмотреть основные физико-математические модели, описывающие магнитные поля, создаваемые токонесущими многосвязными сверхпроводящими элементами СЭМП, с учётом сохранения магнитного потока. Провести их дискретизацию, алгоритмизацию и разработать дополнительный про-фаммный модуль к пакету профамм FEMPDESoIver.
На основе дискретизации интефальных уравнений СЭМП получить и исследовать численные математические модели базовых осесимметричных элементов СЭМП.
Разработать методы построения, построить и исследовать численные математические модели экранированных СЭМП.
Разработать метод регуляризации решения интегральных уравнений СЭМП и на его основе получить и исследовать регуляризированные численные математические модели СЭМП.
Провести моделирование магнитного поля и расчет электромеханических характеристик основных типов СЭМП пробных тел криогенных гра-виинерциальных приборов.
Методы исследования. При выполнении работы использованы основные
положения магнитостатики сверхпроводников, методы математической физики, метод конечных элементов, метод интегральных уравнений, вычислительные методы линейной алгебры, теории графов, методы структурного, объектно-ориентированного и визуального программирования.
Научная новизна работы. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:
дискретная конечно-элементная модель, учитывающая условия сохранения магнитного потока для многосвязных сверхпроводников;
программный модуль в пакете программ FEMPDESolver, предназначенный для моделирования СЭМП с учётом сохранения магнитного потока в сверхпроводящих токонесущих многосвязных конструктивных элементах;
комплекс численных математических моделей СЭМП, разработанный в рамках метода интегральных, уравнений и позволяющий структурно моделировать произвольные осесимметричные экранированные СЭМП;
обоснование вычислительной устойчивости, сходимости и адекватности разработанных моделей; определение скорости сходимости модели и ее ошибки;
программная реализация разработанных численных моделей, позволяющая осуществить их интеграцию в систему компьютерного моделирования СЭМП.
Практическая значимость работы заключается в развитии системы компьютерного моделирования СЭМП, учитывающей специфику электродинамики сверхпроводников и позволяющей проводить эффективное компьютерное моделирование реальных конструкций криогенных гравиннерциальных датчиков с целью их оптимизации. Данный пакет программ может найти применение при решении других задач электротехники.
Реализация и внедрение результатов работы. Пакет программ FEMPDESolver зарегистрирован в ФГУП ВНТИЦ и внедрен в учебный процесс под-
7 готовки студентов специальностей «Техника и физика низких температур» и
«Техническая физика» Воронежского государственного технического университета.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на II, III и IV Международных семинарах «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (Воронеж, 2003, 2004, 2005); I, II и III Международных семинарах «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2004, 2005, 2006); международной школе-семинаре для молодых ученых, аспирантов и студентов «Нелинейные процессы в дизайне материалов» (Воронеж, 2002), научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Воронежского государственного технического университета (2002-2006).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 научных работах, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в автореферате, лично соискателю принадлежит: в [1, 4, 5, 8, 10, 14] - компоненты алгоритмического и программного обеспечения дополнительного программного модуля к пакету программ FEMPDESoIver; в [2, 3, 6, 7, 9] - реализация схем МКЭ для сверхпроводниковых токонесущих систем и проведение вычислительных экспериментов, в [11-13] - проведение расчетов и численных исследований моделей.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 117 наименований, и приложения. Основная часть работы изложена на 165 страницах и содержит 75 рисунков и 17 таблиц.
Структура и описание комплекса программ FEMP-DESoIver
В настоящее время комплекс существует в двух версиях, обладающих практически одинаковыми функциональными возможностями. Первая реализована в виде набора отдельных DOS-программ [42], вторая - в виде двух Windows-приложений (пре/постпроцессора и решателя) [46, 85, 87, 88, 7]. Главное преимущество Windows-версии - в значительном сокращении времени решения конечно-элементной задачи (для сравнительно больших задач -примерно на порядок). Windows-версия комплекса (FEMPDESolver 2.0) обладает всеми возможностями DOS-версии и, кроме того, предоставляет пользователю ряд новых функций и дополнительных удобств. Все этапы решения конечно-элементной задачи объединены в рамках одного приложения и вызываются с помощью соответствующих пунктов главного меню программы. Сама программа имеет стандартный интерфейс, характерный для большинства приложений Windows. Основные возможности комплекса: решение уравнений в частных производных, включающих вторые производные по пространственным координатам и первую производную по времени, в двух- и трехмерных областях произвольной формы; возможность задания граничных условий 1, 2 или 3 рода, условий постоянства потенциала; возможность решения магнитостатических задач, включающих сверх-проводпиковые токонесущие элементы, с помощью задания на линии (поверхности) условия скачка потенциала (условие «разрез»), условия постоянства магнитного потока; возможность задания нелинейных коэффициентов уравнения, зависящих от неизвестной функции и и ее градиента; использование конечных элементов 1 и 2 порядка, в том числе изопара-метрических, а также бесконечных элементов для решения задач в постоянном внешнем поле;
Работа над задачей в программе FEMPDESolver разбивается на традиционные для подобных программ шаги: на этапе препроцессора задается описание геометрии объекта и его свойств, вид дифференциального уравнения, граничные и другие условия, проводится генерация конечно-элементной сетки, задаются параметры вычислений; на этапе решения процессор (решатель) формирует и решает систему дискретных уравнений; на этапе постпроцессорной обработки происходит визуализация результатов, получение производных характеристик, графиков, таблиц и т.д.
Препроцессор обеспечивает подготовку исходных данных для решения двумерных, осесимметричных или трехмерных задач методом конечных элементов. Специфика МКЭ состоит в реализации следующих основных этапов: задание параметров задачи; ввод геометрии области, разбитой на ряд простых подобластей с учетом особенностей решаемой задачи; задание граничных и других условий, неоднородностей среды; разбиение каждой по 20 добласти на конечные элементы с заданной плотностью узлов; проверка качества сетки и сохранение данных на диске.
В данном препроцессоре могут быть заданы зоны двух типов, в соответствии с двумя имеющимися способами разбиения их на конечные элементы. Зоны первого типа имеют форму четырехугольника (шестигранника), и для их задания достаточно указать номера двух противолежащих линий (поверхностей). Для задания зон второго типа необходимо перечислить номера всех линий (поверхностей), ограничивающих зону, поскольку их число не ограничено, однако создание многосвязных зон в данной программе невозможно.
В дальнейшем подобласти разбиваются по отдельности, что облегчает контроль качества конечно-элементной сетки, управление плотностью распределения узлов, а также сильно упрощает алгоритм дискретизации.
Блок задания параметров позволяет определить тип дифференциального уравнения, которому удовлетворяет искомая функция; стационарная или нестационарная задача; двумерная, осесимметричная или трехмерная (рис. 1.1). Существующие версии пакета программ FEMPDESolver позволяют решать уравнения Лапласа, Пуассона, Гельмгольца, диффузионного и волнового типов для скалярной неизвестной функции и = u(f,t).
Математическая модель изолированного кольца
Поскольку условие / = / реализуется только для собственного магнитного поля данного тела, то рассмотрим вначале простейшую задачу для отдельного тела кольцеобразной формы. В этом случае система (2.6) сводится к единственному интегральному уравнению: 2(/,0/(0 = -- (2.8) с Мо Мо
Выберем на контуре С систему из N равноотстоящих точек, разбивающих коп-тур С на N отрезков. Обозначим координаты середин отрезков как lt, а значение поверхностной плотности токов в этих точках соответственно У, = J(!j).
Для сохранения симметрии ядра при дискретизации следует вычислять ядро Q(IJ ) в тех же точках по обеим переменным / и V. Однако при / = / ядро обращается в бесконечность, но является интегрируемым в окрестности этой точки. Поэтому воспользуемся методом выделения сингулярности [30] для аппроксимации интеграла в (2.8). Зафиксируем значение переменной / = /: и рассмотрим интеграл из уравнения (2.8) по интервалу с центром в этой точке. /- J Q{lpl!)J(r)dr. (2.9) і-Mil Ввиду резкого изменения функции Q(ljJ ) можно пренебречь изменением функции J(l ) на интервале интегрирования и вынести ее из-под знака интеграла в (2.9): /,+Л//2 1;"Щ) J QVpOd . (2.10) І-М/2
Это приближение будет тем точнее, чем меньше длина интервала дискретизации А/. Оставшийся в (2.10) интеграл вычислим аналитически. Для этого, учитывая малость интервала Д/, аппроксимируем функцию (2.7) ее разложением в ряд, выделив главную сингулярную часть. В формуле (2.4) логарифмической особенностью обладает функция F(m), поэтому запишем функцию (2.4) в виде: Л и) = -/=[(1 - m)F(m) - 2Е(т)] + Щ (2.11)
В полученной формуле первое слагаемое не сингулярно, так как при / - / согласно (2.5) т - 1. Поэтому в окрестности рассматриваемой точки для двух основных членов разложения (2.11) будем иметь где использовано значение (1)= 1. Учитывая далее две главных части разложения эллиптического интеграла в окрестности т -1 [23] F(m) In -= = In 4 --- ln(l - т), v/l-ш 2 получим Дот) 1п4-0.5]п(1-/я)-2. (2.12) Далее, согласно формуле (2.5) в окрестности точки / = / имеем 2 1 - m = (p-pf+(z-zf (l-V? (p + pf+(z-zf Ap и формула (2.12) принимает вид /(m) ln(8/ )-2-In/-/ В итоге интеграл (2.10) с учетом (2.7) и делаемых приближений будет /+Д//2 /+Л//2 \ Q(ljJ yU Pj J [ln(8/ y)-2-ln/;-/ ]rf/ 1-М/2 /-Д//2 Вычисляя стоящий здесь элементарный интеграл, окончательно будем иметь: Ij JjPj In -1 Щ ) Д/ д/. (2.13)
Это выражение аппроксимирует интеграл в (2.8) на интервале, содержащем сингулярность. На всех остальных интервалах аппроксимируем интеграл в (2.8) по методу средних, и в результате будем иметь систему линейных уравнений для определения распределения плотности тока по кольцу:
Исследуем полученную численную математическую модель (2.14). Для этого примем сечение кольца круговым с радиусом а, радиус кольца 6, а начало координат поместим в центр кольца. Координату / будем отсчитывать через центральный угол сечения кольца относительно оси, лежащей в плоскости кольца (рис. 2.1). В таком случае Pi b + acostf/i, Z; = a sin ,-. (2.16)
Аппроксимацию полных эллиптических интегралов произведем по формулам, приведенным в [72], с точностью = 10" . Для уменьшения ошибки метода при использовании большого числа переменных решение системы (2.14) с симметричной положительно определенной матрицей коэффициентов проводилось методом Холецкого [30].
Результат расчета распределения плотности сверхтока по периметру се-чения кольца при 6 = 20 мм, я =10 мм, Ф = -Ы0 Вб, 0 = 1,5-10 Тл при N 100 в полярных координатах приведен на рис. 2.2.
По найденному распределению плотности тока далее нетрудно найти распределение индукции магнитного поля. Учитывая симметрию задачи и используя формулы вычисления ротора поля в цилиндрической системе координат [34], из формулы В = rot А [51] находим дАф дА& Аф , = — Br=--+S-, (2.17) и oz ор р где компонента /L вектор-потенциал а выражается формулами (2.2) и (2.3). При вычислении производных в (2.17) учтем формулы дифференцирования эллиптических функций [23]
Моделирование экранов на основе метода изображений
Экранирование системы сверхпроводящих тел обычно осуществляется с помощью экранов в форме односвязных тел. Такие тела не могут иметь собственных сверхпроводящих токов [51], так что задача сводится к учету магнитного поля сверхтоков, индуцированных на поверхности экранов магнитным полем системы тел. Ввиду равенства нулю магнитного потока через поверхность, опирающуюся на любой контур, проходящий по экрану, вектор-потенциал магнитного поля на поверхности экрана должен быть также равен нулю. Математически задача построения индуцированного поля для элементарного тока у сводится к добавлению в решение, полученное без экрана, поля от тока-изображения /, пропорционального току у. Такое поле изображения формально сразу дается функцией Грина соответствующей экрану краевой задачи с граничным условием первого рода. Аналитические выражения для функции Грина в трехмерной задаче известны только для границы в виде плоскости и сферы (а также, соответственно, их некоторых комбинаций) [62]. Следовательно, учет экрана по методу изображений возможен только для формы экрана в виде плоскостей и частей сферы. При этом, в общем случае, получается бесконечная система изображений [15], образующихся последовательным отражением изображений в сферических и плоских элементах поверхности экрана. Для некоторых специальных комбинаций (например, полусфера на плоскости) система изображений получается конечной. В любом случае поле от системы изображений будет складываться из элементарных полей от изображения в сфере или плоскости, поэтому рассмотрим эти два случая.
Пусть имеется элементарный кольцевой ток/ф радиуса р . Его изображением в экране, имеющем ось симметрии, совпадающей с осью тока, будет также кольцевой ток j9=-aj9 радиуса р (//), создающий индуцированное магнитное поле с вектор-потенциалом [51] \- U f ( Арр І7Г Y \ р {(p + pY+Z (3.7) в цилиндрической системе координат с началом в центре тока j . Смещая на чало координат в (3.7) на величину z вдоль оси симметрии, суммируя полученное выражение по всем элементарным токам на поверхности тела-индуктора и замечая, что для тока-изображения а р =р , придем к выводу, что наличие индукционного потенциала (3.7) модифицирует ядро (3.2) для каждого тела в системе и их взаимодействия дополнительным слагаемым Ад(1Л = -у[р ЩГ)Дт\1Л) , (3.8) где 4p(/)fl (О (p(i)+p(0)2Hz(i)- (i )y т (м) = — —т —т гг.— тт -у (3-9)
Хотя выражение (3.9) не имеет симметризованного вида, в действительности ввиду специфического характера связи между координатами источника и изображения оно симметрично по перестановке координат /, / , как это должно быть для функции Грина [62] и будет показано ниже.
При дискретизации выражения (3.8) и (3.9) не требуют регуляризации, поскольку совпадение координат в (3.9) исключено, так как источники и изображения находятся в разных областях пространства (все источники - перед экраном, а все изображения, по определению, за ним). Поэтому в результате дискретизации выражение (3.7), вычисленное в каждой точке дискретизации {//,//) на плоскости (/,/ ), просто добавляется к соответствующему элементу
матрицы (3.6). В итоге получаем математическую модель экранированной системы сверхпроводящих тел, самосогласованно учитывающую наличие экрана путем модификации коэффициентов системы уравнений модели без экрана.
В случае плоского экрана, помещая начало цилиндрической системы координат на экран, для координат точки изображения будем иметь [75] р -p ,z =-z , так что выражение (3.9) принимает вид т\1Г) = 4 Ш+Р(П)2 +(z(/)+z(/ ))2 и соответственно модифицирующая добавка к элементам матрицы (3.6) будет Qij=-fiiPjf (Pi+Pjf+iZi+Zjfj (3.10)
По численной математической модели (3.5), (3.6), (3.10) был разработан алгоритм и составлена программа расчета уравнения модели и вычисления распределения магнитного поля для одного кольца кругового сечения над плоским экраном (рис. 3.1). Расчет с телом другой формы сечения или добавление необходимого количества других тел может быть осуществлено по методике, разра 97 ботанной в главе 2. Результаты расчета распределения сверхтока по контуру сечения кольца и по экрану для кольца радиуса 28 мм с радиусом сечения 10 мм и высотой кольца над экраном 20 мм при величине магнитного потока в кольце Ф = -Ы0" Вб приведены на рис. 3.2. Тестирование модели на сгущающейся сетке дискретизации показало устойчивость и сходимость расчета.
По распределению свехтока были рассчитаны силы, действующие на кольцо и экран при JV = 300: FKaibll0 = 0.37281 дин, F3KpuH = -0.37235 дин. Совпадение значений силы в пределах ошибки расчета свидетельствует о корректности составления программы по математической модели и обусловленности алгоритма расчета. Распределение магнитного поля, рассчитанное по сверхтоку, приведенному на рис. 3.2, представлено на рис. 3.3. Характер распределения поля адекватен физической задаче: поле у поверхности сверхпроводника (кольца и экрана) направлено по касательной к поверхности, на внутренней поверхности кольца уровень поля существенно выше, чем на внешней, что свидетельствует об адекватности численной математической модели.
Регуляризированная математическая модель сверхпроводящего кольца с шаром
Рассмотрим регуляризацию базовых физико-математических интегральных моделей системы сверхпроводящих тел, сформулированных в главе 2. Вначале построим и исследуем математическую модель сверхпроводящего кольца или кольца с шаром над ним. Магнитное поле токов шара может быть учтено в задаче по методу изображений, сводящему задачу с шаром к простой регулярной модификации ядра Q задачи без шара (п. 2.3), так что в результате имеем единственное интегральное уравнение для распределения сверхпроводящего тока по контуру С сечения кольца: с где //Q - магнитная постоянная, Ф - магнитный поток через контур кольца, считающийся заданным, Яд - индукция внешнего магнитного поля у поверхности кольца, включающая в себя также магнитное поле шара, индуцированное внешним полем. В соответствии с (4.7) представим здесь Ф- РЧМ= aJW (432) Л=-00 аЪ и совместно с (4.7), (4.8) получим аналогичную (4.3) бесконечную систему линейных алгебраических уравнений со S Q»jnJm= »- (4-33) И]=-со Дискретизация Фурье-представления (4.33) интегрального уравнения (4.31), а следовательно, и модели в целом, в рассматриваемом методе осуществляется усечением системы (4.33) до конечной совокупности уравнений: 128 и X QnjnJm = п П = -М.М . (4.34) т=-М Ей соответствует конечное число неизвестных jm,m = -М..М, так что система
(4.34) и представляет собой регуляризированную численную математическую модель рассматриваемой системы. В действительности по свойству коэффициентов ряда Фурье j-m=(jm) только М+ 1 неизвестная независима. Выполнение данного свойства обеспечивается при решении системы (4.34) эрмитово-стью матрицы Q: Qn m = {Qnun) Последнее обстоятельство можно использовать для уменьшения объема расчетов, основную долю которых занимает вычисление интеграла (4.18), однако в системе (4.34) для сохранения симметрии удобно оставить все переменные/ , так как это практически не влияет на время решения модели.
Для решения модели (4.34) необходимо также вычислить значения свободных членов а„ и элементов матрицы (4.18). Будем производить их ло обычным квадратурным формулам, разбив контур С на N равных отрезков: лМф-яр2Д0( ) -lnw 2nj а,= J—e V}, w}-— Nab& Mo J N (4.35) N-\ 2.7Z \—і , , і(тц/y-nyj\) " bjj-c При вычислении сумм (4.35) целесообразно использовать метод быстрого преобразования Фурье (БПФ) [30].
Следует отметить, что процедура расчета (4.35) fie является дискретизацией модели, а представляет собой только метод расчета интегралов. Поэтому вносимая формулами (4.35) ошибка является только ошибкой определения коэффи 129 циентов уравнения (4.34), которая может быть сделана меньше любого заданного уровня независимо от решения модели. Ошибка же модели порождается усечением системы (4.33), и для почти диагональной матрицы Q оценивается величиной последнего из оставляемых коэффициента разложения (4,7) є j \.
Окончательно регуляризированная численная математическая модель системы включает в себя уравнение (4.34) с соотношениями (4.30), (4.35), (4.16) и (4.17). По сформулированной модели был разработан алгоритм решения и составлена программа, включающая нахождение переменных/т, восстановления распределения плотности сверхтока и расчета на его основе макроскопических параметров системы и распределения магнитного поля по методике, изложенной в главе 2.
Результаты тестового расчета модели с шаром для геометрических и магнитных параметров, использованных в главе 2, при М 8 приведены на рис. 4.3 и рис. 4.4.
Численные значения параметров при смещении шара от центра кольца на 12 мм составили L = 27.22674-1 О 9 Гн, F = 0.436760 дин. Полученные результаты в пределах ошибки согласуются с расчетами, приведенными в главе 2, что обосновывает адекватность построенной модели и корректность составления программы. При этом число обусловленности в чебышевской норме составило v = 29, что на два порядка меньше, чем в нерегуляризированной модели главы 2.
На рис. 4.5 показаны результаты исследования влияния числа переменны М в регуляризированной модели на форму расчетного распределения и расчетное значение коэффициента индуктивности. Последнее определяется только значением коэффициентауо и в случае диагональной матрицы Q вообще не зависит от числа переменных М модели,
