Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Квазилинейное уравнение теплопроводности с источником .
Постановка задачи. Исследование основных свойств ее решений. 16
Исторические предпосылки и основные свойства синергетического подхода . 16
Постановка задачи, 19
Основные понятия. 21
Основные свойства решений задачи (7). 22
Методика исследования задачи (7). 43
Новые результаты, полученные автором в процессе исследования. 45
Глава 2. Исследование задачи (7) при наличии флуктуации . 54
Исследование флуктуации пространственного распределения. 54
Обобщение модели. Источники и стоки с меньшей нелинейностью; флуктуации, уменьшающие энергию системы . 64
Сложные собственные функции, их устойчивость и распад. 67
Исследование модели в случае цилиндрической симметрии системы. 68
Глава 3. Синергетический подход и демография . 70
Формирование синергетического подхода в демографии. 70
Режим с обострением в демографической системе. 73
Синергетический подход к моделированию глобальных демографических процессов . 78
Некоторые демографические аспекты предложенной модели. 85
Заключение. 94
- Исторические предпосылки и основные свойства синергетического подхода
- Основные свойства решений задачи (7).
- Обобщение модели. Источники и стоки с меньшей нелинейностью; флуктуации, уменьшающие энергию системы
- Синергетический подход к моделированию глобальных демографических процессов
Введение к работе
«Наука наших дней претерпевает глубокие изменения, затрагивающие практически все ее сферы, что позволяет говорить о вхождении ее в качественно новый, постклассический этап развития. Эти изменения вызваны как внутренней логикой развития самой науки, во многом обусловленной ее переходом к познанию сложно-организованных систем, так и всем ходом развития современной цивилизации <...>. Эти тенденции могут иметь самые разные проявления, но в своем, по-видимому, наиболее концентрированном виде они нашли свое выражение в синергетике» [1].
Синергетику можно рассматривать как современный этап развития идей кибернетики и теории систем. В то же время вряд ли есть основания сомневаться в том, что синергетика несет в себе нечто принципиально новое.
Кибернетика и различные варианты общей теории систем изучают в основном процессы поддержания некоторых равновесных состояний в технических, биологических, социальных системах, посредством использования механизмов отрицательной обратной связи. При этом они рассматривают в основном такие случаи, когда нелинейная система может быть представлена как квазилинейная. Синергетика же занимается исследованием физических основ самоорганизации, изучает существенно неравновесные системы и существенно нелинейные процессы эволюции таких систем.
Начиная с работ А.ККолмогорова, И.Г.Петровского, Г.С.Пискунова [ 2], А.Тюринга [ 3], И.Пригожина [ 4], Г.Хакена [ 5] (см. также работы [ 6]-[ 8]) при моделировании явлений самоорганизации в различных системах часто используют математические модели, в основе которых лежат системы
нелинейных параболических уравнений типа реакция-диффузия. Например, для случая одного уравнения и одной пространственной переменной:
ди_д__ dt дх
C(«)f дх
= Q{u). (1)
Здесь t — время, х — пространственная координата; в качестве и могут выступать концентрации химических веществ, различные температуры (электронные, ионные) в плазме, различные виды в биологии, товары в экономике, группы расселения в социальных науках. Правая часть уравнения (1) описывает объемные источники и стоки. Они могут толковаться как реакции, происходящие с компонентами и или как нелинейное влияние прямых и обратных связей в биологических, экономических и др. системах. Они могут передавать и внешнее влияние в открытых системах. Например, поступление в каждую точку (или объем) системы энергии, вещества, информации за счет внешних воздействий или за счет их кинетики в самой точке пространства (а не за счет диффузии от соседей). Здесь могут проявляться: нелокальное взаимодействие элементов среды через распределительные функции целого организма, аналоги нейронных связей в мозгу или в нейрокомпьютерах, «многочастичных столкновений» в каталитических процессах на решетках. Здесь же в экономических задачах происходит учет функции спроса, определяемой по данным социологических опросов и настройки констант модели по поведению системы в прошлом.
В экономике часто встречается упрощенный вариант уравнения (1) без учета локальной диффузии:
-еМ, (2)
или еще более простой (стационарный) вариант:
Qiu) = о. (3)
Опыт многих частных задач синергетики показывает, что даже относительно простые «точечные» уравнения (2) и (3) колоссально усложняются в возможностях проявления своей пространственной организации при введении хаоса на микроуровне, что и отражает уравнение
(О-
Так, в работах В.А.Галактионова, А.А.Самарского, С.П.Курдюмова [9],[ 10] было показано, что нелинейные зависимости Qiu) и С(и) в (1) и (2) во многих случаях приводят к гиперболическому нарастанию процессов во времени. При этом в решении за конечный промежуток времени возникают особенности, кризисы, бифуркации. Такие режимы называются режимами с обострением.
Режимы с обострением имеют место в большом количестве реальных систем. Сверхбыстрые процессы, идущие в режиме с обострением, имеют приложения во многих областях науки, физике, химии, социологии и др., связаны с глобальным прогнозированием и механизмами прохождения кризисов — актуальнейшей проблемой современности.
Важной особенностью для такого класса режимов для уравнения вида (1) является вырождение многих сложных произвольных нелинейных зависимостей С(н), Q(u) в (1) в более простые виды зависимостей (см. [ 9]-[ 13]). В таких случаях на асимптотической стадии уравнение (1) можно заменить (в зависимости от вида С{и) и Qiu)) на:
- уравнение с экспоненциальными коэффициентами C0exp(ow) и
Qotxpipu);
уравнение со степенными коэффициентами С0мсти Qqi/;
- уравнение Гамильтона-Якоби;
при этом только уравнения со степенными зависимостями обладают сложным спектром устойчивых (или метастабильных) динамических структур, имеющих различные локализованные формы в пространстве. Локализация определенных форм структур обусловлена явлением инерции тепла, подробно изученным А.А.Самарским, СП.Курдюмовым, В.А.Галактионовым и другими учеными (см., например, [ 9]—[ 13]).
Эти математические идеи и выводы привели к формулировке антропного принципа в синергетике [ 14]-[ 18]:
- при развитии режимов с обострением только узкий класс моделей
(со степенными зависимостями для С = Со иа, Q = Q0 и , и только в
определенном диапазоне значений а и /3) может описывать эволюцию
сложных систем с большим числом различных структур и форм
организации.
Синергетика уже долгое время успешно применяется для построения моделей в различных естественных науках, таких, как, например, физика плазмы (открытие Т-слоя), или моделирование сложных химических процессов при каталитических реакциях. Использование синергетического подхода для поиска универсальных принципов формирования и эволюции сложных систем, необходимых для моделирования эволюционных процессов и катастрофических ситуаций, является актуальной задачей современных системных исследований, выходящей за рамки конкретных приложений.
Сложные распределенные системы являются нелинейными и многопараметрическими объектами. Они требуют разработки специальной стратегии исследования и создания эффективных вычислительных технологий.
Для численных расчетов режимов с обострением необходимы алгоритмы, позволяющие рассчитывать значения переменных, изменяющихся в сотни и тысячи раз.
Многопараметричность приводит к необходимости создания специальных методов анализа решений, сравнения их с экспериментальными данными, выделения параметров порядка системы.
Одной из важных и интересных систем, развивающихся в режиме с обострением, является демографическая система. С точки зрения системного подхода понятие "демографическая система" является синонимом понятия "население", и обозначает "ту же совокупность людей, которая составляет и общество, но рассматриваемую с точки зрения возобновления поколений" [19].
В последнее время стала очевидной необходимость рассмотрения народонаселения Земли как единой распределенной нелинейной системы. Демографические модели стали все шире использовать другие социальные и даже естественнонаучные дисциплины для понимания законов эволюции демографической системы.
Однако, демографам до сих пор, "как правило, пока приходится иметь дело с фрагментарными вкраплениями системно-исторической логики в общий контекст демографических исследований, что ограничивает ее влияние на понимание сущности и закономерностей изучаемых процессов" [19]. Существенной особенностью большинства современных
демографических исследований является разделение населения Земного шара на регионы и раздельное рассмотрение процессов роста населения в каждом из них.
Одним из ключевых моментов системного подхода в демографии является выявление законов развития всей демографической системы, неизменных в течение длительного времени. Таким фундаментальным законом, например, является гиперболический закон роста населения Земли. Современные специальные исследования соответствующей модели и сравнение ее с кривыми, построенными на основе реальных исторических данных о численности народонаселения мира в различные эпохи, приведены в работах С.П.Капицы . В них показано, что развитие человечества в течение 100 тысяч лет и более происходит в режиме с обострением:
N(t) = Со / (tf- /), Со = 186x109, Го = 2007 год.
Изучение внутренних законов пространственно-временной эволюции сложных систем, развивающихся в режиме с обострением (и, в частности, демографической системы), основанное на математическом моделировании, сбалансированном сочетании аналитических и численных методов исследования, является актуальной задачей современной прикладной математики.
Цель данной диссертационной работы:
- Численное построение и исследование решений задачи Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности с источником, развивающихся в режиме с обострением. Исследование решений системы уравнений,
полученной методом осреднения. Сравнительный анализ фазовых траекторий метода осреднения и фазовых траекторий задачи Коши. Исследование применимости метода осреднения для построения решений указанной задачи.
— Исследование поведения решений осредненной системы и решений
задачи Коши при введении флуктуации различного вида.
- Построение на основе синергетического подхода математической
модели эволюции сложных распределенных систем, развивающихся в режиме
с обострением. Применение построенной модели для описания эволюции
демографической системы. Исследование зависимости закономерностей
развития от значений параметров модели. Изучение устойчивости решений,
развивающихся в режиме с обострением, по отношению к флуктуациям
различного вида.
Для достижения сформулированных целей в диссертационной работе были поставлены следующие основные задачи:
Реализация численных методов решения задачи Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности со степенным видом зависимостей в коэффициенте теплопроводности и источнике.
Разработка и реализация алгоритмов автомодельной обработки и построения фазовых траекторий решений указанной задачи.
Реализация численных методов построения решений методом осреднения.
Разработка алгоритмов сравнительного анализа фазовых траекторий метода осреднения и фазовых траекторий задачи Коши.
Сопоставление полученных численных результатов с известными из аналитических исследований свойствами решений указанной задачи.
Например, в статье: Капица СП. Математическая модель роста народонаселения Земли. //Матем.
Разработка методики включения в исследуемую задачу флуктуации различного вида.
Построение комплекса программ, позволяющего проводить численное исследование решений задачи Коши, развивающихся в режиме с обострением, и решений осредненной системы, их анализ при различных значениях параметров и при наличии флуктуации различного вида.
Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.
Краткое содержание последующих глав:
В ГЛАВЕ 1 сформулирована математическая постановка задачи. Выписаны необходимые понятия и известные свойства решений поставленной задачи.
В главе 1 описываются также:
Методика численного построения решений задачи, развивающихся в режиме с обострением.
Определение характерного времени выхода на автомодельный режим. Впервые показано, что для малых начальных функций выход на автомодельный режим происходит уже на квазистационарной стадии, далекой от момента обострения.
Свойства решений, полученных методом осреднения.
Результаты численного исследования системы уравнений метода осреднения.
Впервые показано, что при всех значения параметров задачи {3 и <т фазовые траектории задачи Коши имеют автомодельную асимптотику при стремлении к моменту обострения (в отличие от решений, полученных методом осреднения).
Моделирование. 1992. Т.4. № 6. С.65-79.
В ГЛАВЕ 2 изложены результаты численных исследований задачи Коши при наличии флуктуации различного вида и проведен анализ устойчивости этих решений.
Впервые показано, что флуктуации, изменяющие форму профиля решения, но не меняющие значение его пространственного интеграла, приводят к выделению в эволюции решений нескольких периодов с сокращающейся по линейному закону (по мере приближения к моменту обострения) длительностью.
Также в данной главе рассматриваются некоторые возможности обобщения исследуемой задачи:
влияние на эволюцию решений дополнительного линейного стока. Показано, что это приводит к появлению на фазовой плоскости сепаратрисы, отлеляющей область, в которой решения развиваются в режиме с обострением от области существования решения «в целом». Численные расчеты показали, что на стадии обострения наличие линейного стока практически не оказывает влияния на эволюцию решения.
влияние интегральных (энергетических) флуктуации, в особенности в критические периоды (в области смены режима, вблизи момента обострения). Впервые показана возможность того, что флуктуации параметров задачи С и Q могут привести к смене глобального режима развития (с роста в режиме с обострением на режим уменьшения концентрации и пространственного распространения).
В ГЛАВЕ 3 исследуется пространственно-временная эволюция демографической системы - сложной распределенной системы,
развивающейся в режиме с обострением. Предложена новая математическая модель глобальных демографических процессов с учетом пространственного распределения населения. Предложенная модель рассматривает все население Земли как единую эволюционирующую и самоорганизующуюся демографическую систему. В ее основе лежит исследованная в двух первых главах задача Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности с источником.
Кратко изложен путь формирования системного подхода в демографических исследованиях и описана предложенная С.П.Капицей модель, описывающая рост полной численности населения Земли, как единой нелинейной распределенной системы, в режиме с обострением в течение более ста тысяч лет.
Формулируются некоторые важные проблемы, не решенные в рамках модели С.П.Капицы и других моделей, основанных на рассмотрении человечества как единой сложной нелинейной системы, но не учитывающих пространственное распределение народонаселения.
Обосновывается необходимость моделирования эволюции глобальной демографической системы в рамках синергетического подхода.
Проведена оценка значений параметров модельной задачи для демографической системы.
Построенная модель дает ряд качественных и количественных соответствий между полученными результатами и данными демографических и исторических исследований.
Показано, что данная модель (в отличие от других моделей, основанных на системном подходе, но не учитывающих пространственное распределение народонаселения) описывает появление в эволюции периодов с
13 сокращающимся степенным образом характерным временем качественных изменений системы.
Показано, что модель описывает также неравномерность развития различных регионов Земли в настоящее время, постоянство на протяжении длительного времени (несмотря на присутствие в системе флуктуации) закона роста полной численности народонаселения. Модель позволяет также описать переход демографической системы от роста в режиме с обострением к другому режиму эволюции.
В ЗАКЛЮЧЕНИИ изложены основные результаты работы.
Таким образом, автором было проведено обширное численное исследование свойств решений задачи Коши квазилинейного уравнения теплопроводности с ИСТОЧНИКОМ.
В результате проведенного исследования автором были получены новые результаты, касающиеся выхода решений задачи Коши на автомодельный режим, асимптотического поведения фазовых траекторий задачи, определения границ применимости метода осреднения для построения решений.
Автором был создан комплекс программ для исследования и анализа в диалоговом режиме закономерностей эволюции сложных распределенных систем, развивающихся в режиме с обострением.
Автором впервые была построена и исследована при помощи разработанного комплекса программ математическая модель, описывающая пространственно-временную эволюцию демографической системы. Было произведено подробное изучение свойств модели, ее чувствительности к изменению параметров, устойчивости по отношению к флуктуациям
различного вида. Были подобраны параметры модели, позволяющие впервые математически описать некоторые известные демографические и антропологические данные, не описываемые другими существующими моделями.
Включенные в диссертацию основные результаты получены лично автором.
Все численные исследования, приведенные в диссертации, являются личным вкладом автора.
Комплекс программ для численного исследования описанных в диссертации задач и моделей и обработки полученных результатов разработан лично автором.
Автор непосредственно участвовал в математической постановке задач, в разработке новой модели глобальной демографической системы, в анализе и интерпретации результатов исследования.
Результаты, изложенные в настоящей диссертации,
докладывались на следующих семи международных и Всероссийских конференциях:
Московский синергетический форуме, Москва, 1996.
Международная Школа НАТО по нелинейной динамике, Москва, 2000.
Восьмая Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», Пущино> 2001.
Девятая Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», Дубна, 2002.
Научная конференция «Ломоносовские чтения», Москва, 2003.
6- Четвертая Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск, 2003-
7. Пятая Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск, 2004-
Результаты, изложенные в настоящей диссертации, опубликованы в 19 статьях, в том числе в 4 статьях в реферируемых журналах [ 14]?[ 15],[ 17],[20], в 4 статьях в сборниках статей [ 18],[ 21]-[ 23], в 9 статьях в трудах конференций [ 24]-[ 32] и в 2 препринтах [ 33],[ 34],
Исторические предпосылки и основные свойства синергетического подхода
Каждому историческому периоду в развитии науки свойственны свои специфические идеалы научного знания и методологические подходы к осмыслению действительности. В науке Нового времени - классической науке - идеалами научного знания служили простота, линейность, исключение неопределенности. Классический подход к управлению сложно организованными системами основывается на линейном представлении об их функционировании. Согласно этому представлению результат внешнего управляющего воздействия есть однозначное и линейное, предсказуемое следствие приложенных усилий. Результат воздействия тем больше, чем оно сильнее.
Вместе с бурным развитием статистических теорий (теория игр, теория ошибок, статистическая и квантовая физика, демография и пр.) происходил переход к вероятностному стилю научного мышления, статистические закономерности перестали рассматриваться как нечто временное и преходящее- Интенсивное развитие системных исследований и кибернетики привело к очередному изменению в стиле научного мышления, системный подход открыл новые возможности для исследования свойств систем, не выводимых из характеристик ее подсистем.
Синергетика расширяет системный подход, открывая возможности поиска универсальных принципов формирования и эволюции сложных систем, необходимых для моделирования эволюционных процессов и катастрофических ситуаций в таких системах (См. [ 13], [ 16], [ 17], [ 35]-[ 39]). Она предлагает свои модели развития сложных систем, Синергетическим подход требует учета не только временных закономерностей процессов, но и их пространственного распределения, взаимного влияния процессов, происходящих в разных областях и, вообще говоря, с разной скоростью. Краткая характеристика любой синергетической модели сложной системы включила бы в себя четыре основные идеи: нелинейность, открытость, диссипативность, единство.
Нелинейность, избирательность, необычная, на первый взгляд, реакция на внешние воздействия, когда «правильное» воздействие оказывает большее влияние на эволюцию системы, чем воздействие более сильное, но организованное не адекватно ее собственным тенденциям.
Открытость, наличие нелинейных обратных связей, нелинейных внешних источников и стоков (энергии, ресурсов, информации и пр.) как необходимое условие существования неравновесных состояний, в противоположность замкнутой системе, неизбежно стремящейся, в соответствии со вторым началом термодинамики, к равновесному состоянию, В совокупности с нелинейностью это - фактор, создающий и поддерживающий неоднородности в среде.
Диссипативность, макроскопическое проявление хаотических процессов, протекающих на микроуровне, С одной стороны это - фактор «естественного отбора», разрушающий все, что не отвечает собственным тенденциям развития, «молоток скульптора», которым тот отсекает все лишнее от глыбы камня, создавая скульптуру. С другой стороны это - фактор когерентности, связывающий отдельные части в сложной структуре, устанавливающий в них общий темп развития. Наконец, это — причина появления в системе «стрелы времени», указывающей направление эволюции системы. Диссипативный фактор - это макроскопическое проявление разного рода «микропроцессов» в системе, в социальных системах это, например, обмен информацией, миграция и пр..
Еще одним важным свойством сипергетического подхода является единство системы, выражающееся в «когерентности» (но не обязательно одновременности) основных этапов ее развития, существовании единых общих для всей системы тенденций и законов.
Динамика эволюции распределенной открытой нелинейной системы подчиняется действию двух основных факторов.
С одной стороны, это — фактор, создающий и поддерживающий неоднородности - нелинейный источник. Это - результат существования в системе нелинейных обратных связей, фактор самовлияния, самовоздействия, самоусиления процессов в системе» Причем, эти нелинейные положительные обратные связи должны быть не энергетическими (т.е. зависящими от интегралов решений), а локальными. Примеры самовоздействий такого рода находятся в различных областях науки: это вынужденное излучение в лазере; генерация и усиление малых колебаний в радиотехнике; биологические катализаторы, позволяющие колоссально усиливать скорость процессов в живых организмах; сверхбыстрый рост в экономике, когда не только полученная прибыль, но и дополнительные средства вкладываются в производство,
С другой стороны, это - диссипативный фактор, размывающий неоднородности в нелинейной системе, аналог диффузии самого разного рода (в демографической системе, например, это может быть миграция населения, распространение болезней, передача знаний, научной и культурной информации, культурно-исторических традиций, товаров или капитала), Диссипативный фактор выражает влияние процессов, протекающих на микроуровне на эволюцию структур на макроуровне. Этот фактор многофункционален: он может выступать а) как сила, выводящая на структуру-аттрактор эволюции, б) как способ перехода между различными режимами эволюции, скажем, режимом быстрого роста и режимом ослабления интенсивности процессов, в) как фактор когерентности, установления связи между структурами, согласования структур, развивающихся в разном темпе, в единое целое (целостную эволюционирующую устойчивую динамическую структуру).
Конкуренция между этими двумя факторами - действием нелинейных обратных связей и диссипативными, рассеивающими процессами - может приводить к различным режимам развития процессов в нелинейных системах. Может установиться режим локализации и роста интенсивности процессов во все более узкой области вблизи максимума — LS-режим (если положительные обратные связи «сильнее» диссипативных факторов), или режим относительного снижения интенсивности процессов, уширения структур и «растекания от центра» - HS-режим (если диссипативные процессы «сильнее» факторов самоусиления) (См,, например, [ 13]).
Основные свойства решений задачи (7).
Если же носитель начальной функции шире, чем область локализации автомодельного решения, то интенсивный рост происходит в области размера 2Ь$ь вне которой скорости процессов уменьшаются в сотни и тысячи раз. Обострение происходит, как и в первом случае, только внутри этой области. Единственным исключением является задание в качестве начальной функции нескольких структур, удаленных друг от друга более чем на 2L$. В этом случае (в отсутствие флуктуации) обострение может возникнуть в нескольких областях одновременно- (См, Фиг.2, Фиг, 13 — Эволюция профиля решения при неавтомодельном возбуждении - при под- и надкритической начальной функции).
Более интересным оказывается случай LS-режима р а+ L Автомодельное решение является принципиально нелокализованным. Это связано с тем, что в автомодельном режиме все характерные размеры должны сокращаться вместе с фазовой переменной (f(f\ в том числе — положение точки фронта. Однако точка фронта в квазилинейном уравнении теплопроводности (4) не может двигаться внутрь структуры.
Автомодельная обработка численных решений для различных начальных данных показала, что автомодельное решение и в этом случае является асимптотикой решений при t — tf Однако дальнейшие расчеты показали (и это было подтверждено вычислительным экспериментом) что при задании финитной начальной функции решение остается локализованным вплоть до момента обострения внутри области, ограниченной фундаментальной длиной LS-режима. В отличие от S-режима в LS-режиме фундаментальная длина не является постоянной, а зависит от величины начального возмущения (см, [ 13], [ 43]).
Таким образом, несмотря на асимптотическое стремление произвольного решения к автомодельному, в любой момент времени между ними есть принципиальная разница, выражающаяся в локализованное решений с финитным начальным распределением. Разница эта, однако, существенна для процессов, происходящих вдали от максимума решения, а центр, наиболее интенсивно растущая часть его, начиная с некоторого момента времени, развивается практически в автомодельном режиме.
С другой стороны, сокращение всех характерных масштабов в LS-режиме приводит к тому, что процессы интенсивного роста концентрируются во все более узкой области возле максимума решения, в области эффективной локализации решения. Ширина этой области меняется со временем, вместе с изменением профиля решения. Так как все характерные размеры меняются соразмерно изменению фазовой переменной fit\ то и ширина области эффективной локализации Ьэфф также пропорциональна этой величине. На асимптотической стадии, вблизи момента обострения, когда Ьэфф « до , можно связать Ьэфф с амплитудной характеристикой решения g(t):
Зависимость Ь фф от g может быть использована для оценки области распространения начального возмущения на нулевом фоне по его амплитуде. При задании небольшой начальной функции решение задачи (7) сначала распространяется, практически без увеличения величины (иногда даже с понижением значения в точке максимума). Затем в области эффективной локализации начинается интенсивный рост, сопровождающийся сокращением самой этой области. Сначала происходит увеличение полуширины решения, сопровождающееся уменьшением его максимального значения. Затем процесс сменяется обратным. Распространение фронта решения ограничено фундаментальной длиной LS-режима для данного начального возмущения.
Асимптотическая неустойчивость и распад сложных структур LS-режима. Удивительным кажется тот факт, что нелинейные положительные обратные связи не нарушают устойчивости течения процессов в системе на протяжении долгого времени. Объяснение этому заключается в сильной неравномерности скорости роста. Относительная скорость роста на автомодельной стадии роста пропорциональна расстоянию до момента обострения. Такая зависимость - существенное свойство степенных автомодельных режимов. На медленной стадии развития все локальные возмущения эволюционируют крайне медленно, как и все остальные процессы в системе. Основным результатом воздействия флуктуации на раннем, медленном этапе развития является изменение момента обострения. Это, однако, проявляется только вблизи самого момента обострения.
Только наиболее простая из структур-аттракторов (основное состояние системы) является устойчивой, тогда как более сложные структуры устойчивы метастабильно и вблизи момента обострения распадаются либо вырождаются вследствие небольших различий в моментах обострения различных областей структуры. Таким образом, весь процесс развития системы, развивающейся в режиме с обострением, можно условно разделить на два главных этапа: это квазистационарная стадия, период метастабнльной устойчивости сложных структур, и стадия обострения, период нарастающей неустойчивости, неравномерности развития. Распад сложных структур вблизи момента обострения носит вероятностный, «радиоактивный» характер.
Возникновение и эволюция локальных возмущений, нарушающих эволюцию системы, на разных этапах развития системы подвержены влиянию двух противоположных тенденций: на квазистационарной стадии развитие таких возмущения происходит крайне медленно, так что последующие флуктуации могут нейтрализовать или изменить его влияние на эволюцию системы. С другой стороны, вблизи момента обострения скорости процессов настолько велики, что локальные возмущения должны иметь очень большую амплитуду, чтобы как-то повлиять на их течение. Очевидно» наибольшее влияние на развитие системы должны оказывать флуктуации, произошедшие вблизи границы квазистационарной стадии.
Обобщение модели. Источники и стоки с меньшей нелинейностью; флуктуации, уменьшающие энергию системы
Можно предположить, что наличие в уравнении нескольких степенных источников или стоков с различными показателями степеней и коэффициентами приведет к существованию на фазовых плоскостях уравнений нескольких областей, соответствующих различным режимам эволюции, и система в процессе развития может переходить из одной области в другую. В частности, убывающие фазовые траектории приведут систему в область, где существенными становятся члены с меньшими показателями степени. Если это стоки, то затухание решения ускорится, а если это источники, то, напротив, замедлится, приблизив переход к росту в режиме с обострением или даже в область HS-режима /3 7+ I. И наоборот, вблизи момента обострения могут включиться слагаемые, имеющие более высокие степени нелинейности, также изменяя характер развития системы.
Например, добавление в исследуемое уравнение линейного стока приводит к следующему уравнению: Данное уравнение в общем случае не имеет инвариантно-группового решения, однако в частном случае S-режима /?= т+ 1 такое решение может быть построено (см, [ 13],[ 46],[ 47]), Из соотношений /? = сг+ 1 и Ър = сг+ 5 следует, что У? =2У а = 1 и, следовательно: же, как и в отсутствие линейного стока. Однако если условие U /ст не выполнено, то роста в режиме с обострением не происходит, и решение стремится к нулю. Такое поведение сохраняется и при небольших отклонениях/? и сг от соотношения /?= т+ 1. До сих пор мы рассматривали флуктуации, не меняющие полной энергии системы (так называемые флуктуации пространственного распределения). Что изменится, если возмущение сопровождается изменением интеграла от рассматриваемой функции распределения U(t)7
В качестве примера были проведены две серии численных экспериментов, в которых флуктуации уменьшали полную энергию системы, причем в первом случае функция распределения u(x,t) в случайно выбранные (с равномерным распределением плотности вероятности) моменты времени уменьшалась на несколько процентов в каждой точке, а во втором — максимум распределения "срезался" на определенную глубину. Результаты такого возмущения задачи качественно почти не отличаются от введения в нее дополнительного линейного стока, В зависимости от соотношения начального значения Uo(t) и среднего значения за единицу времени потерянной за счет флуктуации энергии может либо развиваться режим с обострением (на развитой стадии не замечая происходящих флуктуации), либо режим затухания решения. Единственное существенное отличие от случая линейного стока состоит в стохастическом характере возникновения флуктуации, вследствие которого на границе области роста и затухания формируется метастабильная область на фазовой плоскости, в которой решение может находиться в течение некоторого времени.
Причины асимптотической неустойчивости сложных структур LS-режима в рассматриваемой системе были рассмотрены в главе 1. Там же была дана оценка относительной неравномерности развития отдельных частей системы.
Численное моделирование показывает, что в отсутствие воздействия на систему в рамках исследуемой модели любая сложная структура вырождается в одну или несколько простых структур (структур с единственным максимумом и с не перекрывающимися областями эффективной локализации). Однако правильным образом организованное воздействие на систему может если не остановить этот процесс» то несколько смягчить его, приведя к переходу системы не в вырожденное состояние, но в другую сложную структуру (хотя и с меньшим числом максимумов).
Дело в том, что развитие системы вблизи момента обострения происходит настолько быстро, что восстановить нарушение согласованности темпов роста с помощью воздействий небольшой энергии, по-видимому, оказывается невозможно. Поэтому целью таких регулирующих воздействий должно быть приведение системы в новое состояние согласованности, пусть даже за счет "потери" нескольких максимумов структуры.
В численном эксперименте фактором воздействия на систему были параметры задачи (5) С и Q. Манипулируя небольшими изменениями этих параметров, иногда удавалось перевести решение с четырьмя максимумами вблизи момента обострения в состояние с двумя максимумами, которое не вырождалось дольше, чем невозмущенное решение, В некоторых случаях, однако, такого результата добиться не удавалось, и решение вырождалось, независимо от воздействий на параметры задачи, либо сразу в простую структуру» либо через промежуточные стадии быстро вырождающихся структур с тремя или двумя максимумами. Тем не менее, очевидно, данная задача представляет собой интересную тему для дальнейших исследований.
Синергетический подход к моделированию глобальных демографических процессов
В работах С.П.Капицы указаны многие факты, подтверждающие важность рассмотрения человечества как единой системы; это устойчивость гиперболического закона роста в течение миллионов лет, а также относительная синхронность смен исторических эпох в различных регионах Земного шара (этот факт может служить подтверждением правомерности системного исследования населения Земли даже тогда, когда средства связи и транспорта, казалось бы, были недостаточно развиты, чтобы связать между собой различные части планеты). Кроме того, в смене эпох была отмечена периодичность с частотой, возрастающей по тому же гиперболическому закону (см. Табл. 5).
На протяжении каждого из 11 прошедших до настоящего времени периодов на Земном шаре жило одинаковое число людей (около 9 миллиардов человек). Относительная скорость роста полной численности людей при этом обратно пропорциональна удалению в прошлое от момента обострения1.
Важным в модели С.П.Капицы является понимание того, что полная численность народонаселения Земли является одним из параметров порядка демографической системы, определяя многие законы эволюции ее и отдельных ее подсистем.
Существует ряд теории, которые, развивая теорию С.П.Капицы пытаются выявить причины появления описанных, но не объясненных им феноменов эволюции человечества. К примеру, А.ЕШодлазов и Г.Г.Малинецкий высказали мысль о том, что гиперболический закон роста числа людей и смена его на новый режим развития в настоящее время (демографический переход) обусловлен характером развития жизнесберегающих технологий (см, [ 55]-[ 58]).
Однако, такие теории по-прежнему не могут дать ответа на многие принципиальные вопросы, например, о причинах появления характерной периодичности в развитии демографической системы. Они, как и теория С.ПКапицы, представляют собой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, и поэтому не могут предложить способов выявления законов коэволюции демографической системы, не может объяснить сосуществования в рамках единой системы сильно различающихся между собой подсистем.
Для исследования подобных проблем необходима модель, описывающая пространственное распределение народонаселения, то есть соответствующая парадигме синергетического подхода (описывающая народонаселение Земли как нелинейную открытую диссипативную систему) и дающую те же результаты для закона роста полного числа людей, что и теория СПКапицы. Как и любая другая система, развивающаяся в режиме с обострением и описываемая этим уравнением, демографическая система имеет в своем развитии два главных этапа — квазистационарную стадию (характеризующуюся крайне медленной эволюцией системы) и стадию ускоряющегося роста.
С-П.Капица в своих работах указывает на наличие в демографической системе безразмерного инварианта 67000, который связан с существованием в ней «естественного» масштаба времени (около 40 лет), по мнению С.П.Капицы соответствующего периоду смены поколений. С учетом этих значений было показано, что квазистационарная стадия развития человечества (длиной около 1-2 миллионов лет) закончилась примерно 10000 лет назад, то есть весь исторический период развития человечества (от неолита до наших дней) есть стадия ускоряющегося роста и развития неустойчивости, сопровождающихся учащающимися войнами, а также ростом неравномерности развития мира.
Анализ развития отдельных стран и регионов Земного шара показывает, что моменты обострения различаются в различных странах на несколько десятилетий, см., например, [52]. Соотнеся этот разброс с длительностью стадии обострения (предположительно 10000 лет), мы получим вполне разумную величину возмущений (ОЛ-0.5%), способных привести к такому различию моментов обострения в различных областях сложной структуры. Наблюдаемая в демографической системе неравномерность расселения и развития, характерная именно для динамических структур LS-режима, заставляет выбрать для дальнейшего исследования параметры, соответствующие LS-режиму: /3 сг+ 1. Для выполнения условия (32) и соблюдения закона роста (31) для автомодельного решения задачи (7) при N = 1 необходимо наложить дополнительное условие на параметры р и х Вместе с решением рассматривать решения, развивающиеся в LS-режиме /3 сг+ 15 это соотношение приводит к ограничению возможных /їй а следующими значениями: 0 ст 1, 5/3 /? 2.) Кроме того, эти условия с дополнительным предположением, что размер области локализации u{x9t) - L(LS (см. (22)) равен по порядку величины размерам Земного шара (— 10 км) позволят также оценить возможные значения коэффициентов С и Q\ при 0 т 0,5 они имеют порядки 10 и 10 соответственно. Для задачи с радиальной симметрией (N = 2) вместо дополнительного условия (33) для выполнения закона роста (31) на параметры /? и сгнужно наложить такое условие: Для LS-режима это соотношение приводит к другим ограничениями на значения иа, чем в случае задачи с одной пространственной переменной; 0 7 1,3/2 /? 2.
