Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ подходов к моделированию и идентификации нечетких динамических систем
1.1. Анализ динамических процессов и ситем 8
1.2. Основные понятия и операции с нечеткими множествами 19
1.3. Обзор методов построения и идентификации нечетких динамических моделей 22
1.4. Постановка задачи исследования 34
Глава 2. Построение нечеткой динамической модели и алгоритмов идентификации
2.1. Построение нечеткой динамической модели 36
2.2. Определение коэффициентов линейных разностных уравнений 47
2.3. Определение параметров функций принадлежности 51
2.4. Определение количества правил и порядка нечеткой модели 57
2.5. Организующий алгоритм идентификации нечеткой динамической модели 66
2.6. Выводы по второй главе 68
Глава 3. Исследование нечетких разностных моделей и алгоритмов идентификации
3.1. Идентификация нечетких моделей линейных динамических объектов 70
3.2. Идентификация нечетких моделей нелинейных динамических объектов 82
3.3. Идентификация нечетких моделей многосвязных объектов 88
3.4. Совершенствование алгоритма идентификации нечеткой модели многосвязного объекта 98
3.5. Организующий алгоритм идентификации многосвязной
нечеткой динамической модели 104
3.6. Выводы по третьей главе 106
Глава 4. Моделирование динамических процессов металлургического производства
4.1. Описание и анализ душирующей установки 107
4.2. Построение и идентификация нечеткой модели, определяющей температуту смотки ПО
4.3. Описание электрических печей отжига трансформаторной стали 118
4.4. Построение и идентификация нечеткой модели динамики тепловых режимов колпаковои печи отжига 122
4.5. Выводы по четвертой главе 128
Заключение 129
Литература
- Основные понятия и операции с нечеткими множествами
- Определение коэффициентов линейных разностных уравнений
- Идентификация нечетких моделей нелинейных динамических объектов
- Описание электрических печей отжига трансформаторной стали
Введение к работе
Актуальность работы. Современные методы управления динамическими режимами технологических процессов реализуются, как правило, на базе матема-I тического моделирования. Отличительными особенностями большинства технологических процессов являются: исключительная сложность, нелинейность и слабая изученность связей между переменными, высокая инерционность, нестационарность и наличие запаздывания, зависящего от величины входных переменных. В таких условиях неопределенности могут стать неприемлемыми традиционные детерминированные и статистические подходы к моделированию.
Одно из наиболее перспективных направлений преодоления отмеченных трудностей заключается в привлечении качественной информации для целей мо- делирования динамических процессов. Введение Л. Заде понятия нечёткого множества как математического объекта, позволяющего формализовать качественную информацию о процессе, выраженную терминами словесного описания, стимулировало развитие нечёткого подхода к решению указанных проблем.
В задачах моделирования технологических процессов в условиях неопределённости широкое применение нашли нечеткие TSK (Takagi - Sugeno - Kang) модели, содержащие линейные разностные уравнения. Нечеткие разностные TSK - модели обладают способностью быстро настраиваться на меняющиеся условия і функционирования объекта и с высокой точностью описывать его динамические характеристики. Вместе с тем, до сих пор не разработана методология моделирования динамических процессов в условиях неопределенности, включающая этапы построения и идентификации нечётких разностных TSK - моделей. Этим определяется актуальность данной работы.
Связь с государственными программами и НИР. Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной темы «Методы и модели искусственного интеллекта», проводимой на кафедре информатики Липецкого государственного технического университета, и поддержана грантом РФФИ по проекту 06-08-00227.
Цель работы. Разработка методологии построения нечетких разностных ТЖ-моделей с одним или несколькими выходами, а также алгоритмов их идентификации, предназначенных для описания динамических режимов технологичес ких процессов (ТП) в условиях неопределенности. Для достижения цели должны быть решены следующие задачи:
-построение нечеткой разностной TSK- модели, содержащей нечеткие продукционные правила, операции фазификации и дефазификации, механизм вывода решения;
- разработка алгоритмов параметрической и структурной идентификации, обеспечивающих адекватность нечеткой разностной TSK- модели с одним выходом;
- проведение исследования нечеткой TSK- модели и алгоритмов её идентификации, позволяющих повысить их эффективность;
- разработка алгоритмов параметрической и структурной идентификации, обеспечивающие адекватность многосвязной нечеткой разностной TSK - модели;
- построение нечетких разностных TSK- моделей, описывающих динамические характеристики некоторых ТП металлургического производства.
Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, параметрической идентификации, теории систем, теории нечетких множеств, генетические алгоритмы оптимизации.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:
- нечеткая разностная ТЖ-модель, отличающаяся возможностью определять исходную структуру и функции принадлежности, быстро настраиваться на меняющиеся условия функционирования технологического процесса и с высокой точностью описывать его нелинейные динамические характеристики;
- организующий алгоритм, отличающийся действующими в определенной последовательности алгоритмами идентификации коэффициентов линейных уравнений, параметров функций принадлежности, количества правил и порядка разностных уравнений и обеспечивающий требуемую точность нечеткой разностной модели динамического объекта с одним или несколькими выходами;
- методика исследования нечетких разностных моделей и алгоритмов идентификации, отличающаяся выбором линейных, нелинейных и многосвязных динамических объектов и структурой алгоритмов их идентификации и позволяющая выработать ряд рекомендаций по выбору структуры нечеткой разностной модели и усовершенствованию алгоритмов идентификации;
алгоритмы исключения переменных и декомпозиционной идентификации, отличающиеся способностью уменьшать количество переменных в нечеткой моде ли и размерность задачи определения параметров функций принадлежности, что дает возможность значительно снизить затраты времени на идентификацию многосвязной нечеткой модели;
- нечеткие разностные 7Ж-модели, описывающие с требуемой точностью распределение температуры смотки по длине стальной полосы и температуры отжига трансформаторной стали в трех зонах электрической колпаковой печи и отличающиеся способностью настраиваться на изменение во времени динамических характеристик и на различные марки и свойства сталей.
Практическая ценность. На основании предложенной методики построения нечетких разностных TSK- моделей и разработанных алгоритмов идентификации были построены нечеткие модели динамических процессов металлургического производства, причем, разностная нечеткая TSK - модель динамики тепловых режимов колпаковой печи отжига была принята к использованию ОАО "Черметавтоматика" для разработки адаптивного нечеткого регулятора температуры отжига трансформаторной стали.
Результаты диссертационной работы также используются в учебном процессе ЛГТУ при подготовке инженеров по специальности "Прикладная математика".
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на Международном научно-практическом семинаре "Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте" (Коломна, 2001), на XV Между-; народной конференции "Математические методы в технике и технологиях " (Тамбов, 2002), на научном семинаре "Методы и модели искусственного интеллекта" Липецкого регионального отделения Российской ассоциации искусственного интеллекта, на Международной конференции "Современная металлургия начала нового тысячелетия" (Липецк, 2005).
Публикации. Основные результаты исследования опубликованы в печати в 14 научных работах.
В том числе, три работы опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежит: [3, 4-6] - разработка алгоритмов параметрической идентификации линейных разностных уравнений и функций принадлежности с применением модифицированных многошагового метода наименьших квадратов и генетического алгоритма, а также алгоритмы структурной идентифи кации, использующие минимаксную процедуру разбиения функций принадлежности и последовательное изменение порядка разностного уравнения; [1, 7-11] -построение нечетких разностных TSK- моделей, описывающих различные динамические объекты с одним и несколькими выходами ;[2, 12-14] - построение нечетких разностных TSK - моделей для определения динамических характеристик душирующей установки и колпаковой печи отжига трансформаторной стали, обладающих требуемой точностью и способностью быстро настраиваться на меняющиеся условия производства .
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Основная часть работы изложена на 138 страницах машинописного текста и содержит 42 рисунка, 5 таблиц. Список литературы включает 115 наименований. Приложение на 27 страницах включает 4 таблицы.
Основные понятия и операции с нечеткими множествами
В теории обычных множеств вводится понятие множества как совокупность или набор элементов, обладающих некоторыми общими свойствами. Такими элементами могут быть действительные числа, технологические параметры, промышленные аппараты, принадлежащие одному цеху, и т.д. В дальнейшем множество будем обозначать прописной, а его элемент - строчной буквами. Введем понятие универсального множества X, определяемого характером изменения величины х. Для непрерывной х универсальное множество задается интервалом X = {х : xmin х хтах}, а для дискретной - конечным числом элементов X = {х\, Х2, .., Xnj. Нечетким подмножеством X универсального множества X называется множество пар [114]
Х= {х, Дх)}, содержащее функцию принадлежности Дх), которая ставит в соответствие каждому элементу хєХ числоХ(х)є[0, 1], характеризующее степень совместимости элемента х с нечетким множеством X. Функция принадлежности Х(х)- это субъективная оценка детерминированной функции распределения нечеткости \i(x), рассмотренной в 1.1.
Рассмотрим основные операции с нечеткими множествами, понятия нечеткой и лингвистической переменных, а также их применение для формализации экспертной информации. Объединение Х] U Х2 двух нечетких множеств Х\ и Х2 является нечетким множеством с функцией принадлежности (XjU Х2 )(х) = тах{Хх{х\ Х2(х)).
Пересечение Х\ П Х2 двух нечетких множеств X] и Х2 также будет нечетким множеством с функцией принадлежности (ХхП Х2)(х) = min(Xx{x\ Х2(х)).
Нечеткое множествоR в U х Y= {и,у : и є U,у є Y}, именуемое отношением, характеризуется функцией принадлежности R(u, у), которая каждой паре и, у ставит в соответствие степень принадлежности R{u,у) к R. Если и, у-точки и = щ, ы2,..., ит; у-у\,Уі,---,Уп, тоR{u,y) является матрицей размером т х п. Теперь рассмотрим понятия нечеткой и лингвистической переменных [47]. Нечеткой переменной называется тройка х,Х,Х , где х - наименование нечеткой переменной; X = (х, Х(х)) - нечеткое множество на универсальном множестве X, описывающее ограничения на возможные изменения х. Лингвистическая переменная характеризуется набором {х, Тх, X}, в котором х - название переменной, Тх - терм-множество лингвистических значений переменной х с соответствующими функциями принадлежности и областью определения X. Аналогичные определения нечетких u,U,V , у, Y, Y и лингвистических и, Тш U , у, Tv, Y переменных можно сформулировать для входной и и выходной у переменных объекта. Нечеткие и лингвистические переменные позволяют формализовать качественную экспертную информацию о динамическом поведении объекта, опираясь на понятия теории систем из 1.1 и используя конечно-разностную интерпретацию. Лингвистическое значение U входной переменной u(t ) в момент времени Ґ экспертом характеризуется в виде элементарного высказывания u(f) есть U. На интервале времени [t ,t], заданном точками t-r, t-(r-l),..., t, где t =t-r, и значениями входной переменной u(t-r), ...,u(t) определяется более сложное высказывание u(t) есть UQ и uit - 1) есть U\ и ... и uit- г) есть U,, (1-18) Пусть этому входу соответствует состояние z[f, і), заданное значениями выхода y(t-\),..., yit-r) в моменты времени t-l,...,t-r, и высказывание y(t-l)ecmbY] и...иy(t-r)ecmbYr. (1-19) Тогда установленная связь между входом u[f, t], состоянием z[f, і) и выходом y(t) выразится более сложным высказыванием, объединяющим высказывания (1.18) и (1.19) и именуемым правилом R : если u{i) есть Uo и u(t-l) есть U\ и... и uit-г) есть U,. и y(t-l)есть Y],...,y(t-r)есть Yr, то y(i) есть Y0. (1.20) Здесь лингвистические значения U0,...,Ur и Y0,..., Yr называются эталонными, образующими терм - множества Ти = {Щ,..., /,.} и Ту = {То,..., Y,).
В общем случае, поведение объекта эксперт описывает не одним, а несколькими правилами, содержащими входные u(t),..., u(t-s) и выходныеy(t),.. .,y{t-r) переменные, где s г. Тогда экспертную информацию можно записать в виде совокупности правил [46]:
Определение коэффициентов линейных разностных уравнений
В начале рассмотрим исходную структуру нечеткой динамической модели (1.47), состоящей из п продуционных правил с произвольными порядками re, sQ линейных разностных уравнений и содержащей к входных иу.(7), у = \,к и одну выходную y(t) переменные [30 - 33]: R : если y(t- 1) есть 7,9, y(t-2) есть F29,... ,y(t-r ) есть Г9 , u\{t) есть U\, U\(t-l)ecmb Uu,...,U\(t- sf) есть /%,..., щ{і) есть Uk0, Ukit-l) ecmbU\ ,,..., щ{(- slc) есть U d, в mo /(0 = «o9+I -/) + lb77 ( 0 (2-1) /=1 y=l/=0 с нечеткими множествами UeiV...,UQ B,j = l,k и 7, ,...,7,, и соответствующи-ми функциями принадлежности U Ли ),...,UQ е(м,) и Y(y),...,YQe(y), j = l,k, J і J J.Sj J Г 0 = 1, и, характеризующими текущие и прошлые значения входов Uj(t),Uj(t-l),.. .,Uj(t-sQj), j = \,k и выхода y(t -l),y(t -2),..., y(t - rQ),n линейным разностным уравнением к ,е прогнозирующим выход .уе(0 Точность расчета выхода y(t), t є [О,Г] такой моделью зависит от правильности выбора или определения вида и размеров функций принадлежности UeJA(uj),...,UeLsB(Uj) и Yx\y),...,Y (y),j = l,k,коэффициентов а?,Ь „ i=\,r\ 1=0,si Q = l,n и структурных элементов: порядка re, s разностного уравнения (2.2) и количества правил п.
Степень влияния переменных y{t-i)vi w(f-Z) на выход ;А0В 6-ом правиле определяется коэффициентами а и b[, поэтому порядок rQ, s можно считать независящим от номера правила 0 и равным re = г и s = s. Например, отсутствие переменной y(t - 2) в пятом правиле будет означать, что а] = 0.
Без потери общности на начальном этапе построения и исследования нечеткой разностной модели (2.1) будем считать u{t) скалярной переменной. Тогда нечеткую модель (2.1) можно записать в виде, аналогичном (1.47) R : если y(t- 1) естьУ] ,..., у{і-г)есть Yr , u(t) есть UQ, u{t-\)ecmb U,..., u{t-s)ecmb U%s, mo y\t) = al+talyit-l) + ibfu(t-l), (2.3) /=i /=o е=ЇЯ t=o,\,-,T, где t=0,l,..., T- номер точки отсчета времени т, которое определяется как т = т0 + Ат t, т0 - начальный момент времени (для простоты изложения т0= 0), Ат - постоянное приращение времени; или в векторной форме RQ: если y{t, t-r] есть У,0,., u[t, t-s] есть UQS, то yQ(t) = al+aTy(t,t-r]+bTu[t,t-s], (2.4) где y(t,t-r] есть if .= y{t- 1) есть Y{Q,...,y(t-r) есть Yte; y{t,t-r] =(y(t- l),...,y(t-r))-BQKTop состояния; u[t,t-s]-{u{t),...,u(t-s)) - входной вектор. Обозначим через y\t) выход, рассчитанный по нечеткой динамической модели. Тогда нечеткая TSK- модель (2.3) может иметь две обобщенные формы: модель прогноза на / О тактов y(t + l)=F(y(t,t-r],u[t,t-s],c,d,n), (2.5) где y(t,t-r]=(y(t-l),...,y(t-r)), u[t,t-s]=(u(t),u(t-l),...,u(t-s)) - заданные значения входа и выхода; модель с обратной связью y{t)=F{y{t,t-г], u[t,t-S], c,d,n), (2.6) где y(t, t-r]= {y\t -1),..., y\t - г)) - рассчитанные по нечеткой модели значения выхода в моменты времени t-l,t-2,...,t-r.
Модель (2.3) - это частный случай модели прогноза (2.5) при / = 0. Сосредоточим основное внимание на нечеткой динамической модели с обратной связью (2.6), для которой не требуется знание выхода y(t -1),...,y(t - г) на t є [1, 71], и запишем её продукционные правила Я:если y\t-Y) есть Yl ,... ,%t-r) есть Y, u(t) есть UQ,..., u{t-s)ecmb Us, mo y\t) = al + tafyit-1) + ttfu(t-l),Q = Ui. (2.7) /=i /=o Введем новые обозначения переменных xl(t) = y{t l), x2(t) = y(t -2),..., xm(t)-u(t- s), образующих входной вектор x(t) = (x](t), x2(t),..., xm{t)) = {y(t-\),y\t-2),..., u(t-s)), m = r + s + l, нечетких множеств Xf(t) = Y, X\ =72e,..., Хът =US и коэффициентов линейных уравнений CQ = al, c\ = af,..., c%m - bs, позволяющие переписать (2.7) в более компактном виде RQ:ecnu xx{t) есть Xf(t),...,xm(t) есть Хът, т то y\t) = cl+YJcQixj(t), 0 = 1,я. (2.8) На рис. 2.1 показана структура нечеткой модели, оснащенной обратной связью, с элементами запаздывания ЭЗ, на / тактов /=1,2,..., процедурами (блоками) фазификации, нечеткого вывода и дефазификации.
В блоке нечеткого вывода FI (Fuzzy Inference) вычисляется величина истинности 0 -го правила WB=X xltdf)X!(x2id92)...Xem(xm,dem) и нечеткая функция (3е =w9 /( + w2...+w"), 6 = 1,л , где є{-,тах,тіп,...} операция алгебраического умножения (), определения максимума (max) или минимума (min) и др.[10, 88, 102]. В блоке дефазификации Def (Defuzzyfication) определяется конкретное значение выхода y\t) по формуле KO=PV(O, (2.9) 9=1 где У3 =Сд + xrc6, 0 = 1,/7 - разностное уравнение; се ={с\, с\,..., с )7 вектор коэффициентов.
Исходя из структурной схемы нечеткой модели, следует выбрать или определить функции принадлежности и механизм вывода, чтобы рассчитать выход
Существуют две точки зрения на содержательную трактовку функции принадлежности [115]: она интерпретируется как субъективная мера неопределенности [50] или как вероятностная характеристика, например функция распределения [19].
На практике далеко не всегда удается определить плотность распределения из-за отсутствия достаточного количества данных и наличия погрешностей измерения. Поэтому в дальнейшем сосредоточим внимание на функции принадлежности Х(х) элемента х к нечеткому множеству X, которая выражает субъективную меру того, насколько элемент х є X соответствует некоторому понятию. Под субъективной мерой будем понимать определяемую опросом экспертов степень соответствия элемента х понятию, формализуемому нечетким множеством X. Каждая функция принадлежности имеет следующие характеристики [10]: — универсальное множество X - область определения х Х = {х\хті" х х"" х}; о —множество уровня 1, называемое ядром X нечеткого множествах о Х = {хеХ\Х{х) = \}; — множество уровня 0, называемое носителем Х0 нечеткого множествах Х0 = {хєХ \Х(х) 0}. Нечеткое множество, имеющее ядро, называется нормальным. Если переменной xt, і =1,2,... соответствует нумерованное нечеткое мно о жество Xf, р = 1,2,...hj, то универсальное множество Х(, ядро Х,р и носитель X,-нечеткого множества Xf будут выглядеть так: х;. = {х1\хГь х1 хГ}; Xi"={xizXi\Xp(xi) = l}, Х,.={х, є X) где xf", х"ш - максимальное и минимальное значения переменной х-п і=1,т, р=\,П[. Сформулируем требования, которым должна удовлетворять функция принадлежности, характеризующая лингвистическую переменную. Для лингвистической переменной (х,Тх,Х) определим терм - множество Тх =\ХР\, p-l,h, с термами Хр - пронумерованными эталонными нечеткими множествами от 1 до h, и будем считать, что универсальное множество Х є R , где R1 - ось действительных чисел. Множество Тх должно быть упорядочено в соответствии с выражением (УХР еТх)(уХс eTx)[p q (3x еХр)(Ух"eXj)(x х % p,q = h, которое означает, чем левее находится носитель, тем меньший номер получает соответствующий терм.
Идентификация нечетких моделей нелинейных динамических объектов
В настоящем разделе приводятся вычислительные эксперименты, позволяющие подтвердить возможность удовлетворительного описания нелинейного динамического объекта нечеткой разностной моделью - средствами идентификации линейных объектов из 3.1.
Динамический объект с одним выходом представлен нелинейным разностным уравнением [ 96 ] порядка г = 3, s = 2 м= At-l)-y(t-2)-)(t-3)-u(t-l)-(y(t-3)-l) + u(t) l+(y(t-2))2+(y(t-3))2 Вычисление y(t) проводится при нулевых начальных условиях y(t) = Q, t 0 и синусоидальном входе fsin(27tf/250), / 500, u(t) = { [0.8sin(27cr/250) + 0.2sin(27ir/250), t 500.
Здесь как и в 3.1 исследуется влияние типа функций принадлежности (кусочно - линейных и колоколообразных) на эффективность разработанных во второй главе алгоритмов идентификации.
Начнем с идентификации коэффициентов cf, 0 = 1, п, і = 0,т линейных разностных уравнений нечеткой модели с двумя правилами (и = 2), порядка г = 1, s = 0 и кусочно - линейными функциями принадлежности (рис. 3.6 а), параметры которых вычислялись по методике, изложенной в 2.2. Полученная нечеткая разностная модель R -.если y\t-\) есть 7/[-0.73, 0.402), u(t) есть Ul0[-0.199, 0.497), то У(0 = -0.159 + 0.936 y(t-1) +0.175 ф), (3.27) R2:ecnu y{t-\) есть Г,2[-0.676, 0.262), u(t) есть [/02(1.19, 0.331], то y\t) = 0.085 + 0.507 -1) + 0.511 u{t) имела относительную модульную ошибку J - 0,096, намного превышающую допустимую.
Аналогичным образом, после определения вектора параметров d колоколообразных функций принадлежности (рис.3.6 б) алгоритмом хс1 и проведения идентификации коэффициентов с алгоритмом хс была получена нечеткая модель Rx:ecnu y\t-\) есть Г,1, u(t) есть U\, то У (0 = 0.0089 + 0.341 -1) + 0.562 u(t), RJ\ecnu y\t-\) есть Y2, u(t) есть U], (3.28) mo y2(t) = 0.210- 0.109 y(t-1) + 0.422 м(ґ), имеющая ошибку JB = 0.053, превышающую допустимую, но гораздо меньшую, чем модели (3.27).
Идентификация параметров функций принадлежности алгоритмом в моделях (3.27) и (3.28) несколько снизила соответствующие ошибки J = 0.069 и J = 0.053, но они остались выше допустимой Jd = 0.03. Поэтому была проведена структурная и параметрическая идентификация, которая заключалась в поочередном разбиении каждой функции принадлежности и увеличении до трех числа правил с последующим уточнением алгоритмом с коэффициентов с] и алгоритмом xVd параметров df в нечетких моделях (3.27) и (3.28).
На рис. 3.6 построены графики кусочно - линейных и колоколообразных функций принадлежности с заданными (рис. 3.6 а, б) и уточненными генетическ-ким алгоритмом4Jd (рис. 3.6 в, г) параметрами. Из сравнения графиков видно, что значительно изменились как кусочно - линейные, так и колоколообразные функции принадлежности.
Обозначим ошибки нечетких моделей, полученных после разбиения функ-ций принадлежности на рис. 3.6 а и рис. 3.6 в через J(n), J{d), а на рис. 3.6 б и рис. 3.6 г через J{n), J{d). Ниже приводятся результаты такой идентификации - ошибки J{n), J{d), J{n), J(d) моделей (3.27) и (3.28), полученные при разбиении: первой функции принадлежности У,1 в первом правиле J(n) = 0.023, J(n) = 0.035; J(d) = 0.056, J(d) = 0.037; второй функции принадлежности Ul0 в первом правиле ./(и) = 0.017, J{n) = 0.028; J(d) = 0.028, J(d) = 0.029; первой функции принадлежности У,2 во втором правиле J(„) = 0.058, J{n) = 0.045; ./( ) = 0.053, ./( /) = 0.045; второй функции принадлежности С/д во втором правиле /(и) = 0.036, J(w) = 0.05; /( ) = 0.023, J(J) = 0.04.
Запишем нечеткие модели, состоящие из трех правил и обладающие минимальными ошибками с кусочно - линейными Я[:если y(t-\) есть Г,1 [-0.087,0.410), м(ґ) есть / -0.515,0.452), то У (0 = -0.04 - 0.559# - 1) + 0.893 u(t), Я2:если y(t-\) есть 7,2 [-0.736,0.463), u(t) есть /2(0.502,-1.158], то У(г) =-1.189-0.594Я -1) + 0.155м(0, (3.29) Л3: если %t-X) есть F,3 (0.745,0.215], u(t) есть U](1.144,0.331], то У(і) = -0.227 + 0.618 7-1) + 0.563u(t), (1(d) = 0.017) и колоколообразными Я1:если y(t-\) есть 7/ , u(t) есть U\, то У(ґ) = 0.01+ 0.526j)(/-1) +0.402 м(0, (3.30) R2: если y(t - 1) есть У,2, u(t) есть U\, то У(0 =-0.003-0.185Й -1) + Ши(О R : если y(t - 1) есть У,3, u(t) есть U\ , то У(0 = 0.214-0.122 Йґ-1) + 0.426н(0 (J(d) = 0.028) функциями принадлежности, представленными на рис. 3.7
Для достижения более высокой точности нечетких моделей (3.29) и (3.30) с тремя правилами увеличим порядок линейного разностного уравнения до г = 2, 5 = 0 ис помощью алгоритмов Ч/с и 4 d определим параметры с и d. В результате имеем нечеткие модели с кусочно-линейными Е}\если y(t-\) есть 7, -1.03,0.723), 7-2) есть 72 [-0.725,-0.025), u(t) есть /J [-4.13,-0.616), то У (0 =-0.0004+ 0.02#f-1)-0.006 7-2) +0,989 м(ґ), К1: если y(t-l) есть 1 2(1.14,-0.08], ?-2) есть 722 (0.143,-0.042], u(t) есть U][-0.929,-0.032), то У (0 = 0.0004 + 0.002 { -1) +0.001JX?- 2) + 0,997 u(t), R -.если y(t-\) есть 7,3[0.366,0.775), y(t- 2) есть 723 [0.29,1.226), м(0 есть U] [0.405,0.676), то У (0 = 0.128 + 0.268 Й?-1) + 0.056 7 - 2) + 0,412 u(t)
Описание электрических печей отжига трансформаторной стали
Отжиг рулонной трансформаторной стали осуществляется в электрических печах типа СГВ-16-20 [1]. Конструкция печи СГВ-16-20 предусматривает три зоны нагревателей общей мощностью 650 кВт и газовую разводку, обеспечивающую вакуумирование для удаления воздуха, снятие вакуума азотом и ведение отжига в атмосфере электролитического водоро да. Вес садки достигает 42 т, а сама садка состоит из 6 рулонов трансформаторной стали, расположенных в три стопы (рис. 4.4). Объем свободного пространства , печи составляет около 30 м. Уг\Ч \ Особенности технологичес t y\t) Л 3-0 0-+ «--a fit) J Уг(!) H. a, кого процесса отжига будем рассматривать без отрыва от работы существующей системы двухпози-ционного регулирования температуры. Температура отжига измеряется в трех зонах m m Л(0 /(0 H, «i(0 Рис. 4.4. Схема колпаковой печи СГВ-16-20 У] (0 Л(0 Уз(0 обогреваемых тремя нагревателями Нь Нг, Нз. Регуляторами Рь Р2, Рз осуществляется двухпозиционная автономная программная стабилиза ция температуры в каждой зоне. Продолжительность отжига по технологической инструкции составляет 200 часов, в том числе нагрев - до 93 часов, остальное время - охлаждение рулонов.
Основной задачей управления колпаковой печью является поддержание температуры отжига в трех зонах у fa), і- 1,2,3, близкой к заданной у fa). Заданная температуры отжига представляет собой функцию времени, форма которой зависит от марки стали. Наиболее типичный вид функции y(t) представлен на рис. 4.5.
На графике можно выделить участки подъема, постоянного значения (600С и 1150С) и снижения заданной температуры y(t). Полный цикл отжига длится от 80 до 90 часов. На участке (to, t\) включаются все нагреватели и не требуется с высокой точностью поддерживать температуру отжига.
Охлаждение металла на участке (t5, U) происходит при отключении всех нагревателей. Наибольший интерес представляет стабилизация температуры отжига на у частках (?._,,ґ.)3 j = 2,5, и в особенности на участках () и (fy, ),где предъявляются достаточно жесткие условия к ошибке или отклонению е/(0 - yQ(t) У І (0 текущей температуры y{t) от заданной у0 (і). В целях упрощения изложения каждый участок стабилизации температуры (t2, t3) или (t4, t$) обозначим обобщенным интервалом [0, 7].
На основании описания колпаковой печи (рис. 4.4) выделим в ней возмущающие, управляющие и выходные переменные. К входным возмущающим переменным относятся давление и влажность окружающей газовой смеси, которые оказывают несущественное влияние на выходную температуру в зонах, поэтому исключим указанные переменные из внимания. Управляющими переменными являются напряжения переменного тока u t), і =1,2,3, подводимые к трем нагревателям и принимающие значения 1, если включен і -ый нагреватель, и 0, в противном случае.
Управления действуют с некоторым запаздыванием, достигающим трех и более минут.
Временной шаг дискретизации равен одной минуте, что обусловлено возможностями контактной системы. Выходной переменной является температура отжига в трех зонах yt(t), і =1,2,3, изменяющаяся по программе, изображенной на рис. 4.5. Рассмотрим некоторые особенности процессов регулирования на рис. 4.6 при двух заданных значениях температуры отжига = 600С и у0 = 1150С. Здесь большими точками отмечены моменты включения нагревателей Нь Н2, Н3 продолжительностью в одну минуту.
Автономность контуров двухпозиционного регулирования неизбежно приводит к значительным и незатухающим колебаниям температуры с ошибками еі{ї) = У(і)-Уі{ї) t = 1,2,..., Т, превышающими принятую допустимую величину е = 10С (рис. 4.6). Причем, частота колебаний при у0 = 1150С гораздо выше (примерно в 2 раза), чем при у0 = 600С, т.е. колпаковая печь является нестационарным объектом. Действительно, в процессе отжига трансформаторной стали происходит значительное изменение (уменьшение) ее основной динамической характеристики - инерционности, связанное с прогревом металла и удалением масла и влаги с его поверхности. Следовательно, заданная температура y\t), в окрестности которой находится текущая температура 1/,(/), может служить косвенным показателем инерционности объекта управления.
Каждое управление ut{f), помимо температуры у {і) в основной і - ой зоне, оказывает заметное влияние на температуру в остальных зонах, т.е. управления являются взаимосвязанными и двухпозиционными. Кроме того, на рис. 4.6 б нарушается симметричность колебаний текущей температуры y(f) относительно заданной.
При построении нечеткой разностной модели необходимо учитывать следующие особенности колпаковой печи отжига: каждое і-ое управление и,(/),включающее или отключающее z — ый нагреватель, помимо температуры у.х в основной і - ой зоне, оказывает заметное влияние на температуру в остальных зонах; управления действуют с запаздыванием, достигающим трех и более минут; заданная температура у0 (/) может служить косвенным показателем нестационарности объекта.
Перечисленные особенности процесса отжига учитывает схема модели колпаковой печи, изображенная на рис. 4.7.
