Содержание к диссертации
Введение
1. Рынок срочных инструментов и математический аппарат моделирования их стоимости 10
1.1. Срочный рынок, его развитие и особенности функционирования в современных условиях 10
1.2. Разновидности финансовых опционов и основные стратегии их практического использования 22
1.3. Современные подходы к оценке стоимости опционов на полных и неполных рынках 36
2. Эконометрическое моделирование в задачах оценки стоимости опционов 51
2.1. Эконометрическое моделирование (В, 8)-рынка 51
2.2. Оценивание опционов на основе результатов эконометрического моделирования 65
2.3. Эмпирические исследования эконометрического подхода к оценке опционов 75
3. Взвешенные риск-трендовые оценки опционов нанеполных рынках 89
3.1. Специфика оценивания опционов на неполных рынках и взвешенные риск-трендовые оценки 89
3.2. Методика оценки опционов на неполных рынках 103
Заключение 118
Библиографический список 120
Приложение 132
- Разновидности финансовых опционов и основные стратегии их практического использования
- Современные подходы к оценке стоимости опционов на полных и неполных рынках
- Оценивание опционов на основе результатов эконометрического моделирования
- Специфика оценивания опционов на неполных рынках и взвешенные риск-трендовые оценки
Введение к работе
Актуальность темы исследования. По мнению большинства экономистов, причины современного финансового кризиса кроются в чрезмерной либерализации процессов регулирования фондового рынка. В первую очередь это касается операций с деривативами, осуществляемых как в рамках биржевой торговли, так и вне биржи. Спекулятивные возможности торговли деривативами превратили их из инструментов, изначально предназначенных для снижения локальных рисков, в один из мощнейших факторов системного риска всех мировых финансов. Лидерство в процессе реализации этих спекулятивных возможностей прочно закрепилось за опционами.
«Справедливая» цена, которую научились для опционов рассчитывать биржи, явно не оправдывает возлагаемых на нее надежд. Используя формулу Блэка - Шоулза для получения теоретической цены, биржа, прежде всего, решает свои проблемы, оставляя инвесторам выбор среди опционов с разными страйками. Фактически искусственным образом создаются условия полного рынка, в рамках которого инвестор может получить гарантированную защиту. Однако для этого нужно сделать правильный выбор в созданных биржей условиях неопределенности, которая является благоприятной средой для проведения спекулятивных операций, порождающих неуправляемые процессы кризисных явлений.
Для целенаправленного изменения сложившейся ситуации необходимы исследования по разработке моделей, обеспечивающих расчет внутренней стоимости опционов с учетом действующих на рынке трендов, которые не принимаются во внимание в классических формулах оценки опционов. Ориентируясь на результаты этих расчетов, инвесторы смогли бы повысить обоснованность принимаемых решений, минимизировав тем самым риск своего выбора.
Степень разработанности проблемы. Основы современной теории оценивания опционов были сформированы Ф. Блэком, М. Шоулсом, Р. Мер-тоном, Дж. Коксом, С. Россом, М. Рубинштейном. Разработанные ими модели и по сей день широко используются фондовыми биржами, а сама концепция риск-нейтрального оценивания получила развитие в работах зарубежных (С. Вайна, Дж. Грэби, Ш. Натенберга, А. Такера, Дж. Халла) и отечественных (А.Н. Буренина, В.А. Галанова, Д.Ю. Голембиовского, А.В. Мельникова, А.Б. Фельдмана, А.Н. Ширяева, Л.П. Яновского) ученых, исследования которых посвящены финансовым рынкам.
Однако корректность применения разработанных моделей требует выполнения чрезмерно идеализированных условий полного рынка. Поэтому в стремлении расширить границы практической реализации идей надежного хеджирования в последнее время усилия исследователей главным образом направлены на решение проблем оценивания опционов на неполных рынках.
Полученные результаты пока носят, по преимуществу, теоретический характер и не касаются вопросов практического использования.
Разрабатываемый в диссертации подход предусматривает расчет оценок стоимости опционов на основе эконометрического моделирования, что позволяет, не нарушая корректности, повысить их адекватность.
Объект исследования - динамика базовых активов опционов, торгуемых на ОАО «Фондовая биржа «РТС».
Предмет исследования - математический аппарат оценивания опционов в условиях полного и неполного рынка.
Цель исследования - совершенствование математического аппарата оценивания опционов в условиях полного и неполного рынка.
В соответствии с поставленной целью возникла необходимость в решении следующего комплекса задач, определивших логику диссертационного исследования:
исследовать особенности функционирования российского рынка срочных финансовых инструментов в современных условиях;
провести анализ современного аппарата оценки стоимости опционов на полных и неполных рынках и определить наиболее перспективные направления его совершенствования;
- разработать методику оценивания внутренней стоимости опциона, ис
пользование которой позволит инвестору повысить обоснованность прини
маемых решений;
- предложить эконометрический вариант биномиальной модели (B,S)-
рынка и разработать процедуру идентификации значений ненаблюдаемой пе
ременной для этого случая;
- разработать мультиномиальную модель неполного финансового рынка
и предложить ее эконометрический вариант;
- провести верификацию предлагаемых моделей и методик.
Область исследования - Содержание диссертации соответствует пункту 1.6 «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов» специальности 08.00.13 Математические и инструментальные методы экономики Паспорта специальностей ВАК РФ.
Теоретической и методологической основой исследования послужили современные достижения экономической и математической науки, содержащиеся в трудах отечественных и зарубежных ученых по теории финансовых рынков, теории риска и моделированию рисковых ситуаций, инвестиционному менеджменту. Для решения поставленных задач прикладного исследования применялись методы эконометрического моделирования, прогнозирования, имитационного моделирования, экспертного оценивания. Расчеты
проводились с использованием программно-инструментальных средств MS Excel и Statistica.
Информационную базу исследования составили данные информационно-аналитических материалов по исследуемой проблеме, представленные в научной литературе, периодической печати и сети Интернет, в частности, данные, размещенные на сайте Российской торговой системы ().
Научная новизна исследования состоит в разработке подхода к моделированию стоимости опционов на основе введенного понятия «риск-трендовая оценка» и эконометрических моделей специального вида, обеспечивающих получение таких оценок.
Научная новизна реализована в следующих результатах, полученных лично автором:
Введено понятие «риск-трендовая оценка», которое было положено в основу методики расчета оценки внутренней стоимости опциона, ориентация на которую, позволяет инвестор повысить обоснованность принимаемых решений по выбору необходимого опциона.
Разработан эконометрический вариант биномиальной модели (B,S)-рынка, с помощью которой удается в рамках методики риск-нейтрального оценивания рассчитать риск-трендовую оценку стоимости опциона.
Сформулирована гипотеза альтернативных ожиданий, предназначенная для идентификации значений ненаблюдаемой переменной при построении эконометрического варианта биномиальной модели (B,S)-рынка.
Предложена мультиномиальная модель неполного рынка, позволяющая обосновать возможность применения на неполных рынках инструментов хеджирования полного рынка с вероятностной оценкой надежности.
5. Разработан эконометрический вариант мультиномиальной модели
неполного рынка, обеспечивающий распространение методики риск-
трендового оценивания стоимости опционов на неполные рынки.
Теоретическая значимость исследования. Сформулированные в диссертации положения могут служить научно-методической основой для дальнейших исследований, ориентированных на развитие и совершенствование математического аппарата оценки стоимости опционов на неполных рынках.
Практическая значимость исследования заключается в том, что его результаты, доведенные до уровня практических рекомендаций и конкретных методик расчета оценки стоимости опционов, могут быть использованы участниками рынка срочных финансовых инструментов.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты работы прошли апробацию и получили положительную оценку на семи-
нарах и научных сессиях в Воронежском государственном университете; международных научно-практической конференциях: «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2009), «Анализ, моделирование и прогнозирование экономических процессов» (Воронеж, 2009); всероссийских научно-практических конференциях: «Инноватизация в России: успехи, проблемы и перспективы (Пенза, 2009); «Электронный бизнес: проблемы, развитие и перспективы» (Воронеж, 2008), «Современная математика и проблемы математического образования» (Орел, 2009).
Работа выполнялась в соответствии с комплексной программой научных исследований кафедры информационных технологий и математических методов в экономике Воронежского государственного университета «Математическое моделирование и информационные технологии в управлении экономическими процессами».
Основные результаты исследования используются в учебном процессе Воронежского государственного университета.
Руководством Акционерного коммерческого банка «Национальный резервный банк» (ОАО) признана целесообразность использования отдельных результатов диссертационного исследования в практической деятельности банка.
Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 10 работ, в том числе 2 статьи в журналах, рекомендованном ВАК РФ. Список публикаций приведен в конце автореферата. В работах [1, 2, 6, 7, 9, 10], выполненных в соавторстве, соискатель: обосновал возможность использования эконометрического подхода к оценке стоимости опционов; разработал эко-нометрическую модель, позволяющую повысить адекватность расчетов риск-нейтральной цены опционов; описал стартовый и финальный риски опционных стратегий; предложил методику моделирования риск-трендовых оценок стоимости опционов.
Разновидности финансовых опционов и основные стратегии их практического использования
Вариантом этих режимов является условный опцион. Покупатель здесь уплачивает премию, только если он принял решение исполнить опцион (при неисполнении они бесплатны). Для равновесия премии устанавливаются в больших суммах.
По соотношению цены исполнения и текущей стоимости, заложенных в основу опциона рыночных инструментов, выделяют: ? опцион «в деньгах» или ITM (in the money); ? опцион «около денег» или ATM (at the money); ? опцион «вне денег» или ОТМ (out of the money). Для отнесения опциона к одной из этих категорий сравнивают только два параметра: текущую цену базового актива (S) и цену исполнения (X). При S X опцион «колл» относят к категории ITM, а опцион «пут» - к ОТМ. При S=X и опцион «колл», и опцион «пут» относят к категории ATM. При S X опцион «колл» относят к категории ОТМ, а опцион «пут» — кІТМ.
Рассмотрим теперь более подробно классификацию опционов в зависимости от базисного актива.
Опционы на акции предусматривают покупку или продажу определенного количества списочных акций по зафиксированной в контракте цене. Совокупная цена исполнения и совокупная премия одного опционного контракта получается умножением цены исполнения и премии на число акций в контракте. Опционы на акции в большинстве своем являются опционами американского стиля с физической поставкой.
Индексные опционы обычно используются в качестве инструмента страхования широко диверсифицированного портфеля акций от риска падения их рыночной стоимости. Все индексные опционы являются опционами с расчетом за наличные и бывают как американского стиля, так и европейского.
Валютный опцион обеспечивает покупателя опциона правом покупать или продавать иностранную валюту в определенный день или в течение определенного времени по фиксированному курсу. Валютные опционы котируются, в основном, на внебиржевом рынке.
Цена любой облигации непосредственно зависит от уровня существующей на рынке банковской процентной ставки. Поэтому опционные контракты на облигации заключаются в предположении уловить благоприятное изменение банковской процентной ставки, или наоборот, застраховаться от ее неблагоприятного изменения. При котировке цены исполнения опциона на долгосрочные облигации может быть использована как полная цена облигации с учетом купонного платежа, так и чистая цена облигации без учета купонного платежа.
Все опционы на краткосрочные векселя и на долгосрочные облигации являются опционами европейского стиля с расчетом за наличные и основаны на доходности. Это значит, что при истечении контракта с держателем опциона производится расчет наличными, основанный на разности между величиной индекса базисной доходности и ценой исполнения опциона.
Фьючерсные опционы (опционы на фьючерсные контракты) продаются и покупаются на большинстве бирж. Они относятся к американскому типу опционов. В случае фьючерсного опциона «колл» его владелец занимает длинную позицию в соответствующем фьючерсном контракте и получает наличную сумму, равную последней расчетной фьючерсной цене за вычетом цены исполнения. В случае фьючерсного опциона «пут» его владелец занимает короткую позицию в соответствующем фьючерсном контракте и получает наличную сумму, равную цене исполнения за вычетом последней расчетной фьючерсной цены [93, с. 452]. Можно назвать следующие причины популярности, которой пользуются сегодня фьючерсные опционы: ? фьючерсные контракты, как правило, более ликвидны, чем базовые активы, причем фьючерсная цена известна сразу после закрытия торгов, а наличная цена базового актива определяется достаточно сложно; ? исполнение опциона, как правило, не сопровождается поставкой базового актива, поскольку в большинстве случаев соответствующий фьючерсный контракт закрывается досрочно. Следовательно, расчеты по фьючерсным опционам осуществляются наличными; ? сделки по фьючерсным опционам заключаются на бирже при непосредственном контакте между трейдерами. Это открывает возможности для хеджирования, арбитража, спекуляция и способствует повышению эффективности рынка в целом; ? фьючерсные опционы во многих случаях сопряжены с более низкой стоимостью транзакций, чем обычные опционы. Особое место на срочном рынке занимают экзотические опционы [21] . Создание рынка экзотических опционов было процессом неизбежным, так как экзотические опционы по своей природе являются более гибкими финансовыми инструментами, чем простые опционы. Появление спроса на новые модифицированные инструменты было лишь вопросом времени. К сожалению, до сих пор экзотический опцион не имеет строгого определения. Разные рынки могут по-разному определять, что является для него экзотическим. Причем в плане понимания сущности этого опциона наблюдается некоторая динамика. Вчерашние экзотические опционы становятся стандартными «ванильными» опционами. Одно из определений лежит в математической плоскости: «Экзотические опционы — это опционы, которые нельзя оценить с помощью однофакторной модели».
Другие утверждают, что редкость подписания и сложность выплат являются двумя основными признаками экзотических опционов. Таким образом, при увеличении спроса и обращаемости экзотический опцион может перейти в стандартный.
Популярным альтернативным определением экзотических опционов является легкость продажи. Если дилер сталкивается с трудностями продвижения своего продукта, то его продукт можно назвать экзотическим.
Рынок экзотических опционов развивался в русле развития срочного рынка. В середине 80-х годов прошлого столетия новые условия, диктуемые усложняющимися стратегиями страхования портфеля, сформировали спрос на финансовые продукты, которые позволяли бы получить желаемый профиль денежного потока. Первоначально, подобные выплаты строились синтетически с помощью линейной комбинации из выплат простых опционов. Однако такие построения оказывались слишком дорогими. Единственный выход заключался в финансовом инжиниринге, благодаря которому за короткий срок на рынке появилось более десятка экзотических опционов.
Современные подходы к оценке стоимости опционов на полных и неполных рынках
На российском рынке опционов используются следующие стратегии [76, с. 8]: 1. Хеджирование портфеля акций от падения или роста цен. Для стра хования от падения цен акций или фьючерсов можно купить опционы «пут», а для того, чтобы застраховать короткую позицию на акциях или фьючерсах от повышения цены можно купить опционы «колл». Покупка опционов обес печивает защиту от рисков неблагоприятного движения цены и одновремен но предоставляет возможность сполна получить прибыль от благоприятного движения. На основе опционов создаются хеджирующие портфели, генерирующие избыточную доходность, которая не только покрывает возникающие риски различной природы, но и делает этот портфель в достаточной степени спекулятивным. Ко всему прочему, суммарный риск уменьшается по сравнению с портфелем, который не подвергается хеджированию. 2. Спекулятивная покупка опционов. Покупка опционов является при влекательной, поскольку: - убытка при осуществлении данной операции ограничены размером выплаченной премии; - потенциальные прибыли не ограничены. Точка безубыточности на момент окончания срока обращения для опциона «колл» равна сумме цены исполнения опциона и выплаченной премии, а для опциона «пут» — разности цены исполнения и выплаченной премии. 3. Регулирование «эффекта плеча». Размер премии опциона зависит от страйка, а также от цен фьючерсов и акций. При этом премии опционов с разными страйками отличаются по степени чувствительности к изменению цен на рынке базового актива. Поэтому на опционах трейдеры могут строить позиции, в наибольшей степени соответствующие их рыночным ожиданиям. 4. Спрэдовые стратегии. Спрэд - одновременная покупка и продажа опционов одного типа, но с разными страйками и/или датами экспирации. Спрэды бывают: - вертикальными (из опционов с одинаковой датой экспирации, но разными страйками; см. табл. 1.8); - горизонтальными (из опционов с одинаковыми страйками, но с разными датами экспирации); - диагональными (из опционов с разными страйками и разными датами экспирации). Каждый из указанных видов спрэда имеет две разновидности: спрэд быка и спрэд медведя. При создании вертикального спрэда быка покупаемый опцион имеет более низкую цену исполнения по сравнению с продаваемым. Суть разновидностей вертикальных спрэдовых стратегий отражает табл. 1.9. У горизонтального спрэда быка покупаемый опцион имеет более позднюю дату истечения контракта. У диагонального спрэда быка покупаемый опцион имеет более низкую цену исполнения и более позднюю дату истечения контракта по сравнению с продаваемым опционом. Спрэдовые стратегии позволяют ограничить убытки при неблагоприятном движении цен акций и фьючерсов, но и часто ограничивают прибыль в случае движения цены базового актива в ожидаемом направлении. 5. Увеличение доходностей инвестиционных портфелей продажей по крытых опционов. Для получения дополнительного дохода при управлении портфелями акций и фьючерсов можно использовать стратегию продажи по крытых опционов. При наличии акций или длинных позиций по фьючерсам, трейдер продает опционы «колл» и получает за это премию. При наличии ко ротких позиций по акциям или фьючерам продаются опционы «пут». Обычно трейдер проводит такие операции в расчете на то, что цены акций или фью черсов останутся неизменными или будут незначительно изменяться в сто рону, противоположную позиции, занятой по опциону. В то же самое время риск того, что опцион будет востребован, покрывается наличием позиции по акциям или фьючерсам. 6. Покупка/продажа волатилъности. Опционы — единственный финан совый инструмент, позволяющий получать прибыль при любом направления движения цены акций и фьючерсов. При помощи опционных стратегий мож но зарабатывать на увеличении или уменьшении волатилъности (стандартно го отклонения) базового актива. Примером такой стратегии являются стрэдл. Комбинация длинный стрэдл строится путем покупки опционов «колл» и опционов «пут» с одинаковой ценой исполнения и датой исполнения. Если на дату исполнения цена базового актива близка к цене исполнения, комбинация приносит убыток, ограниченный величиной премии, уплаченной при ее создании. Если произойдет достаточно большое ценовое движение в любую сторону, стрэдл окажется прибыльным. Короткий стрэдл строится по тем же принципам, но опционы не покупаются, а продаются. Соответственно, комбинация будет прибыльна при не изменной цене базового актива и убыточна при больших движениях цены в любую сторону. 7. Арбитражные операции. Опционы являются самым эффективным инструментом для совершения операций арбитражного характера либо близких к ним по смыслу. В отличие от вариантов арбитража, использующих обычные активы (акции, фьючерсы и пр.), опционы позволяют многократно увеличивать доход от арбитражной операции, применяемой к одному активу. Комбинируя различные опционы, фьючерсы и акции, можно создавать синтетические фьючерсные позиции или синтетические опционные позиции. Отличия в ценах реальных и синтетических фьючерсов и опционов можно использовать для получения арбитражной прибыли. Синтетический длинный опцион колл можно создать за счет покупки акции и опциона пут. Синтетический короткий опцион колл включает продажу акции и продажу опциона пут. Синтетический длинный пут создается продажей акции и покупкой опциона колл. Синтетический короткий пут включает покупку акции и продажу опциона колл. Синтетические опционы используются в следующих случаях: 1) на рынке отсутствует интересующий инвестора опцион, однако ведется торговля противоположным опционом; 2) существует потребность в хеджировании; 3) арбитражные операции совершается с европейскими опционами. Такое разнообразие опционов, а также дополнительные условия, предусматриваемые в контрактах для некоторых из них, требуют грамотного подхода инвесторов, использующих опционы в своей инвестиционной деятельности. Без адекватного математического аппарата при выборе из такого многообразия «правильной» (выигрышной для себя) опционной стратегии не обойтись, поэтому в следующем параграфе диссертации обсуждаются современные подходы к оценке стоимости опционов. Особо подчеркнем, что при выборе той или иной стратегии необходимо делать прогноз динамики цены базового актива на момент заключения кон тракта. Совершенствованию используемого для этой цели математического аппарата прогнозирования посвящены последующие главы диссертации.
Оценивание опционов на основе результатов эконометрического моделирования
В данной формуле без труда узнается математическое ожидание случайной величины, имеющей биномиальный закон распределения. Таким образом, основная идея, которая реализуется с помощью CRR-модели, заключается в том, чтобы для упреждающего периода построить биномиальное дерево и с помощью этого дерева рассмотреть все возможные варианты эволюции цен базового актива, которые могут иметь место на упреждающем отрезке времени и использовать эти варианты для определения справедливой цены опциона. Из сказанного следует, что риск-нейтральная цена - это математическое ожидание, при расчете которого использовалась риск-нейтральная вероятность и расчетная внутренняя цена опциона. В свою очередь, риск-нейтральная вероятность и внутренняя цена опциона определяются через множители роста и и падения d. В то же время истинные значения этих величин не известны и поэтому возникает проблема их определения. В подобных ситуациях, как правило, рекомендуется использовать оценки. Известно, что оценки, полученные с помощью эконометрического подхода, обладают свойствами, обеспечивающими им высокую надежность. Следовательно, подход, позволяющий получить надежные оценки этих характеристик, является перспективным направлением исследования проблем, связанных с риск-нейтральным оцениванием опционов.
Кроме того, что эконометрический подход позволяет решить вопрос с обоснованием оценок, используемых в качестве множителей усредненного роста и снижения цены базового актива, с его помощью удается ввести новые элементы анализа справедливой цены опциона. Рассмотрим эти возможности. Причем при рассмотрении возможностей будем ориентироваться на эко-нометрическую модель, которая была предложена в предыдущем параграфе. Для удобства все рассуждения будут проведены для случая, когда финансовая операция проводится с опционом «колл». Сразу заметим, что полученные результаты практически без серьезных изменений можно будет применять и в тех случаях, когда финансовая операция проводится с опционом «пут».
Расчеты по формуле (2.24) требуют оценки ожидаемой величины стоимости базового актива в момент исполнения опциона. Формула сконструирована таким образом, что в качестве ожидаемой стоимости базового актива используется величина nJd" JS, для оценки которой нужны все те же оценки усредненной величины множителя роста цены базового актива и усредненной величины множителя ее снижения. Однако, даже в тех случаях, когда и и d являются результатом эконометрического моделирования и обладают соответствующим уровнем надежности, их использование в расчетах не ре шает всех проблем. А проблемы есть, и они для своего решения требуют новых идей и специальных подходов. Суть одной из них в том, что при расчете различных вариантов ожидаемой стоимости базового актива в Cftft-модели используется биномиальное дерево, логика построения которого в неявном виде предусматривает тренд в ожидаемых ценах базового актива с темпом роста безрисковой ставки. Реальный тренд цены базового актива естественно не совпадает с трендом в темпе безрисковой ставки и поэтому цена, по которой торгуются опционы, не всегда совпадает со справедливой ценой, рассчитываемой с помощью С7?/?-модели.
Таким образом, наши рассуждения позволяют сделать вывод о том, что на пути решения вопроса об оценке стоимости опциона, в которой бы отражение реальности рыночных процессов преобладало над воспроизведением предположений гипотезы эффективного рынка, стоят две проблемы. Первая проблема связана с получением адекватных оценок роста и падения цены базового актива. Эта проблема без труда решается с помощью эконометриче-ской модели предложенной в предыдущем параграфе. Причем использование эконометрического подхода не выводит за рамки концепции безрисковой цены опциона. Вторая проблема связана с трендом, которому, как упоминалось выше, подчиняется рост биномиального дерева. Ее разрешение не возможно без отказа от тренда, имеющего рост по безрисковой ставке. Это серьезная проблема, так как отказ от тренда с ростом по безрисковой ставке равносилен отказу от концепции риск-нейтрального оценивания.
В принципе компенсировать недостаточный рост по безрисковой ставке на формальном уровне можно за счет специального подбора множителей роста и падения цены базового актива. Подобного рода решение данной проблемы было предложено при использовании формулы Блэка - Шоулса. В практических расчетах по этой формуле используется не оцененная вола-тильность, а подобранная из условия равенства риск-нейтральной стоимости опциона его рыночной цене. На фондовой бирже РТС, например, для того чтобы подобрать нужное значение волатильности используется пять допол нительных параметров. Волатильность, определенная таким образом, называется подразумеваемой или внутренней. Введение подразумеваемой вола-тильности сохраняет концепцию риск-нейтрального оценивания, но не решает всех проблем, с которыми сталкиваются инвесторы на срочном рынке. Поэтому рассмотрим более подробно вопрос, связанный с достоинствами и недостатками тех приемов, которые используются в риск-нейтральном оценивании.
Прежде всего, заметим, что механизмы современной торговли опционами устроены таким образом, что позволяет настроить формулу Блэка — Шо-улса для решения проблем, которые необходимо решить бирже, и исключает возможность настройки модели для решения проблем, возникающих перед инвесторами. Проблема инвесторов возникает в связи с тем, что один и тот же опцион торгуется с несколькими страйками. Такой способ торговли опционами предоставляет инвестору возможность выбрать опцион, который действительно ему необходим для хеджирования. Но реализация этой возможности требует, по сути, принятия решения в условиях неопределенности, которая возникает в силу следующих причин. Если, например, выбирается опцион, который «глубоко в деньгах», то понятно, что такое решение влечет излишние затраты на хеджирование. В таком случае, как правило, имеет смысл купить эту ценную бумагу сразу. Если же с высокой вероятностью ожидается ситуация, что опцион будет «вне денег», то его приобретение теряет всякий смысл. Поэтому рациональным можно считать такое решение, в соответствии с которым из торгуемых опционов с одной и той же датой исполнения, но разными страйками, выбирается тот, с помощью которого удастся решить реальную проблему хеджирования. Как правило, это опционы, о которых принято говорить «опцион около денег».
Специфика оценивания опционов на неполных рынках и взвешенные риск-трендовые оценки
Известно, что риск-нейтральную оценку стоимости опциона, получившую название «справедливой» цены принято считать фундаментальным результатом финансовой теории. В некотором смысле справедливую цену можно рассматривать как аналог равновесной цены, но в отличии от равновесной, которую не рассчитывают, справедливая цена имеет практическое применение. С ее помощью удается разделить спрос и предложение, которые, естественно, присутствуют на рынке срочных инструментов, на два не пересекающихся класса. Но реализуется эта возможность в условиях полного рынка.
Понятие полных и неполных рынков, как отмечалось в параграфе 1.3, было введено К. Эрроу. По Эрроу полный рынок представляет собой набор рынков, охватывающий все возможные в будущем случайные события и предоставляющий инвестору при реализации любого из этих событий получать гарантированный доход. Предположения, которые лежат в основе теории полного рынка соответствуют представлениям об идеальной модели развитой финансовой системы, включающий широкий спектр производных инструментов. Только в случае, когда набор этих инструментов достаточно разнообразен, можно, действуя рационально, обеспечить реальность запланированных финансовых потоков. Поэтому в практике биржевой торговли, пытаясь реализовать рекомендации теории, инвесторам предоставляется возможность формирования портфеля из опционных контрактов «пут» и «колл» со всевозможными ценами исполнения. По сути, как бы искусственно создаются условия полного рынка. Реальность намного богаче искусственно созданного полного рынка биржевой торговли опционами. Поэтому неполные рынки, по общему признанию, являются первым шагом отхода от идеальности (Д5)-рынка, так как позволяют отражать более сложное вероятностное устройство цен рисковых активов. В рассматриваемой нами эконометрической модели формирования цен базовых активов именно этот момент будет учтен в первую очередь.
Исследования по оценке внутренней цены опциона в условиях неполных рынков естественно ведутся. В настоящее время результаты этих исследований, по преимуществу, носят теоретический характер, не затрагивая аспекты, связанные с расчетами для практического использования. Те несколько подходов, в которых рассматриваются оригинальные идеи решения проблемы определения безарбитражной цены опциона в условиях неполного рынка, затрагивают лишь незначительную часть проблем, которые появляются за пределами полного рынка. Ситуация с неполными рынками, в некотором смысле, похожа на проблему, связанную с построением нелинейных моделей в эконометрике, когда возникает проблема выбора и проблема приведения неизвестной ситуации к известной..
В параграфе 1.3 кратко были рассмотрены несколько подходов. Прежде всего, это коснулось результатов, полученных при исследовании безарбитражных цен для опционов, торговля которыми осуществляется в ситуации неполного рынка (рис. 1.6). Был рассмотрен подход, предусматривающий построение стратегии минимального хеджирования с потреблением, предусматривающей введение дополнительного параметра. Также была рассмотрена ситуация, когда появляется дополнительное ограничение, предусматривающее наличие депозитного и кредитного счета.
Приведенные примеры позволяют понять многообразие проблем, связанных с отказом от предположений, идеализирующих условия определения справедливой цены опционов. Этот отказ приводит к ситуации, когда появляется необходимость в создании соответствующего многообразия моделей, каждая из которых уточняет или обобщает один из тех аспектов формирования цены опциона, которые в теории полных рынков отсекались соответствующими предположениями. В силу этого в отличие от полных рынков теория неполных рынков открыта не только для новых моделей и новых подходов в рамках сложившихся представлений о механизме формирования цены опциона, но и для новых взглядов на сам механизм формирования этой цены.
При рассмотрении некоторых вариантов неполного рынка удается выяснить, что основную идею определения цены опциона с помощью хеджирующих портфелей можно сохранить, но получить аналог справедливой цены, которая определяется на полном рынке, не удается. Поэтому целесообразно ориентироваться на варианты, в которых в той или иной степени может быть реализована основная идея определения цены опциона.
Среди возможных вариантов ослабления требований к свойствам, которым должен удовлетворять полный рынок, будем рассматривать такой, в котором эволюцией цен базового актива предусматривается более двух скачкообразных изменений. В принципе, число скачкообразных изменений не лимитируется, но их должно быть столько, чтобы сохранялось различие между дискретной и непрерывной моделью. Чрезмерно большое число скачкообразных изменений может привести к ситуации, когда эти изменения станут статистически незначимыми, и эконометрическая модель окажется не адекватной.
Если скачкообразных изменений более двух, то и риск-нейтральных вероятностей несколько, а следовательно, и несколько риск-нейтральных оценок стоимости опциона. Возникает ситуация выбора, но окончательного ответа на вопрос о риск нейтральной цене, которую целесообразно использовать в практических целях, нет. В данном случае риск-нейтральную цену рекомендуется определять в виде интервала с заданием ее нижнего и верхнего уровней [65]. Сохраняя свойство риск-нейтральности, она теряет свойство справедливой цены, так как появляется элемент торга. Кроме того, интервал значений риск-нейтральных цен не во всех случаях сможет выполнять роль разделителя спроса и предложения на опционы с разными страйками, как это предусмотрено на полном рынке в случае единственной риск-нейтральной цены.
Из описания специфики риск-нейтрального оценивания в условиях неполного рынка, когда действует более сложный механизм изменения цены базового актива, не позволяющий однозначно определить риск-нейтральную вероятность, следует ряд полезных выводов. Самый важный состоит в том, что на неполном рынке для каждой пары скачков формально можно определить риск-нейтральную цену. Но нельзя гарантировать, что эти цены будут обладать всеми свойствами риск-нейтральной цены полного рынка. Предлагаемый ниже подход для оценки опционов на неполных рынках предусматривает реализацию этого вывода совместно с идеей определения риск-трендовых оценок, которая уже обсуждалась в предыдущей главе.
Похожие диссертации на Моделирование риск-нейтральных и риск-трендовых оценок стоимости опционов
