Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
Глава 1. СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РИСКА.
ОДНОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ПОДХОД 19
1.1.Классификация рисков в менеджменте 19
1.2.Исторический обзор моделирования риска инвестиционной
деятельности 29
1.2.1 .Теория портфеля Марковича 29
1.2.2.Базовые меры риска 30
I .З.Статистическая оптимизация портфеля ценных бумаг 36
1.3.1 .Статистическая задача оптимального распоряжения свободными
средствами 36
1.3.2Лисленный метод решения задачи ОРСС 38
1.3.3. Пример решения статистической задачи
управления портфелем 42
Глава2.ДВБ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ "РИСК-ДОХОД" 49
2.1 .Прямая и обратная задачи 49
2.2.Исследование прямой задачи 50
2.3.Исследование обратной задачи 54
2.4.Пример решения обратной задачи 57
ГлаваЗ.МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ПОДХОД К МОДЕЛИЮВАНИЮ
ЗАДАЧ "РИСК-ДОХОД" 60
3.1.Основные понятия многокритериальной оптимизации 60
3.2.Случай упорядочения критериев по их относительной важности.
Лексико-графическая оптимизация 63
З.З.Многокритериальная модель статистической инвестиционной
задачи вложения различных видов капитала 66
Глава4.ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ ПРИНЯТИЯ
РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОСТИ 77
4.1.Основные понятия теории принятия решений 77
4.2.Прямые методы оценки альтернатив в условиях
многокритериальности 80
4.2.1 .Идеология прямых методов и решающих правил 80
4.2.2.Решающее правило взвешенной суммы 81
4.2.3.Решающее правило вида MINMAX иМАХМШ 82
4.2.4.Решающее правило вида "расстояние до идеальной точки" 83
4.2.5.Мультипликативное решающее правило . 83
4.3. Нормирование критериев 87
4.4. Обобщенное решающее правило(ОРП) 93
4.4.1 .Исходные посылки и принципы построения ОРП 93
4.4.2Ллгоритм применения ОРП 96
4.5.Пример использования ОРП 98
ГЛАВА5. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ 106
5.1.Принятие решений применительно к лизингу 106
5.1.1.Понятие "Лизинг" 106
5.1.2.0сновные элементы лизинговых операций 108
5.1.3.Преимущества лизинга. ПО
5.1.4Лизинговые операции в деятельности коммерческих банков 114
5.1.5.Пример принятия решений применительно к лизингу 121
5.2. Организация банковских инвестиций. Основные понятия 127
5.2.1.Портфельные инвестиции 130
5.2.2 Альтернативные инвестиции 130
5.2.3.Последовательные инвестиции І 30
5.3.Пример принятия решений применительно к инвестициям 131
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ 149
Введение к работе
Математическому моделированию экономических задач посвящено много работ, незначительная их часть приводится в приложенной к этой работе библиографии. Актуальность математического моделирования экономических задач подтверждается и тем фактом, что почти все нобелевские премии были присуждены работам, посвященным этой проблеме (например, в 1969 г. Я.Тинберген, Р.Фриш "Математические методы анализа экономики", в 1980 г. Л .Клейн "Экономические модели, политика и циклы", в 1994 г. Д.Неш, Д Сарсани, Р.Селтен "Теория игр в экономике"). Моделированию экономических задач посвящены книги Л.В.Канторовича [22], 123], М.Б. Салуквадзе [49], PL Бирмана [6], Э.М.Бравермана [7], КЛанкастера [29], Дж.Бигеля [5], Н.И.Щедрина, А.Н.Кархова [56], А.А. Первозванского, Т.Н.Первозванской [42] и многие другие. В качестве учебных пособий по применению математического аппарата и использова-нию методов исследования качественных свойств решения оптимизационных задач экономической реальности можно назвать книги СААшмакова [1], Е.СВентцель Щь Е.ГГольштейна, Б .Д. Юдина [13], СКарлина [26], В.Г.Карманова [25], Р.Штойера [55], и ряд других авторов. В качестве популярных изданий по экономико-математическим методам можно назвать работы [52], [58].
И сегодня новые экономические отношения, финансовые операции в России, создание эффективной системы налогообложения требуют тщательного математического анализа и исследования. Развивающееся частное предпринимательство, коммерческие банки, акционерные общества, которым необходимо уметь лавировать и эффективно работать в новых экономических отношениях, дают интереснейший материал для прикладного математического исследования. В частности, следует отметить вышедшую недавно книгу СВ. Жака [19], в которой изложены основные подходы к построению экономико-математических моделей, проведены вычислительные эксперименты, а также имеется аннотация на комплекс прикладных про грамм, реализующих основные математические модели принятия решений
предпринимателем.
Создание адекватных экономико-математических моделей позволяет прогнозировать деятельность различных экономических структур и тем самым более эффективней планировать, принимать оптимальные решения. Опытная апробация модельных примеров может сэкономить время, трудовые и материальные ресурсы. Здесь нельзя не согласиться с Бирманом И., что итоги работы в этой области - в осознании возможности и абсолютной необходимости все большего расширения сферы использования в экономи-ке задачи надо решать не рассуждениями, а расчетом" [6]. Подтверждением тому является Постановление Правительства Российской Федерации "О финансировании прикладных экономических исследований" [Щ [41].
Развитие математического моделирования экономических задач, несомненно, вызвано и развитием компьютерной техники. Задачи оптимизации, как правило, имеют большую размерность (несмотря на то, что математическая модель всегда " "беднее" реальной экономической системы), и поэте лгу требуют проведения огромного объема вычислений. Это сильно затрудняет вычисления вручную, и практически делает невозможным апробацию с различными данными. Решение многомерных задач на современных быстродействующих компьютерах хотя и вызывает трудности, однако позволяет, не затрачивая дополнительного времени и трудовых затрат, проводить неограниченное число экспериментов с различными данными, и тем самым дает возможность проанализировать различные решения, сделать
прогноз и так далее.
С другой стороны расчет экономических задач на компьютере способствует психологическим изменениям в сознании экономистов и хозяйственных руководителей, оценивших по достоинству возможности этих методов. Научная обоснованность и эффективность управления во многом зависит от степени использования экономико-математических моделей и методов их решений , а также от степени использования в исследованиях вы
числительной техники. Поэтому все последние публикации, посвященные проблемам экономико-математического моделирования, дополняются аннотациями на соответствующие комплексы программ (см. [19] или включают в себя тексты программ [28], включающую в себя не только описание математических моделей рыночной экономики, но и содержащую пакет из 54 программ). Недавновыпущенучебник "Экономическая информатика" [57], где рассматриваются основы компьютерных технологий, построения информационных систем, методы автоматизации экономических задач.
В существующем многообразии экономических процессов трудно подобрать даже два каких-либо экономических процесса, которые можно было бы полностью описать одной моделью; каждый процесс неповторим. И для того, чтобы компенсировать возникающую неполноту описания, и классифицировать задачи, в науке "исследование операций" в разделе "математическое программирование" разработано несколько типов моделей, каждый из которых отражает какую-то одну определенную сторону экономической деятельности, с тем чтобы при решении конкретной задачи можно было бы подобрать лучшую для нее модель. По характеру используемых математических соотношений модели делятся на линейные, нелинейные, динамические, стохастические и др. Соответственно каждый класс моделей имеет свой метод решения.
Наиболее популярным (в силу большой размерности экономических задач)-и широко проверенным на практике является линейное программирование. Практическое использование методов линейного программирования дало неплохие результаты в решении многих задач экономики. Следует отменить, что методы линейного программирования (ЛП) начали широко развиваться и применяться после опубликования работы Л .Канторовича {22]. В его работе [23] сформулирована общая задача производственного планирования, которая была фактически первой линейной моделью экономического процесса. В качестве целевой функции рассматривалось составление оптимального производственного плана, а в ограничениях - учет
требуемого ассортимента продукции при определенной интенсивности применения соответствующих технологических способов. Эта задача и по сей день вызывает интерес исследователей. Также в терминах этой концепции может представляться общая задача производственного планирования, где в качестве целевой функции рассматривается прибыль, а ограничения вводятся по ресурсам и по выпуску продукции. В работе [33] приводится ряд задач, к которым применяется линейное программирование и его модификации.
Но все вышеуказанные задачи являются однокритериальными (нахождение экстремума функции на множестве допустимых решений) задачами линейного программирования. Выбор стратегий деятельности экономических систем (фирм, отраслей, акционерных обществ и т.п.), как правило, сводится к решению задач линейного программирования. Однако, очевидно, что в этих задачах нельзя ограничиться одним критерием (целевой функцией), а необходимо учитывать несколько критериев, требования хото-рых - противоположны или, по крайней мере - разнонаправлены. Проблема оптимизации по нескольким критериям возникла в связи с решением задач из сферы планирования и организации производства. Впервые это также было связано с работами Л.В.Канторовича, где выяснилось, что в общей задаче производственного планирования наряду с максимизацией прибыли (или минимизацией издержек) за счет выбора интенсивности используемых технологий (или способов производства) необходимо рассматривать мах-симнзацию количества согласованных ассортиментных наборов производимых изделий.
С середины 50-х годов нынешнего столетия получила развитие теория оптимального управления (история развития этой теории подробно освещается у М.Е. Салуквадзе [49]). Одним из важнейших направлений в теории управления является развитие методов анализа качества процессов управления. Чтобы учесть все требования, необходимо исследовать некоторый вектор критериев качества. И здесь возникает проблема одновременной оптимизации совокупности критериев, каждый из которых оценивает опреде ленное качество системы. Такие задачи называются многокритериальными
или задачами векторной оптимизации. Первоначально исследовались такие многокритериальные задачи, как оптимальное управление реактивным движением летательных аппаратов. Например, исследован режим расходования реактивной массы, при котором те или иные характеристики движения становятся экстремальными. Естественно, что и в экономике возникают подобные многокритериальные задачи, которые заслуживают не менее пристального внимания.
В работе [49] рассматривается задача планирования в металлургическом производстве. Это двукритериальная задача. Первый критерий -максимизация прибыли от продажи сплава, второй - минимизация пробега транспортных средств при доставке руды из расположенных в разных местах рудников. При ограничениях: 1) выплавка запланированного количества сплава; 2) заданная возможность завода в переработке руды: 3) расход электроэнергии в допустимых пределах: 4) требуемое процентное содержание необходимого компонента в сплаве.
Решение задачи заключалось в расчете каждого критерия отдельно на области допустимых решений. Затем составляется некоторая функция, связывающая значения обоих критериев в оптимальных для каждого критерия точках. Находились значения переменных, минимизирующих эту функцию, что по.сути и являлось оптимальным решением. Этот способ, конечно, недо а
статочно эффективен, не всегда составленная линейная свертка критериев может определять искомое оптимальное решение. В данной диссертационной работе осуществлена попытка системного (и, следовательно, многокритериального) осмысливания существующих определений экономического риска и дальнейшего развития и обобщения математического представления этой категории на базе идей многокритериальной оптимизации.
Первая глава посвящена систематическому изложению состояния теории экономического риска в ее классическом, т.е. однокритериальном представлении. Предлагаемые автором в последующих главах математические
модели и методы в конечном счете базируются на основных положениях
теории портфеля Марковича. Эти положения изложены автором диссертации в параграфе 1.2. Как известно, базовую модель Марковица образуют два показателя: F2 - ожидаемый доход (Fj - max), F2 - мера ожидаемого риска (F2 - пап). Описание этой базовой модели сопровождаются комментариями и уточнениями, которые потребовались для того, чтобы устранить некоторые неточности и неопределенности, встречающиеся в известных публикациях на эту тему. Параграф 1.3 первой главы посвящен наиболее простому случаю статической оптимизации портфеля ценных бумаг (ЦБ). Этот случай можно рассматривать как типичный для производственной ситуации. Здесь предлагается, как представляется автору, достаточно легко реализуемый на ПЭВМ численный метод решения задачи оптимального распоряжения свободными средствами. Новизна предложенного подхода заключается в том, что указанные выше показатели F; и F2 объединены в единую целевую функцию (ЦФ). Эта максимизируемая ЦФ есть отношение доходности и рисковости. В контексте методов оптимизации этот дробный критерий является более сложным по сравнению с линейными критериями Fj И F2 . Вместе с тем этот "критерий-свертка" скорее всего более адекватно отражает глобальную цель задачи управления портфеля ЦБ. При этом, предложенный здесь численный метод позволяет решать задачи достаточно большой размерности благодаря использованию целого ряда упрощающих преобразований исходной математической модели.
В заключение главы ! представлен конкретный пример решения статистической задачи управления портфелем. Назначение этого примера состоит в том, чтобы существенно облегчить реальное применение на практике предлагаемого численного метода решения задачи управления портфелем ЦБ.
Во второй главе "Две вероятностные модели "риск-доход " рассматривается общая задача "риск-доход", которая по своей сути является двойственной задачей. Суть этой двойственности состоит в том, что предполагается параллельное существование прямой задачи и обратной
задачи. Термин "прямая задача" означает максимизацию ожидаемого дохода при фиксированном риске. Термин "обратная задача" означает минимизацию риска при фиксированном ожидаемом доходе. Новизна представ-дленного в главе 2 исследования состоит в следующем. Во-первых, в рассматриваемой автором модели прямой задачи в качестве целевой функции рассматривается доходность (а не ожидаемый доход). При этом риск определяется как вероятность недополученная этой доходности. В обратной задаче в качестве максимизируемой целевой функции рассматривается вероятность превышения доходности некоторой заданной величины. Заметим, что в классических постановках риск определяется в виде дисперсии или стандартного отклонения, т.е. корня этой дисперсии. Во-вторых, осуществлено параллельное и взаимоувязанное исследование математических моделей прямой и обратной задачи. Использование такого "параллельного" подхода позволяет существенно увеличить объем задания о свойствах иі особенностях исследуемой задачи "риск-доход".
Следует отметить, что исходные математические постановки как прямой задачи, так и обратной задачи, представляют собой экономико-математические модели , которые весьма затруднительно использовать в реальных практических расчетах. Основная цель проведенного в главе 2 исследования состоит в том, что в результате корректных формальных преобразований модели обеих задач приведены к виду, существенно более удобному для реального использования. Эффективность полученного метода-численных расчетов показана в завершении главы 2 на конкретных исходных данных.
Третья глава "Многокритериальный подход к моделированию задач "риск-доход" посвящена систематическому изложению предлагаемого автором многокритериального подхода к рассматриваемой задаче "риск- доход". Представленно е в начале главы изложение основных понятий многокритериальной оптимизации обусловлено целесообразностью приблизить определение этих понятий к финансово- экономической природе объекта диссертационного исследования. Основной теоретический результат главы 3 состоит в том, что в процессе экономико-математического моделиования статистической инвестици онной задачи показано, что само понятие риск в самой своей содержательной сути имеет многокритериальную природу. Причем, различные критерии характеризующие риск, являются принципиально разнородными, т.е. они не допускают в общем случае адекватной и корректной замены их одним показателем. Представленная в главе 3 экономико-математическое исследование естественным образом базируется на рассмотренной выше математической модели задачи "риск-доход". На множестве допустимых решений (МДР) Х={х] вполне естественным образом определяется векторная целевая функция F(x) = (Fjfx), F2(x)), состоящяя из максимизируемого критерия Fi (х), представляющего ожидаемый доход, и минимизируемого критерия F2(x)t представляющего риск. Здесь математическое определение этих критериев представляет первый из них как математическое ожидание, а второй как стандартное отклонение, т.е. корень из дисперсии ожидаемого
дохода ь/Щ. Тогда в терминах понятии теории вероятностей и математической статистики [12] критерий F2(x) представляет собой первый центральный момент /xt(F0 (xf\, а критерий F2 (х)- второй центральный момент
для случайной величины FQ (х) - ожидаемый доход, рассматриваемый как случайная величина. Тогда вполне логичным представляется рассмотреть третий и четвертый центральные моменты [12], а именно y3(F0(xjj- асимметрия; и fi4(F0 ( )) - эксцесс.
В главе 3 осуществлено обоснование объективного введения дополнительных критериев (асимметрия и эксцесс) для более точного адекватного измерения риска. Действительно, эти дополнительные критерии можем использовать по крайней мере в случае, когда по основным критериям (ожидаемый доход и риск) сравниваемые варианты не различаются (в пределах ошибки измерения или точности задания параметров задачи), т.е. когда на этих сравниваемых вариантах двукритериальная векторная целевая функция (ВЦФ) F(x) = (Ft (х), F2 (х)) принимает одинаковое значение.
Таким образом существенное обобщение двукр.чтернальной задачи
"риск-доход" состоит в том, что на прежнем МДР X определяется 4 критериальная ВЦФ
F(x) = {F,(x),Fl(x},F)(x),Ft(xfj, (1)
где третий критерий представляет собой нормированный показатель аснм-метоии
Щ а четвертый критерий представляет собой нормированный показатель эксцесса
- ш (31
І
_ Как видно из (2) и (3) , нормирование осуществляется путем деления "ізіначений асимметрии и эксцесса на значение дисперсий, Б результате указанной процедуры нормирования достигается весьма желательное положение, когда критерии ожидаемого дохода r.{x)- max, риска Ft(х)-» тіл, асим . fh метрик F {x)- tnax и эксцесса F,{x)-$ min имеют одну и ту же единицу
Ї измерения. Иными словами рассматриваемая в предлагаемой модели ВЦФ ; (1) состоит из соизмеримых между собой показателей эффективности.
1 В пользу 4 - критериальной модели задачи "риск-доход" с ВЦФ (1) (3) свидетельствует следующее наглядное рассуждение. Рассмотрим две пары допустимьд решений x2i х2 и х3 , х4, на которых критерии ожидаемого дохода и риска принимают одинаковые значения:
?,( ,) = ,. 1W = I. »=W (4)
При этом, однако, предполагаем, что указанная четверка решений существенным образом различается значениями третьего критерия (2) и чет-# вертого критерия (3). Используя для наглядности визуализацию, это различие представим графическим изображением функции распределения такой случайной величины как ожидаемый доход Fi7(x).
На рис. I а, б и 2 а, б изображено распределение вероятностей случайной величины ожидаемого дохода FQ(X) ДЛЯ первой пары вариантов х}, х2 и второй пары выриантов х3 , х4. Здесь достаточно лишь одной визуализации для следующих утверждений : !) асимметрия iu3(Fg(x) принимает положительное значение для варианта Xj и отрицательное значение для х2 ; 2) эксцесс /it(Fa(x) принимает близкое к нулю значение для варианта х3 и
положительное значение для варианта х4. Вместе с тем является очевидным тот факт, что при выполнении условия (4) вариант х2 явно предпочтительнее варианта х2 , а вариант х2 явно предпочтительнее варианта х4 . Таким образом, представляется вполне целесообразным использовать новоявленные критерии асимметрии (2) и эксцесса (3) по крайней мере в случае, когда по основным критериям (ожидаемый доход и риск) сравниваемые варианты не различаются в пределах ошибки измерения или точности задания параметров задачи.
Резюмируя целесообразность введения в рассмотрение дополнительных критериев (2) и (3) , можно утверждать, что тем самым предлагается многокритериальное отражение риска, которое является более информативным по сравнению с его однокритериальным представлением в виде дисперсии или стандартного отклонения. При этом критерий (2) можно рассматривать в качестве меры такого количественного понятия, как "смещение риска в позитивную сторону": чем большее значение принимает
асимметрия (2), тем лучше для инвестора . Критерий (3) можно рассматривать в качестве такого количественного понятия ,как "мера концентрации возможных доходов в окрестности математического ожидания дохода" : чем меньшее значение приобретает эта мера, тем меньше вероятность (риск) уклонения полученного от запланированного.
В завершение главы 3 исследуется такой аспект экономико- математического моделирования, как неопределенность задания исходных данных. Сначала необходимо заметить, что в классическом представлении критерий ожидаемого дохода F,(x) вычисляется в предположении, что яв
пяется известным распределение вероятностей этой случайной величины
(см. рис.1 и 2). Однако сколь угодно частыми являются ситуации, когда от-4 сутствует какая либо информация относительно распределения вероятностей значений ожидаемого дохода. Известны лишь интервалы этих значений , т.е. крайние пессимистические и оптимистические исходы. В этом случае критерий ожидаемого дохода вида (4) представляет собой интервальную целевую функцию (ИЦФ) или, в другой терминологии, целевую функцию с интервальными параметрами. [60]. В этом случае на основании строгих математических утверждений работ [60] авторами предлагается интервальный "монокритерий" заменять на векторный критерий, на вполне определенную ВЦФ. Основной результат такого предложения состоит в том, что проблема неопределенности (интервальности) исходных данных фактически снимается тем, что интервальная задача замещается многокритериальной задачей, которая в свою очередь, в существенной степени лучше обеспечена соответствующими методами и алгоритмами.
Глава 4 посвящена разработке и обоснованию подходящих математических методов принятия решений в условиях многокритериальности. Суть этой проблемы ростоит в следующем. Если сформулирована задача, допустимое решение которой оценивается N 2 критериями, то практически всегда в этом случае отсутствует безусловно наилучшее т.е. оптимальное решение. Иными словами заданная ВЦФ вьщеляет из МДР X множество
альтернатив (МА),.например, паретовсхое множество X или полное множество альтернатив Xа. Элементы этого МА векторно несравнимы между собой, т.е. сравнивая любую пару вариантов "х , х" є А , обнаруживаем, что х лучше х" по некоторому одному критерию и в то же время ху хуже х" по некоторому другому критерию. Возникает нетревиальная проблема принятия решения т.е. проблема определения в Х° наиболее целесообразно 0 тт
го или, другими словами, компромиссно оптимального варианта х . для решения этой проблемы до настоящего времени отсутствуют какие либо непротиворечивые универсальные математические методы. Все известные методы принятия решения, строго говоря, являются эвристическими.
В настоящей диссертационной работе основное внимание уделено так называемым прямым методом принятия решений. Суть этих методов в том, чтобы предложить лицу, принимающему решение (ЛПР), определенный формализованный математический метод вычисления суммарной (по всем
критериям Fr(x), v = l,N) полезности всякого варианта х є л . В специальной литературе такие методы иногда называют решающими правилами
(РП).
Поскольку многокритериальная оптимизация естественным образом обобщает классическую (т.е. однокритериальную) оптимизацию, то вполне естественно строить РП на базе целевых функций, наработанных в процессе развития теории классической оптимизации. Например, если ВЦФ (1) состоит из критериев, каждый из которых определяет в каком то смысле самостоятельный вклад в общую полезность, то наиболее подходящим является РП взвешенной суммы
где Л- (Лі , Я , ... , Ли ) - вектор коэффициентов относительной важности критериев FT(x), v = l,N. Это решающее правило называют РП вида
MINSUM, если extr = min, и говорят об РП вида MAXSUM, если extr = max.
. Возможны случаи, когда для ЛПР наиболее важной является необхо-димость улучшить значение критерия, по которому достигается наихудший результат. В этих случаях можно рекомендовать для ЛПР использовать РП вида МШМАХ f1{X,x) = maxXrF1{x)- mini когда ВЦФ состоит из максимизируемых критериев. Суть этих РП характеризуется рекомендацией: "достигай" наилучшего значения по наихудшему показателю.
К числу наиболее часто употребляемых решающих правил также относятся РП вида расстояние до идеальной точки" и мультнпликатив Но РГТ v/лтл-пьі » nfvvsuaupvYrra сг п.тп.ргггттз.рииъ и#и-\з f ( Л Х И fА Л Х . Со держатель ному и формально математическому анализу выше указанных
РП посвящено начало главы 4. Далее в этой главе представлено систематизированное изложение вопросов соизмеримости и однородности критериев составляющих ту или другую ВЦФ.
Основной новый результат главы 4 состоит в построении обобщенного решающего правила (ОРП). Содержательная и математическая суть ОРП заключается в том, чтобы "заставить работать" одновременно и взаимоувязано все приемлемые для ЛПР решающие правила Js (х), s = 1,2, ... . Предложенное в настоящей работе ОРП итеративно осуществляет упорядочение вариантов из Xе по предпочтительности. Мера предпочтительности отражается вектором значений решающих правил, упорядоченных в порядке убывания их информативности для ЛПР. Иными словами, предлагаемое ОРП использует те или другие РП с учетом их относительной важности с точки зрения информативности для ЛПР.
Можно высказать ряд доводов в пользу того, что ОРП является более эффективным инструментом выбора и принятия решения по сравнению с любым отдельно взятым РП. Один из этих доводов можно сформулировать по аналогии со следующим утверждением: оценка всякого объекта по совокупности всех существенных показателей качества всегда лучше или по меньшей мере не хуже оценки этого объекта по какому- либо единственному показателю из той же совокупности. В заключение главы 4 отметим, что трудоемкость реализации ОРП ограничена сверху полиномом от мощности ПМА /Х°/: - эта трудоемкость не превосходит 0(т3 (N+ )), где
т = /5 7, N - размерность вектора ВЦФ, I- число используемых РП.
Завершающая глаЕа 5 носит в основном иллюстративный и методический характер. Цель этой главы - продемонстрировать рабочие приемы, используемые в процессе математического формулирования и моделирования, начиная от формулировки задачи и заканчивая принятием решения. Различная природа тех или иных конкретных задач не позволяет предложить абсолютно единого и универсального метода их практического решения. Для убедительного обоснования этого тезиса в главе 5 рассмотрены две за
дачи, экономическая природа которых достаточно сильно различается. Суть этих задач характеризуется их наименованием: принятие решений применительно к лизингу и принятие решений применительно к инвестициям.
Для большинства задач представленных в главах 1,2 и 5 численных расчетов исходные статистические данные взяты из следующих источников : приложение газеты "Известия", Финансовые известия" 1997 г. , а также открытые данные по городской налоговой инспекции 1997 - 1998 гг.
