Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Исследование автомодельных решений нелинейного уравнения теплопроводности на плоскости 15
1.1 Постановка задачи 15
1.2 Автомодельные решения 16
1.3 Радиально-симметричные решения 19
1.3.1 Связь с решением линеаризованного уравнения 20
1.3.2 Свойства одномерных решений 21
1.3.3 Свойства цилиндрически-симметричных решений 22
1.4 Радиально-несимметричные решения. Численные методы 23
1.4.1 Разностные схемы 23
1.4.2 Метод сшивания 25
1.4.3 Методы мультипликации и последовательных растяжений 29
1.4.4 Метод продолжения по параметру 30
1.5 Классификация СФ 32
1.6 Сравнение множеств СФ при разных значениях а 49
Глава 2 Устойчивость автомодельных решений 52
Введение 52
2.1 Численные методы 53
2.2 Структурная и метастабильная устойчивость автомодельных решений. Эволюция резонансных возбуждений 56
2.3 Эволюция возмущенных автомодельных решений 60
2.4 Эволюция финитных возмущений 63
2.4.1 Эволюция усеченных СФ (с отрезанным " хвостом") 64
2.4.2 Эволюция радиально-симметричных финитных распределений 65
2.4.3 Эволюция радиально-несимметричных решений 66
2.5 Формирование сложных структур 71
Глава 3 Уравнение с квадратичным источником 74
Введение 74
3.1 Теоремы сравнения для нелинейных параболических уравнений 76
3.2 Задача Коши для уравнения с квадратичным источником 76
3.2.1 О затухающих решения 77
3.2.2 Неограниченные решения. Применение теоремы сравнения 78
3.2.3 Интегральное условие возникновения режима с обострением 79
3.3 Поиск частных решений уравнения с квадратичным источником 83
3.4 Аналитическое исследование динамической системы 85
3.4.1 Вспомогательное уравнение 85
3.4.2 Неограниченные и затухающие точные решения 86
3.4.3 Асимптотический анализ динамической системы 91
3.5 Результаты расчётов 97
Основные результаты 104
Литература 105
- Связь с решением линеаризованного уравнения
- Структурная и метастабильная устойчивость автомодельных решений. Эволюция резонансных возбуждений
- Эволюция радиально-несимметричных решений
- Интегральное условие возникновения режима с обострением
Введение к работе
Актуальность темы.
В системах разной природы встречаются сверхбыстрые процессы, в которых исследуемая величина за некоторый промежуток времени возрастает на несколько порядков. Другими словами, имеет место взрывной рост исследуемой величины.
В качестве примеров можно привести быстрое сжатие вещества (коллапс) в физике, вспышки инфекционных заболеваний в эпидемиологии, некоторые процессы в химической кинетике и т.д.
Математически такие явления могут быть описаны с помощью дифференциальных уравнений, допускающих решения, растущие в режиме с обострением. Это решения, которые в конечный момент времени {момент обострения) обращаются в бесконечность на некотором множестве точек пространства. Их также называют неограниченными или взрывными (blow-up solutions в англоязычной литературе, см. [1]).
Теория режимов с обострением является интенсивно развивающейся областью математики. Об этом свидетельствует увеличивающееся число работ на эту тему.
Многие модели, в которых решения могут расти в режиме с обострением, не учитывают факторы, ограничивающие рост исследуемой функции вблизи момента обострения (конечность ресурсов и т.д.). Однако такие модели позволяют понять и изучить существенные, наиболее значимые черты исследуемой системы, которые проявляются вплоть до момента обострения.
Интерес к решениям, растущим в режиме с обострением, возник в середине XX века. В нашей стране их начали изучать в связи с исследованиями в области термоядерного горения плазмы. Большой вклад в эту работу внесли сотрудники Института прикладной математики РАН и кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ, работавшие под руководством А.А. Самарского и СП. Курдюмова.
В основе базовой модели, изучавшейся в школе Самарского-Курдюмова, лежит уравнение нелинейной теплопроводности. В общем виде оно выглядит следующим образом:
ut = div(k(u)gradu)+Q(u). (1)
Здесь и > О - температура, к(и) > 0 - коэффициент теплопроводности, Q(u) - источник или сток тепла (в зависимости от знака функции).
При определенных условиях это уравнение описывает процессы электронной и ионной теплопроводности в плазме, адиабатическую фильтрацию газов и жидкостей в пористых средах, диффузию нейтронов и альфа-частиц; оно также возникает при математическом моделировании процессов химической кинетики, различного рода биохимических реакций, процессов роста и миграции популяций и т.д. Для моделирования разных процессов используются различные виды зависимостей к(и) и Q(u).
Весьма много внимания в литературе уделялось изучению уравнения со степенными нелинейностями:
ut = div(k0uagradu)+ q0ufi, где а > О, /? > 0, к0 > О . (2)
Здесь и = u(x,t), х є RN . Это уравнение имеет широкий спектр приложений. В частности, при сг = 2.5, /?<5.2 оно описывает термоядерное горение в плазме с электронной теплопроводностью; при сг = 0, 2 < /? < 3 соответствует моделям автокаталитических процессов с диффузией в химических реакторах; при а около 6.5 описывает процесс радиационной теплопроводности высокотемпературной плазмы в звездах. Недавно это
уравнение нашло новое применение. Было показано, что оно описывает глобальную эволюцию человеческого общества. В этом случае искомая функция u(x,t) интерпретируется как плотность населения [2].
Доказано, что уравнение (2) имеет решения, развивающиеся в режиме с обострением (см.[1]). При определенных условиях наблюдается явление локализации тепла, возникают нестационарные диссипативные структуры - области интенсивного горения, локализованные в пространстве.
В зависимости от соотношения между параметрами а и /? возможны три типа режимов с обострением: так называемые HS, S или ^-режимы. Они отличаются друг от друга тем, на каком множестве решения уравнения (2) обращаются в бесконечность (во всем пространстве, в замкнутой области или в одной точке). Было показано ([1]), что при Р > а +1 имеет место локализация тепла. Выделено два типа локализации: строгая -
когда решение остается равным нулю вне некоторого замкнутого множества; эффективная - когда множество точек пространства, в которых решение обращается в бесконечность, ограниченно.
Особенно интересным является случай і^-режима, который реализуется при Р > а +1. При этом соотношении параметров возможно образование не только простых, но и сложных диссипативных структур, имеющих несколько локальных максимумов. Именно этот случай рассматривается в предлагаемой работе.
В двумерном случае структуры описываются неограниченными автомодельными решениями уравнения со степенными нелинейностями вида.
u(r,
Функция &(<^,(р) является решением краевой задачи на собственные функции (СФ) и собственные значения для нелинейного уравнения эллиптического типа. Известно, что эта задача (которую также называют автомодельной задачей) имеет множество решений, состоящее более чем из одного элемента (т.е. решение неединственно). Функции, входящие в это множество, описывают простые и сложные диссипативные структуры, которые могут возникать в данной нелинейной среде.
Более того, в работе [4] обнаружена тесная связь рассматриваемой автомодельной задачи с уравнением Шредингера, описывающим состояния атома водорода. Нахождение всех СФ нелинейного оператора является важной проблемой современной математики.
Исследования автомодельной задачи проводились в работах [1], [5]-[11]. Хорошо изучен одномерный случай. В частности, было доказано, что существует конечное число решений автомодельной задачи на прямой. Была получена формула, по которой можно вычислить количество СФ через значения параметров а и /?.
Двумерная задача изучена меньше. При ее исследовании обычно используют численные методы, и здесь возникают определенные трудности. Дифференциальная задача ставится на всей плоскости и необходимо так выбрать область численного интегрирования, чтобы построенное решение было достаточно мало на ее границе. Кроме того, при использовании чисто неявных разностных схем обычно применяется метод Ньютона для итераций по нелинейности. Поэтому необходимо научиться строить хорошие начальные приближения, то есть требуется заранее представлять себе форму искомого решения.
Впервые двумерные автомодельные решения были получены в работах С.П.Курдюмова, Е.С. Куркиной, А.Б. Потапова [5],[6]. Это удалось сделать благодаря
предложенному А.Б. Потаповым методу сшивания решений линеаризованного уравнения и асимптотики на бесконечности. На основе этого метода были построены начальные приближения для итерационного метода, достаточно близкие к искомому решению. В этом алгоритме использовалось предположение о симметрии решения, которое оказалось весьма важным для дальнейших исследований.
Было построено два класса структур, названных EjMm и Et ., отличающихся
принципом расположения локальных максимумов. У структур из класса EjMm
максимумы лежат на концентрических окружностях, поэтому приближения для них удобнее строить в цилиндрической системе координат. Максимумы СФ из класса Eiyj
располагаются параллельными рядами; линии, соединяющие эти максимумы, образуют прямоугольную сетку. При построении приближений для СФ из этого класса естественно использовать декартову систему координат.
В работе [7] для автомодельной задачи был впервые применен метод продолжения по параметру и проведен бифуркационный анализ автомодельных решений. В результате было построено большое количество новых СФ.
Однако структура множества двумерных СФ остается до сих пор недостаточно изученной. Весьма важным представляется нахождение всевозможных типов структур и проведение их классификации. С этой целью в настоящей работе продолжено исследование и сравнительный анализ двумерных автомодельных решений в широком диапазоне параметров. Кроме того, актуальным является проведение бифуркационного анализа и выявление различных сценариев эволюции по параметру для разных типов структур, что может лечь в основу их классификации.
Важными для приложений являются вопросы устойчивости двумерных автомодельных решений. Подробные исследования в этом направлении были выполнены только в одномерном и цилиндрически-симметричном случае [8],[9]. Изучение эволюции некоторых начальных распределений температуры на плоскости в ^-режиме проводилось в 80-х годах прошлого в работах [10], [11]. Был получен важный результат: показано, что локализация тепла и возникновение нестационарных структур имеет место и в многомерном случае. Однако тогда еще не были построены двумерные автомодельные решения, и исследование их устойчивости не могло быть проведено.
Известно, что все сложные структуры являются метастабилъно устойчивыми. Это означает, что если в численном эксперименте задать одну из них в качестве начальной функции {резонансное начальное распределение), то решение может следовать автомодельному закону развития достаточно долго - почти все время существования, но распадется вблизи момента обострения. Небольшая неточность в задании СФ в качестве начального распределения температуры значительно уменьшает время ее существования и приводит к быстрому распаду структуры. В связи с этим остро стоял вопрос о возможности приложения сложных СФ для моделирования реальных процессов. Было важно показать, что сложные СФ сами могут сформироваться на начальной стадии эволюции из достаточно произвольных начальных возмущений. Другими словами, что существуют неограниченные решения уравнения (2), которые в процессе своего развития выходят на автомодельный режим, соответствующий сложной структуре.
Процесс выхода на автомодельный режим, отвечающий простой структуре с одним максимумом, также представляет интерес. Здесь возникает вопрос об изменении формы различных финитных (т.е. отличных от нуля в некоторой ограниченной области) решений при выходе на этот автомодельный режим. До сих пор было неизвестно, становятся ли они радиально-симметричными, если в начальный момент времени не обладали этим свойством.
Эволюция решений, развивающихся в режиме с обострением, включает несколько этапов. В частности, обязательно присутствуют квазистационарная стадия (медленный рост решения) и стадия взрывного роста. На примере финитных решений можно изучить редко рассматриваемые этапы, когда решение сначала уменьшается по амплитуде, его носитель увеличивается ("растекание решения"), потом происходит локализация, (носитель перестает меняться) и лишь затем решение начинает расти. Мы ставили своей целью выяснить зависимость между формой начального возмущения и длительностью этих стадий.
Отметим, что рассматриваемые режимы с обострением в уравнении (2) являются возмущениями нулевого фона. То есть среда, где протекает процесс, является "холодной", ее температура равна нулю. С другой стороны, во многих реальных задачах среда прогрета до некоторой положительной температуры. Поэтому исследование возникновения режимов с обострением и образования локализованных структур в результате сверхкритических возмущений положительного фона является интересной и важной задачей.
В связи с этим в третьей главе предлагаемой работы рассматривается уравнение типа (1) с устойчивым положительным однородным по пространству стационарным решением (играет роль фона). Это уравнение имеет как неограниченные, так и затухающие (то есть релаксирующие к фону) решения. Такие свойства достигаются за счет знакопеременности источника - он имеет вид квадратного трехчлена. Рассматриваемое уравнение может быть использовано при исследовании процесса возникновения вспышек в короне Солнца (см. [12]).
Цель работы.
Исследование множества двумерных автомодельных решений уравнения теплопроводности со степенными нелинейностями ut = div{uagvadu)+u/3. Изучение зависимости этих решений от параметров среды /? и а .
Исследование устойчивости двумерных автомодельных решений. Изучение особенностей выхода на автомодельный режим с произвольных начальных возмущений в двумерном случае. Изучение стадии растекания и локализации финитных решений.
Исследование возможности формирования сложных структур из простых.
Изучение условий развития возмущений ненулевого фона в режиме с обострением в задаче Коши для уравнения ut = (иих )х+(и - и0 )(и -их). Численное исследование локализации решений.
Научная новизна работы.
Численно исследовано множество двумерных автомодельных решений
уравнения ut = div(wCTgradw]+w^. Предложен новый способ построения начальных
приближений для метода Ньютона. Построено большое число новых двумерных структур с различным числом максимумов и порядком симметрии.
С помощью метода продолжения по параметру исследована эволюция
автомодельных решений при изменении параметра /?. Изучены различные типы
бифуркаций. В частности, подробно исследована "бифуркация поворота", при
которой структура, имеющая локальный минимум в центре симметрии, переходит в
структуру с максимумом в центре. Результаты этих исследований наглядно
отражены на бифуркационных диаграммах. Проведено сравнение множеств
автомодельных решений при а = 1 и а = 2.
Впервые удалось систематизировать все известные автомодельные решения. В основу классификации положена архитектура решений и особенности зависимости от параметра /? для каждого типа структур.
Исследована устойчивость двумерных автомодельных решений. Показано, что радиально-симметричная структура в виде цилиндрического слоя, содержащая нулевую область в центре симметрии, структурно устойчива.
Впервые показана возможность формирования двумерных сложных структур из простых.
Исследована эволюция финитных решений на плоскости. Показано, что форма и размеры области локализации зависят не только от параметров среды, но и от формы начального возмущения. Установлено, что наблюдается симметризация решения и выход на автомодельный режим в центральной области решения, в то время как область локализации может оставаться несимметричной.
Впервые найдены условия взрыва и затухания возмущений ненулевого фона и0
(пространственно-однородного стационара) в уравнении ut = \иих)х + (и - u0](ii - щ).
С помощью метода Галактионова впервые построено семейство точных
решений этого уравнения. Найдены условия, при которых решения из данного
семейства развиваются в режиме с обострением. Было установлено, что
неограниченные решения семейства приближаются к аналитическому решению
уравнения ut ={и их)х+и2.
Теоретическая и практическая значимость.
Проведенные исследования двумерных автомодельных решений уравнения
ut = div{uagvaduj+u/3 позволили существенно расширить знания об их свойствах.
Все известные на сегодняшний момент решения были разбиты на классы. Продолжение решений по параметру, отображенное на бифуркационных диаграммах, может послужить основой для построения дерева ветвлений - полной классификации автомодельных решений. Используемый в диссертации подход к исследованию множества автомодельных решений позволяет легко включать в классификацию новые структуры.
Проведенные исследования метастабильной устойчивости сложных структур
показали, что они могут существовать достаточно долго при резонансном
возбуждении. Кроме того, они могут формироваться из произвольных возмущений.
Все это открывает новые возможности их приложений в задачах физики, химии,
социологии и других для описания метастабильных состояний.
Доказательство того, что режимы с обострением и локализованные структуры
могут возникать, как сверхкритические возмущения ненулевого фона, дает
возможность их приложения в реальных задачах. В частности, с их помощью могут
быть описаны тепловые вспышки в короне Солнца, сопровождающиеся
формированием метастабильных структур, возникающих поперек магнитного поля.
Построенное семейство точных решений может быть полезно для
аналитического доказательства локализации неограниченных решений уравнения
ut = (uux\+(u-uoXu-ui)-
Апробация работы.
Результаты исследований доложены на
1. Научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительных методов ВМиК
МГУ (2008)
Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2005" (Москва, 2005)
XIII конференции серии "Математика. Компьютер. Образование" (Дубна, 2006)
Конференции им. А.Н. Тихонова (Москва, 2006)
XIV конференции серии "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 2007)
Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы " им. И.Г. Петровского (Москва, 2007)
Международной конференции "Nonlinear Partial Differential Equations" (Ялта, 2007)
XV конференции серии "Математика. Компьютер. Образование" (Дубна, 2008)
Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2008" (Москва, 2008)
Второй международной конференции для молодых ученых по
дифференциальным уравнениям и их приложениям им. Я.Б. Лопатинского (Донецк, Украина, 2008)
Публикации.
По теме диссертационной работы опубликованы четыре статьи и девять тезисов докладов.
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав, перечня основных результатов и списка литературы. Работа изложена на 108 страницах, включает 63 рисунка. В список литературы входит 52 наименование.
Связь с решением линеаризованного уравнения
Уравнение (1.20) хорошо изучено в случае плоской геометрии. Расчет одномерных СФ ведется пристрелкой. Оказалось (см. [29], [18]), что существует конечное число К решений уравнения, оно зависит от значений параметров р и а и определяется формулой:
Все они являются четными всюду положительными функциями. В [38] доказано, что при любом р о +1 существует решение с одним максимумом в начале координат, монотонно убывающее на интервале (0,со) . Мы будем называть его простой плоской СФ (или первой СФ) и обозначать 0j( ). Из формулы (1.23) следует, что при /? 2 т + 1 это решение является единственным. При о + \ /3 2 г + \ спектр содержит несколько СФ (К 1), причем при Р — а +1 число СФ стремится к бесконечности. Пронумеруем СФ от 1 до К, будем обозначать их /() J ! К. СФ с номером/ представляет собой функцию с/ локальными экстремумами на полуинтервале [0,оо).
Показано, что в области своей немонотонности сложные СФ совершают колебания около пространственно-однородного (гомотермического) решения я уравнения (1.1) (0Я=1) и хорошо описываются решениями линеаризованного уравнения (подробнее об этом будет сказано ниже). Начиная с некоторого значения тем больше, чем больше j) СФ монотонно убывает, стремясь к нулю на бесконечности. При больших решение близко к асимптотике (1.16): \\ )-С р \\ є, при , . Каждая СФ ,. имеет свою константу С, в асимптотическом разложении (1.16), и для данного малого значения є 0, свое значение . Чем больше номер СФ, тем уже интервал по параметру р, в котором она существует. Проведенный бифуркационный анализ показал, что собственная функция . с При /3 - J3- она исчезает, сливаясь с гомотермическим решением. А при Р - т +1 она превращается в автомодельное решение -режима (1.18), имеющее j полупериодов на отрезке О Одномерные решения можно рассматривать как решения уравнения (1.13), существенно зависящие лишь от одной переменной. В этом случае они называются плоскими волнами. Волны не локализованы по одному из направлений, но они являются предельной формой профиля решения при продолжении некоторых СФ по параметру J3 .
Множество радиально-симметричных структур в случае цилиндрической геометрии при многих значениях параметров устроен аналогично плоскому случаю, и число СФ определяется формулой (1.23). Функции также совершают колебания около гомотермического решения и приближенно описываются решением линеаризованного уравнения (1.21). Начиная с некоторого значения ,=% они хорошо описываются асимптотикой (1.16). Как и в плоском случае, верхней границей интервала существования СФ у ( ) является точка бифуркации /? которой происходит ответвление СФ от гомотермического решения.
Однако, при р, близких к а +1, происходят качественные изменения в структуре множества СФ: 1)Появляются так называемые структуры с "дыркой", имеющие нулевую область в центре. В них превращаются СФ с четными номерами, имеющие минимум в начале координат, при уменьшении параметра р (см. [20],[10]). 2)СФ с нечетными номерами, начиная с третьей, последовательно выпадают из множества решений (чем ближе р к а +1, тем больше структур с нечетными номерами отсутствует во множестве решений).
Таким образом, число К является оценкой сверху количества радиально-симметричных собственных функций при данных /? и а. Перейдем к численному изучению решений, существенно зависящих от угла. Для дальнейших исследований удобно перейти к новой искомой функции /(, ф) = @ 7+1 (, ), тогда уравнение (1.15) примет вид: Полученная краевая задача исследуется численно на равномерной сетке с помощью чисто неявной разностной схемы. Уравнения и краевые условия аппроксимировались со вторым порядком точности. Для решения возникающей системы нелинейных алгебраических уравнений применяется итерационный метод Ньютона. Результаты расчетов проверяются с помощью сгущения сетки. При построении использовалось предположение о том, что искомое решение имеет некоторый порядок симметрии т, т.е. другими словами, оно переходит в себя при повороте вокруг оси z на угол —-. Откуда возникает это предположение - станет понятно при изложении метода т сшивания, с помощью которого сіроятся начальные приближения для метода Ньютона. В декартовой СК удобно строить приближения для структур с порядком симметрии т = 4. В этом случае расчеты велись в прямоугольнике D со сторонами на осях координат по следующей разностной схеме: где E, - j + ,г . Точечный шаблон схемы приведен на рис. 1. На внешних границах (S2 и S3) аппроксимировалось условие выхода на асимптотику (1.28). На внутренних (, и S4) ставилось условие симметрии. В случае, если оказывалось, что построенная структура на границе не является близкой к нулю (ее значение превышает некоторое установленное є), размеры области увеличивались, приближение продолжалось по асимптотике на соответствующее число точек, и расчет (ньютоновские итерации) проводились заново.
Структурная и метастабильная устойчивость автомодельных решений. Эволюция резонансных возбуждений
Основная идея продолжения по параметру заключается в том, что уже построенная СФ является начальным приближением для СФ, отвечающей другому значению параметра. Более детально процесе продолжения, например, по параметру /? (при фиксированном а) можно описать следующим образом. Пусть при некотором значении /? = /?о у нас есть решение U(J;,(p,Pb) уравнения (1.25). Запустим ньютоновский итерационный процесс с /? = /?о+ 5, где 8 мало. За начальное приближение возьмём U{ ,q , /?0). Как показывает практика, процесс сходится очень быстро (за 2-3 итерации при ё = 0.001) к решению уравнения для нового значения параметра U(,(p, /?0 +S) (если, конечно, это решение существует). Затем мы опять увеличиваем Д полагая ft = /?р+2(5 и используя СФ Щ, р,/?0 +5) в качестве начального приближения. Таким образом, совершая шаги по /3 длины 5, мы продолжаем наше решение U(J;,(p ,р )по параметру, пока оно существует (т.е. итерации сходятся). При увеличении параметра мы отслеживаем некоторые характеристики изучаемой СФ Это могут быть сечения, линии уровня или значения в определённой точке. В этой работе отслеживается значение СФ в начале координат при изменении параметра /5, параметр а фиксирован. Получаем кривую зависимости U(0,0) от (3, которую будем называть бифуркационной диаграммой (или линией). Более полную информацию об эволюции конкретной СФ дала бы линия в М+1-мерном пространстве, где М- общее количество узлов сетки, на которой ведется расчет (еще одно измерение добавляет параметр /3). Координатами точек этой линии были бы значения СФ во всех узлах сетки. Мы же берем значение только в одном узле. Таким образом, бифуркационная диаграмма - это проекция М + 1-мерной линии на плоскость.
Как было показано на примере радиально-симметричных решений в работе [24], бифуркационный анализ дает большой объем информации о структуре спектра СФ. Действительно, продолжая по параметру различные решения и изучая точки бифуркаций, можно установить взаимосвязь между различными структурами в спектре. Бифуркационные диаграммы позволяют наглядно отобразить эту взаимосвязь.
Зачастую при уменьшении параметра Д линия некоторой сложной структуры сливается с линией радиально-симметричной СФ. В этом случае будем говорить, что данная структура ответвляется от радиально-симметричной собственной функции. Так как такие ответвления наблюдаются для значительного числа структур, общая картина, которая объединяла бы линии всех СФ, была названа деревом ветвлений.
В настоящее время построена только часть этого дерева. В нем встречаются не только бифуркации ветвления, но и другие типы бифуркаций.
Например, направление движения вдоль кривой может измениться, т.е. происходит поворот графика (см. рис. 6). Это представляет немалую сложность при построении диаграмм, так как при продолжении по параметру В (с помощью изложенной процедуры), мы в конце концов попадём в область за точкой поворота, где решение не существует. Для того чтобы перейти на другую ветку кривой, воспользуемся следующим алгоритмом, использующим прогнозирование по секущей.
Суть этого алгоритма отражена на рис. 6. Пусть мы находимся на нижней ветви кривой (бифуркационной диаграммы), и движение осуществляется в сторону увеличения параметра. Для начала необходимо как можно точнее найти точку поворота. Для этого надо подобрать такое Д/ и такое малое число 8 (мы обычно брали 8= 0.0001), что при Дг и при Д = Д;+ S решение ещё существует, а при Д = fii+28 уже нет (ньютоновские итерации не сходятся).
Затем осуществляется прогноз. Через точки А и В проводится секущая уф). Затем, сделав шаг по параметру В длины А, мы получаем точку на оси абсцисс Д = fa + А (обычно берётся = 38). Соответствующая ей точка С на секущей и будет прогнозом.
Этот прогноз мы берём за приближение для ньютоновского процесса численного решения уравнения (1.25) при Д = Д?. Решением будет точка D, находящаяся уже на верхней ветви кривой. Теперь можно продолжать движение в сторону уменьшения Д, используя обычный алгоритм продолжения по параметру. Отметим, что такой способ прохождения точки поворота позволяет сохранить ленточную структуру матрицы СЛАУ в методе Ньютона. Использование же других известных приемов (например, добавление к системе еще одного уравнения) привело бы к порче портрета матрицы.
Исследования, проведенные в [29]-[30],[21],[8], а также в данной работе, показали, что множество автомодельных решений задачи (1.1)-(1.4) очень разнообразно. Чтобы как-то упорядочить это множество, было предложено разбить его на группы, провести классификацию. Это легко сделать на интуитивном уровне, руководствуясь визуальным анализом формы СФ. Основная трудность состоит в том, чтобы формализовать признаки, по которым проводится разбиение.
В качестве таких признаков мы предлагаем взять количество и расположение локальных экстремумов в данной СФ, а также тип точки (максимум / минимум / седловая точка) в центре симметрии (который у всех построенных автомодельных решений совпадает с началом координат). Совокупность всех этих признаков будем называть архитектурой СФ.
Метод продолжения по параметру позволил установить, что каждая структура существует на некотором интервале по /?. При изменении параметра архитектура СФ меняется, часто весьма значительно. При этом СФ могут превращаться в структуры того же или другого класса. Такое постепенное изменение формы структуры будем называть ее эволюцией. Чтобы подчеркнуть различие в эволюции отдельных СФ, мы будем говорить, что существуют разные сценарии эволюции. Анализ сценария проводится на основе формы бифуркационной диаграммы для данной СФ, а также тем, из какой СФ она возникает и в какую превращается.
Внутри одного класса могут оказаться структуры с разными типами сценария эволюции по /?, по этому признаку мы будем проводить разбиение классов на более мелкие подразделения.
Расчеты проводились с помощью численных методов, изложенных в разделе 1.4. Результаты были проверены методом сгущения сетки. В ходе проведенных исследований были найдены и изучены следующие типы СФ:
Простая радиально-симметричная структура ]() имеющая один максимум в начале координат (см. рис. 7). В отличие от других радиально-симметричных структур является структурно устойчивой, поэтому и выделена в отдельный класс. Она существует при всех значениях параметра /3 а +1. При /3 - а +1 0j () стремится к радиально-симметричной структуре S-режима (1.18) (см. [29]) и в точке бифуркации /3 = сг+\ превращается в эту локализованную структуру.
Эволюция радиально-несимметричных решений
Мы проводили расчеты при соотношении параметров сг + \ /3 сг + 2. В [38] показано, что при этом условии любое решение задачи (1.1)-(1.4) развивается в режиме с обострением. В процессе численных исследований было установлено, что решение не обязательно начинает расти сразу. Если амплитуда меньше некоторого критического значения А,, то решение некоторое время затухает (при этом его носитель увеличивается, тепло "растекается"), и лишь затем начинается рост - сначала медленный, затем все быстрее и быстрее. Происходит локализация решения, носитель перестает увеличиваться. Причем время стадии затухания и размеры области локализации обратно пропорциональны амплитуде. Пример такого поведения показан на рис. 46, где приведены сечения профилей радиально симметричного решения.
Если же начальная амплитуда превышает А», то рост решения начинается сразу. При этом решение также немного растекается, затем локализуется. Вновь размеры области локализации обратно пропорциональны амплитуде.
Величина критического значения А, зависит от параметров и радиуса начального возмущения. Так, например, если взять достаточно узкое возмущение (г0 = 0.7), то значение А примерно равно 1500. При большем радиусе начального возмущения значения амплитуды, при которых начинается немедленный рост, гораздо меньше. Так, при г0, в 5 раз большем (т. е г0=3.5), получаем А « 0.67.
Радиус области локализации при фиксированном г0 (г0=0.7) обратно пропорционален амплитуде. В расчете с Ао - 280 радиус локализации RL был равен 1.995. Значению Ао - 10 (в 28 раз меньше) RL увеличивается вдвое: i?L = 3.78. Дальнейшее уменьшение А о приводит к незначительному росту RL : для Ао = 0.7 радиус локализации RL = 4.375 .
Таким образом, можно утверждать, что в LS-режиме не существует какого-либо характерного размера локализации, который зависел бы только от параметров среды. Теперь выясним, как происходит выход на автомодельный режим некоторых несимметричных финитных возмущений, имеющих один локальный максимум в начале координат. В работе [38] доказано, что при /3 ст + \ любое неограниченное решение уравнения (1.1), отвечающее финитной начальной функции, локализовано. Таким образом, мы можем говорить о выходе на автомодельный режим лишь в некоторой области, а не на всей плоскости, поскольку все автомодельные решения уравнения (1.1) положительны всюду в R2. Рассмотрим эволюцию нескольких возмущений в виде "колокольчиков" с основаниями, отличными от круга. Общий вид начальных возмущений в наших расчетах был следующий: Здесь вновь Ао - амплитуда начального возмущения (которую можно варьировать), а 1у(р) -замкнутая кривая в полярной системе координат, описывающая границу носителя возмущения щ(г, р). Условно назовем эти кривые, соответственно, эллипс(рис. 47), "гантеля"(рис. 48), "яйцо"(рис. 49) и "полумесяц"(рис. 50). Расчеты " гантели" и " полумесяца" проводились при значении параметров сг = 1.9, /7 = 3.7, а эллипса и " яйца" - при а = 1.0, /? = 2.25. Численные исследования показали, что вначале происходит растекание решения, перестройка профиля начального распределения. Затем растекание прекращается (происходит локализация решения), начинается рост внутри области локализации. Вне зависимости от формы начального возмущения, решение постепенно симметризуется вблизи начала координат. Носитель решения не успевает превратиться в круг, поскольку область роста в LS-режиме сжимается. Форма и размеры области локализации решения зависят от начального возмущения. Таким образом, решение становится радиально симметричным внутри некоторой окрестности начала координат. Другими словами, существуют константы r0, rt, такие, что: приг,меньших г0, решение зависит только от г (u(r, p,t) = С(г), \/гє[0,г0]); при г0 г гх решение существенно зависит от угла ср; u(r,g ,t) = 0 при г гх. Границы носителей некоторых возмущений в процессе развития претерпели значительные изменения. Так, участки вогнутости у "гантели" (рис. 48) и "полумесяца" (рис. 50) стали выпуклыми, область локализации у этих решений имеет эллипсоидальную форму. Максимум "полумесяца" оказался сдвинутым от начала координат. У "яйца" (рис. 49) изменились только размеры (из-за растечения), форма области в целом не изменилась до самого момента локализации. Размер носителя вдоль положительной полуоси х остался меньше, чем на остальных полуосях. У эллипса скорость растекания по х оказалось значительно больше, чем по у, соотношение длин осей эллипса изменилось. Т.е. область локализации также является эллипсом, но с другими размерами. При большом различии размеров полуосей стадия медленного роста становится весьма длительной, если же полуоси близки, стадия взрывного роста наступает значительно быстрее. Процесс симметризации центральной части решения с формой носителя эллипс показан на специальных диаграммах (см. рис. 51). На них по оси ординат отложена амплитуда решения, а по оси абсцисс - координата некоторой выделенной точки. В качестве таких точек были взяты узлы сетки, в которых величина профиля составляет 75% от максимума профиля решения(рис. 51а), половину максимума (рис. 516) и четверть максимума (рис. 51 в) соответственно. На каждом из этих рисунков начерчено по три кривых - координаты соответствующих точек вдоль трех направлений под разными углами, отсчитанными против часовой стрелки от положительного направления оси х. Мы взяли углы 0,45 и 90 градусов. Видно, что на диаграммах рис. 51а-в произошло слияние кривых, то есть профиль решения становится радиально-симметричным по крайней мере при 0 г г , где u[r ,(p,t) 0.25 max u{r, q , і).
Изменение координат точек фронта на трех разных направлениях показано на рис. 51г. Все три линии ведут себя похожим образом. Сначала они удаляются от начала координат (растечение решения), затем (после того, как решение локализовалось) идут параллельно оси абсцисс и друг другу. Расстояние от центра до рассматриваемых точек фронта остается различным все время существования решения, превращения границы носителя в окружность не происходит.
Интегральное условие возникновения режима с обострением
Вычисления проводились с помощью чисто неявных разностных схем с использованием итерационного метода Ньютона. Это потребовало построения хороших (близких к искомой СФ) начальных приближений. Первый метод построения таких приближений - метод сшивания - был предложен А.Б. Потаповым в работе [36]. В силу недостаточной мощности вычислительной техники того времени, расчеты проводились на очень грубых сетках, что вызвало недоверие к полученным результатам. Оказалось невозможным построить одну и ту же СФ в полярной и декартовой системах координат. Интерес к данной тематике на время был потерян.
В 90х годах стремительное развитие компьютеров и математического ПО позволило продолжить исследования множества автомодельных решений уравнения нелинейной теплопроводности как в одномерном случае, так и на плоскости и в пространстве, выявить новые характеристики СФ ([8], [29], [30], [48]). Большой вклад в эти исследования внесла Е.С Куркина. Она обосновала существование двумерных СФ с помощью сгущения сеток, а также путем их построения в разных системах координат. Были разработаны новые методы построения начальных приближений для ньютоновских итераций. Е.СКуркина впервые предложила использовать метод продолжения по параметру в этой задаче. Это позволило построить новые структуры, а также провести бифуркационный анализ уже известных структур. Под бифуркационным анализом понимается изучение зависимости решений от значений параметров, нахождение области существования СФ по параметру и изучение бифуркаций, приводящих к возникновению структур [18], [24], [29], [30].
В работах С.П.Курдюмова и Е.С. Куркиной впервые были построены трехмерные тепловые структуры, имеющие сложную форму области локализации, например, в виде гантели, и др. (см. [18]). Там же были найдены новые типы структур, представляющие собой многосвязные области горения, содержащие внутри себя несколько «дырок» - областей с нулевой температурой [27].
Следует упомянуть также исследования структур на плоскости, проводившиеся группой болгарских математиков (см. [9],[48]), в частности, С.Н. Димовой. В отличие от большинства исследователей, проводивших расчеты по разностной схеме для уравнения (0.2), она использовала собственный метод, сочетающий дискретизацию по методу конечных элементов и непрерывный аналог метода Ньютона. Ею была впервые построена цилиндрически-симметричная структура с нулевой областью в начале координат (структура с "дыркой"). Кроме того, были получены и исследованы автомодельные решения другого типа - расходящиеся спиральные волны. Эти волны развиваются в // -режиме с обострением, распространяясь по гомотермическому фону. Существование таких решений было показано СР. Свирщевским с помощью инваринтно-грушговых методов [1].
Важным для приложений является исследование устойчивости двумерных автомодельных решений. В классическом смысле все они являются неустойчивыми. Малое возмущение начальной функции приводит к малому изменению момента обострения т, что в свою очередь приводит к сколь угодно большому расхождению между исходным и возмущенным решением, когда время близко к т Но они могут обладать структурной устойчивостью в смысле выхода на автомодельный режим.
При исследовании на структурную устойчивость к решениям применяется специальное преобразование - автомодельная обработка, предложенная в [20]. Она устроена таким образом, что любое обработанное автомодельное решение (автомодельное представление решения) является стационарным. Если обработанное решение является асимптотически устойчивым (в обычном смысле), то само решение называется структурно устойчивым.
В результате исследований, проводившихся Е.С. Куркиной в одномерном и радиально-симметричном случае, было обнаружено два структурно устойчивых автомодельных решения -это структура с одним максимумом и структура в виде цилиндрического слоя (простая структура с "дыркой"). Область притяжения первой из них весьма велика, у второй она гораздо уже. Все сложные автомодельные решения являются лишь метастабшъно устойчивыми. Это означает, что для каждого из них существует некоторое множество неограниченных решений уравнения (0.2), которые в процессе своей эволюции становятся близки к данному автомодельному решению (в смысле автомодельной обработки). В течение некоторого времени (сравнимого со временем своего существования) решение из этого множества развивается по автомодельному закону, затем "сходит" с него. Пространственная структура сложных автомодельных решений сохраняется в течение некоторого отрезка времени, сравнимого со временем существования, у структурно устойчивых все время существования. В этом смысле они являются выделенными среди всех неограниченных решения, так как произвольные сложные начальные распределения начинают перестраиваться сразу. Они либо распадаются в итоге на несколько простых структур, либо выходят на сложный автомодельный режим. При расчетах небольшая неточность в задании сложной СФ в качестве начального распределения существенно уменьшает время существования и приводит к быстрому распаду структуры. В связи с этим остро стоял вопрос о возможности приложения сложных СФ в реальных системах. Было важно показать, что они сами могут сформироваться на начальной стадии эволюции из достаточно произвольных начальных возмущений. Другими словами, существуют неограниченные решения уравнения (0.2), которые в процессе своего развития выходят на автомодельный режим, отвечающий какому-либо сложному автомодельному решению. Процесс выхода на автомодельный режим с одним максимумом также представляет интерес. Здесь возникает вопрос об изменении формы различных финитных решений при их выходе на этот автомодельный режим. До сих пор было неизвестно, становятся ли они радиально симметричными, если в начальный момент времени не обладали этим свойством. Эволюция решений, развивающихся в режиме с обострением, включает несколько этапов. В частности, обязательно присутствуют квазистационарная стадия (медленный рост решения) и стадия взрывного роста. На примере финитных неограниченных решений можно изучить редко рассматриваемое поведение, когда решение сначала понижается, его носитель увеличивается (растекание решения), потом происходит локализация (носитель перестает меняться) и лишь затем решение начинает расти. Мы ставили своей целью выяснить зависимость между формой начального возмущения и длительностью этих стадий. Отметим, что рассматриваемые режимы с обострением в уравнении (0.2) являются сверхкритическими возмущениями нулевого фона, т.е. рассматривается холодная среда. Однако во многих реальных задачах среда прогрета до некоторой положительной температуры. Поэтому исследование возникновения режимов с обострением и образования локализованных структур в результате сверхкритических возмущений положительного фона является интересной и важной задачей. Такого рода исследования режимов весьма редки в литературе. Здесь требуется уточнение понятия локализации решений. В связи с этим в третьей главе предлагаемой работы рассматривается уравнение типа (0.1) с устойчивым положительным стационаром (играет роль фона), которое имеет как неограниченные, так и затухающие (то есть релаксирующие к фону) решения. Эти свойства достигаются за счет знакопеременности источника - он имеет вид квадратного трехчлена. Это уравнение может быть использовано при исследовании процесса возникновения вспышек в короне Солнца (см. [16]).
