Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические результаты 15
1.1. Асимптотическая ковариационная матрица и некоторые её оценки 16
1.2. Конструкция и свойства оценки асимптотической ковариационной матрицы в общем случае 25
1.3. Оценки для конкретных примеров временных рядов 34
1.4. Спектральное окно 41
1.5. Уменьшение числа слагаемых для оценки с QS весами 45
Глава 2. Численное сравнение оценок 54
2.1. Параметрическая оценка Evar 55
2.2. Коэффициенты регрессии для 1(1) временных рядов 60
2.3. Оценки коинтеграционного вектора 64
2.4. Семейства случайных процессов для численного сравнения 66
2.5. Меры точности, используемые для численного сравнения 69
2.6. Результаты сравнения различных оценок 70
2.7. Выбор параметра т, определяющего ширину полосы в оценке 88
Глава 3. Прикладные результаты 105
3.1. Задача о составлении портфеля акций, данные о цене одной из которых доступны нерегулярно 108
3.2. Оценивание коэффициента «бета» для акций «второго эшелона» РТС 111
3.3. Выводы 119
Приложение. Определения асимптотической ковариационной матрицы... 121
Библиографический список ...124
- Конструкция и свойства оценки асимптотической ковариационной матрицы в общем случае
- Уменьшение числа слагаемых для оценки с QS весами
- Семейства случайных процессов для численного сравнения
- Оценивание коэффициента «бета» для акций «второго эшелона» РТС
Введение к работе
Актуальность темы. Исследователи часто встречаются с необходимостью работать с временными рядами различной частотности. К примеру, с макроэкономическими данными и данными с финансовых рынков. Одним из возможных подходов при построении эконометрических моделей в этом случае является прореживание более частых временных рядов. Но это приводит к потере значительной части информации, поскольку остающиеся после прореживания наблюдения в некотором смысле не будут передавать тип поведения наблюдаемых величин. Поэтому при работе с данными различной частотности актуальным является вопрос, нельзя ли построить оценки параметров эконометрических моделей таким образом, чтобы не терять информацию, т.е. каким-нибудь образом обойтись без прореживания. Это, к примеру, возможно для случая линейной регрессии (см. [Ghysels, Santa-Clara, Valkanov, 2002]1 и [Ghysels, Sinko, Valkanov, 2007]2) или для оценки параметров GARCH-процесса с некоторым изменением спецификации (см. [Ghysels, Jasiak, 1997]3).
Такая ситуация показана на Рис. 1 для двух величин (условно обозначенных Z; и Zi), наблюдаемых в различные (нерегулярные) моменты времени. Прикладные задачи, требующие оценок, основанных на данных различной частотности, являются примерами задач, в которых данные могут быть смоделированы как последовательность случайных векторов, не все компоненты которых известны во все моменты времени.
Рис. 1. Пример величин, зависящих от времени и наблюдаемых с различной частотностью
1 Ghysels, Е., Jasiak, J. GARCH for Irregularly Spaced Financial Data: The ACD-GARCH
Model II Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics. 1997. Vol. 2 (4).
2 Ghysels, E., Sinko, A., Valkanov, R. MIDAS Regression: Further Results and New
Directions II Econometric Reviews. 2007. Vol. 26 (1.1). PP. 53-90.
3 Ghysels, E., Jasiak, J. GARCH for Irregularly Spaced Financial Data: The ACD-GARCH
Model II Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics. 1997. Vol. 2 (4).
Использование данных различных частотностей сопряжено с определёнными трудностями. Дело в том, что многие оценки из области анализа временных рядов для такого рода данных не предназначены. В недавнее время в этом направлении было получено несколько результатов. К примеру, так были обобщены оценки коэффициентов линейной регрессии или оценки параметров GARCH-процесса с некоторым изменением спецификации.
Вопросам оценивания асимптотических ковариационных матриц посвящено большое число научных работ в области эконометрики и спектрального анализа. Классическими трудами, описывающими подходы к решению данной проблемы, являются работы М. Пристли, М. Бартлетта, У. Ньюи, К. Веста, Д. Эндрюса, П. Филлипса, У. Ден Хаана, А. Левина, X. Уайта, Э. Парзена, П. Даниэлла и др. С современными подходами к оцениванию некоторых параметров в случае временных рядов различной частотности можно ознакомиться в работах Э. Гайселса, Р. Валканова, А. Синько и др.
В данной работе получено обобщение оценки асимптотической ковариационной матрицы на случай временных рядов различной частотности. Такая оценка автоматически может обобщить на этот случай и методику оценки коэффициента «бета» для российских акций «второго эшелона РТС», и оценки коинтеграционного вектора, и метод главных компонент, и многие оценки из области многофакторного статистического анализа (см. обзор в [Айвазян, Мхитарян, 1998; стр. 546-564]4). В третьей главе работы описана методика оценки коэффициента «бета» - меры систематического риска, актуальной для российских акций «второго эшелона РТС».
Основные цели работы. Целями исследования являлись: обобщение оценки асимптотической ковариационной матрицы на случай временных рядов различной частотности; а также, как один из примеров её применения, оценивание коэффициента «бета» для российских акций «второго эшелона РТС», сделки по которым происходят нерегулярно - зачастую реже одного раза в день.
Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:
получение формулы для обобщенной оценки асимптотической ковариационной матрицы Ньюи и Веста на случай временных рядов различной частотности;
доказательство теорем о том, что полученная оценка обладает всеми свойствами оценки Ньюи и Веста (положительная полуопределённость и состоятельность);
4 Айвазян, С.А., Мхитарян, B.C.: Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: Юнита, 1998
вывод формулы «усечённого» спектрального ядра для данной оценки, которое бы существенно облегчило расчёты, обобщая т.н. квадратическое спектральное ядро, признанное наиболее эффективным в своём классе;
доказательство свойств предложенного «усечённого» ядра (сходимости к квадратичному спектральному ядру и гарантии положительной полу определённости);
численное исследование свойств предложенной оценки и предложенного ядра;
создание прототипа методики оценки коэффициента «бета» для акций «второго эшелона РТС».
Научная новизна исследования заключается в разработке новых методов оценок для временных рядов различной частотности. Главный результат работы - это обобщение оценки, определённой лишь для временных рядов одинаковой частотности, на случай рядов различной частотности и теоремы о сохранении всех её свойств. Ещё один результат, полученный в работе, - это спектральное ядро для оценок ковариационной матрицы, которое одновременно является «усечённым» (не зависит от автоковариаций высоких порядков), положительно полуопределённым и сходящимся к наиболее «точному» ядру из данного класса. Такого сочетания свойств не имеет ни одно другое известное автору спектральное ядро. Более того, в численном исследовании на коротких выборках данное ядро давало более точные результаты, чем квадратическое спектральное. Как следствие, в работе показано, как на основе полученной матрицы обобщить оценку коинтеграционного вектора и некоторых других параметров для случая временных рядов различной частотности. В-третьих, в данной работе впервые такие оценки численно сравниваются в случае временных рядов различной частотности. И, наконец, предложенная методика оценивания коэффициента «бета» для акций, торгуемых не каждый день, тоже вносит вклад в научную новизну работы.
Все основные результаты получены автором лично и являются новыми (за исключением доказательства одной из теорем об укорочении набора весов, полученного в соавторстве с научным руководителем А.С. Шведовым).
Методы исследования. При проведении исследования использовались методы математической статистики, теории вероятностей, стохастических процессов, спектрального анализа, эконометрики, анализа временных рядов, эмпирических финансов, оценки ценных бумаг и портфельной теории.
Теоретическая и практическая значимость результатов исследования.
Теоретическая значимость результатов состоит главным образом в том, что
полученная оценка обладает всеми преимуществами оценок с укороченными ядрами и
оценок с квадратическими спектральными ядрами, но не наследует многих их недостатков. А именно, преимуществом оценок с укороченными ядрами является лёгкость вычисления и независимость от выборочных автоковариаций высокого порядка, а недостатком - низкая скорость сходимости. Преимуществом квадратических спектральных оценок является большая скорость сходимости, а недостатками - либо отсутствие гарантий положительной полуопределённости, либо сложность вычисления и зависимость от выборочных автоковариаций высокого порядка. Полученная оценка, единственная из известных автору, обладает одновременно всеми этими преимуществами, но ни одним из этих недостатков.
Также построенные оценки асимптотической ковариационной матрицы могут быть использованы не только для оценивания коэффициента «бета» на основе рядов различной частотности, но и для оценивания коинтеграционных векторов и обобщения метода главных компонент на данный случай.
С точки зрения практической значимости, одно из приложений заключается в том, что с данной оценкой открывается возможность оценивать все параметры, необходимые для измерения риска в системах RiskMetrics или MSCI Вагга даже в тех случаях, когда торги по рассматриваемым инструментам происходят с различной и нерегулярной частотностью.
Последнее особенно важно для управления рисками на предприятиях, занимающихся посреднической деятельностью в области не самых ликвидных ценных бумаг, таких как акции «второго эшелона РТС» или свопы на отказ от кредитных обязательств (более известные как CDS). В периоды финансовых кризисов, характеризующиеся высокой волатильностью, возможность измерять риски и хеджировать их может определить дальнейшую судьбу такого предприятия. В разделе 3.2 также описано, каким образом результаты диссертации могут быть применены для расчёта резервов.
Апробация результатов исследования. Основные научные результаты диссертационной работы обсуждались на ежегодной конференции Международного Института Прогнозирования (ISF) в 2007 году (Нью Йорк), а также на семинарах кафедры эконометрики и математической экономики ГУ-ВШЭ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научные работы (в том числе 3 основные работы) общим объемом 4,4 п.л. (личный вклад автора 3.9 п.л.). Две работы опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав,
приложения, списка литературы из 87 наименований, 15 таблиц, 12 графиков и 3
рисунков.
Конструкция и свойства оценки асимптотической ковариационной матрицы в общем случае
Коварационную матрицу доходностей существующего портфеля и «включаемой» акции можно оценивать двумя способами: способом, предложенным в главе 1 для случая данных различной частотности, или же по стандартной формуле из [Anderson, 1958; стр. 44-51], часто используемой на практике (пропуски заполняются линейной интерполяцией). Для примера был проведён анализ возможности включения акций ОАО Аптечная Сеть 36,6 в портфель, состоящий из компонент индекса РТС по состоянию на апрель 2007 года. Оказывается, что при оценке ковариаций первым способом рекомендуемая доля составляет и = 17%, а во втором и = 51%. Конечно же, в контексте диверсификации первый результат выглядит намного реалистичее, чем второй. Оказывается, дело в том, что оценка, не основанная на временных рядах различной частотности, в данном случае недооценивает волатильность «включаемых» акций (нижний правый элемент матрицы). Также оказывается, что она недооценивает меру их систематического риска — коэффициент «бета» (отношение верхнего правого к верхнему левому элементу матрицы). Это приводит к ложным представлениям о возможностях диверсификации портфеля и, как следствие, приводит к рекомендации вложить w = 51% средств во «включаемые» акции.
Конечно же, следовало бы убедиться в том, что такое отличие имело место не только для акций данной компании в данный промежуток времени. Чтобы удостовериться в систематическом характере этого отличия для акций «второго эшелона РТС», мы вычислили рассматриваемые оценки для всех таких акций в различные промежутки периода 2003-2007 гг. Как можно видеть из таблиц 12-14, действительно речь идёт о систематическом отличии.
Причиной этому является недооценка индивидуальной волатильности «включаемой» акции и недооценка коэффциента «бета» (меры систематического риска). Обе ошибки связаны с тем, что выборочная ковариационная матрица не предназначена для временных рядов различной частотности. Можно ли утверждать, что такое систематическое различие связано с различной частотностью данных? Оказывается, можно утверждать и это. Мы провели аналогичные расчёты для двух самых ликвидных акций «первого эшелона» РТС (данные о торгач по ним были доступны каждый день). Для таких акций обе оценки дают очень схожие результаты.
Итак, в третьей главе работы показано, что выборочная оценка ковариационной матрицы доходностей создаёт ложные представления о возможностях диверсификации для акций, цены которых доступны не каждый день. Показано, что более реалистичные представления о диверсификации и мере систематического риска «бета» можно получить при помощи оценивания асимптотической ковариационной матрицы доходностей.
В заключении диссертационной работы сформулированы основные выводы, а также представлены теоретические и практические результаты проведенного исследования. В данной части рассмотрен класс оценок асимптотической ковариационной матрицы многомерного случайного процесса с дискретным временем, при построении которых используется идея, заключающаяся в том, что эту матрицу в некотором частном случае можно выразить через ковариационную функцию случайного процесса. Представлены два различных теоретических результата. Сначала в разделах 1.1-1.3 предлагается обобщение такого класса оценок- на случай временных рядов различной частотности (мы используем термин «обобщение», поскольку речь идёт о расширении существующего класса оценок). После этого в разделах 1.4-1.5 предлагается новая оценка ковариационной матрицы, в некотором смысле улучшающая наиболее точную из описанных в литературе оценок из этого же класса.
Вопрос о выборе наилучшей оценки из данного класса (как и об определении наилучшего класса оценок) далёк от своего окончательного решения. Но во многих случаях при использовании оценок из рассматриваемого в данной работе класса преимущество отдается оценке с весами, соответствующими квадратическому спектральному окну, которая иногда более коротко называется оценкой с QS (quadratic spectral) весами. Построена оценка с QS весами в работе [Priestley, 1962]. Данная оценка строится как приближенно удовлетворяющая некоторому условию оптимальности и во многих практических ситуациях обладает хорошей точностью. Свойства этой оценки обсуждаются. например, в работах [Andrews, 1991], [Christou, Pittis, 2002].
Оценка асимптотической ковариационной матрицы, предлагаемая в разделах 1.1-1.3, определена для временных рядов различной частотности, однако в случае данных одинаковой частотности она вырождается в хорошо известную оценку Ньюи и Веста.
Оценка, предлагаемая в разделах 1.4-1.5, во-первых, асимптотически приближается к оценке с QS весами при росте размера выборки, во-вторых, включает в себя значительно меньше слагаемых, чем оценка с QS весами и, в-третьих, как и оценка-с QS весами, является положительно полуопределённой для любого набора наблюдений (даже для очень коротких временных рядов). В численном исследовании (см. главу 2) такая оценка оказалась эффективнее, чем оценка с QS весами, в случае коротких временных рядов.6
Одна из первых работ, где рассматривается и оценивается асимптотическая ковариационная матрица многомерного случайного процесса с дискретным временем — это [Levine, 1983]. Но из-за имеющейся связи асимптотической ковариационной матрицы и спектральной плотности случайного процесса для построения оценок асимптотической ковариационной матрицы могут быть использованы и существующие оценки спектральной плотности. А таким оценкам за последние шестьдесят лет было уделено значительное внимание (см., например, [Bartlett, 1950], [Parzen, 1957], [Priestley, 1962], [Bartlett, 1963], [Priestley, 1981]).
Отметим, что кроме термина asymptotic covariance matrix (см., например, [Ledoit, Wolf, 2003]) для обозначения асимптотической ковариационной матрицы используется термин long-run average covariance matrix (см., например, [Phillips, Moon, 1999]). Различные оценки асимптотической ковариационной матрицы рассматриваются в работах [Andrews, 1991], [Andrews, Monahan, 1992], [Christou, Pittis, 2002], [DenHaan, Levin, 2000], [Newey, West, 1987, 1994], [Phillips, Ouliaris, 1988], [Stock, Watson, 1988], [Xiao, Phillips, 1998].
Далее в разделе 1.1 дается определение асимптотической ковариационной матрицы, обсуждаются ее свойства и приводятся некоторые оценки этой матрицы. В разделах 1.2-1.3 строится её оценка для случая временных рядов различной частотности. Доказывается, что такая оценка состоятельная и принимает только положительно полуопределённые значения.
В разделах 1.4 и 1.5 на основе оценки с QS весами строится новая оценка с укороченным набором весов, доказывается, что данная оценка является положительно полуопределенной и близкой к оценке с QS весами.
Уменьшение числа слагаемых для оценки с QS весами
По данным таблицы 3 можно увидеть, что с точки зрения определённой в работе меры эффективности наилучшими являются оценка с квадратическим спектральным ядром (QS) и модифицированная оценка VARHAC. Оценка VARHAC оказывается слегка лучше оценки QS для случая положительных автокорреляций (0 0), но немного хуже для случая отрицательных (в 0).
Для того чтобы разобраться в причинах этого, можно изучить таблицу 5. Оказывается, что в случае отрицательных автокорреляций оценка VARHAC обладает заметным смещением, причём, чем больше различие в частотностях, тем больше смещение. Это может свидетельствовать о том, что сделанное в работе обобщение оценки VARHAC для случая различных частотностей было сделано далеко не лучшим образом. Может быть, смещение было бы меньше, если бы заполнение пропусков для оценки VARHAC бьшо сделано не простой линейной интерполяцией, а каким-нибудь способом, согласованным с динамикой процесса векторной авторегрессии. Например, это можно бьшо бы сделать при помощи принципа максимума апостериори (см. [DeGroot, 1970; стр. 155-189]), который в частном случае гауссовских случайных блужданий как раз вырождатся с линейную интерполяцию.
Другим наблюдением из таблиц 3, 4, 6 и 7 можно назвать то, что оценка VARHAC становиться тем менее эффективной, чем менее исходный случайный процесс напоминает векторную авторегрессию. К примеру, оценка QS оказалось как правило эффективнее в случае большого различия в частотностях (столбец (ж) в таблицах 3 и 6 и столбец (д) в таблицах 4 и 7). Или, к примеру, она оказалаь эффективнее в случае когда исходный случайный процесс был из одного из МА-семейств, а не AR- семейств (столбцы (б) и (в) во всех четырёх таблицах).
Также случай случайного процесса, близкого к коинтегрированному, с одной стороны формально удовлетворяет предположениям векторной авторегрессии, но тоже приводит к меньшей точности оценок VARHAC (столбцы (г) и (д) в таблицах 3 и 6). Мы не можем привести точного объяснения для этого факта, но скорее всего, он связан с тем, что оценка коэффициентов векторной авторегрессии содержит в себе операцию, похожую на обращение ковариационной матрицы, а эта матрица в таком случае была близка к сингулярной.
По графикам для таблиц 6, 7 и 8 и графикам для таблиц 3, 4 и 5 легко увидеть, что в случае более короткой выборки точность оценок с треугольными и весами падает не столь сильно, как точность оценки VARHAC. Оценка QS становится точнее оценки VARHAC в большем числе случаев, а иногда и оценка с треугольными весами превосходит оценку QS. Это можно объяснить тем, что среднеквадратичная ошибка для оценки VARHAC зависит от длины выборки как 0\Г ), для оценки QS как 0\Г J и для оценки с треугольными весами как о(г-1/3)(см. [Andrews, 1991]). Наконец, не стоит забывать о том, что результаты численного исследования, строго говоря, верны лишь для множества случайных процессов, реализации которых исследованы. В предыдущих частях (см. формулы (2Ь), (2г) и (2q) в разделе 2.1) были приведены оценки асимптотической ковариационной матрицы в случае данных различной частотности. Практическая задача при использовании таких оценок заключается в том, что необходимо правило, по которому можно выбрать параметр т исходя из данных \Xt )f=l. Разработано множество подходов, позволяющих на основе данных выбрать значение параметра т для случая данных одинаковой частотности (см. [Andrews, 1992], [Newey, West, 1994], [Xiao, Phillips, 1998], [Christou, Pittis, 2002]). Поскольку в данной работе рассматривается случай рядов различной частотности, это приложение посвящено выбору параметра да для такого случая. Сначала в данном разделе рассмотрен подход к выбору параметра т в случае рядов одинаковой частотности согласно работе [Andrews, 1991] и его модификация, описанная в работе [Newey, West, 1994]. После этого предложено обобщение этого метода для случая рядов различной частотности и алгоритм, по которому предлагается оценивать параметр т. Затем приведены результаты численного сравнения оценок (с использованием различных модификаций этого алгоритма и выводы о целесообразности их использования. Напомним (см. [Айвазян, Мхитарян, 1998; стр. 239]), что случайный вектор в\ называется более эффективной оценкой для 9 (вектора той же размерности), чем случайный вектор 92 (тй же размерности), в том случае, если матрица положительно полуопределённая. Матрицу Е\ y&i — 9pfi\ в) можно выразить через смещение оценки 9\ равное и её ковариационную матрицу cov j J как: поэтому при рассмотрении вопроса о точности («эффективности») оценки центральную роль играет величина её смещения и ковариационной матрицы. Следуя этому правилу, для оценок Ё матрицы Е можно определить такую меру точности, согласно [Айвазян, Мхитарян, 1998; стр. 239] как матрицу Как отмечено в работе [Andrews, 1991], от параметра т в оценках (2Ь) или (2q) или, как его называют, bandwidth parameter зависит и смещение и ковариационная матрица оценки. Другой критерий состоит в том, что первоначально из соображений прикладной задачи выбирается так называемая весовая матрица W (положительно полуопределённая числовая матрица размерности \п хп"п, и после этого с использованием этой весовой матрицы определяется следующая мера точности.
Семейства случайных процессов для численного сравнения
При составлении портфелей ценных бумаг необходимо учитывать их ожидаемые доходности и риски. Одним из способов уменьшения рисков портфеля ценных бумаг является диверсификация — создание портфеля из большого количества различных ценных бумаг так, чтобы каждая составляла малую долю стоимости. Считается, что в этом случае неопределённость будущей стоимости портфеля снижается ввиду некоторого рода усреднения.
В данной главе рассмотрены портфели ценных бумаг, включающие так называемые акции «второго эшелона» РТС28. Оказывается, что если для измерения возможностей диверсификации использовать подход Марковица (основанный на использовании ковариационных матриц доходностей), очень большую роль играет то, каким образом такие матрицы будут оценены для этих акций. Причина в том, что сделки по акциям «второго эшелона» РТС производятся не каждый день, и поэтому оценки, разработанные для временных рядов дневной частотности, могут давать очень малоправдоподобные результаты.
Далее показано, что если для таких данных использовать оценку, применимую для данных одинаковой частотности (в данном случае — дневной частотности), это приведёт к нежелательным результатам: завышенным представлениям о возможностях для диверсификации и даже неверным портфельным решениям. С другой стороны, мы показываем, что при использовании оценки, предназначенной для временных рядов различной частотности, результаты будут более приемлемыми. В этой главе показано, что такие оценки создают более реалистичное представление о возможностях для диверсификации. Напомним (см. раздел 1.2), что временной шаг, с которым имеются наблюдения для каждого ряда, не обязательно равномерный. Таким образом, включается случай нерегулярно доступных данных.
Один из подходов к измерению рисков состоит в использовании ковариационных матриц (см. [Brealey, Myers, Allen, 2005; стр. 167-170]). Часто нужны не только меры риска каждой ценной бумаги в отдельности, но и величины, описывающие взаимосвязь доходностей исследуемых ценных бумаг друг с другом и с другими показателями (например, макроэкономическими). К примеру, исследователи в организациях, выпускающих облигации29, обеспеченные ипотечными кредитами, работают и с макроэкономическими данными, и с данными финансовых рынков (см. [Raynes, Rutledge, 2003; стр. 235-236]). При этом ВВП многих стран доступен лишь в годовом выражении, а в месячном выражении доступны в частности индексы цен производителей в России. Приросты индексов цен на жильё в США доступны в квартальном выражении, а изменения цен облигаций или обменных курсов валют известны с частотой, намного превышающей раз в сутки. Наконец, некоторые показатели доступны нерегулярно. Например, данные о ценах сделок по акциям «второго эшелона» РТС доступны нерегулярно (сделки по многим из этих акций совершаются не каждый день). Для описания взаимосвязей доходностей ценных бумаг друг с другом и с другими макроэкономическими показателями тоже можно использовать ковариационную матрицу.
То, что роль ковариационной матрицы доходностей ценных бумаг является очень большой при измерении рисков, связанных с изменением рыночных цен, и при составлении портфелей, было показано уже на первом этапе развития портфельной теории в работах Марковица, Тобина, Шарпа и др. (см. основные работы [Markowitz, 1952], [Markowitz, 1959], [Sharpe, 1964], [Tobin, 1958]). Описание соответствующих результатов приведено, например, в книге [Шведов, 1999]. В современной портфельной теории используются более тонкие и сложные подходы, но для применения таких подходов на практике постоянно приходится оценивать различные ковариационные матрицы. С обзором таких подходов можно ознакомиться, например, в технической документации к двум наиболее популярным системам измерения рисков для портфелей акций: системе RiskMetries в [Mina, Xiao, 2001] и системе MSCI BARRA в [Hemmati, Hsieh, Puchkov, Stefek, 2004]).
В данной работе применяется метод расчёта ковариаций для тех случаев, когда различные временные ряды имеют различную частотность. При этом доходности для последовательных моментов времени не предполагаются независимыми, поэтому используется техника, относящаяся к анализу временных рядов. Разная частотность разных компонент создает дополнительные трудности, поскольку многие оценки ковариационных матриц разработаны для временных рядов одинаковой частотности.
Чтобы свести задачу к этому хорошо изученному случаю, одним из используемых подходов является прореживание более частых временных рядов, что приводит к потере части информации. В случае если за данными стоит та или иная вероятностная модель, возможность восстановить эту вероятностную модель, исходя из данных, теряется после прореживания. Другим подходом является интерполяция более редких рядов, но ошибки интерполяции могут привести к неверным выводам. В частности, это будет показано на примере в разделе 3.3, в котором неточная оценка ковариационной матрицы создаёт иллюзорно завышенные представления о диверсификации портфеля.
В разделе 3.1 для акций «второго эшелона» РТС рассматривается пример паевого фонда, принимающего решение о включении новой акции в свой портфель. При этом данные о ценах сделок по «новой» (включаемой в портфель) акции доступны с частотностью один-два раза в неделю, а данные о котировках остальных акций доступны раз в день. Здесь же отражена связь задачи о составлении портфеля и принципа начисления в бухгалтерском учёте.
В разделе 3.2 приведены численные результаты для рекомендуемых портфелей ценных бумаг с участием акций «второго эшелона» РТС (с точки зрения модели Марковича). Оказывается, что использование выборочной ковариационной матрицы для дневных доходностей в качестве оценки создаёт иллюзии о более обширных возможностях диверсификации, чем, скорее всего, есть на самом деле. Это приводит к более сомнительному портфельному решению в модели Марковича, чем применение оценки ковариационной матрицы, разработанной для временных рядов различной частотности. Выводом работы является то, что в случае российских акций для задач портфельной оптимизации более корректно пользоваться оценками, предназначенными для временных рядов различной частотности.
Оценивание коэффициента «бета» для акций «второго эшелона» РТС
Экономический смысл коэффициента «бета», оценки которого приведены в таблице 14, заключается в том, что он показывает, насколько цена определённой акции подвержена влиянию изменений цен индекса. Этот коэффициент измеряет один из систематических рисков — рисков, которые нельзя уменьшить посредством диверсификации (см., например, [Шведов, 1999; стр. 56]). Поэтому чем меньше число «бета», тем, как правило, больше возможностей для диверсификации портфеля. Волатилыгости акций, оценка которых приведена в таблице 13, как правило, определяют меру так называемого специфического риска, связанного с вложением в определённые акции (см. обзор в [Penades, Miller, 2005]). Чем такие волатильности меньше, тем больше возможностей для диверсификации. Обзор основных практических подходов к оценке коэффициента «бета» можно найти, например, в [Bender, 2007].
Из таблиц 13-14 видно, что использование выборочной ковариационной матрицы приводит не только к недооценке коэффициента «бета», но и к недооценке волатильности цен акций. В сочетании оба эффекта приводят к переоценке возможностей для диверсификации портфеля на данном рынке, что и приводит к завышению рекомендуемой доли «включаемой» акции в таблице 12. Причиной такого различия в результатах использования двух оценок, скорее всего, является то, что данные о ценах многих из этих акций доступны нерегулярно и с меньшей частотностью, чем раз в день, и поэтому оценка, предназначенная для данных без пропусков, создаёт иллюзии больших возможностей для диверсификации.
Для подтверждения последнего вывода мы оценили волатильность и коэффициент «бета» для наиболее ликвидных акций РТС (данные о ценах сделок по ним доступны за каждый день). Из таблицы 15 видно, что в этом случае обе оценки ковариационной матрицы дают намного более схожие результаты. Этот пример показывает, что в случае данных одинаковой частотности обе рассматриваемые оценки приводили бы к одинаковым решениям во многих ситуациях на практике. Это значит, что отличие в результатах для акций «второго эшелона» связано именно с различной частотностью временных рядов цен сделок по этим акциям.
Иными словами, использование выборочной ковариационной матрицы в задаче выбора портфеля может приводить к иллюзиям о высоких возможностях диверсификации. Оценивание же ковариаций доходностей по формуле (1.4) приводит к более реалистичным представлениям о возможностях диверсификации, поскольку эта оценка разработана именно для данных различной и нерегулярной частотности.
Разобранные примеры показывают, что для применения подхода Марковича для составления портфелей из акций «второго эшелона» РТС выбор оценки ковариационной матрицы может иметь очень большое значение. В частности, использование выборочной ковариационной матрицы (предназначенной для временных рядов одинаковой частотности) приводит к завышенным представлениям о возможностях для диверсификации.
С другой стороны, оценка ковариационной матрицы, предложенная в разделе 1.2, приводит к более реалистичным портфельным решениям, а также и к более правдоподобным представлениям о возможностях для диверсификации. Главной причиной последнего является то, что эта оценка разработана для временных рядов различной частотности, а именно о таких данных идёт речь в случае акций «второго эшелона» РТС. Действительно, данные о доходностях таких акций были доступны не каждый день за последние несколько лет, поскольку не каждый день происходили сделки по покупке или продаже таких акций.
Используемые на практике системы измерения рисков и поддержки принятия решений в паевых фондах и инвестиционных банках могут быть более сложными (например, они могут учитывать транзакционные издержки), но, как правило, тем или иным образом, они основаны на минимизации риска при различных ограничениях. При этом риск часто понимается как дисперсия доходности портфеля, выраженная через ковариационную матрицу доходностей его компонент. Поэтому использование оценок ковариационной матрицы, разработанных для временных рядов различной частотности, может оказаться весьма полезным для многих из таких предприятий.
В контексте российского рынка акций такой подход особенно актуален, поскольку по многим торгуемым на биржах акциям сделки происходят не каждый день, а значит, использование выборочной ковариационной матрицы приведёт к неправильным представлениям о возможностях для диверсификации. С другой стороны, в контексте стандартов финансовой отчётности Basel II, метод. Марковича оказывается напрямую связан с бухгалтерским учетом финансовых предприятий.
В заключение следует заметить, что рассмотренный подход, скорее всего, может быть развит путём параметризации ковариационной матрицы доходностей ценных бумаг согласно соответствующим экономическим моделям (таких как модели в [Fama, French, 1992, 1993]). В этом случае можно использовать оценки соответствующих параметров, описанные в [Ledoit, Wolf, 2003] и [Hemmati, Hsieh, Puchkov, Stefek. 2004] (но модифицированные для данных различной частотности).
